Campo eléctrico Ley de GAUSS y Aplicaciones

Física III -15
Física III
Campo eléctrico
Ley de GAUSS y Aplicaciones
Prof. Dr. Victor H. Rios
2015
Física III -15
METAS DE APRENDIZAJE
Al estudiar este capítulo, usted aprenderá:
• La diferencia entre fuerza eléctrica y campo eléctrico.
• Cómo calcular el campo eléctrico generado por un conjunto de cargas.
• Cómo usar la idea de las líneas de campo eléctrico para visualizar e
interpretar los campos eléctricos.
• Como calcular las propiedades de los dipolos eléctricos.
• Cómo determinar la cantidad de carga dentro de una superficie
cerrada examinando el campo eléctrico sobre la superficie.
• Cuál es el significado de flujo eléctrico y cómo se calcula.
• Cómo relaciona la ley de Gauss al flujo eléctrico a través de una
superficie cerrada con la carga encerrada por la superficie.
• Cómo usar la ley de Gauss para calcular el campo eléctrico
debido a una distribución simétrica de la carga.
• ¿Dónde se localiza la carga en un conductor cargado?.
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Contenidos
-Mostraciones en clase
-El campo eléctrico y las fuerzas eléctricas
-Fuerza sobre una carga inmersa en un campo eléctrico
-El campo eléctrico de una carga puntual
-Campo vectorial
-Ejemplo1 . Vector de campo eléctrico de una carga puntual
-Cálculos de campos eléctricos
-Superposición de campos eléctricos
-Ejemplo 2 . Campo de un anillo con carga
-Ejemplo 3. Campo de un disco con carga uniforme
-Líneas de campo eléctrico
- Flujo de campo eléctrico.
- Ley de Gauss. Aplicaciones
- Ejemplo 4. Campo de un alambre infinito
- Ejemplo 5. Campo eléctrico de una distribución esférica y uniforme
de cargas.
-Conductores
- Ejemplo 6. Campo producido por un conductor esférico cargado
- Ejemplo 7. Campo creado por una placa conductora infinita cargada
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MOSTRACIONES EN CLASE
Foto Nº 1- 2 .-Es una foto del generador de carga de
Whimshurst (por frotamiento) capaz de generar tensiones del orden de hasta 200000 volt con corriente de
unos pocos miliamperes.
Cuando se conecta el generador de carga a dos placas circulares paralelas y a una cierta distancia entre si
y una de ellas tiene pegadas cintas de papel de tres milímetros de ancho por siete centímetros de largo se ve
claramente como se orientan según las líneas de campo E entre las placas mientras existan las cargas.
Corresponde a una fuente emisora de carga, visualizada al acercar un material conductor aislado (destornillador) la chispa que se ve es de aproximadamente un
centímetro la que depende de la tensión de la fuente
Vemos un tubo fluorescente conectado a la línea 220
volt AC sin reactancia ni arrancador (como correspondería a una conexión común) el mismo se encuentra
sin encender por más que esta conectado a la línea de
alimentación.
Se ve como se puede lograr el encendido de un tubo
fluorescente conectado en forma directa a la red domiciliaria mediante la aplicación de una descarga eléctrica
de alta tensión en este caso. Lo que ocurre es que esta
alta tensión, es lo necesario para comenzar el proceso
de emisión de luz ( al ser excitados los átomos de mercurio que están en su interior).-
Vemos como se mueven las cargas dentro de un medio
sin resistencia, vacío del foco, el recorrido de las cargas dependen del tamaño del foco, siendo mayor la
emisión que si estuviera en aire. Podemos representar
las fuerzas perpendiculares a las paredes del foco.
Al acercar el dedo a una lámpara incandescente común sometida
a una tensión de unos
7000 volt . El filamento
es un sistema emisor
de carga casi circular,
donde podríamos representar al rayo como
la fuerza perpendicular
al filamento que se dirige desde el polo positivo a tierra potencial
cero a través del cuerpo humano (camino de
menor resistencia).
La carga se dirige principalmente en esa dirección, puede considerarse al filamento como elemento de tensión positiva máxima
7000 volt y el dedo
como tensión cero. A
partir del filamento la
tensión disminuirá en
forma gradual a una
determinada distancia
equidistante del mismo.
Superficies equipotenciales
Superficies equipotenciales
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El campo eléctrico y las fuerzas eléctricas
Cuando dos partículas cargadas eléctricamente interactúan en el espacio vacío,
¿cómo sabe cada una que la otra está ahí?,
¿Qué ocurre en el espacio entre ellas que comunica el efecto de una sobre la otra?
Podemos comenzar a responder estas preguntas y, a la vez, reformular la ley de Coulomb de una
manera muy útil, con el empleo del concepto de campo eléctrico.
Veamos la repulsión mutua de dos cuerpos cargados positivamente, A y B (figuras). Suponga que
B tiene carga q0, y sea la fuerza eléctrica que A ejerce sobre B.
Es decir, el campo eléctrico en cierto punto es
igual a la fuerza eléctrica por unidad de carga
que una carga experimenta en ese punto.
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Fuerza sobre una carga inmersa en un campo eléctrico
Si se conoce el campo eléctrico E en cierto punto, la ecuación anterior se reacomoda y da la
fuerza F0 experimentada por una carga puntual q0 colocada en ese punto. Esta fuerza es igual
