PROGRAMACIÓN LINEAL LD - ejercicios

9/19/2012
PROGRAMACIÓN LINEAL
LILIANA DELGADO HIDALGO
[email protected]
Universidad del Valle
EJEMPLOS PROBLEMAS DE PL
Ejemplos de modelamiento
modelamiento..
i) Problema de Transporte. El problema consiste en
decidir cuántas unidades trasladar desde ciertos puntos
de origen (plantas, ciudades, etc.) a ciertos puntos de
destino (centros de distribución, ciudades, etc..) de
modo de minimizar los costos de transporte, dada la
oferta y demanda en dichos puntos.
Se suponen conocidos los costos unitarios de
transporte, los requerimientos de demanda y la oferta
disponible.
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EJEMPLOS PROBLEMAS DE PL
… Ejemplos de modelamiento (Problema del transporte)
Por ejemplo, suponga que una empresa posee dos plantas que
elaboran un determinado producto en cantidades de 250 y
450 unidades diarias, respectivamente. Dichas unidades
deben ser trasladadas a tres centros de distribución con
demandas diarias de 200, 200 y 250 unidades,
respectivamente. Los costos de transporte (en $/unidad) son:
C.Dist. 1 C.Dist.2 C.Dist.3
Planta 1
21
25
15
Planta 2
28
13
19
EJEMPLOS PROBLEMAS DE PL
… Ejemplos de modelamiento (Problema del Transporte)
Diagrama:
C.D.1
X11
Planta 1
X12
X21
C.D.2
X22
Planta 2
X13
X23
C.D.3
Orígenes
Destinos
2
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EJEMPLOS PROBLEMAS DE PL
… Ejemplos
transporte)
de
modelamiento
(Problema
del
Variables de decisión:
xij = Unidades transportadas desde la planta i (i=1,2),
hasta el centro de distribución j (j=1,2,3)
Función Objetivo:
Minimizar el costo total de transporte dado por la
función:
21x11+25x12+15x13+28x21+13x22+19x23
EJEMPLOS PROBLEMAS DE PL
Ejemplos de modelamiento
modelamiento.. (Problema del transporte)
Restricciones del problema:
1) No Negatividad: xij ≥ 0
2) Demanda:
CD1 : x11
+x21
CD2 :
x12
+x22
CD3 :
x13
+ x23
= 200
= 200
= 250
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EJEMPLOS PROBLEMAS DE PL
… Ejemplos de modelamiento
modelamiento.. (Problema del Transporte)
3) Oferta :
P1 : x11 + x12 + x13
≤ 250
P2 :
x21 + x22 + x23 ≤ 450
Las variables de decisión deben aceptar soluciones como
números reales para tener un modelo de P.L.
EJEMPLOS PROBLEMAS DE PL
… Ejemplos de modelamiento
modelamiento.. (Problema de Dieta)
ii) Problema de la dieta: este consiste en determinar una dieta
de manera eficiente, a partir de un conjunto dado de alimentos,
de modo de satisfacer ciertos requerimientos nutricionales.
Supongamos que se tiene la siguiente información:
Leche Legumbre Naranjas Requerimientos
(galon) (1 porción) (unidad)
Nutricionales
Niacina
3,2
4,9
0,8
13
Tianina
1,12
1,3
0,19
15
Vitamina C
32
0
93
45
Costo
2
0,2
0,25
4
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EJEMPLOS PROBLEMAS DE PL
… Ejemplos de modelamiento
modelamiento.. (Problema de Dieta)
Variables de decisión:
x1 : galones de leche utilizados en la dieta.
x2 : porciones de legumbre utilizadas en la dieta.
x3 : unidades de naranja utilizadas en la dieta.
