Soluciones del apartado «Resuelve problemas»

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17 Efectúa las siguientes transformaciones e indica qué rapidez, de las tres primeras, es mayor:
a) 12 m/s a km/h
b) 54 km/h a m/s
c) 30 dam/min a m/s
d) 28 r.p.m. a rad/s
a) 12 m = 12 m · 1 km
· 3 600 s = 12 · 3 3600 km = 43,2 km
s
s 103 m
1h
10
h
h
3
3
b) 54 km = 54 km · 10 m · 1 h = 54 · 10 m = 15 m
s
h
h
1 km 3 600 s
3 600 s
c) 30 dam = 30 dam · 10 m · 1 min = 5 m
s
min
min 1 dam 60 s
d) 28 r.p.m. = 28 vueltas · 2 · π rad · 1 min = 2,93 rad
min
60 s
s
1 vuelta
La mayor de las tres primeras es la b), ya que 15 m/s > 12 m/s > 5 m/s.
18 Referido a un sistema de referencia rectilíneo, un móvil pasa de las posiciones:
a) A = 3 m a B = 12 m
b) A = –5 m a B = 8 m
c) A = 1 m a B = 12 m y, a continuación, a C = 9 m.
Calcula, para cada caso, la distancia recorrida y dibuja el vector desplazamiento.
La distancia recorrida en cada caso es:
a) Ds = xf – x0 = 12 – 3 = 9 m
b) Ds = 8 – (–5) = 13 m
c) Ds = (12 – 1) + (12 – 9) = 14 m
En la siguiente figura se representa el vector desplazamiento en los tres casos:
∆x
0
3
12
x (m)
∆x
–5
8 x (m)
0
∆x
0 1
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9
12
x (m)
S
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19 Un móvil se desplaza por el plano recorriendo segmentos rectilíneos, ocupando, en un sistema de coordenadas cartesianas, sucesivamente, los siguientes puntos, medidos en unidades del S.I.: A (2, 1), B (6, 4) y C (10, 4):
a) Dibuja la trayectoria seguida por el móvil.
b) Calcula las distancias recorridas cuando pasa de A a B y de B a C.
c) Calcula el espacio total recorrido.
d) Dibuja y calcula el módulo del desplazamiento cuando pasa de A a B y
cuando pasa de A a C.
a) La trayectoria seguida por el móvil es:
Y
6
B
4
C
2
A
2
4
6
8
10
X
b) Las distancias recorridas en cada tramo son:
d(AB) =
4 2 + 32 =
25 = 5 m ; d(BC) = 4 m
c) Y el espacio total recorrido es:
d(AB) + d(BC) = 5 m + 4 m = 9 m
d) El desplazamiento de A a B es un vector de módulo 5 u, que tiene la dirección de la recta que pasa por los puntos A y B, y cuyo sentido es de A a B.
e) Vamos a obtener el módulo del vector determinado por los puntos A y C;
d(AC) =
8 2 + 32 =
64 + 9 =
73 = 8,54 u
por tanto, el vector desplazamiento es un vector de módulo 8,54 u, cuya
dirección es la de la recta que pasa por los puntos A y C y cuyo sentido es de
A a C, como se muestra en la siguiente figura:
Y
B
4
C
∆x
2
A
2
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4
6
8
10
X
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20 La tabla siguiente muestra las posiciones que ocupa un móvil en una recta, a
lo largo de un cierto tiempo:
A
B
C
D
E
F
G
Tiempo (s)
0
1
2
3
4
5
6
Posición (m)
20 25 30 35 40 45 50
A partir de ella, calcula:
a) El espacio recorrido desde A hasta G.
b) El desplazamiento entre los mismos puntos.
c) La rapidez y la velocidad medias en el tramo BG. ¿En qué se diferencian
ambas magnitudes?
a) Teniendo en cuenta que el móvil no realiza ningún cambio de sentido, el
espacio recorrido entre ambas posiciones es:
d(AG) = 50 m – 20 m = 30 m
b) El módulo del vector desplazamiento, al ser la trayectoria rectilínea, es igual
a la distancia recorrida:
∆x = 30 m
0
20
50
x (m)
c) La rapidez media en el tramo BG es:
v = (50 – 25) m = 25 m = 5 m/s
(6 – 1) s
5s
La rapidez es siempre positiva, ya que es la relación entre la distancia y el
tiempo. La velocidad es un vector, de módulo 5 m/s, que nos indica que se
mueve hacia la derecha del eje X.
21 Un móvil, que se desplaza sobre la recta real, pasa del punto A = –1 m al
B = 11 m en 3 s; después, va del B al C = 5 m en otros 3 s. Calcula la rapidez y la velocidad. ¿Por qué no coinciden si la trayectoria es una recta?
