Tema 4. Condensadores y Bobinas

Tema 4. Condensadores y Bobinas
4.1 Introducción
4.2 Condensadores
4.3 Energía almacenada en un condensador

E (t )
4.4 Asociación de condensadores
4.5 Bobinas
 q(t )
 q (t )
4.6 Energía almacenada en una bobina
4.7 Asociación de bobinas
i (t )


VS
José A. Pereda, Dpto. Ing. de Comunicaciones, Universidad de Cantabria.
1
Bibliografía Básica para este Tema:
[1] C. K. Alexander, M. N. O. Sadiku, “Fundamentos de circuitos
eléctricos”, 3ª ed., McGraw-Hill, 2006.
[2] R. C. Dorf, J. A. Svoboda, “Introduction to electric circuits”,
7th ed., John Wiley & Sons, 2006.
Sadiku  Tema 6
Dorf  Tema 7
- Esta presentación se encuentra, temporalmente, en:
http://personales.unican.es/peredaj/AC.htm
2
4.1 Introducción
- En los temas anteriores hemos estudiado circuitos en régimen de
corriente continua (sólo incluyen fuentes de continua y resistencias)
- Una fuente de continua es aquella que proporciona un valor constante
(independiente del tiempo) de tensión (o corriente).
- El concepto “fuente de continua” es una idealización, ya que todas las
fuentes se encienden y apagan en instantes concretos de tiempo
- En este tema y el siguiente abordaremos el análisis de circuitos con
fuentes que se encienden y/o apagan en instantes concretos de tiempo
- Estamos interesados en estudiar circuitos en régimen transitorio, es
decir, queremos analizar cómo varían las tensiones y corrientes en un
circuito durante los instantes de tiempo inmediatamente posteriores
a un cambio abrupto en el valor de alguna fuente
- Para realizar este estudio debemos introducir nuevos elementos de
circuito: los condensadores y las bobinas
3
4.2 Condensadores
- Definición de condensador:
* Un condensador es un elemento pasivo capaz de almacenar energía
eléctrica
* Esta formado por dos conductores (armaduras) separados por
un material aislante (dieléctrico)
- Condensador de placas plano-paralelas: en su configuración más
sencilla las armaduras están constituidas por una pareja de placas
metálicas mutuamente paralelas.
- En muchas aplicaciones prácticas las placas
son de aluminio, mientras que el dieléctrico
puede ser aire, cerámica, papel, mica,…
4
4.2 Condensadores
- Condensador descargado:
q0
q0
- Un condensador descargado es aquél cuyas
placas no tienen carga neta (son neutras)


v0
- La tensión entre las placas de un condensador
descargado es nula
- Proceso de carga: (descripción fenomenológica)
- La forma más sencilla de cargar un
condensador es conectándolo a una batería

E (t ), v(t )
 q (t )
 q (t )
- Durante el proceso de carga:
1. Se crea una corriente en el circuito i (t)
2. Electrones de una placa pasan a la otra
i (t )
3. Aparece un campo eléctrico en el condensador
4. Se establece una tensión entre las placas v (t)


VS
5
4.2 Condensadores
- Proceso de carga: (descripción fenomenológica)
- El proceso de carga No es instantáneo
- Termina cuando:
1. La corriente se va a cero
2. La tensión se iguala a la de la fuente

E
q
q
- Una vez concluido el proceso de carga y retirada
la batería:
1. Ambas placas tienen la misma carga, pero de
signo contrario
2. La tensión entre las placas es igual a la
tensión de la batería


v  VS
6
4.2 Condensadores
- Definición de capacidad:
“La capacidad es la relación entre la carga en la placa positiva, q >0,
y la tensión entre las dos placas v >0”
q
q
- Matemáticamente:
C
q
v

v
- Unidades de la capacidad: El faradio (F)
1 culombio
1 faradio 
1 voltio
1F 

1C
1V
7
4.2 Condensadores
- Definición de capacidad:
- Condensador lineal: la capacidad de un condensador lineal es un valor
positivo que no depende de la carga ni de la tensión aplicada, sólo
depende de la geometría y de los materiales
- Capacidad de un condensador plano-paralelo:
C
S
S

d
- S : área de las placas
- d : separación entre placas
-  : permitividad del dieléctrico
d
8
4.2 Condensadores
- Relación i-v para un condensador:
q  Cv
dq
dv
C
dt
dt
- Partimos de la relación carga-tensión:
- Derivando respecto del tiempo:
- Teniendo en cuenta que:
- Resulta:
dv
iC
dt
dq
i
dt
i (t )
C