Función Objetivo:
Minimizar el costo total de la dieta, dado por:
2 x1 + 0.2 x2 + 0.25 x3
EJEMPLOS PROBLEMAS DE PL
Ejemplos de modelamiento
modelamiento.. (Problema de Dieta)
Restricciones del problema:
Requerimientos mínimos de los nutrientes considerados:
3.2 x1 + 4.9 x2 + 0.8 x3 ≥ 13
1.12 x1+ 1.3 x2 + 0.19 x3 ≥ 15
32 x1+
+
9 x3 ≥ 45
x 1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0 ; x3 ≥ 0
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EJEMPLOS PROBLEMAS DE PL
Ejemplos de modelamiento
modelamiento.. (Lote de producción)
iii) Problema de dimensionamiento de lotes: este consiste en
hallar una política óptima de producción para satisfacer
demandas fluctuantes en el tiempo, de modo que se logre
minimizar costos de producción e inventario, considerando la
disponibilidad de diversos recursos escasos.
Supongamos que una fábrica puede elaborar hasta 150 unidades
en cada uno de los 4 periodos en que se ha subdividido el
horizonte de planificación y se tiene adicionalmente la siguiente
información:
EJEMPLOS PROBLEMAS DE PL
… Ejemplos de modelamiento
modelamiento.. (Lote de Producción)
Periodos Demandas Costo Prod. Costo de Inventario
(unidades) (US$/unidad)
(US$/unidad)
1
130
6
2
2
80
4
1
3
125
8
2.5
4
195
9
3
Supuestos adicionales:
1) Existe un inventario inicial de 15 unidades.
2) No se acepta demanda pendiente o faltante (es decir, se
debe satisfacer toda la demanda del periodo).
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EJEMPLOS PROBLEMAS DE PL
… Ejemplos de modelamiento
modelamiento.. (Lote de producción)
Variables de decisión:
xt : número de unidades elaboradas en el periodo t.
It : número de unidades de inventario al final del periodo t.
Función objetivo:
Consiste en minimizar los costos de producción y el costo de
mantenimiento de inventario.
6x1+ 4x2 + 8x3 + 9x4 + 2I1 + I2 + 2.5I3 + 3I4
EJEMPLOS PROBLEMAS DE PL
… Ejemplos de modelamiento
modelamiento.. (Lote de Producción)
Notar que en el óptimo I4 va a ser 0, así que incluso podríamos
no incluirla, pero de todos modos la consideramos.
Restricciones del problema:
1) Restricciones de cotas, que reflejan la capacidad de
producción.
xt ≤150
.
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EJEMPLOS PROBLEMAS DE PL
… Ejemplos de modelamiento
modelamiento.. (Lote de Producción)
2) Restricciones de no negatividad
xt ≥ 0
3) Restricciones de demanda
x1 + I0 – I1 = 130
Periodo 1
x2 + I1 – I2 = 80
Periodo 2
x3 + I2 – I3 = 125
Periodo 3
x4 + I3 – I4 = 195
Periodo 4
I0=15
EJEMPLOS PROBLEMAS DE PL
… Ejemplos de modelamiento
modelamiento.. (Planeación financiera)
iv) Problema de planificación financiera:
Supongamos que un banco dispone de $250 millones para
destinar a 4 tipo de créditos ofrecidos, los cuales tienen las
siguientes, tasas de crédito:
•
Primer crédito corriente
:12%
•
Segundo crédito corriente
:16%
•
Crédito para el hogar
:16%
•
Crédito personal
:10%
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EJEMPLOS PROBLEMAS DE PL
… Ejemplos de modelamiento
modelamiento.. (Planeación financiera)
La asignación de estos créditos, debe satisfacer la siguiente
política utilizada por la institución:
El monto asignado a los PCC, debe ser al menos, el 55% del
monto asignado a los créditos corrientes, y al menos un 25% del
total del dinero prestado.
El SCC, no puede exceder el 30% del total del dinero prestado,
por políticas tributarias el interés recibido por el banco no debe
exceder a un retorno del 14% sobre el capital prestado.
EJEMPLOS PROBLEMAS DE PL
… Ejemplos de modelamiento
modelamiento.. (Planeación Financiera)
¿Cuánto asignar a cada tipo de crédito, de la manera más
eficiente, respetando la política del banco?
Variables de decisión:
x1 :Monto asignado al PCC.
x2 : Monto asignado SCC.
x3 : Monto asignado al crédito para el hogar.
x4 : Monto asignado al crédito personal.
