Diagrama de Bode

REPRESENTACIONES GRÁFICAS
1. ¿Qué son?
• Son gráficos que permiten mostrar la respuesta en frecuencia de
un sistema lineal.
• Son herramientas útiles para el análisis, síntesis y diseño.
2. Diagrama de Bode
Permite representar la respuesta en frecuencia de un sistema H(jw)
en dos gráficos conocidos como:
H(jw) dB  = 20 log H(jw)


v/s
w[r/s]
Diagrama de Magnitud
/ H(jw) []
v/s
w[r/s]
Diagrama de Fase




Unidades
Cantidad
Magnitud
Fase
Frecuencia
Unidad
decibeles [dB]
Grados [º]
radianes/segundo [r/s]
Observación
20log|H(jw)|
0[º] a 360[º]
1 radian = 180 / π [º]
Escalas
Cantidad
Magnitud
Fase
Frecuencia
Escala
lineal
lineal
logarítmica
Observación
Se marca cada 20 [dB]
Se marca cada 90 [º]
En decadas [dec]
Década, corresponde al rango entre w1 y su múltiplo 10w1.
3. Factores canónicos
Para dibujar estos diagramas la función de transferencia se expresa
en producto de los siguientes factores canónicos:
[B1]
K
Ganancia Bode a frecuencia cero.
[B2]
(1+jw/wo)q
Factor simple
[B3]
(jw)q
Factor cero
[B4]
[1+2ξ(jw/wn)+(jw/wn)2]q
Factor cuadrático
[B5]
e-jwτ τ>0
Factor retardo
Donde q Є {-1,1}, 0 ≤ ξ ≤ 1
4. Ejemplo de descomposición en factores canónicos.
• Considerar la función:
6 e -0.1jw (jw + 2)
H(jw) =
(jw) (jw + 1) ((jw) 2 + jw + 4)
Entonces puede escribirse como :
3 * ( e -0.1jw ) (1 + j w/2 )
H(jw) =
jw
jw
(jw) (1 + jw) (1 + 2 * 0.25 * ( ) + ( ) 2 )
2
2
H(jw) = 3 * ( e -0.1jw ) (1 + jw/2) (jw) -1 (1 + jw) -1 (1 + 2 * 0.25 * (
jw
jw
) + ( ) 2 ) −1
2
2
5. Gráficas aproximadas de los factores canónicos.
• [B1]
F(jw) = K
Magnitud
|F(jw)|[dB]= |K|[dB] = 20 log |K| es una recta horizontal
|F(jw)|[dB]
+20
20log|K|
10-1
10-0
10+1
w
0
- 20
Fase
K ≥0
K<0
0
o
- 180
/F(jw) = /K = 
es una recta horizontal
Obs. MATLAB prefiere +180[o]
/F(jw)| [o]
0o
10-1
10-0
K≥0
-90o
- 180o
K<0
10+1
w
• [B2]
F(jw) = (1+ jw/wo)q, q Є {-1, 1}
Magnitud
|F(jw)|[dB]= q * 10 * log (1 + (w/wo)2) [dB]
|F(jw)|[dB]
10-1
10-0
q = -1
10+1
w/wo
0
-10
- 20
Fase
/F(jw) = q * arctan (w/wo) [o]
/F(jw)| [o]
0o
-45o
- 90o
10-1
q = -1
10-0
10+1
w/wo
• [B3]
F(jw) = (jw)q,
q Є {-1, 1}
Magnitud
|F(jw)|[dB]= q * 20 * log |w| [dB]
Es una recta con pendiente 20*q [dB/decada]
q = -1
|F(jw)|[dB]
+20
10-1
10-0
10+1
w
0
- 20
Fase
/F(jw) = q * 90 [o]
/F(jw)| [o]
0o
-45o
- 90o
-135o
10-1
q = -1
10-0
10+1
w
• [B4]
F(jw) = [1+2ξ(jw/wn)+(jw/wn)2]q
q Є {-1,1}, 0 ≤ ξ ≤ 1
Magnitud
|F(jw)|[dB]= q * 10* log ( (1- (w/wn)2)2 + 4ξ2(w/wn)2)
Para todo w > wn q = -1
(ξ aumenta )
ξ
|F(jw)|[dB]
-1
10
10
-0
10+1
w/wn
0
-20
- 40
Fase
2 ξ w wn

