problemas resueltos de transformadores

PROBLEMAS RESUELTOS DE TRANSFORMADORES
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Erving Quintero Gil
Ing. Electromecánico
Bucaramanga – Colombia
2010
1
Problema 1.
Un transformador monofásico de 100 Kva. 3000/220 v, 50 Hz, tiene 100 espiras en el devanado
secundario. Supuesto que el transformador es ideal, calcular:
a) Corrientes primaria y secundaria a plena carga?
b) Flujo máximo
c) Numero de espiras del arrollamiento primario?
a) Los valores de la corriente primaria y secundaria a plena carga son:
S = 100 Kva = 100000 va
E1 = 3000 v
E2 = 220 V
I1 = Corriente del primario en amperios
I2 = Corriente del secundario en amperios
S = V1 * A1
A1 =
S 100000 va
=
= 33,33 Amp.
V1
3000 v
S = V2 * A2
A2 =
S 100000 va
=
= 454,54 Amp.
V2
220 v
Flujo máximo, como el transformador es ideal
N2 = 100 espiras en el secundario
F = 50 Hz
E2 = 220 V
E2 = 4,44 f * N2 *Ømax
φ max =
E2
220
220
=
=
= 9,9 *10 - 3 Weber
4,44 * N 2 * f 4,44 *100 * 50 22200
Numero de espiras del arrollamiento primario?
N2 = 100 espiras en el secundario
E1 = 3000 v
E2 = 220 V
E1 N 1
=
E2 N2
N1
3000 v
=
220 v 100 esp
13,63 =
N1
100 esp
N1 = 13,63 * 100 = 1364 espiras
Problema 2.
Un transformador que trabaja a 50 Hz. Con una chapa magnética que tiene un espesor de 0,35 mm. y
una inducción magnética de 1 Tesla (10000 Gauss). Se conecta a una red de 60 Hz.
Cuales son las perdidas en el hierro a 50 Hz.
Cuales son las perdidas en el hierro a 60 Hz.
2
Pf = perdidas por corriente de Foucault en Watios/Kg.
f = frecuencia en Hz.
βmax = Inducción máxima en Gauss
Δ = Espesor de la chapa en mm.
Pf =
2,2 * f 2 * (β max )2 * Δ2
1011
Cuales son las perdidas en el hierro a 50 Hz.
Pf =
2,2 * 50 2 * (10000)2 * 0,35 2 2,2 * 2500 *10 8 * 0,1225
watios
=
= 0,673
kg
1011
1011
Cuales son las perdidas en el hierro a 60 Hz.
Pf =
2,2 * 60 2 * (10000)2 * 0,35 2 2,2 * 3600 *10 8 * 0,1225
watios
=
= 0,97
kg
1011
1011
Esto nos indica que si la frecuencia es mayor, mayores serán las perdidas por corriente de Foucault.
Problema 3.
Un transformador que trabaja a una frecuencia de 50 Hz. Con unas chapa magnética de una
inducción de 1,2 Tesla (12000 Gauss), conectado a una red de 50 Hz. De frecuencia. El peso del
núcleo del transformador es de 3 kg. ¿Cuáles serán las perdidas por histéresis del núcleo
magnético?.
Formula de Steinmetz
Kh = Coeficiente de cada material = 0,002
F = frecuencia en Hz.
βmax = Inducción máxima en Tesla
Ph = perdidas por histéresis en Watios/Kg.
n = 1,6 si Βmax < 1 Tesla (10000 Gauss)
n = 2 si Βmax > 1 Tesla (10000 Gauss)
Ph = Kh * f * (βmax)n
Ph = 0,002 * 50 * 1,22
Ph = 0,144 watios/kg
0,144 watios
X
1 kg
3 kg
X = 3 * 0,144 watios
X = 0,432 watios
Problema 4.
Un transformador conectado a una red de 50 Hz. De frecuencia con una chapa magnética de 0,9
Tesla (9000 Gauss) de inducción. El peso del núcleo del transformador es de 12 kg. El espesor de la
chapa del núcleo es de 0,35 mm y el coeficiente de histéresis es de 0,002
Calcular la potencia perdida en el hierro?