al campo eléctrico producido en ese punto por cargas distintas de q0, multiplicado por la carga
q0:
CUIDADO, esta expresión es sólo para cargas de prueba puntuales
La fuerza eléctrica F0 = q0 E experimentada por una carga de prueba q0 varía de un punto a
otro, de manera que el campo eléctrico también es diferente en puntos distintos. Por esta razón, la ecuación se usa únicamente para calcular la fuerza eléctrica sobre una carga puntual.
Si un cuerpo cargado tiene un tamaño suficientemente grande, el campo eléctrico llega a tener magnitudes y direcciones muy distintas en sus diversos puntos, y el cálculo de la fuerza
eléctrica neta sobre él puede ser más complicado.
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Una definición completamente correcta del campo eléctrico tomamos el límite de la ecuación anterior, a medida que
la carga de prueba q0 tiende a cero, y el efecto perturbador
de q0 sobre la distribución de la carga se vuelve despreciable.
El campo eléctrico de una carga puntual
Consideremos una carga puntual q, y deseamos encontrar
el campo eléctrico que produce en el punto P. Es útil introducir un vector unitario que apunte a lo largo de la línea que va del punto de origen al punto del campo (fig a).
Si colocamos una pequeña carga de prueba q0 en el punto del campo P, a una distancia r del punto de origen, la
magnitud F0 de la fuerza está dada por la ley de Coulomb
Ecuación vectorial para E
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Campo vectorial
Como puede variar
de un punto a otro,
No es una cantidad vectorial única, sino
un conjunto infinito de cantidades vectoriales, cada una de las cuales está asociada con un punto del espacio.
En las figuras se ilustran algunos de los vectores del campo producidos por una carga puntual positiva o negativa.
Los campos vectoriales forman parte importante del lenguaje de la física, no sólo en la electricidad y el magnetismo. Un ejemplo de campo vectorial de la vida cotidiana es la velocidad de las
corrientes de viento; la magnitud y la dirección de y por lo tanto de sus componentes vectoriales, varían de un punto a otro en la atmósfera.
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Ejemplo 1. Vector de campo eléctrico de una carga puntual
Una carga puntual q = -8.0 nC se localiza en el origen. Obtenga el vector de campo eléctrico en el
punto del campo x = 1.2 m, y = -1.6 m.
SOLUCIÓN
IDENTIFICAR: En este problema se pide calcular el vector de campo eléctrico E debido a una
carga puntual. Entonces, es necesario obtener ya sea las componentes de E , o su magnitud y dirección.
PLANTEAR: En la figura se ilustra la situación. El campo eléctrico está dado en forma vectorial por
la ecuación
Para emplear esta ecuación, primero se encuentra la distancia r que hay entre el punto de origen S
(la posición de la carga q) y el punto P en el campo, así como el vector unitario
que tiene la
dirección que va de S a P.
EJECUTAR: La distancia entre la carga localizada en el punto de
origen S (que en este ejemplo está en el origen O) y el punto P en el
campo, es
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El vector unitario está dirigido del punto de origen al punto del campo. Es igual al vector de desplazamiento del punto de origen al punto del campo (que en la figura se ilustra desviado a un lado para que no oculte los otros vectores), dividido entre su magnitud r:
Entonces, el vector de campo eléctrico es
EVALUAR: Como q es negativa, tiene una dirección que va del punto del campo a la carga (el punto de origen), en dirección opuesta a. El cálculo de la magnitud y la dirección de se deja al lector
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Cálculos de campos eléctricos
La ecuación
da el campo eléctrico causado por una sola carga puntual.
Sin embargo, en la mayoría de situaciones reales que implican campos y fuerzas eléctricas, se encuentra que la carga está distribuida en el espacio.
Las varillas de
plástico y de vidrio cargadas
de la figura tiene carga eléctrica distribuida
sobre sus
superficies
El tambor formador de
imágenes en una
impresora láser.
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En esta sección aprenderemos a calcular los campos eléctricos causados por varias distribuciones de carga eléctrica
Los cálculos de esta clase tienen una importancia enorme para las aplicaciones
tecnológicas de las fuerzas eléctricas.
Para determinar
• las trayectorias de los electrones en un cinescopio,
• de los núcleos atómicos en un acelerador para radioterapia contra
el cáncer,
• de las partículas cargadas en un dispositivo electrónico
semiconductor,
se tiene que conocer la naturaleza detallada del campo eléctrico que actúa sobre
las cargas.
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Superposición de campos eléctricos
Para encontrar el campo originado por una distribución de carga, imaginamos que está constituida por muchas cargas puntuales q1, q2, q3, . . .En cualquier punto P dado, cada carga puntual produce su propio campo eléctrico
por lo que una carga de prueba q0 colocada en P experimenta una fuerza
de la carga q1
