Handout 13 - Universidad de Montevideo

Universidad de Montevideo
Macroeconomia II
Danilo R. Trupkin
Class Notes (very preliminar)
Money-In-the-Utility Function (MIU)
1
Introduccion
En lo que va del curso, hemos visto modelos reales donde las transacciones no requieren de
medio de cambio, donde tampoco hay razones para almacenar dinero en forma de reserva
de valor, y donde tampoco existe la necesidad de utilizar dinero que sirva las veces de
unidad de cuenta. Con el objeto de introducir dinero en un modelo neoclasico Walrasiano,
la primer pregunta que uno se hace es la siguiente: Cual es en realidad el rol del dinero
para generar que los agentes lo demanden? Es que para que el dinero tenga valor positivo
en equilibrio, debe haber demanda positiva por este.
En otros terminos, la pregunta fundamental es como modelar la demanda por dinero.
En ese aspecto, podemos destacar dentro de la literatura de economia monetaria, tres
enfoques:1
1. Asumir que el dinero brinda utilidad (modelo de Sidrauski, 1967)
2. Imposicion de costos de transaccion:
• Costos al intercambio de assets (modelos a la Baumol-Tobin)
• El dinero como medio requerido para transacciones de ciertos bienes (modelos
de cash-in-advance; i.e., Clower, 1967)
• Dinero y tiempo se combinan para producir servicios de transaccion para compras de bienes (Brock, 1974)
• El trueque directo es costoso (search models; i.e., Kiyotaki and Wright, 1989)
3. Dinero como asset utilizado para transferir recursos intertemporalmente (Samuelson,
1958; modelos de OLG con dinero)
La dificultad que se observa en la teoria monetaria en general, y en estos enfoques en
particular, es que todos los modelos, de una manera u otra, involucran “shortcuts”, i.e.,
asumen ciertas condiciones, que luego deben ser evaluadas en terminos de su robustez.
1
Las referencias mencionadas en estas notas, las pueden encontrar en Walsh (2003), cito en el programa
del curso.
1
2
Un Modelo Simple de MIU
Supongamos que la funcion de utilidad del agente representativo es
u = u(ct , zt )
donde ct es el consumo, y zt son los flujos de servicios de transaccion que brindan las
tenencias de dinero. La funcion u se asume standard tal como la venimos viendo en el
curso, pero ademas asumimos que el limz→0 uz (ct , zt ) = ∞, para todo c.
Que es zt ?
El concepto de zt no puede ser cisrcunscripto solo a la cantidad nominal de dinero, sino
a su comando sobre los bienes, es decir a una medida de los servicios de transaccion. Al
agente ciertamente le importa:
Mt
1
Pt
≡ cantidad de “pesos” × valor de cada “peso” en terminos de bien.
Si el flujo de servicios es proporcional al valor real del stock de dinero per capita,
entonces podemos escribir
zt =
Mt
≡ mt .
Pt
La critica natural a este tipo de marco conceptual es que el dinero no es modelizado
explicitamente. Una de las defensas esgrimidas es que los modelos con demanda de dinero
explicita pueden ser representados en realidad a traves de un modelo de MIU.
Asumimos que existen bonos cuya tasa nominal de interes es it , y transferencias reales
lump-sum del gobierno, τ t , en terminos per capita. Suponemos ademas poblacion constante
normalizada a 1, de manera de abstraernos de la diferencia entre variables per capita y
agregadas, y del crecimiento poblacional.
La restriccion de recursos de esta economia es
yt + τ t + (1 − δ)kt−1 +
M t Bt
(1 + it−1 )Bt−1 Mt−1
+
= ct + kt +
+
,
Pt
Pt
Pt
Pt
donde yt es output, δ la tasa de depreciacion, y kt−1 y Bt−1 los stocks de capital fisico y de
bonos al comienzo del periodo. Dicha restriccion se encuentra expresada en terminos reales,
es decir en terminos de bienes. Dado que B y M son activos expresados nominalmente, se
divide a ambos por Pt de modo de expresarlos en funcion de sus poderes de compra.
Asumimos que es el capital formado al final del periodo precedente el cual se usa para
producir bienes en t : yt = f (kt−1 ). Notemos que las variables de estado de esta economia
llevan subindices t − 1: kt−1 , Mt−1 , y Bt−1 . Por otro lado, son las tenencias de dinero al
2
final del periodo,
Mt
Pt ,
lo que le da utilidad al agente.
