Unidad 6 Modelo de redes

Unidad
6
Modelo de redes
Objetivos:
Al nalizar la unidad, el alumno:
• Resolverá problemas utilizando el algoritmo de la ruta más corta.
• Resolverá problemas de flujo máximo.
• Resolverá problemas de flujo restringido de costo mínimo.
• Resolverá problemas de aplicación al entorno de los negocios.
• Resolverá problemas utilizando el algoritmo PERT.
215
Matemáticas para negocios
Introducción
La representación gráca de las vías de comunicación de cualquier región geográca es un claro ejemplo de una red, lo cual le conere relevancia natural por tener la capacidad de proporcionarnos información acerca de los diferentes
caminos que podemos utilizar para trasladarnos de un origen hasta un destino
preestablecido pero, en general, es necesario obtener aún más información de un
diagrama de redes, como encontrar cuál de todas las posibles rutas es la que tiene
un recorrido total menor a cualquier otra, es decir, la ruta más corta de todas o,
por ejemplo, cuál es la ruta con mayor auencia o ujo máximo, así como el ujo
de costo mínimo. Se puede observar que el denominador común de los términos
recién presentados como: “más corta” y “mínimo o máximo”, tiene una relación
directa con la optimización. Es en este sentido que se presenta tanto la denición de los modelos de redes, su terminología y construcción, así como casos prácticos
para resolver con la metodología presentada a lo largo de este capítulo.
En las diferentes secciones del capítulo se estudiarán los problemas mencionados a
través de la solución de casos de aplicación, por lo que se sugiere que el lector resuelva de
nueva cuenta tales ejemplos, así como la sección de ejercicios y la autoevaluación.
6.1. Denición del modelo
En general, una red es la representación gráca de un proceso, serie de actividades interconectadas o la distribución de puntos geográcos especícos, por ejemplo, un mapa carretero o la distribución de una red de computadoras representada en
un diagrama, aunque existen muchos más contextos donde se aplican las redes.
Por mostrar una representación de la realidad, las redes se clasican como un modelo. Es así como se dene el modelo de redes, el cual cuenta con terminología propia, necesaria para su desarrollo. A continuación se presenta la notación y
terminología empleada.
Unidad 6 ▪ Modelo de redes
216
Notación y terminología
Red. Conjunto de puntos llamados nodos (o vértices) y líneas que los unen
llamadas arcos (o ligaduras, aristas o ramas).
Los arcos se etiquetan con los nombres de los nodos en sus puntos terminales, por
ejemplo, AB es el arco entre los nodos A y B.
Arcos dirigidos. Un arco es dirigido cuando tiene ujo en una sola dirección y ésta se indica con una cabeza de echa al nal del arco o línea en la dirección del ujo.
Arcos no dirigidos. Un arco donde se permite el ujo en ambas direcciones.
Trayectoria. Sucesión de arcos distintos que conectan dos nodos.
Trayectoria dirigida. Una trayectoria dirigida del nodo i al nodo j, es una sucesión
de arcos cuya dirección (si la tienen) es hacia el nodo j, de manera que el ujo del nodo i al nodo j, a través de esta trayectoria, es factible.
Trayectoria no dirigida. Una trayectoria no dirigida del nodo i al nodo j es una
sucesión de arcos cuya dirección (si la tienen) puede ser hacia o desde el nodo j.
Red dirigida. Es una red que tiene sólo arcos dirigidos.
Red no dirigida. Es una red donde todos sus arcos son no dirigidos.
Red conexa. Una red conexa es una red en la que cada par de nodos está conectado.
Se dice que dos nodos están conectados si la red contiene al menos una trayectoria
no dirigida entre ellos aparte.
Se debe resaltar que no es necesario que la trayectoria sea dirigida aun cuando la
red sea dirigida.
Capacidad de arco. Es la cantidad máxima de ujo (quizás innito) que puede circular en un arco dirigido.
Nodo fuente (o nodo de origen). Tiene la propiedad de que el ujo que sale del nodo excede al ujo que entra a él. Nodo demanda (o nodo destino). Es el caso contrario al nodo fuente, donde el
ujo que llega excede al que sale de él. 217
Matemáticas para negocios
Nodo de trasbordo (o nodo intermedio). Satisface la conservación del ujo, es decir, el ujo que entra es igual al que sale.
Esta terminología se utilizará en el desarrollo del algoritmo y ejemplos. Conforme se
requiera, se recuperará alguno de los conceptos, ya sea para aplicar algún paso de un
algoritmo o explicar alguna consideración particular de una operación o tipo de red.
Ejemplo 1
El siguiente diagrama representa una red:
Los nodos 0 y F representan el origen y destino de la red, mientras que los nodos
A, B, C, D y E, son nodos de trasbordo, el número en los arcos o líneas puede
indicar distancia en kilómetros, por ejemplo, entre nodos adyacentes.
Como se mencionó en un principio, los diagramas de redes, además de representar
vías de comunicación, también se utilizan para obtener información adicional,
por ejemplo, para obtener la ruta más corta entre el nodo origen y el nodo destino.
A continuación se presenta el algoritmo de La ruta más corta.
6.2. Problema de la ruta más corta
El problema de la ruta más corta tiene por objetivo determinar la ruta mínima
entre un origen y un destino determinados utilizando la información disponible
en una red y cumpliendo con las especicaciones de distancia, conexiones existentes, etcétera.
El algoritmo analiza la red a partir del origen, identicando en orden ascendente la ruta más corta hasta cada uno de los nodos desde el origen hasta alcanzar el
nodo destino.
Unidad 6 ▪ Modelo de redes
218
Esto es partir de una red establecida, conexa y no dirigida con nodos origen y
destino. A cada arco no dirigido se asocia una distancia no negativa. El objetivo
es determinar la ruta más corta, es decir, la trayectoria con la mínima distancia
total, desde el origen hasta el destino.
Algoritmo de la ruta más corta:
Objetivo de la n-ésima iteración. Encontrar el n-ésimo nodo más cercano al
origen (este paso se repetirá para n=1,2,… hasta que el n-ésimo nodo más cercano
sea el nodo destino).
Datos para la n-ésima iteración. Son los n-1 nodos más cercanos al origen (encontrados
en las iteraciones previas), incluida su ruta más corta y la distancia desde el origen
(estos nodos y el origen se llaman nodos resueltos, el resto son nodos no resueltos).