v(t )
- Si
dv
 0  i  0 , luego
dt
En régimen de corriente continua el circuito equivalente de un
condensador es un circuito abierto
9
-Ejemplo 1: Determinar la corriente que circula por un condensador de
200 µF si la tensión entre sus terminales es la mostrada en la figura.
A&S-3ª Ej. 6.4
v(t ), [V]
50
0
1
2
3
4
5
t , [s]
 50
10
Solución:
C  200 F
50t
100-50t

v(t )  
 200  50t
0
0  t 1
1 t  3
3t  4
en otro caso
v(t ), [V]
50
0
1
2
3
4
5
t , [s]
4
5
t , [s]
 50
i (t ), [mA]
i (t )
10
C


v(t )
dv(t )
i (t )  C
dt
0
1
2
3
 10
 10 mA 0  t  1
 50 0  t  1
 10 mA 1  t  3
 50 1  t  3


i (t )  200 10 6  

 10 mA 3  t  4
 50 3  t  4
0
en otro caso 0
en otro caso
11
4.2 Condensadores
- Relación v-i para un condensador:
- Partimos del resultado anterior:
- Integrando:
1 t
t0 dv  C t0 idt
t
dv
iC
dt
1
dv  idt
C
1 t
v(t )   idt  v(t0 )
C t0
- donde v (t0) es la tensión en el instante inicial t =t0
- El condensador es un elemento con memoria
La tensión entre las armaduras de un condensador depende de la
historia pasada de la corriente y del valor inicial de tensión
12
4.2 Condensadores
- Condición de continuidad para la tensión de un condensador:
- Cálculo de la tensión en
t  t0 :
1 t0
v(t )   idt  v(t0 )  v(t0 )  v(t0 )
C t0

0
0
La tensión entre las armaduras de un condensador NO puede variar
de forma brusca (instantánea).
dv
iC
dt
v(t )

i (t )

t
t
13
-Ejemplo 2: Por un condensador de 1 mF inicialmente descargado fluye
la corriente que se muestra en la figura. Calcular la tensión en el
condensador en los instantes t = 2 ms y t = 5 ms.
A&S-3ª PdeP. 6.4
i (t ), [mA]
100
0
1
2
3
4
5
6
t , [ms]
14
Solución:
C  1 mF
1 t
v(t )   i (t ) dt  v(t0 )
C t0
v(2 ms)  ?
v(5 ms)  ?
t0  0
- Caso t = 2 ms:

i (t ), [mA]
50t A 0 s  t  2 ms

i (t )  0.1 A 2 ms  t  5 ms
0 A en otro caso

C
i (t )

v(t )
100
0
v ( 0)  0
1
2
3
4
5
6
t , [ms]
-3
1 2103
1
2 2 10
v(2 ms)  
50t dt  25 t
 103  25  4  10 6  0.1 V
0
C 0
C
- Caso t = 5 ms: t0  2 ms
v(2 ms)  0.1 V
1 5103
v(5 ms)   3 0.1 dt  v(2 ms)
C 210
510 3
 10  0.1t 2103  0.1  0.3  0.1  0.4 V
3
15
4.3 Energía almacenada en un condensador
- Potencia en un condensador:
p  vi
dv
iC
dt
i (t )
dv
p  Cv
dt
C


v(t )
- La potencia puede ser positiva o negativa:
dv
1. Si v
 0  p  0 el condensador está almacenando energía
dt
dv
2. Si v
 0  p  0 el condensador está suministrando energía
dt
- Un condensador ideal no disipa energía
16
4.3 Energía almacenada en un condensador
- Energía almacenada en un condensador:
p
- Integrando
dw
 dw  pdt
dt
t
t


 dw  
p dt
t
1 2t
dv
w(t )  w()   p dt   Cv dt  C  vdv  C v




dt
2
t
t
- Considerando que en t = -inf el condensador esta descargado:
v()  0  w()  0
- Entonces
1
w(t )  C[v(t )]2
2
17
-Ejemplo 3: La tensión a través de un condensador de 5 mF se
muestra en la figura. Dibujar las gráficas correspondientes a la
corriente, potencia y energía en dicho condensador
D&S-7ª Ej. 7.3-2
v(t ), [V]
100
50
0
0
1
2
3
4
5
t , [s]
18
Solución:
i (t )
v(t ), [V]
C

100
C  5 mF

v(t )
50
0
0
2
1
3
4
5
t , [s]
i (t ), [A]
0.25
0
1
 0.25
2
3
4
5
t , [s]
0
50t

v(t )  
200  50t
50
t0
0t 2
2t 3
3t
dv
iC
dt
0
0.25

i (t )  
 0.25
0
t0
0t 2
2t 3
3t
19
- Potencia:
p  vi
0
50t

v(t )  
200  50t
50
0
12.5t

p (t )  
 50  12.5t
0
t0
0t 2
2t 3
3t
t0
0t 2
2t 3
3t
t0
0t 2
2t 3
3t
0
0.25

i (t )  
 0.25
0
p (t ), [W]
p (t )  v(t )i (t )
25
0
1
2
3
4
5
t , [s]
 25
20
- Energía:
1 2
w  Cv
2
0
50t

v(t )  
200  50t
50
t0
0t 2
2t 3
3t
p (t ), [W]
p (t )  v(t )i (t )
25
0
1
2
3
4
5
t , [s]
 25
w(t ), [J]
0

