tema 8. muestreo y cuantificación

8
Muestreo y Cuantificación
8.1 Introducción
En este capítulo se estudian los conceptos y el formalismo matemático relativo al
muestreo y la reconstrucción de señales.
Después de estudiar los elementos de una cadena de medida y de definir los
conceptos de margen dinámico y relación señal-ruido, se tratan las estructuras de los
equipos electrónicos de medida y, en el siguiente apartado, los aspectos del muestreo de
señales; en él, en primer lugar se realiza una introducción al análisis de Fourier con el fin
de familiarizar con el cambio entre los dominios temporal y frecuencial; para luego
abordar los muestreos natural e ideal.
Por último, en el apartado de cuantificación se presta especial atención al estudio de
la relación señal-ruido como parámetro indicativo del rechazo a los efectos del ruido del
cuantificador.
8.2 Cadena de medida: margen dinámico y relación señal ruido
La figura 1 muestra los elementos que constituyen un equipo electrónico de adquisición
de datos y que recibe el nombre de cadena de medida. En este diagrama se supone nulo
el efecto de carga entre elementos, con el fin de que la información fluya sin perder
intensidad.
Magnitud
física
medida
Sensor
Amplificador
Multiplexor
S& H,
CAD
Salida
Fig. 1. Elementos de una cadena de medida genérica en un equipo de
adquisición de señales. S&H1 es el bloque de muestro y retención.
Es deseable que a un rango (analógico) de entrada corresponda un rango de palabras
digitales en la salida del convertidor analógico/digital (CAD). Se dice entonces que el
margen de entrada se adapta al margen de salida (adaptación de rangos dinámicos).
1
Sample and Hold
JJGDR-UCA
1
Instrumentación Electrónica. Juan José González de la Rosa
8.2.1 Margen dinámico
Una definición de margen dinámico de cadenas de medida atiende a la invarianza de la
magnitud definida en cada punto de la cadena. En cada punto de la cadena de medida se
define el margen dinámico como el cociente entre el rango de variación de la magnitud
involucrada y la resolución o mínimo cambio apreciable en el punto en consideración:
MD
punto
=
rango
resolución
(1)
Por ejemplo, para un sensor de presión si esta magnitud tiene un rango de 0-1 Ba2 y
la resolución es de 0,1 mBa, el margen dinámico resulta:
MD
punto
=
1
10 −4
= 10 4
A veces se proporciona esta magnitud en decibelios; en este último caso resulta:
MD
punto
( )
(dB) = 20 ⋅ log 10 4 = 80 dB
La figura 2 representa una posible relación entre los márgenes de los elementos de la
cadena de medida:
Magnitud
física
medida
Sensor
Amplificador
Mux.
S& H
Ent.
CAD
Sal.
Fig. 2. Adaptación entre los márgenes de variación
de las magnitudes de los distintos elementos de la
cadena de medida.
El margen dinámico relativo a la resolución, dado por (1), debe ser constante para todos
los elementos de la cadena.
2.2 Relación señal-ruido de cuantificación
La calidad de la salida del CAD se mide mediante el cociente entre un parámetro propio
de la señal y el ruido de cuantificación. El ruido de cuantización es la diferencia entre la
2
2
Bares
JJGDR-UCA
8 Muestreo y Cuantificación
muestra original y la cuantizada. La relación señal-ruido de cuantización (SNR3) se
define como el cociente de varianzas de la señal y el ruido presente en el equipo de
medida. Este último es considerado como el error del proceso de medida:
(
(
)
)
2
E  x(i) − x 


SNR ≡
=
2

E e(i) − e


∑ (x(i))
∑ (e(i))
2
2
=
σ x2
σ e2
,
(2)
donde se han supuesto nulas las medias de la señal y del ruido. Se demuestra que esta
definición lleva implícito el cociente de potencias medias entre la señal de interés y el
ruido. En decibelios se define como:
σ2
SNR(dB) ≡ 10 ⋅ log(SNR ) = 10 ⋅ log x2
σ
 e




(3)
El ruido aleatorio, presente en todo equipo electrónico, se modela a menudo con una
función de probabilidad rectangular dentro del intervalo de cuantificación (indicativa de
un ruido uniformemente distribuido), como indica la figura 3, que indica la probabilidad
de que se dé un error descrito en el intervalo de cuantificación de anchura ∆.
p(e)
-∆/2
0
∆/2
e
Fig. 3. Función densidad de
probabilidad
rectangular,
representativa de un ruido
aleatorio uniforme dentro del
intervalo de cuantificación de
anchura “∆”.
Esto significa que la distribución de errores de cuantización es uniforme sobre
cada intervalo de cuantización.
A continuación se evalúa la SNR para la situación de cuantización uniforme. La
varianza del ruido, supuesto con media nula, es:
3
Signal to Noise Ratio
JJGDR-UCA
3
Instrumentación Electrónica. Juan José González de la Rosa
σ e2
=
( )
∫ (e − e)
1  e3 
⋅ 
∆  3 
+∆
−∆
2
2
+∞
2
= E e − e  =


−∞
+∆
∫
⋅ p(e) ⋅ de =
−∆
2
e2 ⋅
1
⋅ de
∆
2
3
=
2  ∆
∆2
∆
∆
⋅  =
→ σe =
=
3⋅ ∆  2 
12
12 2 3
2
De aquí se deduce una relación muy útil en laboratorios de calibración relativa a la
varianza del error cuando la distribución de probabilidad de los errores es uniforme:
σe =
∆
=
12
∆
2 3
Para calcular la varianza de la señal se supone que el cuantificador cubre el rango
completo de variación de la señal analógica muestreada (salida del bloque S&H de la
figura 4). Si el CAD es de “n” bits de resolución, existen 2n estados posibles del
cuantificador y 2n-1 intervalos de cuantificación de anchura “∆”, como muestra la figura
4 para el caso particular de tres bits.
La anchura de cada intervalo es el cociente entre la tensión pico-pico de la entrada y
el número de intervalos de cuantificación:
∆=
V pp
2n
8
7
6
5
4
3
2
1
0
∆
Vpp
Fig. 4. Situación para n=3.
La varianza de la señal de entrada es:
σ x2
1
= ⋅
T
∫ [∆ ⋅ 2
T
n −1
]
⋅ sen(2πft )
0
=
2
[
1
⋅ dt = ⋅ ∆ ⋅ 2 n −1
T
[
1
⋅ ∆ ⋅ 2 n −1
T
] ⋅ 12 ⋅ T = ∆
2
2
]
2
T
1
1

