DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN ( pag

APROXIMACIÓN LOCAL DE UNA FUNCIÓN
DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN ( pag.128 Sysaeter)
Cuando es difícil trabajar con una función “complicada” tratamos, a veces, de
hallar una función más sencilla que, en cierto sentido, se aproxime a la dada.
1. APROXIMACIÓN LOCAL DE UNA FUNCIÓN POR UNA RECTA ( Tma
de Lagrange)
Aproximamos la función por la ecuación de la recta tangente a la misma. ( por
ejemplo, nos interesa trabajar con ecuaciones lineales)
APROXIMACIÓN LINEAL DE F EN UN ENTORNO DE a .DIFERENCIAL DE LA FUNCIÓN EN UN PUNTO.
La ecuación de la recta tangente a la curva en un punto es :
F(x)- f(a) = f’(a). (x-a)→→f(x) = f(a) + f’(a) (x-a)
APROXIMA
Ejemplo: Hallar la aproximación lineal a f(x) = (x)1/3 en el entorno del punto a= 1
F(x)= (x)1/3
F(1) = (1)1/3 = 1
F’(1) = 1/3 (x) -2/3 = 1/3
(x-a) = (x-1)
sustituyo (x)1/3 -1 = 1/3 (x-1) → (x) 1/3 ≈ 1+ 1/3 (x-1)
LA FUNCIÓN ES APROXIMADAMENTE IGUAL A ≈ 1+ 1/3 (x-1) EN EL PUNTO A=1
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2. APROXIMACIÓN CUADRÁTICA ( APROXIMACIÓN POR MEDIO DE UN POLINOMIO DE GRADO 2)
3. APROXIMACIÓN LOCAL DE UNA FUNCIÓN POR UN POLINOMIO DE
GRADO N
¿SE PUEDE APROXIMAR, DE FORMA ANÁLOGA A LA ANTERIOR, LA
FUNCIÓN F MEDIANTE UN POLINÓMIO DE GRADO N? → TEOREMA
DE TAYLOR
Sea f una función derivable n-veces con derivad n-ésima continua en [a,x]
entonces:
F(b) = f(a) + f’(a) / 1! (x-a) + f’’(a) /2! (x-a)2 + f’’’ (a)/ 3! ( x-b)3 +…..+ f n (a) /
n! (x-a )n + Resto (x)para algún punto c € (a,x) . ESTE POLINOMIO SE LLAMA DE TAYLOR
Cuando x= 0 entonces el desarrollo se suele llamar desarrollo de McLaurin
LA PRINCIPAL UTIIDAD DE LOS POLINOMIOS DE TAYLOR RADICA EN QUE SON APROXIMACIONES
ACEPTABLEMENTO BUENAS DE FUNCIONES MÁS COMPLICADAS Y QUE ESTAS APROXIMACIONES SON
TANTO MEJORES CUANTO MAYOR SEA EL ORDEN N. SIEMPRE Y CUANDO SEPAMOS ALGO DEL ERROR AL
QUE DAN LUGAR ( EN EL CASO DE QUE LA FUNCIÓN SEA UN POLINOMIO DE GRADO IGUAL O MENOR QUE N LA FÓRMULA ES EXACTA, SIN
NINGÚN ERROR DE APROXIMACIÓN EN NINGÚN PUNTO)
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Calculo del resto
Estamos intentando sustituir una función por un polinomio, y esta sustitución no
es exacta.
Para saber el grado de aproximación de cada polinomio de Taylor a la función
necesitaremos conocer el valor del resto.
R (x) = F(x) – P (x)
El resto dependerá:
- De la función a sustituir
- Del punto a en el cual se desarrolla
- Del punto x en el cual se calcula ( cuanto más lejos este x de a mayor cabe
esperar la diferencia del polinomio con respecto a la función)
- Del grado del polinomio ( cuanto mayor sea el grado más se aproximará el
polinomio a la función)
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Existen muchas maneras de calcular del resto.
