INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA “DISEÑO DE MUROS DE CORTANTE EN EDIFICIOS ALTOS” TESIS QUE PARA OBTENER EL TITULO DE: INGENIERO CIVIL PRESENTA: MARTIN GERARDO LOPEZ OLVERA ASESOR DE TITULACION: ING. CARLOS MAGDALENO DOMINGUEZ. MEXICO D.F. 2005 Dedico, con enorme gratitud y cariño este trabajo a mi madre, que con su esfuerzo y dedicación han hecho posible mi superación y proyecto de vida... gracias. Agradezco al Ingeniero Carlos Magadaleno D., gran amigo, el haber hecho posible con su valiosa asesoria, la realización este trabajo. Al Instituto Politécnico Nacional, por haberme brindado la oportunidad de obtener una formación profesional. Índice Introducción Capítulo 1 i Muros de Cortante. 1 1.1 Antecedentes. 1 1.2 Importancia de los muros de cortante. 3 1.3 Resistencia a las deflexiones y vibraciones. 6 1.3.1 Cargas por viento. 10 1.3.2 Cargas por sismo. 11 1.4 Tipos de estructuración en edificios. 14 1.5 Estructuración con muros de cortante. 16 1.6 Comportamiento de los muros de cortante. 25 1.6.1 Muros de cortante sin aberturas. 29 1.6.2 Muros de cortante con aberturas. 32 Métodos de análisis para muros de cortante. 38 2.1 Interacción entre muros de cortante y marcos rígidos. 38 2.2 Métodos de análisis. 43 2.2.1 Método de la conexión por cortante. 43 Capítulo 2 2.2.1.1 Esfuerzos en las vigas de conexión. 49 2.2.2 Método del marco equivalente. 53 2.2.2.1 Longitud equivalente. 56 2.2.2.2 Longitud equivalente para un marco con Aberturas. 61 2.2.3 Método del elemento finito. 64 2.2.4 Método con programas computacionales. 67 Capítulo 3 3.1 Capítulo 4 4.1 4.2 4.3 Uso e interpretación de las N.T.C 2004 del R.C.D.F para el diseño de muros de concreto reforzado. 77 Interpretación de los artículos referentes al tema. 77 3.1.1 Condiciones generales para el diseño de muros. 78 3.1.2 Diseño de muros con cargas verticales o excéntricas. 79 3.1.3 Diseño de muros sujetos a flexión en su plano. 81 (NTC) Alcances y requisitos generales. 81 (NTC) Momentos flexionantes de diseño. 83 (NTC) Flexión y flexocompresión. 84 (NTC) Elementos de refuerzo en los extremos de muros. 96 (NTC) Fuerza cortante. 103 (NTC) Muros acoplados. 108 Diseño de muros de cortante en edificios. 110 Descripción de los proyectos. 111 4.1.1 Proyecto I. 111 4.1.2 Proyecto II. 115 Análisis estructural de los edificios 118 4.2.1 Uso del programa STAAD Pro. 118 4.2.1.1 Introducción de datos. 119 4.2.1.2 Interpretación de resultados. 122 Diseño de muros. 127 4.3.1 Diseño de muro tipo M-1, ejes C y D proyecto I. 127 4.3.1.1 Muro de planta baja. 127 4.3.1.2 Muro del primer nivel. 134 4.3.1.3 Muro del segundo nivel. 138 4.3.1.4 Muro del tercer nivel. 141 4.3.2 Diseño del muro tipo M-2, ejes 2 y 3 proyecto I. 146 4.3.2.1 Muro de planta baja. 146 4.3.2.2 Muro del primer nivel. 153 4.3.2.3 Muro del segundo nivel. 160 4.3.2.4 Muro del tercer nivel. 164 4.3.2.5 Muro del cuarto nivel. 167 4.3.3 Diseño de muro tipo M-3, ejes A y F proyecto II. 4.4 169 4.3.3.1 Muro de planta baja. 170 4.3.3.2 Muro del primer nivel. 178 4.3.3.3 Muro del segundo nivel. 197 Diseño de vigas de conexión ó acoplamiento. 205 4.4.1 Diseño de vigas de conexión del proyecto I eje 3 tramo C – D. 205 4.4.1.1 Viga del nivel 1. 207 4.4.1.3 Viga del nivel 7. 211 4.4.1.3 Viga del nivel 8. 213 4.4.1.4 Viga del nivel 10. 214 4.4.2 Diseño de vigas de conexión que acoplan los segmentos del muro M-3, eje A y F en el proyecto II. 216 Conclusiones. 223 Bibliografía. 226 Introducción En la actualidad se puede apreciar la gran necesidad que se tiene para aprovechar al máximo los espacios o superficies en donde se planea construir diversos tipos de estructuras designadas a diferentes usos de nuestra sociedad, tales como: Vivienda, Comercios, Educación, Salud y diversos Servicios. Esto se hace difícil ya que en las grandes ciudades como la nuestra es difícil adquirir terrenos o predios que cuenten con la superficie necesaria para edificar una construcción que cumpla con todas las necesidades que la sociedad pide, ya que no basta con tener 2, 3 ó 5 niveles en nuestro edificio para albergar todo un complejo médico, industrial, centro educativo ó los espacios necesarios para vivienda. Esto se complica día con día, debido a factores tales como: el elevado crecimiento demográfico, la falta de planeación urbana, etc. Parte de lo antes mencionado nos obliga a crear estructuras más eficientes y seguras que aprovechen al máximo todos los recursos con los que contamos, uno de ellos y de los más importantes es el espacio o superficie designada para la construcción, ya que si ésta no es lo suficientemente grande para lo que planeamos edificar es necesario hacer niveles ó pisos subsecuentes para crear mas espacios. Una buena solución a este tipo de problemáticas es el uso de edificios altos, definidos como aquellas estructuras que cuentan con más de 10 niveles ó pisos independientes en un solo cuerpo estructural. Así, que el incremento en el uso de Edificios Altos de concreto armado o acero, es necesario contar con un mayor conocimiento de tales estructuras, y en particular contar con Métodos de Análisis que puedan proporcionar resultados de mayor precisión para el diseño de estructuras, como el método del Elemento i Finito que tiene la capacidad de generar la información de los estados de esfuerzo y deformación en cualquier punto de la estructura. Al incrementarse considerablemente importante proporcionar la altura de los edificios una adecuada rigidez lateral se vuelve más que pueda resistir elevadas cargas laterales a las que estará sujeto continuamente, tales como viento ó sismo. Para lograr mayor rigidez una buena solución es el empleo de Muros de Cortante de Concreto Reforzado, como los empleados para cerrar áreas de servicio esto es: cubos de escaleras, de elevadores, de luz y otros, de esta manera el sistema estructural estará formado por Muros y Marcos de Concreto. Los muros de concreto absorberán un gran porcentaje de la Fuerza cortante horizontal y son a los que denominamos Muros de Cortante, estos proporcionan estabilidad lateral contra las fuerzas de sismo y viento. Para el análisis de una estructura de Marcos de concreto en combinación con muros del mismo material se han hecho diversos estudios que tratan de describir la interacción de ambos sistemas. El no conocer el comportamiento real de este tipo de estructuras conduce a diseños erróneos, que tienen mal comportamiento causando daños estructurales que pueden resultar peligrosos a sus habitantes y antieconómicos. Un ejemplo de un diseño antieconómico sería el que resulta de la simplificación que se hace al considerar que los muros al corte absorben totalmente las cargas horizontales, y así, analizarlos en voladizo. Los efectos en los elementos de los marcos pueden ser subestimados si no son considerados los efectos y deformaciones causadas por la flexión de los muros, razón por la cual es necesario el uso de Métodos de Análisis que describan la interacción de Muros y Marcos. El presente trabajo hace mención de la clasificación, utilización, métodos y software de análisis y diseño con forme lo estipula el Reglamento de ii Construcciones del Distrito Federal en sus Normas Técnicas Complementaria 2004, así como ejemplos prácticos de análisis y diseño de muros de cortante de edificios altos. iii Capítulo 1 Muros de Cortante 1.1.- Antecedentes. En la estructuración de edificios es común colocar muros, estos pueden ser: de carga o de relleno según el objetivo para el que sean diseñados, dependiendo del tipo de material tenemos, muros de concreto y muros de tabique, y estos pueden ser muros prefabricados o colados en sitio. En los primeros años de la década de los 1970, se dieron cambios muy importantes para la industria del concreto, los cuales permitieron que éste cobrara tal importancia que se lograra en forma inmediata la construcción de edificios con el doble de altura de los que había hasta ese momento, pasando de alturas de 150 a 300 metros. El desarrollo de diferentes esquemas de estructuración ha permitido el poder diseñar y construir edificios cada día más altos. Este factor, aunado con el mejoramiento de las resistencias que actualmente se pueden obtener en los concretos llamados de “alta resistencia” y el desarrollo en las técnicas de diseño, ha logrado que en los últimos 25 años se pueda construir edificios de concreto de 125 niveles y con alturas del orden de los 500 metros. Es difícil definir un edificio de gran altura. Se puede decir que un edificio de poca altura tiene de 1 a 2 ó 3 pisos. Un edificio de altura mediana quizá tiene entre 4 a 15. Por lo tanto, un edificio de gran altura es quizá aquel que tiene por lo menos 15 pisos o más. Aunque los principios del diseño de subsistemas verticales y horizontales continúan siendo los mismos para edificios bajos, medianos y altos, cuando un edificio adquiere gran altura, los subsistemas verticales llegan a ser un problema determinante debido a dos razones. Las cargas verticales más altas requieren columnas, muros y cañones de mayores dimensiones. Pero, más significativamente, el momento de volteo y las deflexiones cortantes producidas por fuerzas laterales son mucho mayores y se deben considerar con todo cuidado. El desarrollo de los edificios altos de concreto no se hubiera logrado sin la sistematización de nuevas tecnologías que permiten aumentar en forma importante la resistencia a la compresión del concreto, anteriormente la obtención de concretos de 300 a 400 Kg/cm2 era casi imposible, en la actualidad en el campo de los edificios altos es común diseñar con concretos cuyas resistencias son mayores a 400. El aumento en la resistencia a la compresión del concreto no sólo mejora la resistencia de los elementos, también disminuye el valor del acortamiento de los elementos verticales debido a la contracción de la longitud y por lo tanto ya no se tendrá el problema de acortamientos diferenciales. Al aumentar la resistencia a la compresión del concreto, también aumenta el módulo de elasticidad, por lo tanto disminuyen los desplazamientos laterales bajo fuerzas de viento o sismo. El utilizar concretos de alta resistencia nos permite tener elementos con porcentajes de acero cercanos al mínimo, lo que redunda en un ahorro en el acero de refuerzo y facilita el colado de los elementos y de sus conexiones. Además, el uso de concretos de alta resistencia da como resultado elementos con dimensiones menores y en el caso de las columnas se obtendrá áreas de piso mayores. Por su naturaleza, el concreto sufre cambios volumétricos que en edificios mayores de 40 pisos, pueden representar un problema si no se les evalúa adecuadamente. El efecto del cambio volumétrico genera problemas como pisos desnivelados, mal funcionamiento del equipo mecánico y fuerzas adicionales en los elementos de unión entre columnas, como consecuencia se genera agrietamiento en muros divisorios, agrietamiento en acabados, rotura de instalaciones y fallas estructurales en las trabes. La contracción de las columnas se debe principalmente acortamiento al elástico, a la contracción y al relajamiento de los materiales, los parámetros principales que influyen en la deformación por contracción relajamiento son las características del cemento y la y cantidad, así como las características de los agregados. 2 1.2.- Importancia de los Muros de Cortante. Al incrementarse la altura de los edificios es muy importante proporcionar una adecuada rigidez lateral para resistir las cargas horizontales debidas a los sismos y vientos. Esta rigidez puede lograrse de varias maneras, la forma más usual de proveer rigidez es con el uso de muros internos y externos los cuales también pueden ser necesarios por razones funcionales, tales como las empleadas para ubicar áreas de servicios e instalaciones, dentro de ellas están las escaleras, elevadores, cubos de luz, de aire acondicionado, de instalaciones hidráulicas y sanitarias etc. Las estructuras entonces estarán formadas por muros y marcos de concreto, los muros de concreto absorberán un gran porcentaje de fuerza cortante horizontal y son denominados comúnmente muros de cortante ó muros al corte. Actualmente en las ciudades grandes como la nuestra, uno de los objetivos en la construcción de edificios es obtener estructuras altas, esbeltas y resistentes., esto se ha logrado realizar gracias a las constantes innovaciones para crear nuevos materiales con mayor resistencia y eficiencia en la construcción de estructuras capaces de soportar diferentes tipos de solicitaciones de gran magnitud. En edificios, esto da lugar al empleo de nuevos sistemas estructurales con el fin de obtener eficiencia funcional al resistir tanto cargas verticales como horizontales. El empleo de muros rigidizantes o muros de cortante es necesario en edificios de cierta altura, esto se debe a la necesidad de controlar los desplazamientos laterales que generan las solicitaciones por sismos y vientos. Por lo que no solamente estos muros proveen una adecuada seguridad estructural, si no que proporcionan una gran medida de protección contra daños a elementos no estructurales (cancelaría, acabados, instalaciones etc.) durante sismos moderados. Para el análisis de una estructura de muros de concreto en combinación con marcos se han hecho diversos estudios que tratan de describir la interacción MuroMarco. El desconocimiento del comportamiento real de este tipo de estructuras conduce a diseños erróneos, que bien pueden resultar antieconómicos o también estructuras que no presenten la adecuada resistencia a efectos de carga lateral, pudiendo presentar desplazamientos excesivos, molestos para los ocupantes de 3 dichos inmuebles. Un ejemplo de un diseño antieconómico será el que resulte de la simplificación que se hace al considerar que los muros de cortante absorben totalmente las cargas horizontales analizándolos en voladizo, así que los elementos estructurales de los marcos pueden ser subestimados si no son considerados los efectos y deformaciones causadas por la flexión de los muros , es por tanto necesaria la utilización de métodos de análisis que describan la interacción de muros y marcos para obtener resultados confiables de la distribución de fuerzas cortantes a todo lo alto de la estructura, el comportamiento dinámico de estructuras con muros y marcos es todavía más compleja, dicha complejidad, está en función de la distribución de los muros de cortante, estos deben ser localizados de tal manera que tomen en gran parte el mayor porcentaje cargas de los sistemas de pisos, puesto que las cargas verticales tienen el efecto de precargar a los muros. Los muros de cortante en forma simple se pueden considerar como vigas verticales de concreto reforzado, delgadas y de gran peralte, que funcionan como voladizo empotrado en la cimentación. Dependiendo del acoplamiento con otros elementos estructurales pueden tener restricciones al giro en los distintos pisos. Debido a la sección delgada, pueden presentarse problemas de inestabilidad en la cara de compresión, sin embargo puesto que las losas en un edificio actúan normalmente como diafragmas horizontales, proporcionando soporte lateral al muro, la longitud crítica para efectos de pandeo puede tomarse igual a la altura de un entrepiso. El muro de cortante, está sujeto a la acción de momentos flexionantes y fuerzas cortantes, que se originan principalmente por cargas laterales. Actúan también cargas axiales de compresión, debidas principalmente a las fuerzas gravitacionales. Es necesario entonces, que el muro esté adecuadamente empotrado a la cimentación en su base, y que en cada piso se conecte a los demás elementos estructurales para transmitir las cargas laterales. Los muros de cortante son miembros peraltados que reciben la carga a través de diafragmas. En estos elementos, si no existe refuerzo en el alma, la falla presenta con un cortante igual o ligeramente mayor que el que da lugar se a las grietas de tensión diagonal. Además, las vigas de gran peralte que se tienen en 4 muros acoplados, por regla general no reciben carga axial, en tanto que en los muros de cortante, sí ocurre tal efecto. La distribución de las cargas laterales en los muros de cortante, varía con su altura. Por ejemplo, para este tipo de cargas, la distribución puede variar desde muy uniforme en edificios altos, a una carga única concentrada en el muro, en edificios de poca altura. Por ello, las diferencias en la distribución de la carga lateral, geometría y proporciones del muro, conducen al criterio que controla el diseño en muros de poca altura, es su resistencia al corte. Los subsistemas verticales en un edificio de gran altura gravedad transmiten cargas por acumulada de un piso a otro y, por tanto, requieren aumentar las secciones de las columnas y muros para soportar dichas cargas. Los subsistemas verticales deben transmitir cargas laterales, como las provocadas por viento ó sismo, hacia los cimientos. Sin embargo, a diferencia efectos de la carga lateral sobre los edificios de la carga no son lineales vertical, los y aumentan rápidamente al aumentar la altura por ejemplo, bajo carga de viento, el momento de volteo en la base del edificio varía aproximadamente al cuadrado de la altura del edificio, y la deflexión lateral en la parte superior del edificio puede variar a la cuarta potencia de la altura del edificio, permaneciendo los demás factores iguales. Los sismos producen un efecto aún mas pronunciado. Cuando la estructura de un edificio bajo o de mediana altura se diseña en función de cargas gravitacionales, una propiedad casi inherente es que las columnas, los muros de tabique y los cubos de escalera o elevador pueden soportar la mayor parte de las fuerzas horizontales, como en la zona sísmica I del área metropolitana, el problema es esencialmente de resistencia al corte. Un armado adicional moderado para marcos rígidos en edificios “bajos” se puede obtener fácilmente llenando piezas huecas de mampostería sin incrementar el tamaño de las columnas y vigas, que de otra manera se requeriría para soportar las cargas verticales. Desafortunadamente, esto no sucede así con los edificios de gran altura por que el problema esencial es de resistencia al momento de volteo y la flexión, y no 5 únicamente al esfuerzo cortante. Con frecuencia se tendrá que hacer disposiciones estructurales especiales y siempre se requerirá aumentar dimensiones para las columnas, vigas, muros y losas, a fin de hacer al edificio suficientemente resistente a cargas y deformaciones laterales. 1.3.- Resistencia a las deflexiones y vibraciones. La cantidad de materiales estructurales requerida en metros cuadrados por piso en edificios de gran altura excede a la necesaria componentes que soportan verticales para un edifico bajo. Los la carga por gravedad, como muros, columnas y cubos, necesitarán ser reforzados sobre la altura total del edificio. Pero la cantidad de materiales requeridos para resistir las fuerzas laterales es aún más significativa. En la gráfica de la figura 1.1 se ilustra cómo aumenta el peso del acero estructural en kilogramos por metro cuadrado de piso, con forme aumenta el número de pisos a 1 a 100. Nótese que si se usan sistemas estructurales óptimos con una anchura y distribución adecuados, el material adicional requerido para resistir la fuerza lateral se puede controlar de tal manera que, aun en edificios de 100 pisos, el peso estructural total puede ser sólo da casi 166 kilogramos por metro cuadrado, mientras que algunos edificios un poco más bajos requieren mucho más acero estructural. Es muy importante controlar los desplazamientos laterales y mantenerlos a un nivel bajo, de lo contrario tendremos momentos flexionantes adicionales de consideración que pueden volver incosteable el proyecto. De acuerdo con la evolución de los sistemas estructurales, la rigidez lateral es la propiedad dinámica que debemos aumentar para lograr lo antes mencionado. Con concreto reforzado, la cantidad de material también aumenta conforme el número de pisos. Pero se observa que del material el aumento en el peso agregado para resistir carga por gravedad es mucho más fácil de calcular que para el acero, mientras que para carga de viento el aumento para resistencia de carga lateral no es mucho mayor, puesto que el peso de un edificio de concreto ayuda a resistir el volteo. Por otra parte, la masa implícitamente mayor de un edificio de concreto puede complicar el problema de diseño para fuerzas sísmicas. Una 6 cantidad adicional de masa en los pisos superiores hará surgir una mayor fuerza 166.00 195.30 El diseño óptimo 146.48 97.65 48.83 0 20 40 60 80 Requerimientos potenciales Requerimientos del material para material para cargas laterales sin diseño óptimo para carga por gravedad Requeromientos potanciales para material para resistencia a cargas por gravedad y laterales 244.13 Columnas puede reducir los Marco de piso ( Muros) requerimientos Peso del acero estructural en Kg/m2 de piso lateral del conjunto bajo la acción de los efectos sísmicos. 100 Número de pisos Figura 1.1 Los requerimientos estructurales para la resistencia a cargas laterales pueden ser muy importantes. (Tomado de “Optimizing Structural Design in Very Tall Building”, Arquitectural Record, Agosto 1982, T.Y. Lin & S.D. Stotesbury Conceptos y Sistemas Estructurales para Arquitectos e Ingenieros., Pag. 359.) Las deflexiones laterales y las vibraciones llegan a ser excesivamente significativas debido a su mayor magnitud a medida que aumenta la altura del edificio. La carga por el efecto del viento y las fuerzas sísmicas son las dos causas principales de las deflexiones laterales y las vibraciones. Un tercer factor es la diferencia de temperatura entre las caras sombreadas y asoleadas, en el interior y el exterior de un edificio. En la figura 1.2 se ilustra la naturaleza de las deflexiones y vibraciones producidas por el viento. 7 Oscilación causada por las ráfagas Dezplazamiento inicial (viento uniforme) Viento Figura 1.2 Deflexiones debidas a las cargas por efecto del viento. Bajo una corriente uniforme de viento, el edificio se flexiona estáticamente hasta cierto grado, como se ilustra en la figura 1.2, dependiendo esta configuración de la fuerza del viento y la rigidez del conjunto del edificio. Luego, debido a las ráfagas de viento, el edificio oscilará como se ve en la figura 1.2. También las deflexiones modales, que son de menor magnitud, causan vibraciones en un edificio. Estas deflexiones, oscilaciones y vibraciones se deben limitar por razones tanto de percepción como operativas. Las deflexiones muy grandes pueden hacer que los elevadores queden fuera de plomo, o bien, que los pisos del edificio se inclinen excesivamente. Por tanto, es muy importante proporcionar cierta rigidez. Las reglas prácticas limitan la oscilación de un edificio en cada pisó a cierta relación de su altura, como la de 1:1,000 . Las oscilaciones menores pueden no provocar alteraciones mecánicas, pero sí causar sensaciones de integridad e incomodidad en los ocupantes. Aunque es difícil predecir la respuesta humana a tales oscilaciones, en general es conveniente prever rigidez de un edificio de tal manera que no sean notables. Los movimientos sísmicos en un edificio son diferentes a los producidos por el viento. Debido a las fuerzas símicas reglamentaria, se tienen que imponer denominadas ciertas limitaciones de especificación a los esfuerzos 8 admisibles en la estructura de un edificio. Sin embargo, un edificio expuesto a terremotos catastróficos azarosa. Entonces, se deflexionará mucho más y en cualquier el problema consiste en evitar dirección los movimientos de tal magnitud que produzcan colapso. Las predicciones de tales movimientos en una estructura de gran elevación constituyen un tema muy complicado, ya que existen dos modos de vibración, ver figura 1.3. a) Primer Modo b) Segundo Modo Oscilación Oscilación Figura 1.3 El flexionamiento debido a cargas sísmicas se inicia con el primer modo, pero incluye al segundo, tercero, etc., movimientos. También debe observarse que los requisitos para que un edificio alto resista las fuerzas sísmicas y de viento se pueden contradecir. Un edificio rígido reaccionará favorablemente al viento, por que su amplitud de vibración es pequeña. Por otra parte, para un mejor comportamiento sísmico, a menudo es conveniente que el edificio sea flexible para que esté libre de resonancia con las alteraciones sísmicas y no se produzcan en él esfuerzos excesivos. Los periodos dominantes de vibración producidos por macro sismos son del orden de fracciones de segundo, mientras que un edificio alto y flexible tendrá un período de varios segundos. En consecuencia, el período del edificio está muy fuera de fase con el período de sismo, lo cual impide el fenómeno de resonancia sísmica. Cuando el período fundamental de vibración de un edificio empieza a ser de varios segundos, incluso los modos más altos inducidos por sismos no estarán en resonancia y, por tanto, la respuesta sísmica es limitada. 9 Lo anterior explica por qué un edificio de gran altura no se puede diseñar fácilmente para resistir de manera óptima las fuerzas sísmicas y las de viento. Pero nótese que un edificio sí se puede diseñar para que sea rígido ante la acción del viento y evitar el daño bajo fuerzas sísmicas de especificación reglamentaria. Con el fin de resistir temblores catastróficos, se puede permitir que ciertas partes de la estructura se fracturen en áreas locales, y con ello el período de vibración del edificio se alargará y se aumentará su amortiguamiento. Por tanto, el edificio podrá resistir una gran acción sísmica sin que haya falla estructural. Además de lo anterior, el requerimiento de la ductilidad para el diseño sísmico, significa que un edificio debe tener una reserva de resistencia plástica, más allá de los límites de su comportamiento elástico, de tal modo que pueda oscilar con el sismo, pero no fallar en grado considerable. En el diseño se pueden prever puntos locales de falla, pero que no dañen la integridad estructural del conjunto. De esta manera, para diseñar un edificio de gran altura contra cargas por efecto del viento y sismo, puede ser conveniente establecer un sistema estructural que sea rígido ante la carga del viento o de terremoto de acuerdo con los reglamentos, pero esto puede cambiarse por una elasticidad o falla controlada a una respuesta más dúctil si las fuerzas sísmicas llagan a ser extraordinariamente grandes. 1.3.1.- Cargas por viento. La presión del viento sobre la superficie de un edificio depende esencialmente de su velocidad, la inclinación de la superficie, la forma de está, la protección del viento proporcionada por otras estructuras y, en menor grado, la intensidad del aire, la cual decrece con la altitud y la temperatura, y la textura de la superficie. Durante una tormenta, las velocidades del viento pueden alcanzar valores de hasta 240 kilómetros por hora ó mayores, lo cual corresponde a una presión dinámica de cerca 300 kilogramos por metro cuadrado. Una presión tan alta como está es excepcional, y en general, se usan valores de 100 a 150 kilogramos por metro cuadrado para cargas de viento sobre edificios y para zonas altas de más de 15 metros se debe incrementar y reducir para zonas altas menores de 9 metros, de acuerdo a ciertos reglamentos. 10 En los reglamentos de construcción a veces se especifica la succión producida por el viento, pero se sabe que se debe considerar una succión de cuando menos 50 kilogramos por metro cuadrado. Para áreas sometidas a una presión de viento más alta, por ejemplo de 150 a 250 kilogramos por metro cuadrado, por lo general se considera un efecto de succión de más o menos la mitad de la presión. Según la ASCE (American Society of Civil Engineers), se recomienda que para edificios altos, la carga de viento debe ser de 100 kilogramos por metro cuadrado hasta los 100 metros de altura; para la parte que excede este límite, se debe hacer un aumento de 13 kilogramos por metro cuadrado por cada 30 metros de aumento de altura. Además, se recomienda que los techos y muros de edificios se diseñen para presiones variables positivas y negativas, dependiendo de la pendiente. 1.3.2.- Cargas por sismo. Las cargas sísmicas se especifican teniendo en la mente dos objetivos básicos., Uno es proteger al público de la muerte y de heridas graves y prevenir en los edificios el colapso y los daños peligrosos cuando se presenta un sismo de intensidad máxima, el otro es asegurar los edificios contra cualquier daño, excepto los mínimos, cuando hay un sismo de moderado a severo. Las cargas estáticas equivalentes se especifican de modo que estos dos objetivos se logren dentro de lo razonable y sin excesivo costo. La resistencia sísmica requiere la absorción de energía (o ductilidad) resistencia solamente. Si un edificio tiene más que la capacidad de flexionarse horizontalmente varias veces la cantidad prevista bajo la carga de diseño sísmica básica y mantiene aún su capacidad de soportar carga vertical, entonces podrá absorber sismos considerablemente más intensos que el sismo de diseño. Si existe esta ductilidad, se puede prevenir el colapso del edificio incluso si éste está seriamente dañado. Por lo tanto, además del diseño de carga sísmica, se debe considerar debidamente la ductilidad y plasticidad de un edificio. 11 Las cargas sísmicas sobre la estructura durante un terremoto, se deben a la inercia interna producida por aceleraciones del suelo a que está sometida la masa del sistema. Las cargas reales dependen de los siguientes factores: 1.- La intensidad y carácter del movimiento del suelo determinado por la fuente y su transmisión al edificio. 2.- Las propiedades dinámicas del edificio, como sus formas modales y períodos de vibración y sus características de amortiguamiento. 3.- La masa del edificio en su conjunto o de sus componentes. Los grandes avances en la ingeniería sismológica han aclarado en gran medida los efectos de los sismos sobre los edificios y esto se refleja en los reglamentos de diseño sísmico. Sin embargo, aún existen muchas incertidumbres. Entre ellas están la intensidad probable y el carácter del diseño sísmico máximo, las características de amortiguamiento de edificios reales, y los efectos de las deformaciones no elásticas. Pero el estudio más allá de los fundamentos de la ingeniería sísmica y de su relación con el diseño práctico quedan fuera de los objetivos de esta tesis. Aquí simplemente se delinearán los factores de diseño básicos. Por conveniencia en el diseño existen métodos donde un sismo se traduce a una carga equivalente estática actuando horizontalmente sobre el edificio. Aunque no es posible predecir el sismo máximo en un lugar, la historia y experiencia junto con observaciones geológicas han demostrado que los sismos máximos probables varían en diferentes zonas, y se pueden especificar diferentes cargas de diseño sísmico. En el caso del diseño, ya sea con concreto o acero, existen ciertos principios para proporcionar resistencia adicional para fuerzas y deflexiones laterales en edificios de gran altura, Como los siguientes: 1.- Aumentar la anchura efectiva (d) de los subsistemas resistentes al momento actuante. Esto es muy útil por que al aumentar la anchura se reducirá 12 directamente la fuerza de volteo y se reducirá la deflexión por la tercera potencia del aumento de la anchura, permaneciendo todo lo demás constante figura 1.4. Sin embargo, esto requiere que los componentes verticales del subsistema cuyo ancho se aumentó se conecten adecuadamente para obtener en realidad este beneficio. M M d d Figura 1.4 La anchura efectiva de una estructura puede variar, afectando directamente la fuerza de volteo y la deflexión. 2.- Diseñar los subsistemas de tal modo que los componentes estén hechos para interactuar de la manera más eficiente. Por ejemplo, usar sistemas con cuerdas y diagonales eficientemente arriostradas, colocar refuerzo para muros en puntos críticos y optimizar las relaciones de rigidez de los marcos rígidos. 3.- Aumentar la cantidad de material en los componentes resistentes más efectivos. Por ejemplo, los materiales agregados en los pisos bajos a los patines de las columnas y vigas de conexión esto reducirá directamente la deflexión de conjunto y aumentará la resistencia al momento actuante sin aportar más masa en los pisos superiores donde se agrava el problema sísmico. 4.- Distribuir de tal modo que se tenga la mayor parte de las cargas verticales apoyadas directamente sobre los principales componentes resistentes al momento actuante. Esto ayudará a estabilizar el edificio contra tensiones de volteo mediante la compresión de los principales componentes resistentes al momento actuante. 13 5.- El esfuerzo cortante local en cada piso se resiste mejor mediante la colocación estratégica de muros o el uso de miembros diagonales en un subsistema vertical. Usualmente, la resistencia de estos esfuerzos cortantes mediante miembros verticales solamente a flexión es menos económico, ya que para lograr suficiente resistencia a la flexión en las columnas y las vigas de conexión se requerirá más material y energía de construcción que mediante el uso de muros o miembros diagonales. 6.- Crear mega-marcos mediante la unión de grandes componentes verticales y horizontales, por ejemplo, dos o más cubos de elevador a intervalos de varios niveles con un subsistema de piso pesado, o mediante el uso de armaduras maestras de gran peralte. Todos los edificios de gran altura son esencialmente voladizos verticales apoyados en el suelo. Si los principios mencionados se aplican juiciosamente, se podrán obtener esquemas estructurales adecuados mediante muro, núcleos, marcos rígidos, construcción tubular y otros subsistemas verticales para proporcionar resistencia y rigidez horizontal. 1.4.- Tipos de estructuración en edificios. A continuación se indican varios sistemas estructurales óptimos en edificios dependiendo del número de pisos, para seleccionar un sistema adecuado, es necesario hacer un estudio comparativo de cantidades de concreto, de acero de refuerzo y del costo de la mano de obra, que los importes de estos conceptos pueden definir de forma creíble si el sistema estructural empleado es óptimo o no para dicha construcción. 1.- Estructuras a base de marcos rígidos, este tipo de sistemas estructurales generalmente tiende a ser antieconómico para edificios de diez a quince niveles, con el fin de obtener una rigidez adecuada contra las diversas solicitaciones laterales es recomendable emplear otro sistema estructural. 14 2.- Estructuras a base de muros de cortante, este sistema estructural que depende únicamente de muros de cortante para darle resistencia y rigidez lateral, son factibles para edificios de treinta a cuarenta niveles. Para estructuras más altas las fuerzas debidas al viento tienden a controlar el diseño, y así el aumento del espesor en los muros disminuye el área disponible y la eficiencia estructural. 3.- Estructuras a base de marcos y muros de cortante, este sistema estructural ha sido ampliamente usado para edificios de oficinas, hospitales, vivienda, etc., donde los muros de cortante pueden colocarse en el área central. Estudios realizados anteriormente, indican que la rigidez del marco es suficiente para reducir alrededor de un tercio del valor de los desplazamientos del cantiliver de los muros de cortante después de la interacción, es recomendable económicamente hablando emplear estos sistemas en edificios de no más de cincuenta niveles. 4.- Estructuras de forma tubular, esta solución es recomendable para edificios de más de cincuenta niveles, teniendo ventajas en la planeación del área central y distribuciones mecánicas debido a la ausencia de muros centrales. También se recomienda emplear combinaciones de los sistemas estructurales anteriores para edificios de más de sesenta niveles. Más adelante en las figuras 1.5, 1.6 y 1.7 se muestran diversos tipos y formas de estructuración como las antes mencionadas. Los muros de cortante se pueden clasificar como: 1.- Muros anchos, se consideran muros anchos, los que cuya altura no exceda la tercera parte de la longitud y su base se encuentre aproximadamente empotrada. En este tipo de muros, el efecto de la fuerza cortante se considera primaria, los efectos de flexión pueden ascender del 10 al 15 % para el cálculo de las deformaciones. 2.- Muros Esbeltos, estos sistemas de muros presentan deformaciones importantes debidas al esfuerzo cortante y esfuerzo normal generado por flexión, esto es que, los elementos mecánicos (momentos flexionantes y fuerzas cortantes) contribuyen a la 15 deformación del sistema. La interacción con los marcos de la estructura altera la rigidez principalmente con los muros superiores. El sistema estructural total de un edificio se divide básicamente en dos grupos de subsistemas, vertical y horizontal. Los subsistemas horizontales se deben apoyar en los subsistemas verticales, que por lo general son esbeltos en una o ambas dimensiones seccionales y por sí mismos no pueden ser muy estables los subsistemas horizontales tienen que sujetarlos en su posición. Los subsistemas horizontales recogen y transmiten las cargas de piso y techo mediante el flexionamiento, y las cargas horizontales a través de la acción de diafragma hacia los subsistemas verticales. Los subsistemas horizontales también pueden servir para conectar los diversos sistemas verticales o sus componentes y hacerlos trabajar junto con marcos. Hay necesidades arquitectónicas que se deben considerar junto con las del diseño estructural, al diseñar realmente los subsistemas horizontales y verticales, se deben incluir los requerimientos de servicio y otras consideraciones de espacio y distribución. Por lo que en el diseño real, la concepción horizontal y vertical se debe sintetizar para producir una interacción eficiente de los subsistemas. En función de la capacidad de carga de conjunto para transmitir las fuerzas horizontales y verticales a la cimentación, Existen tres tipos subsistemas esenciales de verticales en los edificios: 1) Subsistemas de Muros, 2) Cañones Verticales, 2) Marcos de Viga y Columna Rígida. 1.5.