ANOVA y ANCOVA
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Esquema (1) 1. Análisis de la Varianza de 1 Factor (Muestras independientes) Análisis de la Varianza y de la Covarianza 2. Análisis de la Varianza de 1 Factor (Muestras relacionadas) 3. Análisis de la Varianza de 2 Factores ANOVA y ANCOVA 4. Análisis de la Covarianza 5. Análisis con más de 2 Factores J.F. Casanova ANOVA y ANCOVA Análisis de la Varianza de 1 Factor Comparar varios grupos respecto a una variable cuantitativa. Analizar la asociación entre una variable cualitativa y una variable cuantitativa. (Recordemos la equivalencia entre Comparación y Asociación) J.F. Casanova ANOVA y ANCOVA A) Poblaciones Normales y Varianzas Homogéneas La más conveniente es el Análisis de la Varianza. B) No se cumple (A) Tres opciones: 1) Transformar los datos para llegar a (A) 2) Si no se está lejos de (A), Análisis de la Varianza (es una prueba muy robusta) 3) Prueba no paramétrica de Kruskal-Wallis J.F. Casanova Pruebas utilizadas: Prueba de Bartlett (conveniente para distribuciones Normales) Prueba de Levene (conveniente para distribuciones No Normales) ANOVA y ANCOVA 5 ANOVA y ANCOVA 4 Análisis de la Varianza de 1 Factor Planteamiento Comparación de más de 2 Varianzas ANOVA y ANCOVA 2 Análisis de la Varianza de 1 Factor 3 Análisis de la Varianza de 1 Factor J.F. Casanova ANOVA y ANCOVA Pruebas utilizadas Objetivos J.F. Casanova 1 Medir: el efecto estudiado (efecto factorial) mediante las desviaciones de las medias de cada muestra respecto a la media global. Medir: el efecto residual (resto de efectos) mediante las desviaciones de los datos de cada muestra respecto a la media de esa muestra. Comparar: Efecto factorial demasiado superior al residual como para explicarlo por el “azar” No todas las medias son iguales. J.F. Casanova ANOVA y ANCOVA 6 1 Análisis de la Varianza de 1 Factor Análisis de la Varianza de 1 Factor Procedimiento Efectos x1 x3 x Varianza Factorial: VF Residual n x i x 2 i k 1 •Numerador: x2 “Dispersión Factorial”, DF •Denominador: “Grados de Libertad Factoriales”, F J.F. Casanova ANOVA y ANCOVA Análisis de la Varianza de 1 Factor Procedimiento J.F. Casanova 7 x Estadístico de Contraste: FEXP xi 2 i nk •Numerador: ANOVA y ANCOVA VF VR Distribución para H0 (todas las medias grupales iguales): F de Snedecor con 1 = F y 2 = R “Dispersión Residual”, DR •Denominador: “Grados de Libertad Residuales”, R J.F. Casanova 8 Análisis de la Varianza de 1 Factor Varianza Residual: VR ANOVA y ANCOVA • Si FEXP supera el valor teórico se rechaza H0 J.F. Casanova 9 ANOVA y ANCOVA 10 Comparaciones Múltiples Análisis de la Varianza: Terminología Situación “Análisis” = “Descomposición” ANOVA estadísticamente significativo: Alguna media grupal es diferente Para detectarla, se comparan las medias 2 a 2 No se usa directamente la t de Student: Puede demostrarse que la “Dispersión Total” D T x i x 2 La probabilidad de encontrar alguna diferencia significativa por error se iría acumulando coincide con la suma de las Dispersiones Factorial y Residual. Acrónimo: ANOVA J.F. Casanova ANOVA y ANCOVA (ANalysis Of VAriance) ANOVA y ANCOVA 11 Varias Soluciones Una simple: Bonferroni Una típica: Newman-Keuls J.F. Casanova ANOVA y ANCOVA 12 2 Método de Newman-Keuls Método de Bonferroni A) ORDEN DE LAS COMPARACIONES Como el error iría aproximadamente sumándose, se corrige este efecto usando la t de Student pero a un nivel de