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EJEMPLOS PROBLEMAS DE PL
… Ejemplos de modelamiento
modelamiento.. (Planeación financiera)
Función Objetivo:
Se propone maximizar los retornos recibidos en la asignación,
dados por:
0.12 x1 + 0.16 x2 + 0.16 x3 + 0.10 x4
EJEMPLOS PROBLEMAS DE PL
… Ejemplos de modelamiento
modelamiento.. (Planeación Financiera)
Restricciones del problema:
x1 ≥ 0.55 ( x1 + x2 )
x1 ≥ 0.25 ( x1 + x2 +x3 + x4 )
x2 ≤ 0.30 ( x1 + x2 +x3 + x4 )
(0.12x1+0.16x2+0.16x3+0.10x4 ) ≤ 0.14 ( x1+ x2 +x3 +x4 )
Adicionalmente:
x1 + x2 +x3 + x4 ≤ 250
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EJEMPLOS PROBLEMAS DE PL
Ejemplos de modelamiento
modelamiento.. (Mezcla de productos)
v) Problema de mezcla de productos: en este problema una
refinería produce 4 tipos de gasolina (gas 1, gas 2, gas 3 y gas 4).
Dos características importantes de cada gasolina son su número
de performance (NP) y su presión de vapor (RVP), que están
dados por:
NP
RVP
Barriles diarios
gas 1
107
5
3814
gas 2
93
8
2666
gas 3
87
4
4016
gas 4
108
21
1300
EJEMPLOS PROBLEMAS DE PL
… Ejemplos de modelamiento
modelamiento.. (Mezcla de Productos)
Estas gasolinas pueden ser vendidas directamente a un precio de
$24,83 por barril o bien mezcladas para obtener gasolinas de
aviación (avgas A y avgas B). La calidad de estas dos últimas junto
con sus precios de venta son:
NP
(proporciones)
RV
Precio por barril (US$)
avgas A
Al menos 100
A lo más 7
26,45
Avgas B
Al menos 91
A lo más 6
25,91
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EJEMPLOS PROBLEMAS DE PL
… Ejemplos de modelamiento
modelamiento.. (Mezcla de Productos)
Variables de decisión:
xj : cantidad de barriles del gas j que son vendidos sin mezclar,
con j = 1, 2, 3, 4.
xA : cantidad de barriles de avgas A.
xB : cantidad de barriles de avgas B.
xjA: cantidad de gas j usado en avgas A.
xjB: cantidad de gas j usado en avgas B.
EJEMPLOS PROBLEMAS DE PL
… Ejemplos de modelamiento
modelamiento.. (Mezcla de productos)
Función objetivo:
Max 24,83 (x1 + x2 + x3 + x4) + 26,45xA + 25,91xB
Restricciones: x1 + x1A + x1B = 3814
x2 + x2A + x2B = 2666
x3 + x3A + x3B = 4016
x4 + x4A + x4B = 1300
x1A + x2A + x3A + x4A = xA
x1B + x2B + x3B + x4B = xB
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EJEMPLOS PROBLEMAS DE PL
… Ejemplos de modelamiento
modelamiento.. (Mezcla de productos)
NP, avgas A:
107 x 1A + 93 x 2 A + 87 x 3 A + 108 x 4 A
≥ 100
xA
NP, avgas B:
107 x 1B + 93 x 2B + 87 x 3B + 108 x 4B
≥ 91
xB
RVP, avgas A:
5 x 1A + 8x 2 A + 4 x 3 A + 21x 4 A
≤7
xA
RVP, avgas B:
5 x1B + 8 x2 B + 4 x3 B + 21x4 B
≤6
xB
CORTE DE PAPEL (CUTTING STOCK)
Una industria productora de papel recibe un pedido de la siguiente forma:
600 rollos de 35 pulg. de ancho
300 rollos de 30 pulg. de ancho
200 rollos de 40 pulg. de ancho
100 rollos de 50 pulg. de ancho
La industria tiene en sus bodegas rollos semejantes, pero de 114 pulg. de
ancho, y en cantidad suficiente y decide utilizarlos para el pedido, cortándolos
en los diferentes anchos solicitados. ¿Cuál es la mejor forma de cortar los
rollos de 114 pulg. de ancho para satisfacer el pedido y minimizar el
desperdicio de papel?