⋅  ⋅ t − ⋅ cos(2πft )
2
2
0
⋅ 2 2 n −3
Por tanto, la magnitud SNR resulta:
SNR ≡
4
σ x2
σ e2
=
∆ 2 ⋅ 2 2 n −3
∆
2
12
= 3 ⋅ 2 2 n −1 =
3 2n
⋅2
2
JJGDR-UCA
8 Muestreo y Cuantificación
A la luz de la expresión, se observa que cuanto mayor es el número de bits, mejor es la
relación señal ruido del equipo.
Expresada en decibelios (dB), la SNR viene dada por:
( )
3

3
SNR (dB ) = 10 ⋅ log10 (SNR ) = 10 ⋅ log10  ⋅ 2 2 n  = 10 ⋅ log10   + 10 ⋅ log10 2 2 n
2

2
3
= 10 ⋅ log10   + 20 ⋅ n ⋅ log10 (2 ) ≅ 1,76 + 6,02 ⋅ n
2
Esto significa que por cada bit añadido a la palabra digital, la SNR aumenta
aproximadamente 6 decibelios. Esta expresión es muy importante ya que determina el
número de bits que una aplicación necesita. Por ejemplo, para los discos compactos se
necesita una resolución de 16 bits, lo que implica una SNR de aproximadamente 98 dB.
Si se desea aumentar la SNR con el número de bits, se debe considerar que esto
implica un mayor tiempo de conversión y, en consecuencia, se reduce el ancho de banda
aceptable para la señal de entrada.
8.3 Estructuras básicas de equipos electrónicos de adquisición de señales
La organización de la unidad de medida depende del número de entradas y salidas, y de
la distribución de la capacidad de procesamiento en función de la velocidad que requiera
el sistema. A continuación damos las alternativas de diseño más frecuentes.
8.3.1 Unidades de alto y bajo nivel
Depende de que se trate con señales inferiores o superiores a 100 mV. Un multiplexor
analógico permite seleccionar la entrada a la unidad de uno de los sensores, mediante la
combinación adecuada de señales de control. Si las señales provenientes de los sensores
no han sido amplificadas, el multiplexor debe introducir un error despreciable. Además,
si la distancia entre los sensores y el multiplexor es grande, existe riesgo de
interferencias, que pueden tener graves consecuencias porque la señal aún no ha sido
amplificada. En consecuencia, se suelen amplificar las señales de los sensores antes de
demultiplexarlas.
8.3.2 Unidades centralizadas y descentralizadas
Las primeras constan de un procesador único, que coordina la adquisición de datos
provenientes de distintos puntos de medida. Los segundos son estructuras de
procesadores coordinados, cada uno de los cuales se encarga de un sector o zona [Pallás,
1993].
Son de especial de interés los equipos de medida con varios buses o niveles de
intercomunicación de elementos.
JJGDR-UCA
5
Instrumentación Electrónica. Juan José González de la Rosa
8.3.3 Equipos de medida con varios buses. Tarjetas de adquisición de datos
8.3.3.1 Arquitectura: Cadena de medida, temporizadores, interfaz con bus PCI, circuitos
de control y programación
El bus interno de un equipo, basado en microcomputador, es un conjunto de líneas que
conecta entre sí sus circuitos, generalmente la CPU (Central Processing Unit; Unidad de
procesamiento central) con la memoria del programa ROM (Read Only Memory;
Memoria de sólo lectura), con la memoria de lectura y escritura (RAM; Random Access
Memory; Memoria de acceso aleatorio) y los componentes periféricos de la interfaz con
el exterior. Su diseño determina la estructura y características operativas del sistema.
Parte de las líneas del bus (bus de direcciones) identifican al elemento que transmite o
recibe la información; ésta, a su vez, se transmite por el bus de datos. Otro conjunto de
líneas, el bus de control, establece el sincronismo del sistema de medida.
Al conectar el microcontrolador con otro sistema externo, como un ordenador
personal (PC), o un instrumento de medida, el bus que sirve de unión entre ambos no
tiene por qué ser idéntico al bus interno del microcontrolador. El nuevo bus puede ser
de propósito general, como, por ejemplo, el descrito en la norma IEEE-488 (GPIB;
General Purpose Interface Bus).
Es frecuente utilizar equipos de medida que empleen las ranuras de expansión del
PC. En ellos, se usan las ranuras ISA o PCI para insertar tarjetas de adquisición de datos
(gestionadas por los buses del mismo nombre del PC). En este caso existe comunicación
a dos niveles distintos: entre periféricos (generalmente sensores) y la tarjeta, y entre ésta
y el PC. La ventaja de estos equipos es que el ordenador queda libre del control de la
adquisición de datos, y cede su bus para transferir los datos de la tarjeta a su memoria
RAM. La transferencia de datos a la RAM se realiza mediante acceso directo (DMA;
Direct Memory Access). Se pueden conectar al mismo bus tantas tarjetas como ranuras
de expansión se habiliten en el PC.
La figura 5 muestra el diagrama de bloques genérico de una tarjeta conectable al bus
PCI, con circuitos de temporización propios. En ella se aprecian los siguientes
elementos:
•
La cadena de medida. Formada por las entradas provenientes de los sensores,
multiplexor analógico, amplificador de ganancia programable, circuito de muestreo y
de retención, y el convertidor A/D (CAD).
• Zona de temporizadores. Constituida por el oscilador principal, un divisor de
frecuencias y el reloj interno. Éste último suele ser un lazo de enganche de fase. Se
permite el disparo externo y la temporización por reloj externo.
• Interfaz con el bus PCI. Circuitos que realizan la adaptación de impedancias y
tensiones con este bus.
• Circuitos de control y programación. Entre otras, reciben instrucciones sobre el
número de canales muestreados, el orden de muestreo y el ajuste automático de
ganancia. En caso de poseer microprocesador, éste se encarga de realizar las
funciones indicadas.
6
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8 Muestreo y Cuantificación
Oscilador
Salidas
digitales
Puerto digital
Divisor de
frecuencias
Disparo
externo
Reloj
externo
Orden
muestreo
entradas
Programación:
Secuenciación
adquisición
Entradas
analógicas
Salidas
analógicas
CDA
Reloj
(PLL)
Control
ganancia
Amplificador de
ganancia
programable
Multiplexor
analógico
Selección entrada
Circuito de
muestreo y
retención
CAD
Registros
Interfaz bus PCI
Bus PCI del PC
Fig. 5. Diagrama genérico de una tarjeta de adquisición de señales PCI.
8.4 Muestreo de señales
Como quiera que el muestreo y reconstrucción de señales supone el paso del dominio
temporal al frecuencial, se introduce en primer lugar el análisis de Fourier con el fin de
dotar de formalismo matemático a la conversión entre dominios. Por tanto, en este
apartado o lección trataremos la descomposición de señales periódicas complejas en
señales más simples que permiten un análisis más sencillo de la señal compleja.
8.4.1 Introducción al análisis de Fourier
8.4.1.1 La serie trigonométrica de Fourier
La mayoría de las señales periódicas empleadas en la Ingeniería pueden descomponerse
como suma de señales sinusoidales según el desarrollo en serie de Fourier. Éste establece
para una función periódica, no sinusoidal f(t):
f (t ) =
a0
+
2
∞
∑ [a
n
⋅ cos(nw0 t ) + bn ⋅ sen(nw0 t )],
(3)
n =1
donde w0 se denomina pulsación fundamental. Combinando la suma del seno y del
coseno resulta:
f (t ) = d 0 +
∞
∑ [d
n
⋅ cos(nw0 t + θ n )]
(4)
n =1
donde:
d0 =
JJGDR-UCA
a0
2
d n = a n2 + bn2
−b
θ n = arctan n
 an