Reescribiendo la restriccion de recursos en terminos reales, y expresando los bonos y el
dinero como
Bt−1
Pt
Mt−1
Pt
=
=
Bt−1 Pt−1
bt−1
=
Pt−1 Pt
1 + πt
Mt−1 Pt−1
mt−1
=
,
Pt−1 Pt
1 + πt
tenemos que
f (kt−1 ) + τ t + (1 − δ)kt−1 +
(1 + it−1 )bt−1 + mt−1
= ct + kt + mt + bt ,
1 + πt
donde 1 + π t ≡ Pt /Pt−1 .
El problema en forma de Lagrangiano:
L=
∞
X
t=0
β
t
(1 + it−1 )bt−1 + mt−1
u(ct , mt ) + λt f (kt−1 ) + τ t + (1 − δ)kt−1 +
− ct − kt − mt − bt
1 + πt
Las condiciones necesarias de primer orden con respecto a ct , kt , bt ,y mt , a las que hay
que agregar la restrciccion de recursos y la transversality condition, son:
uc (ct , mt ) − λt = 0
(1)
−λt + βλt+1 [fk (kt ) + 1 − δ] = 0
1 + it
−λt + βλt+1
= 0
1 + π t+1
1
um (ct , mt ) − λt + βλt+1
= 0
1 + π t+1
(2)
Del cociente entre (2) y (3), tenemos que
βλt+1 [fk (kt ) + 1 − δ]
λt
,
=
1+it
λt
βλt+1 1+π
t+1
lo que implica la siguiente ecuacion:
(1 + it ) = [fk (kt ) + 1 − δ](1 + π t+1 ) = (1 + rt )(1 + π t+1 ),
que se puede aproximar ademas como
it ≈ rt + π t+1 ,
3
(3)
(4)
siendo esta una expresion de la ecuacion de Fisher.
Reescribamos ahora la condicion (4) como
λt = um (ct , mt ) + βλt+1
1
1 + π t+1
,
y dividamos ambos lados por la condicion (1), utilizando ademas el hecho de que λt+1 =
uc (ct+1 , mt+1 ). De esta manera, tenemos:
um (ct , mt ) βuc (ct+1 , mt+1 )
+
uc (ct , mt )
uc (ct , mt )
um (ct , mt )
βuc (ct+1 , mt+1 )
=1−
uc (ct , mt )
uc (ct , mt )
1=
1
1 + π t+1
1
1 + π t+1
,
o,
.
(5)
De la condicion de Euler, deducida de (2) y (1), tenemos que
βuc (ct+1 , mt+1 )
1
=
,
uc (ct , mt )
1 + rt
con lo que (5) queda expresada como
um (ct , mt )
uc (ct , mt )
1
= 1−
1 + rt
1
= 1−
1 + it
it
=
,
1 + it
1
1 + π t+1
(6)
para lo cual se ha usado la relacion de Fisher que nos dice que (1 + it ) = (1 + rt )(1 + π t+1 ).
La relacion (6) muestra que la tasa marginal de sustitucion entre los saldos reales y el
consumo,
um (ct ,mt )
uc (ct ,mt ) ,
se iguala, en el optimo, al costo de oportunidad de mantener dinero,
it
1+it .
Interpretacion: A un momento cualquiera t, una alternativa al dinero lo constituye el
bono, que paga i/(1 + π) en terminos reales en el periodo t + 1. Su valor presente sera
i/(1+π)
1+r
=
i
(1+r)(1+π)
=
i
1+i .
Este es precisamente el costo de oportunidad del dinero.
Finalmente, en equilibrio, tenemos que la demanda de dinero es igual a la oferta de
dinero: Mtd = Mts , mientras que las tenencias de bonos se igualan a 0 ya que el modelo
asume agentes identicos.
Por otro lado, asumimos que la oferta de dinero crece a una tasa constante θ : Mt =
(1 + θ)Mt−1 , y que dicho crecimiento del dinero se introduce en la economia a traves de las
4
trasferencias, τ :
τt =
(1 + θ)Mt−1 − Mt−1
θMt−1 Pt−1
θmt
Mt − Mt−1
=
=
=
.
Pt
Pt
Pt−1 Pt
1 + πt
(7)
Dados estos supuestos, tendremos entonces que el equilibrio en el mercado de dinero
implica:
Mt
(1 + θ)Mt−1 Pt−1
(1 + θ)mt−1
= mt =
=
.
Pt
Pt−1
Pt
1 + πt
(8)
Habiendo descripto hasta aqui las condiciones de equilibrio del modelo, evaluaremos
ahora las propiedades del mismo en steady state (el largo plazo), para luego centrarnos en
la dinamica de corto plazo. Para esto ultimo, modificaremos el modelo simple a traves de
la introduccion de incertidumbre y la eleccion de ocio-trabajo por parte del agente.
