Hoja de Problemas 6. Moléculas y Sólidos.

Hoja de Problemas 6. Moléculas y Sólidos.
Fundamentos de Fı́sica III. Grado en Fı́sica.
Curso 2015/2016. Grupo 516. UAM.
13-04-2016
Problema 1
La separación de equilibrio de los iones de K+ y Cl− en el KCl es aproximadamente 0.267 nm. (a)
Calcular la energı́a potencial de atracción de los iones suponiendo que para esta separación los iones
se pueden suponer cargas puntuales. (b) La energı́a de ionización del K es 4.34 eV y la afinidad
electrónica del Cl es 3.61 eV. Determinar la energı́a de disociación, despreciando toda energı́a de
repulsión. (c) La energı́a de disociación medida experimentalmente es 4.40 eV. ¿Cuál es la energı́a
debida a la repulsión de los iones en la separación de equilibrio?
Solución Problema 1
(a) La energı́a potencial de atracción es
Uatr = −
ke2
1.440eV nm
=
= −5.39 eV
r
0.267nm
(b) Para formar el K+ y el Cl− se requiere aportar una energı́a de Eion =4.34 eV - 3.61 eV= 0.73 eV.
Ası́, despreciando la energı́a de repulsión, la energı́a de disociación vendrá dada por
ke2
+ Eion = 5.39 eV − 0.73 eV = 4.66 eV
Ed = − −
r
(c) La energı́a de repulsión a la separación de equilibrio simplemente será Erep =4.66 eV - 4.40 eV
= 0.26 eV.
Problema 2
El potencial entre dos átomos en una molécula se describe en ocasiones utilizando el llamado
potencial del Lenard-Jones, que tiene la expresión
a 6 a 12
U (r) = U0
−2
r
r
1
donde U0 y a son constantes. (a) Calcula la distancia interatómica rmin en función de a para la cual
la energı́a potencial es mı́nima. (b) Calcula el correspondiente valor de energı́a potencial mı́nima
Umin . (c) Para la molécula de H2 se tiene que a = 0.074 nm y U0 = 32.8 eV. Representa en una
misma gráfica la parte atractiva, repulsiva y total de U (r) para la molécula de H2 .
(a) Podemos encontrar el mı́nimo de U (r) haciendo
dU
= U0 −12a12 r−13 + 12a6 r−7 = 0
dr
de donde obtenemos
−12a12 r−6 + 12a6 = 0 → r−6 = a−6 → r = a
(b) La correspondiente energı́a potencial mı́nima Umin se calcula simplemente sustituyendo en la
expresión del potencial la condición de mı́nimo obtenida en (a)
a 6 a 12
Umin = U0
−2
= (1 − 2)U0 = −U0
a
a
(c) Representación gráfica (utilizando Matlab por ejemplo)
Figura 1: Representación gráfica para el apartado (c) del Problema 2.
Problema 3
Consideremos una cadena unidimensional de iones positivos y negativos colocados de forma alterna.
Demostrar que la energı́a potencial de un ión en este hipotético cristal viene dada por
U0 = −α
ke2
d
donde α = 2 ln(2) es la constante de Madelung y d es la distancia entre los iones.
2
Solución Problema 3
Es útil comenzar dibujando un esquema del sistema propuesto en el enunciado
Figura 2: Representación esquemática del sistema de iones del Problema 3.
Para el ión negativo que está en el origen (etiquetado con ”0.en el esquema), la energı́a potencial se
puede escribir como
1 1 1 1 1
2ke2
1 − + − + − + ...
V =−
d
2 3 4 5 6
Si comparamos la expresión anterior con la que se utiliza para la definición de la constante de
Madelung (α)
ke2
V = −α
d
tenemos que
1 1 1 1 1
α = 2 1 − + − + − + ...
2 3 4 5 6
Ahora, teniendo en cuenta que
ln(1 + x) = x −
x2 x3 x4
+
−
+ ...
2
3
4
y que por lo tanto
1 1 1
+ − + ...
2 3 4
obtenemos el resultados que estábamos buscando
ln(2) = 1 −
α = 2 ln(2) = 1.386
Problema 4
En este problema debe determinarse la forma en que la fuerza de Van der Waals entre una molécula
polar y otra no polar depende de la distancia entre las moléculas. Supongamos que el momento
dipolar de la molécula polar se encuentra orientado en la dirección x y la molécula no polar está a
una distancia x. (a) ¿Cómo varı́a con la distancia x el campo eléctrico de un dipolo?. (b) Teniendo
en cuenta que la energı́a potencial de un dipolo eléctrico de momento p en un campo eléctrico E es
igual a U = −p · E y que el momento dipolar inducido de la molécula no polar es proporcional a E,
determinar cómo depende la energı́a potencial de interacción de las dos moléculas de la distancia
de separación. (c) A partir de la ecuación Fx = −dU/dx determinar la dependencia con x de la
fuerza entre las dos moléculas.
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Solución Problema 4
(a) Podemos escribir el campo eléctrico creado por el dipolo asociado a molécula polar (molécula
con momento dipolar permanente) del enunciado como
Ed =
k p1
ux
x3
donde p1 = qa, siendo a la separación entre las cargas q y −q del dipolo.
