Construcción de señales usando escalones y rampas J. I. Huircán Universidad de La Frontera March 31, 2014 Abstract Se plantean métodos para componer y descomponer señales basadas en escalones y rampas. Se de…ne la función pulso, la cual al multiplicarla con otra señal permite eliminar parte de ella en determinados tramos. Finalmente, se construyen distintas funciones tales como dientes de sierra, trenes de pulso y otras basadas en escalones y rampas. 1 Introducción Muchas funciones pueden ser construidas a partir las señales singulares, sin embargo, es necesario aplicar propiedades sobre estas funciones, ya sea multiplicación por un escalar, desplazamiento temporal, u otras. La construcción en forma analitica de señales básicas usadas en el área de Ingeniería Eléctrica, tales como las señales tipo pulso, dientes de sierra, señales exponenciales y sinusoidal es fundamental, pues decriben el comportamiento de los sistemas eléctricos y electrónicos ya sea como parte de la excitación o de la respuesta. 2 Señal Pulso Esta señal se construye usando dos escalones, uno positivo y otro negativo retrasado en el tiempo. Sea el escalón unitario de…nido como u (t) = 1 No de…nido 0 para t 0+ para t = 0 para t 0 (1) Luego la señal pulso p(t) de la Fig. 1, estará dada como p(t) = u(t) u(t t1 ) Donde t1 representa el atraso en el tiempo. Como la distancia t1 es el ancho del pulso, éste se rede…ne como 1 (2) u(t) 1 0 t u1(t)= -u(t-t1 ) t1 0 t -1 p(t) 1 0 t t1 Figure 1: Pulso Unitario. p (t) = 2.1 0+ y t 0 yt 1 para t 0 para t t1 t+ 1 (3) Atraso y adelanto del pulso La Fig. 2 muestra el pulso unitario de ancho t1 atrasado o adelantado. pat (t) pad (t) 1 0 a a+ t 1 1 -a 0 t (a) -a+ t 1 t (b) Figure 2: (a) Atrasado. (b) Adelantado. Analíticamente se tiene pat (t) = p(t a) = u(t a) pad (t) = p(t + a) = u(t + a) u(t a t1 ) (4) u(t + a t1 ) (5) Considerando que a < t1 . Example 1 Sea la función pulso de ancho t1 de la Fig. 3, p1 (t) = p(t atrasada en un tiempo a, donde a < t1 . Analizar si se cumple (3). 2 a) p1 (t) 1 0 a a+ t 1 t Figure 3: Pulso unitario atrasado en t = a. La función p1 (t) se expresa de acuerdo a (4) como p1 (t) = u(t a) u(t a t1 ) (6) Así, para 1 t = a se tiene que p1 (t) = u(a a) u(a a t1 ): Como a < a, entonces se tiene que u(a a) = 0 y u(a a t1 ) = 0; luego p1 (a ) = 0: + Lo mismo ocurrirá para t = a + t+ 1 , es decir, p(a + t1 ) = 0: + + + Para t = a , se tiene que p1 (a ) = u(a a) u(a+ a t1 ) = 1; pues, + + a) = 1 y u(a a t1 ) = 0: u(a ¿Qué sucede si la función se evalua en t = a + t1 ? ¿Qué sucede si a > t1 ? Analice el caso para p2 (t) = p(t + a). 2.2 Pulso de amplitud distinta de la unidad Se puede generalizar la función para amplitudes distintas a la unidad, luego p(t) = K [u(t t1 ) u(t t2 )] (7) Donde K; t1 y t2 números reales, t1 < t2 . Note que K puede ser positivo o negativo. p(t) K p(t) 0 t1 t2 0 t 1 t t2 t -K (a) (b) Figure 4: Pulso. (a) Positivo. (b) Negativo. 1 La notación a ; a+ hace referencia al valor por la izquierda o por la derecha de a. De forma similar t1 , t+ 1 . 