Análisis de la Varianza 1. En una fábrica de automóviles se utiliza una misma planta para el ensamblaje de tres modelos distintos (A, B y C). Para determinar si los modelos reciben el mismo tratamiento, se ha realizado un control de calidad a una muestra tomada para cada modelo. El número de defectos encontrados para cinco vehı́culos del modelo A son 5, 4, 6, 6 y 7; para seis vehı́culos del modelo B son 7, 8, 6, 7, 6 y 5; y para ocho vehı́culos del modelo C: 9, 7, 8, 9, 10, 11, 10 y 10. Contrastar si existen diferencias en el tratamiento que se da a los distintos modelos. 2. Una empresa debe elegir entre cinco procedimientos para fabricar un cierto producto quı́mico. Se sospecha que existen diferencias entre ellos aunque pequeñas. Para detectar estas diferencias se pretende realizar un experimento a gran escala con el mismo número de observaciones en cada grupo. Para determinar este tamaño muestral se ha realizado un experimento piloto con 6 observaciones de cada método y los resultados (medias de cada grupo) han sido los siguientes: METODO Media 1 2 3 4 5 425.6 423.2 418.8 430.2 422.2 y la varianza residual ŝ2R = 198.5. (a) ¿ Cúal debe ser el tamaño muestral del experimento a gran escala para que el contraste de análisis de la varianza sea significativo con α = 0.01 si el coeficiente de determinación es igual al del experimento piloto?. (b) Dar un intervalo de confianza (α = 0.05) para la previsión del rendimiento realizado mediante el método D (Nota: Se pide un intervalo para una observación, no para la media.). (c) El método A es el procedimiento habitual y el método D es el que se sospecha proporciona mejor rendimiento. Una hipótesis que se pretende contrastar es H0 : µD = µA , frente a la hipótesis alternativa H1 : µD > µA . ¿ Qué condición debe cumplir la diferencia entre las medias muestrales de los dos métodos para rechazar H0 con α = 0.01? 3. Se ha realizado un experimento para estudiar el efecto de un único factor con I niveles en la variable respuesta y con un número diferente de observaciones en cada tratamiento: n1 , n2 , ..., nI siendo el total n = n1 + n2 + · · · + nI . Llamando yij a la observación j del tratamiento i, i = 1, ..., I, j = 1, 2, ..., ni e ȳi• la media del tratamiento i. Se desea estimar la media general ¿cuál de los dos estimadores siguientes y •• = ni I P P yij i=1 j=1 I P i=1 ȳi• , ỹ•• = n I tiene mı́nima varianza? Realiza la comprobación para el caso I = 5, con ni = 3, 2, 3, 5, 6 el número de observaciones en cada tratamiento. Asumir que las observaciones son independientes y que se cumple la hipótesis de homocedasticidad. 1 4. Considere la comparación de dos tratamientos en poblaciones normales. Demuestre que el contraste t para comparar dos medias es análogo al contraste de la F en Análisis de la Varianza (suponga n1 = n2 ). 5. Cinco tipos (A, B, C, D y E) de material sintético se han sometido a un ensayo de desgaste. Para cada tipo de material la prueba se repitio 6 veces. El desgaste medio y la desviación tı́pica corregida en cada caso es la siguiente: media xi d. tı́pica ŝi A B C D E 14.1 16.3 13.5 14.8 15.3 1.3 1.2 1.4 1.2 1.5 (a) Contrastar (α = 0.05) la hipótesis H0 : µ A = µ B = µ C = µ D = µ E frente a la hipótesis alternativa, H1 : Alguna media es distinta a las demás. (b) Indicar con nivel de confianza 0.95 el material con desgaste menor y qué materiales tienen desgaste medio, distinto. (c) Obtener un intervalo de confianza con α = 0.01 para la varianza del error experimental. 6. Se desea comprobar el efecto de un tratamiento térmico sobre la resistencia de un nuevo material. Se han tomado 15 probetas y se han asignado al azar a los tres tratamientos T1 , T2 y T3 obteniendo como medida de resistencia superficial los valores siguientes: T1 2.65 2.67 2.46 1.90 2.62 T2 4.31 3.96 4.64 4.74 4.00 T3 4.81 5.32 4.93 5.49 4.45 (a) Contrastar mediante el test de análisis de la varianza si existen diferencias significativas entre los tratamientos térmicos (α = 0.01). (b) La temperatura del tratamiento 2 es la media de las temperaturas de los otros dos tratamientos. Si la relación entre la resistencia y la temperatura es lineal, es de esperar que la media del tratamiento 2 verifique : H0 : µ2 = 21 (µ1 + µ3 ). Hacer el contraste bilateral de esta hipótesis con α = 0.05. (Nota.- Usar la distribución de y 2 −(y 1 +y 3 )/2, donde y i es la media de los datos correspondientes al tratamiento Ti ). 7. En el modelo de análisis de la varianza para contrastar la igualdad de medias de I grupos, con n1 , n2 , ..., nI observaciones en cada grupo; indicar, justificando la respuesta, si ȳ•• , ȳi• y eij son independientes. Calcular los coeficientes de correlación. 2 8. Explicar detalladamente la descomposición de la variabilidad en el modelo básico de análisis de la varianza para comparar I tratamientos. Obtener el estadı́stico F de contraste, indicando en cada paso las hipótesis utilizadas. 9. Demostrar que en el modelo para la comparación de las medias de K tratamientos con el mismo número de observaciones, la varianza residual estimada (b s2R ) es igual a la media de las varianzas muestrales corregidas de cada tratamiento. Utilizando esta relación, demostrar que el estimador sb2R es insesgado y obtener su distribución de probabilidad. Suponer que se cumplen las hipótesis de normalidad, independencia y homocedasticidad, y dar por demostrado que la varianza muestral corregida sb2 , en una muestra aleatoria simple de tamaño n de una distribución normal, es un estimador centrado de la varianza de la distribución σ 2 , y que (n − 1)b s2 /σ 2 se distribuye como una χ2 con n − 1 grados de libertad). 10. Explicar la descomposición de la variabilidad en el modelo básico de comparación de K tratamientos (modelo con un factor ). Demostrar que si todos los tratamientos tienen la misma media VE χ2K−1 . σ2 Indicar en cada paso las hipótesis requeridas. Nota.- Tener en cuenta que si X1 , X2 , ..., Xn son variables aleatorias independientes con distribución normal de media µ y varianza σ 2 , y P X = Xi /n, 2 n X Xi − X χ2n−1 . σ i=1 11. Un fabricante sospecha que los lotes de materia prima recibidos de un proveedor difieren significativamente de su contenido en calcio. Elige al azar 5 lotes diferentes y un quı́mico hace cinco determinaciones del contenido en calcio de cada lote. Los resultados obtenidos han sido Lote 1 Lote 2 Lote 3 Lote 4 Lote 5 23.46 23.59 23.51 23.28 23.29 23.48 23.46 23.64 23.40 23.46 23.56 23.42 23.46 23.37 23.37 23.39 23.49 23.52 23.46 23.32 23.40 23.50 23.49 23.29 23.38 La tabla de análisis de la varianza se proporciona a continuación. Comparar mediante el método de Bonferroni las medias de los cinco tratamientos con nivel de significación total αT = 0.10. Fuente Lote Residuos Total Análisis de la varianza Variabilidad g.l. Var. Media F 0.096976 4 0.024244 5.54 0.08760 20 0.00438 0.184576 24 3 Nivel crı́tico 0.0036 4 Diseño de experimentos 1. En una planta piloto se obtiene un nuevo producto mediante un proceso quı́mico. Con el fin de mejorar el rendimiento se emplean dos catalizadores distintos y se trabaja con tres temperaturas diferentes. Los resultados del experimento son Catalizador A B Temperatura 20 300 400 115 125 130 140 110 120 115 105 135 145 100 110 0 (a) Contrastar si los factores Temperatura y Catalizador tienen efectos significativos. (α = 0.05) (b) ¿Qué tratamiento se debe utilizar para obtener el mayor rendimiento, si se desea garantizar una probabilidad de error tipo I total, αT = 0.03? 2. Se pretende estudiar el efecto que produce los factores (1) Porcentaje de algodón (10%, 20% y 30%) (2) Tipo de confección (A y B) en la resistencia al desgaste de ciertos tejidos de fibra sintética. Se ha realizado el siguiente diseño con tres replicaciones A B 10% 20% 30% 115 120 126 112 135 118 133 139 142 107 110 132 114 102 114 108 117 125 (a) Construir la tabla de Análisis de la Varianza y contrastar la influencia de los dos factores y la presencia de la interacción. (b) Hacer un contraste de diferencia de medias y decidir el tratamiento más adecuado para conseguir la mayor resistencia al desgaste. 3. Cierto Organismo Público (O.P.) encargado de certificar la composición de aleaciones de metales preciosos, debe seleccionar entre dos Laboratorios al más capacitado para la realización de futuros análisis de gran precisión. Para tomar la decisión les somete a la siguiente prueba: Prepara tres aleaciones A, B y C que contienen proporciones distintas de oro. De cada una de ellas envı́a cuatro muestras a cada uno de los dos laboratorios. Ası́ pues, cada laboratorio recibe un lote de 12 muestras (codificadas) ordenadas aleatoriamente sin conocer como han sido obtenidas. Los resultados recibidos por el O.P. son (entre paréntesis las medias de las casillas): 1 Lab. I Lab. II Aleac. A 10.96 11.03 11.08 11.01 (11.02) 10.97 10.96 10.94 10.95 (10.955) Aleac. B 10.95 11.00 11.04 10.97 (10.99) 10.97 10.96 10.97 10.98 (10.97) Aleac. C 11.07 11.01 10.97 11.03 (11.02) 11.02 11.00 11.01 11.01 (11.01) (a) Determinar si existen diferencias entre los resultados de los laboratorios y si éstos han encontrado diferencias entre las aleaciones. (b) Aceptando que los datos cumplen la hipótesis de normalidad, indicar si podemos aceptar que verifican el resto de las hipótesis del modelo y en caso negativo que medidas se deben adoptar para analizar los datos. (c) Realizar un test de razón de varianzas para contrastar que las varianzas de los dos laboratorios son iguales, sabiendo que las tres aleaciones tienen composición distinta. Interpretar el resultado. (d) El O.P. conoce exáctamente el porcentaje en oro de la aleación A (11 %), de la B (11.02 %) y de la C (11.04 %). Con esta información comparar los resultados de los laboratorios. 