- Estructuración con muros de cortante. Los Muros son subsistemas estructurales sólidos muy rígidos, en particular de concreto reforzado, totalmente planos o con aberturas en cada nivel (acoplados y no acoplados). Usualmente los Cañones se construyen de cuatro muros sólidos o arriostrados que forman una estructura Tubular que aloja elevadores, escaleras y/u otros conductos verticales para la ventilación y servicios. Estas estructuras tubulares tridimensionales pueden constituir por sí mismos elementos verticales 16 muy estables y rígidos. Pueden soportar las cargas tributarias verticales y servir también como excelentes elementos resistentes a las fuerzas horizontales. Los subsistemas de Marcos Rígido consisten en componentes verticales lineales (columnas) conectados rígidamente mediante componentes horizontales rígidos (vigas comunes o vigas maestras). De este modo, la conexión rígida hace que las columnas interactúen a flexión para formar un plano relativamente rígido de resistencia de conjunto a fuerzas verticales y horizontales. También se pueden crear esquemas estructurales de mega-marco utilizando vigas maestras muy grandes (mega) para conectar rígidamente grandes cañones a diversos intervalos de pisos Los muros exteriores sirven para cerrar la forma de un edificio, los interiores para dividir los espacios del edificio, ambos pueden servir también como subsistemas estructurales mayores para soportar las cargas horizontales y verticales. Por lo general los muros se construyen de mampostería, madera, concreto o acero. En todos los casos, cuando los muros están sujetos por pisos o techos, pueden proporcionar excelente resistencia a cargas horizontales en el plano de los muros. Pero, si son delgados, son relativamente débiles respecto a las fuerzas horizontales aplicadas en el sentido del grosor de los muros. La mayoría de los muros tienen varios centímetros de grosor, pero varios metros de anchura, y en cada planta tridimensional la rigidez de estos muros es proporcional al momento de inercia (I) de la sección. En resumen, la rigidez de secciones rectangulares de muros varía con el área por el cuadrado del peralte (d) en el sentido de la acción, para muros que tienen sección rectangular, I = A d 2 / 12. Debido a que las cargas horizontales dentro del plano del muro tienen mayor momento de inercia que cuando dichas cargas actúan perpendicular al muro. En consecuencia, el potencial de resistencia a fuerzas laterales es alto en el sentido de la longitud del muro, pero usualmente muy bajo a través de su grosor. Por esta razón se desprecia la resistencia transversal de los muros a las cargas horizontales, y se tienen que alinear dos o más muros más o menos ortogonalmente (en ángulo recto) para proporcionar resistencia a todas las cargas laterales. Cuando una fuerza actúa en dirección oblicua, se puede resolver en dos 17 componentes vectoriales ortogonales, cada uno de los cuales actuará en el plano de alguno de los muros y será resistido por éste. Ver figura 1.5. Cuando se emplean subsistemas de muros resistentes al cortante, lo mejor es que el centro de la resistencia al cortante ortogonal esté cerca del centroide de las cargas laterales, tal como éstas se aplican debido a las propiedades de superficie o masa de la forma del edificio. Si esto no es así, surgirá momento horizontal (Torsión). Nótese un problema de diseño de que en las figuras 1.5 a y b se ilustran distribuciones inestables de muros para resistir fuerzas horizontales. En la parte a los muros no presentan rigidez en la dirección X; y en la parte b, el centroide de resistencia no coincide con el centro de aplicación de la carga, y casi no hay rigidez contra la rotación torsional. Las distribuciones de las figuras 1.5 c a f son muy satisfactorias. En la figura 1.5 d hay torsión horizontal producida por carga en la dirección X, pero los dos muros en la dirección Y forman un par que puede proporcionar resistencia a la torsión y a la rotación. En la figura 1.5 e, la forma tubular ofrece excelente resistencia a las cargas horizontales en cualquier dirección. La distribución de la figura 1.5 f no sólo es satisfactoria con respecto a la resistencia horizontal y a la rotación, si no que tiene la ventaja adicional de permitir que las esquinas del edificio se muevan por efectos de temperatura , corrimiento y contracción. El arreglo de la figura 1.5 g constituye un caso raro en que los muros perpendiculares dan suficiente resistencia a las fuerzas cortantes, pero no así a la torsión, de hecho es similar a la figura 1.5 b en que el sistema en su conjunto proporciona escasa resistencia a la torsión respecto a una fuerza horizontal asimétrica sobre el edificio, como la causada por turbulencias de aire, o bien, en caso de sismo, por la distribución asimétrica de masa, por lo tanto, la disposición de la figura 1.5 g no constituye por sí misma un diagrama conveniente. Los muros curvos de la figura 1.5 h pueden ofrecer buena resistencia lateral en virtud de su acción de concha, especialmente si los pisos sirven como diafragmas que rigidizan dicha concha. Para lograr acción de marco en sentido transversal, los sistemas rígidos de piso o techo se deben conectar rígidamente a los muros. En este caso, el muro actuará 18 como una columna ancha en dirección transversal, y el diseño será similar al de un marco rígido y en la mayoría de los casos, un componente de muro resistente al cortante se diseñará para ser rígido sólo en su dimensión longitudinal de planta. a) Y Línea de resistencia al esfuerzo cortante Carga x X b) Y c) Y Carga x Carga x Y d) X Carga x e X Suponiendo que no hay resistencia a e) Centro de resistencia al cortante Carga y Y Carga x f) X Centro de resistencia al cortante Carga y e Carga y Centro de resistencia al cortante Y Carga x Centro de resistencia al cortante X g) X Carga y Centro de resistencia al cortante Carga y Y Carga x h) X Centro de resistencia al cortante Carga y Carga y Y Carga x Centro de resistencia al cortante X Carga y Figura 1.5 Plantas de sistemas estructurales con diversas distribuciones de muros resistentes al corte. (T.Y Lin & S.D. Stotesbury, Conceptos y Sistemas Estructurales para Arq. e Ing. Pag.227). Los cañones verticales resistentes al esfuerzo cortante en un edificio actúan como estructuras tubulares formadas por muros de concreto reforzado que generalmente tienen una sección transversal rectangular, cuadrada e incluso circular. En cualquier caso, cuando en un edificio hay un solo cañón, usualmente está situado en el centro del de la planta, cuando hay más de uno, pueden estar dispuestos en varios sitios, de preferencia distribuidos simétricamente, como se muestra en la figura 1.6. Debido a que los cañones estructurales a menudo funcionan como núcleos de transporte y servicio vertical, tienen un número más o menos limitado de aberturas para el sistema de servicio o para acceso de puertas, o bien, cuando están situados al exterior, posiblemente puertas y ventanas. Para propósitos de diseño de tubos estructurales, la existencia de estas aberturas se debe considerar cualitativamente, aunque su efecto sobre el diseño no se puede calcular. Por 19 ejemplo, la resistencia y rigidez de un tubo con una moderada cantidad de aberturas (menos de 30%) se reducirán en cierta medida si se comparan con uno sin aberturas. Pero, para propósitos preliminares, ese efecto se puede omitir. Si más del 60% de la superficie del cañón está abierta, la acción será más bien como la de un marco tubular, y la resistencia y la rigidez se reducirán proporcionalmente. b) Tubo (cañón) con pisos en voladizo a) Tubo (cañón) y columnas simplemente apoyadas c) Tubo (cañón) y columnas simplemente apoyadas sobre base reticular d) Tubo (cañón) con columnas suspendidas y losas en voladizo e) Tubo (cañón) arriostrado contra columnas simplemente apoyadas f) Tubo (cañón) y armaduras cortantes arriostradas Figura 1.6 Diversas estructuras con núcleos de cañón ó tubos, formados a base de muros de cortante con resistencia al esfuerzo cortante interno. (T.Y Lin & S.D. Stotesbury, Conceptos y Sistemas Estructurales para Arq. e Ing. Pag.223) Cuando un cañón es relativamente corto o ancho, con una proporción adimensional menor que 1 ó 2, la acción estructural dominante es la de un tubo rígido resistente al corte. Los requerimientos de momento o flexionamiento de este cañón corto usualmente no determinan el diseño. Cuando la proporción dimensional es más alta (sobre 3 ó 5 ), entonces las fuerzas cortantes pueden no constituir el criterio de control, y los requerimientos de flexionamiento pueden determinar el diseño. Para cañones más esbeltos, con proporciones dimensionales mayores de 5, definitivamente el flexionamiento tenderá a dominar. Con 7 o más, el problema del diseño será uno de flexibilidad excesiva y puede necesitar que dos o más cañones se unan entre sí con conectores pesados para obtener cierta cantidad de acción de mega-marco de conjunto. Como conjunto, los cañones son estructuras que comúnmente son significativamente rígidos y fuertes en cualquier dirección. Por ello, el cálculo de 20 fuerzas y esfuerzos producidos en estos cañones es un poco más complicado que el de los muros, se puede hacer una aproximación utilizando ciertas partes de los cañones como área resistente al cortante efectivo, y otras como el área resistente efectiva al momento. Por lo general, los subsistemas de marco rígido consisten en componentes verticales lineales (columnas) conectados rígidamente mediante componentes horizontales rígidos (vigas comunes o vigas maestras). De este modo, la conexión rígida hace que las columnas interactúen a flexión para formar un plano relativamente rígido de resistencia de conjunto a fuerzas horizontales y verticales. Los sistemas de marco rígido han sido aceptados desde hace tiempo para resistir cargas verticales y laterales. Así como un medio común para el diseño de edificios, se emplean para construir edificios de baja, mediana y gran altura, aproximadamente de 70 a 100 niveles. En comparación con los sistemas de muros resistentes al cortante, estos marcos rígidos proporcionan excelentes posibilidades para aberturas rectangulares de superficies de muro tanto adentro como fuera del edificio. También aprovechan la rigidez de las vigas requieren para cualquier y las columnas que se caso de edificación, pero las columnas se hacen más fuertes cuando se conectan rígidamente para resistir las fuerzas tanto laterales como verticales a través de flexionamiento del marco. Con frecuencia, los marcos rígidos no lo son tanto como la construcción de muro resistente al corte, y por lo tanto, pueden producir deflexiones excesivas en los diseños de edificios más esbeltos de gran altura. Pero a causa de su flexibilidad, a menudo se les considera más dúctiles y, en consecuencia, menos susceptibles de fallas sísmicas catastróficas, sí se comparan con algunos diseños de muro resistente al corte. En la figura 1.7 se ilustran los diferentes sistemas estructurales utilizados en la actualidad, asociados con su correspondiente rango de altura. 21 100 80 20 Modulos de Tubo 30 Tubo en Tubo 40 Tubo 50 Mega-Columnas con Tubo 60 Tubo con Contraventeo en Fachada 70 Interacción Muro-Marco Número de Pisos 90 10 Tipos de estructuras Figura 1.7 Sistemas estructurales en edificios altos. Como se observa en la anterior figura los edificios de gran altura con más de 30 ó 40 pisos se pueden diseñar mejor si se utilizan sistemas tubulares para resistir las fuerzas laterales. Esto dará al edificio mayor resistencia y rigidez en comparación tanto con el sistema de muro resistente al corte como con el marco rígido. Mediante el uso eficaz del material de cubiertas verticales, se obtiene un brazo de palanca máximo entre las fuerzas resistentes. Una manera natural de construir un sistema tubular sería conectar los muros exteriores para formar una estructura tubular de conjunto. El tubo puede ser rectangular, circular o de cualquier otra forma rectangular. Los muros exteriores pueden tener aberturas para formar ventanas circulares o rectangulares, como se observan en las fotografías 1 y 2. Si se desea tener marcos de ventanas rectangulares en el exterior del edificio de gran altura, esto se puede integrar en un diseño de marco-tubo empleando ya sea grandes vigas de antepecho para conectar las columnas estrechamente espaciadas, o bien, grandes montantes de ventana. Sin embargo, debe observarse que cuando un sistema de marco-tubo se flexiona, como un voladizo vertical apoyado en la base, 22 el efecto de dilatación del marco puede causar un desplazamiento del esfuerzo cortante significativo entre las columnas soportantes. Por ello, la distribución de esfuerzos no debe ser lineal y las columnas lejanas al eje neutro se deben esforzar un poco más que lo que se podría esperar en un supuesto lineal. El desplazamiento del cortante en un diseño tubular se puede analizar muy bien mediante modernos programas de computación. Fotografía 1. Muro de cortante perimetral con tres hileras de aberturas. (Corporativo empresarial. Sta. Fe D.F. México.) Fotografía 2. Muros de cortante en cubos de elevadores con aberturas en cada entrepiso y muros perimetrales sin aberturas. (Torres Habitad. Sta Fe D.F. México). 23 Aunque en general los muros tubulares con ventanas pequeñas son de concreto, los sistemas de marco-tubo pueden ser de concreto o de acero. Para acero, a menudo se emplea el tubo armado o contraventeado (arriostrado). Mediante el arriostramiento de las columnas exteriores y disponiéndolas en forma tubular, éstas son muy eficaces para resistir fuerzas laterales, ya que se utiliza toda su extensión directa (en vez de flexión) para dar resistencia al esfuerzo cortante. La forma y tamaño de las ventanas están determinados por la situación de las diagonales, pero permite un porcentaje mayor de aberturas en comparación con los muros tubulares de concreto. También se puede hacer un diseño tubular armado o arriostrado de concreto; esto se logra cerrando ciertos páneles en diferentes niveles, de tal manera que éstos queden sobre un eje inclinado y formen un miembro inclinado de la armadura. Aparentemente, está puede ser una solución económica para edificios de concreto de gran altura. El concepto de tubo en tubo proporciona otra excelente alternativa. Debido a su mayor anchura, el tubo exterior puede resistir fuerzas de volteo en forma muy eficaz; pero las aberturas requeridas en esté pueden reducir su capacidad para resistir el esfuerzo cortante, sobre todo en los pisos inferiores. Por otra parte, un tubo interior puede resistir mejor el esfuerzo cortante del piso, siendo más sólido que el tubo exterior. Pero los tubos interiores no serán tan efectivos para resistir el momento de volteo, ya que serán más esbeltos en comparación con el tubo exterior. Esta combinación de tubo dentro de tubo se puede aplicar tanto a un edificio de acero como a uno de concreto, o incluso usarla para combinar en un diseño de acero y concreto. Por ejemplo, un cañón de concreto como tubo interior en combinación con un tubo exterior de marco rígido de acero puede ser muy eficaz para resistir el momento flexionante y para dar rigidez cortante suficiente a la estructura como un todo. Cuando los edificios son de 50 ó 60 pisos a más, es conveniente investigar el uso de mega-estructuras, es decir, mega-marcos. Este enfoque ofrece la ventaja de que se colocarán pisos mecánicos a cada 15 ó 20 pisos, para facilitar la instalación de acondicionamiento de aire y otros equipos de servicio. Todo de peralte de 1 ó 2 24 pisos de los pisos mecánicos se puede utilizar para construir un subsistema horizontal muy fuerte y rígido. Esto permite usar vigas muy grandes o armaduras espaciales conectadas a columnas exteriores muy grandes para dar acción de mega-marco rígido sobre 15 ó 20 pisos. El mega-marco se puede rellenar con un marco secundario (mucho más ligero) de diseño estándar. 1.6.- Comportamiento de los muros de cortante. El análisis de estructuras con muros de cortante resulta un poco complejo, es por eso que se han desarrollado diversos métodos simplificados para su análisis. En algunos casos, la estructura se supone que es un marco, en otros que se comporta como un complejo cantiliver, en el cual las vigas horizontales de conexión son sustituidas por medios continuos con equivalentes pero distribuidas propiedades estructurales. Estos métodos simplificados han tenido mayor aplicación sobre los métodos más elaborados debido a la simplicidad y al grado aceptable de aproximación, para esto se han realizado estudios comparativos entre métodos simplificados y soluciones más realistas obtenidas por medio del método del Elemento Finito. Los métodos de análisis comunes generalmente son aproximados, sin embargo el uso de métodos como el Elemento Finito usado en programas computacionales de análisis estructural conducen a resultados de mayor aproximación, que describen de manera muy precisa la distribución y los valores de las fuerzas horizontales actuantes con diversas combinaciones de estas, en cualquier elemento que forme parte de la estructura analizada. Al obtener este tipo de información tan precisa y detallada, se diseñan estructuras más, eficientes y factibles de construir al ser más resistentes y económicas, con procesos de construcción innovadores y eficientes. Como se menciona anteriormente, las necesidades actuales requieren que los edificios alcancen alturas grandes comparadas con el área que ocupan; debido a esto, las características de este tipo de obras presentan dos problemas fundamentales. 25 1.- Requieren de una rigidez elevada, por lo que se opta emplear muros de cortante para proporcionar la adecuada rigidez, colocándolos estratégicamente en cubos de elevadores o escaleras según el diseño y orientación de la estructura. 2.- El Comportamiento de los demás elementos que forman la estructura se ve afectado por la rigidez que dan los muros de cortante. Ante este problema el análisis y diseño estructural deberá estar orientado a conjugar el comportamiento entre ambos elementos estructurales, sobre todo bajo el efecto provocado por las fuerzas horizontales debidas a los movimientos sísmicos y de viento. El empleo de muros en edificios debe garantizar la resistencia para absorber los efectos de las fuerzas a las que quedará sometido. Principalmente deberán tomarse en cuenta los efectos de rotación y translación. Los muros de cortante en forma aislada tiene principalmente dos modos de deformación, que dependen del mecanismo deformante (Flexión o Cortante), como se muestra en la figura 1.8, el modo de deformación principal es el flexionante, es decir, como un voladizo vertical tal como en la anterior figura. Sin embargo también influye la fuerza cortante y el lugar donde es aplicada. Muro de Cortante Deformacion de Muro en Modo Cortante Deformacion de Muro en Modo Flexionante Figura 1.8 Principales modos de deformación en muros de cortante. Finalmente los desplazamientos debidos a la deformación de la cimentación, depende de las características mecánicas del suelo. Estos desplazamientos son definidos por dos componentes: 1.- Uno de translación “d’s” proporcional al cortante en la base del edificio. 26 2.- Uno de rotación y proporcional al momento flexionante base del edificio. El efecto de translación está dado por la expresión: V = A × Cs × d ' s V A × Cs d' s = (1.1) (1.2) Donde: V= Esfuerzo cortante en la base de la cimentación. A= Área de la cimentación del edificio. Cs= Coeficiente de cortante elástico uniforme. Los desplazamientos horizontales están en función de la elevación, H y estás son debidas a la rotación, la expresión siguiente relaciona el efecto. d' ' s = δ × H (1.3) Pero: M = I × Cy × δ δ = M I × Cy Entonces: d ' ' s = M ×H I × Cy (1.4) Donde: M= Momento flexionante en la base. Cy= Coeficiente de compresión elástica no uniforme. I= Momento de inercia del área de la sección transversal con respecto a los ejes de rotación. De este modo podemos observar que los desplazamientos horizontales des suelo cuyo efecto final será: ds = d ' s × d ' ' s (1.5) En general los desplazamientos totales del cantiliver será la suma de los tres efectos combinados. d = dm + dt + ds En donde “dm” y “dt” representan los desplazamientos ejercidos por la flexión y la fuerza cortante respectivamente, ver figura 1.9 a y en la figura 1.9 b se muestra la relación que existe entre los desplazamientos provocados por la fuerza cortante y el momento flexionante; relacionadas por le cociente dt/dm , y la relación H/B 27 aplicadas para diferentes secciones rectangulares sometidas a la sección de fuerzas horizontales uniformemente distribuidas. dt dm ds F H B Figura 1.9 a Desplazamiento de un cantiliver ejercidos por la flexión fuerza cortante. (Pórtland Cement Association, Interacción Estructural en Marcos y Muros de Cortante. 1977, pág. 29) 4 Δ H W WH +Hθ 8EIw Iw W Iw θ WH 2 B WH θ 2 Δ0 Modo Flexionante L l l Modo Cortante Figura 1.9 b Diferencia de la relación de desplazamiento de muros en cantiliver variando su altura y ancho. (Pórtland Cement Association, Interacción Estructural en Marcos y Muros de Cortante. 1977, pág. 29) A menudo las exigencias arquitectónicas requieren aberturas en los muros; ese efecto altera totalmente su rigidez, por lo que deberá tenerse especial cuidado en su comportamiento. 28 1.6.1.- Muros de cortantes sin aberturas. Desde el punto de vista geométrico, un muro sin aberturas puede considerarse como un medio continuo contenido en un plano, para su análisis es necesario modelarlo en su geometría, material y tipo de cargas. Las hipótesis prácticas se apoyan en lo siguiente: 1.- El material que los constituye será homogéneo, elástico, lineal e isótropo. 2.- La geometría del muro es tal que posee tres dimensiones; dos relativamente grandes, contenidas en un plano, y la restante comparativamente más corta en otro plano. 3.- Considerando los dos puntos anteriores, la idealización corresponderá a un estado plano de esfuerzos. 4.- Las cargas que soportará estarán contenidas en el plano del muro. Por considerarse como un elemento en estado plano, los desplazamientos deberán ser en dos sentidos, vertical y horizontal. Al tomar en cuenta la compatibilidad de estos desplazamientos, es evidente que tiende a presentarse un giro en el muro. En la figura 1.10 se presenta un muro sin aberturas apoyado en columnas, donde se deberá tomar en cuenta los efectos de la parte inferior debido a las cargas laterales. Los muros de cortante sin aberturas pueden tratarse como voladizos verticales calculándose la rigidez y los esfuerzos, usando la simple teoría de la flexión. No siempre es razonable considerar las cimentaciones de los muros de cortante se terminan al nivel del segundo piso, abajo del cual la fuerza cortante se transmite a columnas rígidas, cubos de elevadores, etc. Normalmente este cambio no afectará la distribución de los esfuerzos en el muro, excepto cerca del extremo inferior, pero puede tener un efecto importante en la rigidez, y, por tanto, alterar la proporción de carga lateral soportada por el muro. La figura 1.10 ilustrada la manera en que pude determinarse el efecto de una variación en el piso inferior en la deflexión del superior. 29 4 WH + Hθ 8EIw H Δ W Iw W θ WH2 2 B WH Iw Δ0 θ L Modo Flexionante l l Modo Cortante Figura 1.10 Muro de cortante sin aberturas apoyado en columnas. (Pórtland Cement Association, Interacción Estructural en Marcos y Muros de Cortante. 1977, pág. 31) En la figura 1.9 b, como ya se indicó, se presentan curvas de comportamiento considerando la relación ancho altura, en donde se puede observar la influencia y variación de la deformación por cortante y flexión, para un muro sin aberturas empotrado el la cimentación. A continuación se presenta el comportamiento de un muro sin aberturas soportado por dos columnas. En la figura anterior se muestra el problema, ilustrándose los desplazamientos angulares y lineales. Así como el desplazamiento total que resulta de la superposición de dos estados. Así que calcularemos los desplazamientos en el muro haciendo uso del teorema de las áreas, calculando la desviación tangencial en el punto “B”. ML L ⎞⎛ I ⎞ ML2 ⎛ ML 2 Δ′ = ⎜ L− L ⎟⎜ ⎟ = 2 2 ⎠⎝ EI ⎠ 6 EI ⎝ 2 3 (1.6) Pero: V = 2M L 30 VL3 12 EI Δ′ = Δ0 = 2 VL3 VL3 = 12 EI 6 EI (1.7) Como: V = WH WHL3 Δ0 = 6 EI (1.8) Μ F F θ θ d d K K EA l 2 l EA , L K = d = F , K F = M , l d = ML lEA Pero: M = d = WH 2 2 WH 2 L 2lEA y considerando que θ es muy pequeño, tenemos que d = θ Entonces tenemos que: θ l WH 2 L = , 2 2lEA y θ = l 2 WH 2 L l 2 EA En esta forma substituimos los valores en: Δ = Δ 0 + WH 4 + Hθ 8EW (1.9) 31 1.6.2.- Muros de Cortante con Aberturas. En muchos problemas sobre muros de cortante es necesario hacer el análisis tomando en cuenta que a menudo es muy necesario contar con muros de cortante que tengan aberturas, estas son muy indispensables para cumplir con algunas necesidades que la estructura requiere, tales como: mejor ventilación, distribución adecuada de accesos y una buena apariencia. Existe diversas formas de muros con aberturas, algunas dependen de la ubicación del muro dentro de la estructura y otras del tipo de cimentación sobre la que este desplantado el muro. En la figura 1.11 se muestran algunas formas de muros con aberturas así como diferentes tipos de cimentación para dichos muros. H H H H H H H Figura 1.11 Muros de cortante con aberturas empotrados en diferentes tipos de cimentación, ya sea una zapata aislada ó corrida, losa de cimentación ó retícula rígida. Cuando se presenta el caso en que los muros están constituidos por filas de aberturas, este efecto altera notablemente la rigidez del muro de cortante, por lo que se deberá tomar en cuenta dicha discontinuidad, estas filas de aberturas son normalmente continuas con la altura, excepto en el piso interior, donde se necesitan a menudo accesos más espaciosos. 32 La figura 1.12 muestra una forma sencilla del problema, es decir, una sola fila central de aberturas, carga uniformemente distribuida, base fija y propiedades constantes con la altura. Es pe so r- t Eje C1 C2 Vigas de conexión disctretas (lb) W H h Muro 2 (IC2,AC2) Muro 1 (IC1,AC1) b l C Figura 1.12 Muro de cortante con una sola hilera de aberturas. (Pórtland Cement Association, Interacción Estructural en Marcos y Muros de Cortante. 1977, pág. 31). Pueden usarse varios parámetros adimensionales pera definir el comportamiento de esta estructura. Probablemente el más útil es αH, siendo α un coeficiente en la ecuación diferencial del método de la conexión por fuerza cortante (descrito mas adelante) y H, la altura total del muro. Normalmente αH se define como: αH = H 12 / b hb 3 ⎡ l2 A1 + A2 + ⎢ lc + lc ) A1 A2 2 ⎣ 1 De la figura 1.3.8, también podemos observar (1.10) que cuando se trata de muros simétricos se tiene que: 33 c−b ) 2 t c−b 3 lc1 = lc2 = ( ) = lc 12 2 A1 = A2 = t ( Sustituyendo λ ′ = Obtenemos Ic / h b y S = da Ib / b c αH = 2N 2 λ 1 (1 + 1 1 + ) s s2 (1.11) Donde: A1 = Área de la columna 1. A2 = Área de la columna 2. Ic1 = Momento de inercia de la columna 1. Ic2 = Momento de inercia de la columna 2. t = Espesor del muro. λ’ = Es la relación empleada para muros al corte. Ic = Momento de inercia de la columna. Ib = Momento de inercia de la viga. h = Altura de la columna. b = Claro libre de la viga. S = Es la relación b/c. C = Ancho del muro de cortante. En caso de que no hubiese aberturas, el desplazamiento en el extremo superior del muro sometido a fuerza horizontal uniforme sería: wH 4 Δ1 = 8ElW (1.12) Donde: tC 3 Δ1 = Desplazamiento horizontal en el extremo superior del muro. Iw = 12 Iw = Momento de inercia de la sección transversal del muro. W = Carga uniformemente distribuida. Para el caso en que los muros están constituidos por una sola hilera de aberturas, el desplazamiento horizontal en el extremo superior está dado por la relación: 34 Δ2 = WH 4 J 8 EIw (1.13) Donde Δ2 = deflexión superior en el muro con una sola hilera de aberturas J= 4 μ −1 8 ( − f (αH )) 3 (1 − S ) μ μ μ =1+ ( A1 + A2 )(lc1 + lc 2 ) (1 − S ) 2 = +1 A1 A2 l 2 3(1 + S ) 2 (1.14) (1.15) Donde: Ic1 = Momento de inercia de la columna 1. Ic2 = Momento de inercia de la columna 2. A1 = Area de la sección de la columna 1. A2 = Area de la sección de la columna 2. l = Claro de centro a centro de los apoyos de la viga. J = Factor con el que se obtiene el aumento en la flexión del muro a la presencia de una fila de aberturas. Finalmente: f (αH ) = αHsen (αH ) − cos(αH ) + 1 1 − 4 (αH ) cos(αH ) 2(αH ) 2 (1.16) La variación de rigidez del muro de cortante se puede graficar como se muestra en la figura 1.13, al variar para diferentes valores de S. Dicho comportamiento se resume en la Tabla No. 1. J es un factor con el que se obtiene el aumento en la deflexión del muro debido a la presencia de una fila de aberturas. J es igual a 1 cuando no hay aberturas; los valores elevados de J indican que las aberturas tienen un efecto importante en la rigidez del muro. J es función de tres parámetros solamente: λ’, N, y S. λ'/N2 y S podrían agruparse, pero αH (que es función de los tres parámetros) y S es una combinación más útil. En la figura 1.13 se da una gráfica de J al variar αH para diferentes valores de S. 35 Δ2 Coeficiente de Rigidez -J 6.0 .30 .20 .40 .50 5.0 W Valores de S = b/c .15 H .10 b 4.0 C .05 3.0 2.0 Sin aberturas 1.0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 αH Figura 1.13 Variación de la rigidez del muro de cortante con una sola fila de aberturas. (Pórtland Cement Association, Interacción Estructural en Marcos y Muros de Cortante. 1977, pág. 31). αH = J = 2N 2 λ′ 1 1 ⎞ ⎛ ⎜1 + + 2 ⎟ ec. para graficar. S S ⎠ ⎝ 8 EI w Δ 2 ec. para graficar. H4 w Obsérvese lo siguiente en la figura 1.13 1. Para αH > 8 y S < 0.2, el aumento en la deflexión no es grande, es decir, J varía entre 1 y 1.34. 2. Para αH < 4, una pequeña variación en αH puede producir un cambio importante en la rigidez. Aun cuando las aberturas sean muy angostas, J es mucho mayor que 1. 36 Ya se había indicado antes que αH acusa el comportamiento de los muros como se muestra en la tabla 1. La figura 1.13 y la tabla 1 pueden usarse para obtener indicaciones sobre el efecto de las aberturas en la rigidez de un muro. Si hay aberturas, normalmente es recomendable incluir su efecto en el análisis. Por ejemplo, cuando se usa el método de las componentes de rigidez para un muro con una sola hilera de aberturas y base empotrada, puede usarse el siguiente valor modificado para Kw: KWO = 3E (lc1 + lc 2) H 3K4 Donde Kwo = rigidez de un muro con aberturas y K4 = 1 − 3 1 1 sen( μH ) [ + − ] 3 μ 3 ( μH ) cos(αH ) ( μH ) 2 αH >8 Comportamiento Se aproxima al del muro sin aberturas. La deformación axial de las columnas es muy importante en el cálculo de la rigidez 4-8 Transición 0-4 Dos muros conectados. El comportamiento se aproxima al de un marco rígido Tabla 1 Comportamiento de los muros de cortante con una sola línea de aberturas El estudio de dos muros conectados no por vigas, sino por losas de piso ha demostrado que éstas pueden tener un efecto importante en la interconexión de los muros de cortante. Sin embargo, toda la anchura de la losa de piso (entre muros de cortante paralelos) es efectiva como viga, no debe tomarse como regla general. Hay que tener cuidado de asegurarse de que la losa tiene resistencia suficiente para suministrar la rigidez de interconexión. 37 Capítulo 2 Métodos de Análisis para Muros de Cortante 2.1.- Interacción entre muros de cortante y marcos rígidos. Un marco rígido, es un conjunto de columnas y vigas interconectadas, se flexiona principalmente en modo cortante, como se muestra en la figura 2.1 a. Un muro de cortante se deforma principalmente en modo flexionante, es decir, como un voladizo vertical, tal como se ilustra en la figura 2.1 b. Los cubos de elevadores, los de escaleras, ductos de instalaciones y los muros de concreto reforzado normalmente trabajan mancomunadamente. No siempre es fácil distinguir estos dos modos de deformación. Por ejemplo, un muro de cortante, debilitado por una hilera (o hileras) de aberturas puede presentar la tendencia a funcionar como marco rígido, como se vio en el capitulo anterior de muros con aberturas., e inversamente, un marco relleno de muros tiende a deformarse en modo flexionante. Además, la deformación producida por las fuerzas de corte en un muro de cortante puede ser más importante que la deformación debido a los momentos flexionantes, si la relación debida a los momentos flexionantes, y la relación de la altura con el ancho del muro es por ejemplo menor que 1. Cuando todas la unidades verticales de una estructura se comportan en la misma forma bajo el efecto de las cargas laterales, es decir, si todas son marcos rígidos o todas son muros de cortante, el análisis es comparativamente sencillo; la carga puede distribuirse a las unidades directamente en proporción a sus rigideces. La diferencia de comportamiento bajo cargas laterales, en combinación con la rigidez de las losas de los pisos son la causa de que las fuerzas de interacción no sean uniformes cuando están presentes muros y marcos, como en la figura 2.1 c, lo que dificulta más el análisis para el diseño de dichas estructuras. Para el análisis, normalmente se consideran las losas de los pisos como completamente rígidas dentro de sus propios planos. Esto significa que no habrá movimiento relativo entre las unidades verticales en cada nivel de piso. Puede tomarse en cuenta la deformación del plano de la losa, pero rara vez es importante. Al flexionarse fuera de su plano, las losas de los pisos contribuyen a la estabilidad lateral de una estructura funcionando como vigas entre miembros verticales, y por esto las losas planas, por ejemplo, trabajan eventualmente como si fuesen marcos rígidos. Sin embargo, la resistencia de las uniones entre las columnas y las losas planas debe revisarse cuidadosamente si se pretende usarla para resistir fuerzas laterales. Refiriéndonos a la torsión y sí la planta de la estructura es asimétrica, o si las unidades rígidas verticales (muros) están cerca del centro de la estructura deberá tomarse en cuenta el efecto de la torsión. Algunos reglamentos para tomar en cuenta el efecto de los sismos requieren que las estructuras resistan una carga de torsión especificada, aunque la carga lateral aplicada teóricamente no cause torsión. Un punto muy importante ha notar, es que cuanto más cerca del perímetro de la estructura se coloquen las unidades que resisten las fuerzas cortantes, mayor será su efectividad para resistir torsión, normalmente la resistencia a la torsión la proporcionan al flexionarse las unidades resistentes a las fuerzas cortantes. La torsión pura de marcos y muros no contribuye apreciablemente a la rigidez. Sin embargo, la rigidez torsional de este tipo no siempre es despreciable en los cubos de los elevadores y de las escaleras. La rigidez a la torsión de un tubo rectangular cerrado de espesor uniforme está dada por la fórmula: 39 Kθ = T θ = 4 A02 tG pH (2.1) Donde A0 es el área encerrada por la línea media central, t es el espesor del muro, G es el módulo de rigidez, p es el perímetro medio, H es la altura del tubo, y T el par de torsión aplicado. Los tubos como los cubos de los elevadores y de las escaleras están siempre debilitados por aberturas. Por lo tanto, la fórmula sobrestimará la rigidez a la torsión, en algunos casos anterior por amplio margen. Sin embargo, la rigidez a la torsión de este tipo podría ser importante. En efecto, los marcos son considerablemente menos rígidos que los muros de cortante, y aunque la magnitud de la carga que reciben está notablemente afectada por la deformación de las losas de piso, la proporción de la carga total que toman es pequeña. La conclusión a la que podemos llegar aquí es que si las losas tienen poco apoyo lateral entre unidades rígidas, las cargas en las unidades intermedias pueden ser afectadas por la flexibilidad de las losas, así que normalmente es aceptable la suposición de que las losas de piso son rígidas en su plano. Como se menciona al inicio de dicho capítulo, los muros de cortante y los marcos se comportan en forma diferente bajo el efecto de cargas laterales. Los muros de cortante se deforman en modo flexionante y los marcos rígidos en modo cortante figura 2.1. Este comportamiento puede expresarse matemáticamente así: Para un marco, QY’’= W (2.2) En la que Q es una constante, W la intensidad de la carga aplicada y Y’’ el desplazamiento nodal donde se aplica la carga. Representados en la figura a. Y'' W Figura a: Fuerza cortante aplicada a un marco. Para un muro, EIw Y’’ = M = (2.3) 40 Donde E es el modulo de elasticidad, I el momento de inercia y M es el momento flexionante en el muro, ver figura b. w Y'' M Figura b: Momento flexionante generado por fuerza cortante en un muro. Si se considera un marco que tenga propiedades constantes al variar la altura figura 2.2 a., y si se aplica una carga concentrada en le extremo superior, la forma flexionada será demostrada con la siguiente ecuación: Ph 2 (1 + 2λ )X Y = 12EΣI C (2.4) Esta ecuación representa una línea recta y satisface la ec. (2.2). Un muro de cortante de la misma altura y bajo las mismas cargas tomará la forma: Y = ( P X 3 − 3H 2 X + 2 H 3 6 EI W ) (2.5) La ec. (2.5) es para flexión simple y satisface la ec. (2.3). La forma de esta curva de tercer grado se ilustra en la figura 2.2 b. Como sucede con frecuencia en las estructuras, si un marco se obliga a reflexionarse de manera que asuma la curva del muro de cortante. La carga para lograr esto casi tiene que aplicarse en el extremo superior junto con una carga de 41 sentido contrario en la base, como se ilustra en la figura 2.2 c. El marco tiende a empujar hacia atrás al muro cerca de la base cuando están interconectados, esto se puede observar comúnmente cuando se considera el efecto combinado en el análisis. La observación de que la mayor parte de la carga se aplica cerca del extremo superior, constituye la base de la suposición de fuerza cortante constante en el marco. Intensidad de la carga P P X + Y Y Y Iw (a) Marco con carga concentrada y propiedades constantes (b) Muro con carga concentrada (c) Marco con la forma deflexionada del muro Figura 2.2 Marco y muro conectados. 2.2.- Métodos de Análisis Se describen tres métodos de análisis. El método de la conexión por cortante que puede considerarse como una forma especial del método del marco equivalente, que a su vez puede considerarse como forma especial del método basado en los elementos finitos. Con respecto al mérito relativo, si el método de la conexión por cortante se adapta al problema, el análisis puede hacerse a mano con mucha facilidad, en los casos sencillos usando gráficas, pero con mucho trabajo en los casos más complicados. El 42 análisis con computadora por el método de la conexión por cortante puede ser más eficiente que el análisis por el método del marco equivalente si se dispone del programa adecuado. Si existen dudas respecto a la validez de las suposiciones necesarias para el método de la conexión por cortante, y si se dispone de un programa adecuado para el marco, entonces debe usarse el método del marco equivalente. El método del marco equivalente y el de los elementos finitos son muy útiles en la solución de problemas no convencionales y de gran complejidad, así como en los medios de investigación. 