de la carga q2 y así sucesivamente
Del principio de superposición de fuerzas, la fuerza total que la distribución de carga ejerce sobre
q0 es la suma vectorial de estas fuerzas individuales:
El efecto combinado de todas las cargas en la distribución queda descrito por el campo eléctrico
total E en el punto P. De la definición de campo eléctrico,
Éste es el principio de superposición
de campos eléctricos.
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Ejemplo 2 . Campo de un anillo con carga
Un conductor en forma de anillo con radio a tiene una carga total Q distribuida de manera uniforme en todo su perímetro (figura) . Encuentre el campo eléctrico en el punto P que se localiza sobre el eje del anillo a una distancia x del centro.
SOLUCIÓN
IDENTIFICAR: Éste es un problema de superposición de campos eléctricos. La dificultad es que
ahora la carga se distribuye de manera continua alrededor del anillo, y no en cierto número de
cargas puntuales.
PLANTEAR: El punto del campo se localiza de manera arbitraria sobre el eje x, como se indica en
la figura anterior. La incógnita es el campo eléctrico expresado en ese punto, expresado en
función de la coordenada x.
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EJECUTAR: Como se ilustra en la figura, imaginamos el anillo dividido en segmentos infinitesimales
de longitud ds. Cada segmento tiene una carga dQ que actúa como fuente de carga puntual del campo eléctrico. Sea dE el campo eléctrico a partir de uno de tales segmentos; entonces, el campo eléctrico neto en P es la suma de todas las aportaciones dE desde todos los segmentos que constituyen
el anillo.
Para calcular Ex, se observa que el cuadrado de
la distancia r a partir de un segmento de anillo al
punto P es igual a r2 = x2 + a2. De manera que la
magnitud de la contribución de este segmento dE
al campo eléctrico en P es
La componente x, dEx, de este campo es:
Para encontrar la componente x total, Ex, del campo en P, se integra esta expresión a lo largo de todos los segmentos del anillo:
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Ejemplo 3. Campo de un disco con carga uniforme
Encuentre el campo eléctrico que genera un disco de radio R con densidad superficial de carga (carga por unidad de área) positiva y uniforme, s, en un punto a lo largo del eje del disco a una distancia
x de su centro. Suponga que x es positiva.
SOLUCIÓN
IDENTIFICAR: nuestra incógnita es el campo eléctrico a lo largo del eje de simetría de una distribución de carga continua.
PLANTEAR: En la figura se ilustra la situación. Se representa la distribución de carga como un conjunto de anillos concéntricos de carga dQ, como se indica. Para calcular el campo tenemos que sumar las contribuciones de los anillos
EJECUTAR: Un anillo común tiene una carga dQ, radio interior
r y radio exterior r + dr (figura. Su área dA es aproximadamente
Igual
La carga por unidad de área es :
, así
La componente del campo dEx en el punto P
debido a la carga dQ es
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Para calcular el campo total debido a todo el
anillo, se integra dEx sobre r, desde r=0 hasta r = R :
Recuerde que durante la integración x es una constante, y que la variable de integración es r. La
integral se evalúa usando la sustitución
EVALUAR Suponga que se incrementa el radio R del disco y se agrega simultáneamente carga, de manera que la densidad superficial de carga (carga por unidad de área) se mantiene
constante. En el límite en que R es mucho mayor que la distancia x entre el punto del campo y
el disco, el término de la raíz se vuelve despreciable por lo pequeño, con lo que se obtiene:
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Líneas de campo eléctrico
El concepto de campo eléctrico es un tanto elusivo debido a que ningún campo eléctrico puede
verse directamente. Para visualizarlos, las líneas de campo eléctrico son de gran ayuda y los
hace parecer más reales.
Una línea de campo eléctrico es una recta o curva imaginaria trazada a través de una región
del espacio, de modo que es tangente en cualquier punto que esté en la dirección del vector del
campo eléctrico en dicho punto.
El científico inglés Michael Faraday (1791-1867) introdujo por primera vez el concepto de líneas
de campo. Las llamó “líneas de fuerza”, aunque es preferible el término “líneas de campo”.
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Las líneas de campo eléctrico muestran la dirección de en cada punto, y su espaciamiento da
una idea general de la magnitud de en cada punto.
• Donde es fuerte, las líneas se dibujan muy cerca una de la otra, y donde es más débil se
trazan separadas.
• En cualquier punto específico, el campo eléctrico tiene dirección única, por lo que sólo una
línea de campo puede pasar por cada punto del campo. En otras palabras, las líneas de campo
nunca se cruzan.
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Campo y Potencial eléctrico. Sistema de cargas
•
Principio de superposición de campos: El campo neto creado por un
sistema de cargas es la suma vectorial de los campos creados por cada
una de las cargas del sistema.
Cargas discretas
Distribución continua de carga


