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ACTIVIDADES RECAPITULACIÓN 3: INTERACCIÓN GRAVITATORIA
A-1. En realidad, los astronautas están siempre cayendo, lo que ocurre es que al mismo tiempo
tienen suficiente velocidad para describir en la caída una circunferencia que llamamos
órbita, es decir, no llegan a caer sino que están girando en órbita alrededor de la Tierra.
El que no exista aire no significa que no actúe la fuerza de la gravedad sobre los
astronautas, esta fuerza gravitatoria es la responsable del movimiento circular de los
astronautas.
A-2.
a) Las líneas de fuerza que representan a un campo gravitatorio o eléctrico no
pueden cortarse, pues si así fuera en un mismo punto existirían dos vectores
diferentes para la intensidad de campo, puesto que éste es tangente en cada
punto a las líneas de fuerza.
b) Dos superficies equipotenciales no pueden cortarse, pues todos los puntos de la
misma superficie equipotencial tienen el mismo valor del potencial, por lo que
todos los puntos de la línea de corte de las dos superficies tendrían dos valores
posibles para el potencial.
Por otro lado, como el vector intensidad de campo es perpendicular en cada
punto a la superficie equipotencial, en cada punto de la línea de corte de las dos
superficies tendríamos dos vectores posibles para la intensidad de campo.
A-3. Un cuerpo cae más rápido si su velocidad aumenta más en cada unidad de tiempo, es
decir, si su aceleración es mayor. En ausencia de aire, no hay rozamiento y en el campo
gravitatorio terrestre todos los cuerpos caen con la misma aceleración
independientemente de su masa.
Supongamos dos cuerpos uno, de masa m y otro, de masa M. La suma de las fuerzas
sobre cada uno de ellos, son respectivamente:
∑F = mg, para el primero y ∑F = Mg, para el segundo. Aplicando la segunda ley de
Newton a cada cuerpo, tendremos:
∑F = mg = ma
∑F = Mg =Ma
a=g
a=g
La aceleración de caída es la misma.
A-4. Si suponemos que la energía potencial gravitatoria del sistema es nula cuando estaban
totalmente separadas, la energía potencial del sistema en la situación final se puede
calcular:
Wf∞ = - ΔEp = - (EP FINAL - EP INICIAL) = - (EP FINAL - EP ∞) = - EP FINAL
Según el convenio usado: Ep = 0 cuando r = ∞ por lo que la energía potencial de un
sistema formado por dos cuerpos m1 y m2, situados a una distancia r, es:
Ep = - G m1 ∙ m2/r
Para calcular la energía potencial final del sistema, vamos a suponer que el sistema final
se forma cuando se traen los cuerpos, mediante las fuerzas del campo, desde el infinito.
Wf∞ = - EP FINAL
Primer cuerpo (m1): Ep1 = 0
Segundo cuerpo (m2): Ep2 = - G m1 ∙ m2/r1,2
Tercer cuerpo (m3): Ep3 = - G m1 ∙ m3/r1,3 - G m2 ∙ m3/r2,3
Cuarto cuerpo (m4): Ep4 = - G m1 ∙ m4/r1,4 - G m2 ∙ m4/r2,4 - G m3 ∙ m4/r3,4
La energía potencial total del sistema en la situación final será:
Ep total = - G m1 ∙ m2/r1,2 - G m1 ∙ m3/r1,3 - G m2 ∙ m3/r2,3 - G m1 ∙ m4/r1,4 - G m2 ∙ m4/r2,4 - G m3 ∙ m4/r3,4
Ep total = - 6,67 ∙ 10-11 ∙ 2002 (1/2 + 1/3,6 + 1/3 + 1/3 +1/3,6 + ½) = - 5,9 ∙ 10-6 J
Como: Wf∞ = - EP FINAL
Wf∞ = 5,9 ∙ 10-6 J
A-5. Cuando los átomos o moléculas de hidrógeno se juntan, la energía potencial gravitatoria
del hidrógeno disminuye.
Wfi = - ΔEp = - (EP FINAL - EP INICIAL)
Como: Wfi = F ∙ Δr = F ∙ Δr ∙ cos 0º > 0
- (EP FINAL - EP INICIAL) > 0
EP INICIAL - EP FINAL > 0
EP INICIAL > EP FINAL
La energía potencial disminuye.
Como sólo actúan fuerzas conservativas: ΔEM = 0
ΔEM = ΔEc + ΔEp = 0
ΔEc = - ΔEp si ΔEp < 0 (disminuye) → ΔEc > 0 (aumenta)
Si la energía potencial del hidrógeno disminuye, la energía cinética tiene que aumentar
para que se conserve la energía mecánica. Si la energía cinética aumenta y la masa no
varía tiene que aumentar la velocidad media de los átomos o moléculas de hidrógeno.