error / C, donde C es el número de comparaciones 1) Se numeran todas las medias de menor a mayor: x1 , ..., x k 2) Se comparan las dos extremas: x1 con x k 3) Si es significativa, se toman dos grupos de k-1 medias: x1 , ..., x k 1 y x 2 , ..., x k 4) Se comparan en cada grupo las dos extremas y, si son significativas, nuevamente se forman dos grupos, de k-2 medias INCONVENIENTE: Al aumentar el número de grupos, C crece mucho y baja la potencia. J.F. Casanova ANOVA y ANCOVA J.F. Casanova 13 Método de Newman-Keuls ANOVA y ANCOVA 14 Método de Newman-Keuls A) ORDEN DE LAS COMPARACIONES NOTA: 5) Pueden darse “PARADOJAS”, como: Se continúa el proceso hasta que llegamos a 2 muestras o cuando alguna comparación resulta no significativa. En este caso, se declaran homogéneas todas las medias del grupo. x1 hom ogénea a x 2 > x diferente a x 1 x 2 hom ogénea a x 3 3 EXPLICACIÓN: “Homogénea” no quiere decir “igual”, sino que “no se ha demostrado con suficiente probabilidad la diferencia. J.F. Casanova ANOVA y ANCOVA J.F. Casanova 15 Método de Newman-Keuls No solo interesa saber si existe o no relación entre el factor y la respuesta, sino también cuál es su intensidad. Es decir, el “TAMAÑO DEL EFECTO”. Uno de los índices para evaluarlo en ANOVA es El estadístico de contraste es: q ij siendo: sij sij VR 1 1 2 n i n j 𝜂2 = * Bajo la H0 ( x i x j ) sigue la distribución de NewmanKeuls, que depende de R y de R, el “Rango” (número de medias que hay en el grupo que se compara). J.F. Casanova ANOVA y ANCOVA ANOVA y ANCOVA 16 Tamaño del Efecto B) PROCEDIMIENTO DE CADA COMPARACIÓN xi x j ANOVA y ANCOVA 17 𝐷𝐹 = 𝑅2 𝐷𝑇 Representa la proporción de la variabilidad de la respuesta atribuible a su relación con el factor. J.F. Casanova ANOVA y ANCOVA 18 3 Análisis de la Varianza de 1 Factor. Muestras relacionadas Tamaño del Efecto Es equivalente al Coeficiente de Determinación, R2, en los modelos de regresión. Este índice evalúa correctamente dicha proporción de variabilidad en la muestra, pero resulta sesgado para estimarla en la población. Para corregir ese inconveniente, puede sustituirse por este otro: 𝐷𝐹 − (𝑘 − 1)𝑉𝑅 𝜔2 = 𝐷𝑇 + 𝑉𝑅 Pruebas utilizadas J.F. Casanova ANOVA y ANCOVA A) Poblaciones Normales y Varianzas Homogéneas La más conveniente es el Análisis de la Varianza. B) No se cumple (A) Tres opciones: 1) Transformar los datos para llegar a (A) 2) Si no se está lejos de (A), Análisis de la Varianza (es una prueba muy robusta) 3) Prueba no paramétrica de Friedman J.F. Casanova 19 Análisis de la Varianza de 1 Factor. Muestras relacionadas Planteamiento Tenemos el mismo grupo de individuos en k situaciones distintas y queremos comparar los resultados en esas situaciones * También llamado ANOVA con MEDIDAS REPETIDAS J.F. Casanova ANOVA y ANCOVA Descomposición de la Varianza En el ANOVA simple se hacía la descomposición: Dispersión: DT = DF + DR Grados de Libertad: T = F + R En el ANOVA de Muestras relacionadas: Dispersión: DT = DF + DI + DR Grados de Libertad: T = F + I + R ANOVA y ANCOVA ANOVA y ANCOVA 23 Tenemos n individuos y k valores distintos del factor cualitativo Queremos estudiar la relación del factor cualitativo F con una variable cuantitativa X. Al utilizar los mismos individuos en todas las mediciones, se elimina la influencia de la variable individuo (I) en X. Suponemos que la influencia de F en X no depende del individuo (No hay “interacción). J.F. Casanova 21 Análisis de