Se halla la potencia perdida por corrientes de Foucault
Pf = perdidas por corriente de Foucault en Watios/Kg.
F = frecuencia en Hz. = 50 Hz.
3
βmaz = Inducción máxima en Gauss = 900 Gauss
Δ = Espesor de la chapa en mm. = 0,35 mm
Pf =
2,2 * f 2 * (β max )2 * Δ2
1011
Pf =
2,2 * 50 2 * (9000)2 * 0,35 2 2,2 * 2500 * 81000000 * 0,1225 54573750000
watios
=
=
= 0,545
11
11
11
kg
10
10
10
Las perdidas totales por corrientes de Foucault son:
0,545 watios
X
1 kg
12 kg
X = 12 * 0,545 watios
X = 6,54 watios
Se halla la potencia perdida por histéresis
Formula de Steinmetz
Kh = Coeficiente de cada material = 0,002
F = frecuencia en Hz. = 50 Hz
βmax = Inducción máxima en Tesla = 0,9 Tesla
Ph = perdidas por histéresis en Watios/Kg.
n = 1,6 si Βmax < 1 Tesla (10000 Gauss)
n = 2 si Βmax > 1 Tesla (10000 Gauss)
Ph = Kh * f * (βmax)n
Ph = 0,002 * 50 * (0,9)1,6
Ph = 0,002 * 50 * 0,84486
Ph = 0,0844 watios/kg
Las perdidas totales por histéresis son:
0,0844 watios
X
1 kg
12 kg
X = 12 * 0,0844 watios
X = 1,01 watios
Perdidas totales en el núcleo son:
PFE = perdidas totales por corrientes de Foucault + perdidas totales por histéresis
PFE = 6,54 watios + 1,01 watios
PFE = 7,55 watios
Nota: Las pérdidas en el hierro se halla midiendo la potencia consumida por el transformador en
vacío.
Problema 5
Un transformador de 60 hz. Tiene unas perdidas por histéresis de 200 watios y unas perdidas por
corrientes parasitas de 100 watios para un valor máximo de la densidad de flujo de 200 weber/m2
cuando se aplica una tensión nominal de 120 voltios en bornes del primario, calcular
4
a) Las pérdidas por histéresis y por corrientes parasitas cuando la tensión disminuye a 110 v
para la misma frecuencia. Suponiendo que las perdidas por corrientes parasita son función de
(fxBm)2 pero las perdidas por histéresis son función de f x (Bmax)1,75
b) Las pérdidas por histéresis y corrientes parasitas (Foucault) para una densidad de flujo
máximo, si se aplica la tensión nominal a una frecuencia de 50 hz.
c) La densidad de flujo máxima, las perdidas por histéresis y corrientes parasitas cuando se
aplica 60 voltios a 30 hz.
Datos
f = 60 hz
Ph = pérdidas por histéresis = 200 watios.
Pf = corrientes parasitas (Foucault) = 100 watios
weber
B max 120 v = 200
metro 2
Vnominal = 120 voltios (primario)
E = k f Bmax
E110 v k f 60 hz B max 110 v
=
E120 v k f 60 hz B max 120 v
E110 v B max 110 v
=
E120 v B max 120 v
110 v B max 110 v
=
weber
120 v
200
m2
0,9166 =
B max 110 v
weber
200
m2
B max 110 v = 200
weber
x 0,9166
metro 2
B max 110 v = 183,33
weber
metro 2
Formula de Steinmetz
Ph = pérdidas por histéresis
Ph = Kh * f * (βmax)n
Ph 120 v = pérdidas por histéresis = 200 watios.
Kh = coeficiente de histeresis, depende del material
f = frecuencia en Hz.
n = 1,75
weber
B max 120 v = 200
metro 2
B max 110 v = 183,33
weber
metro 2
5
Pf = corrientes parasitas (Foucault) = 100 watios conectados a 120 voltios
Ph = Kh * f * (βmax)n
Ph (110 v ) k h f 60 hz (B max 110 v )1,75
=
1,75
Ph (120 v ) kh f
60 hz (B max 120 v )
Ph (110 v ) (B max 110 v )1,75
=
1,75
Ph (120 v ) (B
max 120 v )
Ph (110 v )
9133,95
=
200 watios 10636,59
Ph (110 v )
= 0,858
200 watios
Ph 110 v = 200 watios. X 0,858
Ph 110 v = 171,74 watios.
