Practica No. 2. División de un segmento “En una razón dada

Centro de Estudios Tecnológicos
Industrial y de servicios No. 141
Dr. Manuel Gamio
Nombre del Alumno (a):
Profesor:
Gustavo Acosta Castañeda
Grupo:
Fecha:
Calificación:
Practica No. 2. División de un segmento “En una razón dada”
Objetivo: Dividir un segmento en una razón dada, aplicando la formula
x
x1  rx2
y  ry2
;x  1
1 r
1 r
, para determinar las coordenadas
del punto o de los puntos de división.
Evidencias de aprendizaje
1. Determina las coordenadas del punto que divide al
segmento cuyos extremos son A(-3, 5) Y B(4, 1) en la razón
r
2
5
2. Si A(-4, 3) y B(4, -3) son los extremos de un segmento
dirigido de AB, determinar las coordenadas del punto P(x,
y) que dividen a este segmento en la razón r = -3.
3. En una carrera de rally que inicia en el punto A(-6, 10)
deben colocarse cuatro estaciones de abastecimiento
separadas a distancias iguales y en line recta. Si la meta
está situada en el punto B(8, -8), averiguar las coordenadas
de los puntos donde deben colocarse las cuatro estaciones
de abastecimiento para que los autos recorran la misma
distancia desde el punto A hasta el punto B
Solución de la práctica No. 2
Consideraciones teóricas
División de un segmento en una razón dada
Sean P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x2 , y2 ) los extremos de un segmento y
p( x, y) un punto que pertenece al segmento el cual divide al
segmento en dos partes proporcionales.
Sea
r
P1 P
PP2 en donde “r” es la razón en que el punto P( x, y)
divide al segmento
P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x2 , y2 )
Son los extremos del
segmento
P( x, y) Es el punto
de división
Formulas
1. Para hallar la razón, conociendo los extremos y el punto de
división, se emplea:
x  x1
y  y1
r
;
r
x2  x
y2  y
2. Para hallar el punto de división, conociendo los extremos y
la razón, se emplea:
x  rx2
y  ry2
x 1
; y 1
1 r
1 r
Nota: Existen dos casos para la razón:
Caso 1:
Cuando el punto P( x, y) está entre el punto P1 & P2 , la
razón es positiva (r>0).
Caso 2:
Cuando el punto P( x, y) no está entre el punto P1 & P2 , la
razón es negativa (r<0).
C.E.T.i.s. NO. 141 | Materia: Geometría Analítica
Ejercicio 1
En este caso
2
r ; r0
5
Caso 1, el punto P( x, y) estará entre el punto “A y el punto
B”; entonces usamos la formulas
x  rx2
y  ry2
x 1
; y 1
1 r
1 r
Datos A(3, 5) & B(4,1)
Objetivo: determinar, el punto P( x, y) que divide al segmento
Para x:
x  rx2
x 1
1 r
2
 3  4 
5

2
1
5
8
3
5

5 2
5
 15  8
5

7
5
7
 5  1
7
5
 x  1
Para y:
y  ry2
y 1
1 r
2
5  1
5

2
1
5
2
5
5

5 2
5
25  2
 5
7
5
27
27
 5 
7
7
5
27
y 
7
Así que las coordenadas del punto P( x, y) que dividen al
segmento son
27 

P  1, 
7 

Profesor: Gustavo Acosta Castañeda
1
Efectivamente el punto se encuentra fuera del segmento AB.
Ejercicio 3
Como son 4 abastecimientos, habrá 4 razones, una por cada
abastecimiento.
Ejercicio 2
En este caso
r  3; r  0
Caso 2, el punto P( x, y) no estará dentro del segmento AB;
Usamos la formulas del caso anterior
x  rx2
y  ry2
x 1
; y 1
1 r
1 r
Datos A(4, 3) & B(4,3)
Objetivo: determinar, el punto P( x, y) que divide al segmento,
este punto se encontrara fuera del segmento AB.
Para x:
x  rx2
x 1
1 r
 4  ( 3) 4

1  ( 3)
 4  12

2
 16

2
x  8
Para y:
y  ry2
y 1
1 r
3  (3)(3)

1  (3)
39

2
12

2
 y  6
Así que las coordenadas del punto P( x, y) que dividen al
segmento son P(8,  6)
C.E.T.i.s. NO. 141 | Materia: Geometría Analítica
Sean los abastecimiento puntos a determinar (P1, P2, P3, P4) y
las razones (r1, r2, r3, r4) respectivamente
Para el punto P1, tenemos que la razón es r1  AP1  1
P1 B 4
Para x:
x  rx2
x 1
1 r
1
 6  8
4

1
1
4
62

5
4
4

5
4
 16

5
16
x  
5
Para y:
y  ry2
y 1
1 r
1
10  (8)
4

1
1
4
10  2

5
4
8

5
4
32

5
32
y 
5
El punto P1   16 , 32 

5
5 
Profesor: Gustavo Acosta Castañeda
2
Para el punto P2, tenemos que la razón es r2  AP2  2
P2 B 3
Para x:
Para y:
x  rx2
y  ry2
x 1
y 1
1 r
1 r
2
2
 6  8
10  (8)
3
3


2
2
1
1
3
3
16
16
6
10 
3
3


5
5
3
3
 18  16
30  16
3
3


5
5
3
3
2
14

2
5
 3 
5
5
14
y 
3
5
2
x  
5
El punto P2   2 , 14 
 5 5
Para el punto P4 tenemos que la razón es r4  AP4  4  4
P4 B 1
Para x:
Para y:
x  rx2
y  ry2
x 1
y 1
1 r
1 r
 6  48
10  4( 8)


1 4
1 4
 6  32
10  32


5
5
26
 22


5
5
26
22
x 
y  
5
5
C.E.T.i.s. NO. 141 | Materia: Geometría Analítica
El punto P4  26 ,  22 
 5
5 
Para el punto P3, tenemos que la razón es r3  AP3  3
P3 B 2
Para x:
Para y:
x  rx2
y  ry2
x 1
y 1
1 r
1 r
3
3
 6  8
10  (8)
2
2


3
3
1
1
2
2
24
24
6
10 
2
2


5
5
2
2
 6  12
10  12


5
5
2
2
6 12
2 4
 


5 5
5
5
2
2
12
4
x 
y  
5
5
El punto P3  12 ,  4 
5
5
Profesor: Gustavo Acosta Castañeda
3