Introducción Al Control Adaptativo

ÍNDICE DE CONTENIDO.
1. .......................................................................................... INTRODUCCIÓN
ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.
2. .................................................................................... CONTROL DIGITAL
1-1
2.1 ............................................................................................ INTRODUCCIÓN
1-1
2.2 ................................................. CARACTERÍSTICAS DEL CONTROL DIGITAL
1-2
2.3 ........................................................................... SISTEMAS MUESTREADOS
1-3
2.4 ........................................... SECUENCIA DE PONDERACIÓN DE UN SISTEMA.
1-9
2.5 ............................................................................................... ESTABILIDAD
1-12
2.6 ........................................................................RESPUESTA EN FRECUENCIA
1-13
2.7 ...................................... TRANSFORMADA DE FOURIER DE UNA SECUENCIA
1-15
2.8 ..................................................................... TRANSFORMADA DE LAPLACE
1-16
2.9 ................................................................................. TRANSFORMADA EN Z
1-17
2.10 ...................................... DISCRETIZACIÓN DE REGULADORES CONTINUOS
1-17
3. .................. ETAPAS EN EL DISEÑO DE UN SISTEMA DE CONTROL
ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.
3.1 ................................................. NECESIDAD DE UN REGULADOR VARIABLE
ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.
1.3.1. ................................................ Ejemplo 1. Control de Concentración
Error! Bookmark not defined.
2.3.1. .......................... Ejemplo 2. Control de Nivel en un Depósito Cónico
Error! Bookmark not defined.
4. .......................................................................................... MODELIZACIÓN
ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.
4.1 .. REPRESENTACIÓN DE UN SISTEMA EN ECUACIONES DIFERENCIALES O EN
DIFERENCIAS ........................................................ ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.
4.2 ............................................................ PRINCIPALES MODELOS DISCRETOS
ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.
4.3 ...................................................... RESPUESTA AL IMPULSO Y AL ESCALÓN
ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.
4.4 ........................................................................ RESPUESTA EN FRECUENCIA
ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.
4.5 ...............CÁLCULO DE LA RESPUESTA EN FRECUENCIA POR CORRELACIÓN
ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.
5. .................................................... IDENTIFICACIÓN DE PARÁMETROS
ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.
5.1 ............................................................ MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS
ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.
1.5.1. ............................................................................... Forma Recursiva:
Error! Bookmark not defined.
Forma Recursiva: ....................................... Error! Bookmark not defined.
2.5.1. ........................................................... Inclusión del Factor de Olvido
Error! Bookmark not defined.
Inclusión del Factor de Olvido ................... Error! Bookmark not defined.
5.2 .....................................................MÍNIMOS CUADRADOS GENERALIZADOS
ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.