Pf = perdidas por corriente de Foucault
Kf = coeficiente de foucault
f = frecuencia en Hz.
βmax = Inducción máxima
Δ = Espesor de la chapa en mm.
v = volumen del nucleo
Pf = k f (B max )2 f 2 Δ2 v
Pf (110 v ) k f (f 60 )2 (B max 110 v )2
=
2
Pf (120 v ) k (f )2 (B
f 60
max 120 v )
Pf (110 v )
(183,33)2
=
100 watios
(200)2
Pf (110 v )
33609,88
=
100 watios
40000
Pf (110 v )
= 0,84
100 watios
Δ2 v
Δ2 v
Pf (110 v) = 100 watios x 0,84
Pf (110 v) = 84 watios
Las pérdidas por histéresis y corrientes parasitas (Foucault) para una densidad de flujo máximo, si se
aplica la tensión nominal a una frecuencia de 50 hz.
Datos
f = 50 hz
Ph = pérdidas por histéresis.
Pf = corrientes parasitas (Foucault)
6
B max 120 v = 200
weber
metro 2
Vnominal = 120 voltios (primario)
E = k f Bmax
E120 v k f 50 hz B max 50 hz
=
E120 v k f 60 hz B max 60 hz
E120 v 50 x B max 50 hz
=
60 x 200
E120 v
120 v 50 x B max 50 hz
=
120 v
12000
5 x B max 50 hz
1200
1200 = 5 x B max 50 hz
1200 = 5 x Bmax 50 hz
1=
Bmax 50 hz = 240 weber/m2
B
Ph = Kh * f * (βmax)n
Ph (50 hz ) k h f 50 hz (B max 50 hz )1,75
=
1,75
Ph (60 hz ) kh f
60 hz (B max 60 hz )
Ph (50 hz ) 50 x (240 )1,75
=
Ph (60 hz ) 60 x (200 )1,75
Ph = pérdidas por histéresis = 200 watios.
Ph (50 hz ) 5 x 14634,22
73171.1
=
=
= 1,1465
Ph (60 hz ) 6 x 10636,59 63819,54
Ph (50 hz )
= 1,1465
200 watios
Ph 50 hz = 200 watios. X 1,1465
Ph 50 hz = 229,3 watios
Pf = perdidas por corriente de Foucault
Kf = coeficiente de foucault
f = frecuencia en Hz.
βmax = Inducción máxima
Δ = Espesor de la chapa en mm.
v = volumen del nucleo
Bmax 50 hz = 240 weber/m2
B
7
B max 60 hz = 200
weber
metro 2
Pf = k f (B max )2 f 2 Δ2 v
Pf (60 hz ) k f (f 60 )2 (B max 60 hz )2 Δ2 v
=
2 2
Pf (50 hz ) k (f )2 (B
f 50
max 50 hz ) Δ v
Pf (60 hz ) (f 60 )2 (B max 60 hz )2
=
2
Pf (50 hz ) (f )2 (B
max 50 hz )
50
Pf (60 hz )
(60)2 200 2
=
Pf (50 hz ) (50 )2 (240 )2
Pf (60 hz )
(3600) x 40000 = 36 x 400 = 14400
=
Pf (50 hz ) (2500 ) x 57600 25 x 576 14400
Pf = corrientes parasitas (Foucault) = 100 watios
Pf (60 hz )
=1
Pf (50 hz )
Pf (60 hz) = 100 watios x 1
Pf (60 hz) = 100 watios
La densidad de flujo máxima, las perdidas por histéresis y corrientes parasitas cuando se aplica 60
voltios a 30 hz.
Datos
f = 60 hz
Ph = pérdidas por histéresis = 200 watios.