3
El Steady State
El sistema de equilibrio del modelo, en steay state, se expresa de la siguiente manera. La
ecuacion de Euler, junto con las condiciones optimas de bonos y dinero resultan
uc (c, m) = βuc (c, m)[fk (k) + 1 − δ]
1+i
uc (c, m) = βuc (c, m)
1+π
1
uc (c, m) = um (c, m) + βuc (c, m)
1+π
(9)
(10)
(11)
La restriccion de recursos, por su parte, resulta:
f (k) + τ − δk +
m
= c + m.
1+π
Notemos que de (7), las transferencias en steady state son
τ=
θm
,
1+π
en tanto que de (8) se deduce que
m=
(1 + θ)
m,
(1 + π)
lo que implicaq que π = θ.
De esta manera, la restriccion de recursos queda expresada como
f (k) +
θm
m
− δk +
= c + m,
1+π
1+π
5
(12)
la cual resulta en
f (k) − δk = c.
(13)
1
= fk (k) + 1 − δ,
β
(14)
De (9), tenemos que
de donde se extrae el nivel de capital fisico en steady state. De la restriccion de recursos
(13), luego se deduce el nivel de consumo de steady state, mientras que de la funcion de
produccion resulta el nivel de output de steady state. Asi, tenemos que los niveles de las
variables reales de largo plazo no dependen de la tasa de inflacion (superneutralidad del
dinero).
Por otro lado, notemos que en el sistema de steady state el dinero solo aparece en la
forma de m, i.e., los saldos reales. Esto implica que cualquier cambio en la cantidad nominal
de dinero, acompanado por un aumento proporcional de precios que deja invariante m, no
tiene efectos sobre el equilibrio real de la economia (neutralidad del dinero).
En consecuencia, que variables son afectadas por la tasa de inflacion?
De la ecuacion (10), tenemos que
1+π
= 1 + i,
β
⇒
i=
1+π−β
.
β
Con lo cual, aumentos de la tasa de crecimiento de dinero (que llevan a aumentos de la tasa
de inflacion) generan aumentos de la tasa de interes nominal de largo plazo. Asimismo, de
esta expresion se obtiene el valor de la tasa de interes nominal de steady state.
Finalmente, dados el nivel de consumo y la tasa de interes nominal determinados previamente, de la condicion (6) en steady state, i.e.,
i
um (c, m)
=
,
uc (c, m)
1+i
(15)
se obtiene el nivel de saldos reales de largo plazo.
Elasticidad de la demanda de dinero a la tasa de interes
Supongamos que la funcion de utilidad es del tipo CES (constant elasticity of substitution) en consumo y saldos reales:
1
1−b ; 0 < a < 1, b > 0, b 6= 1.
u(ct , mt ) = [ac1−b
+ (1 − a)m1−b
t
t ]
6
De esta manera,
b
uc (ct , mt ) = [ac1−b
+ (1 − a)mt1−b ] 1−b ac−b
t
t
b
um (ct , mt ) = [ac1−b
+ (1 − a)mt1−b ] 1−b (1 − a)m−b
t
t
De la condicion de equilibrio (6) se tiene que
um (ct , mt )
it
(1 − a)m−b
t
=
=
−b
uc (ct , mt )
1 + it
act
⇒
mt =
1−a
a
1/b it
1 + it
−1/b
ct
En logaritmos, la demanda de dinero resulta
1
log mt = log
b
1−a
a
1
− log
b
it
1 + it
+ log ct .
De aqui que la elasticidad de la demanda de dinero respecto a su costo de oportunidad,
una funcion de la tasa de interes, es igual a −1/b. Por su parte, la elasticidad-consumo
(paralelo al concepto de elasticidad-ingreso de la demanda de dinero) es igual a uno.
Notemos que en steady state,
m=
1−a
a
1/b 1−
β
1+π
−1/b
c,
Lo cual implica que los saldos reales de largo plazo son funcion decreciente tanto de
la inflacion como del parametro a (el peso relativo de las preferencias sobre el bien de
consumo).
La Tasa de Inflacion Optima
Hemos visto que el costo de oportunidad privado de mantener dinero es una funcion de
la tasa de interes, es decir de i/(1 + i). Por otro lado, el costo marginal social de producir
dinero (de imprimirlo) es cercano a cero. La brecha que aparece entre ambos costos, cuando
la tasa de interes es positiva, implica una ineficiencia para la sociedad. Esta ineficiencia
podria ser eliminada si el costo de oportunidad es cero; y ello ocurre cuando la tasa nominal
de interes es cero.