Nosotros:
Forma Lagrange del resto R n+1 (x) = (1/( n+1!) f n+1 (c ) xn+1 donde c es un punto
del intervalo entre 0 y x si x= 0;
si consideramos la fórmula de Taylor en un intervalo con centro en el punto x=a,
el resto de Lagrange es R n+1 (x) = (1/( n+1!) f n+1 (c ) (x-a)n+1 y c estaría entre x y
a.
¿CÓMO ES POSIBLE SABER EL ERROR COMETIDO SI NO CONOCEMOS CON EXACTITUD EL PUNTO C? NO VAMOS A CONOCER EL ERROR , PERO SI UNA
COTA SUPERIOR DEL ERROR. VAMOS A PODER ESTAR SEGUROS DE QUE EL ERROR ES MENOR QUE CIERTO TAMAÑO.
│R n+1 (x) │≤ ( M/ (n+1)! )│x│n+1
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Nota: El Polinomio se acercara más a la función si el limx→∞ R(x) = 0. Pues
entonces f (x) es realmente el límite de la función polinómica ilimitada que
resulta de tomar infinitos términos.
Ejplo: Hay funciones como ex para las cuales el resto tiende a cero paa cualquier
x y , por lo tanto, la igualdad:
ex = 1+x+ x2/2 + x3/3! +…+ xn/n! es válida para todos los valores de x
Ejplo: Hay funciones cuyo resto sólo tiende a 0 en un cierto intervalo:
1/ (1-x) = 1+x+x2+…+xn+…
sólo es válido para │x│< 1 ,es decir, x € ( -1,1) porque su resto xn+1/ ( 1-c)n+1
sólo tiende a 0 cuando n tiende a ∞ para x € ( -1,1)
( El Polinomio infinito corresponde a una función que se llama su desarrollo en
serie de Taylor)
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3. APROXIMACIÓN POR UNA FUNCIÓN CUALQUIERA ( tMA de Cauchy)
f( x) = F(a) + (f’ ( c) / g’ (c )) ( g(x) – g(a) ) para algún punto c € (a,b)
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LA DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN
Gráfica:
(Mío) “Tenemos una función f(x) donde hacemos variar el valor de x ( x+ ∆x) y
queremos conocer el nuevo valor de la función. Para ello podemos calcular la
función con el incremento, donde ∆y = f( x+ ∆x) – f(x) ; o calcular la diferencial
( incremento lineal) dy = f’(x).dx”
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Consideremos una función derivable f( x) .Designemos dx como la variación del
valor x.
La expresión f’ ( x) . dx se llama diferencial de la función y se expresa como dy
o df
dy = f’ ( x). dx
dy es proporcional al dx con factor de proporcionalidad f’ ( x)
Ojo: La diferencial dy NO es el incremento de y cuando x cambia a x+dx, sino la
variación que y tendría si continuase variando a la tasa fija f’ ( x) cuando x
cambia a x+dx
Lo que hacemos es decir:
F ( x + ∆ x ) – f( x) = f’ ( x ) .dx
“Se llama diferencial de una función y = f ( x) a la parte principal de su
incremento lineal con respecto al incremento de la variable independiente x”.
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Ejercicio: Hallar el incremento y la diferencial de la función y = 3 x2 – x
1 forma: calculando incrementos
x= x+∆ x
incremento de la función →∆ y = f(x+ ∆x) – f (x)
en el ejercicio: ∆ y = [ 3 (x+ ∆x) 2 – (x+ ∆x) ] – [3 x2 – x ] operando ∆ y= ∆x ( 6x-1) + 3 ( ∆x) 2
2 forma : calculando diferenciales
d y = f’( x).dx
dy = ( 6x -1) dx
Calcular ∆ x y dy de la función anterior para x= 1 y ∆x= 0,01
∆y = 0,01 ( 6.1 -1 )+ 3 ( 0,01)2 = 0,0503
dy = ( 6.1 -1 ) 0,01 = 0,0500
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