MÍNIMOS CUADRADOS GENERALIZADOS ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.
5.3 .......................................................... VARIABLES INSTRUMENTALES (RIV)
ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.
VARIABLES INSTRUMENTALES (RIV) ..... ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.
5.4 .............................................. SISTEMA NO PERSISTENTEMENTE EXCITADO
ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.
SISTEMA NO PERSISTENTEMENTE EXCITADO ......... ERROR! BOOKMARK NOT
DEFINED.
5.5 ......................................................................CÁLCULO DEL VALOR MEDIO
ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.
CÁLCULO DEL VALOR MEDIO ................ ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.
1.5.5. ................................................... Ejemplo: Sistema de Primer Orden.
Error! Bookmark not defined.
Ejemplo: Sistema de Primer Orden. ........... Error! Bookmark not defined.
5.6 ........................................................... IDENTIFICACIÓN EN LAZO CERRADO
ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.
IDENTIFICACIÓN EN LAZO CERRADO ...... ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.
DISEÑO DEL CONTROL .............. ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.
6. ....................................................... ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.
5 Diseño del Control
73
5.1 Soluciones Adaptativas 73
5.2 Planificación de Ganancias
73
5.3 Reguladores Adaptativos Propiamente Dichos
5.3.1 PIDs Autoajustables 77
5.3.2 Controladores Predictivos Adaptativos 77
5.4 Control PID 79
5.4.1 Esquema del Regulador
79
5.4.2 Predictor de Smith 83
5.5 Método de Asignación de Polos.
5.6 Síntesis Directa
ii
92
75
89
6 Control Predictivo
95
6.1 Predictor a d Pasos
95
6.1.1 Ejemplo
96
6.2 Controlador a d Pasos 98
6.3 Controlador a d Pasos Ponderado
100
6.3.1 Otra versión del Control Predictivo Ponderado 102
6.4 Notas Sobre el Control Predictivo
106
6.4.1 Indeterminación del Retardo 106
6.4.2 Sensibilidad Frente a Variaciones de Parámetros
6.5 Caso Adaptativo del Control Predictivo 109
6.6 Control Predictivo Ponderado Adaptativo 111
6.7 Control Predictivo Ponderado Adaptativo con U Filtrada
108
112
7 Control con Modelo de Referencia 119
7.1 Control con Modelo de Referencia Determinista
7.2 Control con Modelo de Referencia Estocástico
119
124
8 Control de Mínima Varianza
129
8.1 Predictor Estocástico 129
8.2 Regulador de Mínima Varianza 131
8.3 Mínima Varianza Ponderado
134
8.4 Control de Mínima Varianza Adaptativo 139
8.5 Control de Mínima Varianza Ponderado Adaptativo
140
9 Control por Asignación de Polos
145
9.1 El Nuevo Diseño
145
9.2 Control por Realimentación del Estado y su Relación con la
Asignación de Polos
151
10 Equipos Comerciales
157
10.1 Controladores Adaptativos Predictivos 157
10.1.1 Asea Master Piece 280/1. Novatune. 157
10.1.2 First Control Systems.
160
10.1.3 SCAP.
161
10.2 Controladores PID Autoajustables con Programación de Parámetros.
162
10.2.1 Taylor Instrumets. MOD 30 System. 162
10.2.2 Toshiba. EC300 Series.
162
10.3 PID Autoajustables 163
10.3.1 Foxboro. Exact 760.
163
10.3.2 Fischer & Porter. Easy-Tune.
166
10.3.3 Leeds & Northrup. Electromax V.
168
10.3.4 Satt Control Instrumets. ECA-400. 169
10.3.5 Turnbull Control System 6355. Eurotherm 902/905.
171
10.3.6 Yokogawa. Yewseries 80. 172
10.3.7 Otros Controladores
172
iii
11 Conclusiones
iv
173
1. Control Digital
1.1 Introducción
El control adaptativo no se habría podido desarrollar sin un paso previo dado
por los controladores con la aparición de los computadores digitales los que abrieron un
