La distribución beta generalizada de segunda especie como

ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
Vol. 51, núm. 170, 2009, págs. 33 a 62
La distribución beta generalizada de
segunda especie como modelo de la
distribución personal de la renta
en España(*)
por
MERCEDES PRIETO ALAIZ
Universidad de Valladolid
y
CARMELO GARCÍA PÉREZ
Universidad de Alcalá
RESUMEN
El objetivo de este trabajo es estudiar la adecuación de distintos modelos paramétricos para la descripción de la distribución
personal de la renta en España. Para realizar este estudio, se parte de la distribución beta generalizada de segunda especie, que
anida, entre otros, los modelos que tradicionalmente se han utilizado para describir la distribución personal de la renta en España.
Tras un proceso de estimación y validación de las distintas funciones de distribución propuestas, se seleccionan las que presentan
mejores ajustes en el caso español, que resultan ser las distribuciones beta generalizada de segunda especie, Dagum y Singh-
(*) Trabajo financiado por el Instituto de Estudios Fiscales del Ministerio de Economía
y Hacienda. Los autores agradecen los comentarios y sugerencias de dos evaluadores
anónimos que han contribuido a mejorar este trabajo.
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
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Maddala. Los ajustes se llevan a cabo con los datos de renta pertenecientes a la Encuesta de Condiciones de Vida de los años
2004 y 2005.
Palabras clave: Distribución personal de la renta, Beta generalizada de segunda especie, Modelo Dagum, Modelo SinghMaddala.
Clasificación AMS: 62E17, 60E05, 62P20.
1. INTRODUCCIÓN
La modelización paramétrica de la distribución personal de la renta (DPR)
permite su caracterización mediante un número escaso de parámetros, sin que
ello suponga una pérdida de información importante (Dagum, 1977). De este
modo, se puede simplificar cualquier estudio que tenga como objetivo el análisis
económico de los distintos aspectos distributivos. Así pues, la comparación
entre dos distribuciones, a través del tiempo o del espacio, se puede realizar
analizando la evolución de los parámetros estimados (Bandourian, McDonald y
Turley, 2003, García, Callealta y Núñez, 2006). Otro ejemplo de aplicación se
localiza en el campo de la medición de la desigualdad y la pobreza: los índices
de desigualdad y de pobreza, generalmente, se pueden expresar como una
función de los parámetros, de tal forma que la estimación de aquéllos y el
análisis de sus propiedades estadísticas se pueden realizar de forma sencilla.
De igual forma, se puede analizar el impacto de ciertas acciones del Estado
sobre la DPR estudiando la repercusión que tienen sobre el valor de las estimaciones de los parámetros de los modelos paramétricos (Dastrup, Hartshorn y
McDonald, 2007).
Desde que Pareto (1896) propusiera y estimara la primera ley para la DPR,
muchos han sido los modelos que se han empleado(1). Algunos han sido formulados específicamente para la renta, otros han sido trasladados desde otros
campos debido a que proporcionaban un buen ajuste.
Los trabajos sobre la modelización paramétrica de la DPR, a partir de la década de los 90, tienen objetivos diversos, abandonando así la casi exclusiva
sucesión de propuestas de nuevos modelos de las décadas de los 70 y los 80.
(1)
Una relación exhaustiva de estos modelos puede verse en Kleiber y Kotz (2003).
LA DISTRIBUCIÓN BETA GENERALIZADA DE SEGUNDA ESPECIE COMO MODELO …
35
Así pues, entre estos trabajos, además de propuestas de modelos(2), podemos
encontrar desarrollos de modelos económicos que generan distribuciones
paramétricas (Creedy, Lye y Martin, 1996; Parker, 1996; 1999), aplicaciones de
la modelización paramétrica a estudios macroeconómicos (Jäntti y Jenkins,
2001) o detalladas comparaciones de modelos (Bandourian, McDonald y Turley,
2002).
En un campo más interdisciplinar, también se desarrolla una línea de trabajos basados en distribuciones multivariantes y sus condicionadas. En esta línea,
Arnold, Castillo y Sarabia (2007) proponen varias familias paramétricas a partir
de la construcción de Rosenblatt. Este tipo de trabajos, con elevado rigor y
complejidad matemática, contienen propuestas teóricas interesantes que, en el
futuro, deberán incorporarse al estudio conjunto de distribuciones condicionadas
de renta en diferentes momentos del tiempo, diferentes tipos de ingresos, etc.
Esta es la idea que sugieren Arnold, Castillo y Sarabia (2007), que aplican su
propuesta teórica a los datos del Panel de Hogares de la Unión Europea.
Las aplicaciones empíricas, los desarrollos y las generalizaciones de familias
de modelos siguen siendo también objeto de trabajos, como los de Dastrup,
Hartshorn y McDonald (2007) y Jenkins (2007), basados ambos en la distribución beta generalizada de segunda especie (GBII). Este modelo es muy utilizado
en la actualidad por sus buenos ajustes y porque incluye muchos otros modelos
como casos anidados o límites(3).
Siguiendo esta línea de investigación, en este estudio se desarrollará un
análisis a partir de la estimación de la distribución GBII y de los distintos modelos que anida, entre ellos, la distribución de Dagum y la Singh-Maddala que
según diferentes trabajos presentan los mejores ajustes al caso español (Callealta, Casas y Núñez, 1996; Prieto-Alaiz y Victoria-Feser, 1996; García, Callealta y Núñez, 2006).
No obstante, a pesar de lo atractiva que pueda resultar la modelización paramétrica de la DPR, hay que ser conscientes de que la validez de todos los
análisis derivados a partir de ella dependerá, en última instancia, de si el modelo
estimado describe bien la DPR. Para conseguir tal objetivo, en este trabajo, se
llevará a cabo un proceso de especificación, estimación y validación de cada
uno de los modelos que se consideran.
(2) Por ejemplo, la distribución de elasticidad cuadrática propuesta por Bordley,
McDonald y Mantrala (1996).
(3) Véanse, entre otros, Bordley, Mcdonald y Mantrala, 1996; Brachmann, Stich y
Trede, 1999; Butler y McDonald 1989; McDonald, 1984 y McDonald y Xu, 1995.