4. Complete la tabla ADEVA siguiente y diga de que diseño se trata. Factor 1 Factor 2 Factor 3 Int. Segundo orden Int. Tercer orden TOTAL Suma de Cuad. 20 5 G.L. Varianzas 2 1.25 10 0.25 44 29 5. Se ha realizado un diseño factorial sin replicación con tres factores A, B, C con 5, 5 y 4 niveles respectivamente. Si la interacción de tercer orden es nula, obtener la descomposición de la variabilidad e indicar los grados de libertad de cada término. 6. Para estudiar el efecto de tres factores (A,B,C) en el tiempo de fraguado del hormigón se ha realizado un experimento factorial completo a dos niveles con tres replicaciones (24 datos en total). Los resultados de la estimación han sido: Media 92.5 A B AB 2.4 3.3 8.5 C AC BC ABC 15.0 -1.4 2.65 0.72 Teniendo en cuenta que la varianza residual obtenida es ŝ2R = 18.8, indicar qué efectos son significativos para un nivel de significación α = 0.05. 2 7. Una caracterı́stica de la calidad de la gasolina es su ı́ndice de octanos. Una refinerı́a de petróleo tiene cinco fórmulas que pueden emplearse para la obtención de gasolina con plomo o sin plomo. (a) Para determinar que fórmula proporciona mayor ı́ndice de octanos, con cada una de ellas se ha repetido 10 veces en el laboratorio el proceso de fabricación de gasolina con plomo. Si el coeficiente de determinación del análisis de la varianza de los resultados es igual a 0.20, contrastar con α = 0.05 si existen diferencias entre las cinco fórmulas para este tipo de gasolina. (b) Los valores medios (ȳi• ) para cada fórmula son: Fórmula 1 Media 89.2 2 3 4 5 90.1 90.7 90.5 89.5 Contrastar con α = 0.05 que fórmulas proporcionan ı́ndices de octanos significativamente distintos y cuales no. (c) Debido a los problemas medio-ambientales gran parte de la producción futura debe estar libre de plomo. Para determinar que fórmula de las anteriores produce mejores resultados en cuanto al ı́ndice de octanos , se realizo un diseño experimental similar al anterior (cinco fórmulas, 10 observaciones en cada fórmula) para la obtención de gasolina sin plomo. El coeficiente de determinación en este caso es igual a 0.25 y el ı́ndice medio para cada fórmula es, Fórmula 1 2 3 4 5 Media 88.0 89.5 88.5 90.2 89.8 Contrastar (α = 0.05) si existe interacción entre los factores tipo de gasolina (con y sin plomo) y fórmula. 8. Para estudiar la influencia de la temperatura y la presión sobre el rendimiento de un proceso quı́mico se ha realizado un experimento con 5 valores de presión y 4 valores de temperatura. Los resultados se muestran en la tabla siguiente. Presión Medias 1 2 3 4 5 Temperatura 10 20 65,58 96,71 66,32 101,5 74,42 99,81 80,24 104,11 79,61 112,14 73,24 102,85 30 124,20 130,37 134,63 138,42 143,58 134,24 40 156,63 161,38 160,59 166,96 170,68 163,19 Medias 110,71 114,89 117,36 122,43 126,50 118,38 (a) Considere solamente el efecto de la presión y estudie si es significativo (α = 0, 05), sabiendo que las varianzas muestrales corregidas para los datos correspondientes a cada presión son b s21 = 149, 85; b s22 = 164, 62; b s23 = 143, 95; b s24 = 145, 11; b s25 = 154, 94. 3 (b) Incorpore el efecto de la temperatura en un modelo adecuado para los datos. Interprete el resultado. (c) Calcule un intervalo de confianza al 95% para la varianza del error experimental de los modelos de los dos apartados anteriores. Interprete las diferencias. 9. Se desea estudiar la fuerza de percusión de una perforadora en función de la VELOCIDAD de giro (baja y alta) y de un coeficiente mecánico que denominaremos RATIO (0.15, 0.30, 0.45 y 0.60). Se ha experimentado en las ocho posibles combinaciones de ambos factores, replicando cada experimento dos veces. Los resultados se muestran en la tabla siguiente Vel. Baja Vel. Alta Media 0.15 0.30 0.45 0.60 Media 270 245 260 275 266.875 278 249 272 286 283 285 286 294 286.125 286 280 287 288 279.25 264.75 276.25 285.75 276.5 Las variabilidades explicadas por el RATIO, la VELOCIDAD y la interacción RAT x VEL son respectivamente 925, 1482.25 y 418,75 y la Variabilidad Total es 3034. (a) Completa la tabla de análisis de la varianza e indica qué efectos son significativos para α = 0.05. (b) Interpreta el resultado, indicando cómo influye el RATIO y la VELOCIDAD en la fuerza de la perforadora. Dibuja el gráfico que permite interpretar la interacción. Proporciona el intervalo de confianza para la media de la combinación RATIO 0.30, y VELOCIDAD baja. (c) Cada tratamiento tiene dos observaciones, llamando Dij = |Yij1 − Yij2 | , al valor absoluto de la diferencia de estas observaciones, demuestra que Dij2 → χ21 2 2σ y que 2 SD = P2 i=1 P4 j=1 16 2 Dij es un estimador centrado de la varianza del modelo factorial. (d) Supón que la varianza de las observaciones a velocidad baja es σ 21 y de las observaciones a velocidad alta es σ 22 . Utilizando el resultado del apartado 3, realiza el siguiente contraste con nivel de significación 0.05, H0 : σ 21 = σ 22 H1 : σ 21 6= σ 22 4 10. Cuando un lenguaje de alto nivel es compilado, el tiempo de ejecución depende del compilador. Un ingeniero de software desea comparar tres compiladores (A, B y C), para ello ha seleccionado 5 programas muy distintos, cada uno de los cuales ha sido compilado por los tres compiladores. Los tiempos de CPU se proporcionan a continuación: A B C Medias 1 122.9 113.8 131.2 122.7 2 147.4 135.1 152.8 145.1 3 189.6 173.8 192.7 185.3 4 200.9 199.3 219.8 206.7 5 Medias 307.3 193.6 296.6 183.7 318.9 203.1 307.6 La variabilidad total es 62899.2, y las variabilidades explicadas por el tipo de compilador y tipo de programa son 937.2 y 61868.9, respectivamente. Da un intervalo de confianza (95%) para la diferencia de las medias entre los dos compiladores más rápidos. 11. Se ha realizado el análisis de la varianza de un diseño con un único factor a 10 niveles con 6 observaciones para cada nivel. El nivel crı́tico que muestra la tabla ADEVA es p = 0.5832. Los niveles crı́ticos de los contrastes individuales de igualdad de medias son mayores de 0.05 para todas las parejas excepto para la comparación entre los niveles 3 y 7 que ha sido igual a 0.0405. ¿Es posible este resultado? ¿Qué se puede concluir del análisis? ¿Qué procedimiento sugiere para realizar los contrastes individuales? 12. Se ha realizado un diseño factorial sin replicación con tres factores A, B, C con 5, 5 y 4 niveles respectivamente. Si la interacción de tercer orden es nula, obtener la descomposición de la variabilidad e indicar los grados de libertad de cada término. 13. Sea un diseño factorial con 4 factores a 3, 4, 2 y 5 niveles. Calcular el número de parámetros totales correspondientes a efectos principales e interacciones de orden 2, 3 y 4. 14. Un ingeniero ha estudiado el efecto que tienen 5 niveles de iluminación en una operación de ensamblado. El departamento en el que se ha experimentado tiene cuatro estaciones de trabajo, que representan una fuente potencial de variabilidad. Para cada estación de trabajo y nivel de iluminación se ejecutó la operación de ensamblado, midiendo la holgura en micras. Los resultados fueron: ESTAC. 1 2 3 4 ȳ•j 1 131 92 128 121 118 ILUMINACION 2 3 4 5 ȳi• 116 88 75 104 102.8 96 97 70 75 86.0 129 99 94 105 111.0 107 84 89 86 97.4 112 92 82 92.5 ȳ•• = 99.3 (a) Contrastar (α = 0.05) si la iluminación o la estación de trabajo influye en los resultados del ensamblado. 5 (b) Comparar los niveles de iluminación y los niveles de las estaciones de trabajo. Indicar en cada caso cuales se pueden considerar distintos y cuales no. (c) Calcular la varianza teórica del valor medio previsto para cada observación. (d) Explicar por qué no se debe contrastar la hipótesis H0 : µ1 = µ2 = ... = µm del modelo básico de análisis la varianza (un factor), mediante contrastes de la t de de m pares de muestras. Student a cada uno de los 2 15. Se realiza un experimento para estudiar la influencia de 2 factores en el rendimiento de un proceso, donde el factor que se encuentra a 3 niveles (Alto, medio y bajo) es la temperatura, el otro factor, catalizador, tiene dos niveles: catalizador I y II. Los datos del experimento se muestran en la siguiente tabla: CI CII Alto Medio Bajo 279 172 176 174 277 130 397 348 434 (215.6) (193.6) (393) 253 238 387 252 367 323 417 427 423 (292.6) (314) (422.3) (Nota: Los números entre parentesis son las medias de las casillas) (a) Contrastar con α = 0.05 que efectos son significativos. Interprete el resultado. (b) Determinar el intervalo con el 99% de confianza para la varianza del error experimental. (c) Dar un intervalo para una observación realizada en condiciones óptimas. Si se realizan 10 experimentos en estas condiciones, determinar el intervalo que con probabilidad igual al 95% contiene a todas ellas. Utilice la aproximación tαg = zα (1 − zα + 1 −1 ) 4g donde g son los grados de libertad de la t y zα el valor de la normal estándar, tal que P (Z ≥ zα ) = α 16. Un laboratorio de Análisis Clı́nicos ha adquirido un nuevo equipo (B) para medir el colesterol en la sangre de los enfermos. Para evaluar si el nuevo equipo está ajustado se decide analizar muestras de 5 enfermos que previamente han sido analizadas con otro equipo (A), dando como resultado Enfermo 1 2 3 4 5 Media Equipo A 215 305 247 221 286 254.8 Equipo B 224 312 251 232 295 262.8 6 Contrastar con α = 0.05 existen diferencias entre los dos equipos. 