Pero notemos que i = 0 implica lo siguiente. De la ecuacion de Fisher, sabemos que
1 + i = (1 + r)(1 + π) =
7
(1 + π)
,
β
lo cual implica que con i = 0, tendremos
1=
(1 + π ∗ )
,
β
⇒ π ∗ = β − 1 < 0,
es decir que la tasa de inflacion optima resulta ser una tasa de deflacion, e incluso esta se
aproxima a la tasa de retorno del capital, ya que
β=
4
1
,
1+r
⇒ π∗ =
1
r
−1=−
≈ −r.
1+r
1+r
Modelo Estocastico con Decision Ocio-Trabajo
El modelo de Sidrauski tambien puede generar No-Superneutralidad durante la transicion
hacia el steady state.
Para analizar la dinamica del modelo, ahora vamos a introducir incertidumbre a traves
de dos tipos de shocks. Un shock de productividad, y un shock monetario, i.e., a la tasa de
crecimiento del dinero θ. Ademas, introduciremos en el modelo la posibilidad de eleccion
entre ocio y trabajo. La funcion de produccion se asume de la forma
α
n1−α
,
yt = ezt kt−1
t
donde zt es el shock de productividad, y n = 1 − l es el tiempo asignado a actividades del
mercado, donde l es ocio. El shock real posee un proceso estocastico de la forma
zt = ρzt−1 + et ; 0 ≤ ρ < 1, et ∼ i.i.d.(0, σ 2e ).
Definimos ut ≡ θt −θ, como las desviaciones de la tasa de crecimiento del dinero respecto
de su steady state. Estas desviaciones poseen un proceso estocastico descripto por
ut = γut−1 + φzt−1 + ϕt ; 0 ≤ γ < 1, ϕt ∼ i.i.d.(0, σ 2ϕ ).
La funcion de utilidad, por su parte, se asume de la forma
1−Φ
lt1−η
[ac1−b
+ (1 − a)mt1−b ] 1−b
t
+Ψ
; 0 < a < 1, b, η, Φ, Ψ > 0
u(ct , mt , lt ) =
1−Φ
1−η
Al introducir la decision de ocio por parte del agente, debemos entonces adicionar a las
condiciones de equilibrio enunciadas arriba, la condicion de primer orden respecto a aquella
variable. En la forma general, la misma resulta similar a la hallada en los modelos de RBC
vistos en clases anteriores, excepto por el hecho de que ahora el dinero afectara el tiempo
8
dedicado al trabajo. Es decir, dicha condicion de optimo resulta
ul (ct , mt , lt )
= fn (kt−1 , nt ).
uc (ct , mt , lt )
(16)
Notemos que ahora ciertamente es probable que el dinero afecte los steady states de
la oferta de trabajo y del consumo, eliminando asi la superneutralidad encontrada previamente.
El sistema de equilibrio en su forma parametrica, con incertidumbre y oferta de trabajo
elastica, queda ahora descripto por las siguientes siete ecuaciones:
b−Φ
X 1−b (1 − a)m−b
it
um (ct , mt , lt )
t
,
= t b−Φ
=
uc (ct , mt , lt )
1 + it
1−b
−b
Xt act
ul (ct , mt , lt )
Ψ(1 − nt )−η
α
n−α
=
= (1 − α)ezt kt−1
t
b−Φ
uc (ct , mt , lt )
Xt1−b ac−b
t
b−Φ
b−Φ
−b
1−b
−b
1−b
Xt act = βEt Xt+1 act+1 (1 + rt )
rt = Et αezt+1 ktα−1 n1−α
t+1 − δ
α
ezt kt−1
n1−α
+ (1 − δ)kt−1 = kt + ct
t
1 − θt
mt =
mt−1
1 + πt
(1 + it ) = (1 + rt )(1 + π t+1 )
donde Xt ≡ ac1−b
+ (1 − a)m1−b
t
t . Tenemos entonces 7 ecuaciones, con 7 endogenas: c, m,
n, i, k, r, π. Se procede luego a aproximar este sistema de ecuaciones no lineales alrededor
del steady state, tal como lo describimos en clase cuando estudiamos la resolucion de
modelos DSGE. El objetivo, en particular, es hallar los “paths” de las variables endogenas,
consistentes con el equilibrio.
Ahora, a diferencia de lo visto en el modelo simple con oferta de trabajo inelastica,
los niveles de steady state dependeran de la tasa de crecimiento del dinero, a traves del
efecto de la inflacion sobre la oferta de trabajo. De esta manera, se elimina la propiedad
de superneutralidad del dinero. En particular, las variables en steay state resultan de la
siguiente manera:2
2
Para mas detalle sobre las derivaciones del steady state, lean el Apendice del Capitulo 2 de Walsh
(2003), y en especial las paginas 84 y 85.