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ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
La estructura del trabajo es la siguiente. En primer lugar, en el marco de los
aspectos generales de la modelización paramétrica, se presentan las características de la distribución beta generalizada de segunda especie. En la sección 3,
se describe el procedimiento de estimación, la selección de modelos y las
medidas de bondad del ajuste utilizadas. En la siguiente sección se presentan
los datos utilizados y las opciones metodológicas en relación con el concepto de
renta cuya distribución se modeliza. Finalmente, se muestran los resultados del
estudio y las conclusiones del mismo.
2. MODELOS PARAMÉTRICOS PARA LA DISTRIBUCIÓN PERSONAL DE
LA RENTA: LA DISTRIBUCIÓN BETA GENERALIZADA DE SEGUNDA
ESPECIE.
El punto de partida de la modelización paramétrica de la distribución personal de la renta (DPR) es un modelo de probabilidad definido por una familia de
funciones de distribución {F(x; θ), θ ∈ Θ} donde θ es un vector de parámetros
desconocidos de orden (px1) y Θ ⊂ Rp es el espacio paramétrico, o por su
correspondiente familia de funciones de densidad, {f(x; θ), θ ∈ Θ} .
La elección de una determinada forma funcional, en general, queda determinada por las características específicas del fenómeno que tratemos de analizar.
En principio, cualquier familia de funciones de distribución podría servir para
modelizar la DPR, por lo que parece necesario restringir este numeroso conjunto a un subconjunto de funciones que posean una serie de propiedades(4).
Estas propiedades pueden estar basadas en características regulares de las
distribuciones de renta observadas (por ejemplo, la asimetría positiva); en
características matemáticas deseables (por ejemplo, que sea dos veces diferenciable); o en propiedades económicas (por ejemplo, que se genere como resultado de un modelo económico subyacente).
En este artículo, el punto de partida es la distribución tetraparamétrica propuesta por McDonald (1984), es decir, la distribución beta generalizada de
segunda especie (GBII(5). La elección de esta forma funcional está motivada,
(4) Autores, como Aitchinson y Brown (1957), Dagum (1977), Dagum (1990), Majunder y Chakravarty (1990) y Callealta, Casas y Núñez (1996) han propuesto diferentes listas
de propiedades exigibles a un modelo de la DPR.
(5) Kleiber y Kotz (2003) presentan un estudio muy completo sobre las distribuciones
utilizadas en la modelización paramétrica de la distribución de la renta que se derivan de
la GBII.
LA DISTRIBUCIÓN BETA GENERALIZADA DE SEGUNDA ESPECIE COMO MODELO …
37
por una parte, por los buenos ajustes que proporciona para distribuciones de
renta de numerosos países (véase Brachmann, Stich y Trede, 1996; Dastrup,
Hartshorn y McDonald, 2007 y Jenkins, 2007). Por otra parte, esta función
anida, tal y como mostraremos posteriormente, diferentes modelos de distribuciones de la renta, por ejemplo las distribuciones Dagum(6) (Dagum, 1977) y
Singh-Maddala (Singh y Maddala, 1976) que se han mostrado especialmente
adecuadas para el caso español en periodos precedentes al que se analiza en
este artículo.
La expresión de la función de densidad de la distribución beta generalizada
de segunda especie es la siguiente:
f(x) =
ax ap −1
a
b B(p,q)(1 + ( x b ) )p + q
ap
,
x≥0
donde a,b,p,q > 0 y B( p, q ) es la función beta.
Las distribuciones triparamétricas Dagum y Singh-Maddala corresponden a
casos particulares de la distribución GBII cuando q = 1 y p = 1, respectivamente.
El gráfico 1 muestra la riqueza de modelos relacionados con la distribución
GBII, que incluye, además de los mencionados, los modelos triparamétricos
beta de segunda especie y gamma generalizada, y los modelos de dos parámetros lognormal, gamma, Weibull y Fisk.
(6) El modelo Dagum anidado por la GBII es la distribución Dagum triparamética o
de tipo I. De aquí en adelante, lo denominaremos simplemente modelo Dagum.
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
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Grafico 1
DISTRIBUCIONES RELACIONADAS CON LA GBII
GBII
q→∞
q=1
a=1
Gamma G
p=1
Beta II
S-M
Dagum
q→∞
a→ 0
Lognor
a=1
Gamma
p=1
q→∞
q=1
Weibull
p=1
Fisk
Fuente: McDonald (1984)
3. ESTIMACIÓN, SELECCIÓN DE MODELOS Y ANÁLISIS DE LA BONDAD
DEL AJUSTE
Una vez seleccionado un modelo de probabilidad para la DPR, el siguiente
paso es estimar el vector de parámetros desconocidos, θ = θ1 ,, θ p ' . La
variedad de estimadores que se pueden obtener es muy amplia; por tanto, es
preciso fijar unos criterios para poder discernir entre ellos. Dado que las propiedades finitas de los estimadores de los parámetros de la DPR son difícilmente
conocidas, ya que son funciones no lineales de la muestra, nos centraremos en
los procedimientos de estimación que proporcionan estimadores que son eficientes asintóticamente (véase Rao 1973, p. 351 y Ghosh, 1994, p.4). Entre
este tipo de estimadores se encuentran los obtenidos por el método de máxima
verosimilitud, que es el utilizado en este trabajo. Se ha aplicado el principio de
máxima verosimilitud sobre los datos de rentas individuales ponderadas por los
pesos debidos al diseño muestral y al tamaño de cada hogar, según los ficheros
correspondientes de la Encuesta de Condiciones de Vida (ECV)(7).
(
)
(7) Otras formas de estimar los parámetros de los modelos de probabilidad que se
han empleado en el caso de la DPR son el método de mínimos cuadrados no lineales
(véase Dagum, 1980) y los métodos robustos basados en la obtención de estimadores
con la función de influencia acotada (véase Victoria-Feser, 2000).
LA DISTRIBUCIÓN BETA GENERALIZADA DE SEGUNDA ESPECIE COMO MODELO …
39
En nuestro caso, las estimaciones máximo verosímiles son la solución de un
sistema de ecuaciones no lineales que se ha resuelto aplicando el algoritmo de
Newton-Raphson implementado en lenguaje C. Los valores iniciales de los
parámetros se han elegido a partir de las estimaciones por mínimos cuadrados
no lineales y a través de una búsqueda reticular con una precisión de una
décima.
