Matemática básica para ingeniería (MA105) Clase Práctica Sesión

Matemática básica para ingeniería (MA105)
Clase Práctica Sesión 10.3
1. Simplifique la siguiente expresión: 2 tan x sec x 
1
1

1  sen x 1  sen x
Solución:
2 tan x sec x 
1
1
 sen x  1   2 sen x

 2


1  sen x 1  sen x
 cos x  cos x  1  sen 2 x
2 sen x 2 sen x


cos 2 x cos 2 x
0
2. Demuestre la siguiente identidad:
cos x
sen x

 cos x  sen x
1  tan x 1  cot x
Solución:
cos x
sen x
cos x
sen x



1  tan x 1  cot x cos x  sen x senx  cos x
cos x
sen x
cos 2 x
sen 2 x


cos x  sen x cos x  sen x
cos x  sen x cos x  sen x 

cos x  sen x
 cos x  sen x.
3. Determine el C.V.A. y el C.S. de:
a. 4 cos2 t  1  4 cost
Solución:
C.V.A. = R.
4 cos2 t  4 cost  1  0
2 cost  12  0
1
2
De donde
5
 2k ; k  Z
3
3
5


C .S.    2k ;
 2k ; k  Z 
3
3


 

También pueden responder: C .S.    2k ;  2k ; k  Z 
3
 3

t

 cost 
 2k , k  Z
 t
1
ASP/2010-01
b. tan4 (2x)  9  0
Solución:
sen(2 x)
Como tan(2 x) 
entonces:
cos(2 x)
 

C.V.A.= R  x / cos(2 x)  0  R    k / k  Z  , luego factorizando se tiene:
4 2

tan(2x)  3tan(2x)  3tan2 (2x)  3  0
tan(2x)   3
De donde
 2 x  tan1 ( 3 )
 
x   k / k Z
6 2
 

 CS1    k / k  Z 
6 2

tan(2x)   3
De donde
 2 x  tan1 ( 3 )
 
x    k / k Z
6 2
  

 CS 2    k / k  Z 
 6 2

tan2 (2 x)  3  0
 CS3  
    

 CS    k ;  k / k  Z 
 6 2 6 2

4. Una torre de 125 pies se localiza en la ladera de una montaña que tiene una
inclinación de 32º respecto de la horizontal. Se fijará un alambre de sujeción a la
parte superior de la torre y se anclará en un punto a 55 pies colina abajo de la base
de la torre. Determine la longitud del alambre.
Solución:
Analizando los datos tenemos la siguiente figura:
125 pies
x
125
x
55 pies
122°
32º
55
32°
Aplicando la ley de cosenos tenemos:
x 2  552  1252  255125 cos122
x  161,047 787 576 
Conclusión: La longitud del alambre es de aproximadamente 161,05 pies.
2
ASP/2010-01
5. Desde la azotea de un edificio que da al mar un observador ve un bote navegando
directamente hacia el edificio. Si el ojo del observador se encuentra a 40 metros
sobre el nivel del mar y el ángulo de depresión del bote cambia de 25º a 40º durante
el periodo de observación, determine la distancia aproximada que recorre el bote.
Solución:
Según los datos, tenemos la siguiente idea geométrica (ver figura).
25 
De donde:
40
40
… (A)
tan 40 
y 
y
tan 40
40 
40 m
40
40
tan25 
x 
 y … (B)
x y
tan25
40 
Reemplazando (A) en (B)
40
40
x

 38,110 133 116 6
tan 25 tan 40
y
25 
x
Conclusión: La distancia que recorre el bote es de aproximadamente 38,11 metros.
6. Sean P = (-2; 2), Q = (3; 4), R= (-2; 5) y S = (2; -8). Determine la forma de
componentes y la magnitud del vector:
 


a. i) 3 QR PS
ii) 5 PQ 2 RS
Solución:
 
a. 3 QR  PS  3  2  3; 5  4  2  (2);  8  2  3  5;1  4;  10   11;7
Luego  11;  7  170


b. 5 PQ  2 RS  5 3;4   2;2   2 2;8   2;5   17;36
Luego 17; 36  1585
b. ¿Cuál es el vector unitario en la dirección del vector obtenido el la parte a) y
exprese como una combinación lineal de los vectores unitarios estándar i y j?
Solución:
Piden:
 11;  7
 11;  7