17. Para estudiar el consumo de aceite de un motor se prueban 4 motores distintos con 3 tipos de aceites obteniendo 12 medidas de consumo. Se ha obtenido: Variabilidad explicada por aceite = 100 Variabilidad explicada por motor = 80 Variabilidad Total = 220 Se pide escribir la tabla ADEVA correspondiente, y obtener conclusiones. 18. Para determinar el consumo de energı́a eléctrica para usos domésticos se ha medido el consumo medio por persona en las distintas estaciones del año en siete comunidades autónomas para 1989, habiéndose obtenido los siguientes resultados: COMUNIDAD 1 2 3 4 5 6 7 MEDIAS INVIERNO 13.1 13.4 13.8 14.0 14.4 14.8 15.6 14.16 PRIMAVERA 11.4 12.1 12.1 12.8 12.6 13.4 14.2 12.66 VERANO 10.6 11.1 11.4 11.7 12.5 13.0 14.1 12.06 OTOÑO 11.5 12.0 12.9 12.6 13.4 14.0 14.4 12.97 MEDIAS 11.65 12.15 12.55 12.77 13.22 13.80 14.57 12.96 (a) Analizar si el factor estación del año es influyente, sabiendo que ŝ2y = 1.53.(No considerar el factor Comunidad). (b) Razonar estadı́sticamente cuál es la estación de mayor consumo y la de menor, utilizando el análisis anterior. Calcular los intervalos de confianza para el consumo medio de cada estación del año. (c) Sabiendo que la variabilidad explicada por el factor comunidad es 23.62, construir una nueva tabla de la varianza, con dos factores, y decidir qué factor es significativo. (d) Utilizar los resultados del apartado anterior para realizar un contraste de igualdad de medias del efecto estación y comparar los resultados con los del apartado 2, justificando las diferencias encontradas. ( NOTA: Utilizar α = 0.05 en todos los contrastes ) 19. Se realiza un experimento para estudiar si la presencia de fluorita reduce el coste de fabricación de clinker de cemento en tres tipos diferentes de mezcla. Los resultados del mismo (en miles de pesetas por Tm) se muestran en la siguiente tabla: 7 FLUORITA 0% 1% 2% 3% 4% y 5 X 3 X MI MII MIII y i• 15.4 10.6 17.8 14.6 10.3 5.5 10.9 8.9 7.4 1.2 8.1 5.5 10.7 6.5 9.6 8.9 13.5 11.6 15.5 13.5 11.4 7.1 12.4 e2ij = 10.2 ȳ•• = 10.3 i=1 j=1 (a) Determinar si el tipo de mezcla y el nivel de fluorita añadido influyen significativamente en el coste de fabricación. Se supone que no existe interacción entre los dos factores. (b) Contrastar que porcentaje de fluorita produce el menor coste del clinker. 20. El análisis de la varianza de un diseño en bloques aleatorizados proporciona los siguientes resultados: V T = 232, V E(factor) = 156, V E(bloque) = 15 y V NE = 61. El número de niveles del factor es 5 y el número de bloques 8. Construir la tabla ADEVA. ¿ Cuál serı́a el resultado del análisis si no se tiene en cuenta el efecto de los bloques ? Indicar en qué circunstancias es preferible cada uno de los modelos. 21. Se ha realizado un experimento con tres factores, (A, B y C), con 4, 3, y 5 niveles, sin replicaciones. El modelo propuesto no incluye las interacciones de orden 3, por lo que la variabilidad explicada por estas interacciones se pretende utilizar para estimar la varianza residual. Los resultados proporcionan para la variabilidad explicada por las interacciones de orden 3 un valor igual a 234.5; que es muy superior a lo esperado. Debido a ésto se repitió por completo el experimento, obteniéndose para este segundo experimento un valor de 158.7 (para la variabilidad explicada por la interacciones de orden 3). Proponer un procedimiento para contrastar si se ha producido un cambio significativo en esta variabilidad de uno a otro experimento, indicando las hipótesis en las que se basa el contraste. (Dejar el resultado del contraste indicado en función de los valores crı́ticos de la tabla correspondiente.) 22. En un modelo de análisis de la varianza se ha observado que la desviación tı́pica (ŝi ) y la media (y i ) de las observaciones de cada tratamiento están relacionadas linealmente, ŝi = ky i , donde k es una constante. ¿ Cuál de las siguientes transformaciones es la más adecuada para corregir la heterocedasticidad ? z = log y, z = y 2 o z = ky 23. La oxidación es una etapa de la fabricación de chips y consiste en añadir una capa de óxido sobre la placa silicio (oblea). Se está experimentando con 6 tratamientos (Ti ) para seleccionar el que proporciona un mayor espesor de óxido en un mismo tiempo de proceso. Una caracterı́stica que influye en el espesor es el acabado superficial de la oblea, por lo que se tomaron 5 tipos distintos de acabado (Oj ). De cada tipo (Oj ) se tomaron 6 obleas y se asignaron aleatoriamente a los tratamientos. En la tabla se proporciona el espesor obtenido en cada oblea y las medias por filas y columnas. 8 O1 O2 O3 O4 O5 T1 85.60 89.30 84.70 87.60 87.30 86.90 T2 90.90 91.50 87.50 90.50 93.10 90.70 T3 93.00 93.60 90.90 95.60 94.90 93.60 T4 80.50 83.20 81.00 84.60 82.70 82.40 T5 85.20 87.80 83.20 87.60 86.70 86.10 T6 88.90 91.00 86.30 91.10 88.70 89.20 87.35 89.40 85.60 89.50 88.90 88.15 VT = 465.1 (a) Contrastar si el tipo de oblea y el tratamiento influyen en el espesor del óxido. Elegir el tipo de oblea y tratamiento más adecuado, indicando si son significativamente distintos del resto. (b) Para fijar los seis tratamientos, se seleccionaron dos temperaturas (t1 , t2 ) y tres presiones (p1 , p2 , p3 ) y se combinaron de forma que T1 = (t1 , p1 ), T2 = (t1 , p2 ), T3 = (t1 , p3 ) T4 = (t2 , p1 ), T5 = (t2 , p2 ) y T6 = (t2 , p3 ). Calcular las variabilidades explicadas por la temperatura, la presión y su interacción (t × p). (c) Indicar si sus efectos son significativos, suponiendo nulas las interacciones de los factores O × t, O × p y O × t × p. 24. Demostrar que en un modelo de bloques aleatorizados, µ̂, α̂i y β̂ j son independientes. 25. Un centro ha realizado un experimento para mejorar la resistencia a la tensión de ciertos muelles de acero. En una etapa del proceso el muelle caliente se sumerge en aceite templado. Se han estudiado tres factores, A (temperatura del acero antes de la inmersión, con tres niveles), B (temperatura del baño de aceite, dos niveles) y C (concentración de carbono en el acero, dos niveles). El experimento se ha replicado tres veces. En la tabla se muestra la media y la varianza (corregida) para los tres datos de cada tratamiento. A 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 B 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 C 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 yi ŝ2i 40.2 0.25 61.1 2.68 35.9 2.43 57.1 4.44 49.0 3.49 70.3 7.77 46.7 5.08 67.6 1.03 41.9 4.27 62.7 11.41 37.1 1.33 60.3 6.13 (a) Dar un intervalo del 95 % de confianza para la varianza del error experimental, σ 2 . (b) Indicar si los efectos principales de A, B y C son significativamente distintos de cero. 9 (c) Dado σ 2 , construir un intervalo que cumpla que la probabilidad de que ŝ2i (la varianza muestral corregida de un tratamiento) esté contenido en él sea igual a 0.95. Sustituir σ 2 por su estimador y con ayuda de este intervalo, discutir si se puede rechazar la hipótesis de homocedasticidad de las observaciones. 26. Estimar por máxima verosimilitud los parámetros µ, αi y β j del modelo de bloques aleatorizados. Obtener la distribución de estos estimadores, indicando su media y varianza. 27. Explicar por qué en un modelo de dos factores con interacción es necesario poner las condiciones I X i=1 αi = 0, J X j=1 β j = 0, I X (αβ)ij = 0 para todo j, y i=1 J X (αβ)ij = 0 para todo i. j=1 ¿Se podrı́an haber puesto otras condiciones distintas a las anteriores? Justificar la respuesta. 28. La calidad de un producto quı́mico despues de un largo periodo de almacenamiento depende del conservante empleado y de las caracterı́sticas de almacenamiento. Se ha estudiado el efecto de cuatro conservantes distintos (columnas) y cinco almacenamientos (filas) sobre la degradación del producto: 1 2 3 4 5 Medias 1 2 3 15.1 11.0 18.8 8.1 4.3 11.8 15.3 11.5 15.6 8.0 4.4 11.0 13.5 9.3 15.8 12.0 8.1 14.6 4 Medias 10.3 13.8 3.8 7.0 9.2 12.9 5.8 7.3 18.2 14.2 9.46 11.04 La tabla de análisis de la varianza para los datos anteriores es: Almacen. Conserv. Residuos Total Suma de Cuadrados 205.488 123.676 61.484 390.648 Grados de Libertad 4 3 12 19 S. Cuadrados F Medios 51.372 10.03 41.225 8.05 5.123 Nivel Crı́tico 0.0008 0.0033 (a) Elegir con α = 0.05 el conservante y el almacenamiento que producen menor degradación. (b) El análisis de los residuos muestra como atı́pica la observación y54 = 18.2. Un examen quı́mico confirma el resultado anómalo por lo que se recomienda eliminar la observación. Según el modelo de dos factores sin interacción, la predicción de la observación yIJ (eliminada) es: S∗J S∗∗ SI∗ + − ybIJ = (J − 1) (I − 1) (I − 1)(J − 1) 10 donde I = 5, J = 4, SI∗ es la suma de las observaciones de la fila I (sin incluir la eliminada), S∗J es la suma de las observaciones de la columna J (sin incluir la eliminada), y S∗∗ es la suma de las observaciones restantes no incluidas en la fila I ni en la columna J. Obtener la distribución (media y varianza) del error de predicción eIJ = yIJ − ybIJ . (c) Cuando, como en el caso anterior, falta una observación se recomienda el siguiente procedimiento: sustituir la observación faltante por su predicción y aplicar los contrastes habituales teniendo en cuenta que los residuos tienen un grado de libertad menos. La nueva descomposición de la variabilidad es: VT=339.63, VE(Conservantes)=166.02, VE(Almacenamiento)=164.02 y VNE=9.59. Contestar al apartado 1 con esta modificación e interpretar las diferencias. 