Caso Productos Notables

PROYECTO FONDEF D05I-10211
SITUACIÓN METODOLÓGICA SOBRE PRODUCTOS NOTABLES.
En una mañana otoñal, junto al calor de la estufa, que mitiga en parte el frío maulino de la sala de
profesores de un liceo municipal ubicado hacia el interior costero de la ciudad de Talca, Juan y
Diego, esforzados profesores de matemática, conversan sobre lo que cada uno ha pensado
respecto a cómo enseñar los productos notables.
Juan, el más joven, es entusiasta, creativo y tiene sus objetivos claros con relación a la enseñanza
de la matemática, los que adquirió en su formación inicial en la universidad, que acaba de
terminar con éxito, hace sólo un par de años. Ahora está diseñando estrategias de enseñanza
para que sus alumnos(as) se apropien del conocimiento de estos destacados productos
algebraicos. Diego, en cambio, tiene en su vida laboral bastante “camino recorrido”, como él
mismo dice sin miramientos. La mayor parte de sus años de docencia los ha ejercido en este liceo.
También se encuentra Pedro, el tercer profesor de la asignatura. Es algo introvertido, sabio por
reconocimiento a la hora de dar algún consejo y que media los años de sus dialogantes colegas, a
los que escucha con disimulo y prudencia:
Juan: Puedo hacerle una preguntita Don Diego, apelando a su experiencia digo yo, ¿cómo va a
enfrentar usted, en su clase, la unidad de los productos notables?
Diego: Bueno Juan, no hay mucho que pensar… lo que siempre me ha resultado no más…
Juan: Pero… ¿cómo es eso?
Diego: Mira Juan, de la forma más fácil… dar a los jóvenes el listado de las fórmulas. Es cuestión
que los memoricen y con un par de ejemplos por cada una, estamos al otro lado.
La del cuadrado del binomio es la que se aprenden más rápido… hasta la recitan “el cuadrado del
primero, más o menos el doble del primero por el segundo y más el cuadrado del segundo”.
Juan: ¿Y eso le resulta Don Diego?
Diego: Bueno, recuerda cómo tú los aprendiste…
Juan: Bueno, puede ser, pero, ¿qué hay de las sugerencias que se entregan en el programa, don
Diego? Allí se plantean algunas actividades que los relacionan con la geometría, que a mi me
parecen muy interesantes.
Diego: Mira Juan, el diablo sabe más por viejo que por diablo, iniciativas y buenas intenciones yo
he visto muchas, sobre todo en educación, pero al final volvemos a lo mismo, si no los memorizan
no se los saben, punto. De otra forma nos demoraremos mucho y no podremos pasar toda la
materia.
Juan: Oiga, don Diego, es cierto que tienen que memorizarlos, pero a veces los memorizan sin
comprender lo que hacen... Yo trataría que entendieran primero el significado y todo que les sea
más natural, más en contextos. Usted sabe que nuestros alumnos entienden perfectamente el
cálculo de áreas de terrenos agrícolas y saben que “a2 corresponde al área de un cuadrado de lado
a”.
Diego: Noooo… Juan. No me convence, y ¿qué hay de la abstracción? A eso debemos apuntar
cuando enseñamos Matemática, que a lo mejor no se consigue de inmediato, pero a medida que
vamos avanzando y los jóvenes van entendiendo mejor, podemos ir profundizando y llegar a lo
que tú quieres lograr desde la partida.
Pedro: Disculpen que los interrumpa… Ustedes saben que este año yo me quedé sin primero,
pero si me permiten… los he estado escuchando con atención y quiero decirles que estoy
convencido que en esto no hay una sola verdad. Fórmula y significado deben ir de la mano, son
imprescindibles lo uno de lo otro. Lo que yo hago, para no darles sólo las fórmulas, es plantearles
a los jóvenes que realicen los productos para comprobarlas y después aplicarlas en varios
ejemplos.
Mire don Diego, deberíamos darle oportunidad a Juan para que explique su propuesta, a lo mejor
nos ayuda a los dos.
Diego: Bueno, no crean que yo soy cerrado y no quiero saber de otras formas de enfrentar esta
situación. A mi también me interesa que mis alumnos y alumnas aprendan.
Juan: Gracias. Miren, vamos a contextualizar lo del cuadrado del binomio. Pero primero les quiero
mostrar lo que ocurre con la distributividad en el producto: a(a + b).
Dibujemos un rectángulo de lados “a” y “a + b”, cuya área es precisamente: a(a + b).
a
b
a
Y Juan continúa: Ahora, tracemos la división interior producida por la magnitud “a” en el lado “a
+ b” y anotemos las áreas del cuadrado y del rectángulo que se forman:
a
a
a2
b
ab
Como ven, tenemos que el área del rectángulo que construimos es igual a la suma de las áreas
del cuadrado y del rectángulo que se forman en su interior. Es decir: a(a + b) = a2 + ab
Pedro: ¡Hombre! … Lo explicaste muy bien. Alguna vez intenté poner en práctica esa idea, pero
no me resultó.
Diego: Mmm…
Juan (inspirado): Ya… Pasemos ahora al cuadrado del binomio.
Primero dibujemos un cuadrado de lado “a + b”, que como los jóvenes saben, su área es (a + b)2.
