CAPÍTULO XV ESCALERAS HELICOIDALES

TEMAS DE HORMIGÓN ARMADO
Marcelo Romo Proaño, M.Sc.
Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador
CAPÍTULO XV
ESCALERAS HELICOIDALES
15.1 INTRODUCCIÓN:
Una de las geometrías arquitectónicos más elegantes y más populares para escaleras
constituye la geometría helicoidal.
El desarrollo tridimensional de la escalera determina que la estructura se encuentre
simultáneamente somerida a torsión, flexión, cortante y carga axial, aunque la última carece de
importancia en el diseño.
Una escalera helicoidal es una estructura espacial de eje curvo que generalmente se encuentra
sustentada en sus dos extremos opuestos.
Existen 2 alternativas básicas de análisis y diseño de escaleras helicoidales:
•
Emplear formularios preestablecidos para el efecto.
326
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•
Utilizar programas de análisis matricial espacial de estructuras, para lo que se requiere
dividir a la estructura helicoidal en varios elementos longitudinales (alrededor de 5
segmentos por cada 90° de desarrollo).
15.2 FORMULARIO
PARA EL CÁLCULO DE UNA ESCALERA
HELICOIDAL (basado en el libro “Formulario del Ingeniero” de
Ediciones URMO):
A continuación se presenta un formulario basado en la propuesta del libro “Formulario del
Ingeniero” de Ediciones URMO, para el caso de escaleras helicoidales de sección transversal
constante, sustentadas en losas o en vigas rectangulares, empotradas en sus dos extremos,
sometidas a cargas verticales uniformes distribuidas longitudinalmente.
SIMBOLOGÍA UTILIZADA EN EL FORMULARIO:
H:
α o:
β:
α:
q:
r:
desnivel entre el punto de arranque (D) y el punto de llegada (A) de la escalera
helicoidal
mitad del ángulo de desarrollo horizontal de la escalera helicoidal
ángulo de inclinación vertical de la escalera helicoidal
ángulo horizontal medido desde el centro de la escalera hasta la sección en que se
analizan las solicitaciones
carga vertical uniforme distribuida sobre la proyección horizontal del eje longitudinal de
la escalera
radio horizontal del eje central de la escalera helicoidal
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b:
h:
E:
G:
I1:
It:
I3:
ancho constante de la losa o viga de sección transversal rectangular, que sirve de
sustento para la escalera helicoidal
altura constante de la losa o viga de sección transversal rectangular de la escalera
helicoidal
módulo de elasticidad del material constitutivo de la escalera
módulo de cortante del material constitutivo de la escalera
inercia de la sección transversal rectangular respecto al eje horizontal de la losa o viga
rectangular
inercia torsional de la sección transversal rectangular respecto al eje longitudinal de la
losa o viga rectangular
inercia se la sección transversal rectangular respecto al eje vertical de la losa o viga
rectangular
M1α : momento flector respecto al eje horizontal de la losa o viga rectangular de la escalera
helicoidal, calculado en la sección transversal ubicada a un ángulo α desde el centro de
la escalera
M2α : momento torsor respecto al eje longitudinal de la losa o viga rectangular de la escalera
helicoidal, calculado en la sección transversal ubicada a un ángulo α desde el centro de
la escalera
M3α : momento flector respecto al eje vertical de la losa o viga rectangular de la escalera
helicoidal, calculado en la sección transversal ubicada a un ángulo α desde el centro de
la escalera
Yα : fuerza cortante horizontal en la losa o viga rectangular de la escalera helicoidal,
calculada en la sección transversal ubicada a un ángulo α desde el centro de la escalera
Tα : fuerza cortante vertical en la losa o viga rectangular de la escalera helicoidal, calculada
en la sección transversal ubicada a un ángulo α desde el centro de la escalera
Nα : fuerza axial en la losa o viga rectangular de la escalera helicoidal, calculada en la sección
transversal ubicada a un ángulo α desde el centro de la escalera
Y: fuerza cortante horizontal en la losa o viga rectangular de la escalera helicoidal,
calculada en en el centro de la escalera helicoidal
a.
FORMULARIO AUXILIAR:
A continuación se presenta un formulario de expresiones auxiliares de cálculo, el mismo que
conviene utilizarlo en el mismo orden en que se presenta:
n1 =
I3
I1
(ecuación 1)
n2 =
E.I 3
G.I t
(ecuación 2)
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Sen (2α o ) α o 