29. Una instalación tı́pica de almacenamiento de combustible en una Estación de Servicio (gasolinera) está formada por un tanque enterrado de gran capacidad, al que se encuentran conectados distintos surtidores. La cantidad total de gasolina suministrada en un dı́a se puede determinar midiendo directamente la variación que se ha producido en el tanque de almacenamiento (Y1j ) o por la suma de los suministros de los distintos surtidores (Y2j ). La comparación de ambas medidas permite determinar pérdidas en la instalación enterrada y otras anomalı́as. En el proceso de comparación es necesario tener en cuenta que las medidas están afectadas por errores aleatorios. Durante 20 dı́as se han tomado los valores anteriores en un gasolinera: Dı́a→ Y1j Y2j 1 4116,2 4143,6 2 5627,0 5632,0 3 2820,4 2868,1 4 2521,8 2477,7 5 2973,5 2955,4 6 2834,9 2851,9 7 2335,7 2312,7 8 2590,8 2630,6 9 2182,7 2208,9 10 2621,4 2635,9 Dı́a→ Y1j Y2j 11 4323,6 4305,4 12 1880,7 1877,9 13 2131,4 2159,2 14 3349,6 3366,7 15 2545,0 2566,1 16 2247,3 2281,4 17 1817,5 1854,6 18 1461,3 1461,5 19 1646,5 1607,3 20 1955,4 1956,4 (a) Llamando Dj = Y1j − Y2j a la diferencia en las medidas de un mismo dı́a, contrastar con α = 0.05 H0 : µD = 0 H1 : µD 6= 0 donde Dj tiene distribución N(µD , σ D ). Calcular el nivel crı́tico del contraste aproximando la distribución t de Student por la normal. (b) Los datos anteriores pueden ser analizados mediante un modelo de bloques aleatorizados tomando el tipo de medida (tanque, surtidores) como un factor y los dı́as como bloques. Demostrar con caracter general que en el modelo de bloques aleatorizados si el factor tiene dos niveles la varianza residual cumple: 1 sb2R = sb2D 2 donde sb2D es la estimación de σ 2D del apartado 1. (c) Teniendo en cuenta lo anterior, demostrar que el contraste correspondiente al factor en el modelo de bloques aleatorizados es equivalente al contraste del apartado 1. 11 30. Una forma alternativa de la ecuación del modelo para comparar I tratamientos es yij = µ + τ i + uij , i = 1, 2, ..., I; j = 1, 2, ..., m donde µ es la media global τ 1 , τP 2 , ..., τ I son los parámetros que determinan los efectos de cada tratamiento, cumplen que Ii=1 τ i = 0 uij son variables aleatorias independientes con idéntica distribución normal de media cero y varianza σ 2 . (a) Obtener el estimador máximo verosı́mil de τ i , indicar su distribución de probabilidad, media y varianza. P τ 2i ) cuando los (b) Calcular la esperanza de la variabilidad explicada (V E = m Ii=1 b parámetros τ i no son todos nulos. (c) Calcular la correlación entre b τ i y un residuo eij cualquiera (del mismo o diferente tratamiento). Que implicación tiene este resultado en el contraste de análisis de la varianza. 31. Un ingeniero está estudiando métodos para mejorar ciertas propiedades mecánicas de una aleación metálica. Los dos factores que considera más importantes son la cantidad de Manganeso y la temperatura de templado. Se diseña un experimento empleando tres niveles para el factor manganeso y dos para la temperatura, en total 3×2 = 6 tratamientos. Se dispone de 6 hornos diferentes para realizar la fundición. Cada horno requiere un operador y se disponen de seis operadores cada uno de los cuales es capaz de manejar los seis hornos. Diseñar un experimento que con 36 observaciones permita estudiar las diferencias entre los seis tratamientos y que tenga en cuenta el tipo de horno y el operador como variables bloques. Construir la tabla de análisis de la varianza, indicando los grados de libertadad de cada variabilidad, separando en ella el factor manganeso, el factor temperatura y su interacción. (Los bloques y los factores no interaccionan). (Nota: no es necesario indicar en la tabla como se obtienen las distintas variabilidades). 32. Una asociación de consumidores para comprobar la utilidad de ciertos compuestos que según sus fabricantes reducen el consumo de gasolina de los automóviles realizó el siguiente experimento: eligió al azar 9 vehı́culos nuevos de distintas marcas con cilindrada similar y con cada uno de ellos recorrió tres veces un mismo trayecto con conductores distintos. Además en cada uno de estos tres trayectos empleó un tratamiento diferente para la gasolina: A: B: Tratamiento C: Gasolina con Cyber-Gas Gasolina con Consumin Gasolina sin aditivo En la tabla siguiente se muestra el consumo en litros de gasolina en cada uno de los recorridos y el tipo de tratamiento (letra latina). 12 Número Vehı́culo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Media Columna Conductores 1 2 3 15,5 (A) 15,6 (B) 16,6 (C) 13,0 (B) 13,3 (A) 13,0 (C) 11,8 (B) 13,1 (C) 12,5 (A) 14,4 (A) 14,8 (C) 15,0 (B) 12,4 (B) 14,3 (A) 14,1 (C) 15,6 (C) 15,3 (A) 14,7 (B) 12,7 (C) 12,0 (B) 12,0 (A) 14,2 (C) 14,0 (B) 15,1 (A) 12,6 (A) 13,5 (C) 12,3 (B) 13,58 13,99 13,92 Media fila 15,90 13,10 12,47 14,73 13,60 15,20 12,23 14,43 12,80 Media Total 13,83 A:13,89 Media de B:13,42 Tratam. C:14,18 El análisis de los datos se realiza con el siguiente modelo yijk = µ + αi + β j + γ k + uijk dónde yijk representa el consumo en litros, µ la media global; αi , i = 1, 2, ..., 9 y β j , j = 1, 2, 3 los efectos correspondientes a los vehı́culos (filas) y los conductores (columnas). La estimación e interpretación de estos parámetros es similar al modelo de bloques aleatorizados. Además se incluye los parámetros γ k , k = 1, 2, 3 que miden el efecto de los tratamientos (tipo P3 de aditivo) y cumplen k=1 γ k = 0. Por último, uijk la componente aleatoria son variables aleatorias independientes con distribución normal de media cero y varianza σ 2 para todas las observaciones. (a) Obtener razonadamente los estimadores máximo verosı́miles de γ k . (b) La tabla del análisis de la varianza del modelo anterior es Tratamiento Vehı́culo Conductor Residual Total Suma de Cuadrados 2,67 40,2 0,876 Grados de Libertad 2 8 2 2,73 46,4 14 26 Varianza 1,31 5,02 0,438 F p-Valor 6,7 0,0091 25,7 0,0000 2,2 0,1428 0,195 ¿Reducen los aditivos el consumo de gasolina? ¿ Existen diferencias significativas entre Cyber-gas (A) y Consumin (B)? (Realizar los contrastes con nivel de significación 0.05). (c) Demostrar que el diseño anterior, independientemente de los valores numéricos (yijk ) obtenidos, es un diseño ortogonal, es decir que cumple: VT = VE(Vehı́culos) + VE(Conductores) + VE(Tratamientos) + VNE (Nota.- Es suficiente con demostrar la ortogonalidad del vector correspondiente a los tratamientos con respecto a los otros tres). 13 33. Un informático quiere comparar los tiempos de ejecución de tres programas realizados en lenguajes diferentes que realizan el mismo proceso. Para hacer la comparación utilizan 4 ordenadores con microprocesadores distintos. Los tiempos requeridos por cada programa en cada ordenador han sido: ORDENADOR ↓ 1 2 3 4 ȳ•j PROGRAMA A B C 1,36 2,23 1,54 0,97 0,70 0,76 1,79 1,74 1,84 0,64 0,69 0,74 1,19 1,34 1,22 ȳi• 1,71 0,81 1,79 0,69 1,25 ¿Existen diferencias significativas en los tiempos requeridos por los 3 programas? 34. Se ha realizado un experimento con dos factores cada uno de ellos con 3 niveles. El 20% de la variabilidad total está explicada por la interacción de los dos factores y el 40% de la variabilidad total es debida a la variabilidad residual. Determinar el número de replicaciones necesarias en cada tratamiento para que la interacción sea significativa con α = 0.01. (Explicar el procedimiento de cálculo, dejando el resultado indicado en función de las tablas). 35. Un investigador quiere estudiar el efecto de sexo (hombre, mujer) y tipo de formación (ciencias, letras) en el dominio del inglés escrito en profesores universitarios. Para ello analiza el número de incorrecciones gramaticales en artı́culos cientı́ficos enviados a publicación. Para cada combinación de niveles de los factores se han elegido al azar tres profesores. En la tabla se proporciona el número de fallos detectados en artı́culos de 15 páginas Hombre Mujer Letras Ciencias 8, 6, 13 22, 28, 33 5, 10, 6 12, 14, 9 Contrastar con nivel de significación 0.05 si los efectos principales y la interacción son significativos. Tener en cuenta que P (F1,8 ≤ 5.32) = 0.95, siendo F1,8 la distribución F con grados de libertad 1 y 8. Interpretar los resultados. 