2.2.1.- Método de la conexión por cortante. El método de conexión por cortante comprende la esquematización de la fila (o filas) de aberturas en el muro como un medio continuo que proporciona una conexión elástica para las fuerzas cortantes entre partes adyacentes del muro. En varios artículos publicados se describe y se dan los desarrollos matemáticos del método, pero no todos ellos presentan la información más reciente. En algunos casos, las únicas diferencias consisten en los métodos que se emplean para obtener una solución, en la notación y en la claridad de la presentación. En esta sección se describe brevemente el método de la conexión por cortante y se examinan los puntos importantes de la literatura, con objeto de ayudar al proyectista a encontrar una solución que se ajuste a su problema. Se presenta el método de la conexión por cortante para muros con una sola hilera de aberturas con muros de diferente ancho, se inicia con la idealización de los muros con aberturas. Las vigas que conectan a los muros son obstruidas por una conexión continua o láminas separadas a una distancia dx, como se muestra en la figura 2.3. El análisis consiste en discretizar la estructura en una serie de elementos o láminas que conectan a los muros formando un medio continuo equivalente. 43 Algunos resultados obtenidos experimentalmente sobre modelos estructurales han resultado congruentes con los obtenidos por medio de métodos numéricos, prácticamente se trata de estudiar una viga en cantiliver y de evaluar los esfuerzos y deformaciones que sufre, y por consiguiente las fuerzas que se transmitan en las láminas de conexión. En la figura 2.3 se observa que el espacio comprendido entre las aberturas podemos considerarlo como un medio continuo de unión entre dos muros, con un momento de inercia Ib y un módulo de elasticidad E, las láminas de conexión tienen como característica (EIb/h) por unidad de longitud. Se consideran las siguientes hipótesis: a) Se supone que las láminas constituyen una conexión elástica y continua que trabaja exclusivamente a fuerzas cortantes puras entre las secciones adyacentes de los muros. b) Se supone que existen puntos de inflexión en la línea central de las vigas de conexión. c) El momento en el muro, debido a cargas externas se distribuyen a las secciones del muro en proporción a sus momentos de inercia. d) Se desprecia la deformación axial de las vigas de conexión. Con los principios y suposiciones anteriores se llega a una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden que representa al problema en estudio. Para un muro con una hilera de aberturas, tenemos: d 2T − α 2T = − βX 2 2 dX (2.6) x Donde: T = ∫ qdX 0 q = Fuerza cortante en el medio de conexión por unidad de longitud cortante, siendo T la integral de la fuerza en el medio continuo de conexión, tomada desde el extremo superior hasta el extremo inferior del muro. 44 El valor de α2 está dado por la relación: α 2 = Y β = 12 Ib ⎛ l 2 A ⎜ + 3 ⎜ A1 A2 hb ⎝ I ⎞ ⎟⎟ ⎠ (2.6) 1 ⎛ 12 Ib ⎞ 1 Wl⎜ ⎟ 2 ⎝ hb 3 ⎠ I (2.7) I = I1 + I 2 A = A1 + A2 Entonces la solución de la ecuación diferencial ordinaria (2.6) es la siguiente: T = 2β ⎛ senhαH − αH 1 ⎞ 1+ senαX − cosh αX + α 2 X 2 ⎟ 4 ⎜ cosh αH 2 α ⎝ ⎠ (2.8) Una vez que la T ha sido determinada, la fuerza cortante Qi en cualquier viga de conexión i, puede ser obtenida por la diferencia de T en dos niveles consecutivos a una distancia h/2 arriba y debajo de la posición de la viga de conexión. Conocido Qi se pueden calcular los momentos con: M = 1 Qib 2 (2.9) Ver figura 2.4 M h/2 M = (21) Q b h/2 Q Q b Figura 2.4 Cálculo de momentos en la viga de conexión En cualquier nivel, la fuerza axial en los muros (tensión o compresión) es igual a T; y los momentos flexionantes en los muros 1 y 2 están dados por las relaciones: ⎞I ⎛1 M 1 = ⎜ WX 2 − Tl ⎟ 1 ⎝2 ⎠ I (2.10) ⎛1 ⎞I M 2 = ⎜ WX 2 − Tl ⎟ 1 ⎝2 ⎠ I (2.11) 45 La fuerza tomada por cada muro será proporcional a su rigidez y la valuación entre los esfuerzos y deformaciones puede ser obtenida semigráficamente como se expone más adelante. Para los dos muros en la figura 2.5 a La distribución de esfuerzos finales M1 y M2, y la fuerza axial T, se traza el diagrama de la figura 2.5 b. Se puede observar que el esfuerzo máximo se presenta en los extremos de los muros, para el muro 1, se puede valuar mediante las expresiones: σA = M 1C1 T T ⎛1 ⎞C + = ⎜ WX 2 − Tl ⎟ 1 + I1 A1 ⎝ 2 A1 ⎠ I (2.12) σB = M 1C 2 T T ⎛1 ⎞C + = −⎜ WX 2 − Tl ⎟ 2 + I1 A1 A1 ⎝2 ⎠ I (2.13) La distribución de esfuerzos que se presentan en los muros es realmente la superposición entre las aportaciones de la fuerza axial y los esfuerzos flexionantes, esto es, considerando lo siguientes datos: a) Los esfuerzos flexionantes se obtienen suponiendo que los muros actúan como un solo cantiliver, el eje de las X esta situado en el centroide de ambos, como muestra la figura 2.5 c. b) Los esfuerzos lineales se obtienen suponiendo que ambos muros trabajan independientemente, donde el eje X se encuentra en el centro de cada uno, como se muestra en la figura 2.5 d. 46 A MURO 1 MURO 2 c.g B c.g C D c.g a) B A C D C1 C2 b) ESFUERZO FINAL = ESFUERZOS PROVOCADOS POR LOS CANTILIVERES COMPUESTOS c) + ESFUERZOS PROVOCADOS POR EL CANTILIVER INDIVIDUALMENTE d) Figura 2.5 Superposición de los esfuerzos en muros sujetos a flexión Suponiendo que k1 es el porcentaje de carga soportada por un muro y k2 es el porcentaje de carga soportado por el muro compuesto y considerando las dos distribuciones de esfuerzos, tenemos: a) Efectos provocados por el cantiliver compuesto. El momento flexionante total en cualquier sección del muro está dedo por la expresión: ⎛1 2⎞ K ⎜ WX ⎟ 2 ⎝2 ⎠ 100 (2.14) Luego entonces los esfuerzos en las fibras extremas del muro pueden valuarse mediante las expresiones: WX 2 ⎛ A2 l ⎞K + C1 ⎟ 2 ⎜ 2I ′ ⎝ A ⎠ 100 (2.15) WX 2 ⎛ A2 l ⎞K − C2 ⎟ 2 σB = ⎜ 2I ′ ⎝ A ⎠ 100 (2.16) σA = Donde I’ = Es el momento de inercia del cantiliver compuesto dado por la relación: I ′ = I1 + I 2 + A1 A2 2 l A (2.17) Las expresiones presentadas son análogas para el muro 2, esto es: 47 σC = WX 2 ⎛ A2 l ⎞K + C1 ⎟ 2 ⎜ 2I ′ ⎝ A ⎠ 100 (2.18) σD = WX 2 ⎛ A2 l ⎞K − C2 ⎟ 2 ⎜ 2I ′ ⎝ A ⎠ 100 (2.19) Donde: I ′ = I 1 + I 2 + b) Efecto A1 A2 2 l A considerando (2.17) el muro individualmente. Como se mencionó anteriormente la fuerza axial en las vigas de conexión son despreciadas. Entonces los momentos flexionantes en los muros 1 y 2 están dados por las expresiones: M1 = I K 1 WX 2 1 1 I 100 2 (2.20) M1 = I K 1 WX 2 2 1 2 I 100 (2.21) Los esfuerzos en las fibras extremas en el muro 1 están dados por: σA = M 1C1 1 C K = WX 2 1 1 2 I1 I 100 (2.22) σB = M 1C 2 C K 1 = − WX 2 2 1 2 I1 I 100 (2.22) Para el muro 2 las ecuaciones son análogas. Obtención del valor K2 La ecuación que establece la correspondencia entre esfuerzos para los cuatro extremos del muro 1 y 2 se obtiene de la ecuación (2.8) y las expresiones para los esfuerzos σA, σB, σC, σD, están en: 200 K2 = (αH )2 ⎛⎜ X ⎝H 2 ⎡ ⎤ senhαH − αH X⎞ X⎞ 1 ⎛ ⎛ 2⎛ X ⎞ senh⎜ αH ⎟ − cosh ⎜αH ⎟ + (αH ) ⎜ ⎟ ⎥ ⎢1 + cosh αH H⎠ H⎠ 2 ⎞ ⎣⎢ ⎝ ⎝ ⎝ H ⎠ ⎦⎥ ⎟ ⎠ (2.23) Y además: K1 = 100 − K 2 48 Las proporciones de la distribución de esfuerzos finales pone los muros compuestos e individuales en cualquier posición son funciones de los parámetros α y de la 200 -100 α/H=0.25 160 -60 0.375 120 0.5 -20 0 0.75 80 20 1.0 40 60 0 2 4 6 8 12 10 14 16 αH 100 k1 (% de acción individual del cantiliver) k2 (% de acción compuesta del cantiliver) relación X/H. La gráfica 2.1 muestra la variación de k2. Grá fica 2.1 Variación compuesta de los factores de K1 y K 2 2.2.1.1.- Esfuerzos en las vigas de conexión. La fuerza cortante por unidad de altura o longitud en el sistema equivalente de conexión o láminas está expresada por la ecuación: q= dT H 1 K3 =W dX l μ (2.24) Donde: μ =1+ A I senhαH − αH X⎞ ⎛ cosh⎜αH ⎟ − y K3 = 2 H⎠ A1 A2 l αH cosh αH ⎝ X H + X αH H senhαH En este caso la fuerza cortante depende de los parámetros μ y α y de la relación X/H: la relación entre estos valores se puede graficar como se muestra en la Gráfica (2.2). 49 10 1.0 85 2 3 Altura 16 0.9 4 0.8 1 Radio (1-X/H) 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 4 αH=1 αH=2 αH=3 5 0.2 8 10 K'3 16 Base 0.1 0 0.1 0.2 0.3 Κ3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 Gráfica 2.2 Variación de los esfuerzos de la viga de conexión. Factor K3 El valor de la fuerza cortante máxima se valúa mediante la relación: q max = W H 1 K 3′ l μ (2.25) Donde K 3′ es el valor del factor K3 evaluado precisamente donde ocurre el esfuerzo cortante máximo y se conoce mediante la relación: ε = X 1 ⎛ senhαH + cosh αH − αH ⎞ = = log e ⎜ ⎟ W αH ⎝ cosh αH − senhαH + αH ⎠ (2.26) El valor de K 3′ se traza con línea punteada en la gráfica 2.1. Deflexiones. La deflexión que se presenta en cada muro está dada por la relación: 50 EI d 2Y 1 = WX 2 − Tl 2 2 dX (2.27) Donde Y es la deflexión o desplazamiento en cualquier punto del muro expresada por la relación dada. Integrando y sustituyendo las propiedades de frontera la expresión para el desplazamiento toma el valor: ⎧ ⎡⎛ X ⎞2 ⎤⎫ 1 − ⎪ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎪ 2 1 WH 4 ⎪⎡ 1 1 X 1 ⎛ X ⎞ ⎤ ⎡ 1 ⎤ 2 ⎢⎝ H ⎠ αH (senhαH − senhαX ) − cosh α (H − X ) + 1⎥ ⎪ Y = + ⎜ ⎟ ⎥ 1− + − ⎨⎢ − ⎥ ⎬⎪ 2 EI ⎪⎢⎣ 4 3 H 2 ⎝ H ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ μ ⎥⎦ μ ⎢ 2(αH )2 (αH )4 cosh αH ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎣⎢ ⎦⎥ ⎭ ⎩ (2.28) En particular, el desplazamiento máximo en la parte superior se expresa por medio de la relación: Ymax = 1 WH 4 K4 8 EI (2.29) La variación del factor K4 con los parámetros α H y μ se muestran en la gráfica (2.2). Concluyendo: El procedimiento del método lo podemos resumir de la siguiente forma: a) Determinación de las características geométricas de muros y vigas de conexión como A, I, μ y α H. b) Cálculo de esfuerzos en cualquier altura de los muros (compuestos e independientes), obteniendo K1 y K2, este último de la gráfica 2.1. Los esfuerzos finales se obtendrán usando las ecuaciones (2.15, 2.16 y 2.22). c) Cálculo de los esfuerzos en las vigas de conexión. Se obtienen las fuerzas cortantes por unidad de longitud dada por la expresión (2.24), donde se usa la 51 gráfica (2.2). Se obtiene Q como se indico y finalmente el momento flexionante máximo ya expresado o sea: M = 1 Qb . 2 d) Cálculo del desplazamiento máximo en la parte superior del muro, usando la ecuación (2.29) y la gráfica (2.3) ó el desplazamiento en cualquier altura usando la expresión (2.28). 1.0 Deflexión factor k4 0.8 0.6 0.4 μ=1.4 μ=1.3 μ=1.2 μ=1.1 0.2 μ=1.0 0 2 4 6 8 α=Η 10 12 14 16 Gráfica 2.3 Variación de la deflexión K4. Las curvas son generalmente usadas para cualquier forma que tenga la sección transversal. Conocidos los esfuerzos podemos conocer los elementos, aun que esto no sea necesario, ver figura 2.6. 52 X A' Q A Q M M b Figura 2.6 Elementos mecánicos. 2.2.2.- Método del marco equivalente. El empleo de esté método requiere del uso de programas de computadora y consiste en incorporar las juntas finitas, es decir, las partes consideradas rígidas. En la figura 2.7 se muestra una idealización de algunos muros como marcos con juntas finitas. Usando algunos de estos programas es posible analizar la mayor parte de las formas de los muros de cortante. En particular las variaciones con la altura en el piso inferior, las condiciones de cimentación, etc. pueden tomarse en cuenta sin dificultad y sin que haya necesidad de hacer suposiciones simplificadoras que se requieren cuando se emplea la solución de la conexión por cortante. El efecto de la carga vertical excéntrica también puede tomarse en cuenta sin dificultad si se incluyen las deformaciones axiales de la columna. 53 (a) (b) Contorno del muro. Porción rígida ( junta flexible). Miembro flexible del muro. (c) (d) (e) Figura 2.7 Idealización de marcos con juntas finitas. Las suposiciones principales que se hacen en este método independientemente de las correspondientes al comportamiento del material son: a) Las juntas finitas son completamente rígidas. b) Las partes flexibles pueden esquematizarse en forma elástica como elementos lineales que se deforman axialmente por cortante. Flexibilidad de la junta.- Evidentemente debe existir una región de transición entre las juntas rígidas y las partes flexibles en la que ninguna suposición constituye un enfoque adecuado. El efecto de la flexibilidad de la junta entre una viga y la cara de una columna ha sido tratada por varios autores, Michael D., en su artículo llamado “The effect of local walls conpled by breams”, recomienda que la longitud efectiva de la viga se aumente en una cantidad igual a su peralte, con objeto de tomar en cuenta el efecto de la junta, sin embargo posteriormente se presenta una expresión para calcular la longitud equivalente. Esta parece ser una buena corrección cuando la relación del ancho de la columna al peralte de la viga es mayor de 3. En caso contrario, la corrección debe ser menor que el peralte de la viga. 54 La deformación axial de las vigas puede despreciarse justificadamente, pero se ha llegado a establecer una serie de programas que facilitan el estudio de este tipo de estructuras, donde se pueden considerar todos los efectos a los que está sometida. El uso de programas para computadoras actualmente ha resultado muy eficiente, ya que cuentan con características de operación sencillas como: a) Simplicidad y eficiencia. b) Aplicación a casi todas las estructuras a base de muros sujetos a un esfuerzo cortante. c) No hay restricciones en cuanto a que se trate de muros con aberturas o sin estas. d) El método del marco equivalente es capaz de analizar cualquier tipo de carga a la que este sometido el muro. e) Obviamente, este método puede determinar los elementos mecánicos provocados por las fuerzas verticales a los que está sometida dicha estructura. Cuando hacemos programas de computadora es importante comprobar que la forma de la estructura no produzca inexactitudes en la solución de las ecuaciones resultantes. Esto puede suceder cuando la diferencia en la rigidez en las distintas partes de la estructura es grande, por ejemplo, cuando se da a ciertos miembros valores finitos elevados con objeto de simular “rigidez finita” o cuando la estructura es muy grande. Los malos resultados que se obtienen cuando se comprueba el equilibrio de la estructura son causa normalmente de un mal comportamiento que esta en función de un número de errores en las ecuaciones empleadas en los cálculos así como de la forma de la estructura. El comportamiento bajo cargas laterales en combinación con la rigidez de las losas de los pisos provocan que las fuerzas de interacción no sean uniformes cuando tenemos muros y marcos, lo que dificulta aún más el análisis. 55 Para el análisis normalmente se consideran las losas de los pisos como completamente rígidos dentro de sus propios planos, puede tomarse la deformación en el plano de la losa, pero rara vez ésta es importante. Si la planta de la estructura es asimétrica, o si las unidades rígidas verticales están cerca de la estructura, deberá tomarse en cuenta el efecto de torsión. Algunos reglamentos para tomar en cuanta el efecto del los sismos requieren que las estructuras resistan una carga de torsión especificada aunque la carga lateral aplicada teóricamente no cause torsión. 2.2.2.1.- Longitud Equivalente. Las características especiales que presenta una estructuración a base del muro y marcos interconectados, consiste esencialmente en dos problemas básicos, por una parte existen elementos estructuración de gran rigidez como son los muros, y por otra a base de marcos una formados por columnas y losas de rigidez relativamente muy baja. A continuación se presenta un método sencillo considerando la influencia que existe entre un marco y un muro de cortante interconectado, la figura 2.8 muestra el caso que se expone. Consideremos un muro rígido A ligado a la columna C por medio de la viga (ó losa) B, ver figura 2.8 a, sujeto a un sismo, el muro efectúa un giro, mismo que provoca en el nudo articulado de unión muro-viga un desplazamiento y un giro, que motiva lógicamente una deformación en la viga B con el subsecuente efecto en el nodo viga columna. 56 M'' EI z a) B C A M'f EI d) Mf EI L-L' L' L L L' L' b) M' I=∞ b I e) c a L-L' M' M EI L' Mf L1 M'' c) Mf M'f L-L' Mf EI R1 f) L2 M x1 L' Lequi L Figura 2.8 Diagramas para determinar el claro equivalente de un marco. El cambio súbito de sección transversal implica una variación entre los momentos de inercia y propiedades físicas de cada segmento, son variantes que deberán tomarse en cuenta en el análisis. Con el fin de conseguir una distribución de esfuerzos aproximadamente uniforme, la resistencia del elemento (área y momento de inercia) requiere que siga tanto como sea posible la misma variación de las fuerzas internas. Consideramos una viga apoyada en un extremo y empotradas en el otro, con un tramo de inercia infinita (equivalente al muro rígido) y resto de la inercia real de la viga B, como se muestra en la figura 2.8 b. En el punto a existe un desplazamiento y un giro como ocurre en el nodo muro-viga de la figura 2.8 b. Sea M’ un momento aplicado en el extremo b, momento que existe en el centro del muro cuando actúan las fuerzas sísmicas. Este momento ocasiona un momento M’’ en el punto a y un momento Mf en e l extremo c. Una vez que se hayan determinado al marco idealizado con el claro equivalente, estos momentos M y Mf serán los aplicados en los extremos de dicho marco. 57 Obteniendo el valor de Mf en función de M, entonces de la figura 2.8 c se tiene: M ′f Mf = L−L L ; M ′f = Mf (L − L ′) L (2.30) De las Figuras (2.8 c) y (2.8 e): M ′ = M ′′ − M ′f = M ′′ − Mf (L − L′) Por lo tanto M ′′ = M ′ + Mf (L − L′) L L (2.31) Por medio del método de la viga conjugada representamos la figura 2.8 d y haciendo suma de momentos con respecto al punto z. ∑ M Z = 0 , tenemos: M ′′ ⎛ 1 ⎞ ⎛ L′ ⎞ ⎞ Mf − M ′f ⎛ 2 ⎜ L ′ + L − L ′ ⎟ − M ′f ⎜ + L − L ′ ⎟ − ⎜ L′ + L − L′ ⎟ = 0 2 ⎝3 2 ⎠ ⎝3 ⎝2 ⎠ ⎠ (2.32) Sustituyendo la ecuación (2.30) y (2.31) en la (2.32). M′+ Mf Mf Mf − (L − L ′) ⎛ 1 (L − L ′) ⎛ 2 ′ ⎞ Mf ⎛L ⎞ ⎞ L L ′ ′ ′ ′ (L − L )⎜ + L − L ⎟ − ⎜ L +L−L ⎟− ⎜ L′ + L − L′ ⎟ = 0 L 2 2 ⎝3 ⎠ ⎝2 ⎠ ⎝3 ⎠ ⎡ M ′L + Mf (L − L ′) ⎤ ⎡ 1 ′ ⎤ Mf (L − L ′) L − Mf (L − L ′)L + Mf (L − L ′)L ′ − L + (L − L ′)⎥ − ⎢ ⎥ ⎢ 2L 2 L L L ⎣ ⎦⎣3 ⎦ MfL − MfL(L − L ′) ⎛ 2 ⎞ − ⎜ L′ + L − L′ ⎟ = 0 2L ⎝3 ⎠ ′ ′ ′ M ′L + Mf (L − L ′) ⎛ 1 ⎞ ML + Mf (L − L ′) (L ) − ML + Mf (L + L ) (L′) − Mf (L − L )L − ⎜ L′ ⎟ + 2L 2L 2L 2L ⎝3 ⎠ Mf (L − L ′)L ′ MfL − Mf (L − L ′) ⎛ 2 ⎞ ⎛ MfL − Mf (L − L ′) ⎞ − − Mf (L − L ′) + ⎟( L ) + ⎜ L′ ⎟ − ⎜ 2L 2L L ⎝3 ⎠ ⎝ ⎠ ⎡ MFL − Mf (L − L ′) ⎤ ′ +⎢ ⎥⎦ (L ) = 0 2L ⎣ − MfL + Mf (L − L ′) ⎛ 2 ⎞ ML + Mf (L − L ′) ⎛ 1 ⎞ MfL − Mf (L − L ′) =0 ⎜ L′ ⎟ + ⎜ L′ ⎟ − 2L 2L 2 ⎝3 ⎠ ⎝3 ⎠ 1 ⎡ MfLL ′ Mf (L − L ′)L ′ 2 MLL ′ 2 Mf (L − L ′)L ′ ⎤ ML − − − + Mf (L − L ′)L ′⎥ + + ⎢ 2L ⎣ 3 3 3 3 2 ⎦ Mf (L − L ′)L ′ MfL Mf (L − L ′) + − Mf (L − L ′)L ′ − + =0 2 2 2 58 − Mf (L − L ′)L ′ MfLL ′ 2MLL ′ Mf (L − L ′)L ′ ML Mf (L − L ′) MfL Mf (L − L ′) + − + + − − + =0 2L 6L 6L 2L 2 2 2 2 MfL ′ ML ′ ML MfL − + − =0 6 3 2 2 − ML ′ ML MfL ′ MfL + + =− 3 2 6 2 ⎛ L′ L ⎞ ⎛ L′ L ⎞ M⎜− + ⎟ + ⎟ = Mf ⎜ − ⎝ 6 2⎠ ⎝ 3 2⎠ ⎛ L L′ ⎞ ⎛ 3L − 2 L ′ ⎞ M⎜ − ⎟ M⎜ ⎟ 2 3⎠ 6 ⎝ ⎝ ⎠ Mf = = L L 3L − L ′ − 2 6 6 Mf = 3L − 2 L ′ M 3L − L ′ (2.33) Una vez obtenido Mf se define el valor del giro en el punto a, figura 2.8 b que es igual al giro del punto b. Cargando la viga con el diagrama de momentos entre eI se tiene el arreglo mostrado en la figura 2.8 e, tomando en momentos con respecto a X tenemos. ⎛ MfL2 ⎞⎛ L2 ⎞ ⎛ M ⎞⎛ L1 ⎞⎛ 2 ⎞ R1 L + ⎜ ⎟⎜ ⎟ − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ L1 + L2 ⎟ = 0 ⎠ ⎝ 2 EI ⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ EI ⎠⎝ 2 ⎠⎝ 3 (2.34) M Mf M + EI = EI De la figura 2.8 e EI L′ L1 ML ′ EI L1 = M Mf + EI EI L1 = ML ′ , luego L ′ = L1 + L2 , L2 = L ′ − L1 M + Mf Sustituyendo L1 tenemos: L2 = L ′ − L2 = (2.35) (M + Mf )L′ − ML′ ML′ , L2 = M + Mf M + Mf ML ′ + MfL ′ − ML ′ M + Mf 59 MfL ′ M + Mf L2 = (2.36) MfL ′ M + Mf 2 EI Mf R1 L + ⎛ MfL ′ ⎜ ⎜ M + Mf ⎜ 3 ⎜ ⎝ ⎞ ⎛ ML ′ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎛⎜ M ⎞⎟⎜ M + Mf ⎟ ⎝ EI ⎠⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ 6 R1 EIL + (Mf )3 (L ′)2 (M + Mf )2 − 6 R1 EIL + (Mf )3 (L ′)2 (M + Mf )2 − (Mf )3 (L ′)2 − 2 M 3 (L ′) − 3M 2 Mf (L ′) 6 R1 EIL + 6 M (L ′ ) 2 3(M + Mf ) 2 − 3M 2 Mf (L ′) (M + Mf ) 2 (M 3 + Mf ) 2 6 EIL(M + Mf ) ⎞ ⎟⎟ = 0 ⎠ ⎛ 2 ML ′ + 3MfL ′ ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = 0 ⎝ 3(M + Mf ) ⎠ 2 2 =0 2 2 2 M 3 (L ′) − (Mf ) (L ′) + 3M 2 Mf (L ′) 2 R1 = 3M 2 L ′ M + Mf ⎞ ⎟ ⎟⎛⎜ 2 ML ′ + MfL ⎟⎜⎝ 3 M + Mf M + Mf ⎟ ⎠ 2 (2.37) 2 Sustituyendo la ecuación (2.33) en (2.37) 2 M ( L ′) 3 ⎛ 3L − 2 L ′ ⎞ ′ 2 ⎛ 3L − 2 L ′ ⎞ ′ 2 −⎜ M ⎟ ( L ) + 3M 2 ⎜ M ⎟( L ) ⎝ 3L − L ′ ⎠ ⎝ 3L − L ′ ⎠ 2 3L − 2 L ′ ⎤ ⎡ 6 EIL ⎢ M + M⎥ 3L + L ′ ⎣ ⎦ 3 2 R1 = ⎛ 3L − 2 L ′ ⎞ 2 2 ⎛ 3L − 2 L ′ ⎞ 2 M (L ′) − ⎜ M ⎟ M 3 (L ′) + 3M 3 (L ′) ⎜ ⎟ 3L − L ′ 3L − L ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ R1 = 2 ⎡ 2 ⎤ ⎛ 3L − 2 L ′ ⎞ 2 ⎛ 3L − 2 L ′ ⎞ 2 6 EIL ⎢ M + 2 M ⎜ ⎟ M ⎥ ⎟+⎜ ⎝ 3 L − L ′ ⎠ ⎝ 3L − L ′ ⎠ ⎣⎢ ⎦⎥ 3 3 2 ( ) 3 ⎡ ⎛ 3L − 2 L ′ ⎞ ⎛ 3L − 2 L ′ ⎞ ⎤ ⎟ + 3⎜ ⎟⎥ 2 ⎢2 − ⎜ M (L ′) ⎢ 3L + L ′ ⎠ 3L − L ′ ⎠ ⎥ ⎝ ⎝ R1 = 2 6 EIL ⎢ ⎛ 3L − 2 L ′ ⎞ ⎛ 3L − 2 L ′ ⎞ ⎥ ⎢1 + 2⎜ ⎟+⎜ ⎟ ⎥ ⎝ 3L − L ′ ⎠ ⎝ 3L − L ⎠ ⎦⎥ ⎣⎢ (2.38) Refiriéndose al caso equivalente figura 2.8 f, se tiene que el giro en el extremo “X” está dado por: θ = MLequi 4 EI (2.39) Igualando la ecuación (2.38) y (2.39) y despejando Lequi tenemos: 60 ⎛ 3L − 2 L ′ ⎞ ⎛ 3 L − 2 L ′ ⎞ 2 + 3⎜ ⎟−⎜ ⎟ 3L − L ′ ⎠ ⎝ 3L − L ′ ⎠ ⎝ = 2 ⎛ 3L − 2 L ′ ⎞ ⎛ 3L − 2 L ′ ⎞ 1 + 2⎜ ⎟+⎜ ⎟ ⎝ 3L − L ′ ⎠ ⎝ 3L − L ′ ⎠ 3 Lequi (2.40) 2.2.2.2.- Longitud equivalente para un marco con aberturas. Análogamente al caso anterior, la figura 2.9 representa el caso de un muro con aberturas, como en la solución presentada para el caso muro-marco, haremos uso del método de la viga conjugada, partiremos de considerar que un muro con aberturas puede ser tratado como un marco compuesto por vigas de sección variable con tramos de rigidez infinita y tramo central con cierta rigidez. Consideramos dos columnas rígidas ligadas por medio de una viga como muestra la figura 2.9 a. Ante la presencia de un sismo, el muro provoca un giro ocasionado por la presencia del momento M1 dando lugar con esto a la deformación del muro. La figura 2.9 b ilustra este efecto, así como su idealización. Igual que en el caso anterior, el cambio repentino de sección varía las propiedades físicas del elemento por lo que aquí se trata de tomar en cuenta este efecto. Se considera una viga doblemente empotrada, representada equivalentemente en la figura 2.9 b. 61 B a) e) M1 M'1 M''1 z VIGA CONJUGADA L M1 b) I=∞ L-L' 2 I L' I=∞ M'1 f) M''1 L-L' 2 R1 Figura 2.9 Diagramas para determinar el claro equivalente de un marco con aberturas. Cargando la viga conjugada con el diagrama de momentos flexionantes sobre EI, tenemos: Suma de momentos con respecto a z de la figura 2.9 d L′ ⎛ 2 L − L′ ⎞ ⎛ L′ L − L′ ⎞ EIR1 L + M 1′′L ′⎜ + ⎟ + (M 1′ − M 1′′) ⎜ L ′ + ⎟=0 2 ⎠ 2 ⎝3 2 ⎠ ⎝2 L ⎛ 4 L ′ + 3L − 3L ′ ⎞ ⎛ L⎞ EIR1 L + M 1′′L′⎜ ⎟ + (M 1′ − M 1′′) ⎜ ⎟=0 2⎝ 6 ⎝2⎠ ⎠ EIR1 L + M 1′′LL ′ L ′ ⎛ 3L + L ′ ⎞ + (M 1′ − M 1′′) ⎜ ⎟=0 2 2 ⎝ 6 ⎠ (2.41) De la figura 2.9 c tenemos: M1 = L M 1′ L−L L′ + 2 M1 M 1′ = 2 L + L − L′ L 2 2M 1′ M′ = L L + L′ M 1′ = M 1 (L + L ′) 2L (2.42) 62 Luego: 2M 1′′ M M (L − L ′ ) = 1 , M 1′′ = 1 L − L′ L 2L M 1′′ M = 1, L − L′ L 2 (2.43) Sustituyendo las ecuaciones (2.42) y (2.43) en (2.41) tenemos: M 1 (L − L ′ ) ⎡ M ( L + L ′ ) M 1 ( L − L ′ ) ⎤ L ′ ⎛ 3L + L ′ ⎞ 2L − EIR1 L + LL ′ + ⎢ 1 ⎥ 2 ⎜ 6 ⎟=0 2 2L 2L ⎠ ⎦ ⎝ ⎣ EIR1 L + EIR1 L + M 1 (L − L ′)LL ′ ⎛ M 1 L + M 1 L′ − M 1 L + M 1 L ′ ⎞ L′ ⎛ 3L + L ′ ⎞ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟=0 4L 2L ⎝ ⎠ 2 ⎝ 6 ⎠ (M 1 L − M 1 L′)L′ ⎛ M L ′ ⎞ L ′ ⎛ 3L + L ′ ⎞ +⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟=0 ⎝ L ⎠ 2 ⎝ 6 ⎠ 4 2 2 2 M 1 LL′ − M 1 (L′) M 1 (L ′) (3L ) + M 1 (L′) (L ′) EIR1 L + + =0 4 12 L EIR1 L + 2 2 3 M 1 LL ′ M 1 (L ′) M (L ′) M (L ′ ) − + 1 + 1 =0 4 4 4 12 L 3 3M 1 L2 L ′ + M 1 (L ′) EIR1 L + =0 12 L 3M 1 L2 L ′ + M 1 (L ′) R1 = − 12 EIL2 3 R1 = − ( ) 3 M 1 3L2 L′ + (L ′) M 1 ⎛ 3L2 L ′ + (L ′)3 ⎞ ⎜ ⎟ =θ , = − R 1 ⎟ 3EI ⎜⎝ 12EIL2 4 L2 ⎠ Luego si: θ = MLequi 4 EI (2.44) . M 1 (3L2 L′ + L3 ) M 1 Lequi = Sustituyendo: 4 EI 3EI (4 L2 ) 3L2 L ′ + (L ′) = 3L2 3 La longitud equivalente será: Lequi Conocida la longitud equivalente de las barras dadas por las fórmulas 2.40 y 2.45, la matriz de rigideces del sistema estructural habrá que afectarla. Se puede concluir este método resumiéndolo de la siguiente manera: a) Análisis de muro con aberturas idealizadas como marcos con juntas finitas como las ilustradas en las figuras (2.7 a, b, e y f). 63 b) Idealizaciones de marcos con juntas finitas pero usando longitudes equivalentes. c) Idealización de marcos comunes usando rigideces equivalentes en las trabes. Stanfford smith ha calculado un momento de inercia equivalente I’ = KI como función de I. 3 2c ⎞ 2c ⎞ ⎛ ⎛ Donde: I ′ = ⎜1 + ⎟ I y K = ⎜1 + ⎟ L⎠ L⎠ ⎝ ⎝ 3 Siendo c el semiancho del muro. La consideración de este coeficiente K tiene la ventaja de permitir el uso de programas de computadora estándar para el análisis de marcos sin incluir elementos infinitamente rígidos. 2.2.3.- Método del elemento finito. El método del elemento finito consiste en subdividir un medio continuo en un cierto número de elementos, de tal forma que el método consiste en estudiar los diferentes tipos de elementos finitos. Los elementos que comúnmente se han estudiado son: elemento barra (problemas unidimensionales), elemento triangular (problemas bidimensionales) elemento rectangular (placas y muros), elementos volumétricos (problemas tridimensionales), etc. Una vez dividida la estructura en cualquiera de estos elementos, o incluso en una combinación de estos, se determinan las propiedades elásticas y cinéticas a partir de las cuales se obtienen las ecuaciones necesarias que definirán los elementos mecánicos. El desarrollo de los métodos matriciales y numéricos usados en la elaboración de los diversos programas de computadora para el cálculo estructural nos facilita el análisis de estructuras complejas. El dominio del manejo de programas estructurales hace que el análisis de estructuras complejas sea relativamente sencillo. Es de esperarse que el método permita plantear y resolver las ecuaciones que gobiernan el equilibrio y la continuidad de la estructura, así que con el advenimiento del método, el de los métodos numéricos, matriciales y el de los programas de 64 cálculo estructural, es relativamente sencillo desarrollar soluciones numéricas eficientes, de tal forma que se pueda sistematizar su solución. Dentro las características de la estructura se deben considerar las siguientes: a) La estructura puede tener cualquier geometría, lo que es factible de modelar con la combinación de los diferentes tipos de elementos como vigas, columnas, muros, etc. b) Cada elemento finito debe estar constituido por un solo material, pero puede haber tantos materiales como elementos considerados. c) En el caso de los muros con aberturas, las cargas directas pueden actuar en cada nudo de la estructura mostrado anteriormente. d) Las cargas debidas al peso propio del muro se calculan en el programa. e) Las características de la sección transversal de la viga se especifican en el programa, así como los cambios de sección debido a las idealizaciones y suposiciones hechas. f) Las condiciones de frontera de la viga se considera empotrada. g) Tiene la opción de calcular las rigideces de piso. h) Se pueden considerar varias condiciones de carga para una estructura. i) Finalmente al analizar la estructura , del programa debemos los siguientes datos: 1. Desplazamientos nodales. 2. Elementos mecánicos de cada barra como fuerza axial, fuerza cortante y momento flexionante, en los dos extremos de la barra, y aun incluso en puntos intermedios considerados en algunas idealizaciones. 3. Diagrama de fuerza cortante y momento flexionante. 4. Esfuerzos en el centroide del elemento finito. Los muros no son estructuras aisladas, sino que forman parte de edificios. El hecho de analizarlas por separado implica hipótesis en el análisis de edificios, especialmente en el caso de solicitaciones sísmicas en donde todos los elementos de la estructura deberán trabajar en conjunto. 65 El subdominio del elemento finito debe ser tal que quede limitado en todos sus puntos nodales, tomando como espesor el del muro. El tamaño de elementos depende del grado de exactitud deseada. Una de las ventajas de este método es que los elementos finitos que componen el marco equivalente son bidimensionales y conectan más de dos puntos nodales; mientras que por ejemplo en el caso del marco equivalente los elementos son lineales y conectan dos puntos únicamente. Sin embargo en el caso del marco equivalente se puede usar un programa estándar de computadora e incluso puede hacerse a mano si fuera preciso. Normalmente los elementos con esfuerzos planos tienen dos grados de libertad en los puntos de los nodos, (correspondientes a las transiciones en las direcciones de las coordenadas) figura 2.10. Pero se ha elaborado un elemento triangular con esfuerzo plano y 6 grados de libertad por nodo, que en ciertos problemas de muros de cortante puede ser ventajoso un grado de libertad rotacional en los puntos nodales. PUNTOS NODALES ELEMENTOS RECTANGULARES REFINAMIENTO DE LA MALLA USANDO CUADRILATEROS Y TRIANGULOS COMO ELEMENTOS ABERTURAS ELEMENTO EN FLEXION Figura 2.10 Idealización del muro con aberturas con elementos finitos. 66 2.2.4.- Análisis con programas computacionales. Otra forma de analizar estructuras con muros de cortante ó acoplados es el empleo de programas computacionales, gracias a su gran eficiencia, precisión y rapidez son la mejor herramienta para la solución de este tipo de problemas analíticos. La mayoría de ellos emplean el Método del Elemento Finito para la solución de elementos estructurales de cualquier sección o forma con una amplia capacidad de discretización, es decir, cada elemento que forme parte de una estructura puede ser subdividido en elementos finitos de una manera considerable dependiendo de la precisión de los resultados que se desee. A continuación se mencionan algunos de los principales programas computacionales con mayor demanda para el análisis de estructuras: • SAP2000: PROGRAMA INTEGRADO DE ANÁLISIS Y DISEÑO ESTRUCTURAL. El programa SAP2000 representa el estado del arte el tema de análisis tridimensional de estructuras con elementos finitos. SAP2000 es un programa completamente compatible con Windows 95/98/NT/2000, y ofrece una interfase gráfica amable además de los últimos avances en procedimientos analíticos. Este software se consigue en tres diferentes modalidades: No lineal Plus Standard 67 • ETABS: PROGRAMA DE ANÁLISIS Y DISEÑO LINEAL Y NO LINEAL, ESTÁTICO Y DINÁMICO DE EDIFICACIONES. Sofisticado sistema de análisis 3-D y diseño para estructuras de edificaciones. La entrada y salida de información, al igual que las técnicas numéricas de solución se han diseñado específicamente para aprovecharse las características físicas asociadas a los diferentes tipos de estructuras de edificaciones. ETABS ofrece una interfase gráfica al estilo de Windows, un modelador y un post-procesador para ver todos los resultados. Este software se consigue en dos diferentes modalidades: No lineal Plus • SAFE: PROGRAMA PARA EL DISEÑO DE LOSAS Y SÓTANOS. SAFE con base en el método de elementos finitos, ofrece exactitud y flexibilidad que no se pueden obtener con cálculos a mano ó programas similares. Métodos tradicionales para el análisis de losas puede llegar a ser fastidioso y demorados, y a menudo son inaplicables para modelos geométricos muy complejos 68 ó de cargamentos. SAFE a diferencia de un programa de uso general que maneje elementos finitos que tenga la capacidad de manejar modelos complejos, ofrece resultados útiles para el ingeniero estructural, además de ser más cómodo y fácil de utilizar. • Es CADRE Pro un programa Windows™ 98/NT/2000/XP que resuelva estructuras tridimensionales por el método de elementos finitos. El objetivo fundamental de CADRE Pro es entender y predecir el comportamiento de estructuras sometidas a cargas. Tipos de elementos incluidos: Vigas de sección constante Vigas de sección variable Vigas articuladas Elementos cable a tensión Resortes Vigas con deformación por cortante Placas triangulares con esfuerzo plano Placas triangulares con esfuerzo plano y esfuerzo fuera del plano. Elementos barra a compresión Elemento de línea (sin propiedades) Elemento de viga con nodos 'offset' Con estos elementos la mayoría de las estructuras como armaduras, casas, puentes, torres eléctricas y elementos mecánicos pueden modelarse. CADRE Pro se adapta fácilmente a cualquier combinación de modelado de vigas y placas para formar la estructura deseada. Las vigas articuladas se pueden definir con un grado de restricción desde totalmente articuladas (libres) hasta totalmente restringidas, y puede especificarse una rigidez intermedia. La viga con sección variable puede definirse inicialmente con sólo las propiedades de los extremos y luego dividirse en segmentos manteniendo la continuidad de la variación de la inercia. 69 Elementos placa: CADRE Pro tiene una placa triangular en dos dimensiones para esfuerzo plano que está especialmente diseñada para integrarse a marcos estructurales tridimensionales o para soluciones de problemas de dos dimensiones de esfuerzo plano. Una malla cuadrilateral de placas simulando un muro, recubrimiento, etc, puede instalarse automáticamente entre 4 nodos seleccionados. Viga de Caja Placa con orificio sometida a presión. Tanque de petróleos con cargas de nieve Figura 2.11 Estructuras discretizadas en elementos finitos. • Structural Mechanics: Tratamiento simbólico de sistemas de elementos finitos (requiere Mathematica). Este flexible entorno interactivo dirigido principalmente a profesionales, profesores y estudiantes del área de la ingeniería permite focalizar nuestro esfuerzo en el diseño y análisis de elementos estructurales (pudiendo olvidarnos de los detalles computacionales). Structural Mechanics no representa un remplazo de las caras y enormes aplicaciones FEA. 70 Sin embargo es una aplicación fácil de usar que permite al usuario experimentar, obtener nuevas ideas o preprocesar problemas antes de volcarnos en un entorno computacional de modelado de elementos finitos (que generalmente requieren un consumo computacional y de tiempo mayor). Structural Mechanics requiere Mathematica 3 o 4 y está disponible para Windows 95/98/Me/NT/2000, Mac OS, Mac OS X, Linux y la mayoría de plataformas Unix. • STADD PRO. STAAD/Pro 2004 es el resultado de más de veinte años de experiencia en la ingeniería de programas estructurales; por ello y debido a sus altos estándares de calidad se ha convertido en el programa #1 alrededor del mundo en el diseño y análisis de estructuras. STAAD/Pro 2004 cubre todas las necesidades de la oficina de ingeniería de estructuras. Las facilidades del STAAD/Pro 2002 incluyen Generación de Modelos, Diseño y Análisis Avanzado de Elementos Finitos. Características generales del STAAD.Pro 2002: • Análisis en 2D y 3D basado en el método de las matrices. • Vigas, cerchas, vigas adelgazadas, conchas/placas. • Generación de carga por vientos según la ASCE. • Relajamiento de momento. • Miembros de sólo compresión o tensión. • Totalmente compatible con Windows 2000 y ME. • Introducción de datos compatible con Excel y Lotus 1-2-3. • Asistente para crear mallas con huecos y superficies curvas. Diseño del concreto: • Diseño del concreto según ACI 318 y de zapatas por ACI. Diseño del acero: 71 • Tablas de acero incluyendo AISC y muchas otras más. • Diseño de la soldadura según AISC-ASD Sólo en STAAD.Pro 2004. • Nuevos códigos IBC2000, AISI de acero en frío, AASHTO 2000, y códigos de diseño de soldadura. • Análisis no lineales de cables. • P-Delta para placas. • Módulos de cargas para puentes. • Calculadora integrada de propiedades de secciones. Verificación de los resultados: • Movimiento de doblado y de la fuerza cortante de miembros individuales y de la estructura completa. • Animación de deflexión, modo de vibración y esfuerzos de contorno. • Gráficos de desplazamiento Vs. tiempo, velocidad Vs, tiempo; aceleración Vs. tiempo para análisis dinámico. Análisis dinámico: • Extracción de frecuencia y modo de vibración. • Espectro de respuesta y análisis histórico. • Radio de amortiguación para modelos individuales. • Combinación de cargas estáticas y dinámicas. 72 Tipos de carga y generación de cargas: • Cargas en uniones. • Cargas sísmicas, UBC 1997/AIJ/IS1893. Adicionalmente STAAD.Pro 2004 le ofrece módulos opcionales en el diseño de componentes, totalmente integrado con STAAD.etc. Los cálculos estructurales pueden ser exportados a través del lenguaje CIMSteel a StruCad para la realización de planos de taller y cortado de piezas con StruCam y StruCad. Figura 2.12 Topología de estructuras y representación de esfuerzos en placas. • StruCad En StruCad, Ud. crea un modelo tridimensional de la estructura de acero en un entorno de grillas de simple uso. Ud. puede seleccionar tamaños de miembros de catálogos de secciones existentes o propias del cliente y generar planos de taller de estructura metálica. 73 Las conexiones pueden ser aplicadas de nuestra amplia librería de programas de conexiones paramétricas o creadas en el poderoso entorno interactivo de StruCad. Del modelo Tridimensional Ud. puede crear: Detalles completos de fabricación • Plantillas de tamaño natural • Planos de arreglos generales totalmente detallados • Planos de erección • Códigos de corte de piezas para equipos CNC • Lista de materiales totalmente adaptable • Tricalc10 muros resistentes por elementos finitos. MADRID (12.04.99) - Arktec acaba de presentar su nuevo programa Tricalc.10, de cálculo, armado y comprobación de muros resistentes, cuyas principales características son: Muros resistentes de hormigón, de ladrillo y de otros materiales, con cálculo y armado de muros de hormigón y cálculo y comprobación de muros de ladrillo, de bloques de hormigón y de otros materiales, mediante elementos finitos. Cálculo conjunto e integrado de los muros resistentes con los demás elementos de la estructura, como barras de acero y de hormigón, forjados unidireccionales, reticulares y de losa maciza y zapatas, vigas y losas de cimentación, en un mismo programa con todas las prestaciones diferenciales de Tricalc. Huecos interiores en los muros, uniones e intersecciones de muros en cualquier ángulo, muros con distintos espesores en cada planta y muros con discontinuidades. 