Y hagamos de inmediato las divisiones interiores de la misma forma que en el caso del rectángulo
anterior:
2
a
b
a
b
Juan: Ahora, anotemos el área de cada uno de los respectivos cuadrados y rectángulos
interiores:
a
b
a
a2
ab
b
ab
b2
Juan (muy contento): Luego tenemos que la suma de todas las áreas interiores es igual al área
del cuadrado original, es decir, tu cuadrado de binomio: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
Como se darán cuenta, esta representación geométrica del cuadrado del binomio puede ayudar a
comprender mejor su significado.
Diego: De acuerdo, pero ocuparé mucho más tiempo y yo creo que a mis alumnos esto no los va
a ayudar, los va a complicar más. Además, esto no sirve si los números son negativos.
Juan: Espere don Diego, con todo respeto, claro que me faltó decir que si los números se
representan con magnitudes, tienen que ser positivos. Así es que usted tiene toda la razón, esto
mismo no se puede hacer si los dos números son negativos. Pero, a partir de esto, después se
puede verificar algebraicamente que para los negativos también resulta. Además, tampoco he
dicho que todos los productos notables puedan representarse de la misma forma, ya que en el
caso de aquellos de grado tres, se necesita construir o graficar modelos tridimensionales, que no
estoy seguro si nuestros estudiantes están en condiciones de entender, pero el razonamiento es el
mismo.
Ahora, para terminar y responder en parte a lo que plantea don Diego, si me dan un par de
minutos más, podríamos ver lo que pasa con (a – b)2, por supuesto, si “a” es mayor que “b”.
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Pedro: De acuerdo.
Diego: Mmm…
Juan: Bueno, ahora hagámoslo más directamente. Así que, tomando ahora un segmento “a”
mayor que el segmento “b”, obtenemos el segmento “a – b” y construimos la siguiente
representación, anotando de inmediato las respectivas áreas interiores:
a
a–b
a–b
(a – b) 2
b
(a–b)b
a
b
(a–b)b
b2
Claramente aquí no se ve tan rápido como en el de (a + b)2, porque es de un nivel de dificultad
mayor, pero usando lo que vimos antes, tenemos que: el área del cuadrado de lado “a – b” es
igual al área del cuadrado de lado “a” menos el área del cuadrado de lado “b” y menos las áreas
de los dos rectángulos de lados “a – b” y “b”; lo que algebraicamente queda como:
(a – b)2 = a2 – b2 – 2(a – b)b, es decir: (a – b)2 = a2 – b2 – 2ab + 2b2
Luego: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Pedro: Esta me gustó más Juan, pero creo que hay otras formas, por ejemplo… ¿tú haz visto la
posibilidad de hacer estas representaciones recortando papel?
Juan: Sí, pero esa si que es más limitada y creo que serviría sólo para los dos primeros casos.
Diego: Bueno, no me vengan también con esa idea rara de andar recortando papelitos con
alumnos de Enseñanza Media…
Mira Juan, ahora te quiero decir que, aunque lo que acabas de mostrar tiene algo de Álgebra, yo
seguiré haciéndolo como siempre y que tú eres libre de hacer lo que quieras, sin necesidad de
andarme preguntando mi opinión o de tratar de convencerme de algo que ni siquiera tú has
probado que puede resultar.
Juan: Pero don Diego, yo…
Diego (interrumpiendo): No, no, no, ahora nada de peros Juan, mis treinta años de experiencia
no se dejan de lado así no más. Durante todo este tiempo, mis alumnos han aprendido siempre
de la misma forma y, cuando hacen todos los ejercicios que les doy de tarea, generalmente
después no se equivocan y se quedan muy contentos. Por lo tanto, no vas a venir tú, que estás
recién empezando, a decirme a mi lo que tengo que hacer.
Ahora me puedes explicar ¿quién ha demostrado que lo que tú propones tiene que ser mejor?,
¿dónde están los resultados de estas mal llamadas “nuevas metodologías”?
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Juan se queda pensando y decide no responderle a don Diego, convencido de que no será posible
hacerlo cambiar de idea y, además, a pesar de todo, no lo hace tan mal y todavía es querido por
sus alumnos y alumnas, aunque ellos y ellas no sepan que podrían aprender mejor.
Pedro (intentando conciliar): Bueno, yo no tengo tantos años de experiencia como usted don
Diego, pero entiendo el entusiasmo de Juan de intentar hacer algo nuevo. Así es que les propongo
que lo analicemos con más calma, porque creo que podemos llegar a algo interesante con todo
esto.
Diego: Disculpen, no me vengan con cuentos. Yo escuché atentamente a Juan y quiero que les
quede muy claro que ésta es mi decisión, porque estoy convencido en que la forma en que yo he
trabajado todo este tiempo, es la que me ha permitido llegar a los mejores resultados que se
puede lograr y es exactamente lo que se nos pide. Por alguna razón es la más usada por la
mayoría de los colegas. Así es que para mi no hay nada más que analizar.
Bueno, ahora me tengo que ir a clases. Hasta luego (y se retira con aire triunfante de la sala de
profesores, muy orgulloso de todo lo que acaba de decirle a sus colegas).
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