qi 
ETotal   Ei   k 3 ri
ri
i
i
•



r
ETotal   dE   k 3 dq
r
Suma de Potenciales : El potencial neto creado por un sistema de cargas
es la suma de los potenciales creados por cada una de las cargas del
sistema.
VTotal  Vi   k
i
i
qi
ri
dq
VTotal   dV   k
r
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Línea de cargas
Campo producido por un conjunto de cargas iguales e igualmente espaciadas
Vamos estudiar un sistema un sistema de n cargas puntuales iguales y equidistantes n > 2, como paso previo a la obtención del campo producido por una distribución
continua de carga.
El campo eléctrico E producido por n cargas
en el punto P, es la suma vectorial de los
campos producidos por cada una de las cargas individuales en el punto P.
donde ri es el vector unitario cuya dirección
es la recta que pasa por la carga ¨i¨ y el punto P.
Fig. 23 Línea de cargas
El potencial en el punto P, es la suma de
los potenciales producidos por cada una
de las cargas individuales en el punto P.

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Distribuciones continuas de carga ( Lineal )
Z
d l´
d q´
 (r´)  lím l´0
r´
Y
X
Fig. 8
q´
dq´

l´
dl´
Densidad de carga lineal
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Ejemplo 4 - Campo producido por un hilo rectilíneo cargado
Vamos a deducir el campo producido en un punto P distante R, de una línea indefinida cargada
con una densidad de carga de λ C/m.
El campo producido por el elemento de carga dq, comprendido entre x y x+dx, tiene la
dirección y el sentido indicado en la figura y
su módulo es :
Este campo tiene dos componentes: una a
lo largo del eje vertical Y
Fig.9Línea cargada
Componente
vertical
La otra a lo largo del eje horizontal
X , y no es necesario calcularla ya
que por simetría se anulan de dos
en dos.
El campo total es la suma de las
componentes verticales Y


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Distribución continua de cargas (superficial y volumétrica)
Habiamos visto el caso lineal, ahora para las distribuciones:
Z
Z
S
(r')
(r')
da'
dv'
v
dq'
r'
dq'
r'
X
Y
X
Y
 (r´)  lím a´0
q´
dq´

a´
da´
 (r´)  lím V ´0
q´
dq´

V ´
dV ´
Densidad volumétrica de carga
Densidad superficial de carga
Fig.6
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Ejemplo 5 - Esfera conductora con carga
Una esfera sólida conductora de radio R tiene una carga total q. Encuentre el potencial en todos los
lugares, tanto fuera como dentro de la esfera.
SOLUCIÓN
Del ejemplo de la clase pasada , en todos los puntos fuera de la esfera el campo es el mismo que si
la esfera se eliminara y se sustituyera por una carga puntual q. Se considera V = 0 en el infinito,
como se hizo para una carga puntual. Por lo tanto, el potencial en un punto en el exterior de la
esfera a una distancia r de su centro es el mismo que el potencial debido a una carga puntual q en
el centro:
El potencial en la superficie de la esfera es
En el interior de la esfera, es igual a cero en todas partes; de otra manera, la carga se movería dentro de la
esfera. De esta forma, si una carga de prueba se desplaza de un punto a otro en el interior de la esfera, no
se efectúa ningún trabajo sobre la carga. Esto significa
que el potencial es el mismo en todos los puntos del
interior de la esfera y es igual a su valor q/4πε0 en la
superficie.
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LINEAS DE FUERZAS Y SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES PARA UNA CARGA PUNTUAL
El campo eléctrico de una carga puntual Q en un punto P distante r de la carga viene representado por un vector de

• Módulo
• dirección radial
• sentido hacia afuera si la carga es positiva, y hacia la carga si
es negativa
El potencial del punto P debido a la carga Q es un escalar y vale
+
+Q
-
-Q
Fig. 10 Campo eléctrico de una carga puntual (positiva y negativa)
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Un campo eléctrico puede representarse por líneas de fuerza, líneas que son tangentes a la dirección del campo en cada uno de sus puntos.
En la figura, se representan las
* Líneas de fuerza de una carga puntual, que son líneas rectas que pasan por la carga.
* Líneas equipotenciales son superficies esféricas concéntricas.


