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ANALISIS DE VARIAS VARIABLES II. TEMA I.
TEOREMA DE FUBINI.
1.− Cambiar el orden de integracin y evaluar
2
Z
Z
1
(x + y)2 dx dy.
y
2
0
2.− Cambiar el orden de integracin y evaluar
Z
0
3.− Hallar
RR
D
2
Z
1
1
(x2 + y 3 x)2 dx dy.
y2
y[1 − cos( πx
4 )] dx dy, donde D es la regin en la siguiente figura.
4.− Evaluar las siguientes integrales. Esbozar e identificar el tipo de la regin correspondiente.
R π R 3 sin x
( i) 0 sin x x(1 + y) dy dx.
R 1 R x cos πx
( ii) 0 x−1 2 (x2 + xy + 1) dy dx.
( iii)
( iv)
R 1 R (2−y)2
√
(y x + y 3 − 2y) dx dy.
−1 y 23
√
2
R 2 R 3 4−x
√2
2
0
− 3 4−x
2
5
3
√
+ y dy dx.
2+x
R 1 R x2
( v) 0 0 (x2 + xy − y 2 ) dy dx.
R4Rx
( vi) 2 y2 −1 3 dy dx.
R1Rx
( vii) 0 x2 (x + y)2 dy dx.
R 1 R 3y
( viii) 0 0 exp x + y dx dy.
5.− Integrar la funcin dada f sobre la regin D en los siguientes casos:
( i) f (x, y) = x − y; D es el tringulo con vrtices (0, 0), (1, 0), (2, 1).
( ii)f (x, y) = x2 +2xy+2; D es la regin acotada por la grfica de y = −x2 +x,
el eje X y las rectas x = 0 y x = 2.
6.− Calcular
R 1 las
R 1 siguientes integrales iteradas:
( i) −1 0 (x4 y + y 2 ) dydx SOL : 13
15
2
( ii)
R
π
2
0
R1
0
(y cos x + 2) dydx
SOL : π +
1
2
R1R1
( iii) 0 0 (xyex+y ) dydx (SOL : 1)
R0 R2
( iv) −1 1 (−x log y) dydx SOL : log 2 − 12
R 1 R x2
( v) 0 0 dydx SOL : 13
R 1 R x2
1
( vi) 0 x3 y dydx SOL : 35
R π R cos x
( vii) 02 0
(y sin x) dydx SOL : 16
R 1 R |x|
2
( viii) −1 −2|x| ex+y dydx SOL : e2 + 1e + 3e13 − 56
7.− Sea D = {(x, y) ∈2 , a ≤ x ≤ b, −φ(x) ≤ y ≤ φ(x)}, donde φ(x) es una funcin
no negativa y continua en [a, b]. Sea f (x, y) definida y continua en D tal que
f (x, y) = −f (x, −y) para todo (x, y) ∈ D. Probar que
Z
f (x, y)dxdy = 0.
D
8.− Colocar los lmites de integracin, en ambos rdenes, para los siguientes recintos:
( i) Tringulos de vrtices (0, 0), (1, 0), (1, 1) y (0, 0), (2, 1), (−2, 1).
( ii) Trapecio de vrtices (0, 0), (1, 0), (1, 2), (0, 1).
( iii) Crculos x2 + y 2 ≤ 1 y x2 + y 2 ≤ y.
( iv) Anillo 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4.
( v) y − 2x ≤ 0, 2y − x ≥ 0, xy ≤ 2.
9.− Cambiar el orden de integracin en las integrales dobles:
R 1 R x2
( i) 0 x3 f (x, y) dy dx.
R 2a R √2ax
( ii) 0 √2ax−x2 f (x, y) dy dx.
p 2
R 2 R 4−x
( iii) −2 p 2 2 f (x, y) dy dx.
4−x
2
−
( iv)
R 2 R 2x
( v)
R 1 R x2
( vi)
R e R log x
1
0
1
x
0
0
f (x, y) dy dx.
f (x, y) dy dx +
R3R
1
3−x
2
0
f (x, y) dy dx .
f (x, y) dy dx .