campo muy amplio de avance. K. Åström hace una reseña de hitos históricos en el
llamado control digital que hablan de esta evolución.
Se puede fijar como momento inicial los años '50 donde aparecen las primeras
computadoras dedicadas al control proceso. Eran muy grandes en cuanto a volumen,
tenían un gran consumo y generalmente su fiabilidad no era muy grande. En 1956 se
instala en la compañía Texaco un sistema que controla 26 caudales, 72 temperaturas y 3
composiciones. Este computador realizaba una suma en 1 ms y una multiplicación en 20
ms. Su tiempo medio entre fallas (TMEF ó MTBF) que mide la fiabilidad de un equipo
era de 50 a 100 hs solo para la cpu. Como características de la época se puede decir que
no existen modelos en tiempo real y que era escasos el desarrollo de sensores. También
se advierte por ese entonces un fuerte rechazo a la introducción de nuevas tecnologías.
En 1962, en la Imperial Chemical Industries (en Inglaterra) se instala un
control digital con 224 entradas comandando 129 válvulas. Se utiliza por ese entonces,
como argumentación el concepto de Control Digital Directo (CDD o DDC), es decir
que una única computadora controla toda una planta o proceso. Una suma se hacía en .1
ms y se multiplicaba en 1 ms. El TMEF había ascendido a unas 1000 hs. Se comenzaba
a reemplazar tableros de instrumentos por teclado y pantallas. Ya se observa una ventaja
importante: la fácil reconfiguración del sistema.
En 1965 comienza la era de las minicomputadoras. Aparecen los circuitos integrados con lo que se reducen notablemente los costos y los tamaños. Aumenta la
velocidad y la fiabilidad: una suma se ejecuta en 0,002 ms y en 0,007 ms una
multiplicación. El TMEF sube a 20000 hs. Ya es posible pensar en aplicar el control
digital a proyectos pequeños con lo que se observa un crecimiento de las aplicaciones
de 5000 a 50000 en 5 años. El costo medio de una aplicación (en 1975) es de unos
10000 dólares llegando el costo total del proyecto a 100000 dólares.
En 1975 hacen su aparición las microcomputadoras con un costo medio de 500
dólares y un consumo despreciable. Ahora cambia el concepto del sistema y se habla de
control dedicado es decir dar a cada variable o grupo de ellas un control específico y
personalizado. También en este momento se observa un gran desarrollo de la teoría de
control.
Con vistas al futuro se pueden prever avances en varios campos y con diversos
ritmos. Uno de ellos es el propio conocimiento del proceso. Sus progresos son lentos
pero constantes. Se ven potenciados actualmente por la facilidad en la recolección de
datos y su posterior análisis. Asociado a esto están las técnicas de medición que se
sofistican día a día al haber cada vez más sensores inteligentes incluso que incorporan
computadores a bordo.
Quizá el avance más espectacular sea en el terreno de la tecnología de los
computadores. Se observan avances en varias áreas: desarrollos electrónicos en materia
de integración (vlsi), en el dominio de las comunicaciones, en la presentación de la
información, la aparición de nuevos lenguajes y en la arquitectura propia de los
computadores.
En cuanto a nuestra materia, la teoría de control también se prevén adelantos
principalmente en las áreas de identificación de sistemas, algoritmos de control,
optimización, control adaptativo, control inteligente y sistemas multivariables. Pero ya
nunca más se podrá despegar el futuro de esta temática al del avance de los
computadores digitales.
1.2 Características del Control Digital
Como características básicas del control digital se pueden mencionar las
siguientes:
•