36. Un alumno, como trabajo de la asignatura de estadı́stica, ha comparado tres marcas distintas (A,B,C) de palomitas de maı́z precocinadas. Cada marca puede prepararse friendolas en una sartén (método 1) o en el horno microondas (método 2). El alumno ha realizado un diseño factorial completo 3×2 con cinco replicaciones en cada uno de los seis tratamientos. La variable respuesta medida es el porcentaje de granos de maı́z que no se han inflado adecuadamente. Los resultados del experimento se muestran en la tabla, en cada tratamiento 14 se proporciona la media y entre paréntesis la desviación tı́pica corregida para las cinco replicaciones. Contrastar si la interacción entre los dos factores es significativa. A 5.5 (1,4) 3.8 (1,3) Sartén Horno B 3.6 (1,8) 3.4 (0,9) C 7.5 (2,5) 4.3 (1,3) 37. Se ha realizado un experimento con dos factores, A (temperatura con tres niveles), B (concentración con cuatro niveles). El experimento se ha replicado 5 veces. En la tabla se muestra la media y la varianza (corregida) para los 5 datos de cada tratamiento. A 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 B 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 yi 240 261 235 257 249 270 246 267 241 262 237 260 ŝ2i 1.2 1.6 1.4 2.4 1.4 5.7 5.8 1.7 4.2 9.4 1.3 6.1 Escribir la tabla de análisis de la varianza. 38. Se desea estudiar la influencia de 2 factores en el error de medida de un equipo de visión artificial. Un factor F es la distancia focal, para el que se han fijado 4 niveles y el otro factor L es el nivel de iluminación con 2 niveles. Además se dispone de 2 equipos diferentes para realizar las medidas. Se ha tomado un patrón y se ha medido en las combinaciones indicadas en la tabla, donde yijk es el error obtenido al situar la distancia focal i, con iluminación j y el equipo k. F −→ 1 L −→ 1 Equipo 1 y111 Equipo 2 y112 2 1 3 1 4 1 1 2 2 2 3 2 4 2 y211 y212 y311 y312 y411 y412 y121 y122 y221 y222 y321 y322 y421 y422 Construir la tabla de análisis de la varianza, que incluya los efectos principales debidos a la distancia focal (F ), la iluminación (L) y el equipo, y además la interacción F ×L, suponiendo que son nulas el resto de interacciones. 39. Cierta industria de lentes para gafas desea comparar dos tipos de recubrimiento antireflectante A, B. Los dos tipos tienen idéntico aspecto y prestaciones, pero antes de decidirse por 15 uno u otro desean comprobar si el tipo de recubrimiento influye en el desgaste que sufre la lente. Para ello construyen gafas con una lente de cada tipo que distribuyen entre 10 personas seleccionadas al azar que habitualmente utilizan gafas. Al cabo de seis meses miden el desgaste y se obtienen los valores que se indican en la tabla. Persona 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Lente A 6.7 5.0 3.6 6.2 5.9 4.0 5.2 4.5 4.4 4.1 Lente B 6.9 5.8 4.1 7.0 7.0 4.6 5.5 5.0 4.3 4.8 ¿Qué tipo de recubrimiento recomendarı́a a los fabricantes con el criterio de mı́nimo desgaste?. 40. Demuestre que en un modelo en bloques aleatorizados, con I niveles para el factor y J niveles para el bloque, con modelo yij = µ+αi+ β j +uij ,el valor esperado de la variabilidad explicada por el factor es: E[V E(α)] = P (I − 1)σ 2 + J Ji=1 α2i ,siendo σ 2 la varianza del error experimental. 41. Se desea comprobar si el orden en el que aparecen las preguntas de un examen test influye en resultado obtenido por el alumno. Se han preparado dos examenes, el Test A tiene las preguntas en orden de dificultad creciente y el Test B a la inversa. Se ha elegido una muestra aleatoria de 20 alumnos y se han emparejado según su habilidad, de forma que los dos alumnos de cada pareja han demostrado durante el curso una habilidad similar. De cada pareja, un alumno se ha asignado aleatoriamente al Test A y el otro al Test B. Los resultados finales del ejercicio han sido (cada pareja es una columna) Test A: Test B: 83 82 95 92 76 62 70 74 91 60 89 69 70 72 52 63 48 80 76 74 ¿Es evidente que las puntuaciones del Test B son mas bajas que las del Test A? 42. El análisis de la varianza de un diseño en bloques aleatorizados proporciona los si-guientes resultados: V T = 129, V E(factor) = 38, 5 y V E(bloque) = 82, 5. El número de niveles del factor es 4 y el número de bloques 4. Construir la tabla de análisis de la varianza y hacer los contrastes correspondientes con nivel de significación 0,05. 16 43. Se ha estudiado la influencia de la cantidad de cierto aditivo en la opacidad de un material plástico que se puede fabricar por tres métodos de extrusión. El objetivo es conseguir el tratamiento con opacidad mı́nima. Cada tratamiento se ha replicado 5 veces, los valores medios y las desviaciones tı́picas corregidas para cada caso se proporcionan en la tabla 1. La tabla 2 corresponde al análisis de la varianza. Se ha comprobado que se verifican las condiciones de normalidad y homocedasticidad. Método 1 1 2 2 3 3 Extrus. Aditivo Interac. Residual Total Aditivo 1 2 1 2 1 2 Suma de cuadrad. 2.210 47.636 37.572 24.728 112.146 Medias 9.5 9.3 10.0 8.1 11.5 6.0 g.l. 2 1 2 24 29 Desv. Tı́p. 0.83 0.67 1.53 (TABLA 1) 0.77 0.78 1.23 Var. F p-valor 1.105 1.072 0.358 47.636 46.2 0.000 (TABLA 2) 18.786 18.2 0.000 1.030 (a) A la vista de los resultados de las dos tablas indica qué método de extrusión es aconsejable para conseguir la opacidad mı́nima. (b) Da un intervalo del 95% de confianza para la opacidad media en las condiciones óptimas. (c) Sea di = y i1 − y i2 la diferencia entre las medias observadas en los dos niveles del factor aditivos para el método de extrusión i. Calcula el valor esperado y la varianza de di en términos de los parámetros del modelo factorial. (d) Si E(di) = 0 para los tres métodos, obtén la distribución de probabilidad de 5 d21 + d22 + d23 × . 2 σ2 44. Se ha estudiado el efecto de tres hornos diferentes y dos temperaturas (290 o C y 320 o C) en la duración de cierto componente. Para cada combinación de horno y temperatura se ha replicado el experimento 3 veces. En la tabla siguiente se proporcionan las medias y desviaciones tı́picas de los datos de cada tratamiento. 17 Temperatura o C 290 C 320 o C Media Desv. T. Media Desv. T. Horno 1 245.6 8.50 180.0 2.65 Horno 2 191.0 15.39 144.0 2.65 Horno 3 187.0 4.58 134.3 8.62 o Fuente Horno Temp. HxT Residual Total Suma Cuadrado 9646.3 13667.6 274.8 837.3 24426 Grados Libertad 2 1 2 12 17 Varianza F p-valor 4823.2 69.1 0.000 13667.6 195.9 0.000 137.4 1.97 0.182 69.8 Seleccionar el horno y la temperatura que proporcionan máxima duración, haciendo los contrastes de igualdad de medias con nivel de significación 0.01. 18 Modelos de regresión lineal 1. La tabla muestra los mejores tiempos mundiales en Juegos Olı́mpicos hasta 1976 en carrera masculina para distintas distancias. y: tiempo (sg) x: distancia (m) 9.9 19.8 44.26 103.5 214.9 806.4 1658.4 7795 100 200 400 800 1500 5000 10000 42196 (a) Estimar la regresión lineal de y sobre x y calcular la varianza residual y el coeficiente de correlación. (b) Obtener intervalos de confianza para la pendiente y varianza residual (α = 0.01). (c) Analizar si la relación lineal es adecuada, transformando las variables si es necesario. (d) Supóngase que en aquellas Olimpiadas hubiera existido una carrera de 500 metros. Estimar el tiempo previsto para el record olı́mpico en dicha carrera, dando un intervalo de confianza con α = 0.05. 2. Estimar por mı́nimos cuadrados los parámetros a y b de la ecuación y = a + bx2 con la muestra de tres puntos siguientes (y, x) : (3, -1); (4, 0); (6,1). 3. Dada la recta de regresión ŷ = 3 + 5(x − 2) con r = 0.8, sˆR = 1, construir un intervalo de confianza del 95% para la pendiente si n = 100. 4. Dado el modelo estimado con n = 25 datos, ŷ = 2 + 3(x − 4), ŝR = 5, con desviación tı́pica del coeficiente de regresión S(βˆ1 ) = 0.5, calcular la desviación tı́pica de la predicción del valor medio de y cuando x = 20. 5. Sir Francis Galton (1877) estudió la relación entre la estatura de una persona (y) y la estatura de sus padres (x) obteniendo las siguientes conclusiones: (a) Existı́a una correlación positiva entre las dos variables. (b) Las estaturas de los hijos cuyos padres medı́an más que la media era, en promedio, inferior a la de sus progenitores, mientras que los padres con estatura inferior a la media en promedio tenı́an hijos más altos que ellos, calificando este hecho como de ”regresión” a la media. Contrastar (α = 0.05) estas dos conclusiones con la ecuación ŷ = 17.8 + 0.91x resultante de estimar un modelo de regresión lineal entre las variables (en cm.) descritas anteriormente para una muestra de tamaño 100 si la desviación tı́pica (estimada) de β̂ 1 es 0.04. 6. La ley de Hubble sobre la expansión del universo establece que dadas dos galaxias la velocidad de desplazamiento de una respecto a la otra es v = Hd, siendo d su distancia y H la constante de Hubble. La tabla proporciona la velocidad y la distancia de varias galaxias respecto a la Via Láctea. Se pide: 1 Galaxia Virgo Pegaso Perseo Coma Berenices Osa Mayor 1 Leo Corona Boreal Géminis Osa Mayor 2 Hidra Distancia (millones años luz) 22 68 108 137 255 315 390 405 700 1100 Velocidad (103 Km/s) 1.21 3.86 5.15 7.56 14.96 19.31 21.56 23.17 41.83 61.14 Tabla: Distancia y velocidad de desplazamiento de las distintas galaxias a la Via Lactea. Nota: Obsérvese que según el modelo de Hubble la regresión debe pasar por el origen. Tómese 1 año luz = 300 000 Km/seg x 31 536 000 seg = 9.46 1012 Km. (a) Estimar por regresión la constante de Hubble. (b) Como T = d/v = d/Hd = 1/H, la inversa de la constante de Hubble representa la edad estimada del Universo. Construir un intervalo de confianza del 95% para dicha edad . 