Pf = corrientes parasitas (Foucault) = 100 watios
weber
B max 120 v = 200
metro 2
Vnominal = 120 voltios (primario)
E = k f Bmax
E120 v k f 60 hz B max 120 v
=
k f 30 hz B max 30 v
E 60 v
E120 v f 60 hz B max 120 v
=
f 30 hz B max 30 v
E 60 v
60 x 200
120
=
60 30 x B max 30 v
12000
2=
30 x B max 30 v
8
12000 12000
=
2x30
60
weber
B max 30 v = 200
metro 2
B max 30 v =
Formula de Steinmetz
Ph = pérdidas por histéresis
Ph = Kh * f * (βmax)n
Kh = coeficiente de histeresis, depende del material
f = frecuencia en Hz.
n = 1,75
weber
B max 120 v = 200
metro 2
B max 30 v = 200
weber
metro 2
Pf = corrientes parasitas (Foucault) = 100 watios conectados a 120 voltios
Ph = Kh * f * (βmax)n
Ph (30 v )
(B
)1,75
k f
= h 30 hz max 30 v
1,75
Ph (120 v ) kh f
60 hz (B max 120 v )
Ph (30 v )
(B
)1,75
f
= 30 hz max 30 v
1,75
Ph (120 v ) f
60 hz (B max 120 v )
Ph (30 v ) f 30 hz (200 )1,75
=
1,75
Ph (120 v ) f
60 hz (200 )
Ph (30 v ) f 30 hz
=
Ph (120 v ) f 60 hz
Ph (30 v ) 30
=
= 0,5
Ph (120 v ) 60
Ph 120 v = pérdidas por histéresis = 200 watios.
Ph 30 v = 200 watios. X 0,5
Ph 30 v = 100 watios.
Pf = perdidas por corriente de Foucault
Kf = coeficiente de foucault
f = frecuencia en Hz.
βmax = Inducción máxima
Δ = Espesor de la chapa en mm.
v = volumen del nucleo
Pf = k f (B max )2 f 2 Δ2 v
9
Pf (30 v )
k f (f 30 )2 (B max 30 v )2 Δ2 v
=
2 2
Pf (120 v ) k (f )2 (B
f 60
max 120 v ) Δ v
Pf (30 v )
(f )2 (B max 30 v )2
= 30
2
Pf (120 v ) (f )2 (B
max 120 v )
60
Pf = corrientes parasitas (Foucault) = 100 watios conectados a 120 voltios
weber
B max 120 v = 200
metro 2
B max 30 v = 200
weber
metro 2
Pf (30 v ) 30 2 (200 )2
=
100
(60 )2 (200 )2
Pf (30 v ) 30 2
=
100
(60)2
Pf (30 v ) 900
=
100
3600
Pf (30 v )
= 0,25
100
Pf (30 v) = 100 watios x 0,25
Pf (30 v) = 25 watios
Problema 6.
Un transformador de 50 kva, 600 /240 v, 25 hz tiene unas perdidas en el hierro de 200 w (de los
cuales el 30 % son perdidas por corrientes parasitas) y unas perdidas en el cobre a plena carga de
650 watios. Si el transformador se hace funcionar a 600 v, 60 hz. Cual seria la nueva potencia
nominal del transformador si las perdidas totales tuvieran que ser las mismas
Datos
S = 50 Kva = 50000 va.
600 v /240 v, 25 hz
perdidas en el hierro de 200 w = Pf + Ph
Pf = corrientes parasitas (Foucault) = 200 watios x 0,3 = 60 watios
Ph = pérdidas por histéresis = 200 watios x 0,7 = 140 watios
PCU a plena carga = 650 watios
Perdidas totales = perdidas en el hierro + perdidas en el cobre
Perdidas totales = 200 + 650
Perdidas totales = 850 watios
E = k f Bmax
E 600 v k f 25 hz B max 25 hz
=
E 600 v k f 60 hz B max 60 hz
10
f
B
1 = 25 hz max 25 hz
f 60 hz B max 60 hz
25 x B max 25 hz
60 x B max 60 hz
60 B max 25 hz
=
Ecuación 1
25 B max 60 hz
1=
Formula de Steinmetz
Ph = pérdidas por histéresis
Ph = Kh * f * (βmax)n
Kh = coeficiente de histeresis, depende del material
f = frecuencia en Hz.
