Sistemas de funciones ortogonales - Instituto Tecnológico Superior

INGENIERIA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES
QUINTO SEMESTRE
MATEMÁTICAS V (ACM-0407)
Subtema 5.1
FUNCIONES ORTOGONALES
5.1 Funciones ortogonales.
INTRODUCCION.
Los polinomios de Legendre y las funciones de Bessel están dentro de un
grupo de funciones que satisfacen una propiedad que se llama
ortogonalidad y que es de una importancia fundamental en las
matemáticas de ingeniería.
DEFINICION:
Ahora definiremos el concepto de ortogonalidad de funciones.
Sean
(x) y
(x) dos funciones reales que están definidas en un
intervalo
a ≤ x ≤ b, de tal manera que la integral de el producto
(x)
(x) existe
en el intervalo. Denotaremos esta integral por
(
,
). Entonces:
(1)
Se dice que las funciones
y
son ortogonales en el intervalo
a
≤
x
≤
b
si
Relaciones de Ortogonalidad
Existen muchos tipos de series de Fourier. Las mas sencillas son las Series de
Fourier Trigonométricas. Un ejemplo es la serie de Fourier del seno
Se vera que las series de Fourier tienen interpretaciones físicas importantes en
las aplicaciones. Sin embargo, las series de Fourier están basadas en un tipo
distinto de teoría a las familiares series de potencias.
De manera equivalente, una función diferenciable f(x) es una función tal que en
cualquier intervalo finito se puede dividir en un número de partes, cada una de
las cuales es continua y tiene derivada continua. Además, las únicas
discontinuidades de F8x) y f’(x) son discontinuidades de salto.
Ejemplo Funciones Ortogonales
Las dos funciones f(x) = x y g(x) = x2 son ortogonales en el intervalo [-1,1]
puesto que
Sistemas de funciones ortogonales
trabajamos con funciones:
(a veces:
o
)
podemos escribir una función
funciones
siendo
como combinación lineal de una colección de
tomado de un conjunto de índices finito o infinito
p.ej.: series de Fourier
Por qué?

a lo mejor se puede encontrar para un problema fácilmente soluciones
para las funciones
y con esas soluciones se puede derivar una
solucion para
p.ej.: filtro lineales, si se sabe la respuesta del filtro para los
, se
puede derivar su compartamiento para

a lo mejor ciertas características de la función
mejor entre los coeficientes
se puede observar
(y aprovechar de ello)
p.ej.:
o
Qué frecuencias están ``dentro'' de una señal acustica?
o
Tiene una imagen cierta textura?
o
Tiene
o
...
discontinuidades?
otras preguntas parecen interesante:

Cuáles de las posibles funciones

Son los coeficientes
únicos?

Cómo se calcula los
(dados los
se puede representar de tal forma?
y
)?
5.1 FUNCIONES ORTOGONALES
• Producto interno • Funciones ortogonales • Conjunto ortogonal • Nora • Norma
cuadrada
• Conjunto ortonormal • Ortogonalidad con respecto a una función peso
• Serie de Fourier generalizada
En matemáticas superiores se considera que una función es la generalización
de un vector. En esta sección veremos cómo los dos conceptos vectoriales de
producto interno (punto) y ortogonalidad se pueden ampliar para abarcar las
funciones.
Supongamos que u y v son vectores en el espacio tridimensional. El producto
interno (u, v) de los vectores, que también se escribe u · v, posee las
propiedades siguientes:
i) (u, v) = (v, u)
ii) (ku, v) = k(u, v), donde k es un escalar
iii) (u, u)= 0, si u= 0,y (u,u)>0 si u ≠ 0
iv) (u + v, w) = (u, w) + (v, w).
Esperamos que una generalización del concepto de producto interno debe
tener las mismas propiedades.
Producto interno Supongamos ahora que ƒ 1 y ƒ 2 son funciones definidas en
un intervalo [a, b].* Como una integral del producto ƒ1(x) ƒ2(x) definida en el
intervalo también posee las propiedades i) a iv), siempre y cuando existan las
integrales, podemos enunciar la siguiente definición:
DEFINICIÓN 5.1 Producto interno
El producto interno de dos funciones ƒ1 y ƒ2 en un intervalo [a, b] es el
número
Funciones ortogonales Dado que dos vectores u y v son ortogonales cuando
su producto interno es cero, definiremos las funciones ortogonales en forma
semejante:
DEFINICION 5.2
Funciones ortogonales
Dos funciones ƒ1 y ƒ2 son ortogonales en un intervalo [a, b] si
(1)
A diferencia del análisis vectorial, en donde la palabra ortogonal es sinónimo de
"perpendicular", en el presente contexto el término ortogonal y la condición (1)
no tienen significado geométrico.
EJEMPLO 1 Funciones ortogonales
Las funciones ƒ1 (x) = x2 y ƒ2 (x) = x3 son ortogonales en el intervalo [-1, 1]
porque