(5)
7
Instrumentación Electrónica. Juan José González de la Rosa
De lo anterior se deduce que d0 es el valor medio de la función f(t); la componente de
CC de la señal (valor medio medido por un multímetro en la posición “DC”). El primer
término de la sumatoria se denomina componente fundamental, el segundo se
denomina segundo armónico, etc.
Con el fin de simplificar el cálculo conviene emplear otra notación basada en el
desarrollo en serie de la exponencial compleja.
8.4.1.2 Desarrollo en serie exponencial compleja para señales en tiempo continuo. Condiciones de
existencia
Utilizando las fórmulas de Euler:
f (t ) =
=
a0
+
2
a0
+
2
∞
∑ [a
n
⋅ cos(nw0 t ) + bn ⋅ sen(nw0 t )]
n =1
∞

 e jnw0t + e − jnw0t
a n ⋅ 
2

n =1 

∑

 jnw0t − e − jnw0t
 + bn ⋅  e


2j






Finalmente, agrupando en una sumatoria todos los términos se obtiene la serie de Fourier
de la señal de partida. En efecto,
f (t ) =
a0
+
2
=
∞
 an
∑  2
+
n =1
a0
+
2
∞
bn  jnw0 t  an bn  − jnw0 t 
⋅e
 ⋅ e
+ 
−
=
2 j 
 2 2j

 an
∑  2
− j
n =1

bn  jnw0 t  an
b 
+
+ j n  ⋅ e − jnw0 t 
⋅e
2
2
 2





a
 a n − jbn  ⋅ e jnw0t +  a n + jbn  ⋅ e − jnw0t 
f (t ) = 0 +




2 n =1 
2
2

142
43
 14243

*
cn
c− n = c n


∞
∑
f (t ) =
+∞
∑c
n
⋅e jnw0t
(6)
n = −∞
donde los coeficientes se relacionan entre sí mediante las siguientes fórmulas:
a n = 2 Re(c n )
bn = −2 Im(c n )
d 0 = c0 =
a0
2
d n = 2 c n , n = 1, 2, 3, ...
La expresión (6) recibe el nombre de desarrollo en serie exponencial compleja.
El desarrollo en serie de Fourier para señales periódicas en tiempo continuo,
utilizando la exponencial compleja, establece que cualquier función periódica se puede
expresar como combinación lineal de exponenciales complejas.
El periodo fundamental de la función periódica desarrollada en serie es:
T0 =
8
1
2π
=
f 0 w0
JJGDR-UCA
8 Muestreo y Cuantificación
Las funciones exponenciales complejas:
n = 0, ± 1, ± 2,...
e jnw0t
constituyen la base del desarrollo, a partir de las cuales se pueden construir funciones
periódicas de cualquier tipo; mediante la elección adecuada de los coeficientes cn, que
determinan la forma de la señal.
Es destacable observar que la función f(t) y su desarrollo en serie correspondiente son
iguales para todo valor de t (instante de tiempo) excepto en los puntos de discontinuidad
de f(t). Esto queda garantizado por las condiciones de Dirichlet, que son:
i. Para cualquier periodo, f(t) tiene un número finito de discontinuidades.
ii. Para cualquier periodo, f(t) tiene un número finito de máximos y de mínimos.
iii. La función f(t) es integrable para cualquier periodo.
En resumen, si f(t) es periódica y cumple las condiciones de Dirichlet, entonces puede
representarse mediante el desarrollo en serie de Fourier.
f (t ) =
∞
∑c
n
⋅ e jnw0t
n = −∞
donde los coeficientes se calculan según:
cn =
1
⋅
T0
t0 +T0
∫ f (t ) ⋅ e
− jnw0t
dt
(7)
t0
En la práctica analítica se trabaja con las exponenciales complejas; sin embargo, la señal
con sentido físico es la obtenida como suma trigonométrica.
JJGDR-UCA
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Instrumentación Electrónica. Juan José González de la Rosa
Ejemplo1. Encontrar el desarrollo en serie de Fourier de la señal periódica de la figura Ej 1.1. La
señal es par y el periodo fundamental es T0.
f(t)
T0
V
-T*/2
0
t
T*/2
Fig. Ej.1.1. Tren de pulsos.
Los coeficientes de las serie se calculan aplicando (7) a un intervalo de cálculo
simétrico respecto al eje de ordenadas:
1
⋅
cn =
T0
=
t 0 +T0 =T * / 2
∫
f (t ) ⋅ e
− jnw0t
t 0 = −T * / 2
−V
jnw0 T0
⋅ e − jnw0T