No existe límite en la complejidad del algoritmo. Cosa que sí sucedía
anteriormente con los sistemas analógicos.
•
Facilidad de ajuste y cambio. Por el mismo motivo anterior un cambio
en un control analógico implica, en el mejor de los casos, un cambio de componentes si no
un cambio del controlador completo.
•
Exactitud y estabilidad en el cálculo debido a que no existen derivas u
otras fuentes de error.
•
Uso del computador con otros fines (alarmas, archivo de datos,
administración, etc.)
•
Costo vs. número de lazos. No siempre se justifica un control digital
ya que existe un costo mínimo que lo hace inaplicable para un número reducido de
variables.
•
Tendencia al control distribuido o jerárquico. Se ha pasado de la idea de
usar un único controlador o computador para toda una planta a la de distribuir los
dispositivos inteligentes por variable o grupos de estas e ir formando estructuras
jerárquicas.
1-2
En cuanto a la arquitectura de un lazo de control es de la forma en que lo muestra
la Error! Reference source not found.. El proceso en la mayoría de los casos es
continuo, es decir se lo debe excitar con una señal continua y genera una salida continua.
Esta señal, como en cualquier lazo de control es sensada por algún dispositivo que a su
vez entrega una señal continua proporcional a la magnitud medida. Por otra parte está el
computador que solo trabaja con valores discretos. Para compatibilizar ambos existen dos
elementos: el CDA y el CAD que realizan la conversión de magnitudes.
Figura 1-1 Lazo típico de Control Digital
1.3 Sistemas Muestreados
Un sistema muestreado es aquel que, partiendo de una señal o magnitud
analógica o continua es capaz de generar una secuencia de valores discretos, separados a
intervalos de tiempo. La---------- y la Figura 1-3 muestran la forma en que se realiza el
muestreo. Existe un primer elemento llamado muestreador que congela un instante el
valor de la señal a muestrear, pero la salida del muestreador sigue siendo analógica. Para
convertir esta señal a un valor numérico esta el conversor analógico digital.
1-3
Figura 1-2 Generación de una Secuencia
Figura 1-3 Muestreo de una señal continua
En el ejemplo se ha dibujado exprofeso el muestreo con tiempos diferentes pero
lo más común es muestrear con un período constante T llamado período de muestreo. Si
bien se han dibujado separados, el muestreador y el conversor normalmente están juntos
1-4
en un mismo elemento. Lo que sí conviene reiterar que el proceso no sufre alteración
alguna y si éste era continuo lo seguirá siendo.
Para mayor claridad, se muestra en la Figura 1-4 cómo sería la generación de
una señal de control discreta y en la Figura 1-5 se observan la diferentes señales.
Figura 1-4 Controlador Digital
1-5
Figura 1-5 Muestreo de una señal continua
La señal continua y(t) se convierte en una secuencia mediante el muestreador y el
CAD que normalmente es el elemento más lento de la cadena. Ya dentro del computador
se genera la secuencia de control u. Este proceso consume un determinado tiempo Tc.
Mediante el CDA la secuencia se convierte en analógica y por último el bloqueador
interpola los valores de la señal entre dos períodos de muestreo. El bloqueador más usual
es aquel que mantiene el valor de la señal hasta la siguiente muestra llamado bloqueador
de orden 0.
En síntesis lo que ve el computador no es más que una secuencia de números. Es
necesario entonces recordar algunas de las operaciones básicas entre secuencias.
La forma de escribir una secuencia es la siguiente:
uk=    u-3 ,u- 2 ,u-1 ,u0 ,u1   
[ 1-1 ]
Veremos algunas operaciones, por ejemplo una suma de secuencias está dada
por la siguiente ecuación
uk
=

