Cilindro-masa por torque

Un cilindro sólido uniforme de masa M y radio 2R descansa en una mesa horizontal, se ata un hilo mediante
un yugo a un eje sin fricción que pasa por el centro del cilindro de modo que este puede girar sobre el eje. El
hilo pasa por una polea con forma de disco de masa M y radio R montada en un eje sin fricción que pasa por
su centro. Un bloque de masa M se suspende del extremo libre del hilo. El hilo no resbala en la polea y el
cilindro rueda sin resbalar sobre la mesa. Si el sistema se libera del reposo, ¿Qué aceleración hacia abajo
tendrá el bloque?
Datos:
Cilindro ‫ܯ = ܽݏܽܯ‬, ܴܽ݀݅‫ = ݋‬2ܴ
Polea ‫ܯ = ܽݏܽܯ‬, ܴܽ݀݅‫ܴ = ݋‬
Pesa ‫ܯ = ܽݏܽܯ‬
Sistema parte del reposo
ܽ௕௟௢௤௨௘ = ?
Analizando el cilindro:
Solución:
ߙ
+
2ܴ
ܶଵ
ܲ
Para la inercia en el punto P utilizaremos el teorema de ejes paralelos:
‫ܫ‬௣ = ‫ܫ‬஼ெ + ‫ ݀ܯ‬ଶ
ଵ
De las tablas podemos encontrar que la ‫ܫ‬஼ெ de un cilindro es ଶ ‫ ݎܯ‬ଶ:
1
‫ܫ‬௣ = ‫ ݎܯ‬ଶ + ‫ ݀ܯ‬ଶ
2
Donde ‫ = ݎ‬2ܴ y ݀ = 2ܴ
1
‫ܫ‬௣ = ‫ܯ‬ሺ2ܴሻଶ + ‫ܯ‬ሺ2ܴሻଶ
2
‫ܫ‬௣ = 2‫ ܴܯ‬ଶ + 4‫ ܴܯ‬ଶ
‫ܫ‬௣ = 6‫ ܴܯ‬ଶ
Para el torque en el punto P:
෍ ߬௣ = ‫ܫ‬௣ ߙ
‫݊݁ݏ ݀ܨ‬90° = ‫ܫ‬௣ ߙ
Sabemos que ܽ௧ = ߙ ‫ݎ‬
ܶଵ ሺ2ܴሻ = 6‫ ܴܯ‬ଶ ቀ
ܽ
ቁ
2ܴ
Cancelando términos en común y despejando tenemos que:
ଷ
ܶଵ = ଶ ‫ܽܯ‬
Ahora pasamos a analizar la polea:
ܶଵ
(1)
ߙ
+
ܱ
ܴ
ܶଶ
Aplicamos torque en el centro de la polea:
෍ ߬଴ = ‫ܫ‬௣௢௟௘௔ ߙ
ܶଶ ܴ − ܶଵ ܴ = ‫ܫ‬௣௢௟௘௔ ߙ
ଵ
Sustituyendo el momento de inercia de la polea ‫ܫ‬௣௢௟௘௔ = ଶ ‫ ܴܯ‬ଶ :
1
ܽ
ܶଶ ܴ − ܶଵ ܴ = ‫ ܴܯ‬ଶ ቀ ቁ
2
ܴ
1
ܴሺܶଶ − ܶଵ ሻ = ‫ܴܽܯ‬
2
ଵ
ܶଶ − ܶଵ = ଶ ‫ܽܯ‬
Para el bloque:
‫ݕ‬
ܽ
ܶଶ
‫ݔ‬
ܹ
෍ ‫ܨ‬௬ = ‫ܽܯ‬
ܹ − ܶ2 = ‫ܽܯ‬
(2)
Donde ܹ = ‫݃ܯ‬
‫ ݃ܯ‬− ܶ2 = ‫ܽܯ‬
Despejando ܶଶ , nos queda:
ܶଶ = ‫ ݃ܯ‬− ‫ܽܯ‬
(3)
Sustituyendo (1) y (3) en la ecuación (2) tenemos:
3
2
ሺ‫ ݃ܯ‬− ‫ܽܯ‬ሻ − ‫= ܽܯ‬
1
‫ܽܯ‬
2
Cancelando las masas:
3
2
‫ ݃ܯ‬− ‫ ܽܯ‬− ‫= ܽܯ‬
3
2
݃−ܽ− ܽ=
1
‫ܽܯ‬
2
1
ܽ
2
1
3
ܽ+ܽ+ ܽ =݃
2
2
3ܽ = ݃
ࢇ=
ࢍ
૜