7. Para establecer la relación entre el alargamiento en mm (Y ) producido en un cierto material plástico sometido a tracción y la fuerza aplicada en toneladas por cm2 (X) se realizaron 10 experimentos cuyos resultados se muestran en la tabla xi 0.20 0.50 0.60 0.70 0.90 1.00 1.20 1.50 1.60 1.70 yi 23 20 33 45 67 52 86 74 98 102 Tabla: Alargamiento yi (mm) producidos por la fuerza xi (Tm/cm2 ). (a) Ajustar el modelo de regresión lineal E(Y |x) = β 0 + β 1 x y contrastar (α = 0.01) la hipótesis de que, en promedio, por cada Tm/cm2 de fuerza aplicada es de esperar un alargamiento de 50 milı́metros, sabiendo que la desviación tı́pica residual vale 10.55. (b) Si el lı́mite de elasticidad se alcanza cuando x = 2.2 Tm/cm2 , construir un intervalo de confianza al 95% para el alargamiento medio esperado en ese punto. (c) Teniendo en cuenta que el alargamiento esperado cuando la fuerza aplicada es nula debe ser nulo también, estimar el nuevo modelo E [Y |x] = βx con los datos anteriores ¿Cuál es el sesgo del estimador del parámetro de la pendiente si se estima según el modelo del apartado 1? 2 8. La ecuación de regresión entre las ventas de un producto y y su precio x es ŷ = 320 − 1.2x, ŝR = 2 y ŝy = 4. Si el número de datos ha sido n = 50, contrastar H0 : β 1 = −1 frente a la alternativa H1 : β 1 < −1. 9. Se estudia la relación entre el tiempo de reparación (minutos) de ordenadores personales y el número de unidades reparadas en ese tiempo por un equipo de mantenimiento con los resultados mostrados en la siguiente tabla unidades reparadas tiempo de reparación 1 3 4 23 49 74 6 7 9 10 96 109 149 154 Se pide: (a) Construir la recta de regresión para prever el tiempo de reparación y utilizarla para construir un intervalo de confianza (α = 0.01) para el tiempo medio de reparación de 8 unidades. (b) Construir un intervalo de confianza (α = 0.01) del tiempo de reparación para un lote de 14 unidades. (c) Si los tiempos de reparación fuesen medias de 10 datos. ¿Cual serı́a la recta de regresión? 10. Se realiza una regresión múltiple con tres regresores y se encuentra un coeficiente de correlación de 0.5 entre los residuos de la regresión y uno de los regresores. Interpretar este resultado. 11. La matriz de varianzas de tres variables estandarizadas es la siguiente 1 0.8 0.6 0.8 1 0.2 0.6 0.2 1 Calcular la ecuación de regresión de la primera variable respecto a las otras dos. 12. Dos variables x1 y x2 tienen la siguiente matriz de varianzas 1 0.5 0.5 1 y las regresiones simples con y son ŷ = 0.75x1 ; ŷ = 0.6x2 . Calcular la regresión múltiple entre y y las dos variables x1 , x2 sabiendo que la variable y tiene media cero y varianza unidad. 13. Se realiza la regresión entre la variable dependiente y y tres regresores x1 , x2 y x3 . Posteriormente se decide realizar la regresión entre la variable y y los tres regresores estandarizados. Explicar cuáles son las diferencias entre los resultados de una regresión y otra en cuanto a los coeficientes estimados β̂ i , los residuos y el coeficiente de determinación, justificando la respuesta. 3 14. La matriz de varianzas de las variables X1 , X2 e Y es 25 27 14 27 36 19.2 14 19.2 16 Siendo X 1 = 30, X 2 = 40, Y = 100 y el número de datos n = 10. Se pide: (a) Realizar la regresión simple entre Y (variable dependiente) y X1 , dando el intervalo de confianza para la pendiente de la recta con α = 0.05. Hacer lo mismo con Y y X2 . (b) Realizar la regresión múltiple entre Y (variable dependiente) y X1 , X2 , en desviaciones a la media. (c) Indicar si los coeficientes de la regresión anterior son significativos. (d) Calcular R2 para los tres modelos, comentar los resultados obtenidos e indicar qué modelo eligirı́a y por qué. 15. Para establecer la relación entre el voltaje de unas baterı́as y la temperatura de funcionamiento se han hecho unos experimentos cuyos resultados se muestran en la siguiente tabla Baterı́a Temperatura Voltaje 1 2 10 10 7.2 7.7 3 4 5 20 20 30 7.3 7.4 7.7 6 7 8 30 40 40 9.4 9.3 10.8 Se pide: (a) Contrastar la hipótesis (α = 0.05) de que no existe relación lineal entre el voltaje y la temperatura. (b) Las lecturas 1,3,5 y 7 fueron realizadas con unas baterı́as de Cadmio y las 2,4, 6 y 8 con baterı́as de Zinc. Introducir en el análisis anterior una variable cualitativa que tenga en cuenta los dos tipos de baterı́as y contrastar si es significativa al 95%. (c) Dar un intervalo de confianza para el voltaje de una baterı́a de Cadmio que va a trabajar a 35◦ centı́grados. (Utilizar el modelo estimado en el apartado 2). (d) Comprobar que se cumplen las hipótesis del modelo construido en los apartados anteriores. 16. ¿Cómo disminuirá la varianza teórica de los estimadores β̂ en el modelo de regresión lineal al replicar las observaciones? (Por replicar se entiende el obtener un nuevo vector Y de la variable respuesta manteniendo las X fijas). 4 17. Se ha estimado un modelo de regresión para la estatura (y) de un grupo de adultos y sus estaturas a los 7 (x1 ) y 14 (x2 ) años. La desviación tı́pica residual obtenida es 5 cm y la desviación tı́pica del coeficiente de x1 (estatura a los 7 años) resulta 2.4, siendo este efecto no significativo al 95%. Sin embargo, un segundo modelo de regresión que incluya sólo a esta variable (x1 ) conduce a una desviación tı́pica residual de 7 cm y a un coeficiente de regresión de 2 con desviación tı́pica de 1. ¿Qué podemos concluir con estos resultados de la correlación entre x1 y x2 ? 18. Se dispone de una muestra de 100 automóviles con información respecto a su consumo (litros/100 km), peso (kg), potencia (CV), tipo de motor (I=inyección, NI=no inyección) y nacionalidad (1=USA, 2=Alemania, 3=Japón, 4=Francia). Escribir la ecuación del modelo de regresión lineal del consumo respecto al resto de las variables e interpretar el significado de cada uno de los parámetros del modelo. 19. Teniendo en cuenta que mediante variables cualitativas cualquier modelo de diseño experimental puede escribirse como un modelo de regresión, determinar la matriz V = X(X T X)−1 X T de proyección y la varianza de un residuo eij para el modelo básico de análisis de la varianza yij = µi + uij , i = 1, ..., I ; j = 1, ..., ni Aplicarlo al caso de 3 grupos (I = 3), con 5 observaciones en el primer grupo, 4 en el segundo y 3 en el tercero. 20. La variable y se relaciona con las variables x1 y x2 según el modelo E(y) = β 0 + β 1 x1 + β 2 x2 ; no obstante se estima el siguiente modelo de regresión que no incluye la variable x2 ŷi = β̂ 0 + β̂ 1 x1i . Justificar en qué condiciones el estimador β̂ 1 es centrado. 21. Se efectúa una regresión con dos variables explicativas E[y] = β 0 + β 1 x1 + β 2 x2 . La matriz de varianzas de x1 y x2 es 2 1 1 3 ¿Cuál de los dos estimadores β̂ 1 y β̂ 2 tendrá menor varianza? 22. Se estudia la relación entre los costes de fabricación totales en miles de pesetas (Y ), de 25 libros técnicos, la tirada en miles de ejemplares producidos (T ) y el número de páginas del libro (N), encontrandose la relación Y = 1400 + 900T + 4N (a) Sabiendo que las desviaciones tı́picas (sin corregir por grados de libertad) de T y N son 1.5 miles de ejemplares y 200 páginas respectivamente, y ŝR = 600, calcular un intervalo de confianza del 90% para los efectos de T y N suponiendo que las variables están incorreladas. Interpretar el resultado. 5 (b) Si el coeficiente de correlación entre las variables T y N es −0.5, ¿Puede admitirse la hipótesis de que el coste asociado a la tirada es de 1.100.000 ptas. cada mil unidades? (α = 0.05). (c) Sabiendo que la desviación tı́pica (sin corregir por grados de libertad) de los costes de fabricación es 2200 miles de pesetas, calcular el coeficiente de correlación múltiple y el estadı́stico F para contrastar que ambas variables no influyen. Interpretar el resultado. (d) Para estudiar cuánto encarecen los gráficos el precio se introduce en el modelo una variable ficticia Z que toma el valor 1 en libros con gráficos y 0 en el resto, obteniéndose el nuevo modelo estimado siguiente (desviaciones tı́picas entre paréntesis) Y = 1080 + 520Z + 840T + 3.8N (100) (16) (0.97) Interpretar el resultado. 