(b) En el enunciado nos indican que para el caso de una molécula no polar p en un campo E se
cumple que p = αE. Utilizando este hecho, podemos obtener el momento dipolar de la molécula
no polar inducido por el campo creado por p1 como
p2 = αEd =
αkp1
ux
x3
Por tanto, la energı́a potencial que nos piden en este apartado vendrá dada por la expresión
U = −p2 · Ed = α
(kp1 )2
x6
(c) Finalmente, para determinar la fuerza de interacción entre las dos moléculas simplemente hacemos
dU
d α(k 2 p21 )
6αk 2 p21
Fx = −
=−
=
dx
dx
x6
x7
Problema 5
El camino libre medio de un electrón en un metal (λ) depende tanto de las oscilaciones de los
iones metálicos como de las correspondientes a los iones de impureza, de acuerdo con la expresión
1/λ = 1/λm +1/λi (donde el primer término corresponde a la contribución de los iones metálicos y el
segundo a los iones de impureza). Se realiza un experimento en el que se observa que la resistividad
del cobre puro aumenta en 1.2×10−8 Ω·m con la adicción de un 1 % (relativo al número de átomos)
de un cierto material impureza que se distribuye uniformemente en todo el metal. (a) Estimar λi
de esta información. (b) Calcular la sección transversal de los átomos de impureza que ven los
electrones.
Solución Problema 5
(a) En clase vimos que la resistividad se puede escribir como
me uF
ρ=
ne2 λ
Utilizando al expresión 1/λ = 1/λm + 1/λi que nos dan en el enunciado, podemos escribir ρ =
ρm + ρi , donde
me uF
ρm =
corresponde al caso de Cu puro (sin impurezas)
ne2 λm
me uF
ρi =
es a la contribución de las impurezas a la resistividad.
ne2 λi
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Formulando el problema de esta forma, es fácil ver que el aumento de la resistividad en 1.2×10−8 Ω·m
que nos mencionan en el enunciado corresponde a ρi , es decir, hacemos ρi = 1.2 × 10−8 Ω · m. Por
tanto, λi se calcula haciendo
λi =
me uF
= 6.0 × 10−8 m = 60nm
ne2 λi
donde hemos usado que para el Cu n = 8.47 × 1028 electrones/m3 y uF = (2EF /me )1/2 = 1.57 ×
106 m/s.
(b) En clase también vimos que λ = 1/(na πr2 ) donde na es la densidad de centros de colisión y
d = 2r es el diámetro efectivo de los mismos.
Aplicando esta expresión a nuestro caso y despejando d tenemos que
d= √
2
ni πλi
donde ni es la densidad de impurezas, que nos indican que es 1 % de n = 8.47×1028 electrones/m3 →
ni = 8.47 × 1026 /m3 .
Ası́, introduciendo en la ecuación de arriba esta valor de ni y el de λi obtenido en el apartado (a)
se obtiene que d = 0.015 nm.
Problema 6
(a) El band-gap energético del germanio es 0.72 eV. ¿Qué rango de longitudes de onda del visible
será transmitidas a través de un cristal de Ge? (b) Ahora considera un aislante cuyo band-gap es
3.6 eV. ¿Cómo serı́a su espectro de transmisión en el rango del visible?
Solución Problema 6
Para responder a este problema primero nos calculamos el intervalo de energı́as correspondientes
a fotones en el rango del visible (longitudes de onda λ entre 380 y 720 nm). Para ello utilizamos
E = hf = hc/λ = 1240 eV nm/λ
λ = 380 nm → E = 3.3 eV
λ = 720 nm → E = 1.7 eV
(a) Todas las frecuencias del visible pueden excitar electrones a través de band-gap de 0.72eV del
Ge (los fotones de esas frecuencias serán absorbidos por el material). Por tanto, la luz visible no
será transmitida a través del cristal.
(b) Para el aislante del enunciado tenemos justo el caso contrario que en el apartado anterior:
ningún fotón de luz visible tiene la energı́a suficiente como para excitar electrones a través del
band-gap de 3.6 eV Por tanto, el cristal será transparente a la luz visible.
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Problema 7
Un buen diodo de silicio posee la caracterı́stica corriente-voltaje dada por I = I0 (eeVb /kT − 1). Sea
kT = 0.025 eV (temperatura ambiente) y la corriente de saturación I0 = 1.0 nA. (a) Representar
gráficamente I en función de Vb para valores positivos y negativos de Vb . (b) Demostrar que para
voltajes pequeños de la polarización inversa la resistencia es de 25 MΩ. (Pista: hacer un desarrollo
de Taylor de la función exponencial alrededor de Vb ). (c) Determinar la resistencia (en corriente
continua) para una polarización inversa de 0.5 V. (d) Hallar la resistencia V /I para una polarización
directa de 0.5 V. (e) Calcular la resistencia diferencial, dV /dI, para una polarización directa de
0.5 V.
(a) Representación gráfica
Figura 3: Representación gráfica para el apartado (a) del Problema 7.
(b) Haciendo el desarrollo de Taylor que nos indican en el enunciado tenemos
eeVb /kT ≈ 1 +
eVb
kT
Por tanto, podemos escribir la corriente I como
I = I0
eVb
Vb
=
kT
R
Despejando R obtenemos lo que se nos pide en este apartado
R=
kT
0.025 eV
=
= 25.0 MΩ
eI0
e × 10−9 A
(c) Para Vb = −0.5 V → R = Vb /I = 0.5V/10−9 A = 500 MΩ
(d) Para Vb = 0.5 V, tenemos I = 10−9 A (e0.5/0.025 − 1) = 0.485 A. De donde obtenemos R =
Vb /I = 0.5/0.485 = 1.03 Ω.
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(e) Tenemos que
dI
eI0 eVb /kT
=
e
dVb
kT
y por tanto
Rac =
dVb
kT −eVb /kT
e
= 25.0 MΩ × e−20 = 0.0515 Ω
=
dI
eI0
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