Siguiendo el esquema del gráfico 1, en primer lugar, se han estimado los parámetros de las distintas distribuciones y, a continuación, se han realizado
sucesivamente los contrastes anidados para seleccionar el mejor modelo,
partiendo de aquéllos con mayor número de parámetros y comparando, mediante ratios de logaritmos de la función de verosimilitud, si son significativas las
mejoras que introducen los modelos no restringidos sobre los anidados. Es
decir, se ha utilizado el siguiente estadístico de razón de verosimilitudes:
2 [LnL − LnL * ] ⎯⎯⎯→
χr2
n →∞
donde LnL y LnL* son, respectivamente, los logaritmos neperianos de las funciones de verosimilitud de la muestra para el modelo sin restricciones y para el
modelo anidado. Bajo muestreo aleatorio simple y si el modelo restringido es el
verdadero, dicho estadístico se distribuye asintóticamente como una distribución
χ 2r , donde los grados de libertad (r) son la diferencia entre el número de parámetros del modelo sin restricciones y el número de parámetros del modelo
anidado (véase, por ejemplo Cox y Hinkley, 1974)(8).
Para las comparaciones entre modelos no anidados se han utilizado diferentes criterios de bondad de ajuste. En primer lugar, se han analizado los gráficos
que muestran las discrepancias entre la función de distribución empírica y la
función de distribución estimada, los conocidos como gráficos de probabilidad
(PP-plots).
Otra manera de analizar la adecuación de un modelo a los datos se basa en
la realización de contrastes de bondad del ajuste(9). La hipótesis nula de este
tipo de contrastes consiste en suponer que una determinada función de distribu-
(8) Aunque la distribución del estadístico de contraste se deduce bajo muestreo aleatorio simple, es frecuente la utilización de este tipo de contrastes con datos procedentes
de un diseño muestral semejante al que se emplea en la Encuesta de Condiciones de Vida
(Bandourian, McDonald y Turley, 2002; McDonald, Dastrup y Hartshorn, 2006).
(9) En el libro de D’Agostino y Stephens (1986) se puede encontrar una recopilación
de las técnicas para analizar la bondad de los ajustes.
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
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ción es la que genera los datos. La mayoría de los estadísticos de contraste
utilizados se basan en las diferencias entre el modelo asumido bajo la hipótesis
nula y la función de distribución empírica. Podemos diferenciar dos tipos de
contrastes de bondad de ajuste dependiendo de que los estadísticos de prueba
se calculen para datos individuales o agrupados. Así, los estadísticos de Kolmogorov-Smirnov, Cramer-Mises o Anderson-Darling son ejemplos del primer tipo y
las pruebas estadísticas basadas en la distribución χ2 son adecuadas para el
caso de datos agrupados. En este trabajo, se obtendrán los estadísticos indicados para el caso de datos individuales, por ser éste el tipo de datos utilizado
para realizar los ajustes.
Los estadísticos de bondad de ajuste serán empleados únicamente como
medidas descriptivas de la aproximación de las dos distribuciones comparadas,
ya que, para la realización de los contrastes se requiere una función de distribución totalmente especificada, por lo que los parámetros no pueden ser sustituidos por estimaciones máximo verosímiles obtenidas con la misma muestra, sin
alterarse las distribuciones asintóticas de dichos estadísticos. Así, en el caso de
que la hipótesis nula sea simple, tanto la distribución finita como la asintótica de
estos estadísticos es conocida y está tabulada (véase, por ejemplo, Stephens,
1986). Sin embargo, en el caso de que la hipótesis nula sea compuesta, la
distribución de los estadísticos de contraste es, en general, desconocida(10).
Stephens (1986) indica que esta distribución depende de la distribución que se
asume bajo H0, de los parámetros estimados, del método de estimación y del
tamaño muestral. Por tanto, como Stephens (1986) y Gibbons y Chakrabarty
(1992) advierten, los valores críticos obtenidos considerando que la hipótesis
nula es simple, pueden llevar a obtener conclusiones falsas.
Los estadísticos que se han calculado para cada ajuste son los siguientes:
• El estadístico de Kolmogorov-Smirnov:

D = sup Fn ( x ) − F x; θ 


( )
• El estadístico de Cramer-von Mises:
∞
2
W =n
 (F ( x ) − F ( x; θˆ ))
n
2
dF( x; θˆ )
0
(10) Una forma de aproximar la distribución de estos estadísticos es mediante técnicas bootstrap.
LA DISTRIBUCIÓN BETA GENERALIZADA DE SEGUNDA ESPECIE COMO MODELO …
41
• El estadístico de Anderson-Darling:
∞
2
A =n
 (F ( x ) − F ( x; θˆ ))
2
n
0
( )(
( ))
−1
F X; θˆ 1 − F X; θˆ  dF( x; θˆ )


Cada uno de estos estadísticos tiene sus particularidades. Por ejemplo, el
estadístico de Anderson-Darling pondera fuertemente las desviaciones existentes en las colas, mientras que el estadístico de Cramer-von Mises aplica una
menor ponderación a este tipo de rentas. El estadístico de Kolmogorov-Smirnov
se centra, sin embargo, en la distancia máxima entre las dos funciones de
distribución comparadas.
Finalmente, también se utilizará, siguiendo a Brachmann, Stich y Trede
(1996), un estadístico que permite comparar la función de densidad teórica y
una aproximación no paramétrica a la función de densidad empírica que definiría el histograma originado por la muestra. Pasamos, a continuación, a detallar
el planteamiento subyacente a este estadístico.
Si disponemos de una muestra aleatoria simple de tamaño n, (X1,X2,...,Xn),
obtenida de una población con función de densidad continua f(x), el estimador
no parámetrico de la función de densidad propuesto por Parzen (1962) sería:

1
f (x) =
nh
n
 K 
i =1
donde K ( u ) es una función Kernel tal que
x − Xi 
h 
 K (u) du = 1
y h>0 es la amplitud
(tamaño) de la ventana o parámetro de suavizado. Para que este estimador sea
consistente debe cumplirse que h → 0 y nh → ∞ cuando n → ∞ (Silverman,
1986).