Candidatos para el n-ésimo nodo más cercano. Cada nodo resuelto que tiene
conexión directa por una ligadura con uno o más nodos no resueltos, proporciona
un candidato y éste es el nodo no resuelto que tiene la ligadura más corta (los
empates proporcionan candidatos adicionales).
Cálculo del n-ésimo nodo más cercano. Para cada nodo resuelto y sus candidatos,
se suma la distancia entre ellos y la distancia de la ruta más corta desde el
origen a este nodo resuelto. El candidato con la distancia total más pequeña
es el n-ésimo nodo más cercano (los empates proporcionan nodos resueltos
adicionales) y su ruta más corta es la que genera esta distancia.
El algoritmo es muy sencillo y su aplicación se facilita aún más si se utiliza una
tabla que registra el resultado de las iteraciones y permite la identicación de las conexiones que forman la ruta más corta de la red.
La tabla contiene la siguiente información:
Tabla6.1. Tablaparaaplicarelalgoritmodelarutamáscorta.
Nodos resueltos
Nodo no resuelto Distancia n-ésimo
Distancia Última
n conectados directamente
más cercano
total
nodo más
mínima conexión
a nodos no resueltos
conectado
involucrada cercano
1
...
n
219
Matemáticas para negocios
La primera columna indica el número de la iteración.
La segunda columna: registra los nodos resueltos (nodos ya utilizados en la
trayectoria) para iniciar la iteración actual, después de no considerar los nodos
que no se utilizan.
La tercera columna: candidatos (nodos no resueltos con la ligadura más corta al
nodo resuelto) para el n-ésimo nodo más cercano.
La cuarta columna: distancia de la ruta más corta desde el origen a cada uno de
estos candidatos.
La quinta columna: candidato con la menor distancia al origen.
La sexta columna: distancia de la ruta más corta desde el origen al último nodo
resuelto.
La séptima columna: último tramo en esta ruta más corta.
En la última columna se puede determinar la ruta más corta desde el nodo origen
al destino.
El siguiente ejemplo muestra la aplicación de la tabla a la red del ejemplo anterior.
Ejemplo 2
Aplicar el algoritmo de la ruta más corta a la red del ejemplo 1.
Se comienza por generar una tabla con los siguientes encabezados:
Unidad 6 ▪ Modelo de redes
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Nodos resueltos
Nodo no resuelto Distancia n-ésimo
Distancia Última
n conectados directamente
más cercano
total
nodo más
mínima conexión
a nodos no resueltos
conectado
involucrada cercano
1
...
n
La primera iteración se registra en la la correspondiente a n = 1
La primera iteración se realiza comparando la distancia existente entre el nodo
0 y los nodos A y B respectivamente, seleccionando el nodo B como el “nodo no
resuelto más cercano conectado” con una “distancia total involucrada” de 4 km.
Ahora, el “n-ésimo nodo más cercano” aplica cuando se deba comparar más de
un nodo, en este caso el mismo nodo B es el más cercano con una “distancia
mínima” de 4 km, por lo que se establece la “última conexión” como 0B.
Nodos resueltos
Nodo no resuelto Distancia n-ésimo
Distancia Última
n conectados directamente
más cercano
total
nodo más
mínima conexión
a nodos no resueltos
conectado
involucrada cercano
1
0
B
4
B
4
0B
Ahora toca el turno de la segunda iteración:
En esta iteración, el nodo 0 y el nodo B son nodos resueltos, es decir, ya se pasó por
ellos, pero están conectados a nodos no resueltos y, por esta razón, se consideran
en la segunda iteración.
El nodo no resuelto más cercano a 0 y B respectivamente es A y C, el primero con
una distancia total de 5 unidades, mientras que la distancia para llegar a C es la
suma de las distancias de 0 a B y luego de B a C; siendo mínima la primera, se
selecciona como última conexión.
Nodos resueltos
Nodo no resuelto Distancia n-ésimo
Distancia Última
n conectados directamente
más cercano
total
nodo más
mínima conexión
a nodos no resueltos
conectado
involucrada cercano
1
0
B
4
B
4
0B
2
0
B
A
C
5
4+6=10
A
C
5
10
0A
221
Matemáticas para negocios
La tabla completa, considerando la misma explicación que se presentó para la
primera y segunda iteración, está dada por:
Nodos resueltos
Nodo no resuelto Distancia n-ésimo
Distancia Última
n conectados directamente
más cercano
total
nodo más
mínima conexión
a nodos no resueltos
conectado
involucrada cercano
1
3
0
0
B
A
4
B
5
D
E
2
B
A
C
D
E
D
F
F
4
5
4+6=10
5+4=9
9+2=11
9+3=12
12+7=19
11+5=16
B
A
C
C
E
D
F
F
4
0B
5
0A
9
AB
11
BE
19
16
ET
De la última columna se extrae la información para resolver el problema:
La ruta más corta desde el nodo destino hacia el nodo origen se determina desde el
nal hacia el principio de la última columna, es decir, desde el destino T→ E→B→
A→0, con una distancia total de 16 kilómetros.
Si representamos la ruta más corta sobre el diagrama de la red, queda como:
En algunas ocasiones, este algoritmo de solución puede generar más de una ruta
más corta y será decisión del responsable del proyecto considerar, de las posibles
rutas más cortas, la que mejores benecios reporte para los involucrados.
Unidad 6 ▪ Modelo de redes
222
6.3. Flujo máximo
Cuando se pretende maximizar el ujo a través de una red, considerando como inicio de la red un nodo llamado fuente y como nodo nal un nodo llamado destino
y tomando en cuenta que el ujo en los arcos es sólo en la dirección que en el diagrama de la red se indica, se tiene un problema de ujo máximo, en el cual el
objetivo es maximizar la cantidad total de ujo de la fuente al destino.
Este tipo de problema tiene una amplia gama de aplicaciones dentro de las cuales
se pueden mencionar:
Maximizar el ujo de cualquier uido a través de una tubería.
• Maximizar el ujo de vehículos por un sistema carretero.
• Maximizar el ujo de insumos o productos desde los proveedores hacia los clientes de cualquier tipo de empresa.
•
Para resolver este problema, se requiere una red conexa dirigida, identicar los nodos fuente y destino, así como conocer, por lo general, los límites máximos
permisibles de ujo en cada uno de los arcos dirigidos de la red. Con el diagrama de la red y los datos mencionados se utiliza un algoritmo para obtener la
solución.