A1 = n 1 Senα o −
−
4
2 

(ecuación 3)
(
)
Sen (2α o ) α o


A 2 = n 2 Cos 2β + Sen 2 β Senα o +
−
− α o .Cosα o 
4
2


(ecuación 4)
(
)
Sen (2α o ) 
Sen ( 2α o ) 
α
2
2  αo
B1 = n 1  o +
+
n
Cos
β
+
Sen
β
−
2

 2

4
4
 2



(ecuación 5)
C1 = −
 Sen (2α o ) α o .Cos (2α o ) 
−


8
4
Cos β 

(ecuación 7)
n1
2
 3Sen ( 2α o ) α o .Cos( 2α o ) α o 
C2 = n 2 
−
−
8
4
2 

(ecuación 8)
C3 =
(
)
α o Sen ( 2α o )
α .Cos (2α o )
−
2 − Tg 2β − Tg 2 β o
2
8
4
(ecuación 9)
D 1 = −n 1
Sen (2α o ) α o .Cos( 2α o ) 
Tg β 
Senα o − α o .Cosα o −
+


Cosβ 
8
4

(ecuación 10)
{
}
3Sen (2α o ) α o
α .Cos (2α o ) 

D 2 = n 2 .Senβ3α o .Cosα o −
+
+ (α o ) 2 − 3 Senα o + o

8
2
4


(ecuación 11)
(
)


2 − Tg 2β
2
D 3 = Senβ 1 − 2Tg β (Senα o − α o .Cosα o ) +
Sen( 2α o ) 
8


(ecuación 12)

Cos(2α o )  α o 

D 4 = SenβTg 2β.α o α o .Senα o +
−

4

 2 

(ecuación 13)
E 1 = n1
Tg 2β  (α o ) 3 α o .Cos( 2α o ) (α o ) 2 .Sen ( 2α o ) Sen (2α o ) 
−
−
+


Cosβ  6
4
4
8

(ecuación 14)
329
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(α o )3 3
α 
5
1
E 2 = n 2 .Senβ.Tg β
+ α o .Cos( 2α o ) − Sen ( 2α o ) + (α o ) 2 .Sen ( 2α o ) + o 
4
8
4
2 
 6
(ecuación 15)
 Tg 4 β
Sen (2α o )( 2 − 2Tg 2 β + Tg 4β) Tg 4 β(α o ) 2 .Sen ( 2α o ) 
E 3 = Cosβ
(α 0 ) 3 −
+