Si queremos contrastar la hipótesis:
Ho :f ( x ) = f0 ( x, θ )
donde los parámetros pueden estar especificados o ser las estimaciones máximo verosímiles(11), entonces, como estadístico de contraste podría utilizarse la
siguiente distancia cuadrática:
(11) Bajo determinados supuestos adicionales (Bickel y Rosenblatt, 1973).
42
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
H=


 ( f ( x ) − f ( x, θ))
0
2
dx
Sin entrar en los aspectos inferenciales sobre la distribución asintótica de este estadístico (Bickel y Rosenblatt, 1973), en este trabajo se utilizará H como
medida descriptiva para comparar distribuciones, dado que proporciona una
interpretación intuitiva asociada a la cuantificación de las distancias observadas
entre el histograma y la función de densidad.
4. DATOS UTILIZADOS
Los datos de renta utilizados en este estudio proceden de la Encuesta de
Condiciones de Vida (ECV), traducción castellana de la terminología European
Statistics on Income and Living Conditions (EU-SILC). Esta fuente estadística de
ámbito comunitario proporciona información sobre la distribución de ingresos en
Europa y fue creada para que sirviera de ayuda en la formulación de políticas
sociales y en el estudio de sus efectos, permitiendo además la comparabilidad
entre los Estados miembros de la Unión Europea.
La ECV sustituye al Panel de Hogares de la Unión Europea que desempeñó
la misma función entre 1994 y 2001. Desde el año 2004, se generan ficheros de
microdatos, con una periodicidad anual, relativos a características de los hogares privados y de las personas que viven en ellos(12). El diseño de la muestra
es de un panel rotatorio donde una cuarta parte de la muestra es sustituida cada
cuatro años. La ECV suministra datos del hogar y de las personas que lo forman
(renta desagregada en sus componentes, sexo, edad de los miembros, etc.), así
como ciertos indicadores de privación de los hogares.
Para reflejar la posición económica de los individuos, tradicionalmente, se
han utilizado tres variables: el ingreso, el gasto y la riqueza. Quizás la menos
utilizada haya sido la riqueza por las dificultades que entraña su valoración13.
Generalmente, la controversia se ha establecido en la elección de los ingresos o
los gastos en consumo, sin llegarse, en la actualidad, al consenso. Los que
consideran los ingresos como variable más adecuada en los estudios distributivos sostienen que, entre otras ventajas, los ingresos reflejan la capacidad de los
(12) Una información ampliada sobre éstas y otras cuestiones relacionadas con la
metodología de la ECV se pueden encontrar en INE (2005).
(13) El trabajo de Naredo (1993) es uno de los escasos estudios realizados basados en
la valoración de la riqueza.
LA DISTRIBUCIÓN BETA GENERALIZADA DE SEGUNDA ESPECIE COMO MODELO …
43
individuos para satisfacer sus necesidades (independientemente si se materializan o no). Otros autores señalan que el gasto es la variable idónea en el análisis
de la desigualdad, puesto que está más relacionada con la renta permanente y
menos influenciada por las variaciones transitorias de los ingresos.
Quizás los argumentos que más peso han tenido para elegir una variable en
lugar de la otra han sido los de índole práctico, y relacionados con la fiabilidad
de los datos. En nuestro caso, a diferencia de otras encuestas, la ECV está
diseñada para recoger los datos de ingresos siguiendo las recomendaciones del
International Expert Group on Household Income Statistics(14). Dichas recomendaciones constituyen una guía para reconciliar la definición teórica de la
renta con las dificultades prácticas que surgen en la recopilación de los datos de
ingresos. Así pues, partiendo de los datos de ingresos de la ECV, el concepto
de renta que será objeto del estudio es el de renta disponible equivalente per
capita, que incluye los ingresos totales del hogar (monetarios y no monetarios)
después de sumar transferencias y deducir los impuestos y contribuciones a la
seguridad social.
La segunda opción que se plantea tiene que ver con la unidad de análisis. La
alternativa del hogar es la opción natural, ya que es la unidad de recogida de
datos de la ECV. Sin embargo, se considera que la unidad elemental en los
análisis del bienestar económico es el individuo, en lugar del hogar(15). En esta
investigación, se adopta la solución más habitual que es analizar la distribución
de renta entre personas, donde cada hogar recibe una ponderación igual al
número de sus miembros. Esto implica que se asume que todos los miembros
de un hogar comparten la misma posición económica(16). Por tanto, cada hogar
recibe una ponderación proporcional al número de sus miembros y al peso que
le asigna el diseño muestral.
La última cuestión metodológica surge al comparar rentas de hogares con
diferente tamaño y composición. La forma más sencilla de tener en cuenta el
tamaño y la composición es asignando a cada individuo la renta total del hogar
en el que vive divida entre el número de miembros, es decir, la renta per cápita.
(14) El International Expert Group on Household Income Statistics (‘el grupo de Canberra’) desarrolló desde 1996 a 2001 una guía sobre cómo preparar estadísticos armonizados y comparables sobre la distribución de la renta (International Expert Group on
Household Income Statistics, 2001).
(15) Danzinger y Taussing (1979) y Cowell (1984) discuten en profundidad todos los
aspectos relacionados con unidad receptora de renta.
(16) Esta hipótesis ha sido criticada, porque conlleva una subestimación del nivel de
desigualdad (se puede ver, por ejemplo, Haddard y Kanbur, 1990 y Kanbur, 2003).
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
44
Según Coulter et al. (1992), el inconveniente de usar la renta per cápita es que
no tiene en cuenta que el coste marginal de una persona más en el hogar puede
cambiar cuando el tamaño del hogar cambia y que los miembros del hogar
tienen diferentes necesidades. En consonancia con los trabajos de EUROSTAT
para elaborar los indicadores Laeken y para facilitar la comparabilidad de los
resultados con otros trabajos, se utilizará la escala de la OCDE modificada, que
asigna un peso de 1 al primer adulto, 0,5 al resto de los adultos y 0,3 a los
menores de 14 años.