E x  E x  E cos 

r
θ
x
y
1
Q
rˆ
4  0 r2
Q x
4 0 r 2 r
Ey


E y  E y  E sen
Ex
1
Ey


E 
1
Q y
4 0 r 2 r
Ex

y
x
y dy

x dx

dy
dx
dy dx

 ln y  ln x  ln c
y
x
Fig. 11 Líneas de campo y superficies equipotenciales
y cx
V k
Ecuación de las líneas de campo
Q
Q
 C  r  k  C´
r
C
Ecuación de circunferencias concéntricas !!!
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Ecuación de las líneas de campo eléctrico y equipotenciales , M. Faraday (1791-1867)
Fig. 13
Como el campo es tangente a las
líneas de fuerza, la ecuación de las
líneas de fuerza es
Fig.12 Líneas de campo
Las superficies equipotenciales cortan perpendicularmente a las líneas de campo. Representaremos la
intersección de las superficies equipotenciales con el plano XY.
La ecuación de las líneas equipotenciales es
Fig. 14 Líneas de campo y equipotenciales
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Superficies equipotenciales ( ejemplos)
Superficie
equipotencial
Línea de campo
eléctrico
Campo producido
por dos placas
Campo producido
por una carga
puntual
Campo
producido por un
dipolo
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Gradiente de potencial
El campo eléctrico y el potencial se relacionan estrechamente.
Si se conoce E en varios puntos, esta ecuación se puede utilizar para calcular las diferencias de potencial.
Cómo hacer lo contrario? Si se conoce el potencial V en varios puntos se puede determinar E
Considerando que V es función de las coordenadas (x, y, z) de un punto en el espacio, se demostrará que las componentes de se relacionan directamente con las derivadas parciales de V con
respecto a x, y y z.
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Esto es congruente con las unidades de campo eléctrico, V/m. En términos de vectores unitarios, se escribe como
En notación vectorial, la siguiente operación se llama gradiente de la función f:
El operador denotado por el símbolo
se llama “grad” o “del”. Así, en notación vectorial,
Esto se lee: “ es el negativo del gradiente de V” o “ es igual al gradiente negativo de V”. La
cantidad
se llama gradiente de potencial.
En cada punto, el gradiente de potencial señala en la dirección en que V se incrementa con
más rapidez con un cambio de posición. De esta forma, en cada punto la dirección de E es la
dirección en que V disminuye más rápido y siempre es perpendicular a la superficie equipotencial que pasa a través del punto
Si es radial con respecto a un punto o un eje, y r es la distancia del punto o eje, la relación
correspondiente a las ecuaciones es
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Superficies equipotenciales
• El potencial es constante en todos sus puntos :.
V ( x, y, z )  cte
• El vector gradiente es ortogonal
a S.
 


E  r||  V  r||  Vi  Vi  0
• El gradiente va de menores a
mayores valores de V .
VN
 


E  r  V  r  (V j  Vi )  0
V j  Vi
V1
V2
V0
Vectores campo eléctrico
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Ejemplo 7 - Potencial y campo de una carga
puntual
De la ecuación
el potencial a una distancia radial r de una carga puntual q . Encuentre el campo eléctrico vectorial
a partir de esta expresión para V.
SOLUCIÓN
Un enfoque alternativo es ignorar la simetría radial, escribir la distancia radial como
tomar las derivadas de V con respecto a x, y y z, como en la ecuación
Se obtiene
Física III -15
y de manera similar,
De la ecuación para E, el campo eléctrico es
Este enfoque produce la misma respuesta, pero con un poco más de esfuerzo.
Como resulta evidente, es mejor aprovechar la simetría de la distribución de carga
siempre que sea posible.
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FLUJO ELECTRICO
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¿Cómo se podría medir la carga dentro de una caja sin abrirla?
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Concepto de flujo del campo eléctrico
Cuando el vector campo eléctrico E es constante en todos los puntos de una superficie S,
se denomina flujo al producto escalar del vector campo por el vector superficie Φ = E·S
El vector superficie es un vector que tiene:
a) por módulo el área de dicha superficie
b) la dirección es perpendicular al plano que la
contiene
Fig. 10 Esquema para el cálculo de Φ
Cuando
• el vector campo E y el vector superficie S son perpendiculares el flujo es cero
• E es variable en S se puede escribir:
 