A manera de introducción al algoritmo de solución, se presentan algunos términos
necesarios en la aplicación del mismo.
Red residual. Una vez asignados ujos a los arcos de la red original, la red residual
es aquella que muestra las capacidades restantes (capacidades residuales) para
asignar ujos adicionales. Para indicar la capacidad de ujo se coloca un número en la base del arco.
223
Matemáticas para negocios
Ejemplo 3
Suponer que entre un nodo adyacente y un nodo fuente se tiene una capacidad
máxima de ujo de 9 unidades de algún producto, lo cual está representado por la siguiente gura:
Observa que la capacidad residual de la derecha vale cero, pues no se ha realizado
asignación de ujo. Entonces si se asigna, por ejemplo, un ujo de 6 unidades al arco 0A, el diagrama de la red cambia a:
Este cambio en el diagrama indica que el nodo “0” tiene una capacidad residual
de tres unidades y que la capacidad residual del nodo “A” es de seis unidades.
Trayectoria aumentada. Es la trayectoria dirigida desde el nodo fuente hacia el
destino en la red residual, donde todos los arcos comprendidos en esta trayectoria
tienen capacidad residual estrictamente positiva.
Algoritmo de la trayectoria de aumento:
1. Se identica una trayectoria de aumento encontrando alguna trayectoria dirigida del origen al destino en la red residual, tal que cada arco sobre esta
trayectoria tiene capacidad residual estrictamente positiva (si no existe una,
los ujos netos asignados constituyen un patrón del ujo óptimo). 2. Se identica la capacidad residual c* de esta trayectoria de aumento encontrando el mínimo de las capacidades residuales de los arcos sobre esta
trayectoria. Se aumenta en c* el ujo de esta trayectoria. 3. Se disminuye en c* la capacidad residual de cada arco en esta trayectoria de aumento. Se aumenta en c* la capacidad residual de cada arco en la dirección opuesta en esta trayectoria. Se regresa al paso 1.
A continuación se aplica este algoritmo a la siguiente red, que es la misma del
ejemplo 1, pero sobre la red se escribieron los límites máximos permisibles, como
las capacidades residuales de los arcos de la red.
Unidad 6 ▪ Modelo de redes
224
Ejemplo 4
Considera los ujos de la siguiente red y determina la trayectoria de aumento para el problema de ujo máximo.
Iteración 1. Primero se determina una trayectoria de aumento desde el nodo
fuente hacia el destino de la red residual, para este caso la trayectoria de aumento
está dada por 0→B→C→D→F, que tiene una capacidad residual igual al
min (9,12,7,9 ) = 7 , que corresponde a las capacidades residuales de cada arco.
Asignamos el ujo de 7 a esta trayectoria para obtener:
Iteración 2. Otra trayectoria de aumento desde el nodo fuente hacia el destino de
la red residual para esta segunda iteración es la trayectoria de aumento por 0→
B→C→E→F, la cual tiene una capacidad residual igual al min (2,5,6,6 ) = 2 , que
corresponde a las capacidades residuales de cada arco. Asignamos el ujo de 2 a esta trayectoria para obtener:
225
Matemáticas para negocios
Iteración 3. Una trayectoria más será 0→A→C→E→F mín (7, 7, 4, 4) = 4.
Asignamos el flujo de 4 a esta trayectoria para obtener:
Como ya no existen trayectorias de aumento, el patrón de ujo actual es óptimo. Entonces la solución óptima de este problema de ujo máximo está dada por la siguiente red:
Esto quiere decir que el ujo máximo para esta red es de 13 unidades.
6.4. Flujo restringido de costo mínimo
En ocasiones, lo que se busca determinar acerca de una red es la manera en la
cual distribuir algún tipo de material por los conductos de la misma (arcos) al
menor costo posible, calculado éste con el costo unitario de transporte de cada
conducto y respetando los límites máximos permisibles de ujo en toda la red. Para el transporte del material por los conductos de la red, desde los puntos de
producción hasta los de consumo, se denotan nodos fuentes, nodos de trasbordo
–donde concurren varias rutas– y nodos destino.
Para plantear el modelo de ujo de costo mínimo, se considera una red conexa dirigida, en donde al menos se incluyen un nodo de producción ( fuente) y uno de
consumo (destino). La producción total de la red debe ser igual a la demanda total de
ésta; esto es un problema balanceado, en caso contrario, se utilizan nodos cticios para lograr el balance. En adelante sólo se considerarán problemas balanceados.
Unidad 6 ▪ Modelo de redes
226
El objetivo del modelo es minimizar el costo de transporte, satisfaciendo tanto las
demandas de los consumidores como las restricciones de ujo en los conductos de la red.
La notación de las variables y los datos involucrados en el desarrollo del modelo
son:
c ij : costo por unidad de ujo a través del arco que va del nodo i al nodo j.
uij : capacidad de ujo del arco que va del nodo i al nodo j.
bi : ujo neto generado del nodo i.
Donde bi puede ser positiva si el nodo i es un nodo fuente, negativa si el nodo i es
un nodo demanda o cero si el nodo i es un nodo trasbordo.
Las variables de decisión son el ujo en los conductos:
x ij : ujo en el arco que va del nodo i al nodo j.
Como el objetivo es minimizar el costo de transporte a través de la red y
considerando que las sumas de los ujos se realiza sobre los nodos, la función de costos y las restricciones están determinadas por las expresiones:
Z min = ∑∑ c ij x ij
n
n
i =1 j =1
Sujeto a:
∑x −∑x
n
j =1
n
ij
j =1
ji
= bi , para cada nodo i.
0 ≤ x ij ≤ uij ; para cada arco del nodo i al nodo j.
La primera suma de la primera restricción indica el ujo total que sale del i-ésimo
nodo, mientras que la segunda suma indica el ujo total que entra al i-ésimo nodo,
por lo que la diferencia de las sumas debe ser igual a la producción o demanda del
nodo e igual a cero para los nodos de trasbordo.