La tabla 1 muestra los diferentes tamaños muestrales y algunas de las medidas más representativas de la distribución de la renta en España, en los años
2003 y 2004, obtenidas a partir de la ECV.
Tabla 1
PRINCIPALES RESULTADOS SOBRE LA DISTRIBUCIÓN DE LA RENTA
EN ESPAÑA A PARTIR DE LA ENCUESTA DE CONDICIONES DE VIDA
(MILES DE EUROS)
2003
2004
Media muestral
11,732
12,201
Primer cuartil
7,026
7,134
Mediana muestral
10,460
10,616
Tercer Cuartil
14,786
15,476
Desviación típica
7,110
7,780
Índice de Gini
0,3031
0,3152
n (hogares)
14.545
12.867
n (personas)
41.029
37.110
5. RESULTADOS
Los resultados obtenidos en el proceso de estimación descrito en la sección
3 se presentan en las tablas 2 y 3. En estas dos últimas tablas, se recogen las
estimaciones de cada parámetro acompañadas de su error estándar y del
logaritmo neperiano de la función de verosimilitud (LnL), que es, además de una
medida de la bondad del ajuste, la función objeto de optimización en la estimación de cada modelo. Según esta medida, el modelo GBII sería el más adecuado en los dos años analizados, seguido de la distribución de Dagum y la SinghMaddala. Entre las distribuciones biparamétricas, la distribución Fisk es la que
LA DISTRIBUCIÓN BETA GENERALIZADA DE SEGUNDA ESPECIE COMO MODELO …
45
produce mejores resultados superando incluso a las distribuciones triparamétricas beta de segunda especie y gamma generalizada, que la siguen por este
orden. Los peores ajustes se producen con las distribuciones gamma, Weibull y
lognormal. Estos rasgos básicos de la ordenación permanecen inalterables en
los dos años analizados, lo que indica la estabilidad de la forma de la distribución personal de la renta en España entre 2003 y 2004.
Tabla 2
RESULTADOS DE LA ESTIMACIÓN. AÑO 2003
GBII
Dagum
SM
a
i
3,8580
(0,0549)
2,5385
(0,0292)
b (β)
1,3556
(0,0275)
1,3065
(0,01434)
1,4612
(0,0357)
p
0,6761
(0,0493)
0,5736
(0,0149)
q
1,2453
(0,1126)
LnL
-34458224
Orden
1
GG
Fisk
a
0,8331
(0,0370)
3,0262
(0,0210)
b (β)
0,1942
(0,0358)
1,0211
(0,0049)
p
4,3771
(0,3650)
B2
6,0556
(0,8685)
3,6807
(0,0850)
1,9683
(0,0829)
20,0091
(2,3592)
-34468644
-34504880
-35021556
2
3
5
Gamma
0,3757
(0,0046)
LN
Weibull
μ=0,0088
(0,0052)
1,7667
(0,0114)
σ2 =0,3868
(0,0045)
1,3220
(0,0065)
3,1231
(0,0348)
q
LnL
Orden
-35164944
6
-35011464
4
-35215112
-36847136
-36675032
7
8
9
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46
Tabla 3
RESULTADOS DE LA ESTIMACIÓN. AÑO 2004
GBII
Dagum
SM
B2
a
3,0865
(0,1847)
3,6673
(0,0555)
2,3816
(0,0290)
b (β)
1,4457
(0,0357
1,3583
(0,0167)
1,5855
(0,0453)
p
0,7028
(0,0549)
0,571526
(0,0157)
q
1,3488
(0,1336)
LnL
-40267004
Orden
1
6,3510
(0,9347)
3,3312
(0,0783)
2,0959
(0,0975)
18,3332
(2,2162)
-40288432
-40315176
-40917148
2
3
5
GG
Fisk
Gamma
a
0,9039
(0,0388)
2,8792
(0,0212)
b (β)
0,2209
(0,0204)
1,0471
(0,0056)
0,4285
(0,0055)
p
3,4218
(0,2709)
0,571526
(0,0157)
2,8475
(0,0336)
LnL
-41063588
-40914756
Orden
6
4
LN
Weibull
μ=0,0132
(0,0059)
1,6898
(0,0116)
σ2 =0,4541
(0,0057)
1,3707
(0,0075)
q
-41084832
7
-44078156
8
-42451024
9
Por otra parte, con el fin de relacionar la bondad del ajuste con la parsimonia
de los modelos, se han realizado varios contrastes anidados para verificar si los
modelos generales, con más parámetros, eran mejores que los restringidos. Los
resultados de estos contrastes (tablas A.1 y A.2) permiten concluir que las
LA DISTRIBUCIÓN BETA GENERALIZADA DE SEGUNDA ESPECIE COMO MODELO …
47
mejoras en la medida de bondad LnL son todas significativas, por lo que, tras
realizar estas pruebas, la mejor distribución sigue siendo la GBII, que presenta
una mejora significativa sobre las distribuciones Dagum y Singh-Maddala, las
siguientes en la ordenación en cuanto a bondad de ajuste.
Las conclusiones obtenidas a partir de la medida LnL quedan, en general,
refrendadas por los resultados de las restantes medidas de bondad de ajuste
presentadas en las tablas 4 y 5. De acuerdo con estas tablas, las mejores
distribuciones siguen siendo la GBII, Dagum y Singh-Maddala, aunque ésta
última produce los mejores resultados para las medidas de bondad de ajuste
Anderson-Darling, Kramer von-Mises y Kolmogorov-Smirnov en los dos años
considerados. La distribución Fisk sigue siendo la mejor distribución biparamétrica superando a las triparaméticas beta de segunda especie y gamma generalizada. En la última posición se alternan la distribución logarítmico normal y la
Weibull.