   E . dS
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Calculo de Flujo Eléctrico
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Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855)
Fue
matemático,astrónomo y físico alemán que
contribuyó significativamente en muchos
campos, incluida la teoría de números,
el análisis matemático, la geometría diferencial, la geodesia, el magnetismo y
la óptica.
Considerado
"el príncipe de las matemáticas" y "el matemático más grande desde la antigüedad“.
Gauss ha tenido una influencia notable en
muchos campos de la matemática y de la
ciencia, y es considerado uno de los matemáticos que más influencia ha tenido en la
Historia.
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Ley de Gauss
El teorema de Gauss afirma que :
• El flujo del campo eléctrico a través de una
superficie cerrada :
 
   E . dS

E
S
es igual
• al cociente entre la carga que hay en el
interior de dicha superficie dividido en
ε0, es decir : Qenc / ε0 .
Fig. Esquema para el uso del teorema de Gauss
Ley de Gauss

S
  Qenc
E . dS 
0
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Forma general de la ley de Gauss
Suponga que la superficie encierra no sólo una carga puntual q, sino varias cargas, q1, q2, q3, … .
El campo eléctrico total (resultante) E en cualquier punto es la suma vectorial de los campos Ei
de las cargas individuales.
Sea Qenc la carga total encerrada por la superficie Qenc = q1 + q2 + q3 + … .
Se obtiene el enunciado general de la ley de Gauss:
El flujo eléctrico total a través de una superficie cerrada es igual a la carga eléctrica total
(neta) dentro de la superficie, dividida entre ε0
CUIDADO
Las superficies gaussianas son imaginarias Recuerde que la superficie cerrada a que se refiere
la ley de Gauss es imaginaria; no es necesario que haya un objeto material en la posición de la
superficie. A menudo se hace referencia a la superficie cerrada que se menciona en la ley de
Gauss como superficie gaussiana.
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Aplicación de la ley de Gauss para el cálculo de E
Encontrar el flujo eléctrico neto a través de la
superficie
Si: q1 = q4 = +3.1 nC,
q2 = q5 = -5.9 nC,
y q3 = -3.1 nC
ε0 = 8,854187817 10-12 F m-1

qenc
0

q1  q2  q3
0
 670 N  m 2 / C
Superficies esfericas Gaussianas
a) Carga puntual positiva
b)
Flujo Positivo
b) Carga puntual negativa
Flujo Negativo
¿Cuanto Vale ?
Fisica III - 15
Física III -15
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Investigue
La figura muestra el campo producido por dos cargas puntuales +q y -q de igual magnitud y signos
opuestos (un dipolo eléctrico). Determine el flujo eléctrico a través de cada una de las superficies
cerradas, A, B, C y D.
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Campo eléctrico de una carga puntual
Superficie Gaussiana
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Ejemplo 4. Campo de un alambre cargado infinito
El teorema de Gauss afirma que :
• El flujo del campo eléctrico a través de una
superficie cerrada :
 
   E . dS

E
S
es igual
• al cociente entre la carga que hay en el
interior de dicha superficie dividido en
ε0, es decir : q / ε0 .
Fig.11 Esquema para el uso del teorema de Gauss
Ley de Gauss

S
  qenc
E . dS 
0
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Pasos a seguir para el cálculo de E
1.- A partir de la simetría de la distribución de carga, determinar la dirección del campo eléctrico.
La dirección del campo es radial y perpendicular a la
línea cargada
2.- Elegir una superficie cerrada apropiada para calcular el
flujo
Tomamos como superficie cerrada, un cilindro de radio
r y longitud L.
• Flujo a través de las bases del cilindro:
el campo E y el vector superficie S1 o S2 forman 90º, luego el flujo es cero
• Flujo a través de la superficie lateral del cilindro:
el campo E es paralelo al vector superficie dS y es constante en todos
los puntos de la superficie lateral,

 E . dS   E dS cos 0  E  dS  E 2  r L
S
S
S

El flujo total es: E 2π r L
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3.- Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada
La carga que hay en el interior de la superficie cerrada vale q = λ L, donde λ es la
carga por unidad de longitud.
4.- Aplicar el teorema de Gauss y despejar el módulo del campo eléctrico
E 2 r L 
L
0

E

2  0 r
Conclusión
El mismo resultado que hemos obtenido previamente, pero de una forma mucho más simple.
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Ejemplo 5. Campo eléctrico de una distribución esférica y uniforme de carga
El teorema de Gauss afirma :

S
 
q
E . dS 
0
Para una distribución esférica y uniforme de carga, la aplicación del teorema de Gauss
requiere los siguientes pasos:
1.- A partir de la simetría de la distribución de carga, determinar la dirección del campo eléctrico.
La distribución de carga tiene simetría esférica, la
dirección del campo es radial.
2.- Elegir una superficie cerrada apropiada para calcular el
flujo
Tomamos como superficie cerrada, una esfera de radio r.
Fig. 12 Geometría para usar Gauss
El campo eléctrico E es paralelo al vector superficie dS , y el campo es constante en todos los puntos de la superficie esférica como se ve en la figura, por lo que:
 