la Varianza de 1 Factor. Muestras relacionadas J.F. Casanova 20 Análisis de la Varianza de 1 Factor. Muestras relacionadas Ejemplo ANOVA y ANCOVA ANOVA y ANCOVA 22 Análisis de la Varianza de 1 Factor. Muestras relacionadas Efecto de desglosar la dispersión entre individuos (DI ): Se reduce la dispersión residual ( DR ), aumentando la potencia de la prueba. Procedimiento de Análisis: Análogo al ANOVA simple. J.F. Casanova ANOVA y ANCOVA 24 4 Análisis de la Varianza de 2 Factores Análisis de la Varianza de 2 Factores Objetivos Condiciones de Aplicación Estudiar la relación de cada una de dos variables cualitativas (factores) con una variable cuantitativa. Estudiar la interacción entre ellas. J.F. Casanova ANOVA y ANCOVA Poblaciones normales y varianzas homogéneas (como todo ANOVA) Para fácil interpretación número de casos igual en cada combinación de factores (o proporcional a los totales parciales) J.F. Casanova 25 valores medios de glucosa n = 6 datos / casilla K = KA KB N=Kn MEDIOS DE CULTIVO MEDIO1 MEDIO2 MEDIO3 CORTO 34 38 36 MEDIO 22 20 24 ALTO 14 8 12 Descomposición de la Varianza Efectos: T: Total A: Factor Tiempo B: Factor Medio I: Interacción R: Residual DT = DA + DB + DI + DR J.F. Casanova Análisis de la Varianza de 2 Factores Procedimiento EN EL EJEMPLO V FA A ≶ F (K -1, N-K) ⇘ A VR = F (2, 45) VB VR ≶ F (KB -1, N-K) ⇗ = F (2, 45) V FI I ≶ F ((KA -1)(KB -1), N-K) VR = F (4, 45) J.F. Casanova ANOVA y ANCOVA 28 Comparaciones Múltiples Sí interacción ANOVA 1 factor dentro de cada una de las categorías del otro Comparar todas las combinaciones de factores entre sí. ANOVA y ANCOVA ANOVA y ANCOVA Análisis de la Varianza de 2 Factores [COMO ANOVA 1 FACTOR] FB 26 Análisis de la Varianza de 2 Factores Ejemplo TIEMPO ANOVA y ANCOVA No interacción 29 Comparar por separado las categorías de cada factor significativamente relacionado con la respuesta. J.F. Casanova ANOVA y ANCOVA 30 5 Análisis de la Covarianza (ANCOVA) Análisis de la Covarianza (ANCOVA) Condiciones de Aplicación Objetivos Estudiar la relación de una variable cualitativa (factor) con una variable cuantitativa. Eliminando la influencia de una tercera variable (cuantitativa) (llamada covariable) J.F. Casanova ANOVA y ANCOVA Los habituales del ANOVA Existe relación lineal entre la variable respuesta y la covariable Para fácil interpretación La pendiente de la relación es similar para los distintos valores del factor cualitativo (No hay interacción entre factor y covariable) J.F. Casanova 31 Ejemplo ANOVA y ANCOVA 32 Análisis de la Covarianza (ANCOVA) RC Procedimiento RCT2 RCT1 T2 Análogo al ANOVA, sustituyendo las dispersiones y grados de libertad directos por los ajustados. También en las comparaciones múltiples se sustituye por los valores ajustados. Medias ajustadas: yi bx i donde b es la pendiente de y = a + bx dRC,AJ T1 EDAD ·Podemos estudiar la relación entre el Tratamiento y la Reducción de Concentración sin que afecte la Edad (Como si la edad fuera la misma para ambos grupos) ·La diferencia ajustada dRC,AJ no coincide con la directa, R CT 2 R CT1 J.F. Casanova ANOVA y ANCOVA 34 Análisis con más de 2 Factores Es posible cualquier número de factores y covariables Puede aparecer interacción de 2º orden: La interacción entre 2 factores depende del valor de un tercer factor. Las interacciones de orden superior suelen subsumirse en el efecto residual. J.F. Casanova ANOVA y ANCOVA ANOVA y ANCOVA 35 6