xk + vk
[ 1-2 ]
y el producto por una constante,
1-6
 y k
= m x k
[ 1-3 ]
Dos secuencias muy usuales en control son el impulso y el escalón que tienen
la forma siguiente:
 k =  1 , 0 , 0 ,    
 l k =  1 , 1 , 1 ,    
[ 1-4 ]
Su representación gráfica está dada en la Figura 1-6.
Figura 1-6 Secuencias Impulso y Escalón
Ahora podríamos definir un Sistema Discreto como aquel sistema que es
excitado por una secuencia y genera otra secuencia como salida.
1-7
Figura 0-0Sistema Discreto
Un ejemplo de sistema discreto es un Sumador de modo que la secuencia de
salida sea la suma de los valores de entrada hasta ese instante:

yk

 
k
=
ui
[ 1-5 ]
i=1
Del mismo modo un Promediador puede escribirse como,

yk

 1
=  uk-1 + uk + uk+1
 3
 

[ 1-6 ]
Existe un equivalente a la ecuación diferencial de los sistemas continuos, son
las llamadas ecuaciones en diferencias. Una ecuación diferencial típica es la siguiente:
x (t) =
1
TT
t

 (t) dt
0
La integral la podemos asociar a un sumador con lo cual tendríamos, para dos
instantes de tiempo consecutivo, las siguientes ecuaciones:
1-8
[ 1-7 ]
1
x (kT) =
TT
k -1
 T  (iT)
[ 1-8 ]
0
1 k
 T  (iT)
TT 0
r.m.a.m:
T
x ((k +1)T) - x (kT) =
 (kT)
TT
x ((k + 1)T) =
Restando miembro a miembro y despejando, obtenemos la llamada ecuación
en diferencia:
x ((k +1)T) = x (kT) +
T
 (kT)
TT
[ 1-9 ]
La anterior sería una ecuación en diferencia de primer orden, el equivalente a
un integrador. Pero en general para un sistema lineal tendríamos la siguiente forma:
xk + a1 xk -1 +    + a n xk -n = b0  k + b1  k -1 +    + bm  k -m
[ 1-10 ]
Al igual que en los sistemas continuos se pueden definir algunas
propiedades. Por ejemplo, si los ai y los bi son constantes se dice que el sistema es
invariante. La linealidad está dada por el cumplimiento de la siguiente condición:
 u1   y1 , u 2   y 2 
 1 u1 +  2 u 2   1 y1 +  2 y 2 
k
k
k
k
k
k
k
k
[ 1-11]
1.4 Secuencia de Ponderación de un Sistema.
Es importante definir para un sistema discreto una función que vincule
analíticamente su entrada y salida. En particular, se puede normalizar el
1-9
comportamiento del sistema observando cuál es su respuesta a la secuencia
impulso
Figura 0-0Sistema Discreto
Si el sistema es causal se cumple,
gk = 0  k < 0
[ 1- ]
Esta forma de definir la relación entrada-salida es el equivalente a la
respuesta impulsional de los sistemas continuos. De este modo, una secuencia se podría
representar como:


uk

=

un
  k-n 
n=- 
[ 1-12 ]
[0-0]
siendo un el valor de la secuencia en ese instante. Por ejemplo la secuencia,
 2 , 3 , 5  = 2  1 , 0 , 0  + 3  0 , 1 , 0  + 5  0 , 0 , 1  [0-0]
= 2   k  + 3   k-1  + 5   k-2 
Teniendo en cuenta la linealidad y esta descomposición se obtiene,

yk


=

i=- 
ui

g k-i


=

i=- 
gi

uk-i

[0-0]
Con esto queda definida la convolución discreta entre secuencias del
siguiente modo:
1-10

yk

=

gk
* u 

yk =

i=- 
k

ui g k -i =

i=- 
g i uk-i
[0-0]
Ejemplo:
Sean las secuencias de ponderación y de entrada de un sistema las siguientes:


1,2,1
 uk  =  0 , 3 , 4 
gk
=
[0-0]
o lo que es lo mismo lo que muestra la gráfica y la forma de calcular la salida
es la siguiente.
Figura 0-0Ejemplo de secuencia de ponderación
1-11
[0-0]

y0 =

i=- 
u0-i g i = u3 g -3 + u2 g -2 + u1 g -1 = 0
y1 = u1-0 g0 + u1-1 g1 + u1-2 g 2 = 3
y 2 = u2-0 g0 + u2-1 g1 + u2-2 g 2 = 4 + 3 . 2 = 10
y 3 = u3-0 g0 + u3-1 g1 + u3-2 g 2 = 4 . 2 + 3 . 1 = 11
y 4 = u4-0 g0 + u4-1 g1 + u4-2 g 2 = 4 . 1 = 4
y5 = 0
1.5 Estabilidad
Se dice que un sistema discreto es estable si  secuencia de entrada acotada, la
salida lo es.


yk =
i=- 

yk
=

i=- 
gi uk-i
gi uk-i



gi
i=- 
uk-i
[0-0]
si uk es acotada se verifica
uk
yk
condición para que yk sea acotada es que
1-12
 ck
 c


i=- 
gi
[0-0]




< _ 
 a)  g i  acotada

 b) lim g i = 0
i=- 



gi
i=- 
[0-0]
1.6 Respuesta en Frecuencia
Sistema con {gk}
entrada
 uk 
=
 e jk 
[0-0]
salida

yk =

i=- 
y k = e j k
[0-0]
g i e j (k-i)


i=- 
g i e- j i
(la última sumatoria es independiente de k)

yk


= 



i=- 

gi e- j i 

 e j k 
[0-0]
respuesta en frecuencia
G(  ) =


i=- 
gi e- j i
[0-0]
G es periódica con respecto a  (2  )
1-13

yk

= G(  )  e j k

[0-0]
G es el desarrollo en serie de Fourier (según Error! Bookmark not
defined.) por lo tanto los coeficientes serán:
1
gk =
2