2
E
.
d
S

E
dS
cos
0


E
dS

E
4

r



S
S
S

El flujo total es : E 4π r 2
Fisica III -15
3.- Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada
Fig.13 Superficies
de Gauss usadas.
Para r < R. (figura de la izquierda)
Si estamos calculando el campo en el interior de la esfera uniformemente cargada, la carga que hay en el interior de la superficie esférica de radio r es una parte de la carga total ( en
color naranja), que se calcula multiplicando la densidad de
carga por el volumen de la esfera de radio r.

r3
q  Q 3
R
Para r > R ( figura de la derecha)
Si estamos calculando el campo en el exterior de la esfera uniformemente cargada, la carga que hay en el interior de la superficie
esférica de radio r es la carga total

q =Q
Física III -15
4.- Aplicar el teorema de Gauss y despejar el módulo del campo eléctrico
E 4 r 2 
q
0
E
Qr
(rR)
4   0 R3
E
Q
(rR)
2
4  0 r
se obtiene
Concluímos
El campo en el exterior de una esfera cargada con carga Q, tiene la misma expresión que el campo producido por una carga puntual Q situada en su centro para
r >R.
E
Qr
(rR)
3
4  0 R
E
E
r=R
Q
(rR)
4  0 r 2
r
Física III -15
Conductores
Localización del exceso de carga en un conductor
Un conductor se caracteriza por que los portadores de carga
se pueden mover libremente por el interior del mismo.
Si las cargas en un conductor en equilibrio están en reposo,
la intensidad del campo eléctrico en todos los puntos interiores del mismo deberá ser cero, de otro modo, las cargas
se moverían originando una corriente eléctrica.
Dentro de un conductor de forma
arbitraria se traza una superficie
cerrada S:
Fig. 15 Conductor
 
 E . dS  0
S
• El campo eléctrico E = 0 en todos los puntos de dicha
superficie.
• El flujo a través de la superficie cerrada S es cero.
* La carga neta q en el interior de dicha superficie es nula.
CONCLUSION
Como la superficie cerrada S la podemos hacer tan pequeña como queramos, concluímos
que en todo punto P del interior de un conductor no hay exceso de carga, por lo que esta
deberá situarse en la superficie del conductor.
Física III -15
Prueba experimental de la ley de Gauss
Se monta un recipiente conductor, como una olla de metal con tapa, sobre una base aislante.
Al principio el recipiente no tiene carga. Después se cuelga una esfera metálica con carga de un
cordel aislante (figura a), se hace descender hacia el interior del recipiente, y se coloca la tapa
(figura b). Se inducen cargas sobre las paredes del recipiente, como se ilustra.
Luego se deja que la esfera toque la pared interior (figura c). La superficie de la esfera se convierte, en efecto, en parte de la superficie de la cavidad. La situación es ahora la misma que la de la
figura b; si la ley de Gauss es correcta, la carga neta en la superficie de la cavidad debe ser
igual a cero. Es decir, la esfera debe perder toda su carga. Por último, se extrae la esfera para
consta-tar que en verdad ha perdido toda su carga.
Este experimento lo realizó en el siglo XIX el científico inglés Michael Faraday empleando una
hielera de metal con tapa, y se conoce como el experimento de la hielera de Faraday.
Física III -15
Ejemplo 6. Campo producido por un conductor esférico de cargado
El teorema de Gauss afirma que:

S


q
E . dS 
0
Consideremos una esfera metálica
de radio R cargada con una carga Q.
1.-A partir de la simetría de la distribución de carga, determinar la dirección
del campo eléctrico.
La distribución de carga tiene simetría esférica luego, la dirección del
campo es radial
2.-Elegir una superficie cerrada apropiada para calcular el flujo
Fig. 21 Esfera metálica
Tomamos como superficie cerrada,
una esfera de radio r.
El campo E es paralelo al vector superficie dS, y el campo es constante en todos los puntos
de la superficie esférica por lo que,