9
1
y
1
c
y
− 1;
= (r + δ);
= − δ;
β
k
α
k
k
− 1 − 1 1
b
b
1+θ−β
a
c
n y 1−α
=
;
=
1−a
1+θ
k
k
k
r =
m
k
Finalmente, se puede obtener una expresion para el nivel de equilibrio de steady state
del trabajo:
"
− 1 b−1 # b−Φ
1−b
b
b
nΦ
β
a
1
−
=
H
1
+
(1 − n)η
1−a
1+θ
(17)
donde H es una funcion de parametros del modelo, la cual no depende del parametro θ, y
por lo tanto no depende de la inflacion.
Notemos que el lado izquierdo de la ecuacion (17) es una funcion creciente de n. Por su
parte, el efecto del parametro de politica monetaria, θ, sobre el lado derecho de la ecuacion
dependera del signo de ξ ≡ b − Φ.
Si ξ ≡ b − Φ > 0, entonces un aumento de θ que eleva π, e i, y que por lo tanto baja
m, genera una caida del lado derecho de la ecuacion (17), lo que implica que baja el nivel
de n, y por lo tanto caen el consumo y el output. Esto, en realidad, se deduce del analisis
del signo de la derivada cruzada de la funcion de utilidad respecto al consumo y los saldos
reales: ucm (c, m, l). Si ξ ≡ b − Φ > 0, se puede mostrar que ucm (c, m, l) > 0, lo que es
equivalente a decir que el consumo y las tenencias reales de dinero son complementarios.
En ese caso, un aumento de π que genera una caida de m (esto sucede siempre), lleva a una
caida de uc (c, m, l), lo que finalmente lleva a sustituir consumo por ocio (cae c y aumenta
l), cae la oferta de trabajo, y por lo tanto cae el output y. Basados en la evidencia, el
parametro b se estima en un valor cercano a 2.56, mientras que el parametro Φ se calibra
en valores cercanos a 2 (este es el valor utilizado luego en las simulaciones). De ello resulta
que los saldos reales serian complementarios con el consumo, y por lo tanto un mayor θ
conduciria hacia una caida del empleo, del consumo y del output de largo plazo.
Para finalizar con el analisis del steady state, notemos que el caso ξ ≡ b − Φ = 0 implica
que el dinero es superneutral, ya que no habra efectos de π sobre el nivel de n.
Calibracion
Los parametros “reales” son calibrados tal como lo vimos en Cooley and Prescott (1995).
Los parametros “monetarios” fueron calibrados de la siguiente manera: θ = .0125 (consistente con una tasa anual de crecimiento del dinero del orden del 5%), σ ϕ = .0089, a = .95
(consistente con un ratio m/c ≈ 1.4) , b = 2.56 (consistente con una elasticidad de la demanda de saldos reales al costo de oportunidad del dinero del orden de .4), Φ se fija en 2,
10
pero se modifica de acuerdo con las diferentes simulaciones, η = 1, ρ = .95, γ = .5 (tambien
modificado en las simulaciones), σ e = .007.
Dinamica
Las simulaciones correspondientes al modelo desarrollado aqui se muestran en las notas
de clase que tienen como titulo “Simulaciones Modelo MIU”. En particular, se puede
destacar el caso en que γ = 0. En dicho estado, donde el proceso del shock monetario
se puede escribir como ut = ϕt (por simplicidad asumamos φ = 0), no hay efectos de la
politica monetaria sobre la economia real. Es que el shock monetario no afecta futuros
cambios en la tasa de crecimiento monetaria, y por lo tanto tampoco afecta la futura tasa
de inflacion. Esto puede interpretarse como un aumento de la cantidad de dinero de una
vez y para siempre, seguido por un aumento inmediato de los precios (recordemos que aqui
los precios no tienen rigidez alguna). En consecuencia, el nivel de m no varia y por lo tanto
no hay transmision al lado real de la economia. Por el contrario, a mayor γ, mayor es la
transmision del shock monetario a las variables reales de la economia. Vemos que cuando
ξ > 0, un shock monetario genera caida de m,n, c, e y.
Se podria destacar ademas el efecto de φ ante un shock tecnologico. Vemos que, con
ξ > 0, un shock real expansivo genera una correlacion positiva entre output e inflacion
cuando φ > 0, y viceversa. Naturalmente, cual hipotesis acerca de φ es la mas cercana a la
realidad dependera del regimen estudiado de politica monetaria.
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