227
Matemáticas para negocios
Ejemplo 5
Considerar los ujos máximos permisibles y los costos unitarios de los arcos de la siguiente red y determinar el costo mínimo de transporte. Tomando en cuenta
que se tienen dos puntos de producción de 500 y 350 metros cúbicos de un corte
ligero de crudo y que otros dos puntos consumen 450 y 400 metros cúbicos
del mismo corte ligero. Los costos unitarios de transporte y ujos máximos permisibles, así como la producción y consumo de las fuentes y destinos, se
muestran sobre la red:
A partir de la información de la red se plantea el modelo de ujo restringido de costo mínimo:
Z min = ∑∑ c ij x ij
n
n
i =1 j =1
Sujeto a:
∑x −∑x
n
j =1
n
ij
j =1
ji
= bi , para cada nodo i.
0 ≤ x ij ≤ uij ; para cada arco del nodo i al nodo j.
De forma desarrollada se tiene:
Z min = c13 x13 + c14 x14 + c 24 x 24 + c 25 x 25 + c 34 x 34 + c 36 x 36 + c 46 x 46 + c 47 x 47 + c 54 x 54 + c 57 x 57
Unidad 6 ▪ Modelo de redes
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Sujeto a:
x13 + x14 = b1
x 24 + x 25 = b2
x 34 + x 36 − x13 = 0
x 46 + x 47 − x14 − x 24 − x 34 − x 54 = 0
x 54 + x 57 − x 25 = 0
− x 36 − x 46 = b6
− x 47 − x 57 = b7
0 ≤ x13 ≤ u13
0 ≤ x14 ≤ u14
0 ≤ x 24 ≤ u24
0 ≤ x 25 ≤ u25
0 ≤ x 34 ≤ u34
0 ≤ x 36 ≤ u36
0 ≤ x 46 ≤ u46
0 ≤ x 47 ≤ u47
0 ≤ x 54 ≤ u54
0 ≤ x 57 ≤ u57
Si se sustituyen los valores conocidos tanto en la función objetivo como en las
restricciones, entonces se tiene:
Z min = 10 x13 + 15 x14 + 12 x 24 + 14 x 25 + 10 x 34 + 12 x 36 + 18 x 46 + 15x 47 + 18 x 54 + 15x 57
Sujeto a:
x13 + x14 = 500
x 24 + x 25 = 350
x 34 + x 36 − x13 = 0
x 46 + x 47 − x14 − x 34 − x 54 = 0
x 54 + x 57 − x 25 = 0
− x 36 − x 46 = −400
− x 47 − x 57 = −450
0 ≤ x13 ≤ 400
0 ≤ x14 ≤ 200
0 ≤ x 24 ≤ 300
0 ≤ x 25 ≤ 200
0 ≤ x 34 ≤ 400
0 ≤ x 36 ≤ 300
229
Matemáticas para negocios
0 ≤ x 46
0 ≤ x 47
0 ≤ x 54
0 ≤ x 57
≤ 200
≤ 350
≤ 100
≤ 300
Resolviendo el modelo con apoyo de un paquete computacional, hoja de cálculo
de Excel, se llega a la siguiente solución:
x13 = 300
x14 = 200
x 24 = 250
x 25 = 100
x 34 = 0
x 36 = 300
x 46 = 100
x 47 = 350
x 54 = 0
x 57 = 100
Con un costo total mínimo de Z min = $22,550.00
De esta solución cabe señalar que los conductos identicados por los arcos (3,4) y (5,4) no se utilizan en la misma. Entonces, otro resultado importante que puede
obtenerse de este algoritmo es identicar las áreas de oportunidad de las redes con las que se trabaja, sin embargo, esto sólo es una propuesta ya que, en realidad,
el responsable del proyecto es quien deberá identicar la información relevante para el buen logro de las metas y objetivos planteados.
6.5. Aplicaciones al entorno de los negocios
Aplicar los algoritmos de solución a problemas que involucren maximizar un ujo o minimizar el costo total de una serie de operaciones, siempre tendrá remarcada
importancia en cualquier tipo de negocio ya que, en la actualidad, debido a la
globalización y la tendencia de grandes corporaciones a expandir sus operaciones
más allá de sus países de origen, se hace presente la necesidad de herramientas
que apoyen, con resultados cuantitativos, la toma de decisiones de casi cualquier
índole referida a la empresa.
Unidad 6 ▪ Modelo de redes
230
Cabe mencionar que el hecho de contar con estas herramientas, permitirá
distinguir la calidad de las decisiones soportadas en éstas, de las decisiones
poco afortunadas tomadas porque “parecía lo correcto”. Aun así, también debe
considerarse que sólo la constante y repetida práctica en la solución de problemas,
fortalecerá las habilidades y conocimientos necesarios para aplicarlos en tareas
cada vez más complejas.
Con el fin de ejemplicar una de las posibles aplicaciones de las redes a los negocios se presenta un caso práctico para resolver e interpretar.
Ejemplo 6
El diagrama que a continuación se presenta corresponde al ujo de recursos que van desde dos Direcciones generales (fuentes) con disponibilidad de 7.5 millones y 4.5
millones de pesos respectivamente, hacia dos administradores de campañas publicitarias
(destinos) con requisitos de 5 y 7 millones cada una. Para este n, las dos direcciones canalizan los recursos a través de tres departamentos que tienen restricciones de ujo de capital. Estos requerimientos y los costos unitarios de las operaciones se indican en
el diagrama. Los valores negativos de las variables b6 y b7 indican requerimientos.
Cada una de las Direcciones generales (nodos 1 y 2 en el diagrama) destina
recursos a través de dos departamentos (nodos 3 y 5 para la fuente 1 y nodos 4 y
5 para la fuente 2). Los departamentos (nodos 3, 4 y 5) dirigen recursos hacia los
administradores de las campañas publicitarias (nodos 6 y 7). Los departamentos
representados por los nodos 3 y 5 envían recursos hacia el administrador ubicado
en el nodo 6, y los departamentos designados como nodos 4 y 5 canalizan sus
recursos hacia el administrador del nodo 7. Observa que el departamento del
nodo 5 también puede recibir transferencias desde los nodos 3 y 4.
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Matemáticas para negocios
El objetivo del problema es determinar el ujo de recursos a través de la red al menor costo posible.
A partir de la información de la red se plantea al modelo de ujo restringido de costo mínimo, con las siguientes variables:
c ij : costo por unidad de ujo a través del arco que va del nodo i
:
al nodo j.
uij : capacidad de ujo del arco que va del nodo i
:
al nodo j.
bi : ujo neto generado del nodo i.