A-6. g = G MT/(RT + h)2
g = 6,67 ∙ 10-11 ∙ 6 ∙ 1024 / (6,4 ∙ 106 + 0,1 ∙ 106)2 = 9,47 N/kg
A-7. Una forma:
g = G MT/(RT + h)2
(RT + h)2 = G MT/g
RT2 + h2 + 2 RT h = G MT/g
(6,4 ∙ 106)2 + h2 + 2 ∙ 6,4 ∙ 106 ∙ h = 6,67 ∙ 10-11 ∙ 6 ∙ 1024 / 7
4,096 ∙ 1013 + h2 + 12,8 ∙ 106 ∙ h = 5,7 ∙ 1013
h = 1,1 ∙ 106 m = 1100 km
Otra forma:
g0 = G MT/ RT2
g = G MT/(RT + h)2
Dividiendo g0 entre g:
g0 / g = (RT + h)2 / RT2
Calculando la raíz cuadrada de ambos miembros:
(g0 / g)1/2 = RT + h / RT
h = (g0 / g)1/2 ∙ RT - RT
h = RT ∙ ((g0 / g)1/2 - 1)
h = 6,4 ∙ 106 ∙ ((9,8 / 7)1/2 - 1) = 1,17 ∙ 106 m = 1170 km
A-8. Ortocentro: punto donde se cortan las tres alturas de un triángulo. El ortocentro se sitúa a
2/3 de la altura. Por tanto cada masa, se encontrará a una distancia del ortocentro:
r1 = r 2 = r3
(1,15 / 2)2 + h2 = 1,152
h = 0,996 m
r1 = r2 = r3 = 2/3 ∙ h = 0,66 m
gtotal = g1 + g2 + g3
g1 = G m1 / r12 = 6,67 ∙ 10-11 ∙ 400 / 0,662 = 6,12 ∙ 10-8 N/kg
g2 = G m2 / r22 = 6,67 ∙ 10-11 ∙ 400 / 0,662 = 6,12 ∙ 10-8 N/kg
g3 = G m3 / r32 = 6,67 ∙ 10-11 ∙ 600 / 0,662 = 9,19 ∙ 10-8 N/kg
g1 = - g1 ∙ cos 30º i - g1 ∙ sen 30º j = - 5,3 ∙ 10-8 i - 3,06 ∙ 10-8 j N/kg
g2 = g2 ∙ cos 30º i - g2 ∙ sen 30º j = 5,3 ∙ 10-8 i - 3,06 ∙ 10-8 j N/kg
g3 = g3 ∙ sen 90º j = 9,19 ∙ 10-8 j N/kg
gtotal = g1 + g2 + g3 = 3,07 ∙ 10-8 j N/kg
Vtotal = V1 + V2 + V3 = - Gm1 / r1 – Gm2 / r2 – Gm3 / r3
Vtotal = - G (m1 / r1 + m2 / r2 + m3 / r3)
Vtotal = - 6,67 ∙ 10-11 ∙ ( 400 + 400 + 600 / 0,66) = - 1,41 ∙ 10-7 J/kg
A-9.
a) Aplicando la segunda ley de Newton:
∑ F = ma
FTIERRA, CÁPSULA = m ∙ an
G MTierra ∙ mcápsula / r2 = mcápsula ∙ v2 / r
v2 = G MTierra / r
v = (G MTierra / r)1/2 = (6,67 ∙ 10-11 ∙ 6 ∙ 1024 / 6,4 ∙ 106 + 0,25 ∙ 106)1/2 = 7758 m/s
b) Lórbita= 2 ∙ п ∙ rórbita = 2 ∙ п ∙ (RT + h) = 2 ∙ п ∙ (6,4 ∙ 106 + 0,25 ∙ 106)
Lórbita= 41,76 ∙ 106 m
vcápsula = 2 ∙ п ∙ rórbita / Δt = 41,76 ∙ 106
Δt = 41,76 ∙ 106 / 7758 = 5383 s
Δt = 2 ∙ п ∙ rórbita / vcápsula
(1h y 30 min)
A-10. Como solo actúan fuerzas conservativas: ΔEM = 0
(Ec + Ep) inicial = (Ec + Ep) final
Suponiendo que la energía potencial gravitatoria es cero en el infinito:
½ m v2 – G MTierra m / RTierra = 0 - G MTierra m / RTierra + h
½ v2 – G MTierra / RTierra = - G MTierra / RTierra + h
RTierra + h = - G MTierra / ½ v2 – G MTierra / RTierra
h = [- G MTierra / (½ v2 – G MTierra / RTierra)] - RTierra
h = [- 6,67 ∙ 10-11 ∙ 6 ∙ 1024 /(0,5 ∙ (5 ∙ 103)2 - 6,67 ∙ 10-11 ∙ 6 ∙ 1024 / 6,4 ∙ 106)] - 6,4 ∙ 106
h = 1,599 ∙ 106 m = 1599 km
A-11.