En el primer tramo, AB, la distancia recorrida por el móvil es:
d(AB) = 11 m – (–1) m = 12 m
Luego, la rapidez vale:
Rapidez = 12 m = 4 m/s
3s
y, como se mueve hacia la derecha, la velocidad es v = +4 m/s.
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En el segundo tramo, BC, tenemos:
Rapidez = 6 m = 2 m/s
3s
y la velocidad es v = –2 m/s, que es negativo porque se mueve hacia la izquierda.
d(BC) = 11 m – 5 m = 6 m
;
No coinciden porque la rapidez es una magnitud escalar, mientras que la velocidad
es vectorial y, por tanto, indica también la dirección y el sentido del movimiento.
22 Un motorista recorre 9,6 km en 5 min. Calcula su rapidez, en m/s, y el espacio que recorrerá en 25 min.
De los datos del enunciado, la rapidez resulta:
3
3
v = 9,6 km · 10 m · 1 min = 9,6 · 10 m = 32 m
s
5 min
60 s
1 km
5 · 60 s
En 25 minutos recorrerá cinco veces lo que ha hecho en 5 minutos, es decir:
5 min · 9,6 km = 5 · 9,6 km = 48 km
5 min
23 Un móvil recorre una circunferencia con ω = 3,1 rad/s; halla el tiempo que
tardará en recorrer 65,1 radianes.
De la definición de velocidad angular, despejando el tiempo obtenemos:
t = j = 65,1 rad = 21 s
u 3,1 rad/s
24 Un móvil que recorre una trayectoria rectilínea se mueve de A = 5 m, a
B = 15 m, en 2 s. Representa el movimiento en un sistema x-t y calcula, gráfica y analíticamente, el espacio recorrido.
Representando las parejas de puntos en un diagrama x-t obtenemos:
x (m)
15
10
5
1
2 t (s)
El espacio recorrido se puede obtener a partir de las posiciones inicial y final:
d(AB) = 15 m – 5 m = 10 m
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25 Señala las peculiaridades de los movimientos cuyas ecuaciones características
son:
a) x = –5 + 3 · t
b) x = 2 + 4 · t
c) x = –3 – 7 · t
d) x = –7 · t + 1/2 · t2
e) x = 4 – 5 · t – 1/2 · 2 · t2
f) x = 4 – 3 · t
Las ecuaciones a), b), c) y f ) representan movimientos uniformes:
a) El móvil parte de la posición –5 m, y se mueve hacia la derecha con la velocidad de 3 m/s.
b) El móvil parte de la posición 2 m y se mueve hacia la derecha con la velocidad de 4 m/s.
c) El móvil parte de la posición –3 m y se mueve hacia la izquierda con la velocidad de 7 m/s.
f ) El móvil parte de la posición 4 m y se mueve hacia la izquierda con la velocidad de 3 m/s.
Las ecuaciones d) y e) representan movimientos rectilíneos uniformemente acelerados:
d) El móvil parte del origen, con una velocidad inicial de 7 m/s hacia la izquierda, y una aceleración de 1 m/s2. Es, por tanto, un movimiento retardado.
e) El móvil parte de la posición 4 m y se mueve inicialmente hacia la izquierda, con una velocidad de 5 m/s, con una aceleración de –2 m/s2. Es decir,
acelera hacia la izquierda.
26 Un móvil recorre hacia la derecha 50 m en 12 s, se para 5 s, y regresa al punto
de partida, tardando en ello 20 s. Representa la gráfica x-t de este movimiento, y calcula el espacio recorrido y el desplazamiento.
x (m)
50
10
20
12 17
30
40 t (s)
37
El espacio recorrido es:
Ds = 50 m + 50 m = 100 m
El desplazamiento es cero (Dx = 0), ya que el punto final coincide con el inicial.
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27 Desde el origen, O, parte un móvil hacia la derecha situándose, en 5 s, en
A = 35 m, donde se detiene. Calcula su velocidad (módulo y sentido) y el
tiempo que tardará en llegar a la posición B = –189 m, si retrocede hacia la
izquierda con la misma rapidez.
El módulo de su velocidad en el primer tramo (desde O hasta A) es:
v = Ds = (35 – 0) m = 7 m/s
Dt
5s
Y su sentido es el del movimiento; es decir, hacia la derecha.
Cuando retrocede hasta B, su velocidad es v = –7 m/s, por lo que el tiempo que
empleará en llegar a este punto vale:
Dt = Ds = (–189 – 35) m = 32 s
v
–7 m/s
28 Un móvil que se desplaza en línea recta con una rapidez de 10 m/s acelera a
–2 m/s2. Calcula el tiempo que tardará en pararse y representa el diagrama v-t.