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CORTE DE PAPEL (CUTTING STOCK)
Definición de las Variables de decisión
Se hace necesario encontrar todos los posibles patrones de corte lógicos que se pueden hacer
para satisfacer el pedido; ellos son:
Se consideran desperdicio de los rollos, resultantes de menos de 30 pulg. de ancho.
El desperdicio se considera proporcional al ancho perdido, pues se supone que todos los rollos de
114 pulg. de ancho son del mismo largo.
Así, las variables de decisión serían:
Xi = Número de rollos de 114 pulg. de ancho a cortar según el patrón i (i = 1, 2,
.., 12).
CORTE DE PAPEL (CUTTING STOCK)
Función Objetivo
Minimizar el desperdicio total:
Restricciones
Las restricciones surgen de la satisfacción del pedido, así:
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CORTE DE PAPEL (CUTTING STOCK)
Solución con restricciones de igualdad:
En todos los casos: Dmín = 2600 pul
Solución con restricciones de ≥
Dmín = 1800 pul.
Aquí sobran rollos, pero se cumple con el pedido.
PROGRAMA DE PN EN EL
TIEMPO
Un fabricante debe cumplir un contrato a cuatro meses durante
los cuales varían los costos de producción. El costo de
almacenamiento de unidades producidas en un mes
determinado y no vendidas en ese mes es de $10 por unidad y
por mes. Se dispone de la siguiente información:
Formule un modelo matemático para determinar el programa
óptimo de producción que cumple con el contrato a costo total
mínimo.
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PROGRAMA DE PN EN EL
TIEMPO
El “arte” de definir correctamente variables de decisión
Primera forma de formulación:
Variables de decisión
Sean Xi = Número de unidades producidas
en el mes i; i =1, 2, 3, 4.
Función Objetivo
La función objetivo tiene dos componentes:
Los costos de producción y los costos de almacenamiento.
Costos de producción
Costos de almacenamiento CA
Para encontrar la expresión para estos costos, es necesario ilustrar
el “balance de las unidades” a través del tiempo, así:
PROGRAMA DE PN EN EL
TIEMPO
Así, utilizando la convención de “fin de mes”, los costos de almacenamiento
serían:
O sea que la función objetivo simplificada es:
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9/19/2012
PROGRAMA DE PN EN EL
TIEMPO
Restricciones:
Por capacidad de producción:
Por contrato de ventas:
Obvias:
PROGRAMA DE PN EN EL
TIEMPO
Segunda forma de formulación:
Definición de las Variables de decisión
Sean Xij = Número de unidades producidas en el mes i y vendidas en el mes j;
i =1, 2, 3, 4; j =1, 2, 3, 4. j ≥ i
X11, X12, X13, X14, X22, X23, X24, X33, X34 y X44,
Función Objetivo
Costos de producción CP:
Costos de almacenamiento CA:
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PROGRAMA DE PN EN EL
TIEMPO
Restricciones:
Por capacidad de producción:
Por contrato de ventas:
Obvias:
PROGRAMA DE PN EN EL
TIEMPO
Solución
Primera forma de formulación:
Costo mínimo = $22.100
X1 = 40
X2 = 30
X3 = 30
X4 = 40
Segunda forma de formulación:
Costo mínimo = $22.100
Se producen infinitas soluciones. Las 2 básicas
son:
X11 = 20
X11 = 20
X13 = 20
X12 = 20
X22 = 30
X22 = 10
X33 = 30
X23 = 20
X44 = 40
X33 = 30
X44 = 40
Número de variables
Información relevante. Cuándo se produce y cuándo se vende
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PROGRAMACIÓN DE METAS
Cierta compañía planea introducir al mercado tres nuevos productos, debido a la próxima
obsolescencia de los que produce actualmente. El interés de la gerencia es determinar las tasas
de producción de cada uno de los productos, teniendo en cuenta tres objetivos fundamentales:
a. Lograr un Valor Presente Neto mínimo de mil millones de pesos (Utilidad a largo plazo).
b. Mantener el recurso laboral actual de 100 empleados (Nivel de empleo).
c. Sostener la inversión de capital en el nuevo equipo de 400 millones de pesos (Inversión inicial).