:
La función de costos y las restricciones están determinadas por las expresiones:
Z min = ∑∑ c ij x ij
n
n
i =1 j =1
Sujeto a:
∑x −∑x
n
j =1
n
ij
j =1
ji
= bi , para cada nodo i.
0 ≤ x ij ≤ uij ; para cada arco del nodo i al nodo j.
De forma desarrollada se tiene:
Z min = c13 x13 + c15 x15 + c 25 x 25 + c 24 x 24 + c 35 x 35 + c 36 x 36 + c 56 x 56 + c 57 x 57 + c 45 x 45 + c 47 x 47
Sujeto a:
x13 + x15 = b1
x 24 + x 25 = b2
x 35 + x 36 − x13 = 0
x 56 + x 57 − x15 − x 25 − x 35 − x 45 = 0
x 45 + x 47 − x 25 = 0
− x 36 − x 56 = b6
− x 45 − x 45 = b7
0 ≤ x13 ≤ u13
0 ≤ x15 ≤ u15
0 ≤ x 24 ≤ u24
0 ≤ x 25 ≤ u25
0 ≤ x 35 ≤ u35
0 ≤ x 36 ≤ u36
0 ≤ x 45 ≤ u45
Unidad 6 ▪ Modelo de redes
232
0 ≤ x 47 ≤ u47
0 ≤ x 56 ≤ u56
0 ≤ x 57 ≤ u57
Si se sustituyen los valores conocidos tanto en la función objetivo como en las
restricciones, se tiene:
Z min = 1000 x13 + 1500 x15 + 1200 x 25 + 1150 x 24 + 1000 x 35 + 1200 x 36 + 1300 x 56 +
1500 x 57 + 1000 x 45 + 1500 x 47
Sujeto a:
x13 + x15 = 7.5
x 24 + x 25 = 4.5
x 35 + x 36 − x13 = 0
x 56 + x 57 − x15 − x 25 − x 35 − x 45 = 0
x 45 + x 47 − x 25 = 0
− x 36 − x 56 = −5
− x 45 − x 45 = −7
0 ≤ x13 ≤ 8
0 ≤ x15 ≤ 6
0 ≤ x 24 ≤ 1.5
0 ≤ x 25 ≤ 3
0 ≤ x 35 ≤ 3
0 ≤ x 36 ≤ 6
0 ≤ x 45 ≤ 2
0 ≤ x 47 ≤ 1
0 ≤ x 56 ≤ 10
0 ≤ x 57 ≤ 1
Después se determina el valor de las variables de decisión del modelo matemático
con apoyo de un procesador de cálculo, hoja de Excel, para resolver el sistema de
ecuaciones del modelo.
Para este caso se obtuvieron los siguientes valores de las variables de decisión:
x13 = 5
x15 = 2.5
x 24 = 1.5
x 25 = 3
233
Matemáticas para negocios
x 35
x 36
x 45
x 47
x 56
x 57
=0
=5
= 0.5
=1
=0
=1
El valor de los ujos está dado en millones de pesos.
Con un costo mínimo de Z min = $31,075.00 .
Es importante notar que algunos arcos de la red no se utilizaron en la solución
del problema, lo cual podría indicar áreas de oportunidad en la estructura de la
empresa.
6.6. Algoritmo PERT
En 1958 aparece el sistema PERT (evaluación de programa y técnica de revisión), el
cual fue desarrollado por Booz, Allen y Hamilton, científicos de la oficina naval
de proyectos espaciales y la división de sistemas de armamentos de la corporación
Lockheed Aircraft. La técnica demostró tanta utilidad que ha ganado amplia
aceptación tanto en el gobierno como en el sector privado. El método PERT fue
probado en la construcción del submarino Polaris y se dice que redujo en dos años
la conclusión del proyecto.
Terminología
Actividad. En términos generales, se considera actividad a la serie de
operaciones realizadas por una persona o grupo de personas en forma continua,
sin interrupciones, con tiempos medibles de iniciación y terminación. Las
actividades pueden ser físicas o mentales, como construcciones, trámites, estudios,
inspecciones, dibujos, etcétera.
Relación entre actividades. Es la forma lógica como se conectan las diferentes
actividades del proyecto. Esta relación se puede obtener por antecedentes o por
secuencia. Por antecedentes se les preguntará a los responsables de los procesos
cuáles actividades deben quedar terminadas para ejecutar cada una de las que
aparecen en la lista. Debe tenerse especial cuidado de que todas y cada una de
Unidad 6 ▪ Modelo de redes
234
las actividades tengan por lo menos un antecedente excepto en el caso de ser
actividades iniciales, en cuyo caso su antecedente será cero (0).
Si la relación se hace por secuencia, se preguntará a los responsables de la ejecución
cuáles actividades deben hacerse al terminar cada una de las que aparecen en la lista.
Matriz de secuencia o de precedencia. Es la matriz en donde se coloca cada una
de las actividades del proyecto y sus actividades secuenciales o precedentes. En
el caso de la matriz de precedencia, está formada por tres columnas, la primera
contiene el número de actividad, la segunda las actividades que preceden a
la actividad mostrada en la primera columna y la última, una columna de
anotaciones, la cual se utiliza para aclarar cualquier detalle del proyecto.
La matriz de secuencia tiene también tres columnas, la primera contiene las
actividades que conforman el proyecto, la segunda contiene las actividades que
están después de la actividad de la primera columna, mientras que la tercera es
una columna de anotaciones.
Matriz de tiempos. Es la matriz que contiene el tiempo que necesita cada
actividad para completarse.
Todos los cálculos se hacen con la suposición de que los tiempos de actividad son
determinísticos. Para esto se necesita estimar tres tiempos:
a) Tiempo pesimista. Es el mayor tiempo posible en que se puede realizar una
actividad, esto como consecuencia de un desperfecto de la maquinaria o
errores de los operadores, falta de materia prima, etcétera.
b) Tiempo optimista. Es el menor tiempo posible en el que se puede realizar una
actividad, esto como consecuencia de que todos los factores sean favorables.
c) Tiempo más probable. Es el tiempo modal, es decir, es el tiempo que más se
repite en la realización de la actividad.