El flujo total es : E·4π r2
Física III -15
3.- Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada
• r<R
No hay carga en el interior de la
esfera de radio r < R, q = 0
• r>R
Si estamos calculando el campo en
el exterior de la esfera cargada, la
carga que hay en el interior de la
superficie esférica de radio r es la
carga total q = Q.
4.- Aplicar el teorema de Gauss y despejar el módulo del campo eléctrico
En la fig. 22, se muestra la representación del módulo del campo eléctrico E en función de la distancia radial r.
Fig.22 Gráfico E = E (r)
Física III - 15
Ejemplo 7 . Campo creado por una placa plana infinita, cargada
Para una placa indefinida cargada, la aplicación del
teorema de Gauss requiere los siguientes pasos:
1.- A partir de la simetría de la distribución de
carga, determinar la dirección del campo
eléctrico.
La dirección del campo es perpendicular a la placa
cargada, hacia afuera si la carga es positiva y ha-cia
la placa si la carga es negativa.
2.- Elegir una superficie cerrada apropiada para
calcular el flujo
Tomamos como superficie cerrada, un cilindro de base A, cuya
generatriz es perpendicular a la placa cargada. El flujo tiene dos
contribuciones
* Flujo a través de las bases del cilindro: el campo y el vector superficie son paralelos.
E·A1 + E·A2 = 2 E A cos0º = 2 E A
• Flujo a través de la superficie lateral del cilindro. El campo E es perpendicular al vector
superficie dS, el flujo es cero. El flujo total es por tanto; 2 E A
Física III - 15
3.- Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada
La carga (en la figura de color rojo) en el interior de la
superficie cerrada vale :
q=σA
donde σ es la carga por unidad de superficie
4.-Aplicar el teorema de Gauss y despejar el módulo del
campo eléctrico
2 E A = σ A / ε0

E = σ / 2 ε0
El campo producido por una placa infinitamente grande es constante, su dirección es
perpendicular a la placa. Esta fórmula la podemos considerar válida para distancias próximas
a una placa en comparación con sus dimensiones.
Física III -15
Generador electrostático de Van de Graaff
El mismo principio que subyace en el experimento de la hielera de Faraday es el que se utiliza en
el generador electrostático de Van de Graaff (figura b). La esfera conductora con carga de la (figura a) se remplaza por una banda con carga que lleva carga de manera continua al interior de
un casco conductor, sólo para que sea transportada a la superficie externa del casco. Como resultado, la carga en el casco y el campo eléctrico que lo rodea se hacen muy grandes con mucha
rapidez. El generador Van de Graaff se utiliza como acelerador de partículas con carga y para
demostraciones de física.
Fig. a La coraza esférica se carga y descarga en forma alternada con la fuente de
energía. Si hubiera algún flujo de carga entre las esferas interna y externa, sería detectado por el electrómetro dentro de la coraza interior.
Fig. b Corte transversal
de las partes esenciales
de un generador electrostático Van de Graaff. El
sumidero de electrones en
la parte inferior los retira
de la banda, lo que da
a ésta una carga positiva;
en la parte superior, la
banda atrae electrones de
la coraza conductora y le
imparte una carga positiva
Física III -15
Bibliografía
-
Alonso; Finn. "Física ". Cap. 21. Addison-Wesley Iberoamericana.
Gettys; Keller; Skove. "Física clásica y moderna". Cap. 22. McGraw-Hill.
Halliday; Resnick. "Fundamentos de física". Cap. 29. CECSA.
Roller; Blum. "Física". Cap. 28. Reverté.
Serway. "Física". Cap. 25. McGraw-Hill.
Tipler. "Física". Cap. 20. Reverté.
Física III -15
Apéndice
Física III -15
Dipolos eléctricos
Un dipolo eléctrico consiste en un par de cargas eléctricas de igual magnitud q pero signo
contrario, separadas por una distancia d.
Por definición,
- El momento dipolar eléctrico p tiene magnitud p = qd.
- La dirección de p va de la carga negativa a la carga positiva.
Un dipolo eléctrico es un campo eléctrico E que experimenta un par de torsión τ igual al producto
vectorial de p y E.
La magnitud del par de torsión depende del ángulo Φ entre p y E.
La energía potencial U, para un dipolo eléctrico en un campo eléctrico también depende de la
orientación relativa de p y E.
Física III -15
Campo eléctrico de la Tierra
La Tierra (un conductor) tiene una carga eléctrica neta. El campo eléctrico resultante cerca de la
superficie puede medirse con instrumentos electrónicos sensibles; su valor medio es de alrededor
de 150 N/C, dirigido hacia el centro de la Tierra. a) ¿Cuál es la densidad superficial de carga correspondiente? b) ¿Cuál es la carga superficial total de la Tierra?
SOLUCIÓN
Dado el campo eléctrico perpendicular, se determina la densidad superficial
de carga σ con la (ecuación a)
a) De la dirección del campo se sabe que s es negativa (lo que corresponde a dirigido hacia la
superficie, por lo que es negativa). De la (ecuación a)
b) El área de la superficie de la Tierra es 4πRE 2 donde RE = 6.38 x 106 m es el radio terrestre.
La carga total Q es el producto 4πRE 2 σ
Física III -15
FIN