Tabla 4
MEDIDAS DE BONDAD DE AJUSTE. AÑO 2003
LnL
A2
CR
KS
H
GBII
-34458224
14793
1799
0,0122
0,0548
Dagum
-34468644
20997
2999
0,0127
0,0562
SM
-34504880
9548
1040
0,0096
0,0595
B2
-35021556
85261
13593
0,0237
0,1199
GG
-35164944
98408
14889
0,0276
0,1225
Fisk
-35011464
66268
11251
0,0232
0,1055
Gamma
-35215112
106081
15944
0,0294
0,1163
LN
-36675032
411543
80534
0,0468
0,2868
Weibull
-36675032
553122
87915
0,0559
0,2969
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
48
Tabla 5
MEDIDAS DE BONDAD DE AJUSTE. AÑO 2004
LnL
A2
CR
KS
H
GBII
-40267004
23325
3222
0,0163
0,0597
Dagum
-40288432
27249
4167
0,0167
0,0569
SM
-40315176
17639
2100
0,0146
0,0667
B2
-40917148
77986
11258
0,0274
0,1156
GG
-41063588
92849
13609
0,0291
0,1121
Fisk
-40914756
21816
3088
0,0201
0,0864
Gamma
-41084832
99491
15003
0,0291
0,1086
LN
-44078156
386150
70423
0,0532
0,2516
Weibull
-42451024
401263
64227
0,0583
0,1890
Las medias y los índices de Gini obtenidos con cada modelo (Tabla 6) revelan también la adecuación de las distribuciones mencionadas hasta el momento.
Todas las distribuciones generan estimaciones del índice de Gini menores que
la estimación puntual no paramétrica, aunque la distribución Singh-Maddala es
la que produce valores más próximos, seguida por la GBII y la distribución de
Dagum. La distribución Fisk, en este caso, genera valores alejados de la estimación muestral del índice de Gini, mientras que la gamma biparamétrica
produce valores más aproximados que la gamma generalizada y la beta de
segunda especie. Los resultados obtenidos para la renta media revelan la
adecuación de algunos estimadores máximo verosímiles, como los de la distribución gamma, para la estimación de la media de la distribución. La distribución
gamma generalizada también produce una buena estimación, mientras que las
distribuciones lognormal y Fisk generan resultados muy alejados de la estimación muestral de la media.
LA DISTRIBUCIÓN BETA GENERALIZADA DE SEGUNDA ESPECIE COMO MODELO …
49
Tabla 6
RENTAS MEDIAS E ÍNDICES DE GINI MUESTRALES Y ESTIMADOS
A PARTIR DE LOS MODELOS
2003
GBII
2004
Media
Gini
Media
Gini
1,1721
0,3042
1,2184
0,3180
Dagum
1,1760
0,3059
1,2248
0,3210
SM
1,1707
0,3036
1,2168
0,3168
B2
1,1725
0,3103
1,2206
0,3248
GG
1,1730
0,3089
1,2200
0,3215
Fisk
1,2305
0,3304
1,2878
0,3473
Gamma
1,1732
0,3068
1,2201
0,3201
LN
1,2027
0,3399
1,2716
0,3663
Weibull
1,1767
0,3245
1,2235
0,3365
Muestral
1,1732
0,3031
1,2201
0,3152
Nota: Las rentas medias en unidades de diez mil euros
Para introducir más detalle en el análisis de la adecuación de los modelos,
vamos a tratar a continuación la información que nos proporcionan los gráficos
de probabilidad (PP-plots), que permiten detectar los percentiles de la distribución empírica donde se producen las mayores o menores desviaciones respecto
al modelo teórico.
El rasgo más sobresaliente de las comparaciones entre gráficos es la estabilidad en los comportamientos de los ajustes entre los años 2003 y 2004, de
forma que se obtienen conclusiones similares para ambos cortes temporales.
Así pues, por simplicidad, en el Anexo, sólo se presentan los gráficos correspondientes al año 2004.
Para el caso de las distribuciones GBII, Dagum y Singh-Maddala, se observa
una gran aproximación entre la función de distribución empírica y teórica (gráficos A.1 y A.2). El tramo en el que se producen las mayores distancias entre
funciones teóricas y empíricas es el primer cuartil de la distribución, donde la
desviación en forma curva de la función de distribución empírica es muy semejante en los tres modelos. Este hecho revela la similitud del comportamiento de
las tres funciones teóricas en la modelización de la cola inferior de la distribución, que es donde se presentan las mayores desviaciones.
50
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
La distribución beta de segunda especie y gamma generalizada (gráfico A.2)
presentan mayores desviaciones entre la función teórica y la empírica a lo largo
de todos los percentiles. Ambas distribuciones muestran el mismo patrón de
comportamiento por tramos en cuanto a estimaciones y sobreestimaciones de la
función de distribución teórica.
La mejora de la distribución Fisk (gráfico A.3) sobre las dos últimas distribuciones comentadas es patente, sobre todo en el tramo del 25% inferior de la
distribución, donde, en 2004, la distribución Fisk presenta incluso un mejor
ajuste que las distribuciones GBII, Dagum y Singh-Maddala. Este buen comportamiento podría sugerir la adecuación de una mixtura compuesta por la distribución Fisk para las rentas más bajas y la distribución GBII para las restantes
rentas, en el año 2004.
Las distribuciones logarítmico normal y Weibull (gráfico A.3) presentan las
mayores desviaciones, manteniéndose su comportamiento en cada tramo de la
distribución, en los dos años considerados.
Finalmente, en el campo de la aplicación de los ajustes realizados, destacamos el hecho de que todos los modelos recogen el incremento de la desigualdad
observado entre los dos períodos analizados, 2003 y 2004, a partir del índice de
Gini muestral, que pasa de 0,3031 a 0,3152 según la tabla 1. De forma más
aproximada a la variación de los valores muestrales lo hacen los modelos GBII,
Dagum y Singh-Maddala. Este hecho da pie al análisis de la evolución de los
parámetros estimados, de acuerdo a la interpretación que tiene cada uno de ellos.
En el caso de la distribución GBII, Kleiber (1999) y Sarabia, Castillo y Slottje
(2002) presentan resultados sobre la dominancia en sentido de la curva de
Lorenz para la GBII y las distribuciones derivadas de esta última. Así, dadas dos
distribuciones GBII, con parámetros (a1,b1, p1, q1 ) y (a2, b2, p2, q2) respectivamente, la primera distribución domina, en sentido de la curva de Lorenz a la según
da, si a1 ≥ a2 , a1 p1 ≥ a2 p2 y a1 q1 ≥ a2 q2 . La dominancia en sentido de la curva de Lorenz de estas dos distribuciones implica que la primera distribución
exhibe menor desigualdad(17) que la segunda. Por tanto, los parámetros directamente relacionados con la desigualdad son a, p y q, siendo b un parámetro de
escala(18). En nuestro caso, entre los dos años considerados, la disminución de
(17) El tipo de desigualdad que muestra la curva de Lorenz es invariante ante cambios
de escala y cumple el principio de transferencias.