*
/2
1
⋅
dt =
T0
− e jnw0T
*
T* / 2
∫
V ⋅ e − jnw0t dt =
−T * / 2
/2

[
−V
⋅ e − jnw0t
jnw0 T0

 nw T *
−V
⋅ − 2 j ⋅ sen 0
 2
jn w0 T0 

123 
=
]
T* / 2
−T * / 2




2π
 2π *
⋅T
 n⋅
T0
V

=
⋅ sen
nπ
2




 = V ⋅ sen n ⋅ π ⋅ T * ;
 T

 nπ
0




n = ±1, ± 2,...
Entonces, el desarrollo en serie resulta:
f (t ) =
∞
∑
cn ⋅ e jnw0 t =
n = −∞
∞

π
∑ nπ ⋅ sen n ⋅ T
V
n = −∞
0

⋅ T *  ⋅ e jnw0 t ;

n = ±1, ± 2,...
Utilizando las relaciones entre coeficientes se obtiene:
a n = 2 Re(c n ) =
 π

2V
⋅ sen n ⋅ ⋅ T * ; bn = −2 Im(c n ) = 0 n = ±1, ± 2,...
nπ
 T0

La onda resultante responde a: f (t ) =
a0
+
2
∞
∑a
n
⋅ cos(nw0 t )
n =1
Esto es coherente con que f(t) es una función par y sólo contiene cosenos (funciones
pares) en su desarrollo.
Por otra parte, veremos que los armónicos pares son nulos en el caso particular de ser
una señal cuadrada (ciclo de trabajo 50%).
Es interesante expresar los coeficientes de la expresión final del ejemplo anterior de la
forma siguiente, con el fin de estudiar su representación gráfica:
10
JJGDR-UCA
8 Muestreo y Cuantificación

T* 
sen nπ ⋅ 
T0 

V
T * 
T*
T * sen(a )

=
⋅
cn =
⋅ sen nπ ⋅
V
=
V
⋅
nπ
T0 
T0
T0
a
T*

nπ ⋅
T0
n = ±1, ± 2,...
En esta expresión se observa una amplitud escalada según el cociente de tiempos, y una
función de la forma sen(a)/a (“seno cociente”), como la mostrada en la figura 6. En la
figura 7 se ha considerado un caso particular con V=10 y T*=0,1⋅T0), donde:
a = nπ ⋅
T*
= nπ ⋅ T * ⋅ f 0 ;
T0
n = ±1, ± 2,...
Fig. 6. Representación de sen(a)/a.
JJGDR-UCA
11
Instrumentación Electrónica. Juan José González de la Rosa
Fig. 7. Representación de sen(a)/a. Abscisas: n, donde a = nπ ⋅
T*
T0
.
Con la expresión anterior, es sencillo obtener los valores para los que se anula la
función, que se observan en la gráfica:

T* 
sen nπ ⋅ 
T0 
T
T*

n
=
0
⇔
π
⋅
= kπ ⇔ n = 0* k
*
T0
T
T
nπ ⋅
T0
k = ±1, ± 2,...
Para la relación T*=0,1⋅T0, se tienen los valores de n:
n = ±10, ± 20,...
Es interesante realizar las siguientes observaciones sobre el ejemplo anterior:
•
•
Los coeficientes de Fourier, cn son muestras de la función sen(a)/a. Esta función
es cero para argumentos múltiplos de π, decae a cero conforme aumenta el valor
absoluto del argumento y toma un máximo en el punto de argumento nulo.
Los coeficientes son reales porque la función f(t) es par (simétrica respecto del
eje de ordenadas). En consecuencia, el espectro de fases vale 0 ó π.
La figura 8 muestra las distintas gráficas de los coeficientes de Fourier para distintas
anchuras del pulso, para por ejemplo T0=1 ms. Se observa en esta figura que al
12
JJGDR-UCA
8 Muestreo y Cuantificación
disminuir el ancho del pulso relativo al periodo fundamental de la señal, se dispersa la
potencia de la señal en el rango de frecuencias considerado. El caso extremo se
considera cuando la señal es una delta de Dirac, en cuyo caso el espectro es plano e
infinito.
Fig. 8. Efecto de la disminución de la anchura del pulso en el espectro continuo de la
señal. La energía de la señal se expande.
Para n=0 el coeficiente resulta:
c0 = V
T*
T0
Empleando ahora la expresión como suma de señales sinusoidales, (3), se obtienen
interesantes consecuencias relacionadas con la analítica del desarrollo:
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13
Instrumentación Electrónica. Juan José González de la Rosa
f (t ) =
a n = 2 Re(c n ) =
a0
+
2
∞
∑ [a
n
⋅ cos(nw0 t ) + bn ⋅ sen(nw0 t )]
n =1

2V
T*
⋅ sen nπ ⋅

nπ
T0


,


bn = −2 Im(c n ) = 0; n = ±1, ± 2,...
De forma compacta, la onda cuadrada del ejemplo anterior resulta, sabiendo que
a 0 = 2V
T*
T0
f (t ) =
:
a0
+
2
∞
∑
n =1