G(  ) e j k d
[0-0]



G(  ) = 
 1  < c
0  <   
c

[0-0]
-
Ejemplo. Pasa Bajos.
1
gk =
2
1-14
c

- c
e j k d =
1
sen (k  c )
k
[0-0]
es no causal
1.7 Transformada de Fourier de una Secuencia
 k( ) =
n
lim 
n
xk =

- j i
=
xi e
x i e- j i
[0-0]
i=- 
i=-n
1
2



 (  ) e j k d
-
para que  exista debe ser


xi < 
i=- 
[0-0]

yk =

i=- 
gi-k ui
[0-0]
1-15


k=- 
y k e- jk =
=

= 



i=- 


k=- 


k=- 
i=- 
 
- ji
e

ui  


e- jk 



i=- 

g i-k ui

[0-0]
e- jk g i-k ui


k=- 

e- j (i-k) g i-k 

el último [] va desde - a + por lo que es independiente de i
(i-k = k)
(  ) = G(  ) U(  )
[0-0]
1.8 Transformada de Laplace

X( s ) = _ { x(t) } =
[0-0]
 x(t) e
-st
0
s =  + j
La Transformada de Laplace de un impulso es

 {  (t) } =

 (t) e-st = 1
[0-0]
0
y de un impulso desplazado en un tiempo Tk
 {  (t - kT) } = e-kTs
[0-0]
si x*(t) es una secuencia

x* (t) =

k=0
1-16
x kT  (t - kT)
[0-0]
su transformada de Laplace será

*
X (s) =

x kT ekTs =  (s)
[0-0]
k=0
Transformada de Laplace de una Secuencia
 (s) =


x k e-skT
[0-0]
k=0
es periódica respecto de s con período T = 2 
1.9 Transformada en Z
1.10 Discretización de Reguladores Continuos
Una forma de diseño es encontrar R(s) y luego discretizarlo.
1-17
G(s)  R(s) 
B0G(z)

R(z) 
Solución aproximada
R(z) 
Solución exacta.
Métodos de Discretización
Aproximación del Operador Derivada
dx(t)
x - x k -1
= k
dt t = kT
T
2
d x(t)
x - 2 x k -1 + x k -2
= k
2
2
dt
T
[0-0]
Ejemplo:
dy(t)
du(t)
+ b y(t) = K
+ K a u(t)
dt
dt
[0-0]
y k - y k -1
u - u k -1
+ b yk = K k
+ K a uk
T
T
 1 + bT
yk - yk-1 = K
  1 + aT u
k

[0-0]
- uk-1
[0-0]
tomando T en Z
Y(z)
R(z) =
= K
U(z)
1-18
  1 + aT
- z-1
1 + bT - z
-1

[0-0]
Modelos Deterministas Más Usuales
Promedios Móviles (MA):
yk = b0 uk + b1 uk -1 +    + bm uk -m
[2-1]
Modelo Autorregresivo (AR):
yk = a1 yk -1 + a2 yk -2 +    + an yk -n
[2-2]
ARMA:
yk = - a1 yk -1 - a2 yk -2 -    - an yk -n + b0 uk + b1 uk -1 +    + bm uk -m
[2-3]
Y(z) A(z)= U(z) B(z)
A(z)= 1 + a1 z-1 + a2 z-2 +    + an z-n
B(z)= b0 + b1 z-1 +    + bm z-m
[2-4]
[2-5]
Representación en Variables de Estado:
1-19
yk = - a1 yk -1 - a2 yk -2 -    - an yk -n + b0 uk + b1 uk -1 +    + bm uk -m
[2-6]
[2-7]
 x1k +1 
0
1
0

 

x
 2k +1
0
0
1
   



=  


 


    


  a n - a n-1 - a n-2
 xn k +1
  
  
  
  
  