(18) La expresión del índice de Gini indica también que los parámetros que determinan el nivel de desigualdad son a, p y q (Kleiber y Kotz, 2003).
LA DISTRIBUCIÓN BETA GENERALIZADA DE SEGUNDA ESPECIE COMO MODELO …
51
a y el ligero aumento de los parámetros p y q -que no compensa la reducción en
el parámetro a- provocan que la distribución de la renta del año 2003 domine en
sentido de la curva de Lorenz a la de 2004, presentando la primera un menor
nivel de desigualdad.
Los resultados de Kleiber (1996) contribuyen también a entender el significado de los parámetros del modelo Dagum. Este autor establece las condiciones
necesarias y suficientes para la dominancia en sentido de la curva de Lorenz de
dos distribuciones Dagum. Así, dadas dos distribuciones Dagum, con parámetros (a1,b1, p1) y (a2, b2, p2), la primera distribución domina, en sentido de la curva
de Lorenz, a la segunda, si y solo si a1 ≥ a2 y a1 p1 ≥ a2 p2 . La disminución de
los parámetros a y p entre 2003 y 2004 parece confirmar lo ya apuntado en el
caso de la GBII, es decir, la distribución de la renta del año 2003 domina en
sentido de la curva de Lorenz a la de 2004.
Sobre los parámetros de la distribución Singh-Maddala, se han presentado
diferentes análisis en Jäntti y Jenkins (2001) y en Wilfling y Krämer (1993)
donde se establecen las condiciones necesarias y suficientes para la dominancia en sentido de la curva de Lorenz. Así, dadas dos distribuciones SinghMaddala, con parámetros (a1,b1, q1) y (a2, b2, q2), la primera distribución domina
en sentido de la curva de Lorenz a la segunda, si y solo si a1 ≥ a2 y
a1 q1 ≥ a2 q2 .
En nuestro caso el movimiento de los dos parámetros no se produce en el
mismo sentido: mientras que el parámetro a disminuye, el parámetro q aumenta.
Sin embargo, este ligero incremento no sirve para compensar la disminución del
parámetro a, que provoca que a2003q2003 > a2004q2004 , por lo que se vuelve a
constatar un incremento de la desigualdad entre los años 2003 y 2004.
52
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
CONCLUSIONES
La distribución GBII anida como casos particulares los principales modelos
que tradicionalmente se ajustan mejor a los datos de la DPR en España. En
este trabajo, se parte de la distribución GBII para seleccionar los mejores modelos mediante contrates anidados y comparaciones de los estadísticos de bondad
de ajuste LnL, Anderson-Darling, Kramer-Von Mises, Kolmogorov-Smirnov y el
estadístico H, construido para comparar la función de densidad y una estimación
no paramétrica del histograma de frecuencias.
El proceso de estimación se ha realizado con los datos de rentas correspondientes a la ECV de los años 2003 y 2004. La escala de equivalencia utilizada
ha sido la OCDE modificada por sus posibilidades de comparación, al ser de
uso frecuente, sobre todo en el ámbito europeo. El método de estimación utilizado ha sido el de máxima verosimilitud, aplicado a los datos convenientemente
ponderados.
En el caso español, utilizando los datos de la ECV, se obtiene que la distribución GBII produce los mejores ajustes según la medida LnL y los contrastes
anidados, aunque la distribuciones Dagum y Singh-Maddala presentan una
notable capacidad para modelizar la DPR en España en los dos años considerados. Tres de los estadísticos de bondad de ajuste utilizados indican que la
distribución Singh-Maddala es la más adecuada. Por otra parte, también produce las estimaciones del índice de Gini más próximas a la estimación muestral.
Aún así, las diferencias entre los tres modelos, que se muestran claramente en
los gráficos PP-plots, son pequeñas, y en todos ellos se detecta una especial
dificultad para modelizar la cola inferior de la distribución empírica.
Entre las distribuciones biparamétricas comparadas, la distribución Fisk presenta los mejores ajustes, con un excelente comportamiento en el primer cuartil
de la distribución.
Todas las distribuciones recogen el aumento de la desigualdad indicado por
la estimación muestral del índice de Gini, y las estimaciones de los parámetros
varían, en este sentido, de acuerdo a la interpretación económica de los mismos
obtenida en otros trabajos.
LA DISTRIBUCIÓN BETA GENERALIZADA DE SEGUNDA ESPECIE COMO MODELO …
53
ANEXO
Tabla A.1
RESULTADOS DE LOS CONTRASTES EN MODELOS ANIDADOS
(P-VALORES). AÑO 2003
GBII
GBII
Dagum
SM
B2
GG
Fisk
Gamma
LN
Weibull
•
Dagum
0,00
SM
0,00
B2
0,00
GG
0,00
Fisk
0,00
Gamma
0,00
LN
0,00
Weibull
0,00
•
•
•
•
0,00
0,00
•
0,00
0,00
•
0,00
0,00
•
0,00
•
Tabla A.2
RESULTADOS DE LOS CONTRASTES EN MODELOS ANIDADOS
(P-VALORES). AÑO 2004
GBII
GBII
Dagum
SM
B2
GG
Fisk
Gamma
LN
Weibull
•
Dagum
0,00
SM
0,00
B2
0,00
GG
0,00
Fisk
0,00
Gamma
0,00
LN
0,00
Weibull
0,00
•
•
•
•
0,00
0,00
•
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
•
•
•
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
54
Gráfico A.1
PROBABILIDAD POR CUARTILES (DISTRIBUCIÓN GBII, 2004)
0 .4 5
0 .1 5
0 .1 0
0 .1 5
0 .2 5
0 .0 5
0 .3 5
F d e .G B II
0 .0 50 .0
F d e .G B II
0 .0
0 .2 0
0 .2 5
0 .3 0
0 .3 5
F d e
0 .4 0
0 .4 5
0 .5 0
F d e
1 .0 0
0 .5 0
0 .6 0
0 .6 5
F d e
.