T*
2V
⋅ sen nπ ⋅

nπ
T0

*



 ⋅ cos 2πn t  = V ⋅ T +



T0
 T0 

∞

 2πn 
T * 
t 
⋅ cos

0 
 T0 
∑ nπ ⋅ sen nπ ⋅ T
2V
n =1
Obsérvese que los coeficientes del seno (bn) son nulos; como debe ser pues la función
inicial es par y así debe serlo su desarrollo en serie trigonométrico, que se compone de
una combinación lineal de cosenos. El desarrollo resulta:
f (t ) = V
T*
+ a1 ⋅ cos(2πf 0 t ) + a 2 ⋅ cos(2π2 f 0 t ) + a3 ⋅ cos(2π3 f 0 t ) + a 4 ⋅ cos(2π4 f 0 t )
T0
+ a5 ⋅ cos(2π5 f 0 t ) + a6 ⋅ cos(2π6 f 0 t ) + ...
Un caso particular corresponde a T*=T0/2 (onda cuadrada); en este caso es inmediato
comprobar que sólo permanecen los armónicos impares y resulta:
f (t ) =
V 2V
2V
2V
+
⋅ cos(2πf 0 t ) −
⋅ cos(2π3 f 0 t ) +
⋅ cos(2π5 f 0 t ) − ...
2
π
3π
5π
En forma compacta, su desarrollo en serie resulta:
f(t)
∞
 2πn 
V
2V
 nπ 
f (t ) = +
⋅ sen  ⋅ cos
t 
2 n =1 nπ
 2 
 T0 
∑
T0
V
-T*/2
0
T*/2
t
En función del número de términos considerados, la reproducción de la señal cuadrática
original será más o menos fiel.
Con el fin de mostrar el efecto del truncamiento del desarrollo en serie de la función
anterior, se considera un ejemplo que involucra una señal cuadrada de valor medio 0,5 V
(V=1) y frecuencia de 2 Hz; se emplea una frecuencia de muestreo de 200 Hz. La figura
9 muestra el efecto del truncamiento de la serie dada por (8).
Los rizados u oscilaciones en las discontinuidades reciben el nombre del fenómeno
de Gibb. Suceden porque las discontinuidades en una señal requieren de señales de alta
frecuencia para ser modeladas correctamente, ya que son fenómenos que suceden en
intervalos de tiempo muy cortos.
14
JJGDR-UCA
8 Muestreo y Cuantificación
Fig. 9. Representaciones gráficas de los desarrollos en serie de Fourier de una
señal cuadrada, para distintos números de términos.
La tabla 1 muestra los desarrollos de varias señales comunes en Electrónica e Ingeniería:
Tabla 1. Funciones periódicas no sinusoidales y sus desarrollos en serie de Fourier.
Cuadrada, impar con valor medio nulo
f(t)
T0
V
f (t ) =
0
T0/2
-T0/2
-V
t
4V
π
0
f(t)
2
∞
 2π 
t , n = 1,3,5,...
0 
∑ sen n T
n =1
Triangular de valor medio nulo
T0
V
0
t
-V
f (t ) =
 (− 1)( n −1) / 2   2π 
t , n = 1,3,5,...

 sen n
π 2 n =1 
n2
  T0 
8V
∞
∑
8.4.2 Muestreo natural o real
El muestreo es un proceso lineal que permite transformar una señal de espectro limitado
y continua en el tiempo (tal y como se muestra en la naturaleza), en una serie temporal
(y por tanto discreta) de valores de amplitud que constituyen sus muestras.
En consecuencia, la señal muestreada uniformemente está formada por valores
discretos de la señal analógica original igualmente espaciados por el periodo de
muestreo. La frecuencia de muestreo debe ser al menos igual al doble de la máxima
componente espectral de la señal si se pretende recuperar la señal original a partir de sus
muestras.
JJGDR-UCA
15
Instrumentación Electrónica. Juan José González de la Rosa
Si el muestreo es natural, la señal muestreadora es un tren de impulsos de duración
finita (T*) y amplitud unitaria, como muestra la figura 10. En el muestreo ideal se
emplean series de funciones deltas de Dirac para modelar los impulsos de muestreo.
8.4.2.1 Espectro de la señal muestreada
La señal de muestreo se multiplica por la señal analógica original y se obtiene la señal
muestreada:
f nT0 (nT0 ) = m(t ) × f (t )
Con el fin de obtener el espectro de la señal muestreada se utiliza el desarrollo en serie
de la señal muestreadora:
f(t)
T0
1
...
...
t
0 T*
Fig. 10. Impulsos de muestreo en el proceso de
muestreo natural.
∞
m(t ) =
∑
cn =
c n ⋅ e jnw0t
n = −∞
1
⋅
T0
t0 +T0
∫ m(t ) ⋅ e
− jnw0t
dt
t0
De forma análoga al apartado anterior:
1
cn =
⋅
T0
t 0 +T0 =T *
∫
1 ⋅ e − jnw0t dt =
t0 = 0
[
1
⋅ e − jnw0t
T0
]
T*
0
=
*
1
⋅ 1 − e − jnw0T 



jnw0T0
Con el fin de expresar este coeficiente de forma análoga a los coeficientes del tren de
pulsos del apartado anterior se reconvierte la expresión anterior:
cn =
*
*
*
*
1
1
⋅ 1 − e − jnw0T  =
⋅ e − jnw0T / 2 ⋅ e jnw0T / 2 − e − jnw0T / 2 







jnw0T0
jnw0T0
Se convierte ahora la resta de exponenciales en una función trigonométrica; se sustituye
la pulsación w0 en función del periodo fundamental y se simplifica, resultando:
cn =
[
(
)]
*
1
1   T *  − jnπf 0T *
⋅ 2 j ⋅ sen nw0T * / 2 ⋅ e − jnw0T / 2 =
⋅  sen nπ
⋅e
jnw0T0
nπ   T0 
Finalmente, para tener el mismo argumento del seno en el denominador:
16
JJGDR-UCA
8 Muestreo y Cuantificación
T*
cn =
⋅
T0
T*
* 
− jnπ

T0
 nπ ⋅ T  ⋅ e
⋅
sen


T
T*
0


nπ ⋅
T0
1
n = 0, ± 1, ± 2,...
Se observa que los coeficientes son complejos, ya que ahora el tren de pulsos que se
emplea como señal para muestrear no es una función par. Es inmediato comprobar que
para n=0:
c0 =
T*
T0
Desde el enfoque de un instrumento electrónico, en un medidor de espectros
aparecería reflejada la medida de su valor absoluto o de su valor absoluto al cuadrado, si
está involucrada la energía de la señal.
Se obtiene ahora el espectro de la señal muestreada aplicando la definición de
transformada de Fourier y la propiedad de desplazamiento en la frecuencia. En todo el
proceso queda implícito el carácter lineal de la operación:
∞
∑c
f nT0 (nT0 ) = m(t ) ⋅ f (t ) =
n = −∞
n
⋅e
jnw0t
⋅ f (t ) =
∞
∑c
n = −∞
n
⋅ f (t ) ⋅ e
j 2π ⋅
n
⋅t
T0
Resulta la transformada:
FnT0 ( f ) =
∞
∑c
n = −∞
n
⋅ F ( f − nf 0 )
(9)
Por tanto, el espectro de la señal muestreada es una sucesión de espectros de la señal
original escalados por el coeficiente cn. Además, el espectro de la señal muestreada
conserva la forma del espectro de la señal original, salvo que para cada frecuencia de la
serie nf0 viene escalado por el coeficiente cn.
Con el fin de representar el espectro energético de la señal muestreada se evalúa
el módulo de los coeficientes.
cn =
T*
1
⋅
T0 nπ ⋅ T *
T0