Como el gerente utiliza a menudo el Enfoque de Sistemas en sus decisiones, establece un
“puntaje de penalización” para cada objetivo en caso de no cumplirse éste a cabalidad, así:
PROGRAMACIÓN DE METAS
La contribución de cada producto la utilidad a largo plazo, al nivel de empleo y a la
inversión de capital es proporcional a su tasa de producción y las contribuciones
unitarias de cada producto son:
¿Cuáles deben ser las tasas de producción de cada producto para que los objetivos se
cumplan de la mejor forma posible?
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PROGRAMACIÓN DE METAS
Variables de decisión
Si se definen las actividades como Xi = Tasa de producción del producto i
(i=1,2, 3), las metas a cumplir serían las siguientes (en su orden: Objetivos (a),
(b) y (c)):
Dado que es necesario involucrar en el modelo los puntajes de penalización por
el incumplimiento de las metas, se definen Variables auxiliares
PROGRAMACIÓN DE METAS
Yi (i =1, 2, 3,) libres.
Si Y1> 0, indica que la utilidad ha sobrepasado los 1000 millones de pesos
Si Y1< 0, entonces la utilidad ha sido inferior a esa cifra y el objetivo no se
habría cumplido.
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PROGRAMACIÓN DE METAS
Solución
Validación
El producto 2 no debería producirse.
Las metas de utilidad a largo plazo y de inversión inicial se cumplen a cabalidad,
produciéndose 100 decenas de millones de utilidad e invirtiéndose inicialmente
40 decenas de millones de pesos.
La meta de nivel de empleo no puede ser cumplida, el nivel de empleados
debe ser aumentado en 5.0877 cientos, para poder cumplir con las otras dos
metas.
El puntaje óptimo P* = 15.2632 se obtiene de penalizar con 3 puntos por cada
10 empleados de más en la función objetivo.
PROBLEMA PROBABÍSTICO: ESTRATEGIA
MILITAR
En cierto período de guerra, el comando aéreo recibió la orden de destruir la producción de
tanques del enemigo, quien tiene cuatro plantas claves localizadas en ciudades separadas.
La destrucción de cualquiera de las plantas parará efectivamente la producción de tanques.
Existe una aguda escasez de combustibles para llevar a cabo la misión, con un limitante de
51,000 galones. Cualquier bombardero enviado a una ciudad en particular debe tener
combustible para ir y volver y una reserva de 150 galones. El número de bombarderos
disponibles en el comando y su descripción se dan a continuación.
La información acerca de la localización de las plantas y su vulnerabilidad de ataque por
estos dos tipos de aviones es la siguiente:
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PROBLEMA PROBABÍSTICO: ESTRATEGIA
MILITAR
Formule un modelo de programación lineal para determinar cuántos
bombarderos de cada tipo deben ser enviados a cada planta, con el
objetivo de maximizar la probabilidad de éxito de la misión. Se asume
que no se causa ningún daño en la planta si un bombardero falla al
destruirla.
PROBLEMA PROBABÍSTICO: ESTRATEGIA
MILITAR
Variables de decisión:
Sean Xij = Número de bombarderos tipo “i” a ser enviados a la planta
“j”;
i = 1: Bombardero tipo pesado,
i = 2: Bombardero tipo mediano,
j = 1, 2, 3, 4: Plantas 1, 2, 3 y 4, respectivamente.
Función objetivo: Minimizar la probabilidad de fracaso.
La probabilidad de fracaso sería la intersección (producto) de todas las
probabilidades de fracaso de cada bombardero a cada planta (se
considera independiente la acción de cualquier bombardero con
respecto a la de cualquier otro).