74 Cargas según cualquier vector, superficiales, lineales, puntuales y momentos; cargas de presión del terreno y fluidos y consideración automática del peso propio. Gráficas de isovalores, con momentos, cortantes, axiles y desplazamientos de los muros, mediante iso-áreas e iso-líneas. Planos de despiece de armaduras y cortes transversales con armadura seccionada. Detalles constructivos en DXF con las uniones entre muros y otros elementos. Tricalc.10 calcula muros resistentes de hormigón, ladrillo, bloques de hormigón y otros materiales, de forma conjunta con el resto de la estructura, mediante el método de los elementos finitos. La definición se realiza desde cualquier plano o globalmente, indicando las características del mismo.Es posible modificar la geometría de muros ya definidos, así como introducir huecos en los mismos.En cualquier momento se puede modificar el material de un muro determinado. Los muros resistentes se integran tanto con barras de hormigón como con barras metálicas. La visualización en modo sólido de la estructura muestra la dimensión y material de los muros definidos. En muros resistentes se pueden introducir cargas de diferentes tipos, según cualquier dirección, incluso cargas producidas por terreno y presión de fluidos. Para definir una carga lineal, por ejemplo, se indica su valor, dirección e hipótesis en la que actúa. Se puede definir la carga producida por terrenos especificando el tipo o sus características. 75 Es posible considerar al mismo tiempo o separadamente la presión hidrostática en el muro. Los esfuerzos, desplazamientos y tensiones de los muros resistentes pueden analizarse mediante listados y gráficas de diferentes tipos. Es posible analizar los desplazamientos en cada punto del muro o visualizarlos de forma gráfica. Con las gráficas de isovalores se obtienen, mediante un código de colores, las tensiones de los muros. Las gráficas pueden visualizarse mediante isoáreas o isolíneas. Tricalc genera planos con despiece de armadura de los muros resistentes de hormigón, de forma conjunta con los planos del resto de la estructura. Los planos de armado contienen la información que se defina por el usuario. Tricalc genera secciones de muros resistentes de la misma forma que los cortes en forjados. Los planos de los muros resistentes se componen junto a los del resto de la estructura. Figura 2.13 El módulo Tricalc.10 permite calcular muros resistentes de cualquier material por elementos finitos, con cualquier orientación en planta, incluso con huecos y lados inclinados 76 Capítulo 3 Uso e Interpretación de las N.T.C. 2004 del R.C.D.F. para el diseño de Muros de Concreto Reforzado. De acuerdo a los disposiciones y consideraciones complementarias de los principios básicos de diseño establecidos en el Titulo Sexto del Reglamento de Construcción para el Distrito Federal y en las Normas Técnicas Complementarias Para Diseño y Construcción de Estructuras de Concreto 2004., sobre Criterios y Acciones para el Diseño Estructural de las edificaciones ubicadas dentro de dicha entidad federativa. Se hace mención y citado de los artículos ó incisos referentes al tema: 6.5 Muros, que cumple con el propósito de esta Tesis: Diseño de Muros de Concreto en edificaciones ó estructuras que dispongan de dicho sistema estructural. 3.1.- Interpretación de los artículos referentes al tema. A continuación se hace mención de todos y cada uno de los incisos que tratan el tema de Diseño de Muros de Concreto. La secuencia y numeración de los temas es la misma que manejan las N.T.C. Concreto., complementándolos con las secciones de cada una de las referencias citadas en dichos incisos, estas secciones están a continuación de donde son citados y están escritos con diferente tipo de letra. Además se interpretan y se ilustran gráficamente. 3.1.1.- Condiciones generales para el diseño de muros. 6.5 (N.T.C concreto).- Muros. En edificios con muros de concreto perimetrales en la cimentación de mucha mayor rigidez que los superiores, y con losas de sótano que se comportan como diafragmas rígidos en su plano, la altura total del muro, Hm, y la altura crítica, Hcr , definida en la sección 6.5.2.2, se medirán desde el piso de la planta baja. De acuerdo a lo anterior, se define Hm como la altura total del muro medida a partir del nivel de empotramiento o desplante y la restricción de la losa diafragma en la parte superior, y así consecutivamente para los muros en niveles superiores. En la figura 3.1 se ilustra una estructura con muros de cortante y cimentación a base de muros de concreto perimetrales con losas de sótano, mostrando así la ubicación de Hm y Hcr. A Columnas Losa diafragma N-2 Hcr Hm Hm Hm Muro de cortante N-1 Hcr Hm t = espesor del muro Vigas Muro de cortante Muro de cimentación A' Hcr Cimentación Hcr NTN. Losa de cimentación CORTE A-A' Figura 3.1 Estructura con muros de cortante y muro de cimentación rígido. 78 3.1.2.- Diseño de muros con cargas verticales o excéntricas. 6.5.1 (N.T.C concreto).- Muros sujetos solamente a cargas verticales axiales o excéntricas. Estos muros deben dimensionarse por flexocompresión como si fueran columnas, teniendo en cuenta las disposiciones complementarias de las secciones 6.5.1.1 y 6.5.1.2. 6.5.1.1 (N.T.C concreto).- Ancho efectivo ante cargas concentradas. Si las cargas son concentradas, se tomará como ancho efectivo una longitud igual a la de contacto más cuatro veces el espesor del muro, pero no mayor que la distancia centro a centro entre cargas. 6.5.1.2 (N.T.C concreto).- Refuerzo mínimo. Si la resultante de la carga vertical de diseño queda dentro del tercio medio del espesor del muro y, además, su magnitud no excede de 0.3 f’c Ag, el refuerzo mínimo vertical del muro será el indicado en la sección 5.7, sin que sea necesario restringirlo contra el pandeo; si no se cumple alguna de las condiciones anteriores, el refuerzo vertical mínimo será el prescrito en la sección 6.2.2 y habrá que restringirlo contra el pandeo mediante grapas. El diseño de este tipo de muros depende esencialmente de la forma en que actúan sobre el las cargas, es decir, cargas concentradas o uniformemente distribuidas las cuales a su vez pueden ser excéntricas o actuantes en el tercio medio de su espesor. Otro punto importante que se debe tomar en cuenta es la magnitud de dichas cargas, ya que de esto depende el espesor del muro y la volumetría del acero de refuerzo. En la figura 3.2 se muestran muros sujetos a fuerzas axiales concentradas y excéntricas, también un armado del alma del muro con el refuerzo mínimo especificado en la sección 5.7 N.T.C. concreto y la restricción contra el pandeo mediante grapas. 79 Pu (Carga Concéntrica) Pu Pu Pu (Carga Excéntrica) L( An ch el od o ro) ctiv mu Efe o ch An (L c to tac on +4 t) t t 3 t 3 (Tercio medio) t As min (5.7 N.T.C. concreto) t Pandeo lateral (Flexocompresión) t Grapas # 3 @ 25 cm (Resticción contra pandeo) Figura 3.2 Muros sujetos a fuerzas axiales, localización del ancho efectivo y armado mínimo restringido contra pandeo. 6.2.2 Refuerzo mínimo y máximo La cuantía del refuerzo longitudinal de la sección no será menor que 2/fy (fy en MPa, o 20/ fy, con fy en kg/cm²) ni mayor que 0.06. El número mínimo de barras será seis en columnas circulares y cuatro en rectangulares. El refuerzo mínimo horizontal será el que se pide en la sección 5.7. 5.7 Refuerzo por cambios volumétricos En toda dirección en que la dimensión de un elemento estructural sea mayor que 1.5 m, el área de refuerzo que se suministre no será menor que: Donde: as1 = 660 x1 f y ( x1 + 1000 ) (5.3) ⎛ 660 x1 ⎞⎟ ⎜ as1 = ⎜ f y ( x1 + 100) ⎟⎠ ⎝ as1= área transversal del refuerzo colocado en la dirección que se considera, por unidad de ancho de la pieza, mm²/mm (cm²/cm). El ancho mencionado se mide perpendicularmente a dicha dirección y a x1; y x1= dimensión mínima del miembro medida perpendicular - mente al refuerzo, mm (cm). Si x1 no excede de 150 mm, el refuerzo puede colocarse en una sola capa. Si x1 es mayor que 150 mm, el refuerzo se colocará en dos capas próximas a las caras del elemento. En elementos estructurales expuestos directamente a la intemperie o en contacto con el terreno, el refuerzo no será menor de 1.5 as1 80 Por sencillez, en vez de emplear la fórmula anterior puede suministrarse un refuerzo mínimo con cuantía igual a 0.002 en elementos estructurales protegidos de la intemperie, y 0.003 en los expuestos a ella, o que estén en contacto con el terreno. La separación del refuerzo por cambios volumétricos no excederá de 500 mm ni de 3.5 x1 Debe aumentarse la cantidad de acero a no menos de 1.5 veces la antes prescrita, o tomarse otras precauciones en casos de contracción pronunciada (por ejemplo en morteros neumáticos) de manera que se evite agrietamiento excesivo. También, cuando sea particularmente importante el buen aspecto de la superficie del concreto. Puede prescindirse del refuerzo por cambios volumétricos en elementos donde desde el punto de vista de resistencia y aspecto se justifique. 3.1.3.- Diseño de muros sujetos a flexión en su plano. 6.5.2 (N.T.C concreto).- Muros sujetos a fuerzas horizontales en su plano 6.5.2.1 (N.T.C concreto).- Alcances y requisitos generales Las disposiciones de esta sección se aplican a muros cuya principal función sea resistir fuerzas horizontales en su plano, con cargas verticales menores que 0.3 f’c Ag, con relación L/t no mayor de 70 (donde L es la longitud horizontal del muro y t es el espesor del muro). Si actúan cargas verticales mayores, la relación L/ t debe limitarse a 40 y se aplicará lo dispuesto en las secciones 6.5.1 y 2.3. El espesor de estos muros no será menor de 130 mm; tampoco será menor que 0.06 veces la altura no restringida lateralmente, a menos que se realice un análisis de pandeo lateral de los bordes del muro, o se les suministre restricción lateral. En construcciones de no más de dos niveles, con altura de entrepiso no mayor que 3 m, el espesor de los muros puede ser de 100 mm. En el diseño de muros de cortante sujetos a flexión en su plano, es importante saber en cual de las dos condicionantes anteriores entran las características geométricas del muro que se pretende diseñar, ya que, estas son las que rigen el ancho (L) y espesor (t) del muro de acuerdo a la magnitud de las cargas verticales que soportan. Es muy importante tomar en cuenta estas condicionantes antes de iniciar con los procesos de diseño, de no ser así se pueden presentar diversos problemas de resistencia en el muro al analizar la fuerza cortante que soporta la sección y el tener espesores muy esbeltos con anchos demasiado largos puede generar problemas de flexocompresión en los extremos. Para evitar estos 81 problemas de flexocompresión se pueden emplear elementos laterales de restricción como patines, columnas ó muros. En la figura 3.3 se muestran muros con las dos condicionantes que determinar la geometría de los muros sujetos a fuerzas horizontales en su plano y algunos elementos de restricción lateral en muros. Pu Pu Pu > 0.30 f 'c Ag Hm Hm Pu < 0.30 f 'c Ag L t≥1 3m L L / t ≤ 70 t≥1 m Primera condicionante. Restricción lateral con Patines 3m L / t ≤ 40 m Segunda condicionante. Restricción lateral con Muros Alma del muro Restricción lateral con Columnas Alma del muro Alma del muro Tipos de restricción la teral en muros de cortante sujetos a flexión en su plano Figura 3.3 Condicionantes para diseño de muros y tipos de restricción lateral. 2.3 Flexocompresión Toda sección sujeta a flexocompresión se dimensionará para la combinación más desfavorable de carga axial y momento flexionante incluyendo los efectos de esbeltez. El dimensionamiento puede hacerse a partir de las hipótesis generales de la sección 2.1, o bien con diagramas de interacción construidos de acuerdo con ellas. El factor de resistencia, FR, se aplicará a la resistencia a carga axial y a la resistencia a flexión. 2.3.1 Excentricidad mínima La excentricidad de diseño no será menor que 0.05h ≥ 20 mm, donde h es la dimensión de la sección en la dirección en que se considera la flexión. 2.3.2 Compresión y flexión en dos direcciones Son aplicables las hipótesis de la sección 2.1. Para secciones cuadradas o rectangulares también puede usarse la expresión siguiente: PR = 1 1 1 1 + − PRx PRy PR 0 (2.16) Donde: 82 PR PR0 PRx PRy carga normal resistente de diseño, aplicada con las excentricidades ex y ey; carga axial resistente de diseño, suponiendo ex = ey = 0; carga normal resistente de diseño, aplicada con una excentricidad ex en un plano de simetría; y carga normal resistente de diseño, aplicada con una excentricidad ey en el otro plano de simetría. La ec 2.16 es válida para PR / PR 0 ≥ 0.1 Los valores de ex y ey deben incluir los efectos de esbeltez y no serán menores que la excentricidad prescrita en la sección 2.3.1. Para valores de PR / PR 0 menores que 0.1, se usará la expresión siguiente: M ux M uy + ≤ 1.0 M Rx M Ry Donde: Mux y Muy= momentos de diseño alrededor de los ejes X y Y; y MRx y MRy= momentos resistentes de diseño alrededor de los mismos ejes. Se usará Q=3 en el diseño por sismo de los muros a que se refiere esta sección y que resistan la totalidad de las fuerzas laterales inducidas. Se adoptará Q=2 cuando el muro no cumpla con los requisitos para elementos extremos de la sección 6.5.2.4. Si parte de las fuerzas laterales inducidas por el sismo son resistidas por otras formas estructurales, como marcos dúctiles o losas planas, se usará el valor de Q prescrito en los Capítulos 7 y 8, correspondientes de estas Normas. 6.5.2.2 (N.T.C concreto).- Momentos flexionantes de diseño En muros en que Hm/L ≥2, se considerará al momento flexionante de diseño a lo largo de Hcr con un valor constante e igual al momento Mu obtenido del análisis en la base del muro. La altura crítica Hcr será igual al menor de L o Mu /4Vu. A partir de la altura del muro, Hcr, se usará un diagrama de momentos flexionantes lineal tal que sea paralelo a la línea que une los momentos calculados en la base y en la punta del muro (fig. 6.6). En edificios con muros perimetrales de cimentación, se considerará el momento flexionante de magnitud constante a lo largo del primer nivel del sótano y de la altura crítica, Hcr, medida desde la planta baja hacia arriba. Considerando lo anterior, cuando la relación Hm/L es menor ó igual que 2, la magnitud del momento último calculado en la base del muro será la mima en toda la altura del muro, con esto se deduce que las secciones de muros comprendidas entre este parámetro menores a 2 serán por lo regular de forma cuadrada y ligeramente rectangular sin presentarse la esbeltez que propicia el pandeo lateral. 83 Así que, el área de acero a flexión calculada en la base del muro será la misma en todo lo largo del muro hasta su punta. En el caso contrario, cuando la relación Hm > 2 se presentarán secciones de muros que tienden a ser más altas y esbeltas, siendo estas más susceptibles a las deformaciones por pandeo lateral. Por ello se recurre a determinar una altura crítica Hcr donde se mantenga constante el momento último calculado en la base del muro y lo mismo se aplicará con la distribución del acero, este se mantendrá constante en Hcr y después se hará disminuir conforme el diagrama de momento flexionante. La figura 3.4 muestra los dos casos para la condicionante Hm / L y la forma en que se debe hacer variar el acero a flexión en los elementos extremos del muro. 6.5.2.3 (N.T.C concreto).- Flexión y flexocompresión a) Resistencia de muros a flexión y flexocompresión La resistencia a flexión o flexocompresión de muros se puede calcular como si fueran columnas cumpliendo con las especificaciones de las secciones 2.1 a 2.3, con excepción de las secciones 2.2.3 y 2.2.5. Con base en un análisis de compatibilidad de deformaciones, se deberá incluir todo el refuerzo vertical colocado dentro de un ancho efectivo de los patines (si existen), en los elementos extremos y el alma del muro. Toda barra de refuerzo tomada en cuenta en el cálculo de la resistencia deberá estar anclada como lo especifican las secciones 5.1.1, 5.1.2 y 5.1.4. Para este caso, la resistencia a flexión considerarlos como secciones empleando la ecuación 2.5 en muros se determinará a partir de rectangulares sujetas a flexión en su plano y ó 2.4 (N.T.C. concreto) se obtienen los momentos resistentes en cada sección. Así mismo despejando y sustituyendo al área de acero y el momento actuante respectivamente en las ecuaciones anteriores, obtenemos la cantidad de acero necesaria para contrarrestar la fuerza de flexión actuante. Esto, respetando los parámetros de cuantías mínima y máxima de acero permisibles expuestas en este mismo capítulo. 2.1 Hipótesis para la obtención de resistencias de diseño a flexión, carga axial y flexocompresión 84 La determinación de resistencias de secciones de cualquier forma sujetas a flexión, carga axial o una combinación de ambas, se efectuará a partir de las condiciones de equilibrio y de las siguientes hipótesis: a) La distribución de deformaciones unitarias longitudinales en la sección transversal de un elemento es plana; b) Existente adherencia entre el concreto y el acero de tal manera que la deformación unitaria del acero es igual a la del concreto adyacente; c) El concreto no resiste esfuerzos de tensión; d) La deformación unitaria del concreto en compresión cuando se alcanza la resistencia de la sección es 0.003; y e) La distribución de esfuerzos de compresión en el concreto, cuando se alcanza la resistencia de la sección, es uniforme con un valor f’’c igual a 0.85f*c hasta una profundidad de la zona de compresión igual a β1c Hm = Hcr = 2.20 m Elementos de refuerzo en los extremos Acero a flexión con reducciones Hcr = 1.50 m ó Mu/4Vu Hm = 4.00 m Acero a flexión recto y sin reducciones L = 3.00 m Muros con relación Hm / L ≤ 2 Muros con relación Hm / L > 2 L = 1.50 m Figura 3.4 Distribución del acero a flexión en muros. Donde: β1 = 0.85 ; si f*c ≤ 28MPa(280 Kg / cm2) f *c ≥ 0.65 ; si f*c>28 MPa 140 f *c ( β1 = 1.05 − ≥ 0.65 ; si f*c>280 Kg /cm2) 1400 β1 = 1.05 − c (2.1) profundidad del eje neutro medida desde la fibra extrema en compresión. El diagrama esfuerzo–deformación unitaria del acero de refuerzo ordinario, aunque sea torcido en frío, puede idealizarse por medio de una recta que pase por el origen, con pendiente igual a Es y una recta horizontal que pase por la ordenada correspondiente al esfuerzo de fluencia del acero, fy. En aceros que no presenten fluencia bien definida, la recta horizontal pasará por el esfuerzo convencional de fluencia. El esfuerzo convencional de fluencia se define por la intersección del diagrama esfuerzo–deformación unitaria con una recta paralela al tramo elástico, cuya abscisa al origen es 0.002, o como lo indique la norma respectiva de las mencionadas en la sección 1.5.2. Pueden utilizarse otras idealizaciones razonables, o bien la gráfica del acero empleado obtenida experimentalmente. En cálculos de elementos 85 de concreto presforzado deben usarse los diagramas esfuerzo–deformación unitaria del acero utilizado, obtenidos experimentalmente. La resistencia determinada con estas hipótesis, multiplicada por el factor FR correspondiente, da la resistencia de diseño. 2.2 Flexión 2.2.1 Refuerzo mínimo El refuerzo mínimo de tensión en secciones de concreto reforzado, excepto en losas perimetralmente apoyadas, será el requerido para que el momento resistente de la sección sea por lo menos 1.5 veces el momento de agrietamiento de la sección transformada no agrietada. Para valuar el refuerzo mínimo, el momento de agrietamiento se obtendrá con el módulo de rotura no reducido, ff definido en la sección 1.5.1.3. El área mínima de refuerzo de secciones rectangulares de concreto reforzado de peso normal, puede calcularse con la siguiente expresión aproximada. As , min = 0.22 f c′ bd fy (2.2) ⎛ 0.7 f c′ ⎞ ⎜ As , min = bd ⎟ ⎜ ⎟ f y ⎝ ⎠ Donde: b y d son el ancho y el peralte efectivo, no reducidos, de la sección, respectivamente. Sin embargo, no es necesario que el refuerzo mínimo sea mayor que 1.33 veces el requerido por el análisis. 2.2.2 Refuerzo máximo El área máxima de acero de tensión en secciones de concreto reforzado que no deban resistir fuerzas sísmicas será el 90 por ciento de la que corresponde a la falla balanceada de la sección considerada. La falla balanceada ocurre cuando simultáneamente el acero llega a su esfuerzo de fluencia y el concreto alcanza su deformación máxima de 0.003 en compresión. Este criterio es general y se aplica a secciones de cualquier forma sin acero de compresión o con él. En elementos a flexión que formen parte de sistemas que deban resistir fuerzas sísmicas, el área máxima de acero de tensión será 75 por ciento de la correspondiente a falla balanceada. Este último límite rige también en zonas afectadas por articulaciones plásticas, con excepción de lo indicado para marcos dúctiles en el inciso 7.2.2.a. Las secciones rectangulares sin acero de compresión tienen falla balanceada cuando su área de acero es igual a f c′′ 600 β1 bd f y f y + 600 (2.3) ⎛ f c′′ 6000 β1 ⎞ ⎜ bd ⎟ ⎜ f f + 6000 ⎟ ⎝ y y ⎠ Donde: f’’c tiene el valor especificado en el inciso 2.1.e, b y d son el ancho y el peralte efectivo de la sección, reducidos de acuerdo con la sección 1.6. En otras secciones, para determinar el área de acero que corresponde a la falla balanceada, se aplicarán las condiciones de equilibrio y las hipótesis de la sección 2.1. 86 2.2.4 Fórmulas para calcular resistencias Las condiciones de equilibrio y las hipótesis generales de la sección 2.1 conducen a las siguientes expresiones para resistencia a flexión, MR. En dichas expresiones FR se tomará igual a 0.9. a) Secciones rectangulares sin acero de compresión M R = FRbd 2 f c′′q(1 − 0.5q) (2.4) o bien M R = FR As f y d (1 − 0.5q) (2.5) Donde: q= pf y f c′′ (2.6) p= As bd (2.7) d d f’’c As ancho de la sección (sección 1.6); peralte efectivo (sección 1.6); esfuerzo uniforme de compresión (inciso 2.1 e); y área del refuerzo de tensión. b) Secciones rectangulares con acero de compresión ⎡ ⎤ a⎞ ⎛ M R = FR ⎢( As − As′ ) f y ⎜ d − ⎟ + As′ f y (d − d ′)⎥ 2⎠ ⎝ ⎣ ⎦ (2.8) Donde: a= ( As − As′ ) f y a As A’s d’ f c′b′ (2.9) profundidad del bloque equivalente de esfuerzos; área del acero a tensión; área del acero a compresión; y distancia entre el centroide del acero a compresión y la fibra extrema a compresión. La ec. 2.8 es válida sólo si el acero a compresión fluye cuando se alcanza la resistencia de la sección. Esto se cumple si p − p′ ≥ 600 β1 d ′ f c′′ 600 − f y d f y (2.10) ⎛ ′ ′′ ⎞ ⎜ p − p′ ≥ 6000 β1 d f c ⎟ ⎜ 6000 − f y d f y ⎟⎠ ⎝ Donde: p′ = As′ bd (2.11) Cuando no se cumpla esta condición, MR se determinará con un análisis de la sección basado en el equilibrio y las hipótesis de la sección 2.1; o bien se calculará aproximadamente con las ecs. 2.4 ó 2.5 despreciando el acero de compresión. En todos los casos habrá que revisar que el acero de tensión no exceda la cuantía máxima prescrita en la 87 sección 2.2.2. El acero de compresión debe restringirse contra el pandeo con estribos que cumplan los requisitos de la sección 6.2.3. c) Secciones T e I sin acero de compresión Si la profundidad del bloque de esfuerzos, a, calculada con la ec. 2.12 no es mayor que el espesor del patín, t, el momento resistente se puede calcular con las expresiones 2.4 ó 2.5 usando el ancho del patín a compresión como b. Si a resulta mayor que t, el momento resistente puede calcularse con la expresión 2.13. a= As f y f c′b′ (2.12) ⎡ t⎞ a ⎞⎤ ⎛ ⎛ M R = FR ⎢ Asp f y ⎜ d − ⎟ + (As − Asp ) f y ⎜ d − ⎟⎥ 2⎠ 2 ⎠⎦ ⎝ ⎝ ⎣ (2.13) Donde: Asp = a= b b’ f c′′(b − b′)t ; fy (A s − Asp ) f y f c′b′ ′ : ancho del patin; y ancho del alma. La ecuación 2.13 es válida si el acero fluye cuando se alcanza la resistencia. Esto se cumple si As ≤ f c′′ 600 β1 b′d + Asp f y f y + 600 (2.14) ⎞ ⎛ ′′ ⎜ As ≤ f c 6000 β1 b′d + Asp ⎟ ⎟ ⎜ f y f y + 6000 ⎠ ⎝ d) Flexión biaxial La resistencia de vigas rectangulares sujetas a flexión biaxial se podrá valuar con la ec. 2.17. (6.2.3 Requisitos para refuerzo transversal) 6.2.3.1 Criterio general El refuerzo transversal de toda columna no será menor que el necesario por resistencia a fuerza cortante y torsión, en su caso, y debe cumplir con los requisitos mínimos de los párrafos siguientes. Además, en los tramos donde se prevean articulaciones plásticas no será inferior al prescrito en la sección 6.8. 6.2.3.2 Separación Todas las barras o paquetes de barras longitudinales deben restringirse contra el pandeo con estribos o zunchos con separación no mayor que: a) 269/ y f veces el diámetro de la barra o de la barra más delgada del paquete (fy, en MPa, es el esfuerzo de fluencia de las barras longitudinales, o y f 850/ , con fy en kg/cm²); b) 48 diámetros de la barra del estribo; ni que c) La mitad de la menor dimensión de la columna. La separación máxima de estribos se reducirá a la mitad de la antes indicada en una longitud no menor que: a) la dimensión transversal máxima de la columna; 88 b) un sexto de su altura libre; ni que c) 600 mm Arriba y abajo de cada unión de columna con trabes o losas, medida a partir del respectivo plano de intersección. En los nudos se aplicará lo dispuesto en la sección 6.2.6. (6.2.6 Detalles del refuerzo en intersecciones con vigas o losas) El refuerzo transversal de una columna en su intersección con una viga o losa debe ser el necesario para resistir las fuerzas internas que ahí se produzcan, pero su separación no será mayor y su diámetro no será menor que los usados en la columna en las secciones próximas a dicha intersección. Al menos se colocarán dos juegos de refuerzo transversal entre los lechos superior e inferior del refuerzo longitudinal de vigas o losa. En marcos dúctiles, se aplicará lo dispuesto en la sección 7.4. Si la intersección es excéntrica, en el dimensionamiento y detallado de la conexión deben tomarse en cuenta las fuerzas cortantes, y los momentos flexionantes y torsionantes causados por la excentricidad. Cuando un cambio de sección de una columna obliga a doblar sus barras longitudinales en una junta, la pendiente de la porción inclinada de cada barra respecto al eje de columna no excederá de 1 a 6. Las porciones de las barras por arriba y por debajo de la junta serán paralelas al eje de la columna. Además deberá proporcionarse refuerzo transversal adicional al necesario por otros conceptos, en cantidad suficiente para resistir una y media veces la componente horizontal de la fuerza axial que pueda desarrollarse en cada barra, considerando en ella el esfuerzo de fluencia. 6.2.3.3 Detallado a) Estribos y zunchos Los estribos se dispondrán de manera que cada barra longitudinal de esquina y una de cada dos consecutivas de la periferia tenga un soporte lateral suministrado por el doblez de un estribo con un ángulo interno no mayor de 135 grados. Además, ninguna barra que no tenga soporte lateral debe distar más de 150 mm (libres) de una barra soportada lateralmente. Cuando seis o más varillas estén repartidas uniformemente sobre una circunferencia se pueden usar anillos circulares rematados como se especifica en la sección 5.1.7; también pueden usarse zunchos cuyos traslapes y anclajes cumplan con los requisitos de la sección 6.2.4. La fuerza de fluencia que pueda desarrollar la barra de un estribo o anillo no será menor que seis centésimas de la fuerza de fluencia de la mayor barra o el mayor paquete longitudinal que restringe. En ningún caso se usarán estribos o anillos de diámetro menores de 7.9 mm (número 2.5). Los estribos rectangulares se rematarán de acuerdo con lo prescrito en la sección 5.1.7. b) Grapas Para dar restricción lateral a barras que no sean de esquina, pueden usarse grapas formadas por barras rectas, cuyos extremos terminen en un doblez a 135 grados alrededor de la barra o paquete restringido, seguido de un tramo recto con longitud no menor que seis diámetros de la barra de la grapa ni menor que 80 mm. Las grapas se colocarán perpendiculares a las barras o paquetes que restringen y a la cara más próxima del miembro en cuestión. La separación máxima de las grapas se determinará con el criterio prescrito antes para estribos. La cimentación debe diseñarse para resistir las fuerzas demandadas por los elementos extremos y el alma. Si el muro posee aberturas, se deberá considerar su influencia en la resistencia a flexión y cortante (ver las secciones 6.5.2.4 y 6.5.2.5). Se deberá verificar que alrededor de las aberturas se pueda desarrollar un flujo de fuerzas tal que no exceda la resistencia de los materiales y que esté en equilibrio con el sistema de acciones o fuerzas internas de diseño (momentos flexionantes, cargas axiales, fuerzas cortantes). 89 En muros con patines se acepta considerar un ancho efectivo adyacente al alma del muro, tanto en el patín a compresión como a tensión, igual al menor de: 1) La mitad de la distancia al paño del alma del muro más cercano; o 2) 0.25 Hm. La figura 3.5 muestra un muro sujeto a flexión por fuerzas laterales horizontales, con patines como elementos extremos para contrarrestar el efecto del pandeo ó la flexocompresión. Y el flujo o distribución de las fuerzas actuantes y resistentes que se presentan en el muro. Opcionalmente, la resistencia de muros a flexión en su plano puede calcularse con la ec. 2.15 si la carga vertical de diseño, Pu no es mayor que 0.3FR t L f’c y la cuantía del acero a tensión As / t d, no excede de 0.008. En esta expresión, As es el acero longitudinal del muro colocado tal que el brazo z sea el obtenido con el criterio de las ecuaciones 6.10; y d es el peralte efectivo del muro en dirección de la flexión. Esta forma opcional de determinar el momento resistente en muros de concreto sujetos a flexión en su plano, es similar a la utilizada en el diseño de vigas diafragma y se emplea la ecuación 2.15 N.T.C. concreto. A diferencia del primer procedimiento para calcular las resistencias de lo muros, este restringe en gran medida el empleo de la ecuación 2.15 y es principalmente por la cuantía de acero (p) que permite, donde (p ≤ 0.008). Ya que la mayoría de los muros de cortante en estructuras de edificios altos son sometidos a resistir grandes magnitudes de cargas horizontales en su plano, conllevando a necesitar elevadas cantidades de acero para resistir la flexión actuante. 2.2.5 Resistencia a flexión de vigas diafragma Se consideran como vigas diafragma aquéllas cuya relación de claro libre entre apoyos, L, a peralte total, h, es menor que 2.5 si son continuas en varios claros, o menor que 2.0 si constan de un solo claro libremente apoyado. En su diseño no son aplicables las hipótesis generales de la sección 2.1. Si la cuantía As /b d es menor o igual que 0.008, la resistencia a flexión de vigas diafragma se puede calcular con la expresión: M R = FR As f y Z (2.15) 90 z = 1.2 H m H ⎞ ⎛ z = 0.4⎜1 + m ⎟ L L ⎠ ⎝ z = 0.8 L Hm ≤ 0.5 L H si 0.5 < m < 1.0 L H si 1.0 ≤ m L si (6.10) Donde, Hm es la altura total del muro, medida desde el empotramiento o desplante hasta su punta. El área de acero a tensión As no será menor que la obtenida por la ec. 2.2. Figura 6.6(N.T.C. concreto).- Diagrama de momento flexionante de diseño para muro b) Colocación de refuerzo vertical En muros con relación Hm/L no mayor que 1.2, el refuerzo vertical para flexión o flexocompresión que se calcule en la sección de momento máximo se prolongará recto y sin reducción en toda la altura del muro, distribuido en los extremos de éste en anchos iguales a (0.25 – 0.1 Hm/L)L, medido desde el correspondiente borde, pero no mayor cada uno que 0.4Hm. Si la relación Hm/L es mayor que 1.2, el refuerzo para flexión o flexocompresión se colocará en los extremos del muro en anchos iguales a 0.15L medidos desde el correspondiente borde. Arriba del nivel Hcr este refuerzo se puede hacer variar de acuerdo con los diagramas de momentos y carga axial, respetando las disposiciones de las secciones 5.1 y 6.5.2.2. 91 5.1 Anclaje 5.1.1 Requisito general La fuerza de tensión o compresión que actúa en el acero de refuerzo en toda sección debe desarrollarse a cada lado de la sección considerada por medio de adherencia en una longitud suficiente de barra o de algún dispositivo mecánico. 5.1.2 Longitud de desarrollo de barras a tensión 5.1.2.1 Barras rectas La longitud de desarrollo, Ld, en la cual se considera que una barra a tensión se ancla de modo que desarrolle su esfuerzo de fluencia, se obtendrá multiplicando la longitud básica, Ldb dada por la ec 5.1, por el factor o los factores indicados en la tabla 5.1. Las disposiciones de esta sección son aplicables a barras de diámetro no mayor que 38.1 mm (número 12). Ldb = 1.15as f y (c + K tr ) f c′ ≥ 0.36 db f y f c′ (5.1) ⎛ as f y db f y ⎞ ⎜ Ldb = ⎟ ≥ 0 . 11 ⎜ ⎟ ′ ′ ( ) + 3 c K f f tr c c ⎝ ⎠ Donde as c área transversal de la barra; separación o recubrimiento; úsese el menor de los valores siguientes: 1) distancia del centro de la barra a la superficie de concreto más próxima; 2) la mitad de la separación entre centros de barras. Ktr índice de refuerzo transversal; igual a Atr f yv 10sn ; si se usan MPa y mm, ( Atr f yv 100 sn , Kg/cm2 y cm); Atr área total de las secciones rectas de todo el refuerzo transversal comprendido en la separación s, cruza el plano potencial de agrietamiento entre las barras que se anclan; fyv esfuerzo especificado de fluencia de refuerzo transversal; s máxima separación centro a centro del refuerzo transversal, en una distancia igual a Ld; y n número de barras longitudinales en el plano potencial de agrietamiento. y que Por sencillez en el diseño, se permite suponer Ktr =0, aunque haya refuerzo transversal. En ningún caso Ld será menor que 300 mm. La longitud de desarrollo, Ld, de cada barra que forme parte de un paquete de tres barras será igual a la que requeriría si estuviera aislada, multiplicada por 1.20. Cuando el paquete es de dos barras no se modifica Ld. 5.1.2.2 Barras con dobleces Esta sección se refiere a barras a tensión que terminan con dobleces a 90 ó 180 grados que cumplan con los requisitos de la sección 5.5, seguidos de tramos rectos de longitud no menor que 12db para dobleces a 90 grados, ni menor que 4db para dobleces a 180 grados. En estas barras se toma como longitud de desarrollo la longitud paralela a la barra, comprendida entre la sección crítica y el paño externo de la barra después del doblez (fig. 5.1). La longitud de desarrollo se obtendrá multiplicando la longitud de desarrollo básica dada por la expresión: 0.24db f y / (0.076d b fy / f c′ f c′ ) (5.2) 92 por el factor o los factores de la tabla 5.2 que sean aplicables, pero sin que se tome menor que 150 mm ni que 8 db. Figura 5.1 Longitud de desarrollo de barras con dobleces 5.1.3 Longitud de desarrollo de barras a compresión La longitud de desarrollo de una barra a compresión será cuando menos el 60 por ciento de la que requeriría a tensión y no se considerarán efectivas porciones dobladas. En ningún caso será menor de 200 mm. 5.1.4 Vigas y muros 5.1.4.1 Requisitos generales En vigas y muros con cargas en su plano, la fuerza de tensión a la que se refiere la sección 5.1.1, se valuará con el máximo momento flexionante de diseño que obra en la zona comprendida a un peralte efectivo a cada lado de la sección. Los requisitos de la sección 5.1.1 y del párrafo anterior se cumplen para el acero a tensión, si: a) Las barras que dejan de ser necesarias por flexión se cortan o se doblan a una distancia no menor que un peralte efectivo más allá del punto teórico donde, de acuerdo con el diagrama de momentos, ya no se requieren. b) En las secciones donde, según el diagrama de momentos flexionantes, teóricamente ya no se requiere el refuerzo que se corta o se dobla, la longitud que continúa de cada barra que no se corta ni se dobla es mayor o igual que Ld + d. Este requisito no es necesario en las secciones teóricas de corte más próximas a los extremos de vigas libremente apoyadas. c) A cada lado de toda sección de momento máximo, la longitud de cada barra es mayor o igual que la longitud de desarrollo, Ld, que se define en la sección 5.1.2. d) Cada barra para momento positivo que llega a un extremo libremente apoyado, se prolonga más allá del centro del apoyo y termina en un doblez de 90 ó 180 grados, seguido por un tramo recto de 12db o 4db, respectivamente. 93 El doblez debe cumplir con los requisitos de la sección 5.5. En caso de no contar con un espacio suficiente para alojar el doblez, se empleará un anclaje mecánico equivalente al doblez. 5.1.4.2 Requisitos adicionales Los siguientes requisitos deben respetarse además de los anteriores: a) En extremos libremente apoyados se prolongará, sin doblar, hasta dentro del apoyo, cuando menos la tercera parte del refuerzo de tensión para momento positivo máximo. En extremos continuos se prolongará la cuarta parte. b) Cuando la viga sea parte de un sistema destinado a resistir fuerzas laterales accidentales, el refuerzo positivo que se prolongue dentro del apoyo debe anclarse de modo que pueda alcanzar su esfuerzo de fluencia en la cara del apoyo. Al menos la tercera parte del refuerzo negativo que se tenga en la cara de un apoyo se prolongará más allá del punto de inflexión una longitud no menor que un peralte efectivo, ni que 12db , ni que un dieciseisavo del claro libre. 94 5.1.5 Columnas En las intersecciones con vigas o losas las barras de las columnas serán continuas y en su caso cumplirán con las disposiciones de las secciones 7.4.5 u 8.2.b.2. Las barras longitudinales de columnas de planta baja se anclarán en la cimentación de manera que en la sección de la base de la columna puedan alcanzar un esfuerzo igual al de fluencia en tensión multiplicado por 1.25. En columnas que deban resistir fuerzas laterales accidentales, se supondrá que se cumple el requisito de la sección 5.1.1, si la longitud de desarrollo de toda barra longitudinal no es mayor que dos tercios de la altura libre de la columna. 