10.−
( i) Sean D = [a, b] × [c, d], f continua en [a, b] y g continua en [c, d]. Probar
que
"Z
# "Z
#
Z
b
d
[f (x)g(y)] dxdy =
f (x)dx
g(y) dy .
D
a
c
( ii) El resultado sigue siendo cierto si D = {(x, y) ∈2 , a ≤ x ≤ b, φ1 (x) ≤
y ≤ φ2 (x)}?.
3
( φ1 , φ2 : [a, b] −→ son continuas.)
11.− Calcular
siguientes integrales:
R 4 Rlas
2
2
( i) 0 y/2 ex dxdy SOL : e4 − 1
( ii)
R 1 R π/4
( iii)
0
√
SOL : 51 (4 2 − 1)
5
arctan y
R
[0,π]×[0,1]
(sec x) dxdy
|y − sin x| dxdy. (SOL : π − 2)
Z
12.− Sea D = [0, 1]x[0, 1]. Calcular
xy dxdy utilizando la definicin.
D
SOL :
1
4
13.−
( i) Sea D = [0, 1] × [0, 1]. Probar que
1
(1 − cos 1) ≤
2
Z
D
sin x
dx dy ≤ 1.
1 + (xy)4
( ii) Sea D = [−π, π] × [−π, π]. Probar que
1
1
≤
e
4π 2
Z
esin(x+y) dx dy ≤ e.
D
14.− Probar que:
Z
x
Z
t
I
x
(x − u)F (u) du.
F (u) du dt =
0
o
0
15.− Calcular
siguientes integrales iteradas:
R 1 Rlas
2R3
( i) 0 1 2 cos[π(x + y + z)] dx dy dz (SOL : 0)
R1RxRy
7
( ii) 0 0 0 (y + xz) dz dy dx SOL : 60
R 2 R x R x+y
( iii) 0 0 0
dz dy dx (SOL : 4)
R1RzRy
1
( iv) 0 0 0 xy 2 z 3 dx dy dz SOL : 90
R 1 R y R √x
x
π
SOL : 12
( v) 0 0 0 3 x2 +z
2 dz dx dy
R2RzR2
( vi) 1 1 1 yz 2 dx dy dz SOL : 49
20
y
16.−
( i) Sea W un conjunto acotado cuya frontera est formada por grficas de
funciones continuas. Supongamos que W es simetrico respecto del plano
XY , es decir: si (x, y, z) ∈ W entonces, (x, y, −z) ∈ W . Sea f (x, y, z)
continua sobre W y tal que f (x, y, z) = −f (x, y, −z). Probar que
Z
f (x, y, z) dV = 0.
W
4
Z
( ii) Utilizar (i) para probar que
(1 + x + y)dV = 4π/3 , donde W es la
W
bola unitaria de centro (0, 0).
17.− Cambiar el orden de integracin en las siguientes integrales:
Z 1 Z 1−x Z x+y
f (x, y, z) dz dy dx
( i)
0
0
0
1
Z
( ii)
−1
Z
1
Z √1−x2 Z
√
− 1−x2
Z
1
Z
1
√
f (x, y, z) dz dy dx
x2 +y 2
x2 +y 2
f (x, y, z) dz dy dx
( iii)
0
0
0
18.− Calcular
Z las siguientes integrales en los recintos que se indican:
dx dy dz
( i)
; W limitado por los planos 1 = x+y +z, x = 0, y =
3
W (1 + x + y + z)
0, z = 0.
5
SOL : Ln2
2 − 16
RRR
( ii)
x2 cos z dx dy dz; W es la regin acotada por z = 0, z = πy = 0,
W
y = 1, x = 0, x + y = 1.
RRR
( iii)
1 − z 2 dx dy dz; W es la pirmide con vrtice superior en (0, 0, 1)
W
y vrtices de la base en (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0).