0   x1k  0 
 
  x 2k  0 
 
0
0
    

   +   uk
   
 
0
1    

 
- a 2 - a1   1
 xn k   
0
[2-8]
 x1k 
 
 x 2k 

y k = b0 uk +  b1 b2    bn   


 
 x n k 
1-20
[2-9]
 xk+1 = A xk + B uk

 y k = C x k + D uk
[2-10]
( z I - A ) = 0
[2-11]
ecuación característica:
Motor Controlado Por Armadura
p(t)= k 1 ii (t) (t)
 (t)= k e ie (t)
p(t)= k 1 k e ie (t) ii (t)
p(t)= k p ii (t)
[2-12]
[2-13]
f.c.e.m
um (t) = k b  m (t) = k b
d  (t)
dt
[2-14]
circuito de armadura
ui (t) = ri ii (t) + Li
d ii (t)
+ um (t)
dt
U i (s) =  ri + s Li  I i (s) + k b s (s)
[2-15]
[2-16]
1-21
carga:
pm (t)= J
2
d  (t) + B d  (t)
2
dt
dt
[2-17]
o sea
2
k p I i (s)=  s J + s B  (s)
[3-1]
Función de Transferencia
G(s)=
(s)
kp
=
2
U i (s) s  J Li s +  ri J + Li B  s +  ri B + k b k p

[3-2]
para Li  0
G(s)=
(s)
KM
=
U i (s) s  1 + T M s 
[3-3]
con
kp
ri B + k b k p
ri J
TM =
ri B + k b k p
KM =
Discretización con Bloqueador de órden 0:
1-22
[3-4]
[3-5]
KM
K
M
TM
G(s)=
=
s  1+ T M s 
 1

s
+s 
 TM

[3-6]
Función de Transferencia Discreta:
G(z)=  1 - z -1 


G(s)
Res 
sT -1 
G(s)
 s  1 - e z 
polos

s


KM


T
-1
M


=  1 - z   Res
1



G(s)
2
sT -1 
polos
s
 s  T M + s   1 - e z  


[3-7]
Cálculo de los residuos:
1
=
Res
d 1-

Res =  2 - 1  ! ds 
-
1
TM
0
0


kM T M KM

T

-1
e TM z T M

 1

sT -1 
+ s  1- e z  

 TM


- KM
TM
=
+
2

 1

+ s   1 - esT z -1  


 TM


- K M T esT z -1

TM

1

sT -1 2 
+ s  1- e z  
TM

0
[3-8]
[3-9]
finalmente
1-23
T
-1 T
-1 
+ T MT ze- T M  z -1 
KM =
z  1T- z--1TMK+MTM eTT MM +  -T MT-MT +
G(z)

sT -1
-1

-1 2  
G(z)=
 1 - e- T z -1 1 - z -1  1 - z  
 1 - e T z  1 - z 
T M
T


-1
-1
-1
-1

-1 2
K M  T M 1 - z  - T M  1 - e T M z  1 - z  + T z  1 - e T M z  



[3-11] 

=
 1 - e- TT z -1  1 - z -1 
M


[3-10]
0.11 Sistemas Estocásticos
Sea {xk} una secuencia aleatoria
para cada k tengo x(k,) con  = 1...
en lo sucesivo se entiende xk como x(k,)
1-24
Función de Distribución.
Dado x
F x ( k , ) = P( xk   )
[3-12]
F x ( k,- ) = 0
F x ( k,  ) = 1
[3-13]
es no decreciente
Función Densidad.
Dado x
f x ( k , ) =
d F x ( k , )
d

[3-14]
F x ( k , ) =  f x ( k , ) d
-
1-25
Esperanza.