5.1.6 Anclajes mecánicos Cuando no haya espacio suficiente para anclar barras por medio de doblez, se pueden usar anclajes mecánicos. Estos deben ser capaces de desarrollar la resistencia del refuerzo por anclar, sin que se dañe el concreto. Pueden ser, por ejemplo, placas soldadas a las barras, o dispositivos manufacturados para este fin. Los anclajes mecánicos deben diseñarse y en su caso comprobarse por medio de ensayes. Bajo cargas estáticas, se puede admitir que la resistencia de una barra anclada es la suma de la contribución del anclaje mecánico más la adherencia en la longitud de barra comprendida entre el anclaje mecánico y la sección crítica. Elementos típicos en los que pueden ser necesarios los anclajes mecánicos son las vigas diafragma y las ménsulas. 5.1.7 Anclaje del refuerzo transversal El refuerzo en el alma debe llegar tan cerca de las caras de compresión y tensión como lo permitan los requisitos de recubrimiento y la proximidad de otro refuerzo. Los estribos deben rematar en una esquina con dobleces de 135 grados, seguidos de tramos rectos de no menos de 6db de largo, ni menos de 80 mm. En cada esquina del estribo debe quedar por lo menos una barra longitudinal. Los radios de doblez cumplirán con los requisitos de la sección 5.5. Las barras longitudinales que se doblen para actuar como refuerzo en el alma deben continuarse como refuerzo longitudinal cerca de la cara opuesta si esta zona está a tensión, o prolongarse una longitud Ld más allá de la media altura de la viga si dicha zona está a compresión. 95 5.1.8 Anclaje de malla de alambre soldado Se supondrá que un alambre puede desarrollar su esfuerzo de fluencia en una sección si a cada lado de ésta se ahogan en el concreto cuando menos dos alambres perpendiculares al primero, distando el más próximo no menos de 50 mm de la sección considerada. Si sólo se ahoga un alambre perpendicular a no menos de 50 mm de la sección considerada, se supondrá que se desarrolla la mitad del esfuerzo de fluencia. La longitud de un alambre desde la sección crítica hasta su extremo no será menor que 200 mm. 5.2 Revestimientos Los revestimientos no se tomarán en cuenta como parte de la sección resistente de ningún elemento, a menos que se suministre una liga con él, la cual esté diseñada para transmitir todos los esfuerzos que puedan presentarse y que dichos revestimientos no estén expuestos a desgaste o deterioro. Cuando sean necesarios los elementos extremos a que se refiere la sección 6.5.2.4, el refuerzo por flexión se colocará en dichos elementos independientemente de la relación Hm/ L. La relación Hm/L define las dimensiones en las que será distribuido el acero determinado por la flexión o flexocompresión a la que esta sujeto el muro, es importante mencionar que cuando se tengan áreas de acero mayores que las requeridas por los elementos extremos el armado de estos extremos se hará con la mayor área de acero determinada según sea el caso. c) Restricción contra pandeo del refuerzo vertical El refuerzo cuyo trabajo a compresión sea necesario para lograr la resistencia requerida debe restringirse contra el pandeo con estribos o grapas que cumplan con las disposiciones de la sección 6.2.3. 6.5.2.4 (N.T.C concreto).- Elementos de refuerzo en los extremos de muros Se evaluará la necesidad de suministrar elementos de refuerzo en las orillas de muros de conformidad con lo dispuesto en los incisos 6.5.2.4.a o 6.5.2.4.b (fig. 6.7). Los elementos de borde deberán satisfacer el inciso 6.5.2.4.c. En muros con patines se usará un ancho efectivo del patín igual a la definida en el inciso 6.5.2.3.a. El concepto elementos de refuerzo ó elementos de borde se refieren propiamente a la concentración del acero necesaria para contrarrestar los esfuerzos de tensión y 96 compresión que se presentan en el muro, la distribución de este acero dependerá básicamente de las características geométricas del muro: ancho, altura, espesor y modo de deformación originados por las cargas. a) Los requisitos de este inciso son aplicables a muros o segmentos de muro continuos, desde la base de la estructura hasta la punta del muro y que estén diseñados para formar una articulación plástica bajo flexión y carga axial. Se entiende por segmento de un muro a la porción de éste entre aberturas o entre una abertura y un borde vertical. Los muros o segmentos que no satisfagan lo anterior se deberán diseñar según el inciso 6.5.2.4.b. Se deberá suministrar elementos extremos en las zonas a compresión del muro, o de un segmento de muro, si: c≥ L 600(QΔ / H ) (6.11) Donde QΔ/Η no deberá ser menor que 0.007. H será la altura total del muro, o la altura del segmento, según corresponda; c profundidad del eje neutro calculada a partir de las hipótesis de la sección 2.1 y que corresponde al momento resistente (momento resistente de diseño con factor de resistencia unitario) cuando el muro se desplace una cantidad QΔ. La carga axial es la carga axial de diseño consistente con la combinación de cargas y fuerzas que produzca el desplazamiento lateral QΔ ; y QΔ corresponde al desplazamiento inelástico producido por el sismo de diseño. Ver figura 3.5. El hecho de que (c ) sea mayor que el cociente c≥ L 600(QΔ / H ) , depende esencialmente de la relación que exista entre QΔ y H, entonces se deduce que será necesario emplear elementos extremos de acuerdo al inciso “a”: si existen 97 desplazamientos inelásticos muy grandes y si la geometría del muro es muy esbelta a tal grado que después de verificar la relación QΔ/H se obtengan valores mayores a 0.007. Cuando se necesiten elementos extremos según la ec. 6.11, el refuerzo de ellos se extenderá verticalmente en la altura crítica, Hcr (sección 6.5.2.2), medida a partir de la sección crítica (fig.6.7). M actuante Eje σmàx (Esfuerzo máximo de compresión) Elemento extremo F C Area del elemento extremo (A ext.) ΔQ Entrepiso Extremo Alma del Muro Tensión Compresión Si Corte A-A' σ Extremo = F/A ext., y si F = Po máx. Entonces F = Po = σmáx. X A ext. Flujo de esfuerzos al rededor de la abertura Elemento extremo T F Entrepiso Detalle A (Abertura) Tensión Compresión M actuante C T σmàx (Esfuerzo máximo de compresión) A A' C Elemento extremo Alzado Extremo Alma del Muro Extremo Detalle "A" Modo de deformación en aberturas Figura 3.5 Comportamiento de los esfuerzos y desplazamientos en un muro con aberturas bajo flexión en su plano. En edificios con muros perimetrales de cimentación mucho más rígidos que los superiores, los elementos de refuerzo en los extremos se extenderán en la altura del primer entrepiso del sótano. b) En muros o segmentos de muro no diseñados de acuerdo con el inciso 6.5.2.4.a, se deberán suministrar elementos de refuerzo en las orillas del muro y en bordes de aberturas donde el esfuerzo de compresión en la fibra más esforzada exceda de 0.2f’c bajo las cargas del diseño incluyendo el sismo. Los elementos de refuerzo pueden interrumpirse en las zonas donde el máximo esfuerzo de compresión 98 calculado sea menor que 0.15f’c. Los esfuerzos se calcularán con las cargas de diseño, usando un modelo elástico lineal y las propiedades de secciones brutas. Los modelos elásticos lineales se emplean en el análisis y diseño de estructuras por medio de programas computacionales, es decir, consiste en la modelación de una estructura con las mismas propiedades y características geométricas de una estructura que se pretenda estudiar su comportamiento mediante la aplicación de diferentes fuerzas actuantes. La ventaja de emplear programas computacionales para analizar y diseñar estructuras, es la acción de poder manipular la mayor parte de las variables: cargas, secciones de elementos, propiedades de los materiales, normatividad de diseño, unidades, grados de libertad en los nodos, etc. Y así obtener los elementos mecánicos (momentos, cortantes, esfuerzos) de cualquier forma estructural sujeta a diferentes combinaciones de cargas. El elemento extremo se dimensionará como columna corta para que resista, como carga axial, la fuerza de compresión que le corresponda, calculada en la base del muro cuando sobre éste actúe el máximo momento de volteo causado por las fuerzas laterales y las cargas debidas a la gravedad, incluyendo el peso propio y las que le transmita el resto de la estructura. Se incluirán los factores de carga y de resistencia que corresponda. Las columnas cortas son elementos estructurales que se diseñan únicamente para soportar cargas axiales, es decir, esfuerzos de compresión ó tensión actuantes en el eje vertical del elemento. El diseño de columnas cortas queda exento de aplicarse cuando se tengan cargas excéntricas ó horizontales que generen momentos flexionantes. El dimensionamiento de los extremos de muros se hará considerando el área transversal determinada mediante el producto del espesor por el ancho efectivo del extremo (inciso 6.5.2.4 c.1), considerando la ecuación P0 = σ y × A , el área del extremo del muro (A) y el esfuerzo máximo a compresión ó tensión actuante (σy) en la base del muro se calculará la fuerza (P0) de diseño. Ver figura 3.5. c) Cuando se requieran elementos de refuerzo en los extremos de muros y bordes de aberturas, según los incisos 6.5.2.4.a o 6.5.2.4.b, se deberá cumplir simultáneamente que (fig. 6.7): 99 1) El elemento de refuerzo se extienda en una distancia a partir de la fibra extrema en compresión al menos igual al mayor de (c – 0.1L) y c/2; 2) En muros con patines, el elemento de refuerzo abarque el ancho efectivo del patín a compresión (inciso 6.5.2.3.a) y se extienda al menos 300 mm dentro del alma; 3) El elemento extremo cuente, a todo lo largo, con el refuerzo transversal mínimo que se especifica en el inciso 7.3.4.c para elementos a flexocompresión, con excepción de la ec. 7.4; 7.3.4. b) Se suministrará el refuerzo transversal mínimo que se especifica en el inciso 7.3.4.c en una longitud en ambos extremos del miembro y a ambos lados de cualquier sección donde sea probable que fluya por flexión el refuerzo longitudinal ante desplazamientos laterales en el intervalo inelástico de comportamiento. La longitud será la mayor de: 1) La mayor dimensión transversal del miembro; 2) Un sexto de su altura libre; o 3) 600 mm. En la parte inferior de columnas de planta baja este refuerzo debe llegar hasta media altura de la columna, y debe continuarse dentro de la cimentación al menos en una distancia igual a la longitud de desarrollo en compresión de la barra más gruesa. 7.3.4.c) Cuantía mínima de refuerzo transversal 1) En columnas de núcleo circular, la cuantía volumétrica de refuerzo helicoidal o de estribos circulares, ps, no será menor que la calculada con las ecs. 6.3. 2) En columnas de núcleo rectangular, la suma de las áreas de estribos y grapas, Ash, en cada dirección de la sección de la columna no será menor que la obtenida a partir de las ecs. 7.3 y 7.4. donde bc es la dimensión del núcleo del elemento a flexocompresión, normal al refuerzo con área Ash y esfuerzo de fluencia fyh (fig. 7.4). ⎛A ⎞ f′ 0.3⎜⎜ g − 1⎟⎟ c sbc ⎝ Ac ⎠ f yh f′ 0.09 c sbc f yh (7.3) (7.4) 4) La separación del refuerzo transversal no exceda la menor de: – La mitad del espesor del muro; – Seis veces el diámetro de la barra longitudinal más gruesa; o – 150 mm; 5) El refuerzo transversal del elemento se continúe dentro de la cimentación cuando menos en una distancia igual a la longitud de desarrollo de la barra 100 longitudinal más gruesa o del paquete de barras longitudinales más gruesas del elemento extremo, con excepción de que el elemento extremo termine en una zapata o losa de cimentación, caso en que el refuerzo transversal se extenderá 300 mm dentro de la cimentación. Ver figura 3.6 6) El refuerzo horizontal de muros se ancle en los núcleos confinados de los elementos extremos de manera que pueda alcanzar su esfuerzo de fluencia; y 7) Las uniones soldadas o con dispositivos mecánicos cumplan con lo especificado en las secciones 7.1.6 ó 7.1.7. Figura 7.3 Detallado de elementos a flexocompresión de marcos dúctiles 7.1.6 Uniones soldadas de barras a) Las uniones soldadas de barras deberán cumplir con la sección 5.6.1.3. No se deberán usar en una distancia igual a dos veces el peralte del elemento medida desde el paño de la columna o de la viga, o a partir de las secciones donde es 101 probable que el refuerzo longitudinal alcance su esfuerzo de fluencia como resultado de desplazamientos laterales en el intervalo inelástico de comportamiento del marco. b) No se permite soldar estribos, grapas, accesorios u otros elementos similares al refuerzo longitudinal requerido por diseño. 7.1.7 Dispositivos mecánicos para unir barras a) Se aceptarán dos tipos 1) El Tipo 1 deberá cumplir los requisitos de la sección 5.6.1.3; y 2) El Tipo 2, además de cumplir con la sección 5.6.1.3, deberá ser capaz de alcanzar la resistencia especificada a tensión de la barra por unir. b) Los dispositivos mecánicos del Tipo 1 no se deberán usar en una distancia igual a dos veces el peralte del elemento medida desde el paño de la columna o de la viga, o a partir de las secciones donde es probable que el refuerzo longitudinal alcance su esfuerzo de fluencia como resultado de desplazamientos laterales en el intervalo inelástico de comportamiento del marco. c) Se podrán usar los dispositivos mecánicos Tipo 2 en cualquier lugar. Alma del muro Ld Ld Extremos Desplante de muro Extremos Acero de refuerzo transversal anclado en el alma del muro Acero de refuerzo en el alma del muro Acero de refuerzo en los extremos Proyección de losa de cimentación N.T.N. Zapata Cimentación Contra Trabe Ld. min 300 cm. Zapata corrida Figura 3.6 Colocación del acero para el desplante del muro y el confinamiento del acero a flexión. d) Cuando no se requieran elementos de refuerzo como los indicados en los incisos 6.5.2.4.a a 6.5.2.4.c, se deberá satisfacer que: 1) Si la cuantía del refuerzo longitudinal del muro colocado en el entrepiso es mayor que 2.8/fy, en MPa (28/ fy, en kg/cm²), se deberá colocar refuerzo 102 transversal que cumpla con el inciso 7.3.4.d y que se extienda una distancia a partir de la fibra extrema en compresión al menos igual al mayor de (c – 0.1L) y c/2. La separación máxima del refuerzo transversal no excederá de 200 mm. 2) Excepto cuando la fuerza cortante de diseño Vu en el plano del muro sea menor que: 0.083 Acm f *c ; (0.26 A cm f *c ); si se usan mm2 y Mpa si se usan cm2 y Kg/cm2 el refuerzo horizontal que termine en los bordes de un muro sin elementos de refuerzo, deberá rematarse mediante un doblez que rodee el refuerzo longitudinal extremo del muro (fig. 6.7). Acm es el área bruta de la sección de concreto, calculada como el producto del espesor por la longitud del muro. Ver figura 3.7 Opcionalmente, el refuerzo longitudinal extremo del muro se podrá confinar con estribos en forma de letra U, que tengan el mismo diámetro y separación que el refuerzo horizontal. Estos estribos se extenderán hacia el alma del muro cuando menos en una distancia igual a la longitud de traslape medida desde la cara interna e de las barras longitudinales extremas reforzadas transversal-mente. Ver figura 3.7 Ancho del muro LT e LT Ancho del muro Figura 3.7 Refuerzo horizontal del muro cuando no existen elementos de refuerzo en los extremos. 6.5.2.5 (N.T.C concreto).- Fuerza cortante. a) Fuerza cortante que toma el concreto 103 La fuerza cortante, VcR, que toma el concreto en muros se determinará con el criterio siguiente: 1) Si la relación de altura total a longitud, Hm/L del muro o H/ L del segmento no excede de 1.5, se aplicará la ecuación 6.12 VcR = 0.27 FR f *c × t × L (V cR = 0.85FR f *c × t × L ) (6.12) 2) Si Hm/L es igual a 2.0 o mayor, se aplicarán las expresiones 2.19 ó 2.20 en las que b se sustituirá por el espesor del muro, t; y el peralte efectivo del muro se tomará igual a 0.8L. Cuando Hm/ L esté comprendido entre 1.5 y 2.0 puede interpolarse linealmente. 3) En muros con aberturas, para valuar la fuerza cortante que toma el concreto en los segmentos verticales entre aberturas o entre una abertura y un borde, se tomará la mayor relación altura a longitud entre la del muro completo y la del segmento considerado. b) Fuerza cortante que toma el acero del alma El refuerzo necesario por fuerza cortante se determinará a partir de las ecs. 6.13 y 6.14, respetando los requisitos de refuerzo mínimo que se establecen en 6.5.2.5.c. La cuantía de refuerzo paralelo a la dirección de la fuerza cortante de diseño, pm, se calculará con la expresión. Ver figura 3.8 Pm = Vu − VcR FR × fy × Acm (6.13) y la del refuerzo perpendicular a la fuerza cortante de diseño, pn, con: 104 H ⎞ ⎛ Pn = 0.0025 + 0.5⎜ 2.5 − m ⎟(Pm − 0.0025) L ⎠ ⎝ Donde: Pm = Avm ; sm t Pn = (6.14) Avn ; sn t sm, sn = separación de los refuerzos paralelo y perpendicular a la fuerza cortante de diseño, respectivamente; Avm = área de refuerzo paralelo a la fuerza cortante de diseño comprendida en una distancia sm; y Avn = área de refuerzo perpendicular a la fuerza cortante de diseño comprendida en una distancia sn. Ver figura 3.8 No es necesario que la cuantía de refuerzo pn por fuerza cortante sea mayor que pm. Si la relación Hm/L no excede de 2.0, la cuantía pn no debe ser menor que pm. Las barras verticales deben estar ancladas de modo que en la sección de la base del muro sean capaces de alcanzar su esfuerzo de fluencia. Ver figura 3.8 105 Alma del muro Extremo Ld Extremo Entrepiso Hm Pm Pn Ld Entrepiso Pm e Pn Ancho del muro Figura 3.8 Colocación del refuerzo en el alma del muro, acero paralelo y perpendicular a la fuerza cortante. c) Refuerzo mínimo, separación y anclaje del refuerzo Las cuantías de refuerzo pm y pn no serán menores de 0.0025. El refuerzo se colocará uniformemente distribuido con separación no mayor de 350 mm (fig. 6.7). Se pondrá en dos capas, cada una próxima a una cara del muro, cuando el espesor de éste exceda de 150 mm, o el esfuerzo cortante medio debido a las cargas de diseño sea mayor que 0.19 f *c en MPa (o 0.6 f *c en kg/cm²); en caso contrario, se podrá colocar en una capa a medio espesor. Todas las barras horizontales y verticales deben estar ancladas de modo que sean capaces de alcanzar su esfuerzo de fluencia. 106 Figura 6.7 Detallado de muros 107 d) Limitación para Vu En ningún caso se admitirá que la fuerza cortante de diseño, Vu, sea mayor que (6.15) 0.63FR Acm f *c (2F A R cm f *c ) e) Aberturas Se proporcionará refuerzo en la periferia de toda abertura para resistir las tensiones que puedan presentarse. Como mínimo deben colocarse dos barras de 12.7 mm de diámetro (número 4), o su equivalente, a lo largo de cada lado de la abertura. El refuerzo se prolongará una distancia no menor que su longitud de desarrollo, Ld, desde las esquinas de la abertura. Ver figura 3.9 Se deberá revisar la necesidad de suministrar refuerzo en un extremo según los incisos 6.5.2.4.a o 6.5.2.4.b. Las aberturas deben tomarse en cuenta al calcular rigideces y resistencias. f) Juntas de colado Todas las juntas de colado cumplirán con las secciones 14.3.10 y 2.5.10. Ld A s m in = 2 V a `# 4 (e n c a d a b o rd e d e la a b e rtu ra ) A b e rtu ra e n m u ro Ld A n ch o d e l m u ro Figura 3.9 Colocación del acero mínimo en los bordes de aberturas. 6.5.2.6 (N.T.C concreto).- Muros acoplados. Todas las reglas señaladas anteriormente serán válidas para los segmentos de muros que formen parte de muros acoplados destinados a resistir fuerzas laterales en su plano. 108 Las vigas de acoplamiento se diseñarán y detallarán según lo especificado en la sección 6.1.4.5. 6.1.4.5 Vigas diafragma que unen muros sujetos a fuerzas horizontales en su plano (vigas de acoplamiento) El refuerzo de vigas diafragma con relaciones L/ h no mayores de 2, que unen muros sujetos a fuerzas horizontales inducidas por el sismo, constará de dos grupos de barras diagonales dispuestas simétricamente respecto al centro del claro, según se indica en la fig. 6.5. Se supondrá que cada grupo forma un elemento que trabajará a tensión o compresión axiales y que las fuerzas de interacción entre los dos muros, en cada viga, se transmiten sólo por las tensiones y compresiones en dichos elementos. Para determinar el área de acero longitudinal de cada diagonal Asd, se despreciará el concreto y se usará la ec. 6.1. Vu = 2 FR Asd f y senθ ≤ 0.78FR f * c bd (V f c bd u = 2 FR Asd f y senθ ≤ 2.5 FR * (6.1) ) Donde Asd área total del refuerzo longitudinal de cada diagonal; y θ ángulo que forma el elemento diagonal con la horizontal. El ancho de estas vigas será el mismo que el espesor de los muros que unen. Cada elemento diagonal constará de no menos de cuatro barras rectas sin uniones. Los lados de los elementos diagonales, medidos perpendicularmente a su eje y al paño del refuerzo transversal, deberán ser al menos iguales a b/2 para el lado perpendicular al plano de la viga (y del muro) y a b/5 para el lado en el plano de la viga. Cada extremo del elemento diagonal estará anclado en el muro respectivo una longitud no menor que 1.5 veces Ld, obtenida ésta según la sección 5.1.2. Si los muros que unen tienen elementos extremos de refuerzo diseñados según los incisos 6.5.2.4.a o 6.5.2.4.b, la longitud de anclaje del refuerzo diagonal se podrá reducir a 1.2 veces Ld. Las barras de los elementos diagonales se colocarán tan próximas a las caras de la viga como lo permitan los requisitos de recubrimiento, y se restringirán contra el pandeo con estribos o hélices que, en el tercio medio del claro de la viga, cumplirán con los requisitos de la sección 6.2.3. En los tercios extremos, la separación se reducirá a la mitad del que resulte en el central. Los estribos o el zuncho que se use en los tercios extremos se continuarán dentro de cada muro en una longitud no menor que L/8, a menos que el muro cuente con los elementos de refuerzo extremos que se tratan en la sección 6.5.2.4. En el resto de la viga se usará refuerzo vertical y horizontal que en cada dirección cumpla con los requisitos para refuerzo por cambios volumétricos de la sección 5.7. Este refuerzo se colocará en dos capas próximas a las caras de la viga, por afuera del refuerzo diagonal. 109 Figura 6.5 Refuerzo de una viga diafragma que une muros sujetos a fuerzas horizontales en su plano 110 Capítulo 4 Diseño de muros de Cortante en Edificios. 4.1.- Descripción de los proyectos. En este capítulo se presentan dos proyectos arquitectónicos de edificios con once niveles destinados al uso habitacional, los cuales arquitectónicamente son similares pero estructuralmente diferentes, como el tema centran esta enfocado esencialmente al diseño de muros de concreto reforzado, cada proyecto tiene una estructuración a base de marcos y muros de concreto con distribuciones diferentes, esto con la finalidad de obtener diversos tipos de muros de cortante para su diseño. El diseño estructural de los edificios se llevo a cabo por medio del programa para análisis estructural STADD. Pro 2003, herramienta útil y eficaz en la obtención de los elementos mecánicos a los cuales están sujetas dichas estructuras. Una vez obtenidos los datos del análisis se procedió al diseño estructural de los muros de cortante, elaborado en base a lo estipulado por las Normas Técnicas Complementarias para el Diseño y Construcción de Estructuras de Concreto. 2004 del R.C.D.F. Incluyendo también el diseño de elementos estructurales ligados al comportamiento y uso de los muros de cortante: vigas de conexión (vigas de acoplamiento) y elementos de refuerzo en los extremos. 4.1.1.- Proyecto I Edificio de 11 niveles para uso habitacional, estructura de concreto reforzado clasificada según el R.C.D.F. como “B” y ubicada en zona sísmica III, con coeficiente sísmico igual a 0.40, factor de comportamiento sísmico igual a 3 y factores de carga igual a 1.40 y 1.1 para carga gravitacional y sísmica respectivamente. La planta baja del edificio esta destinada para ubicar cajones de estacionamiento, en los pisos del 1 al 10 se ubicaran 4 departamentos por nivel los cuales a su vez tendrán: 2 recámaras, 1 sala comedor, 1 baño completo, cocina y zotehuela., así como se muestra en el plano arquitectónico de la figura 4.1. El nivel 11 estará destinado para la azotea y cuarto de máquinas. Estructuración a base de marcos y muros de cortante colocados simétricamente, formados por columnas, trabes, muros y losas de concreto reforzado clase I, f´c = 250 Kg/cm2, fy = 4200 Kg/cm2. Los muros divisorios de los departamentos son de mampostería cubiertos con mortero cemento arena y yeso, los pisos y muros de baños estarán cubiertos de loseta y azulejo respectivamente, todos los techo serán de falso plafón de tablaroca y la toda la cancelaría de aluminio con cristal de 13 mm. Los muros de cortante formarán el cubo de servicios donde se encuentran ubicados los elevadores y las escaleras, estarán desplantados desde la cimentación hasta el nivel 11, formando segmentos de muro en cada entrepiso de 3.20 m en planta baja y 2.60 m en los niveles siguientes, con un espesor de 20 cm y estarán conectados entre aberturas por vigas de conexión o de acoplamiento con sección de 20 x 60 cm. Los marcos formaran el resto de la estructura con columnas perimetrales de 40 x 60 y 40 x 40 cm, columnas centrales de 80 x 50 cm y trabes de 30 x 60 cm que soportaran losas de 10 cm de espesor. Ver el planos de la figura 4.2. y 4.3. 111 112 4 A 3 2 RECAMARA 1 RECAMARA 2 RECAMARA 2 RECAMARA 1 BAÑO BAÑO COCINA ESTANCIA ESTANCIA ZOTEHUELA ZOTEHUELA COCINA ESTANCIA ESTANCIA COCINA PLANTA TIPO NIVELES 1 A 10 ZOTEHUELA HUECO DE ELEVADOR ZOTEHUELA D BAÑO BAÑO E RECAMARA 1 RECAMARA 2 RECAMARA 2 RECAMARA 1 F A' Cto. Interior Rio Churubusco N IPN Plano. PLANTA ARQUITECTONICA MARTIN GERARDO LOPEZ OLVERA " DISEÑO DE MUROS DE CORTANTE EN EDIFICIOS ALTOS " TESIS PROFESIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA Notas Generales. Simbologia. Calle 6 Calle 4 Calle 2 Calz. Ignacio Zragoza Croquis de Localización. Calle: 3 , Num. 41 Col. Valentin Goméz Farias Del. Venustiano Carranza C.P. 15010. Distrito Federal Ubicación. PROYECTO 1 "EDIFICIO PARA DEPARTAMENTOS" Calle 1 COCINA C Figura 4.1 Plano Arquitectónico (planta) Proyecto I. B Calle 3 1 A Proyecto. Calle 5 113 4 A 3 2 C-4 C-3 C-2 C-1 T-1 T-1 T-1 M-2 T-1 T-1 T-2 T-2 C-2 T-1 M-1 T-1 C-2 PLANTA TIPO NIVELES 1 A 11 C-2 T-1 M-1 M-2 T-1 C-2 T-1 T-1 T-1 T-1 E C-2 T-1 C-4 T-1 C-4 T-1 C-2 Figura 4.2 Plano Estructural (planta) Proyecto I. T-1 T-1 T-1 T-1 T-1 T-1 C-4 C-3 T-1 T-1 T-1 D T-1 T-1 T-1 T-1 C-1 T-1 C-3 T-1 C-3 T-1 C-1 F A' N IPN Plano. PLANTA ESTRUCTURAL MARTIN GERARDO LOPEZ OLVERA " DISEÑO DE MUROS DE CORTANTE EN EDIFICIOS ALTOS " TESIS PROFESIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA * Coeficiente sismico = 0.40 * Carga total (C.M + C.V. ) distribuida sin factorizar en losa de entrepiso = 940 Kg/ m2 * Carga total (C.M + C.V. ) distribuida sin factorizar en losa de azotea = 720 Kg/ m2 * Concreto clase I, f'c=250 Kg/cm2 * Acero fy= 4200 Kg/ cm2 * Factor de carga = 1.4 * Zona Sismica III * Estructura del grupo "B" segun R.C.D.F. Notas Generales. C-1 = Columna de 40 x 40 cm C-2 = Columna de 40 x 60 cm C-3 = Columna de 60 x 40 cm C-4 = Columna de 80 x 50 cm T-1 = Viga de 60 x 30 cm T-2 = Viga de 60 x 20 cm M-1= Muro de Cortante (1) esp. 20cm M-2= Muro de Cortante (2) esp. 20cm Simbologia. Calle 6 Calle 4 Calle 2 Calz. Ignacio Zragoza Croquis de Localización. Calle: 3 , Num. 41 Col. Valentin Goméz Farias Del. Venustiano Carranza C.P. 15010. Distrito Federal Ubicación. PROYECTO 1 "EDIFICIO PARA DEPARTAMENTOS" Calle 1 C-2 T-1 T-1 C Cto. Interior Rio Churubusco C-1 B Calle 3 1 A Proyecto. Calle 5 Proyecto. A D C B E F PROYECTO I "EDIFICIO PARA DEPARTAMENTOS" Ubicación. Calle: 3 , Num. 41 Col. Valentin Goméz Farias Del. Venustiano Carranza C.P. 15010. Distrito Federal M-1 T-1 C-4 M-1 M-2 T-1 Calle 4 Calle 5 T- 2 Calle 2 Calle 3 T-1 C-4 N Calz. Ignacio Zragoza Calle 1 T-1 C-3 Croquis de Localización. Cto. Interior Rio Churubusco M-2 Calle 6 C-3 Simbologia. T-1 C-3 T-1 T- 2 T-1 C-4 T-1 C-3 T-1 C-4 T-1 C-3 T- 2 T-1 C-4 C-3 T-1 C-4 M-1 M-2 C-1 = Columna de 40 x 40 cm C-2 = Columna de 40 x 60 cm C-3 = Columna de 60 x 40 cm C-4 = Columna de 80 x 50 cm T-1 = Viga de 60 x 30 cm T-2 = Viga de 60 x 20 cm M-1= Muro de Cortante (1) esp. 20cm M-2= Muro de Cortante (2) esp. 20cm T-1 T-1 T- 2 C-3 C-4 M-1 M-2 T-1 C-4 M-1 M-2 T-1 C-3 Notas Generales. * Estructura del grupo "B" segun R.C.D.F. T-1 C-3 T-1 C-4 T-1 C-3 T-1 T-1 T- 2 C-4 T-1 C-3 T-1 T- 2 T-1 C-3 T-1 T- 2 T-1 C-3 T-1 T- 2 T-1 T-1 T- 2 T-1 T-1 C-3 T-1 C-4 T-1 C-3 M-1 M-2 C-4 C-3 C-4 M-1 C-4 T-1 T-1 T-1 C-4 C-3 C-3 C-4 M-1 M-2 T-1 T-1 C-4 M-2 C-3 C-4 M-1 * Coeficiente sismico = 0.40 * Carga total (C.M + C.V. ) distribuida sin factorizar en losa de entrepiso = 940 Kg/ m2 * Carga total (C.M + C.V. ) distribuida sin factorizar en losa de azotea = 720 Kg/ m2 * Concreto clase I, f'c=250 Kg/cm2 * Acero fy= 4200 Kg/ cm2 T-1 T-1 C-4 M-2 C-3 C-4 M-1 * Zona Sismica III * Factor de carga = 1.4 T-1 C-4 M-1 M-2 M-2 C-3 T-1 T- 2 T- 2 M-2 T-1 M-1 T-1 C-4 C-3 ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA IPN TESIS PROFESIONAL " DISEÑO DE MUROS DE CORTANTE EN EDIFICIOS ALTOS " MARTIN GERARDO LOPEZ OLVERA Plano. CORTE A-A' PLANO ESTRUCTURAL CORTE A-A' Figura 4.2 Plano Estructural (corte) Proyecto I. 114 4.1.2.- Proyecto II Edificio de 11 niveles para uso habitacional, estructura de concreto reforzado clasificada según el R.C.D.F. como “B” y ubicada en zona sísmica III, con coeficiente sísmico igual a 0.40, factor de comportamiento sísmico igual a 3 y factores de carga igual a 1.40 y 1.1 para carga gravitacional y sísmica respectivamente. La planta baja del edificio esta destinada para ubicar cajones de estacionamiento, en los pisos del 1 al 10 se ubicarán 4 departamentos por nivel los cuales a su vez tendrán: 2 recámaras, 1 sala comedor, 1 baño completo, cocina y zotehuela., así como se muestra en el plano arquitectónico de la figura 4.4. el nivel 11 estará destinado para la azotea y cuarto de máquinas. Estructuración a base de marcos y muros de cortante colocados simétricamente, formados por columnas, trabes, muros y losas macizas de concreto reforzado clase I, f´c = 250 Kg/cm2, fy = 4200 Kg/cm2. Los muros divisorios de los departamentos son de mampostería cubiertos con mortero cemento arena y yeso, los pisos y muros de baños estarán cubiertos de loseta y azulejo respectivamente, todos los techo serán de falso plafón de tablaroca y toda la cancelaría de aluminio con cristal de 13 mm. Para este proyecto tenemos una diferente estructuración con muros de cortante, aparte de contar con los muros que forman el cubo de servicios, se colocaran muros laterales de 20 cm de espesor desplantados desde la cimentación hasta el nivel 11 en los ejes A y F con aberturas simétricas para ubicar ventanas y vigas de conexión con sección de 20 x 60 cm que unen los segmentos de muro en cada entrepiso, el segmento de muro correspondiente a la planta baja será completamente cerrado sin aberturas ni vigas de conexión como las que se encuentran en los segmentos del nivel 1 al 10. Los muros de cortante que forman el cubo de servicios donde se encuentran ubicados los elevadores y las escaleras, estarán desplantados desde la cimentación hasta el nivel 11. 115 116 4 A 3 2 RECAMARA 1 RECAMARA 2 RECAMARA 2 RECAMARA 1 BAÑO BAÑO COCINA ESTANCIA ESTANCIA ZOTEHUELA ZOTEHUELA COCINA ESTANCIA ESTANCIA COCINA PLANTA TIPO NIVELES 1 A 10 ZOTEHUELA HUECO DE ELEVADOR ZOTEHUELA D BAÑO BAÑO E RECAMARA 1 RECAMARA 2 RECAMARA 2 RECAMARA 1 Cto. Interior Rio Churubusco N IPN Plano. PLANTA ARQUITECTONICA MARTIN GERARDO LOPEZ OLVERA " DISEÑO DE MUROS DE CORTANTE EN EDIFICIOS ALTOS " TESIS PROFESIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA Notas Generales. Simbologia. Calle 6 Calle 4 Calle 2 Calz. Ignacio Zragoza Croquis de Localización. Calle: 3 , Num. 41 Col. Valentin Goméz Farias Del. Venustiano Carranza C.P. 15010. Distrito Federal Ubicación. PROYECTO II "EDIFICIO PARA DEPARTAMENTOS" Calle 1 COCINA C Figura 4.2 Plano Arquitectónico (planta) Proyecto II. B Calle 3 1 A Proyecto. Calle 5 117 4 A 3 2 M-3 M-3 M-3 T-1 T-1 T-1 T-1 B C-2 T-1 T-1 T-1 M-2 T-1 T-2 T-2 C-2 T-1 M-1 T-1 C-2 PLANTA TIPO NIVELES 1 A 11 C-2 T-1 M-1 M-2 T-1 T-1 T-1 T-1 T-1 T-1 C-2 T-1 C-4 T-1 C-4 T-1 C-2 T-1 T-1 T-1 T-1 M-3 M-3 M-3 F A' Columna de 40 x 40 cm Columna de 40 x 60 cm Columna de 60 x 40 cm Columna de 80 x 50 cm N IPN Plano. PLANTA ESTRUCTURAL MARTIN GERARDO LOPEZ OLVERA " DISEÑO DE MUROS DE CORTANTE EN EDIFICIOS ALTOS " TESIS PROFESIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA * Carga total (C.M + C.V. ) distribuida sin factorizar en losa de azotea = 720 Kg/ m2 * Concreto clase I, f'c=250 Kg/cm2 * Acero fy= 4200 Kg/ cm2 * Carga total (C.M + C.V. ) distribuida sin factorizar en losa de entrepiso = 940 Kg/ m2 * Coeficiente sismico = 0.40 * Factor de carga = 1.4 * Zona Sismica III * Estructura del grupo "B" segun R.C.D.F. Notas Generales. T-1 = Viga de 60 x 30 cm T-2 = Viga de 60 x 20 cm M-1= Muro de Cortante (1) esp. 20cm M-2= Muro de Cortante (2) esp. 20cm M-3= Muro de Cortante (3) esp. 20cm, con tres hileras de aberturas de 2.10 x 2.00 m C-1 = C-2 = C-3 = C-4 = Simbologia. Calle 6 Calle 4 Calle 2 Calz. Ignacio Zragoza Croquis de Localización. Calle: 3 , Num. 41 Col. Valentin Goméz Farias Del. Venustiano Carranza C.P. 15010. Distrito Federal Ubicación. PROYECTO II "EDIFICIO PARA DEPARTAMENTOS" Calle 1 C-2 E Figura 4.2 Plano Estructural (planta) Proyecto II. T-1 C-4 T-1 C-4 T-1 T-1 D Cto. Interior Rio Churubusco C-2 C Calle 3 1 A Proyecto. Calle 5 Formando segmentos de muro con espesor de 20 cm en cada entrepiso de 3.20 m en planta baja y 2.60 m en los niveles siguientes y estarán conectados entre aberturas por vigas de conexión o de acoplamiento con sección de 20 x 60 cm. Los marcos formarán el resto de la estructura con columnas perimetrales de 40 x 60 cm, columnas centrales de 80 x 50 cm y trabes de 30 x 60 cm que soportaran losas de 10 cm de espesor. Ver el plano de la figura 4.5. En este proyecto únicamente se hará el diseño del muro tipo M-3 que se encuentra en los ejes A y F de la figura 4.5, ya que en el proyecto I se hará el diseño de los muros M1 y M-2 (figura 4.2) que forman el cubo de servicios y aunque la estructuración es diferente y se obtengan diferentes valores en el análisis, para el diseño de dichos muros el proceso de diseño será el mismo que se exponga para el proyecto I. 4.2.- Análisis estructural de los edificios. Como se menciono anteriormente en el capitulo 2, existe una gran variedad de programas de cómputo para realizar el análisis y diseño de diversos tipos de estructuras de dimensiones considerables, gracias al uso de estos programas que procesan grandes cantidades de información podemos analizar y diseñar edificios que consten de múltiples elementos estructurales: columnas, trabes, losas, muros y otros elementos. Para el análisis de los edificios a los que hace referencia los proyectos I y II, utilizamos el programa de análisis y diseño estructural STAAD.Pro. A continuación se describe el uso del programa para la introducción e interpretación de la salida de datos que arroja el software. 4.2.1.- Uso del programa STAAD.Pro. STAAD.Pro, se puede manipular de una manera amigable y fácil, ya que trabaja en ambiente Windows con iconos y ventanas fáciles de distinguir e interpretar. Sería bastante amplio describir todas las funciones y aplicaciones que tiene dicho programa, así que para fines prácticos solo describiremos el procedimiento empleado para el análisis de los edificios del proyecto I y II. 118 4.2.1.1.- Introducción de datos. Paso 1.- Crear un archivo nuevo especificando el tipo de dimensión en la que se desea elaborar el modelo estructural, para este caso se realizará en el espacio (space), esto significa que tendremos coordenadas en X, Y y Z., de la misma manera se seleccionarán las unidades de longitud y fuerza que deseamos utilizar (pulgadas, milímetros, centímetros, metros, etc. y Kilogramos, toneladas, pounds, newtons, etc.). Paso 2.- Elegir un prototipo de estructura similar a la que se pretende analizar, con la finalidad de apoyarnos en ella y facilitar la elaboración de la topología de nuestra estructura, modificando las dimensiones de largo, ancho y altura. Logrando con ello una estructura similar a la nuestra con las mismas dimensiones y número de elementos que la forman. Ver figura 4.6. Figura 4.6 Topología de la estructura del proyecto I. 119 Al centro de la figura observamos la topología completa de la estructura, con igual número de elementos estructurales, a la izquierda se muestran la numeración de nodos, vigas, columnas y placas de las que consta nuestra estructura. Paso 3.- Después de tener la topología completa, procedemos a asignar propiedades a cada uno de los elementos estructurales, aquí es donde definimos las medidas que tienen las diferentes secciones de los elementos (ancho, peralte, espesor, etc.) y las propiedades de los materiales que lo forman (concreto, acero, aluminio, etc.). En la figura 4.7 observamos la estructura del edificio del proyecto I con propiedades ya asignadas. Figura 4.7 Edificio con propiedades asignadas. Paso 4.- El siguiente paso es la asignación de cargas, ya que el objetivo es idealizar el comportamiento de los muros bajo cargas sísmica, no solo cargaremos la estructura con cargas gravitacionales si no también con cargas sísmicas en los cuatro sentidos de 120 la estructura obtenidas en base a un análisis símico de fuerzas cortantes y repartidas según la rigidez de la estructura. Las cargas gravitacionales y sísmicas se colocaran de forma independiente para después hacer una combinación con las más representativas en magnitud. La figura 4.8 muestra la estructura con cargas ya aplicadas, las cargas gravitacionales de los entrepisos se colocaran distribuidas en los tableros de las losas y las cargas sísmicas se aplicaran en los nodos que se encuentren en las caras de la estructura sujetas a la fuerza sísmica. Conjuntamente a este paso procedemos a asignar el tipo de soportes sobre los que deberá estar desplantada la estructura, como todos los desplantes de las columnas deben estar empotrados entonces elegiremos soportes con restricción en todas las direcciones de posible movimiento. Figura 4.8 Edificio con cargas asignadas. Paso 5.- Una vez que se tiene la estructura totalmente declarada con medidas, propiedades de elementos, soportes, cargas y dependiendo del tipo de análisis que se 121 desee obtener se giran las instrucciones para correr el programa y obtener los resultados. 4.2.1.2.- Interpretación de resultados. Después que el programa procesa el análisis de la estructura, obtenemos una diversidad de información que se clasifica de la siguiente manera: Para (Beam) vigas y columnas proporciona tres tipos de resultados: 1.