2
6
.
125
t

w(t )  
2


0
.
25
20

5
t

6.25

t0
25
1
2
w(t )  C v(t )
2
0t 2
2t 3
3t
6.25
0
1
2
3
4
5
t , [s]
21
-Ejemplo 4: Calcular la energía almacenada en cada condensador de la
figura en régimen de continua.
A&S-3ª Ej 6.5
2 mF
2 k
5 k
6 mA
3 k
4 k
4 mF
22
Solución:
 v1 
- La energía en un condensador vale:
2 k
w  12 Cv 2
- Tenemos que calcular las tensiones
en los condensadores
i1
i2
i2
5 k
- Para ello sustituimos los
6 mA
condensadores por circuitos abiertos
3 k
- Queda un divisor de corriente
3
i2 
 6  10 3  2 mA
3 2 4
- Aplicando la ley de Ohm

 2 10   4 V
 4 10  2 10   8 V
v1  2 10
v2
3
3
3
3

v2

4 k
- La energía resulta:
w1  12 C1v12


 12  2  10 3  4 2  16 mJ
w2  12 C2 v22


 12  4  10 3  82  128 mJ
23
4.4 Asociación de condensadores
- Asociación de condensadores en paralelo:
i
- KCL:
A
i1

 v
i2
C1
dv
- Relación i-v: i1  C1
dt
C2
A
- Luego:

 v
dv
i2  C2
dt
- Sustituyendo en KCL:
B
i
i  i1  i2
Ceq
dv
i  C1  C2 
dt
dv
i  Ceq
dt
Ceq  C1  C2
B
- Para N condensadores en paralelo: Ceq  C1  C2    C N 
N
C
n 124
n
4.4 Asociación de condensadores
- Asociación de condensadores en serie:
- KVL:
C1
C2
i
A


 v
v1


v2

v  v1  v2
- Relación v-i:
1
1 t
v1   idt  v1 (t0 ) v2 
C2
C1 t0
t
 idt  v (t )
t0
2
- Sustituyendo en KVL:
B
i
A


 v

B
Ceq
 1
1  t
v      idt  v1 (t0 )  v2 (t0 )
 C1 C2  t0
1 t
v
idt  v(t0 )
- Luego:

t
Ceq 0
1
1
1


Ceq C1 C2
N
1
1
1
1
1


 

- Para N resistencias en serie:
Ceq C1 C2
C N n 1 C25
n
0
-Ejemplo 5: Calcular la capacidad equivalente vista desde los terminales
A-B del circuito de la figura
A&S-3ª Ej. 6.6
5 F
60 F
A
Ceq
20 F
6 F
20 F
B
26
Solución:
5 F
60 F
A
A
Ceq
20 F
6 F
Ceq  20 F
20 F
B
B
5  20
5 F - Serie - 20 F 
 4F
5  20

60 F - Serie - 30 F 
60  30
 20F
60  30

60 F
60 F
A
Ceq
B
20  6  4  30 F
20 F
6 F
4 F

A
Ceq
B
30 F
27
4.5 Bobinas
- Definición de bobina:
* Una bobina es un elemento pasivo capaz de almacenar energía
magnética
- Solenoide recto: la configuración más sencilla de bobina es el
solenoide recto. Consiste en un arrollamiento de cable en forma de
espiral. En interior (núcleo) puede estar relleno de algún material
magnético
28
4.5 Bobinas
- Cuando circula corriente eléctrica por una bobina se produce un
campo magnético como el mostrado en la figura
29
4.5 Bobinas
- Relación v-i para una bobina. Autoinducción:
- La relación v-i para una bobina es:
di
vL
dt
i (t )
L


v(t )
siendo L una constante denominada inductancia o coeficiente de
autoinducción
- Unidades de la inductancia: henrio (H)
- Si
di
 0  v  0 , luego
dt
En régimen de corriente continua el circuito equivalente de una
bobina es un corto-circuito
30
4.5 Bobinas
- Inductancia de una bobina recta:
N 2 A
L

