Logaritmos. Funciones exponenciales. Intervalos. Sucesiones. Progresiones

INDICE
• Introducción 3
• Tema. 3
• Objetivos . 3
IV. Contenido Teórico:
4.1 Logaritmos..................................................... 5
4.2 Funciones exponenciales................................. 5
4.2.1 Propiedades de los Logaritmos................. 5
• Función Logarítmica........................................ 6
4.4 Operaciones con logaritmos............................. 7
4.5 Cambio de base.............................................. 8
4.6 Ecuaciones exponenciales................................ 8
4.7 Intervalos...................................................... 9
4.8 Valor Absoluto................................................ 10
4.9 Propiedades de las Desigualdades.................. 11
4.10 Sucesiones y Series....................................... 11
4.11 Progresiones aritméticas............................... 12
4.12 Progresiones Geométricas ............................
• Metodología .............................................................. 14
• Análisis Crítico.......................................................... 14
• Conclusiones y recomendaciones ............................. 14
• Bibliografía .......................................................... 15
• Anexos (ejercicios de aplicación)............................... 16
I. INTRODUCCIÓN
En este año se ha estudiado principalmente lo que son logaritmos, sucesiones, etc. y las leyes que los rigen. El
estudio de estos temas nos hará razonar sobre lo que sucede en la naturaleza y en la vida diaria. El estudio de
las operaciones, mediante su representación gráfica y teniendo en cuenta tanto las características de esas
operaciones, nos permitirá profundizar los conocimientos sobre estos temas, para lo cual nos será de gran
ayuda nuestras bases de álgebra adquiridas anteriormente.
El estudio de todos estos temas, y sobretodo la aplicación de los mismos nos servirá para el futuro de nuestra
especialización y nuestra carrera.
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II. TEMA
PRINCIPALES OPERACIONES CON LOGARITMOS, DESIGUALDADES, SUCESIONES, ETC.
Se investigará los aspectos que comprende el estudio de estas operaciones y las principales aplicaciones.
Se realizará una serie de ejercicios de aplicación como respaldo.
Se dispone de aproximadamente un mes para la realización del trabajo, luego del cual se realizará la defensa
del mismo.
La accesibilidad a las fuentes de consulta fue relativamente fácil .
III. OBJETIVO
Analizar, reconocer y aprender a aplicar los diferentes conceptos sobre todas y cada una de las operaciones y
leyes que las rigen que se han estudiado en este año.
IV.− CONTENIDO TEÓRICO
LOGARITMOS
Logaritmo es encontrar el exponente al que debe elevarse una base cualquiera para encontrar un número dado.
2x = 4 log2 4 = x
2x = 4
2x = 22
x=2
3x = 27 log3 27 = x
3x = 27
3x = 33
x=3
4x = 64 log4 64 = x
4x = 64
4x = 43
x=3
10x = 10000 log 1000 = x
2
10x = 10000
10x = 104
x=4
Propiedades de los logaritmos:
• No existe logaritmo de cantidades negativas.
log −10 = x
10x = −10
No existe
2. El logaritmo de la base en cualquier sistema es igual a 1.
log 33 = x
3x = 3
X=1
• El logaritmo de 1 en cualquier base es igual a cero.
log 1 = x
10x = 1
X=0
• El logaritmo de cero en cualquier base no existe.
log 0 = x
10x = 0
No existe
FUNCIONES LOGARÍTMICAS
Y= log x
XY
10
2 0.301
3 0.477
3
• 0.602
1/2 −0.301
1/3 −0.477
1/4 −0.602
X+" Y + "
X+" , Y −"
X=1, Y=0
OPERACIONES CON LOGARÍTMOS
Las propiedades de los logaritmos nos permiten emplearlos para calcular el valor de diversas expresiones.
El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores
Sean A y B los factores, sea x=log A e y=log B y sea b la base del sistema.
En efecto: que x es los de A signica que x es el exponente al que hay que elevar la base b para que dé A, y que
y es el log de B significa que y es el exponente al que hay que elevar la base b para que dé B; luego tenemos:
bx = A
by = B
Multiplicando estas igualdades tenemos:
bx+y = AxB
Ahora bien: Si x+y es el exponente, hay que elevar la base b para que dé AxB , x+y es el logaritmo de AxB,
luego:
log (AxB)= log A + log B
De igual manera sucede con los logaritmos de cocientes sino que en lugar de poner el signo + se escribe el
signo (−), así
M/N = ax−1
log M/ N/a= x−y
log a M/N = log aM− log aN
No existe ninguna propiedad con las sumas o restas de logaritmos establecidas.
ECUACIONES EXPONENCIALES.
Son aquellas cuyo exponente es una incógnita y se resuelve por logaritmos.