Despejando en la expresión de la velocidad en un m.u.a. y teniendo en cuenta
que la velocidad final es nula:
v
vf = v0 + a · t = 0 8 t = – 0 = – 10 m/s2 = 5 s
a
–2 m/s
El diagrama v-t de este movimiento se construye representando los datos de la
velocidad inicial y la final en los instantes de tiempo correspondientes:
v (m/s)
10
5
t (s)
29 Un móvil, con rapidez de 1,5 m/s al pasar por x0 = –2 m, acelera con a = 0,2 m/s2
durante 10 s:
a) ¿Hacia dónde se mueve?
b) Su movimiento, ¿es acelerado o decelerado?
c) Calcula su posición al cabo de 10 segundos, su velocidad en ese instante y
el espacio que ha recorrido.
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a) Como la velocidad lleva signo positivo (+), nos indica que se mueve hacia la
derecha.
b) Como la velocidad y la aceleración tienen el mismo signo, se trata de un
m.r.u.a.
c) La ecuación característica de este tipo de movimiento es:
x = x0 + v0 · t + (1/2) · a · t 2
por tanto, sustituyendo los valores conocidos:
x = –2 + 1,5 · t + (1/2) · 0,2 · t 2
y sustituyendo t = 10 s:
x = –2 m + 1,5 m/s · 10 s + (1/2) · 0,2 m/s2 · (10 s)2 = 23 m
v = v0 + a · t = 1,5 m/s + 0,2 m/s2 · 10 s = 3,5 m/s
e = x – x0 = 23 m – (–2) m = 25 m
30 La velocidad de un móvil, en cada instante, viene dada por la ecuación:
v = –3 – 0,8 · t
a) Deduce las características del movimiento.
b) Si parte de xi = 3 m, escribe su ecuación de posición y calcula el espacio
recorrido en 6 segundos.
a) Las características del movimiento son:
v0 = –3 m/s
;
a = –0,8 m/s2
Al ser la velocidad inicial negativa, v0 = –3 m/s, implica que se desplaza hacia
la izquierda y, al llevar v0 y a el mismo signo, se trata de un m.r.u.a.
b) Con xi = 3 m, la ecuación de la posición es:
x = 3 – 3 · t – (1/2) · 0,8 · t 2
Al cabo de 6 s, su posición será:
x = 3 m – 3 m/s · 6 s – (1/2) · 0,8 m/s2 · (6 s)2 = –29,4 m
Por tanto, el espacio recorrido es:
Dx = x – xi = –29,4 m – 3 m = –32,4 m
Es decir, es de 32,4 m hacia la parte negativa del eje X.
31 Desde una altura determinada, se deja caer un cuerpo. Si llega al suelo con
v = 49 m/s, g = 9,8 m/s2 y no tenemos en cuenta el rozamiento, calcula el
tiempo de vuelo y la altura desde la que se soltó.
El cuerpo cae siguiendo un m.u.a. con velocidad inicial nula.
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Sustituyendo los datos y despejando el tiempo en la ecuación de la velocidad en
el m.u.a., este resulta:
v = g · t 8 –49 m/s = –9,8 m/s2 · t 8 t = –49 m/s2 = 5 s
–9,8 m/s
Y llevando este valor a la ecuación de la posición en este tipo de movimientos:
h = 1 · g · t 2 = 1 · 9,8 m/s2 · (5 s)2 = 122,5 m
2
2
32 Un disco, de R = 15 cm, da 15 vueltas en 5 s. Calcula:
a) Su velocidad angular, su período y su frecuencia.
b) El número de vueltas y el arco que recorrerá en 20 s.
c) Su velocidad lineal a 1, 2 y 3 cm del eje de giro.
a) La velocidad angular es:
u=
j 15 · 2 · π rad
=
= 6 · π rad/s
t
5s
La frecuencia es el número de vueltas que da en un segundo; como ha dado
15 vueltas en 5 segundos, será:
f = 15 vueltas = 3 vueltas/s = 3 Hz
5s
El período es el inverso de la frecuencia:
T = 1 = 1 s = 0,33 s
f
3
b) Según la frecuencia, da 3 vueltas en un segundo; luego, en 20 segundos dará:
20 s · 3 vueltas/s = 60 vueltas
Lo que corresponde a un arco de:
j = 60 vueltas · 2 · π rad/vuelta = 120 · π rad
c) La velocidad lineal se relaciona con la angular por medio de la expresión:
v=u ·r
Donde u = 6 · π rad/s. Por tanto, para los radios de giro propuestos:
r = 0,01 m 8 v = 0,19 m/s
r = 0,02 m 8 v = 0,38 m/s
r = 0,03 m 8 v = 0,56 m/s
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