a) vorbital = (G M / r)1/2
vorbital = (G M / r)1/2 = (6,67 ∙ 10-11 ∙ 6 ∙ 1024 / 6,4 ∙ 106 + 6 ∙ 105)1/2 = 7561, 1 m/s
b) Cuanto mayor es la altura del satélite sobre la superficie terrestre, mayor será el
radio de la órbita y por tanto, menor será la velocidad.
c) E orbital = - ½ G M m / r
E órbita 1 = - ½ 6,67 ∙ 10-11 ∙ 6 ∙ 1024 ∙ 400 / 6,4 ∙ 106 + 6 ∙ 105 = - 1,14 ∙ 1010 J
E órbita 2 = - ½ 6,67 ∙ 10-11 ∙ 6 ∙ 1024 ∙ 400 / 6,4 ∙ 106 + 3,4 ∙ 106 = - 8,167 ∙ 109 J
ΔE = E órbita 2 - E órbita 1 = - 8,167 ∙ 109 J – (- 1,14 ∙ 1010 J) = 3,23 ∙ 109 J
A-12.
a) Como solo actúan fuerzas conservativas: ΔEM = 0
Suponiendo que la energía potencial gravitatoria es cero en el infinito:
ΔEM = 0
ΔEC + ΔEP = 0
La Ep inicial = 0
ΔEC = - ΔEP = - (Ep final - Ep inicial)
ΔEC = - Ep final = - (– G M Tierra m / R Tierra)
ΔEC = G M Tierra m / R Tierra
La masa del meteorito será:
m = ρ ∙ V = d ∙ 4/3 ∙ п ∙ r3 = 5 ∙ 103 ∙ 4/3 ∙ п ∙ (5 ∙ 103)3 = 2,61 ∙ 1015 kg
ΔEC = G M Tierra m / R Tierra = 6,67 ∙ 10-11 ∙ 6 ∙ 1024 ∙ 2,61 ∙ 1015 / 6,4 ∙ 106
ΔEC = 1,6 ∙ 1023 J
b) P calorífico = 10000 kcal/kg ∙ 1000 cal / 1 kcal ∙ 4,18 J / 1 cal = 4,18 ∙ 107 J/kg
ΔE = m ∙ P calorífico
m = ΔE / P calorífico = 1,6 ∙ 1023 / 4,18 ∙ 107 = 3,8 ∙ 1015 kg (3,8 ∙ 1012 t)
A-13.
a) La fuerza gravitatoria mide la interacción entre dos cuerpos. Se mide en el S.I.
en N. Su módulo se calcula mediante la expresión:
F gravitatoria = G M ∙ m / r2
La intensidad del campo gravitatorio mide la fuerza que actúa sobre una unidad
de masa. Se mide en el S.I. en N/kg. Su módulo se calcula mediante la
expresión:
g = G M / r2
b) Sí, un cuerpo de masa M situado en un punto crea a su alrededor un espacio
perturbado por fuerzas gravitatorias, es decir, un campo gravitatorio, en
cualquier punto del espacio a una distancia del cuerpo de masa M, excepto en el
infinito, habrá intensidad de campo, aunque no haya fuerza, ya que para que en
ese punto exista una fuerza, debemos colocar ahí, otro cuerpo que interaccione
con el primero.
c) No, si no existe campo gravitatorio en un punto no pueden ejercerse en ese
punto fuerzas gravitatorias sobre un cuerpo colocado allí.
d) La diferencia de potencial se define como: VA - VB = E pA - E pB / m
Por tanto, la diferencia de potencial es la diferencia de energía potencial de la
unidad de masa.
e) El potencial gravitatorio y por tanto, su diferencia, son propiedades del campo,
mientras que la energía potencial y también, su diferencia, son propiedades del
sistema de cuerpos que interaccionan. Por tanto, existe diferencia de potencial si
existe campo y no existe diferencia de energía potencial a menos que haya dos
cuerpos que interaccionen.
f) No. Si no existe diferencia de potencial gravitatorio entre dos puntos, bien
porque no exista campo ( g = 0) o bien, porque los puntos estén en la misma
superficie equipotencial (VA - VB = 0), no hay diferencia de energía potencial
gravitatoria.
VA - VB = 0
E pA - E pB = m (VA - VB) = 0
E pA = E pB