T * 
⋅ sen nπ ⋅
T0 


T * 
sen nπ ⋅
T0 
T*

⋅e
=
⋅
T0
T*
nπ ⋅
1
424
3
T0
T*
− jnπ
T0
=1
Entonces:
FnT0 ( f ) =
∞
∑c
n = −∞
n
⋅ F ( f − nf 0 )
(10)
La figura 11 representa el espectro del módulo de los coeficientes. Obsérvese por
ejemplo, que para n=40 la función toma el valor 0. En efecto:
JJGDR-UCA
17
Instrumentación Electrónica. Juan José González de la Rosa

T * 
=0 448
6447
sen nπ ⋅

T
T*
sen
(
40
π
⋅ 0,025)
0 

cn = V ⋅
⋅
= 1 ⋅ 0,025 ⋅
*
T0
40π ⋅ 0,025
T
nπ ⋅
T0
Fig. 11. Espectro del módulo de los coeficientes del desarrollo de la serie de la señal
muestreadora formada por impulsos unitarios.
Las expresiones (8) y (9) nos indican que el espectro de f(t) se repite para cada valor de
“n”, con la salvedad de que la amplitud está escalada por los coeficientes. Por ejemplo,
una señal con un espectro como el de la figura 12, éste se repetiría para cada valor de
“n”, dando lugar al espectro de la señal muestreada de la figura 13.
F(f)
-fmáx
18
0
fmáx
f
JJGDR-UCA
8 Muestreo y Cuantificación
Fig. 12. Espectro de la señal de interés.
|cn |
...
-1/T *
FnT0(f)
-1/T0 -fmáx
fmáx
0
1/T*
1/T 0
f
...
Fig. 13. Espectro de la señal muestreada.
8.4.2.2 Solapamiento o “aliasing”
La señal analógica original se recupera a partir del espectro de la señal muestreada
anterior, mediante un filtro paso-bajo ideal, con frecuencia de corte igual a la máxima
componente espectral de la señal.
Para que pueda recuperarse la señal analógica original a partir del espectro de la señal
muestreada no deben darse situaciones de solapamiento entre las bandas. Es decir, para
dos bandas adyacentes, la máxima componente de la banda inferior debe ser inferior a la
mínima componente de la banda superior:
nf 0 + f máx < (n + 1) f 0 − f máx
⇒ 2 f máx < f 0
⇔ T0 <
1
2 f máx
(10)
Esto significa que para evitar el solapamiento (“aliasing”), la frecuencia de muestreo
debe ser al menos igual al doble de la máxima componente espectral de la señal. La
figura 14 muestra una situación de solapamiento, que no verifica la condición (10).
FnT0(f)
...
...
f
0
JJGDR-UCA
19
Instrumentación Electrónica. Juan José González de la Rosa
Fig. 14. Situación de solapamiento.
Si el muestreo se realiza a una velocidad menor, la señal reconstruida a partir de las
muestras no coincide con la original.
El origen de la denominación aliasing (manifestación de los “alias”) se refleja con más
claridad en el ejemplo desarrollado 2.
Ejemplo 2. Sean dos señales sinusoidales de frecuencias 1 y 6 kHz respectivamente:
y1 (t ) = sen2π(1000)t
y 2 (t ) = sen2π(6000)t
Supongamos que son muestreadas a una velocidad de 5000 Hz (5 kHz). Entonces, haciendo
t=nTS=n/fS=n/5000 se obtienen las señales o secuencias en tiempo discreto:
2π
 1000 
y1 (n) = sen2π
n
n = sen
5000
5


12π
 6000 
y 2 (n) = sen2π
n
n = sen
5
 5000 
Desarrollando la segunda señal muestreada se observa que es idéntica a la primera:
y 2 (n) = sen
12π
2π 