- Fuerzas (Forces). *Fuerza Axial en X (Kg) -Fx*Fuerza Cortante en Y (Kg) -Fy*Fuerza Cortante en Z (Kg) -Fz*Momento Torsionante en X (Kg-m) -Mx*Momento Flexionante en Y (Kg-m) -My*Momento Flexionante en Z (Kg-m) -Mz- 2.- Esfuerzos (Stresses). *Esfuerzos de esquina (Corner stress) (Kg/cm2) *Esfuerzos Máx. de compresión y Tensión (Kg/cm2) 3.- Gráficas (Graphs). *Gráfica de momentos flexionantes en Z (Kg-m) *Gráfica de fuerza cortante en Y (Kg) *Gráfica de fuerza cortante en X (Kg) Para (Nodes) nodos se obtienen dos tipos de información: 1.- Desplazamientos. *Desplazamiento horizontal y vertical en X, Y y Z en (cm). *Desplazamiento rotacional rX, rY, y rZ en radianes 2.- Reacciones. *Fuerzas Cortantes en Fx, Fy, y Fz (Kg) *Momentos flexionantes Mx, My y MZ (Kg-m) 122 En el análisis de placas (plates), es donde se obtienen los resultados del comportamiento de losas y muros estos se dan de la siguiente manera: Esfuerzos y momentos flexionantes en el contorno de la placa: • Esfuerzo normal SQx (Kg/cm2) • Esfuerzo normal SQy (Kg/cm2) • Esfuerzo normal de membrana Sx (Kg/cm2) (σx) • Esfuerzo normal de membrana Sy (Kg/cm2) (σy) • Esfuerzo cortante de membrana Sxy (Kg/cm2) (τxy) • Momento flexionante Mx (Kg-m/m) • Momento flexionante My (Kg-m/m) • Momento torsionante Mxy (Kg-m/m) Para simplificar la interpretación de los momentos y cortantes que actúan en el contorno de las placas observemos la figura 4.9, donde se muestra la distribución y forma de actuar de dichas fuerzas. z y Superficie Superior x Superficie Inferior SQy Myx Sy SQx SQx Sxy Mxy Mxy Sx Mx My SQy Myx Figura 4.9 Convención de signos para fuerzas en las placas. 123 La idealización en la topología de los muros de cortante que se presentan en los proyectos I y II, está elaborada a base de una discretización de segmentos de muro en elementos finitos, representados por diversas placas que lo forman ver figura 4.10. Figura 4.10 Discretización de los segmentos de muros en elementos finitos. Los resultados antes mencionados que se obtienen del análisis de las placas que forman los segmentos de muro son los necesarios para el diseño de estos, sin embargo como los elementos que tratamos de diseñar son estructuras sujetas a fuerzas horizontales, es decir, fuerzas que provocan flexión en su plano, las cuales son las que producen mayores deformaciones en estas estructuras. Para poder obtener los elementos mecánicos que se producen por la acción de estas fuerzas, se debe tomar en cuenta los resultados de los Esfuerzos Normales y Cortantes de Membrana σy y τxy respectivamente aplicando la siguiente deducción: 124 Como σy (esfuerzo normal) y τxy (esfuerzo cortante) representan esfuerzos actuantes en las superficies laterales de las placas (ver figura 4.9), y lo que interesa deducir son el Cortante Vu y Momento Flexionante Mu que producen dichos esfuerzos en el plano del muro ó placa, entonces para deducir esto se puede apoyar uno en las siguientes ecuaciones: σy = Mu × Y I (a) τ xy = Vu × Q I ×b (b) Si decimos que Sy = σy y Sxy = τxy entonces se puede sustituir y despejar las ecuaciones (a) y (b) de la siguiente manera: Mu = Vu = σy × I (4.1) Y τ xy × I × b (4.2) Q Donde: Mu = Momento último del segmento de muro a flexión en su plano. Vu = Cortante del segmento de muro. I = Momento de inercia del segmento de muro I = b × L3 12 Y = c, que es la distancia del eje neutro de la sección a la fibra extrema a compresión. b = Espesor del muro. L ⎞⎛ L ⎞ ⎛ Q = Momento de primer orden Q = ⎜ t × ⎟⎜ ⎟ 2 ⎠⎝ 4 ⎠ ⎝ La figura 4.11 muestra los diagramas de esfuerzos σy y τxy en una sección de un muro a flexión. No en todas las secciones de muros sujetos a flexión muestran los mismos diagramas de esfuerzos, esto debido, a que lo esfuerzos varían con la intensidad de carga y altura de la sección. Para el caso de los esfuerzos τxy tomaremos el máximo promedio que se presente en la base del muro, según los valores dados por cada una de las placas que formen la franja de la base del muro. Y para los esfuerzos σy tomaremos los máximos que se presenten en las placas laterales de la franja base del 125 segmento de muro, la figura 4.11 muestra la distribución de esfuerzos σy en segmentos de muros, de acuerdo al tipo de color que presenten las placas es la intensidad del esfuerzo. Con lo antes expuesto es posible hacer el diseño de los muros o segmentos de muros, solo quedaría por mencionar que para el diseño de vigas de conexión o de acoplamiento la interpretación de resultados arrojados por el análisis es mas sencilla, ya que directamente podemos observar los valores y gráficas de fuerzas cortantes y momentos flexionantes a las que están sujetas dichos elementos. τ xy m ax. prom edio D iagram a de Esfuerzos C ortantes τ xy D iagram a de Esfuerzos C ortantes σy −σ y t=d σy Planta del m uro Figura 4.11 Diagramas de esfuerzos σy y τxy en un muro a flexión. Franja de placas en la base del muro Franja de placas en la base del muro Franja de placas en la base del muro Franja de placas en la base del muro Franja de placas en la base del muro Esfuerzos σ y de compresión en la base del muro Esfuerzos σ y de tensión en la base del muro Figura 4.11 Distribución de esfuerzos σy en el muro de cortante M-1 126 4.3.- Diseño de muros. 4.3.1.- Diseño de muro tipo M-1, ejes C y D proyecto I. 4.3.1.1.- Muro de plata baja. Datos: Hm = 320 cm L = 430 cm t = b = 20 cm σy último = 161.42 Kg/cm2 x 1.1 (F.C) = 177.56 Kg/cm2 τxy último = 20.75 Kg/cm2 x 1.1 (F.C) = 22.83 Kg/cm2 f´c = 250 Kg/cm2, f*c = 200 Kg/cm2, f´´c = 170 Kg/cm2 fy = 4200 Kg/cm2 I = 132´511,667 cm4 Pu = 155,049 Kg Aplicando las ecuaciones 4.1 y 4.2 obtenemos que: Mu = Vu = • 177.56 Kg / cm 2 × 132′511,667´cm 4 = 109′436,147.00 Kg − cm 215cm 22.83Kg / cm 2 × 132′511,667.00cm 4 × 20cm = 130,892.00 Kg 462,250.00cm 3 Cálculo del momento resistente MR para los armados de los extremos del muro. Tomando en cuenta lo estipulado en las N.T.C. Concreto incisos: 6.5.2.1 y 6.5.2.3 a, la resistencia a flexión en muros sujetos a fuerzas horizontales en su plano se puede calcular con la siguiente ecuación: M R = FR AS Fy d (1 − 0.5q ) esto, si Pu < 0.3 f ′cAg y la relación (4.3) L < 70 t PU =155,049 Kg < 0.30 x 250 Kg/cm2 x 20 cm x 430 cm = 645,000 Kg… Bien 127 430 cm / 20 cm = 21.50 < 70 … Bien Donde: FR = Factor de resistencia estipulado en N.T.C. concreto, para flexión: 0.90 AS = Área de acero a flexión. fy = Fluencia del acero. P = AS/db porcentaje de acero. q = (P x fy) / f´´c d = Peralte efectivo de la sección de muro sujeto a flexión, ver figura 4.12. • Obtención del peralte efectivo. De acuerdo con lo estipulado en la N.T.C. concreto inciso 6.5.2.3 b, referente a la colocación del refuerzo vertical a flexión: “ En muros con relación Hm/L no mayor que 1.2, el refuerzo vertical para flexión o flexocompresión que se calcule en la sección de momento máximo se prolongará recto y sin reducción en toda la altura del muro, distribuido en los extremos de éste en anchos iguales a (0.25 – 0.1 Hm / L) L, medido desde el correspondiente borde, pero no mayor que 0.4 Hm”. Como Hm/L = 320 cm / 430 cm = 0.74, entonces de acuerdo a esto y la figura 4.12 determinamos que el peralte efectivo es la distancia del centroide del acero a flexión y la fibra extrema a compresión. Ancho del extremo = [0.25 − 0.1(320 / 430 )]430 = 75.50cm < 0.40 × 3.20 = 128.00cm …Bien Centroide del acero a flexión. Peralte efectivo: d =3.92 Distancia para distribuir el acero a flexión en los extremos Planta del muro Figura 4.12 Determinación del peralte efectivo en muro M-1 P.B. 128 Por lo tanto el peralte efectivo de la sección del muro será: d=3.92 Para el cálculo de MR se debe proponer As, así que se calculará el área de acero mínimo Asmin, de acuerdo a la fórmula 4.4 expuesta en las N.T.C. concreto inciso 2.2.1 As min = 0.7 f ´c bd fy (4.4) ⎛ 0.70 × 250 ⎞ ⎟⎟(20 )(392 ) = 20.66cm 2 As min = ⎜⎜ 4200 ⎠ ⎝ P= 20.66cm2 = 0.0026 20cm × 392cm q= 0.0026 × 4200 Kg / cm 2 = 0.064235 170 Kg / cm 2 ∴ M R = 0.90 × 20.66cm 2 × 4200 Kg / cm 2 [392cm(1 − 0.5 × 0.064235)] = 29´629,938.88 Kg − cm Como MU > MR entonces se debe proponer una mayor área de acero hasta lograr que se invierta la condicionante anterior: Si con AS =20.66 Cm2 tenemos que MR = 29´629,938.88Kg-cm Entonces para MU = 109´436,147.00 Kg-cm se tendrá un AS ≈ 86 cm2 Con esta área de acero se calcula el momento resistente: P= 86cm 2 = 0.0109694 20cm × 392cm q= 0.0109694 × 4200 Kg / cm 2 = 0.27100084 170 Kg / cm 2 M R = 0.90 × 86cm 2 × 4200 Kg / cm 2 × 392cm(1 − 0.50 × 0.27100084 ) = 110´163,875Kg − cm Como MR>MU entonces se toma como óptima el área de acero = 96 cm2 para armar cada extremo del muro, sin antes comprobar que no pase del máximo permisible de acuerdo con la ecuación 4.5. Expuesta en las N.T.C. concreto inciso 2.2.2 129 Asb = f ´´c 60001 β 1 bd fy fy + 6000 Asb = 170 Kg / cm 2 6000 × 0.85 (20)(392) = 158.66cm 2 > 86 cm2 …Bien 2 2 4200 Kg / cm 4200 Kg / cm + 6000 (4.5) Por lo tanto se procede armar el extremo del muro con AS = 86 cm2 ver figura 4.13. Proponiendo Var. # 8, con as = 5.07 cm2; determinamos el numero aproximado de varillas : 86cm2/5.07cm2 = 16.96 piezas Para fines prácticos y de diseño se usarán 18 Var. # 8. Planta del muro Figura 4.13 Armado a flexión de los extremos del muro M-1 P.B. • Cálculo del acero transversal en los extremos. El acero transversal de los extremos del muro se determino a partir de lo estipulado en las N.T.C. concreto incisos 6.5.2.4 c y 7.3.4 c y de la ecuación 4.6, como se muestra a continuación: ⎞ f ´c ⎛ Ag Ash > 0.30⎜⎜ Sbc − 1⎟⎟ ⎠ f yh ⎝ Ac (4.6) Donde: Ash-1 = Área del acero trasversal paralelo al espesor del muro. 130 Ash-2 = Área del acero perpendicular al espesor del muro. Ag = Área de bruta de la sección. Ac = Área del núcleo de concreto confinado. f´c = Esfuerzo máximo de compresión del concreto. fyh = Esfuerzo de fluencia del acero transversal. S = Separación teórica del acero trasversal. bc = Ancho del núcleo de concreto confinado por el acero transversal, ver figura la figura 4.13. Ash-1 = 12 Var. # 3 = 11 x 0.71 cm2 = 7.81 cm2 Ash-2 = 2 Var. # 3 = 2 x 0.71 cm2 = 1.42 cm2 Proponiendo una separación de 12 cm y varilla del número 3 para el acero transversal se tiene lo siguiente. Para el acero paralelo al espesor de muro se tiene que: ⎛ 1510 ⎞⎛ 250 ⎞ 2 Ash −1 > 0.30⎜ − 1⎟⎜ ⎟(12)(70.50 ) = 6.47cm , por lo tanto s = 12 cm …Bien ⎝ 1057.50 ⎠⎝ 4200 ⎠ Para el acero perpendicular al espesor tenemos: ⎛ 1510 ⎞⎛ 250 ⎞ 2 Ash − 2 > 0.30⎜ − 1⎟⎜ ⎟(12 )(15) = 1.38cm , por lo tanto s =12 cm …Bien 1057 . 50 4200 ⎝ ⎠⎝ ⎠ Conforme a lo anterior, los estribos y grapas que restringen el pandeo del acero a flexión en los extremos del muro, serán con varilla del # 3 @ 12 cm. Ver figura 4.13. • Armado del alma del muro. Para determinar la cantidad de acero que toma el alma del muro se hace referencia a lo indicado por las N.T.C. concreto inciso 6.5.2.5 a,b,c,d. Si la relación Hm/L< 1.5, el cortante resistente del muro VCR = 0.85 FR f * ctL VCR se puede calcular con la siguiente ecuación: (4.7) 131 Donde: FR = Factor de resistencia para cortante: 0.80 f*c = Resistencia del concreto reducida = 200 Kg/cm2 t = Espesor del muro. L = Ancho del muro. Como: 320/430=0.74 Entonces: VCR = 0.85 × 0.80 × 200 × 20 × 430 = 82,703Kg Ya que VU > VCR, debemos calcular el porcentaje de acero para el acero paralelo a la fuerza cortante Pm y para el perpendicular a la fuerza cortante Pn con las siguientes fórmulas: Pm = VU − VCR FR fyAcm Hm ⎞ ⎛ Pn = 0.0025 + 0.5⎜ 2.5 − ⎟(Pm − 0.0025) L ⎠ ⎝ (4.8) (4.9) Donde Acm = Área bruta de la sección sujeta al cortante. Aplicando la ecuación 4.8 y 4.9: Pm = 130,892 Kg − 82,703Kg = 0.001667 0.80 × 4200 Kg / cm 2 × 430cm × 20cm Como Pm y Pn > 0.0025 Y no resulta ser así, por lo que no se calcula el valor de Pn y procedemos a diseñar con el porcentaje mínimo para el acero de ambos sentidos, conforme las siguientes expresiones: Pm = Avm Avn y Pn = Smt Snt Donde: Avm = Área del refuerzo paralelo a la fuerza cortante de diseño comprendida en una distancia Sm. 132 Avn = Área del refuerza perpendicular a la fuerza cortante de diseño comprendida en una distancia Sn. Sm y Sn = Separación de los refuerzos paralelos y perpendicular a la fuerza cortante de diseño, respectivamente. Para calcular Avm y Avn, se propone varilla del # 3, con as = 0.71 cm2. Como es doble parrilla, entonces decimos que: Avm = Avn = 2 x 0.71cm2 = 1.42 cm2 …Bien. Por lo tanto deducimos que: Sm = Sn = 1.42cm 2 = 28.40cm y armamos el alma del 0.0025 × 20cm muro de la siguiente manera, ver figura 4.14. En ningún caso se admitirá que la fuerza cortante de diseño, VU, sea mayor que: 2 FR Acm f * c , en caso contrario debemos revisar el espesor del muro para modificarlo si es necesario. Planta del muro Figura 4.14 Armado del alma del muro M-1(igual de P.B. a Nivel 10). Al haber obtenidos porcentajes de acero menores que los mínimos para el armado del alma en el muro de planta baja que es donde se presentan los mayores esfuerzos cortantes para muros sujetos a flexión, se deduce entonces que este armado será el mismo para todos los segmentos de muro siguientes del nivel 1 al 10. 133 4.3.1.2.- Muro del primer nivel. Datos: Hm = 260 cm L = 430 cm t =d = 20 cm σy ultimo = 98.06 Kg/cm2 x 1.1 (F.C) = 107.87 Kg/cm2 τxy ultimo = 23.30 Kg/cm2 x 1.1 (F.C) = 25.63 Kg/cm2 f´c = 250 Kg/cm2, f*c = 200 Kg/cm2, f´´c = 170 Kg/cm2 fy = 4200 Kg/cm2 I = 132´511,667 cm4 Pu = 139,640.00 Kg Aplicando las ecuaciones 4.1 y 4.2 obtenemos que: Mu = Vu = • 107.87 Kg / cm 2 × 132′511,667´cm 4 = 66'483,876.83Kg − cm 215cm 25.63Kg / cm 2 × 132′511,667.00cm 4 × 20cm = 146,945.33Kg 462,250.00cm3 Cálculo del momento resistente MR para el armado de los extremos del muro. Tomando en cuenta lo estipulado en las N.T.C. Concreto incisos: 6.5.2.1 y 6.5.2.3 a, la resistencia a flexión en muros sujetos a fuerzas horizontales en su plano se puede calcular con la ecuación 4.3 M R = FR AS Fy d (1 − 0.5q ) esto, si PU < 0.3 f ′cAg y la relación (4.3) L < 70 t PU =139,640 Kg < 0.30 x 250 Kg/cm2 x 20 cm x 430 cm = 645,000 Kg …Bien 430 cm / 20 cm = 21.50 …Bien 134 Donde: FR = Factor de resistencia estipulado en N.T.C. concreto, para flexión: 0.90 AS = Área de acero a flexión. Fy = Fluencia del acero. P = AS/db porcentaje de acero q = (P x fy) / f´´c d = Peralte efectivo de la sección de muro sujeto a flexión, determinada de la siguiente forma: De acuerdo con lo estipulado en la N.T.C. concreto inciso 6.5.2.3 b, referente a la colocación del refuerzo vertical a flexión: “ En muros con relación Hm/L no mayor que 1.2, el refuerzo vertical para flexión o flexocompresión que se calcule en la sección de momento máximo se prolongará recto y sin reducción en toda la altura del muro, distribuido en los extremos de éste en anchos iguales a (0.25 – 0.1 Hm / L) L, medido desde el correspondiente borde, pero no mayor que 0.4 Hm”. Como Hm/L = 260cm / 430 cm = 0.60, entonces de acuerdo a esto y la figura 4.15 determinamos que el peralte efectivo es la distancia del centroide del acero a flexión y la fibra extrema a compresión. Ancho del extremo = [0.25 − 0.1(260 / 430)]430 = 81.50cm …Bien 0.40 × 2.60 = 104.00cm Centroide del acero a flexión. Peralte efectivo: d =3.89 Distancia para distribuir el acero a flexión en los extremos Figura 4.15 Determinación del peralte efectivo en muro M-1 nivel 1. 135 Por lo tanto el peralte efectivo de la sección del muro será: d=3.92 Por lo tanto el peralte efectivo de la sección del muro será: d=3.89 Para el cálculo de MR debemos proponer As, así que se calculará el área de acero mínimo Asmin, de acuerdo a la fórmula 4.4 expuesta en las N.T.C. concreto inciso 2.2.1 As min = 0.7 f ´c bd fy (4.4) ⎛ 0.70 × 250 ⎞ ⎟⎟(20 )(389 ) = 20.50cm 2 As min = ⎜⎜ 4200 ⎝ ⎠ P= 20.50cm2 = 0.0026 20cm × 389cm q= 0.0026 × 4200 Kg / cm 2 = 0.064235 170 Kg / cm 2 ∴ M R = 0.90 × 20.50cm 2 × 4200 Kg / cm 2 [389cm(1 − 0.5 × 0.064235)] = 29´175,472.61Kg − cm Como MU > MR entonces se debe proponer una mayor área de acero hasta lograr que se invierta la condicionante anterior: Si con AS =20.50 Cm2 tenemos que MR = 29´175,472.61 Kg-cm Entonces para MU = 66´483,876.83 Kg-cm se tendrá un AS ≈ 50 cm2 Con esta área de acero procedemos a calcular el momento resistente: 50cm 2 = 0.006426735 P= 20cm × 389cm 0.006426735 × 4200 Kg / cm 2 = 0.15877816 q= 170 Kg / cm 2 M R = 0.90 × 50cm 2 × 4200 Kg / cm 2 × 389cm(1 − 0.50 × 0.158778) = 67´684,235.29 Kg − cm 136 Como MR>MU, tomamos como óptima el área de acero = 50 cm2 para armar cada extremo del muro, sin antes comprobar que no pase del máximo permisible de acuerdo con la ecuación 4.5. Expuesta en las N.T.C. concreto inciso 2.2. Asb = f ´´c 60001 β 1 bd fy fy + 6000 (4.5) 170 Kg / cm 2 6000 × 0.85 (20)(389) = 157.45cm 2 > 50 cm2 …Bien Asb = 2 2 4200 Kg / cm 4200 Kg / cm + 6000 Por lo tanto se procede armar el extremo del muro con AS = 50 cm2 ver figura 4.16. Proponiendo Var. # 8 con as = 5.07 cm2, y Var. # 5 con as =1.98 cm2 6 Var. # 8 = 30.42 cm2 + 12 Var. # 5 = 23.76 cm2 = 54.18 cm2 > 50 cm2 que se distribuirán en cada extremo del muro. Planta del muro Figura 4.16 Armado a flexión de los extremos del muro M-1 Nivel 1. • Cálculo del acero transversal en los extremos. El acero transversal de los extremos del muro se determino a partir de lo estipulado en las N.T.C. concreto incisos 6.5.2.4 c y 7.3.4 c y de la ecuación 4.6, como se muestra a continuación: ⎛ Ag ⎞ f ´c − 1⎟⎟ Ash > 0.30⎜⎜ Sbc ⎝ Ac ⎠ f yh (4.6) Donde: Ash-1 = Área del acero trasversal paralelo al espesor del muro. 137 Ash-2 = Área del acero perpendicular al espesor del muro. Ag = Área de bruta de la sección. Ac = Área del núcleo de concreto confinado. f´c = Esfuerzo máximo de compresión del concreto. fyh = Esfuerzo de fluencia del acero transversal. S = Separación teórica del acero trasversal. bc = Ancho del núcleo de concreto confinado por el acero transversal, ver la figura 4.16. Ash-1 = 11 Va´ # 3 = 11 x 0.71 cm2 = 7.81 cm2 Ash-2 = 2 Va´ # 3 = 2 x 0.71 cm2 = 1.42 cm2 Proponiendo una separación de 12 cm y varilla del número 3 para el acero transversal se tiene lo siguiente. Para el acero paralelo al espesor de muro se tiene que: ⎛ 1510 ⎞⎛ 250 ⎞ 2 Ash −1 > 0.30⎜ − 1⎟⎜ ⎟(12)(76.50 ) = 7.02cm , por lo tanto s = 12 cm …Bien ⎠⎝ 4200 ⎠ ⎝ 1057.50 Para el acero perpendicular al espesor tenemos: ⎛ 1510 ⎞⎛ 250 ⎞ 2 Ash − 2 > 0.30⎜ − 1⎟⎜ ⎟(12 )(15) = 1.38cm , por lo tanto s = 12 cm … Bien 1057 . 50 4200 ⎝ ⎠⎝ ⎠ Conforme a lo anterior, se dice que los estribos y grapas que restringen el pandeo del acero a flexión en los extremos del muro, serán con varilla del # 3 @ 12 cm. Ver figura 4.16. 4.3.1.3.- Muro del segundo nivel. Datos: Hm = 260 cm L = 430 cm t = b = 20 cm 138 d = 389 cm (similar al muro del nivel 1) σy ultimo = 65.49 Kg/cm2 x 1.1 (F.C) = 72.04 Kg/cm2 f´c = 250 Kg/cm2, f*c = 200 Kg/cm2, f´´c = 170 Kg/cm2 Fy = 4200 Kg/cm2 I = 132´511,667 cm4 Pu = 125,490 Kg Aplicando las ecuaciones 4.1 obtenemos que: 72.04 Kg / cm 2 × 132′511,667´cm 4 Mu = = 44´400,653.00 Kg − cm 215cm • Cálculo del momento resistente MR para el armado de los extremos del muro. Para el cálculo de MR se debe proponer As, así que se calculará el área de acero mínimo Asmin, de acuerdo a la fórmula 4.4 expuesta en las N.T.C. concreto inciso 2.2.1 As min = 0.7 f ´c bd fy (4.4) ⎛ 0.70 × 250 ⎞ ⎟⎟(20 )(389 ) = 20.50cm 2 As min = ⎜⎜ 4200 ⎝ ⎠ 20.50cm2 P= = 0.0026 20cm × 389cm q= 0.0026 × 4200 Kg / cm 2 = 0.064235 170 Kg / cm 2 ∴ M R = 0.90 × 20.50cm 2 × 4200 Kg / cm 2 [389cm(1 − 0.5 × 0.064235)] = 29´175,472.61Kg − cm Como MU > MR entonces debemos proponer una mayor área de acero hasta lograr que se invierta la condicionante anterior: Si con AS =20.50 Cm2 se tiene que MR = 29´175,472.61 Kg-cm Entonces para MU = 44´400,653 Kg-cm se tendrá un AS ≈ 32 cm2 139 Con esta área de acero procedemos a cálcular el momento resistente: P= 32cm 2 = 0.004113110 20cm × 389cm q= 0.004113110 × 4200 Kg / cm 2 = 0.101618025 170 Kg / cm 2 M R = 0.90 × 32cm 2 × 4200 Kg / cm 2 × 389cm(1 − 0.50 × 0.101618) = 44´662,701.18Kg − cm Como MR>MU, tomamos como óptima el área de acero = 32 cm2 para armar cada extremo del muro, sin antes comprobar que no pase del máximo permisible de acuerdo con la ecuación 4.5. Expuesta en las N.T.C. concreto inciso 2.2.2 Asb = f ´´c 60001 β 1 bd fy fy + 6000 Asb = 170 Kg / cm 2 6000 × 0.85 (20)(389) = 157.45cm 2 > 32 cm2 …Bien 2 4200 Kg / cm 4200 Kg / cm 2 + 6000 (4.5) Por lo tanto se procede armar el extremo del muro con AS = 32 cm2 ver figura 4.17. Proponemos Var. # 5 con as = 1.98 cm2, 18 Var. # 5 = 18 x 1.98 cm2 = 35.64 cm2 > 32 cm2 que se distribuirán en cada extremo del muro. Planta del muro Figura 4.17 Armado a flexión de los extremos del muro M-1 Nivel 2. • Cálculo del acero transversal en los extremos. 140 El acero transversal de los extremos del muro se determinó a partir de lo estipulado en las N.T.C. concreto incisos 6.5.2.4 c y 7.3.4 c y de la ecuación 4.6, como se muestra a continuación: ⎛ Ag ⎞ f ´c − 1⎟⎟ Ash > 0.30⎜⎜ Sbc ⎝ Ac ⎠ f yh (4.6) Ash-1 = 11 Var. # 3 = 11 x 0.71 cm2 = 7.81 cm2 Ash-2 = 2 Va´ # 3 = 2 x 0.71 cm2 = 1.42 cm2 Proponiendo una separación de 12 cm y varilla del número 3 para el acero transversal se tiene lo siguiente. Para el acero paralelo al espesor de muro se tiene que: ⎛ 1510 ⎞⎛ 250 ⎞ 2 Ash −1 > 0.30⎜ − 1⎟⎜ ⎟(12)(76.50 ) = 7.02cm , por lo tanto s = 12 cm …Bien 1057 . 50 4200 ⎝ ⎠⎝ ⎠ Para el acero perpendicular al espesor se tiene que: ⎛ 1510 ⎞⎛ 250 ⎞ 2 Ash − 2 > 0.30⎜ − 1⎟⎜ ⎟(12 )(15) = 1.38cm , por lo tanto s = 12 cm …Bien ⎠⎝ 4200 ⎠ ⎝ 1057.50 Conforme a lo anterior, dice que los estribos y grapas que restringen el pandeo del acero a flexión en los extremos del muro, serán con varilla del # 3 @ 12 cm. Ver figura 4.17. 4.3.1.4.- Muro del tercer nivel. Datos: Hm = 260 cm L = 430 cm t = b = 20 cm d = 389 cm (similar al muro del nivel 1) σy ultimo = 43.34Kg/cm2 x 1.1 (F.C) = 47.67 Kg/cm2 f´c = 250 Kg/cm2, f*c = 200 Kg/cm2, f´´c = 170 Kg/cm2 141 fy = 4200 Kg/cm2 I = 132´511,667 cm4 Pu = 111,300 Kg Aplicando las ecuaciones 4.1 y obtenemos que: Mu = • 47.67 Kg / cm 2 × 132′511,667´cm 4 = 29´380,610 Kg − cm 215cm Cálculo del momento resistente MR para el armado de los extremos del muro. Para el cálculo de MR se debe proponer As, así que se calculará el área de acero mínimo Asmin, de acuerdo a la formula 4.4 expuesta en las N.T.C. concreto inciso 2.2.1 As min = 0.7 f ´c bd fy (4.4) ⎛ 0.70 × 250 ⎞ ⎟⎟(20 )(389 ) = 20.50cm 2 As min = ⎜⎜ 4200 ⎝ ⎠ P= 20.50cm2 = 0.0026 20cm × 389cm q= 0.0026 × 4200 Kg / cm 2 = 0.064235 170 Kg / cm 2 ∴ M R = 0.90 × 20.50cm 2 × 4200 Kg / cm 2 [389cm(1 − 0.5 × 0.064235)] = 29´175,472.61Kg − cm Como MU > MR entonces debemos proponer una mayor área de acero hasta lograr que se invierta la condicionante anterior: Si con AS =20.50 Cm2 se tiene que MR = 29´175,472.61 Kg-cm Entonces para MU = 29´380,610 Kg-cm se tendrá un AS ≈ 21 cm2 Con esta área de acero procedemos a cálcular el momento resistente: 142 P= 21cm 2 = 0.002699 20cm × 389cm q= 0.002699 × 4200 Kg / cm 2 = 0.0666868 170 Kg / cm 2 M R = 0.90 × 21cm 2 × 4200 Kg / cm 2 × 389cm(1 − 0.50 × 0.0666868) = 29´849,214.71Kg − cm Como MR>MU, tomamos como óptima el área de acero = 21 cm2 para armar cada extremo del muro, sin antes comprobar que no pase del máximo permisible de acuerdo con la ecuación 4.5. Expuesta en las N.T.C. concreto inciso 2.2.2 Asb = f ´´c 60001 β 1 bd fy fy + 6000 Asb = 170 Kg / cm 2 6000 × 0.85 (20)(389) = 157.45cm2 > 21 cm2 …Bien 2 4200 Kg / cm 4200 Kg / cm2 + 6000 (4.5) Por lo tanto se procede armar el extremo del muro con AS = 21 cm2 ver figura 4.18. Proponemos Var. # 4 con as = 1.27 cm2, 18 Var. # 54 = 18 x 1.27 cm2 = 22.86 cm2 > 21 cm2 que serán distribuidas en cada extremo del muro. Planta del m uro Figura 4.18 Armado a flexión de los extremos del muro M-1 Nivel 3. 143 • Cálculo del acero transversal en los extremos. El acero transversal de los extremos del muro se detreminó a partir de lo estipulado en las N.T.C. concreto incisos 6.5.2.4 c y 7.3.4 c y de la ecuación 4.6, como se muestra a continuación: ⎛ Ag ⎞ f ´c − 1⎟⎟ Sbc Ash > 0.30⎜⎜ ⎝ Ac ⎠ f yh (4.6) Ash-1 = 11 Var. # 3 = 11 x 0.71 cm2 = 7.81 cm2 Ash-2 = 2 Var. # 3 = 2 x 0.71 cm2 = 1.42 cm2 Proponiendo una separación de 12 cm y varilla del número 3 para el acero transversal se tiene lo siguiente. Para el acero paralelo al espesor de muro se tiene que: ⎛ 1510 ⎞⎛ 250 ⎞ 2 Ash −1 > 0.30⎜ − 1⎟⎜ ⎟(12)(76.50 ) = 7.02cm , por lo tanto s = 12 cm …Bien ⎝ 1057.50 ⎠⎝ 4200 ⎠ Para el acero perpendicular al espesor tenemos: ⎛ 1510 ⎞⎛ 250 ⎞ 2 Ash − 2 > 0.30⎜ − 1⎟⎜ ⎟(12 )(15) = 1.38cm , por lo tanto s = 12 cm …Bien ⎝ 1057.50 ⎠⎝ 4200 ⎠ Conforme a lo anterior, decimos que los estribos y grapas que restringen el pandeo del acero a flexión en los extremos del muro, serán con varilla del # 3 @ 12 cm. Ver figura 4.18. Como el área de acero mínima (20.05 cm2), es muy cercana a 20.10 cm2 se propone dejar el armado de la figura 4.18 recto y sin reducción en los niveles subsecuentes del muro tipo M-1. 144 En la figura 4.19 se puede observar en alzado, el armado del muro M-1 en la planta baja, primer nivel y segundo nivel, todas la barras Horizontales y verticales de los entrepisos deben estar ancladas de modo que sean capaces de alcanzar su esfuerzo de fluencia. Muro M-1 (Alzado) Figura 4.19 Armado del muro M-1 en P.B., Nivel y 2. 145 4.3.2.- Diseño de muro tipo M-2, ejes 2 y 3 del proyecto I. 4.3.2.1.- Muro de plata baja. Datos: Hm = 320 cm L = 250 cm t = b = 20 cm σy ultimo = 205.36 Kg/cm2 x 1.1 (F.C) = 226.99 Kg/cm2 τxy ultimo = 28.96Kg/cm2 x 1.1 (F.C) = 31.86 Kg/cm2 f´c = 250 Kg/cm2, f*c = 200 Kg/cm2, f´´c = 170 Kg/cm2 fy = 4200 Kg/cm2 I = 26´041,667 cm4 Pu = 85,860 Kg Aplicando las ecuaciones 4.1 y 4.2 obtenemos que: Mu = Vu = • 226.99 Kg / cm 2 × 26´041,667´cm 4 = 47´289,584 Kg − cm 125cm 31.86 Kg / cm 2 × 26´041,667cm 4 × 20cm = 106,200 Kg 156,250cm 3 Cálculo del momento resistente MR para los armados de los extremos del muro. Tomando en cuenta lo estipulado en las N.T.C. Concreto incisos: 6.5.2.1 y 6.5.2.3 a, la resistencia a flexión en muros sujetos a fuerzas horizontales en su plano se puede calcular con la siguiente ecuación: M R = FR AS f y d (1 − 0.5q ) Esto, si PU < 0.3 f ′cAg y la relación (4.3) L < 70 t 146 PU =85,860 Kg < 0.30 x 250 Kg/cm2 x 20 cm x 250 cm = 375,000 Kg... Bien 250 cm / 20 cm = 12.50 … Bien Donde: FR = Factor de resistencia estipulado en N.T.C. concreto, para flexión: 0.90 AS = Área de acero a flexión. fY = Fluencia del acero. P = AS/db porcentaje de acero. q = (P x fY) /f´´c d = Peralte efectivo de la sección de muro sujeto a flexión. • Obtención del peralte efectivo. De acuerdo con lo estipulado en la N.T.C. concreto inciso 6.5.2.3 b, referente a la colocación del refuerzo vertical a flexión: “ En muros con relación Hm/L no mayor que 1.2, el refuerzo vertical para flexión o flexocompresión que se calcule en la sección de momento máximo se prolongará recto y sin reducción en toda la altura del muro, distribuido den los extremos de éste en anchos iguales a (0.25 – 0.1 Hm / L) L, medido desde el correspondiente borde, perno no mayor que 0.4 Hm”. Si la relación Hm/L es mayor que 1.2, el refuerzo para flexión o flexocompresión se colocará en los extremos del muro en anchos iguales a 0.15 L medidos desde el correspondiente borde. Como Hm/L = 320 cm / 250 cm =1.28 >1.20; entonces, de acuerdo a esto y la figura 4.20 se determina que el peralte efectivo es la distancia del centroide del acero a flexión y la fibra extrema a compresión. Por lo tanto: 0.15 × 250 = 37.50cm …. Bien 0.40 × 3.20 = 128.00cm 147 Centroide del acero a flexión t=0.2 Alma del muro=1.75 Extremo del muro Extremo del muro Planta del muro Figura 4.20 Determinación del peralte efectivo en muro M-2 P.B. Entonces el peralte efectivo de la sección será: d=2.31 Para el cálculo de MR se debe proponer As, así que se calculará el área de acero mínimo Asmin, de acuerdo a la fórmula 4.4 expuesta en las N.T.C. concreto inciso 2.2.1 As min = 0.7 f ´c bd fy (4.4) ⎛ 0.70 × 250 ⎞ ⎟(20 )(231) = 12.01cm 2 As min = ⎜⎜ ⎟ 4200 ⎝ ⎠ P= 12.01cm 2 = 0.0026 20cm × 231cm q= 0.0026 × 4200 Kg / cm 2 = 0.064235 170 Kg / cm 2 ∴ M R = 0.90 × 12.01cm 2 × 4200 Kg / cm 2 [231cm(1 − 0.5 × 0.064235)] = 10´150,078Kg − cm Como MU > MR entonces se debe proponer una mayor área de acero hasta lograr que se invierta la condicionante anterior: Si con AS =12.01 Cm2 tenemos que MR = 10´150,078 Kg-cm Entonces para MU = 47´289,584 Kg-cm se tendrá un AS ≈ 66 cm2 148 Con esta área de acero se calcula el momento resistente: P= 66cm 2 = 0.0142857 20cm × 231cm q= 0.0142857 × 4200 Kg / cm 2 = 0.3528 170 Kg / cm 2 M R = 0.90 × 66cm 2 × 4200 Kg / cm 2 × 231cm(1 − 0.50 × 0.3528) = 47´463,969 Kg − cm Como MR>MU, se toma como óptima el área de acero = 66 cm2 para armar cada extremo del muro, sin antes comprobar que no pase del máximo permisible de acuerdo con la ecuación 4.5. Expuesta en las N.T.C. concreto inciso 2.2.2 Asb = Asb = f ´´ c 6000 1 β 1 bd fy fy + 6000 (4.5) 170 Kg / cm2 6000 × 0.85 (20)(231) = 93.50cm2 > 66 cm2 …Bien 2 2 4200 Kg / cm 4200 Kg / cm + 6000 Por lo tanto se procede armar el extremo del muro con AS = 66 cm2 ver figura 4.21. Proponiendo varillas: (9 # 8 = 45.63cm2 )+ (6 # 7 = 23.28 cm2 )= 68.91 cm2 > 66 cm2 Extremo Alma del muro bc=0.325 E#3@10cm bc=0.15 6#7 9#8 Planta del muro Figura 4.21 Armado a flexión de los extremos del muro M-2 P.B. 149 • Cálculo del acero transversal en los extremos. El acero transversal de los extremos del muro lo determinamos a partir de lo estipulado en las N.T.C. concreto incisos 6.5.2.4 c y 7.3.4 c y de la ecuación 4.6, como se muestra a continuación: ⎛ Ag ⎞ f ´c − 1⎟⎟ Sbc Ash > 0.30⎜⎜ A f ⎝ c ⎠ yh (4.6) Donde: Ash-1 = Área del acero trasversal paralelo al espesor del muro. Ash-2 = Área del acero perpendicular al espesor del muro. Ag = Área de bruta de la sección. Ac = Área del núcleo de concreto confinado. f´c = Esfuerzo máximo de compresión del concreto. fyh = Esfuerzo de fluencia del acero transversal. S = Separación teórica del acero trasversal. bc = Ancho del núcleo de concreto confinado por el acero transversal Ver figura 4.21 Ash-1 = 5 Va´ # 3 = 5 x 0.71 cm2 = 3.55 cm2 Ash-2 = 3 Va´ # 3 = 3 x 0.71 cm2 = 2.13 cm2 Para el acero paralelo al espesor de muro tenemos: ⎛ 760 ⎞⎛ 250 ⎞ 2 Ash −1 > 0.30⎜ − 1⎟⎜ ⎟(10)(32.5) = 3.10cm , por lo tanto s = 10 cm ….Bien. 495 4200 ⎝ ⎠⎝ ⎠ Para el acero perpendicular al espesor tenemos: ⎛ 760 ⎞⎛ 250 ⎞ 2 Ash − 2 > 0.30⎜ − 1⎟⎜ ⎟(10)(15) = 1.43cm , por lo tanto s = 10 cm ….Bien. ⎝ 495 ⎠⎝ 4200 ⎠ Conforme a lo anterior, los estribos y grapas que restringen el pandeo del acero a flexión en los extremos del muro, serán con varilla del # 3 @ 10 cm. Ver figura 4.21. 150 • Armado del alma del muro. Para determinar la cantidad de acero que toma el alma del muro, se hace referencia a lo indicado por las N.T.C. concreto inciso 6.5.2.5 a,b,c,d. Si la relación Hm/L< 1.5, el cortante resistente del muro VCR lo podemos calcular con la siguiente ecuación: VCR = 0.85 FR f * ctL (4.7) Donde: FR = Factor de resistencia para cortante: 0.80 f*c = Resistencia del concreto reducida = 200 Kg/cm2 t = Espesor del muro. L = Ancho del muro. Como: 320/250=1.28 < 1.5 Entonces VCR = 0.85 × 0.80 × 200 × 20 × 250 = 48,083Kg Ya que VU > VCR, se debe calcular el porcentaje de acero para el acero paralelo a la fuerza cortante Pm y para el perpendicular a la fuerza cortante Pn con las siguientes formulas: Pm = VU − VCR FR fyAcm Hm ⎞ ⎛ Pn = 0.0025 + 0.5⎜ 2.5 − ⎟(Pm − 0.0025) L ⎠ ⎝ (4.8) (4.9) Donde Acm = Área bruta de la sección sujeta al cortante. Aplicando la ecuación 4.8 y 4.9: Pm = 106,200 Kg − 48,083Kg = 0.003459 0.80 × 4200 Kg / cm 2 × 250cm × 20cm 320 ⎞ ⎛ Pn = 0.0025 + 0.5⎜ 2.5 − ⎟(0.003459 − 0.0025) = 0.003085 250 ⎠ ⎝ Para la distribución del acero empleamos las siguientes fórmulas: Pm = Avm Avn y Pn = Smt Snt 151 Donde: Avm = Área del refuerzo paralelo a la fuerza cortante de diseño comprendida en una distancia Sm. Avn = Área del refuerzo perpendicular a la fuerza cortante de diseño comprendida en una distancia Sn. Sm y Sn = Separación de los refuerzos paralelos y perpendicular a la fuerza cortante de diseño, respectivamente. Para calcular Avm y Avn, se propone varilla del # 3, con as = 0.71 cm2, Como es doble parrilla, entonces decimos que: Avm = Avn =2 x 0.71cm2 = 1.42 cm …Bien. Por lo tanto se dice que: Sm = Avm 1.42cm 2 = = 20.53cm , Pmt 0.003459 × 20cm Para el acero paralelo a la fuerza cortante se usarán varilla # 3 @ 20 cm. Sn = Avn 1.42cm 2 = = 23.01cm , para el acero perpendicular a la fuerza cortante Pnt 0.003085 × 20cm se usarán varilla # 3 @ 23 cm. Y se procede armar el alma del muro de la siguiente manera, ver figura 4.22. En ningún caso se admitirá que la fuerza cortante de diseño, VU, sea mayor que: 2 FR Acm f *c, En caso contrario se deberá revisar el espesor del muro para modificarlo si es necesario: 152 VU =106,200 Kg < 2 × .80 × 20cm × 250cm × 200 Kg / cm 2 = 113,137 Kg …Bien. Va # 3 @ 23 cm t=0.2 Alm a del m uro=1.75 Va # 3 @ 20cm Planta del m uro Figura 4.22 Armado del alma del muro M-2 en planta baja. 4.3.2.2.- Muro del primer nivel. Datos: Hm = 260 cm L = 250 cm t = b = 20 cm σy ultimo = 105.61 Kg/cm2 x 1.1 (F.C) = 116.17 Kg/cm2 τxy ultimo = 19.45 Kg/cm2 x 1.1 (F.C) = 21.40 Kg/cm2 f´c = 250 Kg/cm2, f*c = 200 Kg/cm2, f´´c = 170 Kg/cm2 fy = 4200 Kg/cm2 I = 26´041,667 cm4 Pu = 77,200 Kg Aplicando las ecuaciones 4.1 y 4.2 obtenemos que: Mu = Vu = • 116.17 Kg / cm 2 × 26´041,667´cm 4 = 24´202,084 Kg − cm 125cm 21.40 Kg / cm 2 × 26´041,667cm 4 × 20cm = 71,333.33Kg 156,250cm3 Calculo del momento resistente MR para el armado de los extremos del muro. 153 Tomando en cuenta lo estipulado en las N.T.C. Concreto incisos: 6.5.2.1 y 6.5.2.3 a, la resistencia a flexión en muros sujetos a fuerzas horizontales en su plano se puede calcular con la siguiente ecuación: M R = FR AS f y d (1− 0.5q ) Esto, si PU < 0.3 f ′cAg y la relación (4.3) L < 70 t PU =77,200 Kg < 0.30 x 250 Kg/cm2 x 20 cm x 250 cm = 375,000 Kg...Bien. 250 cm / 20 cm = 12.50 …Bien. Donde: FR = Factor de resistencia estipulado en N.T.C. concreto, para flexión: 0.90 AS = Área de acero a flexión. fY = Fluencia del acero. P = AS/db porcentaje de acero q = (P x fY) / f´´c d = Peralte efectivo de la sección de muro sujeto a flexión. • Obtención del peralte efectivo. De acuerdo con lo estipulado en las N.T.C. concreto inciso 6.5.2.3 b, referente a la colocación del refuerzo vertical a flexión: “ En muros con relación Hm/L no mayor que 1.2, el refuerzo vertical para flexión o flexocompresión que se calcule en la sección de momento máximo se prolongará recto y sin reducción en toda la altura del muro, distribuido den los extremos de éste en anchos iguales a (0.25 – 0.1 Hm / L) L, medido desde el correspondiente borde, perno no mayor que 0.4 Hm”. Si la relación Hm/L es mayor que 1.2, el refuerzo para flexión o flexocompresión se colocará en los extremos del muro en anchos iguales a 0.15 L medidos desde el correspondiente borde. 154 Como Hm/L = 260 cm / 250 cm =1.04 < 1.20; entonces, de acuerdo a esto y la figura 4.23 se determina que el peralte efectivo es la distancia del centroide del acero a flexión y la fibra extrema a compresión. Por lo tanto: ⎡ ⎛ 260 ⎞⎤ ⎢0.25 − 0.1⎜ 250 ⎟⎥ 250 = 36.50cm …Bien. ⎝ ⎠⎦ ⎣ 0.40 × 260 = 104cm Alma del muro=1.75 Extremo del muro Extremo del muro Planta del muro Figura 4.23 Determinación del peralte efectivo en muro M-2 Nivel 1. Entonces el peralte efectivo de la sección será: d=2.31 Para el cálculo de MR se debe proponer As, así que se calculará el área de acero mínimo Asmin, de acuerdo a la formula 4.4 expuesta en las N.T.C. concreto inciso 2.2.1 As min = 0.7 f ´c bd fy (4.4) ⎛ 0.70 × 250 ⎞ ⎟(20 )(231) = 12.01cm 2 As min = ⎜⎜ ⎟ 4200 ⎠ ⎝ P= 12.01cm 2 = 0.0026 20cm × 231cm 155 q= 0.0026 × 4200 Kg / cm 2 = 0.064235 170 Kg / cm 2 ∴ M R = 0.90 × 12.01cm 2 × 4200 Kg / cm 2 [231cm(1 − 0.5 × 0.064235)] = 10´150,078Kg − cm Como MU > MR entonces se debe proponer una mayor área de acero hasta lograr que se invierta la condicionante anterior: Si con AS =12.01 Cm2 tenemos que MR = 10´150,078 Kg-cm Entonces para MU = 24´202,084 Kg-cm tendremos un AS ≈ 31 cm2 Con esta área de acero procedemos a calcular el momento resistente: P= 31cm2 = 0.0067099 20cm × 231cm q= 0.0067099 × 4200 Kg / cm 2 = 0.165775 170 Kg / cm 2 M R = 0.90 × 31cm 2 × 4200 Kg / cm 2 × 231cm(1 − 0.50 × 0.165775) = 24´824,928Kg − cm Como MR>MU, tomamos como óptima el área de acero = 66 cm2 para armar cada extremo del muro, sin antes comprobar que no pase del máximo permisible de acuerdo con la ecuación 4.5. Expuesta en las N.T.C. concreto inciso 2.2.2 Asb = f ´´c 60001 β1 bd fy fy + 6000 Asb = 170 Kg / cm2 6000 × 0.85 (20)(231) = 93.50cm2 > 31 cm2 …Bien. 2 2 4200 Kg / cm 4200 Kg / cm + 6000 (4.5) Por lo tanto se procede armar el extremo del muro con AS = 31 cm2 ver figura 4.24. Proponemos varillas: (4 # 7 = 15.52 cm2))+ (6 # 6 = 17.10 cm2 )= 32.62 cm2 >31 cm2 156 Extremo Alma del muro bc=0.32 E#3@10cm bc=0.15 6#6 4#7 Planta del muro Figura 4.24 Armado a flexión de los extremos del muro M-2 Nivel 1. • Cálculo del acero transversal en los extremos. El acero transversal de los extremos del muro lo determinamos a partir de lo estipulado en las N.T.C. concreto incisos 6.5.2.4 c y 7.3.4 c y de la ecuación 4.6, como se muestra a continuación: ⎛ Ag ⎞ f ´c Ash > 0.30⎜⎜ Sbc − 1⎟⎟ A f ⎝ c ⎠ yh (4.6) Donde: Ash-1 = Área del acero trasversal paralelo al espesor del muro. Ash-2 = Área del acero perpendicular al espesor del muro. Ag = Área de bruta de la sección. Ac = Área del núcleo de concreto confinado. f´c = Esfuerzo máximo de compresión del concreto. fyh = Esfuerzo de fluencia del acero transversal. S = Separación teórica del acero trasversal. bc = Ancho del núcleo de concreto confinado por el acero transversal Ver figura 4.24 Ash-1 = 5 Va´ # 3 = 5 x 0.71 cm2 = 3.55 cm2 Ash-2 = 2 Va´ # 3 = 3 x 0.71 cm2 = 1.42 cm2 Para el acero paralelo al espesor de muro tenemos: 157 ⎛ 740 ⎞⎛ 250 ⎞ 2 Ash −1 > 0.30⎜ − 1⎟⎜ ⎟(10)(32) = 3.10cm , por lo tanto s = 10 cm ….Bien. ⎝ 480 ⎠⎝ 4200 ⎠ Para el acero perpendicular al espesor tenemos: ⎛ 740 ⎞⎛ 250 ⎞ 2 Ash − 2 > 0.30⎜ − 1⎟⎜ ⎟(10)(15) = 1.42cm , por lo tanto s = 10 cm ….Bien. 480 4200 ⎝ ⎠⎝ ⎠ Conforme a lo anterior, los estribos y grapas que restringen el pandeo del acero a flexión en los extremos del muro, serán con varilla del # 3 @ 10 cm. Ver figura 4.24. • Armado del alma del muro. Para determinar la cantidad de acero que toma el alma del muro, se hace referencia a lo indicado por las N.T.C. concreto inciso 6.5.2.5 a,b,c,d. Si la relación Hm/L< 1.5, el cortante resistente del muro VCR lo podemos calcular con la siguiente ecuación: VCR = 0.85 FR f * ctL (4.7) Donde: FR = Factor de resistencia para cortante: 0.80 f*c = Resistencia del concreto reducida = 200 Kg/cm2 t = Espesor del muro. L = Ancho del muro. Como: 260/250=1.04 < 1.50, Entonces VCR = 0.85 × 0.80 × 200 × 20 × 250 = 48,083Kg Ya que VU > VCR, se debe calcular el porcentaje de acero para el acero paralelo a la fuerza cortante Pm y para el perpendicular a la fuerza cortante Pn con las siguientes formulas: Pm = VU − VCR FR fyAcm Hm ⎞ ⎛ Pn = 0.0025 + 0.5⎜ 2.5 − ⎟(Pm − 0.0025) L ⎠ ⎝ (4.8) (4.9) Donde Acm = Área bruta de la sección sujeta al cortante. 