6
8
4


(ecuación 16)
α .Cos( 2α o ) α o 

E 4 = Cosβ− Tg 2 β(2 − Tg 2 β) o
+
4
2 

(ecuación 17)
b.
FORMULARIO DE CORRIMIENTOS REFERENCIALES:
1
q.r 3
⋅
[A1 + A 2 ]
E.I 3 Cosβ
(ecuación 18)
θ OXq =
ϑ XX =
1
r
⋅
[B1 ]
E.I 3 Cosβ
(ecuación 19)
ϑ XY =
1
⋅ r 2 .Senβ[C1 + C 2 + C 3 ]
E.I 3
(ecuación 20)
∆OYq =
1
⋅ q.r 4 [D1 + D 2 + D 3 + D 4 ]
E.I 3
(ecuación 21)
δ YY =
1
⋅ r 3 [E 1 + E 2 + E 3 + E 4 ]
E.I 3
(ecuación 22)
c.
X=
Y=
FORMULARIO DE FUERZAS Y MOMENTOS EN EL CENTRO DE LA
LUZ DE LA ESCALERA:
(∆oYq .ϑ XY ) − ( θ oXq .δ YY )
(ϑ XX .δ YY ) − ( ϑ XY ) 2
(ecuación 23)
( θ oXq .ϑ XY ) − (∆oYq .ϑ XX )
( ϑ XX .δ YY ) − (ϑ XY ) 2
(ecuación 24)
330
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d.
FORMULARIO PARA MOMENTOS FLECTORES Y TORSORES EN LA
ESCALERA:
M 1α = −q.r 2 .(1 − Cosα ) − (Cosα ).X + r .(Tg β).α.(Senα).Y
(ecuación 25)
M 2 α = −q.r 2 .(Cosβ).( α − Senα) − ( Cosβ).(Senα).X − r.(Senβ).(α.Cosα − Senα).Y
(ecuación 26)
{
}
M 3α = −qr 2 (Senβ)( α − Senα ) − (Senβ)(Senα) X − r ( Cosβ) Senα + (Tg β) 2 αCosα Y
(ecuación 27)
Donde:
M1α: Momento flector respecto al eje horizontal de la losa o viga, medido a un ángulo α
desde el centro de la escalera
M2α: Momento torsor respecto al eje longitudinal de la losa o viga, medido a un ángulo α
desde el centro de la escalera
M3α: Momento flector respecto al eje vertical de la losa o viga, medido a un ángulo α desde
el centro de la escalera
e.
FORMULARIO PARA FUERZAS CORTANTES EN LA ESCALERA:
Yα = Y
(ecuación 28)
Tα = q.α.r
(ecuación 29)
Donde:
Yα : fuerza cortante horizontal en la losa o viga rectangular de la escalera helicoidal,
calculada en la sección transversal ubicada a un ángulo α desde el centro de la escalera
Tα : fuerza cortante vertical en la losa o viga rectangular de la escalera helicoidal, calculada
en la sección transversal ubicada a un ángulo α desde el centro de la escalera
r:
radio horizontal del eje central de la escalera helicoidal
EJEMPLO 15.1:
Diseñar una escalera helicoidal de hormigón armado que tiene un ángulo total de desarrollo en
planta de 180°; tiene un radio respecto al eje centroidal de 1.80 m.; tiene una losa de 1.40 m
de ancho y 0.15 m de espesor; vence un desnivel de 2.40 m.; tiene una carga viva de 500
Kg/m2; está construida con hormigón de 210 Kg/cm2 de resistencia y utiliza acero de refuerzo
de 4200 Kg/cm2 de esfuerzo de fluencia.
331
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Datos del ejemplo:
L = 500 Kg/m2
αo = 90° = 1.57 rad.
r = 180 cm.
b = 140 cm.
f’c = 210 Kg/cm2
Fy = 4200 Kg/cm2

240cm

 = 23.01° = 0.4014rad.
β = Tg −1 
(
180
cm
).
3
.
141592


Cargas:
peso propio de la losa: 0.15 m x 1.40 m x 1.00 m x 2400 Kg/m3 =
504 Kg
se definen 14 escalones de 17.1 cm de contrahuella (240/14=17.1)
y 40.4 cm de ancho promedio de la huella (180x3.14/14)
peso de los escalones: (0.171 m / 2) x 1.40 m x 1.00 m x 2000 Kg/m3 =
239 Kg
3
peso del enlucido inferior: 0.015 x 1.40 m x 1.00 m x 2200 Kg/m =
46 Kg
peso del parquet: 0.015x1.40m.(0.171+0.404)/0.404x1.00m x 1600Kg/m3 =
48 Kg
________
Carga Permanente por metro de longitud
837 Kg
Carga Viva por metro de longitud: 500 Kg/m2 x 1.40 m x 1.00 m =
qD = 837 Kg/m
qL = 700 Kg/m
Carga Última
qU = 14 D + 1.7 L = 1.4 (837 Kg/m) + 1.7 (700 Kg/m) = 2362 Kg/m
qU = 23.6 Kg/cm
Características Geométricas y Elásticas:
I1 =
(140cm )(15cm ) 3
= 39375cm 4
12
332
700 Kg
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(15cm)(140cm) 3
= 3430000cm 4
12
b
 4  140cm