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PROBLEMA PROBABÍSTICO: ESTRATEGIA
MILITAR
Restricciones:
Por disponibilidad de aviones:
Por disponibilidad de combustible:
Un avión cualquiera debe tener combustible para ir a la planta, volver y tener
una reserva de 150 galones
Los aviones tipo pesado que se envíen a la planta 1 utilizarán la siguiente
cantidad de combustible:
PROBLEMA PROBABÍSTICO: ESTRATEGIA
MILITAR
Entonces tenemos…
Simplificando, se obtiene:
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PROBLEMA PROBABÍSTICO: ESTRATEGIA
MILITAR
Restricciones Obvias:
La solución óptima de este modelo de PL entera es:
X14 = 43
X24 = 34
Zmáx = 19.9572
ó probabilidad de falla de P = e−19.9572 = 2.15
×10−9
O sea que si se envían 43 aviones pesados y 34 aviones medianos,
todos a la planta 4 del enemigo, la probabilidad de falla de la misión
es casi cero.
Mezcla Óptima de Productos –
Variables Binarias
Una empresa europea piensa instalar plantas de producción en Cali para
lanzar sus productos al mercado nacional, por lo que necesita decidir su plan
de producción para el próximo año. La empresa puede fabricar N tipos de
productos y la elaboración de cada uno de ellos implica la compra de una
máquina especializada, a un costo de fi [$]. Además, el costo variable de
producir una unidad del producto i es de ci [$]. Así, si se decide elaborar el
producto i se deberá necesariamente incurrir en un costo de fi [$] más los
costos variables por elaboración del producto, y si se decide no fabricarlo no
se incurrirá en ningún tipo de gasto.
Si la demanda pronosticada para el producto i es de Di unidades (i = 1…N)
pudiendo venderse dicho producto a un precio de pi [$], formule un modelo
que resuelva el problema de encontrar el conjunto de productos que la
empresa debe fabricar, sabiendo que se desea producir exactamente L
productos diferentes, para los cuales se deberá satisfacer la demanda.
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CARGA AVIÓN
Un avión de carga tiene tres bodegas o compartimentos, adelante, al centro y atrás.
Estos compartimentos tienen límites de volumen y peso, así:
El propietario del avión tiene posibilidad de llevar parte de la carga o toda la que se le ofrece (si tiene
capacidad). Esta carga y sus características son las siguientes:
Para preservar el equilibrio del avión, el peso transportado en cada compartimiento debe guardar la misma
proporción con respecto a su capacidad. Formule un modelo matemático para determinar cuál tipo de carga,
qué cantidad y qué compartimentos debe el propietario del avión escoger para maximizar su utilidad y no
correr peligro durante el viaje.
PROBLEMAS DE PL
Problema planeación de producción. (0)
Producción máxima. 200 artículos de A, 100 artículos de B, combinación de A y B
Capacidad diaria sección de pintura. 120 artículos de A, 160 artículos de B, combinación de
AyB
Capacidad diaria planta de tratamiento térmico. A no requiere, 90 artículos de B, o B sin
tratamiento
Procesamiento artículo A en minutos. 3 en M1 y 2 en M2
Procesamiento artículo B. Total de 5 en M1
o
2 en M1 y 1 en M2
Disponibilidad diaria de máquinas. 8 horas = 480 minutos
Consumo de material en libras. A ( 1 de X y 2 de Y)
B (2 de X y 3 de Y)
Disponibilidad de material. 140 de X y 80 de Y
Costo de material por unidad. X = $200 Y = $300
Disponibilidad o presupuesto para la compra de material. $ 60.000
Restricción adicional de compra de material. De X no puede comprarse más del 20% de Y
Utilidad por cada artículo.
A = $ 4.000 B sin tratamiento = $ 3.000 B con tratamiento = $ 5.000
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PROBLEMAS DE PL
Problema producción – distribución (III)
M = número de plantas productoras.
Si = capacidad de producción por periodo de la planta i.
N = número de ciudades clientes.
T = número de periodos a analizar.
Djt = demanda de la ciudad j en el periodo t (Nota: la demanda DEBE ser satisfecha).
Cit = costo unitario de producción en la planta i en el periodo t.
P = número de bodegas.
gk = costo variable por cada unidad de producto almacenado durante un periodo en la
bodega k.
Wk = capacidad en unidades en la bodega k.
PBikt = costo de transporte desde la planta i hasta la bodega k en el periodo t.
BCkjt = costo de transporte desde la bodega k hasta la ciudad j en el periodo t.
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