158 Aplicando la ecuación 4.8 y 4.9: Pm = 71,333Kg − 48,083Kg = 0.00138 0.80 × 4200 Kg / cm 2 × 250cm × 20cm 260 ⎞ ⎛ Pn = 0.0025 + 0.5⎜ 2.5 − ⎟(0.00138 − 0.0025) = 0.00168 250 ⎠ ⎝ Como Pm y Pn son menores que el mínimo especificado, entonces armamos el alma del muro con el porcentaje mínimo = 0.0025 Para la distribución del acero empleamos las siguientes formulas: Pm = Pn = Avm y Smt Avn Snt Donde: Avm = Área del refuerzo paralelo a la fuerza cortante de diseño comprendida en una distancia Sm. Avn = Área del refuerza perpendicular a la fuerza cortante de diseño comprendida en una distancia Sn. Sm y Sn = Separación de los refuerzos paralelos y perpendicular a la fuerza cortante de diseño, respectivamente. Entonces para calcular Avm y Avn, se proponen Varillas del # 3, con as = 0.71 cm2, como es doble parrilla, entonces se dice que: Avm = Avn =2 x 0.71cm2 = 1.42 cm … Bien. Por lo tanto se dice que: Sm = Avm 1.42cm 2 = = 28.40cm , Pmt 0.0025 × 20cm Para el acero paralelo a la fuerza cortante se usarán varilla # 3 @ 28 cm. 159 Sn = Avn 1.42cm 2 = = 28.40cm , para el acero perpendicular a la fuerza cortante se Pnt 0.0025 × 20cm usarán varilla # 3 @ 28 cm. Y procedemos armar el alma del muro de la siguiente manera, ver figura 4.25. En ningún caso se admitirá que la fuerza cortante de diseño, VU, sea mayor que: 2 FR Acm f *c, En caso contrario se deberá revisar el espesor del muro para modificarlo si es necesario: VU =71,333 Kg< 2 × .80 × 20cm × 250cm × 200 Kg / cm 2 = 113,137 Kg … Bien. Va # 3 @ 28 cm t=0.2 Alma del muro=1.75 Va # 3 @ 28 cm Planta del muro Figura 4.25 Armado del alma del muro M-2 (Niveles 1 al 10). Como el esfuerzo cortante τxy de este muro es mayor que el de los consecutivos muros de los niveles 1 al l0, el armado de la figura 4.25 será valido para los muros de los niveles 1 al 10. 4.3.2.3.- Muro del segundo nivel. Datos: Hm = 260 cm L = 250 cm t = b = 20 cm 160 σy ultimo = 77.86 Kg/cm2 x 1.1 (F.C) = 85.65 Kg/cm2 σxy ultimo = 12.80 Kg/cm2 x 1.1 (F.C) = 14.08 Kg/cm2 f´c = 250 Kg/cm2, f*c = 200 Kg/cm2, f´´c = 170 Kg/cm2 fy = 4200 Kg/cm2 I = 26´041,667 cm4 Pu = 69,270 Kg Aplicando las ecuaciones 4.1 y 4.2 se obtiene que: Mu = • 85.65Kg / cm 2 × 26´041,667´cm 4 = 17´843,750.20 Kg − cm 125cm Cálculo del momento resistente MR para el armado de los extremos del muro. M R = FR AS f y d (1− 0.5q ) Esto, si PU < 0.3 f ′cAg y la relación (4.3) L < 70 t PU =69,270 Kg < 0.30 x 250 Kg/cm2 x 20 cm x 250 cm = 375,000 Kg …Bien. 250 cm / 20 cm = 12.50 ….Bien. Como Hm/L = 260 cm / 250 cm =1.04 < 1.20; entonces, de acuerdo a esto y la figura 4.26 determinamos que el peralte efectivo es la distancia del centroide del acero a flexión y la fibra extrema a compresión. ⎡ ⎛ 260 ⎞⎤ ⎢0.25 − 0.1⎜ 250 ⎟⎥ 250 = 36.50cm … Bien. ⎝ ⎠⎦ ⎣ 0.40 × 260 = 104cm 161 Centroide del acero a flexión t=0.2 Alma del muro=1.75 Extremo del muro Extremo del muro Planta del muro Figura 4.26 Determinación del peralte efectivo en muro M-2 Nivel 2. Para el cálculo de MR debemos proponer As, así que calculamos el área de acero mínimo Asmin, de acuerdo a la formula 4.4 expuesta en las N.T.C. concreto inciso 2.2.1 As min = 0.7 f ´c bd fy (4.4) ⎛ 0.70 × 250 ⎞ ⎟(20 )(231) = 12.01cm 2 As min = ⎜⎜ ⎟ 4200 ⎠ ⎝ P= 12.01cm 2 = 0.0026 20cm × 231cm q= 0.0026 × 4200 Kg / cm 2 = 0.064235 170 Kg / cm 2 ∴ M R = 0.90 × 12.01cm 2 × 4200 Kg / cm 2 [231cm(1 − 0.5 × 0.064235)] = 10´150,078Kg − cm Como MU > MR entonces debemos proponer una mayor área de acero hasta lograr que se invierta la condicionante anterior: Si con AS =12.01 Cm2 tenemos que MR = 10´150,078 Kg-cm Entonces para MU = 17´843,750.20 Kg-cm tendremos un AS ≈ 22 cm2 Con esta área de acero procedemos a calcular el momento resistente: 22cm 2 P= = 0.004762 20cm × 231cm 162 q= 0.004762 × 4200 Kg / cm 2 = 0.117647 170 Kg / cm 2 M R = 0.90 × 22cm 2 × 4200 Kg / cm2 × 231cm(1 − 0.50 × 0.117647 ) = 18´079,962.35 Kg − cm Como MR>MU, tomamos como optima el área de acero = 22 cm2 para armar cada extremo del muro, sin antes comprobar que no pase del máximo permisible de acuerdo con la ecuación 4.5. Expuesta en las N.T.C. concreto inciso 2.2.2 Asb = 170 Kg / cm2 6000 × 0.85 (20)(231) = 93.50cm2 > 22 cm2 ok. 2 2 4200 Kg / cm 4200 Kg / cm + 6000 Por lo tanto se procede armar el extremo del muro con AS = 22 cm2 ver figura 4.27. Proponemos varillas: (4 # 6 = 11.40 cm2 )+( 6 # 5 = 11.88 cm2 ) = 23.28 cm2 >22 cm2 Alma del muro bc=0.32 E#3@10cm bc=0.15 6#5 4#6 Figura 4.27 Armado a flexión de los extremos del muro M-2 Nivel 2. • Cálculo del acero transversal en los extremos. El acero transversal de los extremos del muro lo determinamos a partir de lo estipulado en las N.T.C. concreto incisos 6.5.2.4 c y 7.3.4 c y de la ecuación 4.6, como se muestra a continuación: Ash-1 = 5 Va´ # 3 = 5 x 0.71 cm2 = 3.55 cm2 Ash-2 = 2 Va´ # 3 = 3 x 0.71 cm2 = 1.42 cm2 163 Para el acero paralelo al espesor de muro tenemos: ⎛ 740 ⎞⎛ 250 ⎞ 2 Ash −1 > 0.30⎜ − 1⎟⎜ ⎟(10)(32) = 3.10cm , por lo tanto s = 10 cm … Bien. 480 4200 ⎝ ⎠⎝ ⎠ Para el acero perpendicular al espesor tenemos: ⎛ 740 ⎞⎛ 250 ⎞ 2 Ash − 2 > 0.30⎜ − 1⎟⎜ ⎟(10)(15) = 1.42cm , por lo tanto s = 10 cm … Bien. ⎝ 480 ⎠⎝ 4200 ⎠ Conforme a lo anterior, los estribos y grapas que restringen el pandeo del acero a flexión en los extremos del muro, serán con varilla del # 3 @ 10 cm. Ver figura 4.27. 4.3.2.4.- Muro del tercer nivel. Datos: Hm = 260 cm L = 250 cm t = b = 20 cm σy ultimo = 55.65 Kg/cm2 x 1.1 (F.C) = 61.22 Kg/cm2 F´c = 250 Kg/cm2, F*c = 200 Kg/cm2, F´´c = 170 Kg/cm2 Fy = 4200 Kg/cm2 I = 26´041,667 cm4 Pu = 61,380Kg Aplicando las ecuaciones 4.1 y 4.2 obtenemos que: Mu = • 61.22 Kg / cm 2 × 26´041,667´cm 4 = 12754´,167 Kg − cm 125cm Cálculo del momento resistente MR para el armado de los extremos del muro. M R = FR AS f y d (1− 0.5q ) Esto, si PU < 0.3 f ′cAg y la relación (4.3) L < 70 t PU =61,380 Kg < 0.30 x 250 Kg/cm2 x 20 cm x 250 cm = 375,000 Kg.... Bien. 250 cm / 20 cm = 12.50 …. Bien. 164 Para el cálculo de MR debemos proponer As, así que calculamos el área de acero mínimo Asmin, de acuerdo a la formula 4.4 expuesta en las N.T.C. concreto inciso 2.2.1 As min = 0.7 f ´c bd fy (4.4) ⎛ 0.70 × 250 ⎞ ⎟(20 )(231) = 12.01cm 2 As min = ⎜⎜ ⎟ 4200 ⎠ ⎝ P= 12.01cm 2 = 0.0026 20cm × 231cm q= 0.0026 × 4200 Kg / cm 2 = 0.064235 170 Kg / cm 2 ∴ M R = 0.90 × 12.01cm 2 × 4200 Kg / cm 2 [231cm(1 − 0.5 × 0.064235)] = 10´150,078Kg − cm Como MU > MR entonces se debe proponer una mayor área de acero hasta lograr que se invierta la condicionante anterior: Si con AS =12.01 Cm2 tenemos que MR = 10´150,078 Kg-cm Entonces para MU = 12´754,167 Kg-cm tendremos un AS ≈ 16 cm2 Con esta área de acero procedemos a calcular el momento resistente: 16cm2 P= = 0.003463 20cm × 231cm 0.003463 × 4200 Kg / cm 2 q= = 0.0855615 170 Kg / cm 2 M R = 0.90 × 16cm2 × 4200 Kg / cm2 × 231cm(1 − 0.50 × 0.08556615) = 13´373,195Kg − cm Como MR>MU, tomamos como optima el área de acero = 16 cm2 para armar cada extremo del muro, sin antes comprobar que no pase del máximo permisible de acuerdo con la ecuación 4.5. Expuesta en las N.T.C. concreto inciso 2.2.2 Asb = 170 Kg / cm2 6000 × 0.85 (20)(231) = 93.50cm2 > 16 cm2 … Bien. 2 4200 Kg / cm 4200 Kg / cm 2 + 6000 Por lo tanto, se procede armar el extremo del muro con AS = 16 cm2 ver figura 4.28. 165 Proponiendo varillas: (4 # 4 = 5.08 cm2 )+ (6 # 5 = 11.88 cm2 ) = 16.96 cm2 >16 cm2 Extremo Alma del muro bc=0.32 E#3@10cm bc=0.15 4#4 6#5 Figura 4.28 Armado a flexión de los extremos del muro M-2 Nivel 3. • Cálculo del acero transversal en los extremos. El acero transversal de los extremos del muro lo determinamos a partir de lo estipulado en las N.T.C. concreto incisos 6.5.2.4 c y 7.3.4 c y de la ecuación 4.6, como se muestra a continuación: Ash-1 = 5 Va´ # 3 = 5 x 0.71 cm2 = 3.55 cm2 Ash-2 = 2 Va´ # 3 = 3 x 0.71 cm2 = 1.42 cm2 Para el acero paralelo al espesor de muro tenemos: ⎛ 740 ⎞⎛ 250 ⎞ 2 Ash −1 > 0.30⎜ − 1⎟⎜ ⎟(10)(32) = 3.10cm , por lo tanto s = 10 cm … Bien. ⎝ 480 ⎠⎝ 4200 ⎠ Para el acero perpendicular al espesor tenemos: ⎛ 740 ⎞⎛ 250 ⎞ 2 Ash − 2 > 0.30⎜ − 1⎟⎜ ⎟(10)(15) = 1.42cm , por lo tanto s = 10 cm … Bien. 480 4200 ⎝ ⎠⎝ ⎠ Conforme a lo anterior, los estribos y grapas que restringen el pandeo del acero a flexión en los extremos del muro, serán con varilla del # 3 @ 10 cm. Ver figura 4.28. 166 4.3.2.5.- Muro del cuarto nivel. Datos: Hm = 260 cm L = 250 cm t = b = 20 cm σy ultimo = 36.79 Kg/cm2 x 1.1 (F.C) = 40.47 Kg/cm2 f´c = 250 Kg/cm2, f*c = 200 Kg/cm2, f´´c = 170 Kg/cm2 fy = 4200 Kg/cm2 I = 26´041,667 cm4 Pu = 53,390 Kg Aplicando las ecuaciones 4.1 y 4.2 obtenemos que: Mu = • 40.47 Kg / cm2 × 26´041,667´cm4 = 8´431,250 Kg − cm 125cm Cálculo del momento resistente MR para el armado de los extremos del muro. M R = FR AS f y d (1− 0.5q ) Esto, si PU < 0.3 f ′cAg y la relación (4.3) L < 70 t PU =53,380 Kg < 0.30 x 250 Kg/cm2 x 20 cm x 250 cm = 375,000 Kg.... Bien. 250 cm / 20 cm = 12.50 … Bien. ∴ M R = 0.90 × 12.01cm 2 × 4200 Kg / cm 2 [231cm(1 − 0.5 × 0.064235)] = 10´150,078Kg − cm Como MU < MR entonces armamos el extremo del muro con el acero mínimo: 12.01 cm2 Proponiendo varillas: 10 # 4 = 12.70 cm2 > 12.01 cm2 167 E xtrem o A lm a del m uro bc=0.32 E #3@ 10cm bc=0.15 10#4 Planta del m uro Figura 4.29 Armado a flexión de los extremos del muro M-2 (Niveles 4 al 10). • Cálculo del acero transversal en los extremos. El acero transversal de los extremos del muro lo determinamos a partir de lo estipulado en las N.T.C. concreto incisos 6.5.2.4 c y 7.3.4 c y de la ecuación 4.6, como se muestra a continuación: Ash-1 = 5 Va´ # 3 = 5 x 0.71 cm2 = 3.55 cm2 Ash-2 = 2 Va´ # 3 = 3 x 0.71 cm2 = 1.42 cm2 Para el acero paralelo al espesor de muro tenemos: ⎛ 740 ⎞⎛ 250 ⎞ 2 Ash −1 > 0.30⎜ − 1⎟⎜ ⎟(10)(32) = 3.10cm , por lo tanto s = 10 cm … Bien. ⎝ 480 ⎠⎝ 4200 ⎠ Para el acero perpendicular al espesor tenemos: ⎛ 740 ⎞⎛ 250 ⎞ 2 Ash − 2 > 0.30⎜ − 1⎟⎜ ⎟(10)(15) = 1.42cm , por lo tanto s = 10 cm … Bien. 480 4200 ⎝ ⎠⎝ ⎠ Conforme a lo anterior, los estribos y grapas que restringen el pandeo del acero a flexión en los extremos del muro, serán con varilla del # 3 @ 10 cm. Ver figura 4.29. El armado de la figura 4.29 será el mismo para los muros de los niveles 4 al 10, ya que a partir de este nivel los esfuerzos solo requieren en mínimo porcentaje de acero a flexión. 168 4.3.3.- Diseño de muro tipo M-3, ejes A y F del proyecto II. El diseño del siguiente muro es diferente a los anteriores muros (M-1 y M-2) diseñados en los incisos 4.3.1 y 4.3.2, los cuales están unidos por vigas de conexión ó acoplamiento formando un cubo central en la estructura del edificio. En el proyecto II la estructura del edificio aparte de contar con un cubo central formado por los muros M-1 y M-2, se colocarán muros en dos caras laterales de la estructura en cuya dirección la rigidez y momentos de inercia de los elementos estructurales son menores. Para fines prácticos solo se realizará el diseño del muro M-3 ubicado en los ejes laterales A y F del proyecto II, ya que los muros del cañón central de la estructura tienen un diseño similar al del cañón del proyecto I. La importancia de realizar el diseño del muro M-3 recae en la forma que presenta, ya que no solo tenemos un muro de gran altura formado por diferentes segmentos si no también tres hileras de aberturas colocadas simétricamente y divididas por vigas de conexión que unen los segmentos de muro en cada entrepiso (muros acoplados). En la figura 4.30 se presenta la forma estructural del edificio descrito en el proyecto II y el diagrama que muestra la distribución de esfuerzos σy en cada elemento finito que forman la estructura de los muros y losas diafragma después de haber sido analizado por el programa STAAD.Pro bajo la combinación de cargas sísmicas más desfavorables. Como se menciono anteriormente, los esfuerzos σy representan los esfuerzos actuantes de membrana en las placas que forman los muros, es decir, la distribución de los esfuerzos a compresión o tensión de los muros cuando están sujetos a cargas actuantes en su plano provocándoles flexión. En la figura 4.30 se puede observar la distribución de esfuerzos a compresión y tensión por medio de la variación en la colorimetría de cada segmento de muro, cada color tiene un valor y de acuerdo a una escala se asignan valores negativos y positivos para los esfuerzos de compresión y tensión respectivamente. Esto es de gran ayuda para el diseño de muros, ya que gráficamente podemos observar la variación de esfuerzos en cualquier zona del muro, 169 desde el segmento de planta baja hasta el del último nivel, así como en cualquier zona de cada uno de estos ya sean centro o bordes. Figura 4.30 Distribución de esfuerzos σy en estructura con muros acoplados colindantes sujeta a cargas sísmicas. 4.3.3.1.- Muro de planta baja. Datos: Hm = 320 cm L = 1610 cm t = b = 20 cm σy ultimo = 68.65 Kg/cm2 x 1.1 = 75.52 Kg/cm2 τxy ultimo = 10.00 Kg/cm2 x 1.1 = 11.00 Kg/cm2 f´c = 250 Kg/cm2, f*c = 200 Kg/cm2, f´´c = 170 Kg/cm2 fy = 4200 Kg/cm2 I = 6,955´468,333 cm4 Pu = 536,190 Kg 170 • Cálculo del momento resistente MR para el armado de los extremos del muro. Tomando en cuenta lo estipulado en las N.T.C. Concreto incisos: 6.5.2.1 y 6.5.2.3 a, la resistencia a flexión en muros sujetos a fuerzas horizontales en su plano se puede calcular con la siguiente ecuación: M R = FR AS f y d (1 − 0.5q ) Esto si PU < 0.3 f ′cAg y la relación (4.3) L < 70 t Entonces como: PU = 536,190 Kg < 0.30 x 250 Kg/cm2 x 23 cm x 1610 cm = 2´777,250 Kg … Cumple Y como 1610 cm / 20 cm = 80.50 >70 Por lo tanto no cumple una de las condiciones generales que restringe el ancho del muro de la siguiente manera, si t = 20 cm y el límite son L / 70, entonces se puede despejar la fórmula de la siguiente manera: L = 70 × 20cm = 1400cm Esto indica que el máximo ancho de muro debe ser 1400 cm y se tiene que nuestro muro tiene un ancho de 1610 cm. A partir de esto se deduce que la condicionante no está en función del ancho del muro, si no del espesor, y se procede a despejar “t” de la siguiente manera: t = L 1610cm = = 23cm 70 70 Por lo tanto se debe cambiar el espesor del muro a 23 cm. Calculando nuevamente el momento de inercia con t = 23 cm I = 7,998´788,583 cm4 171 Aplicando las ecuaciones 4.1 y 4.2, se obtiene nuevamente el momento y cortante último: Mu = Vu = 75.52 Kg / cm 2 × 7,998´788,583cm 4 = 750´395,669 Kg − cm 805cm 11.00 Kg / cm 2 × 7,998´788,583cm 4 × 23cm = 271,553.33Kg 7´452,287.5cm 3 Aplicando la ecuación: M R = FR AS f y d (1 − 0.5q ) Donde: FR = Factor de resistencia estipulado en N.T.C. concreto, para flexión: 0.90 AS = Área de acero a flexión. fY = Fluencia del acero. P = AS/db porcentaje de acero. q = (P x fY) / f´´c d = Peralte efectivo de la sección de muro sujeto a flexión. De acuerdo con lo estipulado en la N.T.C. concreto inciso 6.5.2.3 b, referente a la colocación del refuerzo vertical a flexión: “ En muros con relación Hm/L no mayor que 1.2, el refuerzo vertical para flexión o flexocompresión que se calcule en la sección de momento máximo se prolongará recto y sin reducción en toda la altura del muro, distribuido den los extremos de éste en anchos iguales a (0.25 – 0.1 Hm / L) L, medido desde el correspondiente borde, perno no mayor que 0.4 Hm”. Si la relación Hm/L es mayor que 1.2, el refuerzo para flexión o flexocompresión se colocará en los extremos del muro en anchos iguales a 0.15 L medidos desde el correspondiente borde. Como Hm/L = 320 cm / 1610 cm = 0.20 < 1.20; Entonces, de acuerdo a esto y la figura 4.31 se determina que el peralte efectivo es la distancia del centroide del acero a flexión y la fibra extrema a compresión. ⎡ ⎛ 320 ⎞⎤ ⎢0.25 − 0.1⎜ 1610 ⎟⎥1610 = 370.50cm ⎝ ⎠⎦ ⎣ 172 0.40 × 3.20 = 128.00cm ….Bien. Este valor será válido para el ancho de cada uno de los extremos en los cuales estará colocado el acero por flexión determinado por la ecuación 4.3. C e n tr o id e d e l a c e r o a fle x ió n . P e r a lte e fe c tiv o : d = 1 5 .4 0 D is ta n c ia p a r a d is tr ib u ir e l a c e r o a fle x ió n e n lo s e x tr e m o s M u r o M - 3 p la n ta b a ja ( p la n ta ) Figura 4.31 Determinación del peralte efectivo en muro M-3 P.B. Para el cálculo de MR se debe proponer As, así que se calculará el área de acero mínimo Asmin, de acuerdo a la fórmula 4.4 expuesta en las N.T.C. concreto inciso 2.2.1 As min = 0.7 f ´c bd fy (4.4) ⎛ 0.70 × 250 ⎞ ⎟(23)(1540 ) = 93.34cm 2 As min = ⎜⎜ ⎟ 4200 ⎠ ⎝ p= 93.34cm 2 = 0.0026 23cm × 1540cm 0.0026 × 4200 Kg / cm 2 q= = 0.064235 170 Kg / cm 2 ∴ M R = 0.90 × 93.34cm 2 × 4200 Kg / cm 2 [1540cm(1 − 0.5 × 0.064235)] = 525´899,658.52 Kg-cm Como MU > MR entonces se propondrá una mayor área de acero hasta lograr que se invierta la condicionante anterior: 173 Si con AS = 93.34 cm2 se tiene que: MR = 525´899,658.52 Kg-cm Entonces para MU = 750´395,669 Kg-cm tendremos un AS ≈ 136 cm2 Con esta área de acero se procede a calcular el momento resistente: p= 136cm 2 = 0.003840 23cm × 1540cm q= 0.003840 × 4200 Kg / cm 2 = 0.094862 170 Kg / cm 2 M R = 0.90 × 136cm 2 × 4200 Kg / cm 2 × 1540cm(1 − 0.50 × 0.09486) = 754´133,008 Kg-cm Como MR>MU, se tomara como óptima el área de acero = 136 cm2 para armar cada extremo del muro, sin antes comprobar que no pase del máximo permisible de acuerdo con la ecuación 4.5. Expuesta en las N.T.C. concreto inciso 2.2.2 Asb = f ´´c 60001 β 1 bd fy fy + 6000 Asb = 170 Kg / cm 2 6000 × 0.85 (23)(1540) = 716.83cm 2 > 136 cm2 ....Bien 2 2 4200 Kg / cm 4200 Kg / cm + 6000 (4.5) Por lo tanto se procede armar cada extremo del muro con AS = 136 cm2 ver figura 4.32. Proponiendo varillas del # 8 con As = 5.07 cm2 Se colocarán 28 varillas del # 8 = 141.96 cm2 > 136 cm2 ... Bien. 174 Extrem o = 128 cm = 0.40 x H m bc =123 cm b=t=23cm bc=20cm 6.72 cm G rapas #3@ 12 cm E#3@ 12 cm 28 #8 Planta del m uro Figura 4.32 Armado a flexión de los extremos del muro M-3 P.B. • Cálculo del acero transversal en los extremos. El acero transversal de los extremos del muro lo determinamos a partir de lo estipulado en las N.T.C. concreto incisos 6.5.2.4 c y 7.3.4 c y de la ecuación 4.6, como se muestra a continuación: ⎛ Ag ⎞ f ´c Ash > 0.30⎜⎜ sbc − 1⎟⎟ A f ⎝ c ⎠ yh (4.6) Donde: Ash-1 = Área del acero trasversal paralelo al espesor del muro. Ash-2 = Área del acero perpendicular al espesor del muro. Ag = Área de bruta de la sección. Ac = Área del núcleo de concreto confinado. f´c = Esfuerzo máximo de compresión del concreto. fyh = Esfuerzo de fluencia del acero transversal. s = Separación teórica del acero trasversal. bc = Ancho del núcleo de concreto confinado por el acero transversal Ver figura 4.32 Ash-1 = 14 Va´ # 3 = 14 x 0.71 cm2 = 9.94 cm2 Ash-2 = 2 Va´ # 3 = 3 x 0.71 cm2 = 1.37 cm2 Para el acero paralelo al espesor del muro la separación de estribos será igual a: 175 ⎛ 23 × 128 ⎞⎛ 250 ⎞ 2 Ash −1 > 0.30⎜ − 1⎟⎜ ⎟(13)(123) = 9.41cm ..Correcto, la separación será s=13cm ⎝ 18 × 123 ⎠⎝ 4200 ⎠ Para el acero perpendicular al espesor la separación de estribos será igual a: ⎛ 23 × 128 ⎞⎛ 250 ⎞ 2 Ash − 2 > 0.30⎜ − 1⎟⎜ ⎟(13)(18) = 1.37cm ..Correcto, la separación será s=13cm 18 123 4200 × ⎠⎝ ⎠ ⎝ Conforme a lo anterior, decimos que los estribos y grapas que restringen el pandeo del acero a flexión en los extremos del muro serán con varilla del # 3 @ 13 cm. Ver figura 4.32. • Armado del alma del muro. Para determinar la cantidad de acero que toma el alma del muro hacemos referencia a lo indicado por las N.T.C. concreto inciso 6.5.2.5 a,b,c,d. Si la relación Hm/L< 1.5, el cortante resistente del muro VCR lo podemos calcular con la siguiente ecuación: VCR = 0.85 FR f * ctL (4.7) Donde: FR = Factor de resistencia para cortante: 0.80 f*c = Resistencia del concreto reducida = 200 Kg/cm2 t = Espesor del muro. L = Ancho del muro. Como: 320/1610=0.20 < 1.5, entonces: VCR = 0.85 × 0.80 × 200 × 23 × 1610 = 356,104.Kg Para calcular el porcentaje de acero paralelo a la fuerza cortante Pm y para el acero perpendicular a la fuerza cortante Pn utilizamos las siguientes formulas: Pm = VU − VCR FR fyAcm (4.8) 176 Hm ⎞ ⎛ Pn = 0.0025 + 0.5⎜ 2.5 − ⎟(Pm − 0.0025) L ⎠ ⎝ (4.9) Donde Acm = Área bruta de la sección sujeta al cortante. Pero como tenemos que VCR > VU entonces Pm y Pn = 0.0025 y no aplicamos las ecuaciones 4.8 y 4.9 Para la distribución del acero empleamos las siguientes formulas: Pm = Avm Avn y Pn = Smt Snt Donde: Avm = Área del refuerzo paralelo a la fuerza cortante de diseño comprendida en una distancia sm. Avn = Área del refuerza perpendicular a la fuerza cortante de diseño comprendida en una distancia sn. sm y sn = Separación de los refuerzos paralelos y perpendicular a la fuerza cortante de diseño, respectivamente. Entonces para calcular Avm y Avn, proponemos varilla del # 3, con as = 0.71 cm2, como es doble parrilla, entonces decimos que: Avm = Avn =2 x 0.71cm2 = 1.42 cm Por lo tanto deducimos que: Sm = Avm 1.42cm 2 = = 24.70 cm para el acero paralelo a la fuerza cortante se Pm t 0.0025 × 23cm usarán varillas del # 3 @ 24 cm. Sn = Avn 1.42cm 2 = = 24.70 cm para el acero perpendicular a la fuerza cortante se Pn t 0.0025 × 23cm usarán varillas del # 3 @ 24 cm. 177 Y procedemos armar el alma del muro de la siguiente manera ver figura 4.33. En ningún caso se admitirá que la fuerza cortante de diseño, VU, sea mayor que: 2 FR Acm f *c En caso contrario debemos revisar el espesor del muro para modificarlo si es necesario: VU =271,553.33 Kg < 2 × .80 × 23cm × 980cm × 200 Kg / cm 2 = 510,022 Kg ....Bien. Alma del muro d=t= 0.23 cm Va´#3@24 cm Va´#3 @24 cm Grapas # 3 Planta del muro Figura 4.33 Armado del alma del muro M-3 en planta baja. 4.3.3.2.- Muro del primer nivel. Para el siguiente muro el proceso de diseño se modifica en algunos puntos, ya que a partir del segmento de muro en planta baja los siguientes presentan tres hileras de aberturas formando segmentos de muros acoplados. En la figura 4.34 se muestra el alzado en plano del muro M-3 con los segmentos de muros y vigas de conexión ó acoplamiento que lo forman, también se puede observar la distribución de esfuerzos a compresión y tensión (σy) que provocan las solicitaciones sísmicas a las que esta sometido el muro, de acuerdo a la distribución de los esfuerzos que presenta la colorimetría se tomarán los valores máximos promedio de los esfuerzos y serán con los que se diseñe el acero a flexión y el acero necesario para los bordes de aberturas de cada segmento de muro. 178 Muro Nivel 10 Hm= 2.60m Fuerza Sísmica Muro Nivel 9 Hm= 2.60m Muro Nivel 8 Hm= 2.60m Muro Nivel 7 Hm= 2.60m Muro Nivel 6 Hm= 2.60m Muro Nivel 5 Hm= 2.60m Muro Nivel 4 Hm= 2.60m Vigas de Conexión ó Acoplamiento Muro Nivel 3 Hm= 2.60m Aberturas Muro Nivel 2 Hm= 2.60m Muro Nivel 1 Hm= 2.60m A A´ Muro de plata baja Hm=3.20m L = 16.10 m Figura 4.34 Distribución de esfuerzos a compresión y tensión del muro M-3 Datos para el diseño del muro: Hm = 260 cm L = 1610 cm t = b = 23 cm σy ultimo = 70.24 Kg/cm2 x 1.1 = 77.26 Kg/cm2 τxy ultimo = 21.01 Kg/cm2 x 1.1 = 23.11 Kg/cm2 f´c = 250 Kg/cm2, f*c = 200 Kg/cm2, f´´c = 170 Kg/cm2 fy = 4200 Kg/cm2 Pu = 338120 Kg x 1.4 = 473370 Kg 179 Antes de aplicar las ecuaciones 4.1 y 4.2 para obtener el momento y cortante último debemos determinar el momento de inercia (I) por medio del teorema de los ejes paralelos y el momento de primer orden (Q) apoyándonos en la figura 4.35 donde se muestra el muro de planta baja en alzado y corte del mismo con su gráfica de la distribución de esfuerzos σy máximos en la base del muro así como los esfuerzos máximos de compresión y tensión con los que se diseñaran los bordes de muro entre aberturas. c = 805 cm c''=93.5cm c'=151.20 cm Abertura σy máx=82.50Kg/cm2 Hm=2.60 Abertura σy máx=12.70Kg/cm2 Abertura σy máx=40.00Kg/cm2 (Tensión) (Tensión) (Tensión) σy máx= -104.00Kg/cm2 σy máx= -45.00Kg/cm2 σy máx= -57.00Kg/cm2 (Compresión) (Compresión) (Compresión) A A´ (C-0.1L)=74 (C-0.1L)=120 0.40 Hm=104 303 cm (C-0.1L)=74 187 cm Extremo I Extremo II (C-0.1L)=120 303 cm 187 cm Extremo III ALZADO Extremo III Extremo II Centriode de A-2 Centriode de A-1 Centriode de A-2 1610 cm 23 X2 = 198.50 cm 0.40 Hm=104 Extremo I Centriode del áreas A-1 y A-2 Centriode de A-1 X = 479.98 cm σy máx= 70.24 Kg/cm2 X1 = 653.70 cm PLANTA CORTE A-A' σy máx= -69.25 Kg/cm2 Mu DIAGRAMA DE ESFUERZOS σY Figura 4.35 Muro del primer nivel en alzado y plata, ubicando los máximos esfuerzos para el diseño de extremos de muro entre aberturas y diagrama de esfuerzos σy en los extremos laterales para el diseño por flexión. Cálculo del momento de inercia (I) por medio del teorema de lo ejes paralelos: ⎡ (23)(303)3 (23)(187 )3 2 2⎤ I = 2⎢ + + (23)(303)(653.70) + (23)(187 )(198.50) ⎥ = 6,426´678,844 cm4 12 12 ⎣ ⎦ Cálculo del momento de primer orden (Q), para el cálculo del cortante último VU Q = ( A1 + A2 )( X ) 180 (187 × 23)(198.50) + (303 × 23)(653.70) = 479.98 cm (187 × 23) + (303 × 23) Q = [(303 × 23) + (187 × 23)](479.98) = 5´409,375 cm2 – cm X = Con lo anterior se procede a calcular el momento y cortante últimos (MU y VU) aplicando las ecuaciones 4.1 y 4.2: 77.26 Kg / cm 2 × 6,426´678,844cm 4 = 616´801,500 Kg - cm Mu = 805cm 16.39 Kg / cm 2 × 6,426´678,844cm 4 × 23cm Vu = = 447,864.18 Kg 5´409,375cm 2 − cm • Cálculo del momento resistente MR para el armado de los extremos del muro. Tomando en cuenta lo estipulado en las N.T.C. Concreto incisos: 6.5.2.1 y 6.5.2.3 a, la resistencia a flexión en muros sujetos a fuerzas horizontales en su plano se puede calcular con la siguiente ecuación: M R = FR AS f y d (1 − 0.5q ) Esto, si PU < 0.3 f ′cAg y la relación (4.3) L < 70 t Entonces se tiene que : PU =473,370 Kg < 0.30 x 250 Kg/cm2 x 23 cm x 250 cm = 2´777,250 Kg …bien. 1610 cm / 23 cm = 70 …. Bien. De acuerdo con lo estipulado en la N.T.C. concreto inciso 6.5.2.3 b, referente a la colocación del refuerzo vertical a flexión: “ En muros con relación Hm/L no mayor que 1.2, el refuerzo vertical para flexión o flexocompresión que se calcule en la sección de momento máximo se prolongará recto y sin reducción en toda la altura del muro, distribuido den los extremos de éste en anchos iguales a (0.25 – 0.1 Hm / L) L, medido 181 desde el correspondiente borde, perno no mayor que 0.4 Hm”. Si la relación Hm/L es mayor que 1.2, el refuerzo para flexión o flexocompresión se colocará en los extremos del muro en anchos iguales a 0.15 L medidos desde el correspondiente borde. Como: Hm/L = 260 cm / 1610 cm =0.16 < 1.20 Entonces de acuerdo a lo anterior y la figura 4.36 se determina que el peralte efectivo será la distancia del centroide del acero a flexión y la fibra extrema a compresión. ⎡ ⎛ 260 ⎞⎤ ⎢0.25 − 0.1⎜ 1610 ⎟⎥1610 = 376.50cm .... No aplica ⎝ ⎠⎦ ⎣ 0.40 × 260 = 104cm .... Bien. L = 1610 cm d = 1558 cm Extrem o del m uro = 128 cm = 0.40 x H m b=t=23cm C entroide del acero a flexión Figura 4.36 Determinación del peralte efectivo en muro M-3 Nivel 1. Para el cálculo de MR debemos proponer As, así que calculamos el área de acero mínimo Asmin, de acuerdo a la fórmula 4.4 expuesta en las N.T.C. concreto inciso 2.2.1 As min = 0.7 f ´c bd fy (4.4) ⎛ 0.70 × 250 ⎞ ⎟(23)(1558) = 93.17 cm2 As min = ⎜⎜ ⎟ 4200 ⎝ ⎠ p= 93.17cm 2 = 0.0026 23cm × 1558cm q= 0.0026 × 4200 Kg / cm 2 = 0.064235 170 Kg / cm 2 182 ∴ M R = 0.90 × 93.17cm 2 × 4200 Kg / cm 2 [1558cm(1 − 0.5 × 0.064235)] = 531´077,522.10 Kg-cm Como MU > MR entonces se debe proponer una mayor área de acero hasta lograr que se invierta la condicionante anterior: Si con AS =93.17 Cm2 se tiene que MR = 531´077,522.10 Kg-cm Entonces para MU = 616´801,500 Kg-cm se tendrá una AS ≈ 109 cm2 Con esta área de acero se procede a calcular el momento resistente: P= 109cm 2 = 0.00304 23cm × 1558cm 0.00304 × 4200 Kg / cm 2 q= = 0.07515 170 Kg / cm 2 M R = 0.90 × 109cm 2 × 4200 Kg / cm 2 × 1558cm(1 − 0.50 × 0.07515) = 617´806,603 Kg-cm Como MR>MU, se tomará como óptima el área de acero = 109 cm2 para armar cada extremo del muro, sin antes comprobar que no pase del máximo permisible de acuerdo con la ecuación 4.5. Expuesta en las N.T.C. concreto inciso 2.2.2 Asb = f ´´c 60001 β 1 bd fy fy + 6000 Asb = 170 Kg / cm 2 6000 × 0.85 (23)(1558) = 725.21cm 2 > 109 cm2... Bien 2 2 4200 Kg / cm 4200 Kg / cm + 6000 (4.5) Por lo tanto procedemos armar el extremo del muro con AS = 109 cm2 ver figura 4.37. Proponiendo varillas del # 8, con As = 5.07 cm2 Se tiene un número aproximado de varillas = 109 cm2 / 5.07 cm2 = 21.50 pzas, se toman 22 pzas. 183 Extremo = 104 cm = 0.40 x Hm bc = 99 cm b=t=23cm bc=20cm 7.36 Grapas #3@12 cm 22 # 8 E#3@12 cm Planta del muro Figura 4.37 Armado a flexión de los extremos del muro M-3 Nivel 1. • Cálculo del acero transversal en los extremos. El acero transversal de los extremos del muro lo determinamos a partir de lo estipulado en las N.T.C. concreto incisos 6.5.2.4 c y 7.3.4 c y de la ecuación 4.6, como se muestra a continuación: ⎛ Ag ⎞ f ´c − 1⎟⎟ Ash > 0.30⎜⎜ Sbc ⎝ Ac ⎠ f yh (4.6) Ash-1 = 11 Var. # 3 = 11 x 0.71 cm2 = 7.81 cm2 Ash-2 = 2 Var. # 3 = 2 x 0.71 cm2 = 1.42 cm2 Para el acero paralelo al espesor de muro se tiene que: ⎛ 104 × 23 ⎞⎛ 250 ⎞ 2 Ash −1 > 0.30⎜ − 1⎟⎜ ⎟(12 )(99 ) = 7.26cm ... bien, por lo tanto s=12 cm ⎝ 99 × 18 ⎠⎝ 4200 ⎠ Para el acero perpendicular al espesor tenemos: ⎛ 104 × 23 ⎞⎛ 250 ⎞ 2 Ash − 2 > 0.30⎜ − 1⎟⎜ ⎟(12)(18) = 1.32cm ... bien, por lo tanto s= 12 cm 99 18 4200 × ⎝ ⎠⎝ ⎠ Conforme a lo anterior se dice que los estribos y grapas que restringen el pandeo del acero a flexión en los extremos del muro serán con varilla del # 3 @ 12 cm. Ver figura 4.37. 184 • Armado del alma del muro. Para determinar la cantidad de acero que toma el alma del muro hacemos referencia a lo indicado por las N.T.C. concreto inciso 6.5.2.5 a,b,c,d. Si la relación Hm/L< 1.5, el cortante resistente del muro VCR se puede calcular con la siguiente ecuación: VCR = 0.85 f R f * ctL (4.7) Como: 260/1610 =0.16 < 1.50, entonces se determina el cortante resistente de la siguiente forma: VCR = 0.85 × 0.80 × 200 × 23 × 980 = 216,759.34 Kg Ya que VU > VCR, entonces se debe calcular el porcentaje del acero paralelo a la fuerza cortante Pm y el acero perpendicular a la fuerza cortante Pn con las siguientes fórmulas: Pm = VU − VCR FR fyAcm Hm ⎞ ⎛ Pn = 0.0025 + 0.5⎜ 2.5 − ⎟(Pm − 0.0025) L ⎠ ⎝ (4.8) (4.9) Donde Acm = Área bruta de la sección sujeta al cortante y se determina de la siguiente manera: Acm = 2( A1 + A2 ) = 2[(303 × 23) + (187 × 23)] = 22,540cm 2 Aplicando la ecuación 4.8 y 4.9: Pm = 447,864.18 Kg − 216,759.34 Kg = 0.0030515 0.80 × 4200 Kg / cm 2 × 22,540cm 2 185 260 ⎞ ⎛ Pn = 0.0025 + 0.5⎜ 2.5 − ⎟(0.0030515 − 0.0025) = 0.003116 980 ⎠ ⎝ Para la distribución del acero se emplean las siguientes fórmulas: Pm = Avm Avn y Pn = Smt Snt Por lo tanto para calcular Avm y Avn, se propone varilla del # 3, con as = 0.71 cm2 Como es doble parrilla, entonces: Avm = Avn =2 x 0.71cm2 = 1.42 cm … Bien. Entonces: sm = Avm 1.42cm 2 = = 20.23 cm Pm t 0.0030515 × 23cm Por lo tanto para el acero paralelo a la fuerza cortante se usarán varillas del # 3 @ 20 cm., en doble parrilla. sn = Avn 1.42cm 2 = = 19.81 cm Pn t 0.003116 × 23cm Por lo tanto para el acero perpendicular a la fuerza cortante se usarán varillas del # 3 @ 20 cm. en doble parrilla. Y se procede armar el alma del muro de la siguiente manera, ver figura 4.38. En ningún caso se admitirá que la fuerza cortante de diseño VU, sea mayor que: 2 FR Acm f *c En caso contrario se debe revisar el espesor del muro para modificarlo si es necesario: VU =447,864 Kg < 2 × .80 × 23cm × 980cm × 200 Kg / cm 2 = 510,022 Kg 186 Como el cortante último no es mayor que la condición anterior, entonces no será necesario modificar el espesor del muro. Alma del muro d=t= 0.23 cm Va´#3@20 cm Va´#3 @20 cm Grapas # 3 Planta del muro Figura 4.38 Armado del alma del muro M-3 Nivel 1. • Armado de los extremos de muro en bordes de aberturas. Para el armado de los elementos extremos de muro entre aberturas lo hacemos con referencia a lo estipulado en las N.T.C. Concreto inciso 6.5.2.4 b y c y la figura 4.35 donde se muestran los valores de esfuerzos máximos σy en los extremos de muro entre aberturas y con los cuales se diseñarán estos extremos. Los elementos extremos se dimensionarán como columnas cortas para que resistan como carga axial, la fuerza de compresión que le corresponda, calculada en la base del muro cuando sobre éste actué el máximo momento de volteo. Y se deberá suministrar elementos de refuerzo en las orillas del muro y en bordes de aberturas donde el esfuerzo de compresión en la fibra más esforzada exceda de 0.2 de f’c y se podrán interrumpir en zonas donde el máximo esfuerzo a compresión sea menor que 0.15 de f’c. Como el concreto tiene una resistencia de compresión máxima de 250 Kg/cm2 entonces los parámetros para la colocación de elementos extremos serán: • Se colocarán refuerzo si σy > 0.20 f’c = 0.20 x 250 Kg/cm2 = 50 Kg/cm2 • Se suspenderá el refuerzo si σy < 0.15 f’c = 0.15 x 250 Kg/cm2 = 37.50 Kg/cm2 187 Se proporcionará refuerzo en la periferia de toda abertura para resistir las tensiones que puedan presentarse. Como mínimo deben colocarse dos barras del No. 4 a lo largo de cada borde entre aberturas. El diseño de un elemento como columna corta esta en función de la carga axial (Po ) que resista el concreto y el acero, para eso se emplea la siguiente ecuación: Po = (0.85 × f c′ × Ag ) + (As × f y ) (4.10) De acuerdo con los esfuerzos de compresión y tensión que se obtienen en el análisis y los anchos de sección que corresponden a cada extremo de muro como se muestran en la figura 4.35, se obtiene la carga axial de diseño (Po) empleando la siguiente expresión: σ= Po A (4.11) Despejando la ecuación 4.11 de la siguiente forma: Po = σ × A (4.12) Donde: σ = Esfuerzo σy del extremo del muro. A = Área de la sección del borde extremo del muro, que será igual al espesor del muro (t) multiplicado por el ancho del extremo. Todos los elementos de refuerzo en los extremos se deberán extender una distancia a partir de la fibra extrema en compresión al menos igual al mayor de (c – 0.1 L) y c/2, también deberá contar a todo lo largo con el refuerzo transversal mínimo que se especifica en el inciso 7.3.4. c para elementos a flexocompresión, con excepción de la ec. 7.4. Todo elemento de refuerzo comprendido en los extremos deberá estar anclado en la cimentación y en el segmento de muro continuo a éste, cuando menos una distancia igual a la longitud de desarrollo de la barra. 188 a) Armado del Extremo I Datos: σy último = 104.00 Kg/cm2 x 1.1 = 114.40 Kg/cm2 (compresión) σy último = 82.50 Kg/cm2 x 1.1 = 90.75 Kg/cm2 (Tensión) Como los esfuerzos son mayores que 0.20 f’c será necesario colocar elementos de refuerzo en este extremo y se procede a determinar su ancho: El ancho del extremo de muro (Le) donde se deberá distribuir el acero será igual al mayor de: ( c – 0.1 L) ó c/2 Si c = 151.50 cm, ver figura 4.35 Entonces: Le = (151.50 – 0.1 x 303) = 121.20 cm … Bien. Le = 151.50 / 2 = 75.75 cm.... No aplica Por lo tanto Le = 120 cm Ahora se calculará la carga axial a la que está sometido el extremo del muro con la ecuación 4.12: Carga axial a compresión: ( ) Po −compresión = 114.40 Kg / cm 2 (23cm × 120cm ) = 315,744 Kg Carga axial a tensión: ( ) Po −tensión = 90.75Kg / cm 2 (23cm × 120cm ) = 250,470 Kg 189 Cálculo de la resistencia a compresión de la sección de concreto en el extremo: PRo −compresion = 0.85 × f c′ × Ag = 0.85 × 250 Kg / cm 2 × 23cm × 120cm = 586,500 Kg Como la resistencia a compresión del concreto es mayor que la carga axial, entonces no será necesario colocar acero para la resistencia a compresión. Como el concreto no resiste tensiones será necesario suministrar acero que tome la carga axial a tensión presentada en el extremo del muro, por lo tanto se calculará el área de acero de la siguiente manera: Po = As × f y Si Entonces se puede despejar As de la siguiente manera: As = Po fy El área de acero distribuida en el extremo será: As = 250,470 Kg = 59.64 cm2 2 4200 Kg / cm Por lo tanto se procede armar el extremo del muro con As = 59.64 cm2 ver figura 4.39 Usando varillas del # 6 con As = 2.85 cm2 , se calcula el No. de varillas: 59.64 cm2 / 2.85 cm2 = 20.93 pzas, se toman 22 pzas. • Cálculo del acero transversal del extremo. Para determinar el acero transversal que restringe el acero del extremo se emplea lo estipulado en las N.T.C. concreto incisos 6.5.2.4 c y 7.3.4 c y la ecuación 4.6, como se muestra a continuación: 190 ⎛ Ag ⎞ f ´c − 1⎟⎟ Ash > 0.30⎜⎜ Sbc ⎝ Ac ⎠ f yh (4.6) Ash-1 = 13 Var. # 3 = 13 x 0.71 cm2 = 9.23 cm2 Ash-2 = 2 Var. # 3 = 3 x 0.71 cm2 = 1.42 cm2 Para el acero paralelo al espesor de muro se tiene que: ⎛ 23 × 120 ⎞⎛ 250 ⎞ 2 Ash −1 > 0.30⎜ − 1⎟⎜ ⎟(13)(115) = 8.898 cm … Bien. ⎝ 18 × 115 ⎠⎝ 4200 ⎠ Entonces la separación de estribos será s= 13 cm Y para el acero perpendicular al espesor del muro se tendrá: ⎛ 23 × 120 ⎞⎛ 250 ⎞ 2 − 1⎟⎜ Ash − 2 > 0.30⎜ ⎟(13)(18) = 1.382cm … Bien. ⎝ 18 × 115 ⎠⎝ 4200 ⎠ Entonces la separación del acero será s = 13 cm Conforme a lo anterior, los estribos y grapas que restringen el pandeo del acero a flexión en el extremo del muro serán con varilla del # 3 @ 13 cm, ver figura 4.39. Extremo = (c-0.1L)=120 cm bc =115 cm bc=20cm b=t=23cm 11.48 cm Grapas #3@13 cm 22 # 6 E#3@13 cm Planta del muro Figura 4.39 Armado del Extremo I 191 b) Armado del Extremo II Datos: σy último = 45.00 Kg/cm2 x 1.1 = 49.50 Kg/cm2 (compresión) σy último = 12.70 Kg/cm2 x 1.1 = 13.97 Kg/cm2 (Tensión) El ancho del extremo de muro donde se deberá distribuir el acero será igual al mayor de Le = ( c – 0.1 L) ó c/2 Si c = 93.50 cm, ver figura 4.35 Entonces: Le = (93.50 – 0.1 x 187) = 74.30 cm … bien, se tomará Le = 74.00 cm Le = 93.50 / 2 = 46.75 cm Ahora se calculará la carga axial a la que está sometido el extremo del muro con la ecuación 4.12: ( ) Po −compresión = 49.50 Kg / cm 2 (23cm × 74cm ) = 84,249 Kg ( ) Po −tensión = 13.97 Kg / cm 2 (23cm × 74cm ) = 23,777 Kg Cálculo de la resistencia a compresión de la sección de concreto en el extremo: PRo −cmpresión = 0.85 × f c′ × Ag = 0.85 × 250 Kg / cm 2 × 23cm × 74cm = 361,675 kg Como la resistencia a compresión del concreto es mayor que la carga axial, entonces no será necesario colocar acero para la resistencia a compresión. Como el concreto no resiste tensiones será necesario suministrar acero que tome la carga axial a tensión presentada en el extremo del muro, por lo tanto se calculará el área de acero de la siguiente manera: 192 Si Po = As × f y Entonces podemos despejar As de la siguiente manera: As = Po fy El área de acero distribuida en el extremo será: As = 23,777 Kg = 5.66cm 2 2 4200 Kg / cm Como el área de acero es mínima, se verificará si con el acero calculado para el alma y el mínimo especificado para bordes (2 varillas # 4) se logra obtener un área de acero superior a 5.66 cm2 ver figura 4.40 Del acero del alma solo entran en el extremo 6 varillas del # 3, con As = 0.71 cm2 las cuales acumulan un área igual a: 6 x 0.71 cm2 = 4.26 cm2 , más las dos varillas del # 4 por especificación en el borde igual a 2.54 cm2, se obtiene lo siguiente: Sumando los dos áreas: 4.26 m2 + 2.54 cm2 = 6.80cm2 Como 6.80 cm2 > 5.66 cm2 no será necesario colocar más acero y se dejará el armado de la figura 4.40 para el extremo II. Como el esfuerzo σy en los niveles 2 al 10 disminuye considerablemente con la altura siendo menor que 0.15 f’c, el armado de la figura 4.40 será válido para el extremo II en todos los niveles consecutivos, es decir, del nivel 1 al 10. Extemo = (c-0.1L) = 74cm b=t=23cm bc=18cm Grapas # 3 @ 20 cm Acero del alma Var.