Con estos tres tiempos se calcula el tiempo esperado, el cual se obtiene al calcular un
promedio ponderado utilizando la siguiente fórmula:
te =
t p + 4tm + t0
6
La información de los tiempos (ya sea determinístico o estocástico) se añade a la
matriz de actividades. Esto se hace creando una nueva columna, la cual contiene
235
Matemáticas para negocios
el tiempo determinístico de cada actividad o el tiempo esperado de cada una de
ellas. La matriz resultante recibe el nombre de matriz de información y se utiliza
para construir la red de proyecto.
Evento. Se llama evento al momento de iniciación o terminación de una
actividad.
Red de proyecto. Es la representación gráfica del proyecto, contiene cada una de las
actividades a realizar, además de sus interrelaciones y secuencias. En este caso,
los nodos de la red son los eventos del proyecto que se conectan a través de los
arcos de la red o aristas, los cuales sólo representan la secuenciación del proyecto
y en ningún caso su longitud o forma determinan el tiempo que requiere cada
actividad.
Empecemos explicando el sistema PERT
Lo primero que nos interesa de un proyecto es hacer una estimación del tiempo
que necesitaremos para concluirlo. Una forma de realizar esta estimación es
utilizando la gráfica de Gantt, la cual es un cronograma de tiempos, en la que el eje
vertical contiene las actividades del proyecto y en el eje horizontal anotamos
el tiempo. Para graficar cada una de las actividades utilizamos el siguiente
algoritmo:
1. Se grafican las actividades iniciales, es decir, aquellas que no tienen
actividades precedentes. Para graficar cada una de las actividades se traza
una línea horizontal a la altura de donde se etiqueta la actividad, la longitud
de la recta es igual al tiempo esperado de la actividad, utilizando la escala del
eje horizontal.
2. Se grafican las actividades que tienen como precedente las actividades del
paso anterior. La línea horizontal se traza a partir de donde termina la
actividad precedente. Si una actividad depende de dos actividades o más,
tenemos que igualar la longitud de todas estas actividades a la más larga,
para ello trazamos una línea punteada.
3. Si ya no hay más actividades, entonces la gráfica está terminada, el punto del
tiempo hasta donde llega la última línea recta es la aproximación de tiempo
de terminación del proyecto. Si quedan actividades pendientes regresamos al
punto 2.
Unidad 6 ▪ Modelo de redes
236
Ejemplo 7
Se pide a un ingeniero la ampliación de una casa. La matriz de precedencia y de
tiempos es la siguiente:
Lo primero es calcular el tiempo esperado de cada una de las actividades, para
ello utilizamos la fórmula:
te =
t p + 4tm + t0
6
237
Matemáticas para negocios
Trazamos la gráfica de Gantt:
De la gráfica se concluye que el tiempo esperado para la terminación del proyecto es de 15
días.
Una de las principales deficiencias que tiene esta técnica es que no toma en cuenta
la relación entre las actividades. El método PERT soluciona esta deficiencia al tomar
en cuenta las relaciones existentes entre las diferentes actividades y nos proporciona la ruta
crítica, es decir, identifica las actividades que repercuten directamente en el proyecto.
Algoritmo del método PERT
Dada la lista de actividades, la relación de precedencia y los tiempos pesimista,
optimista y más probable de las actividades de un proyecto, se hace lo siguiente:
1. Estimar los tiempos esperados de cada actividad.
2. Construir la red de proyectos.
Nota. Recuerda que entre dos eventos sólo debe existir una actividad, en caso
contrario se añaden actividades ficticias.
3. Determinar los tiempos para eventos. Esto es, debemos determinar la terminación
próxima y la terminación lejana de cada evento utilizando las siguientes
fórmulas:
a) La terminación próxima de un evento (TPEj) es igual a la terminación
próxima del evento anterior más el tiempo esperado de la actividad
(TEAij) del evento anterior al evento j.
Unidad 6 ▪ Modelo de redes
238
TPEj = TEPj + TEAij
Si hay dos trayectorias que lleguen a un evento se toma la de mayor tiempo. Al
evento inicial se le asigna una terminación próxima igual a cero (TPE0 = 0).
b) La terminación lejana de cada evento (TLEi) se calcula de derecha a
izquierda en la red y es igual a la terminación lejana del evento posterior
menos el tiempo esperado de la actividad posterior al evento i.
TLEi = TLEj – TEAij
Si existen dos trayectorias que lleguen a un evento, consideramos la de menor
tiempo. Al evento final se le asigna el valor de la terminación próxima del evento
final.
La notación que se utiliza para expresar estos tiempos es una cruz arriba de cada
evento, en la parte superior izquierda se anota la terminación próxima y del lado
superior derecho la terminación lejana.
4. Calcular los tiempos para las actividades.
Terminación próxima (TPA), es igual a la terminaciòn próxima de la actividad
más la duración de ésta.
TPAij = TPEj + TEAij
Con estos tiempos podemos calcular la holgura de cada actividad, la cual se
define como: la diferencia entre la terminación próxima y la terminación lejana.
Hij = TPAij –TLEj
5. La ruta crítica está formada por las actividades que tienen una holgura igual a cero.
239
Matemáticas para negocios
6. Debido a la naturaleza probabilística de los tiempos en cada actividad, no podemos
tener un tiempo exacto de terminación T, en su lugar debemos calcular el intervalo
donde esperamos que “caiga” el tiempo. Para ello utilizamos las siguientes fórmulas
para calcular la esperanza y la varianza de la variable que mide el tiempo en que se
realiza el proyecto:
 t p − to 
varianza de la i − ésima actividad = 

 6 
2
E (T ) = ∑ Te
var(T ) = ∑ vari
ruta
crítica
ruta
crítica
Ejemplo 8
Hallar la ruta crítica del siguiente proyecto:
Un ingeniero eléctrico debe hacer una instalación eléctrica en una ampliación
realizada a una fábrica. A continuación se presenta la matriz de precedencia y
tiempos estimados en días.
Unidad 6 ▪ Modelo de redes
240
1. Estimamos los tiempos esperados de cada actividad.
2. Construimos la red del proyecto.
3. Calculamos los tiempos de cada evento, utilizando la siguiente tabla.
241
Matemáticas para negocios
4. Una vez que calculamos los tiempos de los eventos, calculamos los tiempos
para las actividades, para ello utilizamos la siguiente tabla:
5. De la tabla anterior concluimos que la ruta crítica está formada por los eventos
A, B y E, es decir:
RC = A + B + E
Por lo tanto el ingeniero debe tener especial cuidado en:
• La colocación de los ductos para el cableado.
• Colocación de cables.