3 2.3 Multiplicación de una función por el pulso unitario Esto permite establecer un valor para una función f (t) arbitaria, durante el intervalo en el cual el valor de la señal p(t) es unitario. Para fuera del intervalo del pulso, la función multiplicada será cero como se indica en la Fig. 5. f(t) t p(t) 1 t f(t)p(t) t Figure 5: Función multiplicada por un pulso. Sea f (t) una señal arbitraria cualquiera, luego p (t) f (t) = f (t) para t dentro del intervalo, 0+ t t1 0 para t fuera del intervalo, t 0 ^ t t+ 1 (8) Este proceso permitirá construir funciones más complejas las cuales pueden tener componentes sinusoidales, rampas y funciones exponenciales. 3 Función Diente de Sierra Esta puede ser construida analíticamente a partir de la suma de funciones rampas multiplicadas por funciones pulso unitario positivos y negativos, adelantados y retrasados. Así, la señal de la Fig. 6, puede ser expresada de acuerdo a (9). f(t) A 0 t1 2t1 Figure 6: Diente de sierra. 4 t f (t) A A r(t)p(t) r(t t1 t1 A r(t) fu(t) u(t t1 = = t1 )p(t t1 ) A r(t t1 t1 )g t1 ) fu(t t1 ) u(t 2t1 )g (9) La Fig. 7 expresa grá…camente ambos términos de la suma. r(t- t1 ) r1(t) r2(t) A A 0 t1 t 0 p1(t) p2 (t) 1 t1 2t1 t t1 2t1 t t1 2t 1 t p(t-t1 ) 1 0 t t1 0 r1(t) p (t) r2(t) p2 (t) 1 A A 0 t1 0 t (a) (b) Figure 7: Construcción de un función diente de sierra. Así superponiendo las ondas de la Fig 7a y la Fig. 7b se obtiene la señal. Otra opción se indica en (10) en la cual no se usa la señal pulso en forma explícita, pues, se restan rampas y escalones. f (t) = A A A A r(t) r(t t1 ) Au(t t1 )+ r(t t1 ) r(t 2t1 ) Au(t 2t1 ) (10) t1 t1 t1 t1 Exercise 2 Expresar en forma analítica la siguiente función f(t) A 0 t3 t4 t1 t2 t Figure 8: Variante de la función diente de sierra. Donde t2 t 1 = t4 t 3 y t 1 = t3 t2 . 5 4 Otras funciones basadas en escalones La inversión del argumento de la función escalón permite la generación de formas de onda que tienen valores de…nidos para t << 0. Así se de…ne u ( t) = 1 para t < 0 No de…nido para t = 0 0 para t > 0+ (11) f(t) 1 t 0 Figure 9: Escalón Invertido. Escalón invertido adelantado y atrasado f(t) f(t) 1 1 0 a 0 -a t (a) t (b) Figure 10: (a) Atrasado. (b) Adelantado. Donde el escalón atrasado está dado por f (t) = u( (t a)) = u( t + a) (12) Y el adelantado por f (t) = u( (t + a)) = u( t a) (13) Surgen algunas preguntas, ¿Cómo saber si (12) y (13) están correctamente expresadas? Para el caso de (12), se puede evaluar en t = a , así u( a + a) = 1 por de…nición del escalón unitario, pues a < a: Por otro lado, para t = a+ , u( a+ + a) = 0, pues a < a+ . De la misma forma se puede veri…car (13). Usando esta versión del escalón se puede contruir la siguiente función f (t) = u( t + t1 ) + u(t 6 t2 ) (14) f(t) 1 0 t 1 t 2 t Figure 11: Función usando escalón con argumento invertido. 5 Conclusiones La construcción de señales usando escalones se basa en la suma y resta de éstas en distintintos instantes de tiempo. La señal pulso permite recortar abrutamente todo tipo de funciones lo cual hace muy fácil el proceso de sumar distintas funciones por tramos sin que ninguna de ellas afecte a la otra. Las funciones tipo dientes de sierra pueden ser implementadas básicamente sumando y restando rampas. Lo principal es usar el mínimo de componentes de tal forma que la señal expresada sea muy simple y fácil de entender. Se puede determinar si una función está bien implementada evaluando en algunos puntos críticos de la señal (ejercicio recomendable). 7