Ph = Kh * f * (βmax)n
Ph (25 hz ) k h f 25 hz (B max 25 hz )2
=
2
Ph (60 hz ) kh f
60 hz (B max 60 hz )
Ph (25 hz ) f 25 hz (B max 25 hz )2
=
2
Ph (60 hz ) f
60 hz (B max 60 hz )
Ph (25 hz ) 25 x (B max 25 hz )2
=
2
Ph (60 hz ) 60 x (B
max 60 hz )
Ph (25 hz ) 25 ⎛ B max 25 hz
=
x⎜
Ph (60 hz ) 60 ⎜⎝ B max 60 hz
⎞
⎟
⎟
⎠
2
Reemplazando la ecuación 1
Ph (25 hz ) 25 ⎛ 60 ⎞ 2
=
x⎜ ⎟
Ph (60 hz ) 60 ⎝ 25 ⎠
Ph (25 hz ) 25
=
x (2,4)2
Ph (60 hz ) 60
Ph (25 hz ) 25
=
x 5,76
Ph (60 hz ) 60
Ph (25 hz )
= 2,4
Ph (60 hz )
Ph = pérdidas por histéresis a 25 hz = 200 watios x 0,7 = 140 watios
140
= 2,4
Ph (60 hz )
11
Ph 60 hz = 58,33 watios.
Pf = perdidas por corriente de Foucault
Kf = coeficiente de foucault
f = frecuencia en Hz.
βmax = Inducción máxima
Δ = Espesor de la chapa en mm.
v = volumen del núcleo
Pf = k f (B max )2 f 2 Δ2 v
Pf (25 hz )
k (f )2 (B max 25 hz )2 Δ2 v
= f 25
2 2
Pf (60 hz ) k (f )2 (B
f 60
max 60 hz v ) Δ v
Pf (25 hz )
(f 25 )2 (B max 25 hz )2
=
2
Pf (60 hz ) (f )2 (B
max 60 hz v )
60
Pf (25 hz )
25 2 x (B max 25 hz )2
=
2
Pf (60 hz ) 60 2 x (B
max 60 hz v )
Pf (25 hz ) 625 ⎛ B max 25 hz ⎞ 2
⎟
=
x⎜
Pf (60 hz ) 3600 ⎜⎝ B max 60 hz ⎟⎠
60 B max 25 hz
=
25 B max 60 hz
Ecuación 1
Reemplazando la ecuación 1
2
Pf (25 hz )
⎛ 60 ⎞
= 0,1736 x ⎜ ⎟
Pf (60 hz )
⎝ 25 ⎠
Pf (25 hz )
= 0,1736 x (2,4)2
Pf (60 hz )
Pf (25 hz )
= 0,1736 x 5,76
Pf (60 hz )
Pf (25 hz )
=1
Pf (60 hz )
Pf = corrientes parasitas (Foucault) = 200 watios x 0,3 = 60 watios
Pf (60 hz) = Pf (25 hz) = 60 watios
Perdidas en el hierro a 60 hz = Pf + Ph
Perdidas en el hierro a 60 hz = 60 + 58,33
Perdidas en el hierro a 60 hz = 118,33 watios
Las perdidas totales se mantienen constantes
Perdidas totales = 850 watios
12
Perdidas totales = perdidas en el hierro + perdidas en el cobre
850 watios = 118,33 watios + perdidas en el cobre
perdidas en el cobre = 850 − 118,33
perdidas en el cobre a 60 hz = 731,67 watios
perdidas en el cobre a 25 hz = 650 watios
PCU (25 hz )
PCU (60 hz )
=
C (S 25 hz ) 2
C (S 60 hz ) 2
PCU a 25 hz = 650 watios
S = 50 Kva
(S
)2
650
= 25 hz
2
731,67 (S
60 hz )
2
(S60 hz )2 = (50) x 731,67
650
(S60 hz )2 = (2500) x 731,67
650
(S60 hz ) =
= 2814,11
2814,11
(S 60 hz ) = 53 kva
Problema 7.