 2π 
n = sen 2πn +
n  = sen
n
5
5


 5 
En consecuencia, las dos señales son indistinguibles, ya que a partir de los valores de
sus muestras, no podemos determinar de qué señal proceden, si de la de 1 kHz o de la
de 6 kHz. Esto sucede porque y1(t) produce exactamente los mismos valores de
muestras que y2(t) cuando son muestreadas a fS=5 kHz (5000 muestras por segundo).
Se dice entonces que la frecuencia de 6 kHz es un alias de la frecuencia de 1 kHz a la
frecuencia de muestreo de 5 kHz.
Del ejemplo 2 podemos concluir la relación de la frecuencia “alias” con la frecuencia
original y la de muestreo.
(frecuencia alias = frecuencia de la que es alias + k* velocidad de muestreo)
6 kHz = 1 kHz + 1*5 kHz
La figura 15 muestra la situación del ejemplo 2, al medir 6 kHz con una
frecuencia de muestreo de 1 kHz.
La frecuencia de 6 kHz no es el único alias de la frecuencia de 1 kHz a esa
velocidad de muestreo. También lo son las frecuencias de 1+2*5 kHz = 11 kHz, 1+3*5
kHz = 16 kHz, 1+4*5 kHz = 21 kHz, etc. Es decir, a una velocidad de muestreo
determinada fs, y para una frecuencia f1, todas las frecuencias fk=f1+k*fS, con k entero,
son alias de f1.
Para k=-1 se obtiene que -4 kHz es un alias de 1 kHz ya que -4=1+(-1)*5.
También podemos decir 1que 4 kHz es un alias de –1 kHz.
En general podemos enunciar la regla:
20
JJGDR-UCA
8 Muestreo y Cuantificación
fk es un alias de f1 a la velocidad de muestreo fS si existe al menos un entero k tal que
fk=f1+k*fS.
Fig. 15. Panel principal de un analizador de espectros
virtual al medir 6 kHz con una frecuencia de muestreo
de 5 kHz.
8.4.2.3 Frecuencia de muestreo de Nyquist y frecuencia de “plegado”
La frecuencia 2fmáx recibe el nombre de frecuencia de muestreo de Nyquist, y establece la
mínima velocidad del muestreador para recuperar una señal con ancho de banda finito
fmáx.
En consecuencia, la frecuencia de “plegado” o solapamiento (fS/2) es la máxima
componente espectral que puede ser representada inequívocamente con una velocidad
de muestreo fS en un instrumento electrónico.
Ejemplo 3. 442 kHz es un alias de -58 kHz a la velocidad de muestreo de 500 kHz.
En efecto, para k=1, 442 = -58+1*500. En este caso, una frecuencia negativa se
representa en el analizador de espectros como si fuera positiva ya que sen (-x)=-sen(x),
y la inversión de fase no la representa el analizador de espectros.
Cuando un instrumento (analizador de espectros) adquiere una señal que
contiene componentes en frecuencia mayores que la mitad de la frecuencia de Nyquist
(frecuencia de solapamiento o plegado, folding frequency), las componentes en frecuencia que la
superan experimentan el solapamiento hacia atrás o fold back, dando lugar a “alias” de
frecuencias menores. La situación se representa en la figura 16. En el ejemplo anterior,
como 442 kHz – 250 kHz = 192 kHz es menor que 250 kHz el plegado es inmediato:
JJGDR-UCA
21
Instrumentación Electrónica. Juan José González de la Rosa
192
58
0
192
250
442
Fig. 16. Solapamiento hacia atrás o fold back.
Sin embargo, para la frecuencia de 6 kHz del ejemplo 2, como 6-2,5=3,5 se va del rango
de 2,5, al plegar se obtiene –1, que es la frecuencia de 1 kHz de la que 6 es alias. En este
caso, f1 y k son positivos. En el caso anterior f1 es negativa y k positiva. Para el caso de
f1 es positiva y k negativa, como por ejemplo, 4 es un alias de -1 a la velocidad de 5 para
k=1, entonces el solapamiento cae también dentro del rango.
8.4.3 Muestreo ideal uniforme
La señal muestreadora es una serie de deltas de Dirac:
∞
∑ δ(t − nT )
m(t ) =
0
n = −∞
Esta serie de impulsos en el tiempo posee un desarrollo en serie de Fourier dado por:
∞
∑T
m(t ) =
n = −∞
1
⋅ e jnw0t
0
La señal muestreada queda:
f nT0 (nT0 ) = m(t ) ⋅ f (t ) =
n
∞
j 2 π⋅ ⋅t
1
⋅ f (t ) ⋅ e T0
T
n = −∞ 0
∑
y su espectro:
FnT0 ( f ) =
∞
∑T
n = −∞
1
⋅ F ( f − nf 0 )
(11)
0
En consecuencia, para este caso el espectro de la señal analógica se repite sin el efecto
de modulación de los coeficientes.
8.4.4 Teorema del muestreo de Shannon
Establece cómo recuperar la señal original (en tiempo continuo) a partir de sus
muestras proponiendo una fórmula de interpolación:
22
JJGDR-UCA
8 Muestreo y Cuantificación
f (t ) =
∞
∑
n = −∞
 π 

sen  (t − nT0 )
 T0 

f nT0 (nT0 ) ⋅
 π
 (t − nT0 )
T 
0 
4
14
424443
T0 =
1
2 f máx
función int erpoladora
8.4.5 Otras situaciones de muestreo
Se estudian en este apartado casos particulares del proceso de muestreo.
8.4.5.1 Muestreo de señales moduladas en amplitud con ancho de banda finito
En el ámbito de la instrumentación electrónica industrial resulta frecuente encontrar
señales moduladas en amplitud. La señal modulada es la portadora y la moduladora es la
señal del sensor, la que porta la información (con menor frecuencia).
En este caso se debe reconstruir la señal de información o moduladora. Se demuestra
que la mínima frecuencia de muestreo viene dada por el ancho de banda de la señal de
información, y no por la máxima frecuencia presente en la señal. La expresión de
recuperación de la señal a partir de sus muestras resulta:
 2π 