E ( x , k 1 ) =   f x ( k 1 , ) d = m ( k 1 )
[3-15]
-
la esperanza es una función de k pero ya es una variable deterministica.
es lineal
E (  )=  ( E )
[3-16]
Covarianza o Autocorrelación.
r xx ( j , k ) = cov x j xk = E   x j - m j
=   1 - mj
  x k - mk  
   2 - mk  f(  1 , 2 , j , k ) d  1 , 2
[3-17]
si x fuese un vector
r xx ( j , k ) = E   x j - m j
 
 r11


r12 r 22
=
 r13 r 23 r33

 
 
1-26
  x k - mk  







[3-18]
Covarianza Cruzada.
r xy ( j ,k ) = cov x j yk

[3-19]
Proceso Estacionario.
[3-
¡Error!Secuencia no especificada.]
seq??Equation????\*??Arabic
Densidad??Espectral??Cruzada?? proceso??estacionario??.
?? EMBED Equation.3 [3- seq Equation \* Arabic¡Error!Argumento
de modificador desconocido.]
Varianza.
?? EMBED Equation.3
[3- seq Equation \*
Arabic ¡Error!Argumento de modificador desconocido.]
(cuan fluctuante es el proceso)
Desviación Estandar.
 x = r x (0)
[3-20]
Correlación.
( )
r x (0)
 x ( )= rx
[3-21]
se cumple que
1-27
r x (  )  r x (0)
[3-22]
 puede ser negativa
si  es 1 son valores fuertemente relacionados
 = 0 son elementos no relacionados
 < 0 relacionados negativamente
Ruido Blanco
Proceso estacionario
xk es totalmente independiente de xj  k  j
x(k,) = secuencia de elementos independientes
covarianza
  2  =0
r(  ) = 
0    0
(  )=   
2
[3-23]
2
La mayoría de los procesos estacionarios pueden generarse a partir del filtrado
del ruido blanco. Es como el impulso de los sistemas deterministas.
1-28
Proceso Estocástico ARMA.
MA
yk = ek + b1 ek -1 +    + bn ek -n
[3-24]
yk + a1 yk -1 +    + an yk -n = ek
[3-25]
yk + a1 yk -1 +    + an yk -n = ek + b1 ek -1 +    + bn ek -n
[3-26]
AR
ARMA
expresado en función de la respuesta impulsional
(u no es ruido blanco)
1-29
k
yk =

n=- 

g k - n un =  g n uk - n
[3-27]
n= 0


n=0
n= 0
m y k = Eyk = E  g n uk -n =  g n muk -n
[3-28]
es como tener un sistema determinista excitado por mu

y k - m y k =  g n  uk -n - muk -n 
[4-1]
n=0
para calcular la covarianza podemos simplificar el cálculo haciendo mu= 0 o sea
my= 0
r y (  ) = E y k+ y k
 
 

= E   g n uk+ -n   g l uk -l  
 l= 0

 n=0


=   g n g l E  uk+ -n uk -l

[4-2]
n=0 l= 0


=   g n g l ru +l -n
n=0 l= 0

r yu (  ) = E y k+ uk =  g n ru -n
n=0
1-30
[4-3]
=
1
=
2
=


1
2
n= - 



e
r y (n)=

k
g l r u n+l -k =
k =0 l= 0
- jk
gk e

- jk
- jn
n=- 
- jn
k =0 n=-  l= 0

e
 e  g
  e
1
2

1
2
 y (  ) =  yy (  ) =
e
gk
k =0
- jl
[4-4]
gl e
- j(n+l - k)

- jl
e
gl
r u n+l -k =
- j(n+l - k)
n=- 
l= 0
run
la respuesta impulsional es

G(z)=  g n z -n
n=0
z=e
jT
 y (  ) = G e
j
T =1
[4-5]
G e   (  )
- j
u
igualmente
1
 yu (  ) =
2
=

e
- jn
n=- 
1
2

1
r yun =
2

n=- 
- j(n- k)
n=- 
k= 0
k
ru n -k
k= 0

e  e  r
= G e    (  )
- jk

 e g
- jn
un-k
[4-6]
- jk
u
1-31
Secuencias Pseudoaleatorias (PRBS)
x
y
s
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
0
m=4
N = 2m - 1 = 15
1-32
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0