0 .7 0
0 .7 5
0 .8 0
F d e .G B II
0 .6 0
F d e .G B II
0 .5 5
0 .9 0
0 .7 0
0 .5 0
0 .8 0
0 .8 5
0 .9 0
F d e
0 .9 5
1 .0 0
LA DISTRIBUCIÓN BETA GENERALIZADA DE SEGUNDA ESPECIE COMO MODELO …
55
Gráfico A.2
PROBABILIDAD DE LAS DISTRIBUCIONES TRIPARAMÉTRICAS
POR CUARTILES. AÑO 2004
0.35
Fde.D
agum
0.15
0.0
0.25
0.05
Fde.D
agum
0.45
Distribución Dagum
0.0
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
Fde
0.90
Fde.D
agum
0.80
0.60
0.50
0.50
0.55
0.60
0.65
0.70
0.75
0.80
0.85
Fde
0.90
0.95
1.00
Fde
0
.4
5
0
.2
5
0
.3
5
F
d
e
.S
in
g
h
-M
a
d
d
a
la
0
.1
5
0
.0
5
0
.0
F
d
e
.S
in
g
h
-M
a
d
d
a
la
0
.2
5
Distribución Singh-Maddala
0.0
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
Fde
0
.9
0
0
.5
0
0
.8
0
0
.6
0
F
d
e
.S
in
g
h
-M
a
d
d
a
la
0
.7
0
1
.0
0
Fde
F
d
e
.S
in
g
h
-M
a
d
d
a
la
Fde.D
agum
0.70
1.00
Fde
0.50
0.55
0.60
0.65
Fde
0.70
0.75
0.80
0.85
0.90
Fde
0.95
1.00
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
56
Gráfico A.2
PROBABILIDAD DE LAS DISTRIBUCIONES TRIPARAMÉTRICAS
POR CUARTILES. AÑO 2004
F
d
e
.B
e
ta
2
0
.3
5
0
.1
5
0
.0
0
.2
5
0
.0
5
F
d
e
.B
e
ta
2
0
.4
5
0
.2
5
Distribución Beta II
0.0
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.25
0.30
0.35
0.45
0.50
F
d
e
.B
e
ta
2
0
.7
5
0
.8
5
0
.7
0
0
.6
0
0
.5
0
F
d
e
.B
e
ta
2
0.40
Fde
0
.9
5
Fde
0.50
0.55
0.60
0.65
0.70
0.75
0.75
0.80
0.85
Fde
0.90
0.95
1.00
Fde
F
de.G
G
0.35
0.15
0.0
0.25
0.05
F
de.G
G
0.45
0.25
Distribución Gamma generalizada
0.0
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.25
0.30
0.40
0.45
0.90
0.95
0.50
Fde
F
de.G
G
0.75
0.85
0.70
0.60
0.50
F
de.G
G
0.35
0.95
Fde
0.50
0.55
0.60
0.65
Fde
0.70
0.75
0.75
0.80
0.85
Fde
1.00
LA DISTRIBUCIÓN BETA GENERALIZADA DE SEGUNDA ESPECIE COMO MODELO …
57
Gráfico A.3
PROBABILIDAD DE LAS DISTRIBUCIONES BIPARAMÉTRICAS
POR CUARTILES. AÑO 2004
Fde.Fisk
0.35
0.15
0.0
0.25
0.05
Fde.Fisk
0.45
Distribución Fisk
0.0
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
Fde
0.90
Fde.Fisk
0.50
0.80
0.60
Fde.Fisk
0.70
1.00
Fde
0.50
0.55
0.60
0.65
0.70
0.75
0.80
0.85
Fde
0.90
0.95
1.00
Fde
0.35
F
de.G
am
m
a
0.15
0.0
0.25
0.05
F
de.G
am
m
a
0.45
0.25
Distribución Gamma
0.0
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.25
0.30
0.40
0.45
0.90
0.95
0.50
Fde
0.75
0.85
F
de.G
am
m
a
0.70
0.60
0.50
F
de.G
am
m
a
0.35
0.95
Fde
0.50
0.55
0.60
0.65
Fde
0.70
0.75
0.75
0.80
0.85
Fde
1.00
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
58
Gráfico A.3
PROBABILIDAD DE LAS DISTRIBUCIONES BIPARAMÉTRICAS
POR CUARTILES. AÑO 2004
0.45
0.25
0.35
Fde.Lognorm
al
0.20
0.10
0.0
Fde.Lognorm
al
0.30
Distribución Lognormal
0.0
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.25
0.30
0.35
0.45
0.50
0.75
0.85
Fde.Lognorm
al
0.70
0.60
0.50
Fde.Lognorm
al
0.40
Fde
0.95
Fde
0.50
0.55
0.60
0.65
0.70
0.75
0.75
0.80
0.85
Fde
0.90
0.95
1.00
Fde
0.35
Fde.W
eibull
0.25
0.10
0.0
Fde.W
eibull
0.20
0.45
Distribución WeibulI
0.0
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.25
0.30
0.40
0.45
0.50
Fde
0.75
0.85
Fde.W
eibull
0.70
0.60
0.50
Fde.W
eibull
0.35
0.95
Fde
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THE GENERALIZED BETA OF SECOND KIND AS A MODEL
FOR THE SPANISH PERSONAL INCOME DISTRIBUTION
ABSTRACT
The aim of this paper is to study the best fitting parametric models to describe the personal income distribution in Spain. To carry
out this study, we use, as starting point, the generalized beta distribution of second kind because it nests the main models that traditionally have been utilized to describe the personal income distribution in Spain. After an estimation and validation process of the different distributions proposed, the most adequate models for the
Spanish case are selected. These models are generalized beta of
second kind, Dagum and Singh-Maddala distributions. To fit the
models we use income data from two waves of the EU-SILC for the
years 2004 and 2005.
Key words: Personal Income Distribution, Generalized Beta of
Second Kind. Dagum Model, Singh-Maddala Model.
AMS Classification: 62E17, 60E05, 62P20.