Representación Decimal de Números Reales 2da parte

Representación Decimal de Números Reales
2da parte
Teorema 1. Sea x ∈ R un número real no negativo. Existe entonces una única sucesión
a0 , a1 , ..., an ... de números enteros 0 ≤ an ≤ 9 para n ≥ 1 tal que
a0 +
a1
a2
a2
an
a1
an
1
+ 2 + · · · n ≤ x ≤ a0 +
+ 2 +··· n + n
10 10
10
10 10
10
10
Demostración. Para demostrar la existencia se procede por inducción.
La exitencia de a0 se da por la propiedad arquimediana a0 ≤ x ≤ a0 + 1.
Para n supónemos
a0 +
a2
an
a1
a2
an
1
a1
+ 2 + · · · n ≤ x ≤ a0 +
+ 2 +··· n + n
10 10
10
10 10
10
10
Primero trabajaremos del lado izquierdo, es decir
a0 +
a2
an
a1
+ 2 +··· n ≤x
10 10
10
y aquı́ ocurren dos cosas
1) a0 +
an+1
10n+1
a1
10
+
a2
102
an
+ · · · 10
n = x ó a0 +
a1
10
+
a2
102
an
+ · · · 10
n < x. En el primer caso podemos sumar
con an+1 = 0 y obtenemos la expresión
a0 +
a1
a2
an
an+1
+ 2 + · · · n + n+1 ≤ x
10 10
10
10
. Si ocurriera que
a0 +
a1
an
a2
+ 2 +··· n <x
10 10
10
, existirı́a una distancia entre la aproximación y el número x, la cual se puede subdividir en 10
partes, de ellas nos tomamos en entero 0 ≤ an+1 ≤ 9 tal que
a0 +
a1
a2
an
an+1
+ 2 + · · · n + n+1 ≤ x
10 10
10
10
1
Ahora del lado derecho de la expresión tenemos que
a2
a2
a1
an
1
a1
an
+ 2 + · · · n + n = a0 +
+ 2 +··· n +
x < a0 +
10 10
10
10
10 10
10
= a0 +
10
10
1
10n
a2
a2
a1
an
10
a1
an
9
1
+ 2 + · · · n + n+1 = a0 +
+ 2 + · · · n + n+1 + n+1
10 10
10
10
10 10
10
10
10
y en este caso podemos ver al término
x < a0 +
9
10n+1
=
an+1
10n+1
con 0 ≤ an+1 ≤ 9 y asi tenemos
a2
a1
an
an+1
1
+ 2 + · · · n + n+1 + n+1
10 10
10
10
10
por tanto según lo anterior vale para n+1 y la expresión es valida para todo natural n.
Tenemos un detalle
Probar que 0 9 = 1
Sol.- Si r = 0 9 ⇒ 10r = 9 9 ⇒ 10r − r = 9 ⇒ 9r = 9 ⇒ r = 1 esto quiere
decir que 1 = 1.0 y 1 = 0.9 son dos representaciones decimales algo distintas, sin embargo en
nuestra representación decimal construida, esto no ocurre
Teorema 2. No puede ocurrir que am = 9 para m > n
Demostración. pues si esto ocurriera se tendrı́a
a0 +
a2
an
9
9
a1
+ 2 + · · · n + n+1 + n+2 + · · · ≤ x
10 10
10
10
10
Trabajaremos la parte roja de la sumatoria, asi que tenemos
9
9
1
9
1
10
9
1
9
+ n+2 + · · · =
1+
+ 2 + ... =
=
1
n+1
n+1
n+1
n+1
10
10
10
10 10
10
10
9
1 − 10
=
10
9
1
= n+1 + n+1
n+1
10
10
10
sustituyendo en la parte de arriba se tiene
a0 +
a1
a2
an
9
1
+ 2 + · · · n + n+1 + n+1 ≤ x
10 10
10
10
10
2
9
10n+1
Tomando
=
an+1
10n+1
se da la representación decimal
a0 +
a1
a2
an
an+1
1
+ 2 + · · · n + n+1 + n+1 ≤ x
10 10
10
10
10
lo cual es contrario a la construcción de la representación decimal de x
La representación decimal de un número real se dice que es finita, cuando existe un n ∈ N
tal que am = 0 ∀ m > n, es decir, cuando la representación decimal es de la forma x =
a0 a1 a2 a3 ...am
La representación decimal se denomina periódica cuando es de la forma a0 a1 a2 an bb1 ...bm
Todo número racional tiene una representación finita o periódica
Sea x =
p
q
un número racional escrito en forma de fracción irreducible y supongamos que es
positivo. El algoritmo de la división de p por q es el que produce su represe ntación decimal,
es sabido que en cada paso, el resto ha de ser un entero entre 0 y q − 1. Si en algún momento
es igual a cero, la representación decimal es finita, si no es ası́, el algoritmo continua y tras a
lo sumo q iteraciones, aparece un mismo resto por segunda vez; a partir de aquı́, los números
naturales an de la representación decimal se van repitiendo indefinidamente y en consecuencia,
la representación decimal es periódica.
Recı́procamente.- Sea x un número real con representación decimal periódica (posiblemente
finita).
x = a a1 a2 ...b1 b2 ...bm
entonces
10n x = aa1 a2 ...an b1 b2 ...bm
3
10n+m x = aa1 a2 ...an b1 b2 ...bm b1 b2 ...bm
(10n+m − 10n )x = aa1 a2 ...bm − aa1 a2 ...an
p
=x∈ Q
− 10n )
Hallar los racionales representados por 0 917 y por 2 3292
Si llamo p al entero p = (10n+m − 10n )x
⇒
(10n+m
Sol.- Si p = 0 917 ⇒ 1000p = 917 917 ⇒ 1000p − p = 917 ⇒ 999p = 917 ⇒ p =
917
999
Si q = 2 3292 ⇒ 10q = 23 292 ⇒ 10000q = 23292 292 ⇒ 9990q = 23269 ⇒ q =
23269
9990
4