23. Demostrar que el coeficiente de correlación múltiple en el modelo general de regresión es igual al coeficiente de correlación lineal entre la variable observada y y la prevista ŷ. 24. Para 11 provincias españolas se conocen los siguientes datos: Y = número de mujeres conductoras dividido por el número de hombres conductores. X1 = porcentaje de mujeres que trabajan sobre el total de trabajadores de la provincia. X2 = porcentaje de población que trabaja en el sector agrı́cola. Si se denomina X = (1 X1 X2 ) a la matriz de regresores (1 es un vector de unos) se sabe que (X T X)−1 −0.06 5.1 −0.12 −0.05 0.08 (X T Y ) = 0.05 = −0.12 30.8 −9.45 −0.05 0.08 0.001 ŝR = 0.03; n X (yi − y)2 = 0.0645 i=1 Se pide: (a) Estimar el modelo de regresión y realizar los contrastes individuales (α = 0.05). Interpretar la regresión. (b) Calcular el coeficiente de determinación R2 y realizar el contraste de que las dos variables no influyen mediante el test F (α = 0.05). (c) Se introducen dos nuevas variables en la regresión: X3 que representa el porcentaje de población que trabaja en los servicios, y X4 el porcentaje de población que trabaja en otras actividades distintas de agricultura y servicios. Explicar razonadamente cómo será la regresión al introducir estas dos nuevas variables y los efectos de cada una de ellas. 6 25. Con los datos de la tabla, se pide: x -2 y 1.1 -2 -1 -1 0 1.3 2.0 2.1 2.7 0 1 1 2.8 3.4 3.6 2 2 3 3 4.0 3.9 3.8 3.6 (a) Estimar un modelo de regresión simple con y como variable dependiente y x como regresor. Indicar si el modelo es apropiado, justificando la respuesta. (b) Estimar el modelo yi = β 0 + β 1 xi + β 2 x2i + ui y realizar el contraste H0 : β 2 = 0. (c) El resultado de la estimación del modelo que incluye el término x3 es, ŷi = 2.81 + 0.80xi - 0.06x2i - 0.035x3i (0.05) (0.048) (0.019) (0.010) con ŝR = 0.113 (entre paréntesis las desviaciones tı́picas de los estimadores). Realizar el contraste general de regresión con α = 0.01. Seleccionar entre los tres el modelo más adecuado, justificando la respuesta. 26. En un modelo de regresión simple se ha obtenido un coeficiente de correlación igual a −0.8. Si el número de observaciones es n = 150, ȳ = 22 y la variabilidad total es 320. Construir un intervalo de confianza al 95% para el valor medio de la variable dependiente (y) cuando x (regresor) es igual a x̄. (Aproximar la distribución t de Student correspondiente por una distribución normal, si Z N(0, 1), P (Z ≤ 1.96) = 0.975). 27. En una planta piloto se obtiene un nuevo producto mediante un proceso quı́mico. Con el fin de mejorar el rendimiento se emplean dos catalizadores distintos y se trabaja con tres temperaturas diferentes. Los resultados del experimento son Catalizador A B Temperatura 20 300 400 115 125 130 140 110 120 115 105 135 145 100 110 0 (a) Contrastar si los factores Temperatura y Catalizador tienen efectos significativos. (α = 0.05) (b) ¿Qué tratamiento se debe utilizar para obtener el mayor rendimiento, si se desea garantizar una probabilidad de error tipo I total, αT = 0.03? (c) Estimar y contrastar el modelo de regresión simple entre el rendimiento y la temperatura. ¿Qué conclusiones obtiene? Proponga un modelo de regresión que subsane las deficiencias encontradas. 7 28. El modelo de regresion múltiple se puede escribir en notación matricial Y = Xβ + U donde U es el vector de variables aleatorias que cumple las hipótesis de normalidad, independencia y homocedasticidad. Deducir razonadamente la distribución, media y matriz de varianzas del vector de residuos e = Y − X β̂. 29. La empresa de bebidas gaseosas CIBELES quiere determinar la influencia sobre la presión interna (yi ) en los botes de refresco de dos variables continuas (x1 , x2 ) y del tipo de bebida (NARANJA=1, LIMON=2 y COLA=3). Para distintos valores de x1 y x2 y 20 botes de cada sabor, ha medido la presión interna. El tipo de bebida se representa por las variables z1 , z2 y z3 qué identifican el sabor NARANJA, LIMON y COLA, respectivamente. El modelo estimado de regresión de y con respecto a x1 , x2 , z2 y z3 es: ŷ = 19.4 + 77.2x1 − 50.8x2 + 2.95z2 + 5.52z3 ; donde T (X X) −1 = ŝR = 4.32 0.1772 −0.6909 −0.5043 −0.0605 −0.0896 −0.6909 5.8085 0.2541 0.1478 0.2444 −0.5043 0.2541 5.0070 −0.0680 0.1216 −0.0605 0.1478 −0.0680 0.1049 0.0546 −0.0896 0.2444 0.1216 0.0546 0.1127 (a) Realizar los contrastes individuales con α = 0.01, indicando las variables que influyen significativamente en la presión. Interpretar el resultado explicando el significado de cada parámetro. (b) Si se realiza una regresión entre la presión interna (yi ) y las dos variables continuas x1 y x2 se obtiene el siguiente modelo de regresión ŷ = 23.86 + 65.1x1 − 56.3x2 ; ŝR = 4.78. Contrastar (α = 0.01) conjuntamente que el tipo de bebida no influye. (H0 : α2 = α3 = 0 frente a H1 : α2 ó α3 es distinto de cero). (c) ¿Existe diferencia significativa en las presiones internas de los botes de LIMON y COLA? (α = 0.01) 30. Estimar por máxima verosimilitud los parámetros β 1 y β 2 del modelo yi = β 1 x1i + β 2 x22i + ui ; ui N(0, σ). ¿En qué condiciones los estimadores obtenidos por máxima verosimilitud son iguales que los obtenidos por mı́nimos cuadrados? 31. Obtener la relación entre el coeficiente de determinación R2 y el coeficiente de determinación 2 corregido R . ¿ Que ventajas presenta el segundo frente al primero ? 8 32. Con el fin de reducir el tiempo de secado se han realizado 20 ensayos con cementos de distintas caracterı́sticas. El ajuste por mı́nimos cuadrados de la ecuación de regresión entre el tiempo de secado y una de las variables x1 es ŝR = 12.8, R2 = 0.37 ŷ = 17.1 + 2.9x1 , (a) Obtener el intervalo de confianza al 95% para el parámetro de la pendiente de la recta e indicar si su efecto es significativo. (b) Incluir en el modelo de regresión otra variable independiente x2 , sabiendo que su varianza muestral es s22 = 9.2, la covarianza entre las dos variables independientes es s12 = −3.35 y la covarianza entre el tiempo de secado y la nueva variable s2y = 9.55. Realizar los contrastes individuales para los parámetros de x1 y x2 . (c) Un estudio teórico del problema indica que el efecto de las dos variables es igual y que por tanto, la ecuación de regresión deberı́a ser ŷ = b̂0 + b̂1 (x1 + x2 ). Con la información de los apartados anteriores, obtener b̂1 y contrastar si la pendiente de la recta es significativamente distinta de cero. 33. En el análisis de regresión simple entre dos variables, se considera como importante desde el punto de vista práctico, una correlación entre las dos variables igual o superior a r = 0.1. Determinar el número mı́nimo de observaciones con las que se debe estimar el modelo de regresión para que una correlación igual a 0.1, implique que el regresor tiene un efecto significativo sobre la variable dependiente. (Aproximar la distribución t de Student correspondiente por una distribución normal, si Z N(0, 1), P (Z ≤ 1.96) = 0.975). 34. Interpretar geométricamente el problema de estimación por mı́nimos cuadrados en regresión múltiple. Demostrar que los residuos del modelo se obtienen mediante la expresión e = P Y , donde Y es el vector correspondiente a la variable dependiente y P es una matriz de dimensión n × n. Determinar P en términos de la matriz X de los regresores. A partir de la expresión anterior, obtener la distribución de probabilidad de los residuos, la media y la matriz de varianzas. 35. Una de las etapas de fabricación de circuitos impresos requiere perforar las placas y recubrir los orificios con una lámina de cobre mediante electrólisis. Una caracterı́stica esencial del proceso es el grosor de la capa de cobre. Se han realizado 12 experimentos para evaluar el efecto de 7 variables, X1 : Concentración de Cobre, X2 : Concentración de Cloruro, X3 : Concentración de Ácido, X4 : Temperatura, X5 : Intensidad, X6 : Posición y X7 : Superficie de la placa. Cada variable se ha estudiado a dos niveles. Las condiciones experimentales y los resultados de cada experimento se muestran en la tabla. 9 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 1 1 -1 1 1 1 -1 1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1 1 -1 1 1 -1 1 1 -1 1 1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 Y 2.13 2.15 1.67 1.53 1.49 1.78 1.80 1.93 2.19 1.61 1.70 1.43 Responder a las siguientes preguntas aplicando el modelo de regresión múltiple, teniendo en cuenta que X T X = 12I8 , donde I8 es la matriz identidad de 8 × 8. (a) Estimar el modelo de regresión múltiple yi = β 0 + β 1 x1i + β 2 x2i + β 3 x3i + β 4 x4i + β 5 x5i + β 6 x6i + β 7 x7i + ui . Obtener la descomposición de la variabilidad del modelo y realizar el contraste H0 : β 1 = β 2 = β 3 = β 4 = β 5 = β 6 = β 7 = 0 frente a la hipótesis alternativa H1 : algún β j es distinto de cero. (NOTA.: X T Y = (21.41, −0.03, 0.01, −0.23, 1.69, 2.35, −0.09, −0.19)T ) (b) Realizar cada uno de los contrastes individuales e indicar qué variables tienen efecto significativo. (c) Eliminar del modelo del apartado 1 todas las variables no significativas. Estimar el modelo y contrastar sus coeficientes. Interpretar los resultados del experimento. 36. Una medida crı́tica de calidad en la fundición de llantas de aluminio por inyección es la porosidad. Se ha realizado un diseño experimental para analizar la porosidad (Y ) en función de la temperatura (T ) del aluminio lı́quido y de la presión (P ) con que éste se inyecta al molde. Se han realizado n=16 experimentos y el modelo obtenido ha sido ŷ = 2.84 + (.048) + 0.26 T2 + (.048) 0.59 T (.048) 0.30 P 2 (.048) - 0.031 P (.048) 0.22 T P (.068) Entre paréntesis se proporciona la desviación tı́pica estimada para cada uno de las estima2 ciones de los parámetros del modelo. Además ŝR = 0.137 y R = 0.9267. Las condiciones experimentales se eligieron de forma que los cinco regresores utilizados en el modelo están incorrelados. 