# 3@20cm Acero minimo (6.5.2.5. e) 2 # 4 Planta del muro Figura 4.40 Armado del Extremo II 193 Por lo tanto procedemos armar el extremo del muro con As = 5.66 cm2 Usando varillas del No. 6 con As = 2.85 cm2. Calculando el número de varillas: Numero aproximado de varillas: 59.64 cm2 / 2.85 cm2 = 20.93 pzas, se toman 22 pzas. Ver figura 4.40. • Cálculo del acero transversal del extremo. Para el armado del acero transversal en extremos de muro sin elementos de refuerzo se empleará lo estipulado en las N.T.C. Concreto inciso 6.5.2.4. d. El refuerzo horizontal que termine en los bordes de cualquier muro sin elementos de refuerzo con es el caso del extremo II, deberá rematarse mediante un doblez que rodee el refuerzo longitudinal del extremo del muro. Opcionalmente, el refuerzo longitudinal extremo del muro se podrá confinar con estribos en forma de U, que tengan el mismo diámetro y separación que el refuerzo horizontal. Estos estribos se extenderán hacia el alma del muro cuando menos en una distancia igual a la de traslape ( ver tabla 4.1) medida desde la cara interna de las barras longitudinales extremas reforzadas transversalmente. c) Armado del Extremo III Datos: σy último = 57.00 Kg/cm2 x 1.1 = 62.70 Kg/cm2 (compresión) σy último = 40.00 Kg/cm2 x 1.1 = 44.00 Kg/cm2 (Tensión) Cálculo del ancho efectivo donde se distribuirá el acero a tensión en el extremo III. El ancho del extremo de muro será igual al mayor de ( c – 0.1 L) ó c/2: 194 Si c = 93.50 cm, ver figura 4.35 Entonces: Le = (93.50 – 0.1 x 187) = 74.80 cm ...Bien, se tomará Le = 74 cm Le = 93.50 / 2 = 46.75 cm Ahora se calculará la carga axial a la que está sometido el extremo del muro con la ecuación 4.12: Carga axial a compresión: ( ) Po −compresión = 62.70 Kg / cm 2 (23cm × 74cm ) = 106,715 Kg Carga axial a tensión: ( ) Po −tensión = 44.00 Kg / cm 2 (23cm × 74cm ) = 74,888 Kg Cálculo de la resistencia a compresión de la sección de concreto en el extremo: PRo −compresión = 0.85 × f c′ × Ag = 0.85 × 250 Kg / cm 2 × 23cm × 74cm = 361,675 Kg Como la resistencia a compresión del concreto es mayor que la carga axial, entonces no será necesario colocar acero para la resistencia a compresión. Como el concreto no resiste tensiones será necesario suministrar acero que tome la carga axial a tensión presentada en el extremo del muro, por lo tanto se calculará el área de acero de la siguiente manera: Si Po = As × f y Entonces se puede despejar As de la siguiente manera: As = El área de acero distribuida en el extremo será: As = Po fy 74,888 Kg = 17.83 cm2 2 4200 Kg / cm 195 Por lo tanto procedemos armar el extremo del muro con As = 17.83 cm2 Usando varillas del # 4 con As = 1.27 cm2 , Calculando el número de varillas: 17.83 cm2 / 1.27 cm2 = 14.04 pzas, se tomarán 16 pzas., ver figura 4.41. • Cálculo del acero transversal del extremo. Para determinar el acero transversal que restringe el acero del extremo se emplea lo estipulado en las N.T.C. concreto incisos 6.5.2.4 c y 7.3.4 c y la ecuación 4.6, como se muestra a continuación: ⎛ Ag ⎞ f ´c − 1⎟⎟ Ash > 0.30⎜⎜ Sbc A f ⎝ c ⎠ yh (4.6) Ash-1 = 8 Var. # 3 = 8 x 0.71 cm2 = 5.68 cm2 Ash-2 = 2 Var. # 3 = 3 x 0.71 cm2 = 1.42 cm2 Para el acero paralelo al espesor de muro se tiene que: ⎛ 23 × 74 ⎞⎛ 250 ⎞ 2 Ash −1 > 0.30⎜ − 1⎟⎜ ⎟(12 )(69) = 5.48 cm … Bien 18 69 4200 × ⎝ ⎠⎝ ⎠ La separación de estribos será s = 12 cm Para el acero perpendicular al espesor se tendrá: ⎛ 23 × 74 ⎞⎛ 250 ⎞ 2 Ash − 2 > 0.30⎜ − 1⎟⎜ ⎟(12 )(18) = 1.1.42 cm ... Bien. 18 69 4200 × ⎝ ⎠⎝ ⎠ La separación de estribos será s = 12 cm Conforme a lo anterior, los estribos y grapas que restringen el pandeo del acero en el extremo del muro serán con varilla del # 3 @ 12 cm. Ver figura 4.41. 196 Extemo = (c-0.1L) = 74cm bc = 69 cm 9.40 cm 16 # 4 bc=18cm b=t=23cm Grapas # 3 @ 12 cm Acero del alma Var.# 3@20cm E#3@12 cm Planta del muro Figura 4.41 Armado del Extremo III 4.3.3.3.- Muro del segundo nivel. Como las características geométricas del siguiente muro son las mismas que tiene el muro del primer nivel, entonces se tomaran los mismos valores para: peralte efectivo (d), momento de inercia (I), momento de primer orden (Q), anchos de los extremos del muro para colocar el acero a flexión y el mismo ancho de los extremos I, II y III entre bordes de aberturas. Datos para el diseño del muro: Hm = 260 cm L = 1610 cm t = b = 23 cm σy ultimo = 46.00 Kg/cm2 x 1.1 = 50.60 Kg/cm2 τxy ultimo = 4.04 Kg/cm2 x 1.1 = 4.44 Kg/cm2 f´c = 250 Kg/cm2, f*c = 200 Kg/cm2, f´´c = 170 Kg/cm2 fy = 4200 Kg/cm2 Pu = 303,840 Kg x 1.4 = 425,380 Kg I = 6,426´678,844 cm4 c = 805 cm Q = 5´409,375 cm2 - cm 197 Con lo anterior se procede a calcular el momento y cortante últimos (MU y VU) aplicando las ecuaciones 4.1 y 4.2 : 50.60 Kg / cm 2 × 6,426´678,844cm 4 Mu = = 403´962,670 Kg − cm 805cm 4.44 Kg / cm 2 × 6,426´678,844cm 4 × 23cm Vu = = 121,325.00 Kg 5´409,375cm 2 − cm • Cálculo del momento resistente MR para el armado de los extremos del muro. Tomando en cuenta lo estipulado en las N.T.C. Concreto incisos: 6.5.2.1 y 6.5.2.3 a, la resistencia a flexión en muros sujetos a fuerzas horizontales en su plano se puede calcular con la siguiente ecuación: M R = FR AS f y d (1 − 0.5q ) Esto, si PU < 0.3 f ′cAg y la relación (4.3) L < 70 t PU =425,380 Kg < 0.30 x 250 Kg/cm2 x 23 cm x 250 cm = 2´777,250 Kg …Bien. 1610 cm / 23 cm = 70 … Bien. Para el cálculo de MR debemos proponer As, así que calculamos el área de acero mínimo Asmin, de acuerdo a la formula 4.4 expuesta en las N.T.C. concreto inciso 2.2.1 As min = 0.7 f ´c bd fy (4.4) ⎛ 0.70 × 250 ⎞ ⎟(23)(1558) = 93.17 cm2 As min = ⎜⎜ ⎟ 4200 ⎝ ⎠ p= 93.17cm 2 = 0.0026 23cm × 1558cm 198 q= 0.0026 × 4200 Kg / cm 2 = 0.064235 170 Kg / cm 2 ∴ M R = 0.90 × 93.17cm 2 × 4200 Kg / cm 2 [1558cm(1 − 0.5 × 0.064235)] = 531´077,522.10 Kg-cm Como MR >MU los extremos del muro se diseñaran con el acero mínimo a flexión calculado anteriormente: AS = 93.17 cm2, ver figura 4.42 Proponiendo varillas del # 8, con As = 5.07 cm2 Número aproximado de varillas = 93.17 cm2 / 5.07 cm2 = 18.38 pzas, se toman 20 pzas. Extremo = 104 cm = 0.40 x Hm bc = 99 cm b=t=23cm bc=20cm 10.51 Grapas #3@12 cm E#3@12 cm 20 # 8 Planta del muro. Figura 4.42 Armado a flexión de los extremos del muro M-3 Nivel 2. • Cálculo del acero transversal en los extremos. ⎛ Ag ⎞ f ´c − 1⎟⎟ Ash > 0.30⎜⎜ Sbc ⎝ Ac ⎠ f yh (4.6) Ash-1 = 12Var. # 3 = 12 x 0.71 cm2 = 8.52 cm2 Ash-2 = 2 Var. # 3 = 2 x 0.71 cm2 = 1.42 cm2 Para el acero paralelo al espesor del muro se tendrá: 199 ⎛ 104 × 23 ⎞⎛ 250 ⎞ 2 Ash −1 > 0.30⎜ − 1⎟⎜ ⎟(12)(99) = 7.26 cm ... Bien, entonces s =12 cm ⎝ 99 × 18 ⎠⎝ 4200 ⎠ Y para el acero perpendicular al espesor del muro se tendrá: ⎛ 104 × 23 ⎞⎛ 250 ⎞ 2 Ash − 2 > 0.30⎜ − 1⎟⎜ ⎟(12)(18) = 1.32 cm ...Bien, entonces s = 12 cm ⎠⎝ 4200 ⎠ ⎝ 99 × 18 Conforme a lo anterior, los estribos y grapas que restringen el pandeo del acero a flexión en los extremos del muro serán con varilla del # 3 @ 12 cm. Ver figura 4.42. Como en este nivel el momento flexionante último fue menor que el momento resistente del muro, el armado del acero a flexión en los extremos de los muros de los niveles siguientes ( 3 al 10) será con el acero mínimo a flexión como se muestra en la figura 4.42. • Armado del alma del muro. Para determinar la cantidad de acero que toma el alma del muro hacemos referencia a lo indicado por las N.T.C. concreto inciso 6.5.2.5 a,b,c,d. Si la relación Hm/L< 1.5, el cortante resistente del muro VCR lo podemos calcular con la siguiente ecuación: VCR = 0.85 FR * f c tL (4.7) Donde: FR = Factor de resistencia para cortante: 0.80 f*c = Resistencia del concreto reducida = 200 Kg/cm2 t = Espesor del muro: 23 cm L = Ancho del muro: L = 1610 – (3 aberturas de 210 cm) = 980 cm Como: 260/1610 =0.16 < 1.50, entonces se determina el cortante resistente de la siguiente forma: 200 VCR = 0.85 × 0.80 × 200 × 23 × 980 = 216,759.34 Kg Como VCR > VU, entonces se dice que Pm y Pn serán iguales a 0.0025 Para la distribución del acero se emplean las siguientes formulas: Pm = Avm Avn y Pn = Smt Snt Para calcular Avm y Avn, se propone Varilla del # 3, con as = 0.71 cm2 Como es doble parrilla: Avm = Avn =2 x 0.71cm2 = 1.42 cm .. Bien. Entonces: sm = Avm 1.42cm 2 = = 24.70 cm, por lo tanto para el acero paralelo a la fuerza Pm t 0.0025 × 23cm cortante se usarán varillas del # 3 @ 24 cm en doble parrilla. sn = Avn 1.42cm 2 = = 24.70 cm, por lo tanto para el acero perpendicular a la fuerza Pn t 0.0025 × 23cm cortante se usarán varillas del # 3 @ 24 cm en doble parrilla. Y se procede armar el alma del muro de la siguiente manera, ver figura 4.43. En ningún caso se admitirá que la fuerza cortante de diseño VU, sea mayor que: 2 FR Acm f *c, En caso contrario se debe revisar el espesor del muro para modificarlo si es necesario: VU =447,864 Kg < 2 × .80 × 23cm × 980cm × 200 Kg / cm 2 = 510,022 Kg Como el cortante último no es mayor que la condición anterior, entonces no será necesario modificar el espesor del muro. 201 Alma del muro d=t= 0.23 cm Va´#3@24 cm Va´#3 @24 cm Grapas # 3 Planta del muro Figura 4.43 Armado del alma del muro M-3 Nivel 2. Como el armado de la figura 4.43 ha sido realizado con los porcentajes mínimos especificados para fuerzas cortantes últimas menores que la fuerza cortante resistente del muro: Pm = Pn = 0.0025, este armado será el mismo que se colocará en el alma de los muros en los niveles siguientes (3 al 10). a) Armado del Extremo I Como se observó en el diseño del muro en el primer nivel, aun que los esfuerzos de compresión son mayores que los presentados en este muro, estos fueron resistidos sólo por el concreto sin haber sido necesario colocar acero para aumentar la resistencia. Como los esfuerzos a compresión y tensión disminuyen con la altura sólo se diseñará con los esfuerzos de tensión que estén arriba del parámetro 0.20 f’c. Cabe mencionar que los esfuerzos a tensión presentados en los niveles siguientes del 3 al 10 diminuyen considerablemente siendo menores que el parámetro 0.15 f’c, es por eso que solo se armarán con el acero del alma obtenido anteriormente y el acero mínimo especificado para los bordes entre aberturas. Datos: σy último = 47.60 Kg/cm2 x 1.1 = 52.36 Kg/cm2 (Tensión) 202 Como el esfuerzo es mayor que 0.20 f’c será necesario colocar elementos de refuerzo en este extremo. Cálculo de la carga axial a la que está sometido el extremo del muro con la ecuación 4.12: ( ) Carga axial a tensión: Po = 52.36 Kg / cm 2 (23cm × 120cm ) = 144,514 Kg Como el concreto no resiste tensiones será necesario suministrar acero que tome la carga axial a tensión presentada en el extremo del muro, por lo tanto se calculará el área de acero de la siguiente manera: Si Po = As × f y entonces se puede despejar As de la siguiente manera: As = Po fy El área As = de acero como columna corta distribuida en el extremo será: 144,514 Kg = 34.40 cm2 4200 Kg / cm 2 Por lo tanto se procede armar el extremo del muro con As = 34.40 cm2, ver figura 4.44 Usando varillas del # 5 con As = 1.98 cm2, se calculará el número de varillas: Numero aproximado de varillas: 34.40 cm2 / 1.98 cm2 = 17.37 pzas, se toman 18 pzas. Para determinar el acero transversal que restringe el acero del extremo se emplea lo estipulado en las N.T.C. concreto incisos 6.5.2.4 c y 7.3.4 c y la ecuación 4.6. ⎛ Ag ⎞ f ´c Sbc − 1⎟⎟ Ash > 0.30⎜⎜ ⎝ Ac ⎠ f yh (4.6) 203 Ash-1 = 11 Va´ # 3 = 13 x 0.71 cm2 = 7.81 cm2 Ash-2 = 2 Va´ # 3 = 3 x 0.71 cm2 = 1.42 cm2 Para el acero paralelo al espesor de muro tiene que: ⎛ 23 × 120 ⎞⎛ 250 ⎞ 2 Ash −1 > 0.30⎜ − 1⎟⎜ ⎟(10)(115) = 6.85 cm ...Bien ⎝ 18 × 115 ⎠⎝ 4200 ⎠ La separación de estribos será: 10 cm Y para el acero perpendicular al espesor se tendrá: ⎛ 23 × 120 ⎞⎛ 250 ⎞ 2 − 1⎟⎜ Ash − 2 > 0.30⎜ ⎟(10)(18) = 1.07cm ...Bien. ⎝ 18 × 115 ⎠⎝ 4200 ⎠ La separación de estribos será: 10 cm Conforme a lo anterior, los estribos y grapas que restringen el pandeo del acero en el extremo del muro serán con varilla del # 3 @ 10 cm. Ver figura 4.44. Extremo = (c-0.1L)=120 cm bc =115 cm bc=18cm b=t=23cm 13.94 Grapas #3@10 cm 18 # 5 E#3@10 cm Planta del muro Figura 4.44 Armado del Extremo I Como los esfuerzos en los demás extremos de muro entre aberturas son menores que el para metro 0.15 f´c, el armado de los extremos II y III en el nivel 2 y los extremos I, II y III en los niveles 3 al 10 será el que se presenta en la figura 4.45, con el acero del alma y el mínimo especificado para bordes de muro entre aberturas. 204 Ancho del Extremo b=t=23cm Grapas # 3 @ 24 cm Acero minimo (6.5.2.5. e) 2 # 4 Acero del alma Var.# 3@24cm Figura 4.45 Armado de los extremos con acero mínimo 4.4 Diseño de Vigas de Conexión ó Acoplamiento. Se diseñará como vigas de conexión o acoplamiento aquellas vigas cuya relación L/h sea menor que 2 y se aplicara lo dispuesto en las N.T.C. Concreto inciso 6.1.4.5., donde L será el claro de la viga y h el peralte. Para vigas de acoplamiento que no cumplan con la condición anterior y que su relación L/h se menor que 4 como es el caso de las vigas de conexión en el muro M-3, se aplicara lo dispuesto el las N.T.C. concreto incisos 2.2.1, 2.2.2, 2.2.4 y 2.5.1.1 para el cálculo del momento y cortante resistentes de las vigas. 4.4.1 Diseño de vigas de conexión del proyecto I eje 3 tramo C – D El diseño de las vigas del eje 3 tramo C – D, corresponden a las vigas que conectan los muros M-1 y M-2 diseñados anteriormente y tienen las mismas características y propiedades que las ubicadas en el eje 2 tramo C – D. Para efectos prácticos sólo diseñaremos las del eje 2. En la figura 4.46 se muestran los diagramas de fuerzas cortantes máximas en las vigas de conexión obtenidos del análisis del edificio, con ellos se procede a evaluar la resistencia de vigas y realizar el diseño de las mismas según lo requieran. 205 Muro M - 2 Vigasde conexión Figura 4.46 Diagramas de fuerzas cortantes en vigas de conexión. Todas las vigas de conexión de este eje tienen las mismas propiedades geográficas: L = 115 cm h = 60 cm b = 20 cm Y cumplen con la condición L ; 115 cm / 60 cm = 1.92 < 2 h Por lo tanto para su diseño emplearemos lo estipulado en el inciso 6.1.4.5 de las N.T.C. Concreto. 206 4.4.1.1.- Viga del Nivel 1. Datos: L = 115 cm h = 60 cm b = 20 cm d = 58 cm f’c = 250 Kg/cm2 fy = 4200 Kg/cm2 El refuerzo de este tipo de vigas que unen muros sujetos a fuerzas horizontales en su plano inducidas por el sismo, constará de dos grupos de barras diagonales dispuestas simétricamente respecto al centro del claro, como se indica en el armado de la figura 4.47. Se supondrá que cada grupo forma un elemento que trabajará a tensión o compresión axiales y que las fuerzas de interacción entre los dos muros, en cada viga, se transmiten sólo por las tensiones y compresiones en dichos elementos. Para determinar el área de acero longitudinal de cada diagonal Asd, se despreciará la capacidad del concreto y de la ecuación 4.13, se tiene: VU = 2 FR Asd f y senθ (4.13) Esto sin que: VU > 2.5 FR * f c bd Donde: VU = Cortante último al que está sujeta la viga, según figura 4.46 FR = Factor de resistencia para cortante: 0.80 Asd = Área total del refuerzo longitudinal de cada diagonal. θ = Ángulo que forma el elemento diagonal con la horizontal. 207 Cada elemento diagonal constará de no menos de cuatro barras rectas sin traslapes ni uniones mecánicas. En el resto de la viga se usará refuerzo vertical y horizontal que en cada dirección cumpla con los requisitos para refuerzo por cambios volumétricos que se especifica en el inciso 5.7 de las N.T.C. Concreto. Y se colocará en dos capas próximas a las caras de la viga, por fuera de la diagonal. • Cálculo del área de acero en las diagonales. Empleando la ecuación 4.13 se obtiene el área de acero Asd sustituyendo de la siguiente manera: Asd = Vu 2 FR f y senθ (4.14) Donde: De la figura 4.46 se tiene que VU = 22,954.00 Kg x 1.1 = 25,249.40 kg, Y proponiendo θ = 25° , ver figura 4.47 Entonces el Asd será igual a: Asd = 25,249.40 Kg = 8.89 cm2 2 × 0.80 × 4200 × sen25° Proponiendo varillas del # 6, con As = 2.85 cm2 Y respetando la condicionante para diagonales de emplear 4 varillas, entonces se tiene que: 4 x 2.85 cm2 = 11.40 cm2 208 Como 11.40 cm2 > 8.89 cm2, entonces se aceptan 4 varillas del # 6 para cada diagonal de la viga, ver figura 4.47. Y cada extremo de la diagonal estará anclado en el extremo del muro respectivo una longitud no menor que 1.5 veces Ld, obtenida según la tabla 4.1. Si los muros que unen tienen elementos extremos de refuerzo, la longitud de anclaje del refuerzo diagonal se podrá reducir 1.2 veces Ld. • Acero transversal de las diagonales. Para determinar el acero trasversal que restringe el pandeo lateral de las diagonales se aplicará lo dispuesto en las N.T.C. Concreto incisos 6.1.4.5 y 6.2.3. Empleando estribos o hélices con varilla del # 2.5 como mínimo y colocándolos en el tercio medio de la viga a una distancia igual al mayor de las siguientes condicionantes: s= 850d b ,barra − mayor fy s = 48d b ,estribo s = Mitad de la menor dimensión del elemento diagonal. Aplicando las condicionantes anteriores se tiene que: s= 850 × 1.90cm 4200 Kg / cm 2 = 24.92 cm 48 x 0.79 cm = 37.92 cm 6 cm / 2 = 3 cm Se tomará la mayor: 37.92 cm , para efectos prácticos de armado se tomará s = 36 cm En los tercios extremos, la separación se reducirá a la mitad del que resulte en el central y se continuarán dentro de cada muro en una longitud no menor que L/8, a menos que el muro cuente con los elementos de refuerzo en los extremos. 209 • Determinación del acero por temperatura en el resto de la viga. En el resto de la viga se usará refuerzo vertical y horizontal que en cada dirección cumpla con los requisitos para refuerzo por cambios volumétricos de la sección 5.7 N.T.C. Concreto. Este refuerzo se colocará en dos capas próximas a las caras de la viga, por fuera del refuerzo diagonal. En elementos estructurales expuestos a la intemperie ó que estén en contacto con el terreno se usará un porcentaje de 0.003 para determinar el acero por temperatura en cualquier dirección del elemento estructural. Entonces el área de acero longitudinal de la viga será igual a: As ,tem = p × b × d = 0.003 × 20cm × 58cm = 3.48cm 2 Proponiendo varillas del # 4, con As = 1.27 cm2 Tenemos un área de acero igual a: 4 x 1.27 cm2 = 5.08 cm2 Como 5.08 cm2 > 3.48 cm2, entonces será valido para el armado 4 varillas del # 4. Ver figura 4.47. El acero transversal que forma los estribos se calculará de la misma forma solo que por unidad de ancho igual a 100 cm. As ,tem = p × b × d = 0.003 × 20cm × 100cm = 6.00cm 2 Proponiendo varillas del # 3, con As = 0.71 cm2 Tenemos que el número de varillas aproximado será: 6 cm2 / 0.71 cm2 = 8.45 pzas, por sencillez del armado tomamos 10 pzas 210 Como cada estribo ocupa 2 barras del # 3, entonces se distribuirán 5 estribos del # 3 a cada 20 cm, ver figura 4.47. MURO M-1 MURO M-2 A 4Var.#4 Ld Var. # 3 @ 20 cm 1.2 Ld Ld 0.06 s = 0.36 0.12 h = 0.60 18 Ld θ = 25° L/3 = 0.38 L/3 = 0.38 L/3 = 0.38 0.06 0.20 4 Var. # 6 0.20 A' A-A' Figura 4.47 Armado de la viga de conexión en el primer nivel. Debido a la magnitud de las fuerzas cortantes que se presentan en las vigas del nivel 1 al 6, el armado de la figura 4.47 será el mismo que se coloque en cada una de ellas. Las longitudes de desarrollo que se indican el la figura 4.47 serán tomadas de la tabla 4.1 de acuerdo al tipo de barra que le corresponda. 4.4.1.2.- Viga del Nivel 7. Para el diseño de la siguiente viga se empleara el mismo procedimiento que el del inciso anterior, lo único que hace variar el diseño de la viga es el valor del cortante último. Esto modifica notablemente las áreas de acero de las diagonales que absorben la fuerza cortante por lo cual será necesario modificar el diámetro de las varillas que las forman. 211 De acuerdo a la figura 4.46 el cortante último será igual: Vu = 17,305 Kg x 1.1 = 19,036 Kg Aplicando y sustituyendo valores en la ecuación 4.14 se tiene: Asd = 19,036.00 Kg = 6.70 cm2 2 × 0.80 × 4200 × sen25° Empleando varillas del número 5 con As = 1.98 cm2, Se tiene que el Asd de la diagonal será igual a 4 x 1.98 cm2 = 7.92 cm2, Como 7.92 cm2 > 6.70 cm2 la diagonal se armará con 4 varillas del número 5, ver figura 4.48. MURO M-1 MURO M-2 A 4Var.#4 Ld Var. # 3 @ 20 cm 1.2 Ld 4#5 Ld 0.06 s = 0.36 0.12 h = 0.60 18 4#5 Ld θ = 25° L/3 = 0.38 L/3 = 0.38 L/3 = 0.38 0.06 0.20 4 Var. # 5 0.20 A' A-A' Figura 4.48 Armado de la viga de conexión en el 7° nivel La separación de los estribos que restringen el pandeo de las diagonales y el armado por temperatura serán los mismos que los de las vigas anteriores, modificando las 212 longitudes de desarrollo en las barras de las diagonales según la tabla 4.1, ver figura 4.48 4.4.1.3.- Viga del Nivel 8. Para el diseño de la siguiente viga se empleará el mismo procedimiento anterior, lo único que hace variar el diseño de la viga es el valor del cortante último. Esto modifica notablemente las áreas de acero de las diagonales que absorben la fuerza cortante por lo cual será necesario modificar el diámetro de las varillas que las forman. De acuerdo a la figura 4.46 el cortante último será igual: Vu = 13,097.00 Kg x 1.1 = 14,407 Kg Aplicando y sustituyendo valores en la ecuación 4.14 se tiene: Asd = 14,407.00 Kg = 5.07 cm2 2 × 0.80 × 4200 × sen25° Empleando varillas del número 4 con As = 1.27 cm2, Se tiene que el Asd de la diagonal será igual a 4 x 1.27 cm2 = 5.08 cm2, Como 5.08 cm2 > 5.07 cm2, la diagonal se armará con 4 varillas del número 4, ver figura 4.49. Debido a las magnitudes de las fuerzas cortantes que se presentan en las vigas del nivel 8 al 9, el armado de la figura 4.49 será el mismo que se coloque en cada una de ellas. 213 MURO M-1 MURO M-2 A 4Var.#4 Ld Var. # 3 @ 20 cm 1.2 Ld 4#4 Ld 0.06 s = 0.36 0.12 h = 0.60 18 4#4 Ld θ = 25° L/3 = 0.38 L/3 = 0.38 L/3 = 0.38 0.06 0.20 4 Var. # 4 0.20 A' A-A' Figura 4.49 Armado de la viga de conexión en niveles 8 y 9. La separación de los estribos que restringen el pandeo de las diagonales y el armado por temperatura serán los mismos que los de las vigas anteriores, modificando las longitudes de desarrollo en las barras de las diagonales según la tabla 4.1, ver figura 4.49. 4.4.1.4.- Viga del Nivel 10. Para el diseño de la siguiente viga se empleará el mismo procedimiento que el de los incisos anteriores, lo único que hace variar el diseño de la viga es el valor del cortante último. Esto nuevamente modifica notablemente las áreas de acero de las diagonales que absorben la fuerza cortante por lo cual será necesario modificar el diámetro de las varillas que las forman. De acuerdo a la figura 4.46 el cortante último será igual: Vu = 5,547Kg x 1.1 = 6,101.70 Kg 214 Aplicando y sustituyendo valores en la ecuación 4.14 se tiene: Asd = 6,101.70 Kg = 2.14 cm2 2 × 0.80 × 4200 × sen25° Empleando varillas del número 3 con As = 0.71 cm2, Se tiene que el Asd de la diagonal será igual a 4 x 0.71 cm2 = 2.84 cm2, Como 2.84 cm2 > 2.14 cm2 la diagonal se armará con 4 varillas del número 3, ver figura 4.50. MURO M-1 MURO M-2 A 4Var.#4 Ld Var. # 3 @ 20 cm 1.2 Ld 4Var.#4 4#3 Ld 0.06 s = 0.36 0.12 h = 0.60 18 4#3 Ld θ = 25° L/3 = 0.38 L/3 = 0.38 L/3 = 0.38 0.06 0.20 4 Var. # 3 0.20 A' A-A' Figura 4.50 Armado de la viga de conexión en niveles 10 y 11. Debido a las magnitudes de las fuerzas cortantes que se presentan en las vigas del nivel 10 al11 en la figura 4.46, el armado de la figura 4.50 será el mismo que se coloque en cada una de ellas. 215 La separación de los estribos que restringen el pandeo de las diagonales y el armado por temperatura serán los mismos que los de las vigas anteriores, modificando las longitudes de desarrollo en las barras de las diagonales según la tabla 4.1, ver figura 4.50. 4.4.2.- Diseño de vigas de conexión que acoplan los segmentos del muro M-3 eje A y F en el proyecto II. Las vigas que acoplan los segmentos del muro con aberturas M-3, tienen las mismas características geométricas de longitud, peralte y espesor. Y a pesar de ser vigas de conexión que acoplan muros, no se diseñarán como tal, como la relación entre sus magnitudes sobre pasa la condicionante que marca el diseño como vigas de conexión: L/h < 2, esto por que: L = 210 cm h = 60 cm Haciendo la relación se obtiene que: 210 cm / 60 cm = 3.5, por lo tanto sólo serán consideradas como vigas diafragma y se diseñarán con lo estipulado el las N.T.C. Concreto incisos 2.2.1, 2.2.2, 2.2.4 y 2.5.1.1. En la figura 4.51 y 4.52 se muestran los diagramas de Momentos Flexionantes y Fuerzas Cortantes respectivamente, a las que están sometidas las vigas de conexión bajo la solicitación sísmica más desfavorable. Con estos datos y las dimensiones de las vigas se procede a realizar el diseño. • Diseño a flexión de la viga con momento flexionante mayor. Datos: Mu = 5448 Kg-m x 1.1 = 5993 Kg-m = 599,300 Kg-cm f’c = 250 Kg/cm2 fy = 4200 Kg/cm2 f*c = 200 Kg/cm2 216 f’’c = 170 Kg/cm2 h = 60 cm d = 58 cm b = 23 cm L = 210 cm Para calcular el Momento Resistente de la viga se aplicará la ecuación 4.3 a partir del porcentaje mínimo determinado con la ecuación 4.4 Viga más esforzada. Figura 4.51 Diagramas de Momentos Flexionantes en vigas del muro M-3 217 As ,min = 0.70 f ' c bd fy (4.4) Cálculo del porcentaje mínimo: As ,min = (0.70)( ) 250 (23)(58) = 3.52 cm2 4200 Donde: (0.70)( ) 250 = 0.00264 4200 p= Índice de refuerzo: q= (0.00264)(4200) = 0.0652235 170 Cálculo del Momento último con la ecuación 4.3: M R = FR As f y d (1 − .05q ) = 0.90 × 3.52 × 4200 × 58 × (1 − 0.50 × 0.0652235) = 746,557.00 Kg-cm Como MR > MU, entonces el área de acero mínimo (As = 3.52 cm2) será valida para armar la viga a flexión. Se proponen 2 varillas del # 5 con As = 1.98 cm2 para absorber la flexión en los extremos de la viga en el lecho superior e inferior, ver figura 4.53. • Diseño de viga con mayor esfuerzo cortante. 218 Como se menciono anteriormente, la figura 4.52 muestra los diagramas de fuerzas cortantes de las vigas de conexión en el muro M-3, se observa que la viga más esforzada a fuerza cortante es la misma que la diseñada anteriormente a flexión. Viga más esforzada. Figura 4.52 Diagramas de esfuerzos cortantes en vigas del muro M-3 De acuerdo a la figura anterior se tiene que el cortante último será igual a: VU = 4502 Kg x 1.1 = 4952.20 Kg 219 Para el cálculo del cortante resistente de la viga se aplica lo estipulado en las N.T.C. Concreto inciso 2.5.1.1 y la ecuación 4.15 VCR = 0.50 FRbd f c * (4.15) Entonces el cortante resistente será: VCR = 0.50 × 0.80 × 23 × 58 × 200 = 7,546.24 Kg Como VCR > VU , el diseño del armado por cortante de la viga se hará por cambios de temperatura conforme a lo estipulado en las N.T.C. Concreto incisos 2.5.7.2 y 5.7, ocupando un porcentaje de área de acero igual a 0.003 (para elementos expuestos a la intemperie). Si p = 0.003 Entonces el área de acero por unidad de ancho (100 cm) será: As,temp = 0.003 x 23 cm x 100 cm = 6.90 cm2 Con un estribo del # 3 se obtiene un área de acero igual a: 0.71 cm2 x 2 barras = 1.42 cm2 / por estribo Entonces el número de estribos será: 6.90 cm2 / 1.42 cm2 = 4.85 pzas se toman 5 pzas, que distribuidas en un ancho de 100 cm dan una separación de 25 cm entre cada estribo. Por lo tanto se usarán estribos del # 3 @ 25 cm, ver armado de la figura 4.53. 220 Al observar los valores de las graficas de fuerzas cortantes y momentos flexionantes en las vigas de conexión del muro M-3 de las figuras 4.51 y 4.52 respectivamente, y como el diseño elaborado de la viga anterior fue de la más esforzada, se deduce que el armado de la figura 4.53 (viga más esforzada) será el mismo para todas las vigas de conexión que acoplan el muro M-3. 4 Var. # 5 A 4 Var. # 5 0.23 E # 3 @ 25 cm Ld L = 60 cm L = 210 cm E # 3 @ 25 cm A' A-A' Figura 4.53 Armado de vigas de conexión que acoplan el muro M-3 • Tabla de longitudes de desarrollo y traslapes de varillas. Toda varilla ocupada en los armados estructurales de los muros y vigas de conexión diseñados anteriormente, será anclada ó unida a otro elemento estructural a través de una longitud de desarrollo (Ld) de acuerdo a lo estipulado en las N.T.C. Concreto Inciso 5.1. A partir de la ecuación 4.16 se elaboró la tabla 4.1 para longitudes de desarrollo y traslapes de diferentes diámetros de varillas ocupadas anteriormente en el diseño. Ldb = as × f y 3(c + Ktr ) f c′ ≥ 0.11 db × f y f 'c (4.16) Donde: Ld = Longitud de desarrollo. Lbd = Longitud básica. 221 as = Área transversal de la barra. fy = Esfuerzo de fluencia de la barra: (4200 Kg/cm2). c = Distancia del recubrimiento al centro de la barra: (4 cm aproximado). f’c = Esfuerzo máximo de compresión del concreto: (250 Kg/ cm2). Ktr = Índice de refuerzo transversal: (por sencillez del diseño será igual a cero). Aplicando la ecuación anterior se elaboró la tabla 4.1 para el cálculo de las longitudes de desarrollo y traslapes en el empleo de varillas del número 3 al 8. No. As db barra ⎛ db × f y 0.1⎜ ⎜ f 'c ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ as × f y Ldb F.C. 3(c + Ktr ) f ' c Barras Vigas de rectas conexión Ld Ld x1.20 1.33xLd (0.01fy- Longitud 6)db de traslape 3 0.71 0.95 27.758 15.717 27.76 0.80 22.21 26.65 29.54 34.20 34.20 4 1.27 1.27 37.109 28.113 37.11 0.80 29.69 35.63 39.49 45.72 45.72 5 1.98 1.58 46.167 43.829 46.17 0.80 36.94 44.33 49.13 56.88 56.88 6 2.85 1.91 55.809 63.087 63.09 0.80 50.47 60.56 67.13 68.76 68.76 7 3.88 2.22 64.867 85.887 85.89 1.00 85.89 103.07 114.23 79.92 114.23 8 5.07 2.54 74.217 112.229 112.23 1.00 112.23 134.07 149.27 91.44 149.27 Tabla 4.1 Valores de longitudes de desarrollo y traslapes de varillas. 222 Conclusiones Sobre el análisis estructural. A continuación se presentan algunas conclusiones que se obtuvieron en el análisis estructural con el programa Staad Pro. • Al analizar los resultados de los desplazamientos de los muros, muro marco y marcos se observa que la rigidez varía de más a menos para cada uno de estos subsistemas de tal forma que los muros aumentan la rigidez de los edificios ante cargas laterales. Esto se debe a que los efectos de las fuerzas cortantes con respecto a los de flexión pueden ser comparables, de aquí el nombre de muros de cortante y el uso necesario para edificios altos y esbeltos. • Los desplazamientos de los muros acoplados con respecto a los marcos se desplazan en 1.46% más y con respecto a los muros marcos se desplazan un 4.19%, Debido a la mínima diferencia de porcentaje de desplazamiento, se justifica correcta ó aproximada la repartición de la fuerza cortante sísmica que recomienda las N.T.C. 2004. • Los efectos de torsión que se manifiestan por los valores de los momentos torsionantes de las vigas que conectan a los muros, marco-muros y marcos representan gran importancia sobre todo en la unión de muros y marcos, esto debido a que las trabes que los conectan muestran elevados valores con respecto a las que unen los marcos con marco-muros. • Es conocido que las cargas gravitacionales provocan poca flexión en los subsistemas verticales y resulta importante el efecto flexionante debido a cargas sísmicas, lo cual se puede comprobar en los diagramas flexionantes de cada elemento obtenidos en el análisis estructural del edificio. • Las ventajas que tiene el uso de programas de computadora en el espacio al analizar edificios con plantas irregulares o con subsistemas de rigidices diferentes como es el caso de los proyectos I y II, es que se tiene una visualización completa de los efectos de flexión , torsión, cortante y axial. • Es importante que la modelación de los edificios se apegue al comportamiento real de las estructuras, en estos edificios se consideraron modelos con bases empotradas, la discretización de los muros verticalmente en cuatro y seis elementos finitos por entrepiso. Cuando se uso una discretización con menor número de elementos finitos los resultados fueron burdos por no expresar claramente la variación de 223 esfuerzos. Seguramente una discretización mayor definiría mejor la distribución de esfuerzos, sin embargo el trabajo numérico se incrementaría. • Al discretizar las losas se presento el mismo problema, como se podía dividir la losas en varios elementos finitos o canalizar las cargas gravitacionales distribuidas en la periferia de las losas, se optó por la segunda opción. • Se observó que la variación de esfuerzos flexionantes entre un muro y un muro acoplado es la siguiente, en el primero los esfuerzos flexionantes de tensión varían hacia el eje neutro disminuyendo, siendo mayores en la parte inferior y menores en la superior, los de compresión tienen una variación similar pero su valor aumenta en la parte inferior con respecto a los de tensión. En el segundo caso los muros que integran al muro acoplado trabajan en forma similar pero por separado, esto es que cada segmento de muro presenta sus propios esfuerzos de compresión y tensión, siendo mayores siempre los de compresión. Sobre el diseño estructural. A continuación se presentan algunas conclusiones del diseño estructural usando las Normas Técnicas Complementarias para diseño y construcción de Estructuras de Concreto 2004. • Las N.T.C. de concreto 2004, con respecto a las anteriores, en el diseño de muros se ha dando una nueva opción para el cálculo del momento flexionante, considerando una distribución de momentos flexionantes en función de la esbeltez del muro, se presentan una amplia explicación en las tres opciones para el diseño de los elementos extremos en los muros, además se ilustran con esquemas en forma clara la distribución y colocación del refuerzo en cualquier segmento del muro además se indica el diseño de muros acoplados. • Al revisar el factor de comportamiento sísmico se encontró que éste está dentro de la norma establecida, por lo que no hubo necesidad de modificarlo. • Todos los muros de los proyectos en estudio no tuvieron la necesidad de diseñarse por flexocompresión, es decir, no se presenta el problema de pandeo ya que las cargas gravitacionales cumplen con el inciso 6.5.1. • El diseño de muros se realizo por flexión en su plano, considerando la variación de esfuerzos máximos y mínimos en cada nivel se uso el criterio de estandarizar de 4 a 5 tipos de armados. 224 • El armado de los extremos de muros se realizó con los resultados de los momentos flexionantes máximos (esfuerzos σy máximos) de cada segmento de muro, este armado es independiente del que resulte en el alma del muro ya que esté está en función del esfuerzo cortante (esfuerzos τxy máximos). • Es muy importante realizar un calculo previo del espesor de los muros a diseñar, es posible que una vez analizada la estructura los resultados de los esfuerzos sean muy elevados y el espesor propuesto no sea capaz de absorberlos. • Los espesores de los muros cumplieron con lo establecido en las normas, excepto el muro acoplado (M-3), donde fue necesario incrementar el espesor del muro de 20 a 23 cm. • Para el armado de los muros se usaron varios calibres de acero, se recomienda utilizar de 3 a 4 diámetros diferentes. • Una vez obtenidos los resultados de la distribución de esfuerzos del análisis, se observó que en cualquier tipo de muro los máximos valores de esfuerzos a compresión y tensión se encuentran en el primer tercio de la altura del muro. • Todas la vigas de conexión de los muros acoplados, se diseñaron como vigas típicas por no cumplir con la condición de vigas diafragma. Sin embrago las vigas de conexión ubicadas en los ejes 2 y 3 del proyecto I se diseñaron como vigas diafragma según lo estipulado en las normas. • El acero diagonal colocado en las vigas de acoplamiento está determinado por la fuerza cortante y no por la flexión, debido al gran peralte que presentan. • La importancia del empleo de los muros de cortante en estructuras de gran altura es evidente, ya que sería difícil edificarlas sin ningún sistema suficientemente rigidizante que proporcione la estabilidad necesaria ante los diferentes tipos de solicitaciones que están expuestas. Es por eso, que una buena solución es el empleo de los muros de cortante. 225 Bibliografía Aswad, G. Gus y Djazmati, Basel, “Coparison of shear wall deformations and forces using two approaches”, en PCI-Journal prestressed concret institute, Num. 44, Vol. 4, Junary – February 1999, pág. 34-42. Calavera, José, Proyecto y Cálculo de Estructuras de Hormigón, Tomo II, INTEMAC, Edit. Infoprint S.A. España. 1999. G.D.F., “Acuerdo por el que se dan a conocer las Normas Técnicas Complementarias del Reglamento de Construcciones para el Distrito Federal”, en Gaceta Oficial del D.F., Tomo I, Num. 103-Bis, 6 de octubre, 2004. González, Oscar y Robles, Francisco, Aspectos fundamentales del concreto reforzado, Editorial Limusa, México, 2003, Lin, T.Y. y Stotesbury, Conceptos y sistemas estructurales para arquitectos e ingenieros, Editorial Limusa, México , 1991. Nawy, Edward G., Prestressed Concrete, A Fundamental Approach, Edit. Prentice Hall, New Jersey, 2000. Pavón Rodríguez, Víctor Manuel, Diseño de estructuras de edificios de concreto reforzado, IMCYC, México, 1977. Portland Cement Association, Interacción estructural en marcos y muros de cortante, Editorial Limusa, México, 1977. Stark, Roberto, “Los edificios de concreto ganan altura”, Ponencia seminarial, Word of Concrete, México, 1997. En Internet \\www.imcyc.com En Internet \\www.softwarepc.com En Internet \\www.estructuralsistem.net En Internet \\www.df.gob.mx 226