- N : número de espiras
-A : área de las espiras
- l : longitud
-  : permeabilidad del núcleo
- Bobina lineal: la inductancia de una bobina lineal es un valor positivo
que no depende de la tensión ni de la corriente, sólo depende de la
geometría y de los materiales
31
4.5 Bobinas
- Relación i-v para una bobina:
- Partimos del resultado anterior:
- Integrando:
di
vL
dt
1 t
t0 di  L t0 vdt
t
1
di  vdt
L
1 t
i (t )   v(t )dt  i (t0 )
L t0
- donde i (t0) es la corriente en el instante inicial t = t0
- La bobina es un elemento con memoria
La corriente que atraviesa una bobina depende de la historia pasada
de la tensión y del valor inicial de corriente.
32
-Ejemplo 6: Determinar la corriente que circula a través de una bobina
de 5 H si la tensión entre sus terminales es:
30t 2 si t  0
v(t )  
si t  0
0
A&S-3ª Ej. 6.9
Solución:
i (t )
- La corriente vale:
1 t
i (t )   v(t )dt  i (t0 )
L t0
- En nuestro caso
L


v(t )
t0  0 L  5 H y i (t0 )  i (0)  0
- Luego
1 t
i (t )   30t 2 dt  2t 3
5 0

2t 3
i (t )  
0
si t  0
si t  0
33
4.5 Bobinas
- Condición de continuidad para la corriente en una bobina:
- Cálculo de la corriente en
t  t0 :
1 t0
i (t )   vdt  i (t0 )
L t0

0

i (t0 )  i (t0 )
0
La corriente que circula por una bobina NO puede cambiar
instantáneamente.
34
4.6 Energía almacenada en una bobina
- Potencia en una bobina:
p  vi
di
vL
dt
i (t )
di
p  Li
dt
L


v(t )
- La potencia puede ser positiva o negativa:
di
1. Si i
 0  p  0 la bobina está almacenando energía
dt
di
2. Si i
 0  p  0 la bobina está suministrando energía
dt
- La bobina ideal no disipa energía
35
4.6 Energía almacenada en una bobina
- Energía almacenada en una bobina:
dw
p
 dw  pdt
dt
- Integrando
t
t


 dw  
p dt
t
di
1 2t
w(t )  w()   p dt   Li dt  L  idi  Li




dt
2
t
t
- Considerando que en t = -inf la corriente en la bobina era nula:
i ()  0 y w()  0
- Entonces
1
w(t )  L[i (t )]2
2
36
-Ejemplo 7: Calcular la energía almacenada en el condensador y en la
bobina de la figura en régimen de continua.
A&S-3ª Ej 6.10
1
12 V


5
4
2H
1F
37
1
Solución:
5
- Las energías pedidas valen:
wC  12 CvC2
wL  12 LiC2
siendo vC la tensión en el condensador
e iL la corriente en la bobina.
12 V


- Para calcular vC e iL sustituimos el
condensador y la bobina por su equivalente en DC
- Queda un divisor de tensión:
5
vC 
12  10 V
1 5
- Según la ley de Ohm:
vC 10
iL 

2A
5
5
4

vC

iL
- Las energías resultan:
wC  12 CvC2  12  110 2  50 J
wL  12 LiL2  12  2  2 2  4 J
38
4.7 Asociación de bobinas
- Asociación de bobinas es serie:
i
L2
L1
A
 v   v 
2
1

 v
- KVL:
v  v1  v2
di
- Relación v-i: v1  L1
dt
di
v2  L2
dt
- Sustituyendo en KVL:
di
v  L1  L2 
dt
- Luego:
di
v  Leq
dt
B
i
A


 v

Leq
Leq  L1  L2
B
N
- Para N bobinas en serie:
Leq  L1  L2    LN   Ln
n 1
39
4.7 Asociación de bobinas
- Asociación de bobinas en paralelo:
- KCL:
i
A
i1

 v
L1
i2
- Relación i-v:
L2
1 t
1
i1   vdt  i1 (t0 ); i2 
L1 t0
L2
A
1
1 1
 
Leq L1 L2


 v
t
 vdt  i (t )
t0
2
- Sustituyendo en KCL:
B
i
i  i1  i2

Leq
1 1  t
i      vdt  i (t0 )
 L1 L2  t0
1
- Luego: i 
Leq
t
 vdt  i(t )
t0
0
B
- Para N bobinas en paralelo:
N
1
1 1
1
1
   

Leq L1 L2
LN n 1 Ln 40
0
-Ejemplo 8: Calcular la autoinducción equivalente vista desde los
terminales A-B del circuito de la figura
A&S-3ª Ej. 6.11
4H
20 H
A
Leq
7H
12 H
B
8H
10 H
41
Solución:
4H
20 H
10  12  20  42 H
A
4H
A
Leq
7H
12 H

B
8H
Leq
7H
42 H
B 8H
10 H

7 H || 42 H 
7  42
6H
7  42
4H
A
A
Leq  4  6  8  18 H
B

Leq
6H
B
8H
42
43