− 0.63 (15cm ) 4
 − 0.63 h

h

 15cm

It =
=
= 146869cm 4
3
3
E = 15000 f ' c = 15000 210 = 217371Kg / cm 2
I3 =
G=
E
217371Kg / cm 2
=
= 94509Kg / cm 2
2(1 + µ)
2(1 + 0.15)
Fórmulario Auxiliar:
n1 =
n1 =
I3
I1
3430000cm 4
39375cm 4
E.I 3
n2 =
G.I t
n2 =
= 87.11
(217371Kg / cm 2 ).( 3430000cm 4 )
= 53.71
(94509Kg / cm 2 ).(146869cm 4 )
Sen (2α o ) α o 

A1 = n 1 Senα o −
−
4
2 

Sen( 3.14rad) 1.57 

A 1 = (87.11) Sen (1.57rad ) −
−
= 18.694204
4
2 

Sen (2α o ) α o


A 2 = n 2 Cos 2β + Sen 2 β Senα o +
−
− α o .Cosα o 
4
2


(
)
[
]
Sen (3.1416 ) 1.5708


A 2 = (53 .71)( Cos0.4014 ) 2 + ( Sen0.4014 ) 2 Sen (1.5708 ) +
−
− (1.5708 ).Cos(1.5708 )
4
2


A 2 = 9.8005609
Sen (2α o ) 
Sen ( 2α o ) 
α
2
2  αo
B1 = n 1  o +
+
n
Cos
β
+
Sen
β
−
2

 2
 = 104.28494
4
4
 2



n 1  Sen ( 2α o ) α o .Cos( 2α o ) 
C1 = −
−

 = -40.37031
8
4
Cos 2β 

(
)
 3Sen ( 2α o ) α o .Cos( 2α o ) α o 
C2 = n 2 
−
−
= -21.09367
8
4
2 

α
Sen (2α o )
α .Cos (2α o )
C3 = o −
2 − Tg 2 β − Tg 2 β o
= 0.8561334
2
8
4
Sen (2α o ) α o .Cos( 2α o ) 
Tg β 
D 1 = −n 1
Senα o − α o .Cosα o −
+

 = -24.39104
Cosβ 
8
4

(
)
333
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{
}
3Sen(2α o ) α o
α .Cos (2α o ) 

D 2 = n 2 .Senβ3α o .Cos α o −
+
+ (α o ) 2 − 3 Senα o + o
 = -2.935849
8
2
4


(
)


2 − Tg 2β
2
D 3 = Senβ 1 − 2Tg β (Senα o − α o .Cosα o ) +
Sen( 2α o )  = 0.2499382
8



Cos(2α o )  α o 

D 4 = SenβTg 2β.α o α o .Senα o +
−
 = -0.16084
4

 2 

Tg 2β  ( α o ) 3 α o .Cos( 2α o ) ( α o ) 2 .Sen( 2α o ) Sen ( 2α o ) 
E 1 = n1
−
−
+

 = 17.704765
Cosβ  6
4
4
8

 (α ) 3 3
α 
5
1
E 2 = n 2 .Senβ.Tgβ  o + α o .Cos (2 α o ) − Sen( 2α o ) + (α o ) 2 .Sen(2α o ) + o  = 2.2556972
4
8
4
2 
 6
 Tg 4 β
Sen(2α o )(2 − 2Tg 2 β + Tg 4β ) Tg 4β(α o ) 2 .Sen(2α o ) 
E 3 = Cosβ 
(α 0 ) 3 −
+
 = 0.0192929
8
4
 6