)
 q * arctan ( 2
2
wn - w


/F(jw) = 

2 ξ w wn
90 * q + q * arctan(
)
2
2

w - wn

∀ w < wn
∀ w > wn
(ξ aumenta )
/F(jw)| [o]
10-1
10-0
10+1
w/wn
0o
-45o
- 90o
-135o
-180o
ξ
• [B5]
F(jw) = e-jwτ
τ>0
Magnitud
|F(jw)|[dB]= 0
Fase
/F(jw) = -w τ
/F(jw)| [o]
0o
-300o
- 600o
10-1
10-0
10+1
wτ
6. Procedimiento para construir un diagrama de Bode aproximado.
• Escriba H(jw) como producto de factores canónicos
• Seleccionar rango de frecuencia de los gráficos
• Dibujar los diagramas
I)
Diagrama de Magnitud
• Anote para cada factor, los puntos de quiebre de sus asíntotas y la
pendiente de ellas entre cada par de puntos de quiebre
consecutivos. Hacer una Tabla.
• Sumar las pendientes entre cada punto de quiebre y dibujar el
diagrama de magnitud. (Pendiente = [20dB / década])
• Desplazar verticalmente el diagrama de magnitud en 20log(|K|).
Esta operación es equivalente a renumerar el eje de ordenadas
II)
Diagrama de Fase
• Anote para cada factor, los puntos de quiebre de sus asíntotas y la
pendiente de ellas entre cada par de puntos de quiebre
consecutivos. Hacer una Tabla.
• Sumar las pendientes entre cada punto de quiebre y dibujar el
diagrama de fase. (Pendiente = 45[o / década]).
• Desplazar verticalmente el diagrama de fase en 90*q [o] cuando
existe el factor (jw)q . Esta operación es equivalente a renumerar
el eje de ordenadas.
• Si K<0 desplazar verticalmente el diagrama de fase en -180 [o]
III)
Verificación
• Verifique que su resultado satisface las aproximaciones
asintóticas, tanto en magnitud como en fase, para frecuencias muy
bajas (w → 0) y para frecuencias muy altas (w → ∞).
7. Ejemplo de Diagrama de Bode
Dada la función de transferencia de un sistema lineal, obtener su
respuesta en frecuencia usando Diagrama de Bode.
H(s) =
8 (s - 2) (s + 1)
s (s + 8) (s - 4)
a) Como interesa el comportamiento en frecuencia usar s = jw. Luego
escribir H(jw) como el producto de factores canónicos.
H(jw) = 0,5 (1-jw/2) (1+jw) (jw)-1 (1+jw/8)-1 (1-jw/4)-1
F1
F2
F3
F4
F5
F6
b) Cálculo del rango de frecuencias de interés ( en Diagrama de Fase):
Factores
PQ 1
PQ 2
F1
F2
0,2
20
F3
0,1
10
F4
F5
0,8
80
F6
0,4
40
Tabla 1. Rango de frecuencias
El rango va desde [0,1; 80], se usará un rango [ 0,01; 100 ].
c) Diagrama de Magnitud
• Hacer la Tabla con los puntos de quiebre y las pendientes
entre dos puntos de quiebre sucesivos:
PQ
F1
F2
2
F3
1
F4
1
F5
8
F6
4
Sumar pendientes
(-∞ ; 1]
( 1 ; 2]
( 2 ; 4]
( 4 ; 8]
0
0
1
1
0
1
1
1
-1
-1
-1
-1
0
0
0
0
0
0
0
-1
-1
0
1
0
Tabla 2. Contribución de pendientes
( 8 ; +∞]
1
1
-1
-1
-1
-1
• El factor F1 desplaza verticalmente el diagrama en
20 log (0,5) = - 6 [dB].
| |dB
40
30
20
10
-6 10
-10
-2
10-1
10o
2
4
8 101
102
w
-20
-30
-40
Figura 1. Diagrama de Magnitud
d) Diagrama de Fase
• Hacer la Tabla con los puntos de quiebre y las pendientes
entre dos puntos de quiebre sucesivos:
F1
F2
F3
F4
F5
F6
Suma
PQ
(-∞;0,1]
2
1
1
8
4
0
0
0
0
0
0
0
(0,1;0,2]
(0,2;0,4]
(0,4;0,8]
(0,8;10]
(10;20]
0
0
0
0
0
0
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-1
-1
0
0
1
1
1
1
0
1
0
-1
Tabla 2. Contribución de pendientes
(20;40]
(40;80]
( 80;+∞]
0
0
0
0
-1
1
0
0
0
0
0
-1
0
-1
0
0
0
0
0
0
0
• El factor F4 desplaza verticalmente el diagrama de fase en
-90[o].
/_[o]
90
45
10-2
10-1 .2
.4 .8 10o
2
4
8 101
20 40 80 102
w
-45
-90
Figura 2. Diagrama de Fase
El programa MATLAB dispone del comando “bode” para calcular y
dibujar exactamente estos diagramas. En este ejemplo, primero se expande
la función en polinomios tanto el numerador como el denominador.
8s 2 - 8s - 16
H(s) =
s 3 + 4s 2 - 32s + 0
Entonces los diagramas de Bode se obtienen con el código MATLAB:
>> H = tf ( [ 8 -8 -16] , [ 1 4 -32 0] );
>> bode (H);