Calcular la potencia aparente y el factor de potencia en vacío de un transformador partiendo de los
siguientes datos:
Tensión del primario
U1n
380 V
Intensidad del primario
I10
0,081 A
Tensión del secundario
U2n
125 V
Potencia medida con vatímetro
P10
2,2 W
Resistencia del cobre
RCU
2,4 Ω
La relación de transformación
En el ensayo en vacío, al estar abierto el devanado secundario, no circula ninguna corriente, esto
permite que las tensiones primaria y secundarias sean iguales
m=
U1n 380 V
=
= 3,04
U 2n 125 V
13
La potencia medida con el vatímetro en el devanado primario (P10 = 2,2 W) corresponde a las
perdidas en el hierro y en el cobre, pero las perdidas en el cobre en un transformador en vacío son
despreciables, por lo tanto la potencia medida con un vatímetro en vacío se consideran las
perdidas en el hierro.
La potencia perdida en el cobre se puede hallar
PCU = (I10)2 * RCU
PCU = (0,081)2 * 2,4
PCU = 0,006561 * 2,4
PCU = 0,015 Watios
Esto indica que la potencia que se pierde por el cobre del bobinado es despreciable en un ensayo de
vacío frente a las perdidas en el núcleo (corrientes de Foucault + perdidas por histéresis)
La impedancia es:
Z=
U1n
380 V
=
= 4691,35 Ω
I10
0,081 A
La potencia aparente es:
S = U1n * I10 = 380 V * 0,081 A
S = 30,78 VA
El ángulo de desfase φ entre la tensión y la intensidad de corriente
P
2,2
cos ϕ = 10 =
= 0,07147
S
30,78
S = 30,78 VA
φ
P10 = 2,2 w
Problema 8.
Un transformador de 50 kva 4600 v /220 v, 50 hz.
Ensayo en vacío 223 v, 287 watios.
Ensayo en corto 156 v, 620 watios, 11,87 A.
Hallar
η Rendimiento a 60 kva, cos Φ = 0,86
Kva ? ηmax, Sη max
ηmax para cos λ = 0,8
IN1 = Corriente del primario
50000
I N1 =
= 10,87 A
4600
IN2 = Corriente del secundario
50000
I N2 =
= 227,27 A
220
2
2
⎛ VN1 ⎞
⎛ 220 ⎞
⎜
⎟
=
Pfe = Wvacio x ⎜
287
x
= 287 x (0,986 )2
⎜
⎟
⎟
V
223
⎝
⎠
vacio
⎝
⎠
Pfe = 287 x (0,9732 )
14
Pfe (50 kva) = 279,32 watios
2
2
⎛ I
⎞
⎛ 10,87 ⎞
Pcu = Wcorto x ⎜⎜ N1 ⎟⎟ = 620 x ⎜⎜
⎟⎟ = 620 x (0,9157 )2
⎝ 11,87 ⎠
⎝ I corto ⎠
Pcu = 620 x (0,8386 )
Pcu (50 kva) = 519,93 watios
PCU (50 kva ) C (S50 kva )2
=
2
PCU (60 kva ) C (S
60 kva )
(50)2
519,93
=
Pcu (60 kva ) (60 )2
(2500 )
519,93
=
Pcu (60 kva ) (3600 )
Pcu (60 kva ) =
(519,93) x 3600
2500
Pcu (60 kva ) = 748,69 watios
Hallar η (Rendimiento a 60 kva), cos Φ = 0,86
η 60 kva =
S cos φ
S cos φ + Pfe(50 hz ) + Pcu (60 hz )
50000 * 0,86
50000 * 0,86 + 279 + 748,69
43000
43000
η 60 kva =
=
43000 + 279 + 748,69 44027.69
η 60 kva = 0,97
η 60 kva = 97 %
η 60 kva =
2 P
fe(50 hz )
⎛ Sη max ⎞
⎜
⎟ =
Pcu (50 hz )
⎝ S ⎠
⎛ Sη max ⎞
⎜
⎟=
S ⎠
⎝
Sη max =
Pfe(50 hz )
Pcu (50 hz )
Pfe(50 hz )
*S
Pcu (50 hz )
279
* 50 kva
519
Sη max = 0,537 * 50 kva
Sη max = 0,732 * 50 kva
Sη max = 36,64 kva
Sη max =
15
ηmax para cos λ = 0,8
η max =
Sη max * cos λ
Sη max * cos λ + 2 Pfe(50 hz )
36640 * 0,8
36640 * 0,8 + 2 * 279,32
29312
29312
η max =
=
29312 + 558,64 29870,64
η max = 0,98
η max = 98 %
η max =
16