reglas para expresar una medida y su error

ERRORES
a) Ampliar la clasificación de los errores planteados en las hojas de trabajo a
partir de bibliografía.
El error es la diferencia entre el valor observado y el valor exacto o verdadero de
una medición. Los métodos numéricos se encargan de obtener soluciones aproximadas,
a través de una serie de cálculos, y por eso es importante averiguar el error de esa
solución.
CLASIFICACIÓN DE LOS ERRORES:
Error sistemático, error que proviene de causas permanentes, del método o del
aparato de medición y que se produce constantemente en el mismo sentido. Son
evitables y realmente se trata de equivocaciones.
Error accidental, error que no depende de la medición, sino de la ejecución
más o menos defectuosa o perturbada de la misma. Por tanto estos errores no se pueden
evitar, ni controlar y proceden de una multitud de causas sobre las que no se puede
actuar. Se producen en ambos sentidos y se pueden compensar.
Error aleatorio, error que resulta de la combinación debida al azar de múltiples
errores, debidos bien al aparato o bien al operador.
Error instrumental, error de la lectura cometido en un instrumento de medida,
debido a defectos de construcción o montaje. Los más importantes tipos de errores
instrumentales son los de excentricidad, graduación inclinación, parásito y de
reversibilidad.
Error absoluto, diferencia entre un número y su valor aproximado; diferencia
entre el resultado de una medición de una magnitud y el valor exacto de dicha
magnitud. Es un concepto teórico, ya que el valor verdadero es indeterminable.
Error relativo, cociente entere el error absoluto y el número exacto. La
precisión de una medida física depende de su error relativo. Se suele expresar en tantos
por cientos, y este índice se interpreta como un criterio de calidad de la medida.
El error absoluto se expresa en las unidades de la magnitud de la medida; el
error relativo por el contrario, es un número. En la determinación precisa de una
magnitud no basta una sola medida o una sola observación; el número de observaciones
ha de ser tanto mayor cuanto mayor sea la precisión buscada. Entre todos los resultados
obtenidos se elige un valor A considerado como el mejor que cabe deducir. Se llama
entonces error residual o residuo r p del resultado a p de una observación cualquiera a
su diferencia en relación al valor A adoptado:
rp = ap –A
ERRORES ABSOLUTOS Y ERRORES RELATIVOS
El error absoluto es la diferencia entre el valor verdadero, suponiendo que se
conoce, y una aproximación al valor verdadero.
Así, si:
X = cantidad verdadera
X = una aproximación a la cantidad verdadera
eX = error absoluto
Tenemos que:
eX = X – X
El error relativo se define como el cociente del error absoluto entre la
aproximación:
ex X  X

X
X
En medidas de una cierta calidad, el error relativo debe de ser mucho menor que
la unidad. Frecuentemente se expresa multiplicado por 100, con lo que aparece en tanto
por cien del valor medio:
e
Error relativo (%) = X  100
X
CÁLCULO DE ERRORES
Si las fuentes de error únicamente son de carácter aleatorio, es decir, si influyen
unas veces por exceso y otras por defecto en el resultado de la medida, puede
demostrarse que el valor que más se aproxima al verdadero valor es precisamente el
valor medio. Ello es debido a que al promediar todos los resultados, los errores por
exceso tenderán a compensarse con los errores por defecto y ello será tanto más cierto
cuanto mayor sea el número de veces que se repita la medida. Por esta razón, el
procedimiento habitual para establecer un valor fiable de una cantidad M y de su
incertidumbre correspondiente es el siguiente:
1. Repetir n veces la operación de medida de M y anotar los resultados
M1, M2... Mn.
2. Calcular la media aritmética M de todos ellos:
M = (M1 + M2 + ... + Mn) / n
3. Calcular la desviación media DM, es decir, la media aritmética de los valores
absolutos de las desviaciones de los diferentes resultados de la medida
respecto de su media M:
M 
M1  M  M 2  M  ...  M n  M
n
El tomar los valores absolutos y no su signo equivale a situarse
deliberadamente en la situación más desventajosa en la que los errores no se
cancelan entre sí.
4. Considerar DM como una cota o límite del error, de modo que el verdadero
valor DM de la magnitud medida estará comprendido entre los valores
extremos M – DM y M + DM.
M – DM < M < M + DM
5. Expresar el resultado en la forma:
M ± DM
CIFRAS SIGNIFICATIVAS
Se considera que las cifras significativas de un número son aquellas que tienen
significado real o aportan alguna información. Las cifras no significativas aparecen
como resultado de los cálculos y no tienen significado alguno. Las cifras significativas
de un número vienen determinadas por su error. Son cifras significativas aquellas que
ocupan una posición igual o superior al orden o posición del error. Todas las cifras que
figuran en un resultado deben de ser significativas. Este mismo criterio general debe
respetarse cuando se opera con datos experimentales.