sen  (t − nT0 )
T

[ p(nT0 ) cos(2πf c t ) − q(nT0 ) sen(2πf c t )] ⋅  0 
f (t ) =
 2π 
n = −∞
 (t − nT0 )
T 
0 
4
14
424443
∞
∑
función int erpoladora
Donde el ancho de banda y la frecuencia central resultan:
fc =
f1 + f 2
2
BW = f 2 − f1
f 0 = BW
2
A partir de estas expresiones es sencillo comprobar:
f2 = fc + f0
f1 = f c − f 0
Las funciones p(t) y q(t) son sus componentes en fase y en cuadratura muestreadas a una
frecuencia determinada por el ancho de banda.
8.4.5.2 Muestreo repetitivo secuencial
En las situaciones en que se conoce que la señal a muestrear es repetitiva se pueden
tomar muestras en períodos sucesivos de la señal y no durante un intervalo reducido de
JJGDR-UCA
23
Instrumentación Electrónica. Juan José González de la Rosa
tiempo; lo que obligaría a emplear elevadas velocidades de muestreo. Es una situación
análoga a los osciloscopios de muestreo.
Para conseguir este objetivo sólo es necesario fijar un punto de sincronismo, que
establece el punto de comienzo, a partir del cual un circuito temporizador desplaza el
instante de muestreo uniformemente. La situación se muestra en la figura 17.
Referencia
∆T
2∆T
... ...
Fig. 17. Muestreo repetitivo secuencial.
8.5 Cuantificación
La cuantificación es una operación no lineal que tiene por fin asignar a cada valor
continuo y discreto (muestreado) de una señal un estado de entre todos los posibles en
un conjunto finito de estados de cuantificación.
En este apartado se estudian cuantificadores de “memoria cero” o no secuenciales, es
decir, circuitos electrónicos en los que la salida viene determinada por el valor de la
entrada actual y no de las entradas anteriores.
8.5.1 Cuantificación uniforme
8.5.1.1 Concepto y ejemplos
A un conjunto de valores analógicos comprendidos en cada intervalo de cuantificación
de anchura “q” se le asigna en mismo estado.
La situación se muestra en la figura 18. En ella se escogen los puntos de decisión
en la mitad de cada intervalo de cuantificación. Como hay 8 estados, si por ejemplo, el
cuantificador tiene un margen de entrada de 10 V, entonces ∆ = 10/8 = 1,25 V.
El número de estados de salida (número de bits) determina la resolución del
cuantificador. Así el ancho del intervalo de cuantificación es:
∆=
m arg en entrada V pp
= n
estados
2
Ejemplo 4. Para medir una temperatura en el rango 0-200 ºC se dispone de una sonda que ofrece
una salida con sensibilidad de 20 mV/ºC. Se desea que el menor cambio en la entrada detectable (que
provoca un cambio apreciable en la salida, resolución) sea de 0,2 ºC. Determinar el margen de entrada
y el número de bits del cuantificador (convertidor de analógico a digital).
A fondo de escala: 20
24
mV
× 200 º C = 4 V . Así que el margen de entrada del cuantificador
ºC
JJGDR-UCA
8 Muestreo y Cuantificación
es 0-4 V.
Para determinar el número de bits se parte de la resolución del proceso de medida para
obtener la resolución eléctrica del sensor:
0,2 º C × 20
mV
= 4 mV
ºC
Por tanto, de la resolución se obtiene el número de bits:
4V
2
n
= 4 mV → 2 n = 1000 → n = 9,96 ≈ 10
Estados- Códigos de salida
Curva
ideal
(lineal)
111
110
101
Curva real
100
011
010
001
∆
000
1,25 2,5 3,75 5 6,25 7,5 8,75 10
Entrada
analogica
(V)
Fig. 18. Característica de transferencia de un
cuantificador de 8 estados (3 bits). Se incluyen los
códigos asociados a cada estado.
La resolución de un cuantificador puede expresarse según distintos criterios. Se expone
a continuación un ejemplo.
Ejemplo 5. Para un cuantificador de 10 bits, la resolución puede expresarse según:
•
•
•
•
1
2
10
=
1
“una parte entre 1024”
1024
1
× 100 % = 0,0976562 % “como porcentaje”
1024
0,0976562 0,0976562 10 4 0,0976562 × 10 4 976,5562
0,0976562 % =
=
× 4 =
=
= 976,5562 ppm
100
100
10
10 6
10 6
“partes por millón”
20 × log(0,00097656) ≅ −60,206555 ≈ −60,2 dB “decibelios”
JJGDR-UCA
25
Instrumentación Electrónica. Juan José González de la Rosa
8.5.1.2 Relación señal/ruido de cuantificación
En el apartado 2.2 se definió (2) la relación señal-ruido de cuantización como el cociente
de varianzas de la señal de interés y el ruido, que se repite por comodidad:
(
(
)
)
2
E  x(i ) − x 


SNR ≡ 
=
2
E  e(i ) − e 


∑ (x(i))
∑ (e(i))
2
2
=
σ 2x
σ e2
Esta expresión se emplea para evaluar el efecto del ruido de cuantización, que es la
diferencia entre la muestra original y la cuantizada. Como se dijo, esta definición lleva
implícito el cociente de potencias medias entre la señal de interés y el ruido.
8.5.2 Cuantificación no uniforme
8.5.2.1 Planteamiento del problema y soluciones
El error absoluto es constante en todos los intervalos de cuantificación; pero el error
relativo de cuatificación aumenta para señales de entrada pequeñas. En consecuencia, al
ser la varianza del error mayor para señales pequeñas, la SNR es menor. Es deseable
obtener un SNR independiente del nivel de la señal de entrada, independiente de la
varianza de la señal (cuantificador robusto). Una solución consiste en variar el intervalo
de cuantificación proporcionalmente a la amplitud de la entrada. Este es un tipo de
cuantización no uniforme.
La cuantificación no uniforme se puede describir con el modelo que conste de un
compresor F(x) (no lineal), seguido de un cuantificador lineal. F(x) es una función
monótona creciente, en consecuencia es invertible. Por lo que a la salida del compresor
se puede recuperar la entrada, y no se pierde información.
Referencias
[1]
[2]
[3]
[4]
W.D. Cooper and A.D. Helfrick, Instrumentación electrónica moderna y técnicas
de medición, Prentice-Hall. Hispanoamericana, 1991.
R. Pallás, Adquisición y distribución de señales, Marcombo, Boixareu editores,
1987.
S. Wolf, y R.F.M. Smith, Guía para mediciones electrónicas y prácticas de
laboratorio, edición ampliada y actualizada. prentice-hall hispanoamericana.
méxico, etc., 1992.
J.M. Martín, Hardware Microinformático: Viaje a las profundidades del PC. 2ª
Edición, Ed. RA-MA, 2001.
Anexo: Relaciones trigonométricas
1.- Funciones trigonométricas en función de exponenciales complejas:
sen(x ) =
26
e jx − e − jx
2j
cos(x ) =
e jx + e − jx
2
e ± jx = cos(x ) ± jsen(x )
JJGDR-UCA
8 Muestreo y Cuantificación
2.- Coseno de la suma de ángulos:
cos( A ± B ) = cos( A) cos(B ) m sen( A)sen(B )
De aquí se obtiene la conversión de producto en suma:
cos( A + B ) = cos( A)cos(B ) − sen/ ( A)sen(B )
cos( A − B ) = cos( A)cos(B ) + sen/ ( A)sen(B )
cos( A + B ) + cos( A − B ) = 2 cos( A)cos(B )
→ cos( A)cos(B ) =
3.- cos 2 ( A) =
1
[cos( A + B ) + cos( A − B )]
2
1 + cos(2 A)
2
JJGDR-UCA
sen 2 ( A) =
1 − cos(2 A)
2
27