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Ejemplo:
81x =10, hallar X
log8110=X
x log81 =log 10
x= log 10 =0.5239
log 81
PASO DE LOGARITMO NATURAL A LOGARITMO DECIMAL Y VICEVERSA
loga10 = logbN/ logba
logaN= log N 1/ logba
logN = ln 1/ln10 módulo de logaritmo decimal
ln N= 0.4342294481
log N= ln N 1/ln 10
ln = log N ln 10
= ln 2.302585093
INTERVALOS
Intervalos Finitos
Para a,b "IR
− (a.b)
(///////////////////////////////////////////////)
a b intervalo abierto
{x/x"IR a< x< b}
− [a.b]
[///////////////////////////////////////////////]
a b intervalo cerrado
{x/x"IR a " x " b}
− (a.b]
5
(///////////////////////////////////////////////]
a b intervalo semiabierto
{x/x"IR a< x " b}
− [a.b)
[////////////////////////////////////////////////)
a b intervalo semiabierto
{x/x"IR a " x< b}
Intervalos Infinitos
Para a,b "IR
− (a.+")
(///////////////////////////////////////////////////////////////
a intervalo abierto
{x/x"IR a< x}
− [a.+"]
[///////////////////////////////////////////////////////////////
a intervalo cerrado
{x/x"IR a " x}
− (−".a]
///////////////////////////////////////////////////////////////)
a intervalo semiabierto
{x/x"IR a< x }
VALOR ABSOLUTO
|///////////////////////|////////////////////// |
−a o a
|a|= a si a " 0
(−a) si a< 0
6
|2|= 2
|−2|= 2
PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES
Sean x, y, z "IR
x <y y<z x<z transitiva
x<y x+z < y+z aditiva
x<y z>0 xz<yz multiplicativa (+)
x<y z<0 xz>yz multiplicativa (−)
SUCESIONES Y SERIES
Sucesiones.− es un conjunto especial de números que se forma ordenadamente siguiendo determinada ley o
condición, así por ejemplo.
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14
2, 4, 8, 16, 32, 64,....
1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5
3, 6, 10, 12, 14, 20
Cuando la sucesión tiene un último término se dice que la sucesión es finita y cuando no lo tiene, infinita.
Sea f la función definida por f(x)= 2m; m" { 1,2,3,4}
f(1)= 2x1=2
f(2)= 2x2=4
f(3)= 2x3=6
f(4)= 2x4=8
(2,4,6,8)
Cuando se conocen varios elementos de una sucesión no se puede determinar un elemento general único.
− an = 2n m"{1,2,3,4,...}
− an 2n si n impar
2ª−1 si n es par
− an= 2n + (n−1) (n−2) (n−3)
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Series.− Es la sumatoria de los elemento de una sucesión, se utiliza la letra (sigma), la suma de los
elementos de una sucesión finita se llama serie finita y la suma de una sucesión infinita se llama serie infinita
a lo que se llama tiende a un límite.
i2 = 12 +22 +32 +42 +52
(1/k)= 1/3+1/4+1/5+1/6+1/7
(i3) = 1+ 8+ 27+64+ 125+ 216+...+n3
PROGRESIONES
PROGRESIONES ARITMETICAS
Es una sucesión de números tal que cada uno de los términos posteriores al primero se obtiene sumando un
número fijo llamado diferencia.
Ejemplo:
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14
−3, 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18
Las ecuaciones para la resolución de problemas son:
an= a1+(n−1)d
Sn= n/2 (a1+ an)
Media Aritmética.
axb
La fórmula para sacar el término medio de un progresión es:
A=(axb)/2
PROGRESIONES GEOMÉTRICAS
Es una sucesión de números tal que cualquier número posterior al primero se obtiene multiplicando al término
anterior por un número dado llamado razón de la progresión.
a, a r2 ,a r3 , a r4 , a r5 ,..., a rn−1
Las Fórmulas para resolver problemas son:
an= a rn−1
S= a (1−rn )
1−r
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S= a− r an
1−r
Para los medios geométricos se utiliza la siguiente fórmula.
Sn= a/(a−r)
V. METODOLOGÍA Se realizó el trabajo de investigación cumpliendo con las siguientes etapas :
1. Búsqueda de la información en :Biblioteca personal.
• Redacción de la información obtenida.
• Edición del trabajo en computadora.
• Realización de los problemas de aplicación (anexos)
La accesibilidad a las fuentes de consulta se dio sin mayor obstáculo.
VI. ANÁLISIS CRÍTICO
Desde siempre, el ser humano ha tratado de conocer el universo y explicarse su origen y sus fenómenos.
En este capítulo de las matemáticas me he podido dar cuenta que una realidad existente en la naturaleza al ser
analizada y estudiada matemáticamente, puede contribuir tanto al desarrollo de nuestra lógica como a
incrementar nuestra percepción sobre cuantos manifestaciones se dan alrededor nuestro.
VII. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
El estudio de esta parte de la matemática, ha contribuido para estimar cuan inmenso es el conocimiento y que
difícil nos es adquirirlo. Sin embargo me ha enseñado a darle la suficiente importancia ya que puede ser
aplicado en una infinidad de circunstancias de la vida diaria.
Recomendaría la elaboración de este tipo de trabajos no solo como un medio de recuperación sino como un
mecanismo de evaluación continua.
VII. BIBLIOGRAFÍA
• BALDOR, A. Algebra Lima Perú 1990
• GARCÍA ARDURA, Manuel. Ejercicios Y Problemas de Algebra Madrid
• LEITHOLD, Algebra de...
• LEMANN, Algebra De
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