La exactitud de los datos obtenidos en un experimento depende tanto de los
instrumentos de medida como de la calidad del experimentador. Por cuanto todo
instrumento de medida tiene un límite de sensibilidad, es imposible obtener con total
exactitud la medida. El correcto manejo de los datos obtenidos en un experimento, en
cuanto a su precisión se refiere, se trabaja con las cifras significativas.
Al afirmar que la medición de cierta longitud dio como resultado 15,4 cm, se
quiere decir que sobre el valor de 15 cm tenemos plena certeza, mientras que el 4
decimal es un tanto ambiguo y está afectado por cierto error. Lo único que se puede
decir con seguridad es que el valor obtenido está más cerca de 15 cm que de 16 cm.
Acerca de las centésimas no se dice nada. No sabemos si el resultado de la medición es
15,42 cm ó 15, 38 cm, pero sí que este valor se encuentra entre 15,35 cm y 14,45 cm,
presentándose entonces una incertidumbre total de 0,1 cm. Como vemos, no es lo
mismo escribir 15,4 cm que escribir 15,40 cm, ya que en este caso estamos afirmando
que conocemos la longitud con una exactitud de hasta una centésima (que es diez veces
más exacto que en el caso anterior) y así, la incertidumbre es ya de una milésima de
centímetro, es decir, el valor de la longitud se encuentra entre 15,395 cm y 15,405 cm.
Las dos cifras, 15,4 cm y 15,40 cm, implican métodos e instrumentos de medida que
pueden ser diferentes.
De esta manera:
15,4 cm = 154 mm = 0,154 · 102 cm = 0,154 m = 0,000154 km = …
Todo este bloque de cifras contiene la misma información desde el punto de
vista experimental. Se dice por lo tanto que todas ellas tienen el mismo número de cifras
significativas, que en este caso es de tres, compuestas de dos dígitos ciertos (15) y uno
afectado por la incertidumbre (4). Sin embargo, el número total de dígitos no representa
necesariamente la precisión de la medición.
REGLAS PARA EXPRESAR UNA MEDIDA Y SU ERROR
1.- Todo resultado experimental o medida hecha en el laboratorio debe ir acompañada
del valor estimado del error de la medida y a continuación, las unidades empleadas.
2.- Los errores se deben dar solamente con una única cifra significativa.
3.- La última cifra significativa en el valor de una magnitud física y en su error,
expresados en las mismas unidades deben de corresponder al mismo orden de magnitud.
b) Explicar en qué casos utilizarías el error absoluto y en qué casos el error
relativo:
Como consecuencia de la existencia de diferentes fuentes de error, el científico
se plantea por sistemas hasta qué punto o en qué punto o en qué grados los resultados
obtenidos son fiables, esto es, dignos de confianza. Por ellos, al resultado de una medida
se le asocia un valor complementario que indica la calidad de la medida o su grado de
precisión. Los errores o imprecisiones en los resultados se expresan matemáticamente
bajo dos formas que se denominan error absoluto y error relativo.
El error absoluto y el error relativo son aproximadamente iguales para números
cercanos a uno; pero para los números no cercanos al uno puede haber una gran
diferencia.
Se define el error absoluto como la diferencia entre el resultado de la medida y el
verdadero valor de la magnitud a medir; y el error relativo es el cociente entre el error
absoluto y el verdadero valor.
ERROR ABSOLUTO
ERROR RELATIVO
Se expresa en las unidades de l
magnitud medida.
________________________________
No se expresa en unidades, es sólo un
número.
________________________________
Necesita mínimo tres medidas.
Una única medida.
________________________________
Es la diferencia entre el valor verdadero
y una aproximación al valor verdadero.
________________________________
Es el cociente entre el error absoluto
entre la aproximación.
________________________________
Puede tomar cualquier valor.
Comprendido entre 1>x>0
______________________________________________________________________
El error relativo se emplea para averiguar el error absoluto y se interpreta como
un criterio de calidad de la medida. Siempre será inferior a uno; mientras que el error
absoluto lo utilizamos para tener un intervalo centrado en el valor obtenido, entre los
cuales la certeza, o una “gran probabilidad” de que se encuentre el valor verdadero que
no conocemos.
Ingeniería Química. Métodos Numéricos, curso 1º-A.
Laura Navarrete Algaba, Laura Ruiz Pascual y Cristina Romero Arlandis