• Colocación de contactos y arrancadores.
Para que, de esta manera, el proyecto se lleve a buen término. El tiempo esperado
para la terminación del proyecto es:
E(T) = 1.5 + 2 + 3 = 6.5 días
V (T ) =
1 1 1 1
+ + =
36 9 9 4
Por lo tanto, el tiempo esperado para la terminación del proyecto es de 6.5 días, con una
desviación estándar de 0.5 días. La variable tiempo de terminación se puede ajustar
a una distribución normal con media 6.5 y desviación estándar de 0.5 días. Si
tomamos el intervalo formado por la media menos la desviación estándar y la
media más la desviación estándar, sabemos que dentro de este intervalo tendremos
68.27% de los datos, es decir, tenemos 68.27% de probabilidad de que el tiempo
de terminación esté dentro del intervalo [6,7].
Unidad 6 ▪ Modelo de redes
242
Ejercicios
El problema de la ruta más corta
1. Determina con el algoritmo de la ruta más corta, la ruta a seguir desde el
origen “A” hasta el destino “G”. Las distancias están dadas en kilómetros
sobre los arcos de la red.
2. Determina con el algoritmo de la ruta más corta, la ruta a seguir desde el origen
“A” hasta el destino “H”. Las distancias están dadas en kilómetros sobre los
arcos de la red. ¿Existe sólo una “ruta más corta” para este ejercicio?
243
Matemáticas para negocios
3. El siguiente diagrama representa las posibles rutas que se pueden seguir para
llegar del origen A al destino K. Las distancias representan kilómetros entre
cada nodo. Utiliza el algoritmo de la ruta más corta e indica la ruta y la
distancia mínima que se recorre sobre la misma.
Flujo máximo
1. Considera los ujos de la siguiente red y determina la trayectoria de aumento para el problema de ujo máximo.
Unidad 6 ▪ Modelo de redes
244
2. Determina la trayectoria de aumento para el problema de ujo máximo asociado al siguiente diagrama:
3. ¿Cuál es el ujo máximo en la siguiente red?
Flujo restringido de costo mínimo
1. El siguiente diagrama corresponde a una red con ujos máximos permisibles y costo unitario señalados en cada arco de la red. Utiliza el diagrama para:
245
Matemáticas para negocios
a) Obtener el modelo matemático de ujo restringido de costo mínimo.
b) Resolver el sistema de ecuaciones resultante del modelado.
c) Indicar el valor de cada ujo y el costo del modelo.
2. El siguiente diagrama corresponde a una red con ujos máximos permisibles y costo unitario señalados en cada arco de la red. Utiliza el diagrama para:
a) Obtener el modelo matemático de ujo restringido de costo mínimo.
b) Resolver el sistema de ecuaciones resultante del modelado.
c) Indicar el valor de cada ujo y el costo del modelo.
Unidad 6 ▪ Modelo de redes
246
3. El ujo de capital dentro de una empresa, necesario para llevar a cabo dos proyectos de reingeniería, tiene dos fuentes de nanciamiento (b1 y
b2), las cuales activan los procesos en los diferentes departamentos de la
empresa (nodos 1 a 10), los departamentos generan insumos necesarios
para la reingeniería pero esto involucra un costo. Así las cosas, es necesario
determinar el ujo restringido de costo mínimo de acuerdo con los datos presentados en la siguiente red:
Aplicaciones a los negocios
Caso práctico
Un gran corporativo, desde su país de origen, desea nanciar dos de sus sucursales más importantes ubicadas en diferentes países cada una, para esto requiere utilizar
una estrategia que le permita satisfacer las necesidades de nanciamiento de cada sucursal, las cuales ascienden a $5,000,000.00 y $4,000,000.00 respectivamente.
Debido a la cantidad total requerida, el corporativo tomará el dinero de dos
fuentes distintas, cada una dispone de $4,500,000.00.
Debido a las regulaciones de transferencias internacionales de recursos, el
corporativo utilizará tres agencias del mercado de dinero para realizar las
operaciones y así cumplir con los niveles máximos permisibles de traslados de
dinero establecidos para cada agencia y país.
Cada una de las fuentes puede transferir dinero a dos de las tres agencias (sólo
una de las tres agencias es común), y sólo dos agencias pueden transferir fondos
a la tercera agencia (esta agencia es común a las dos primeras). Cada agencia
tiene un máximo permisible de transferencia de dinero para poder garantizar los
247
Matemáticas para negocios
costos que maneja, razón por la cual no deberá exceder tal límite. Una vez que
las agencias han realizado las operaciones de recibir el dinero de las fuentes y las
transferencias permitidas entre las agencias, se deben determinar los ujos que cada una de las tres agencias enviará a cada una de las dos sucursales.
Los ujos de capital máximos permisibles, así como el costo asociado a cada transferencia y las operaciones permitidas entre agencias, están dados en las
siguientes tablas:
Tabla6.2. Indicaelujomáximoycostosdesdelasfuentesalasagencias:
Fuente Agencia Flujo máximo en millones Costo unitario por millón transferido
A1
8
1000
F1
A2
6
1500
A2
3
1200
F2
A3
1.5
1150
Tabla6.3. Indicaelujomáximoycostosdesdelasagenciasalaagenciacomún:
Agencia Agencia Flujo máximo en millones Costo unitario por millón transferido
A1
A2
3
1000
A3
A2
2
1000
Tabla6.4. Indicaelujomáximoycostosdesdelasagenciaslosdestinos:
Agencia Destino Flujo máximo en millones Costo unitario por millón transferido
A1
D1
6
1200
A2
D1
10
1300
A2
D2
6
1500
A3
D2
1
1500
El gerente responsable de la operación debe determinar la cantidad a transferir
desde las fuentes a cada agencia, así como el ujo entre agencias (si es que éste existe) y satisfacer los requerimientos de nanciamiento de las dos sucursales al menor costo posible.
Resuelve el problema con apoyo de un procesador de cálculos.
Unidad 6 ▪ Modelo de redes
248
Algoritmo PERT
Califica como verdadera (V) o falsa
proposiciones:
(F) cada una de las siguientes
1. Las actividades de la ruta crítica son
las que limitan la duración del proyecto.
____
2. Las actividades que están en la ruta
crítica tienen un tiempo de holgura diferente de cero.