 11  7
11
7
;

i
j
170 170
170
170
7. Dos remolcadores jalan con fuerzas de 150 kN y 200 kN un barco averiado con
rumbo de 18º NW y 15ºNE respectivamente hacia el un puerto para su reparación.
¿Qué fuerza resultante se desarrolla en el remolque de el barco averiado?
Solución:
Definimos:
Fi: fuerzas 1 y 2 con F1  150 kN y F2  200 kN.
R: fuerza resultante.
3
ASP/2010-01
Piden: R
Como:
 F1  150  F1  150cos108;150sen108

N
R
F2  200  F2  200cos75; 200sen75
F2
Luego R  F1  F2 , de donde al sumar ambos
vectores y hallar la magnitud se tiene:
F1
18  15 
E
W
S
R  R x ; R y  150 cos 108   200 cos 75;150 sen 108   200 sen 75  5,41; 335,84
con R  335,89
Conclusión: La fuerza resultante del remolque es de aproximadamente 335,89 KN.
8. Se tiene los vectores u =  2;7 , v =  5;8 .
a. Determine el producto punto de u y v.
Solución:
u  v =  2; 7  5;  8   2 5  7 8  46
b. Determine el vector unitario del vector: u - v.
Solución:
 u – v = 3;15 entonces 3;15  3 26

Piden
3;15
3;15

3
15
;

3 26 3 26
1
;
26
5
26
c. Determine el ángulo entre los vectores u y v.
Solución:
  46 
u  v = - 46 además u  53 y v  89 , luego   cos1 
  132,05
 53 89 
9. Determine el vector proyección de u sobre v si u = 3;7 , v =  2;6 . Luego
escriba u como una suma de dos vectores ortogonales, uno de los cuales sea proyvu.
Solución:
 uv 
36
9 27
proyv u   2  v 
 2;  6   ; 
v 
40
5
5


24 8
;
5
5
Verificamos que z y proyv u son ortogonales,
Luego u  z  proyv u donde z 
z  proyv u 
24 8
;
5
5

9 27
 ;
0
5
5
proy v u
v
u
z
4
ASP/2010-01
10. Determine el trabajo realizado por una fuerza F de 12 libras que actúa en la
dirección 1; 2 para mover un objeto 4 pies desde A(0, 0) hasta B(4; 0).
Solución:
Datos:
v  1; 2


AB  4; 0 con AB  4
F: fuerza en la dirección de v con F  12 entonces podemos escribir:
v
 1 2 
12 24
 
F  F    12
;
;
5 5
 5 5 
v

12 24
48
;
 4; 0 
 21,47
Luego W  F  AB 
5 5
5
Conclusión: El trabajo hecho por la fuerza es de aproximadamente 21,47 libras-pie.
11. Determine si los vectores u y v son paralelos, ortogonales o no son ni paralelos ni
ortogonales.
10 4
a. u  2, 5 , v 
,
3 3
Solución:
10 4
 10 
 4  40
 Como 2, 5 
,
 2   5  
 0 , luego: no son ortogonales.
3 3
3
3 3
 Asumiendo que son paralelos, se tiene que existe algún t  R tal que:
3
10 4
y
2, 5  t
, , por igualdad de vectores se tiene dos valores distintos t 
5
3 3
15
t
, lo cual contradice al concepto de vectores paralelos, luego: no son paralelos.
4
b. u  5,  6 , v   12,  10
Solución: Como 5;  6   12;  10  5 12   6 10  0
Luego: los vectores son ortogonales.
c. u  2,  7 , v   4 , 14
Solución: Observamos que existe t 
1
1
 R , tal que 2;  7   4; 14
2
2
Luego: los vectores son paralelos.
5
ASP/2010-01