α .Cos( 2α o ) α o 

E 4 = Cosβ− Tg 2 β(2 − Tg 2 β) o
+
= 0.6044797
4
2 

Corrimientos Referenciales:
1
q.r 3
⋅
[A1 + A 2 ] = 0.0057143
E.I 3 Cosβ
1
r
ϑ XX =
⋅
[B1 ] = 2.73504E - 08
E.I 3 Cosβ
1
ϑ XY =
⋅ r 2 .Senβ[C1 + C 2 + C 3 ] = -1.02897E - 06
E.I 3
1
∆OYq =
⋅ q.r 4 [D 1 + D 2 + D 3 + D 4 ] = -0.905063271
E.I 3
1
δ YY =
⋅ r 3 [E 1 + E 2 + E 3 + E 4 ] = 0.000161012
E.I 3
θ OXq =
Fuerzas y Momentos en el Centro de la Luz:
X=
Y=
( ∆oYq .ϑ XY ) − (θ oXq .δ YY )
( ϑ XX .δ YY ) − (ϑ XY ) 2
(θ oXq .ϑ XY ) − ( ∆oYq .ϑ XX )
( ϑ XX .δ YY ) − ( ϑ XY ) 2
= 3352.53Kg - cm
= 5642.53 Kg
Momentos Flectores y Torsores en la Escalera:
Los momentos flectores (M 1α y M 3α ) y torsores (M 2α ) en cada sección de la estructura se
calculan mediante las siguientes expresiones:
334
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M 1α = −q.r 2 .(1 − Cosα ) − (Cosα ).X + r .(Tg β).α.(Senα).Y
M 2 α = −q.r 2 .(Cosβ).( α − Senα) − ( Cosβ).(Senα).X − r.(Senβ).(α.Cosα − Senα).Y
[
]
M 3α = −qr 2 (Senβ)( α − Senα ) − (Senβ)(Senα )X − r ( Cosβ) Senα + ( Tg β) 2 αCosα Y
Se prepara una tabla evaluando las expresiones anteriores cada 10°:
α
α
(grad) (rad.)
0.00
10.00
20.00
30.00
40.00
50.00
60.00
70.00
80.00
90.00
0.00000
0.17453
0.34907
0.52360
0.69813
0.87266
1.04720
1.22173
1.39626
1.57080
β
(rad.)
0.40137
0.40137
0.40137
0.40137
0.40137
0.40137
0.40137
0.40137
0.40137
0.40137
r
(cm)
180
180
180
180
180
180
180
180
180
180
q
(Kg/cm)
23.6
23.6
23.6
23.6
23.6
23.6
23.6
23.6
23.6
23.6
X
(Kg-cm)
3352.53
3352.53
3352.53
3352.53
3352.53
3352.53
3352.53
3352.53
3352.53
3352.53
Y
(Kg)
5642.53
5642.53
5642.53
5642.53
5642.53
5642.53
5642.53
5642.53
5642.53
5642.53
M1α
(Kg-cm)
-3352.53
-1853.99
2199.13
7504.91
11977.33
12868.15
6929.79
-9388.10
-39717.49
-87536.12
M2α
(Kg-cm)
M3α
(Kg-cm)
0.00
0.00
-457.58 -191787.74
-457.38 -377559.72
317.55 -551536.83
1910.69 -708404.43
3975.24 -843522.82
5680.35 -953112.49
5646.23 -1034407.23
1913.08 -1085769.16
-8053.27 -1106761.33
Con estos valores tabulados se procede al diseño a flexión y torsión de cada sección de la
escalera, para resistir cada una de las solicitaciones. Se aprovecha que por simetría el diseño
de las secciones desde el centro hacia el arranque izquierdo es similar al diseño desde el
centro hacia el arranque derecho.
Fuerzas Cortantes en la Escalera:
Las fuerzas cortantes (Yα y Tα ) en cada sección de la estructura se calculan mediante las
siguientes expresiones:
Yα = Y
Tα = q.α.r
Se prepara una tabla evaluando las expresiones anteriores cada 10°:
α
α
r
q
Yα
Tα
(grad) (rad.)
(cm) (Kg/cm) (Kg)
(Kg)
0.00 0.00000 180
23.6 5642.53
0
10.00 0.17453 180
23.6 5642.53
741
20.00 0.34907 180
23.6 5642.53
1483
30.00 0.52360 180
23.6 5642.53
2224
40.00 0.69813 180
23.6 5642.53
2966
50.00 0.87266 180
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