____
3. PERT utiliza tiempos determinísticos de cada actividad.
____
4. La terminación lejana de una actividad es igual a la
terminación lejana del evento en que termina la actividad.
____
5. La ruta crítica está formada por las actividades
que tienen una holgura igual a cero.
____
249
Matemáticas para negocios
Autoevaluación
1. Es un conjunto de puntos y líneas que unen ciertos pares de puntos. Los
puntos se llaman nodos (o vértices):
a) Diagrama.
b) Grafo.
c) Red.
d) Flujo máximo.
2. A una red en la que cada par de nodos está conectado, se le conoce como:
a) Red conexa.
b) Red convergente.
c) Red de proyecto.
d) Red de ujo.
3. La trayectoria con la distancia mínima total desde el origen hasta el destino,
es el objetivo del algoritmo de:
a) Flujo máximo.
b) La ruta más corta.
c) Flujo restringido.
d) Transporte.
4. ¿Cuántas columnas de datos se utilizan en la tabla para aplicar el algoritmo
de la ruta más corta?
a) Seis.
b) Siete.
c) Cinco.
d) Ocho.
Unidad 6 ▪ Modelo de redes
250
5. ¿Cuál es la capacidad residual después de aplicar un ujo de 6 unidades al siguiente diagrama?
a)
b)
c)
d)
6. El ujo que se asigna a una trayectoria de aumento corresponde al valor:
a) Del mínimo de la capacidad residual de la trayectoria.
b) Del ujo total de la capacidad residual de la trayectoria.
c) Del ujo requerido en la trayectoria de aumento.
d) Del máximo de la capacidad residual de la trayectoria.
7. ¿Qué modelo tiene por objetivo “minimizar el costo de transporte
satisfaciendo tanto las demandas de los consumidores como las restricciones
de ujo en los conductos de la red”?
a) Modelo al costo de transporte.
b) Modelo de ujo restringido a costo factible.
c) Modelo de costo mínimo.
d) Modelo de ujo restringido a costo mínimo.
251
Matemáticas para negocios
8. ¿Qué variables se utilizan en la función objetivo del modelo de ujo restringido a costo mínimo? Las variables de costo por unidad de ujo, capacidad de ujo y ujo neto generado pertenecen al modelo:
a) Costo por unidad de ujo y capacidad de ujo en el arco.
b) Costo por unidad de ujo y ujo neto generado.
c) Costo por unidad de ujo y ujo máximo en el arco.
d) Costo por unidad de ujo y ujo en el arco. 9. ¿Qué valores puede tomar la variable “ bi : ujo neto generado del nodo i”?
a) Positiva o cero.
b) Negativa o cero.
c) Positiva, negativa o cero.
d) Positiva, negativa y cero.
10. Un problema balanceado es aquel que cumple la condición de que:
a) El ujo máximo de la red debe ser igual a la demanda total de la misma.
b) La producción total de la red debe ser igual a la demanda total de la misma.
c) El ujo total de la red debe ser igual a la demanda total de la misma.
d) La producción total de la red debe ser igual a la oferta total de la misma.
11. Después de aplicar el método de PERT obtenemos los siguientes tiempos de
holgura para cada actividad del proyecto.
La ruta crítica está formada por las actividades:
a) A + B + C +D + E
b) A + D
c) C + D + E
d) B + C + E
Unidad 6 ▪ Modelo de redes
252
Respuestas a los ejercicios
El problema de la ruta más corta
1. La ruta más corta desde el nodo destino hacia el nodo origen, es G→ E→C→D→A,
con una distancia total de 10 kilómetros.
2. La ruta más corta desde el nodo destino hacia el nodo origen, es H→G→ E→B→A
ó H→F→ E→B→A, con una distancia total de 20 kilómetros para ambas
rutas.
3. La ruta más corta desde el nodo destino hacia el nodo origen, es K→J→I→G→
F→C→D→A, con una distancia total de 47 kilómetros
Flujo máximo
1. El ujo máximo es 12 unidades.
253
Matemáticas para negocios
2. El ujo máximo es de 5 unidades.
3. El ujo máximo es de 22 unidades.
Unidad 6 ▪ Modelo de redes
254
Flujo restringido de costo mínimo
1. El valor de las variables de decisión y del costo mínimo está dado por:
x14 = 50
x15 = 125
x 23 = 150
x 25 = 100
x 35 = 0
x 37 = 150
x 45 = 0
x 46 = 50
x 56 = 175
x 57 = 50
Con un costo total mínimo de Z min = $11,275.00
2.
x14 = 300
x15 = 137.5
x 23 = 200
x 25 = 237.5
x 35 = 0
x 37 = 200
x 45 = 0
x 46 = 300
x 56 = 300
x 57 = 75
Con un costo total mínimo de Z min = $8,312.50
255
Matemáticas para negocios
3.
x14 = 50
x15 = 300
x 23 = 200
x 25 = 150
x 35 = 0
x 36 = 200
x 45 = 0
x 48 = 50
x 56 = 150
x 57 = 100
x 58 = 200
x 67 = 250
x 69 = 100
x 78 = 50
x 79 = 100
x 710 = 200
x 810 = 300
Con un costo total mínimo de Z min = $13,500.00 .
Aplicación a los negocios
Caso práctico
Fuente
F1
F2
Agencia
A1
A2
A2
A3
Flujo solución en millones Costo del ujo por millón transferido
4.5
4500
0
0
3
3600
1.5
1725
Subtotal
9825
Unidad 6 ▪ Modelo de redes
256
Agencia
A1
A3
Agencia
A2
A2
Flujo solución en millones Costo del ujo por millón transferido
0
0
0.5
500
Subtotal
500
Agencia
A1
A2
A2
A3
Destino
D1
D1
D2
D2
Flujo solución en millones Costo del ujo por millón transferido
4.5
5400
0.5
650
3
4500
1
1500
Subtotal
12050
Total $22,375.00
En la tabla se muestran los ujos solución para cada transferencia, lo cual implica un costo total mínimo de $22,375.00, por el proceso de nanciar dos sucursales, a partir de dos fuentes de recursos nancieros, utilizando tres agencias del mercado de dinero para este n.
Algoritmo PERT
1.
2.
3.
4.
5.
V
F
F
V
V
Respuestas a la autoevaluación
1.
2.
3.
4.
c)
a)
b)
b)
257
Matemáticas para negocios
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
c)
a)
d)
d)
c)
b)
d)