10 (a) Realizar el contraste F general de regresión y los contrastes individuales de todos los coeficientes del modelo, indicando cuál es significativamente distinto de cero. (b) Demostrar que si los regresores estan incorrelados, al eliminar alguno del modelo, las estimaciones de los restantes no varı́an. Además, si se elimina el regresor j, con parámetro estimado β̂ j , la variabilidad no explicada del nuevo modelo V NE1 es igual 2 a V NE0 + ns2j β̂ j , donde V NE0 es la variabilidad no explicada del modelo con todos 2 los regresores. Obtener ŝR y R para el modelo que únicamente incluye los parámetros significativos. (c) Determinar en qué condiciones de presión y temperatura la porosidad es mı́nima según el modelo anterior y dar un intervalo para predicción de la porosidad media en estas condiciones. (Si t es la temperatura medida en grados centı́grados (0 C) y p la presión en kg/cm2 , P T = (t − 650)/10 y P = (pP − 975)/25. En estas unidades se cumple que ni=1 Ti = 0, P P P n n n n 2 2 i=1 Ti Pi = 0) i=1 Pi = 8, i=1 Ti = 8, i=1 Pi = 0, 37. Demostrar que cuando todos los regresores están incorrelados, el coeficiente de determinación Pk 2 2 de un modelo de regresión múltiple cumple R = j=1 rj , donde k es el número de regresores y rj el coeficiente de correlación entre el regresor j y la variable dependiente. 38. Explicar el concepto de multicolinealidad en regresión múltiple, cómo se identifica y cuáles son sus efectos sobre (a) los estimadores β̂ i , (b) los residuos y (c) las predicciones. 39. Demostrar que en un modelo de regresión simple y y el estimador de la pendiente β̂ 1 son independientes. Utilizar esta propiedad para calcular la varianza de β̂ 0 = y − β̂ 1 x. 40. La masa M de un cristal de hielo depositado en una cámara a temperatura (-5o C) y humedad relativa constante crece según la ecuación M = αT β , donde T es el tiempo y α y β son parámetros desconocidos. La relación anterior se linealiza con la transformación logarı́tmica, estimándose el siguiente modelo log M = log α + β log T + u donde el término añadido u son los errores experimentales, que se consideran aleatorios e independientes con distribución normal, N(0,σ 2 ). Diez cristales del mismo tamaño y forma se introdujeron en una cámara, extrayéndose secuencialmente según unos tiempos previamente establecidos. Para determinar la influencia del tipo de cámara, se repitió exáctamente el experimento en una segunda cámara. Los valores de ŝR para la cámara 1 y 2 son 0.64 y 0.50, respectivamente. Los modelos estimados para cada cámara, X T X y (X T X)−1 son: log M1 = −7.30 + 2.40 log T log M2 = −5.74 + 2.03 log T T (X X) −1 = 11 T X X= 18.27 −3.89 −3.89 0.835 10.00 46.66 46.66 218.9 (a) Contrastar con nivel de significación 0.05 si los dos modelos tienen la misma pendiente. Lo mismo para la ordenada en el origen. (NOTA.- Aceptar que la varianza de los dos modelos es la misma y estimarla como el promedio de las dos varianzas residuales calculadas.) (b) Un modelo de regresión múltiple Y = Xβ + U, se replica, es decir se obtienen dos vectores de variables respuesta Y1 , Y2, para los mismo regresores (matriz X). Demostrar que si β̂ 1 y β̂ 2 son los resultados de la estimación de β utilizando por separado la variable Y1 e Y2 ; entonces el estimador de β con todos los datos es (β̂ 1 + β̂ 2 )/2. (c) Estimar un único modelo con los datos de las dos cámaras. Sabiendo que Y T Y = 306.8, donde Y = log M, dar un intervalo de confianza al 99% para los dos parámetros. 41. El molibdeno se añade a los aceros para evitar su oxidación, pero en instalaciones nucleares presenta el inconveniente de ser el causante de gran parte de los productos radioactivos. Se ha realizado un experimento para determinar el grado de oxidación del acero en función del porcentaje de molibdeno. Además se ha tenido en cuenta el efecto del tipo de refrigerante utilizado (R1 , R2 ). Los resultados se muestran en la tabla. Refrig. 0.5% R1 26.2 R2 34.8 R1 33.2 R2 43.0 Media 34.3 Molibdeno (%) 1% 1.5% 23.4 20.3 31.7 29.4 31.3 28.6 40.0 31.7 31.6 27.5 2% Medias 23.3 23.3 26.9 30.7 29.3 30.6 33.3 37.0 28.2 30.4 (a) Escribir un modelo de regresión que incluya el porcentaje de molibdeno y el tipo de refrigerante como regresores; estimar el modelo e indicar qué parámetros son significativos (α = 0.05)). (b) Los experimentos relativos a las dos primeras filas se realizaron en un tipo de instalación y los correspondientes a las dos últimas en otra distinta. Escribir un nuevo modelo que incluya este aspecto. Comprobar que este nuevo regresor está incorrelado con los dos anteriores. Estimar el nuevo modelo. (c) Demostrar que en un modelo con los regresores incorrelados, la eliminación de uno de ellos no influye en el valor de los estimadores β̂ i , (i 6= 0) restantes. ¿ Influye en la varianza residual y en los contrastes ? Explicar este efecto en función de que el parámetro β del regresor eliminado sea o no nulo. 42. Demostrar que en un modelo de regresión múltiple estimado por máxima verosimilitud, los residuos cumplen n X ej xij = 0, j=1 donde [xi1, xi2, ..., xin, ] es cualquier regresor del modelo. Obtener la distribución conjunta del vector de residuos. Si σ 2 es la varianza teórica de la componente aleatoria del modelo, indicar en que circuntancias la varianza de un residuo es mayor que σ 2 . 12 43. Se dispone de una muestra de 86 vehı́culos, de los cuales 31 son japoneses (J), 41 norteamericanos (N) y 14 europeos (E). La media y desviación tı́pica del consumo de gasolina (en litros cada 100 Km) para los coches japoneses es y J = 9.1781, b sJ = 1.42, para los norteamericanos y N = 9.7274, b sN = 1.25 y para los europeos y E = 10.64, b sE = 1.36. (a) Suponiendo que los vehı́culos escogidos son muestras aleatorias independientes y que pueden aplicarse las hipótesis de normalidad y homocedasticidad, contrastar la hipótesis de que el lugar de fabricación no influye en el consumo de combustible. ¿Existe algún grupo con un consumo significativamente menor que los otros dos? (b) Los coches tienen caracterı́sticas muy diferentes (peso, potencia,...) que deben ser tenidas en cuenta para hacer la comparación anterior. Con esa finalidad, se ha ajustado el siguiente modelo de regresión: yb = 3.305 + 0.843 Pot + 3.829 Peso + 0.440 ZJ + 1.127 ZE sb2R = 0.506, R2 = 75.7% donde (X T X)−1 es: 4.791e − 1 5.054e − 2 −3.794e − 1 −9.157e − 2 −4.682e − 2 5.054e − 2 1.595e − 1 −1.931e − 1 −3.443e − 3 −1.262e − 2 −3.794e − 1 −1.931e − 1 4.646e − 1 5.210e − 2 2.865e − 2 −9.157e − 2 −3.443e − 3 5.210e − 2 6.667e − 2 2.744e − 2 −4.682e − 2 −1.262e − 2 2.865e − 2 2.744e − 2 9.759e − 2 dónde la variable dependiente es el consumo, Pot (potencia) está expresada en unidades de 100 Cv, el Peso en Toneladas, ZJ toma el valor 1 si el coche es japonés y cero en los demás, y ZE toma el valor 1 para los coches europeos y cero en los demás. Realizar el contraste general de regresión para el modelo anterior e interpretar los coeficientes estimados. (c) Con el modelo de regresión anterior realizar los tres contrastes siguientes: (c.1) No existe diferencia en el consumo de los coches japoneses y europeos. (c.2) No existe diferencia en el consumo de los coches japoneses y norteamericanos. (c.3) No existe diferencia en el consumo de los coches europeos y norteamericanos. Comparar los resultados con los obtenidos en el apartado 1, explicar a qué se deben las diferencias y justificar cuál es el modelo más adecuado para hacer las comparaciones. 44. El modelo de regresión múltiple con n observaciones y k + 1 variables independientes (incluyendo la constante β 0 ) se puede escribir en notación matricial como Y = Xβ + U, donde U es el vector de variables aleatorias que cumple las hipótesis de normalidad, independencia y homocedasticidad y la matriz de los regresores X es de dimensión n × (k + 1). Demostrar que si se transforma linealmente la matriz X, esto es, W = XA, donde A es cualquier matriz cuadrada de dimensión (k + 1) × (k + 1) y rango máximo, entonces la regresión de Y con la nueva W proporciona las mismas predicciones y los mismos residuos. Justificar geométricamente este resultado. 13 45. La resistencia a la tracción (y) de una aleación metálica en función de la temperatura de templado (x) se ha ajustado con una ecuación de regresión para 30 observaciones resultando: ŷ = 276.1 + 1.9x, ŝR = 15.7, R2 = 0.43 Se puede concluir con una confianza del 95% que la temperatura de templado tiene efecto significativo en la resistencia a la tracción. 46. En Cosby Creek, una ciudad al sur de las montañas Apalaches, se ha hecho un estudio para determinar cómo el pH y otras medidas de acidificación del agua se ven afectadas durante las tormentas. En concreto se han obtenido 17 datos durante cada una de las tres tormentas monitorizadas para un total de 19 variables, aunque en este análisis se analizarán solo 2, el pH y el denominado Weak Acidity (WA). Se ha estimado el modelo de regresión múltiple del valor pH con respecto a la variable WA y para cada una de las tres tormentas. Las tormentas se representan con las variables ficticias z1 , z2 y z3 que identifican respectivamente la tormenta 1, 2 y 3. El modelo estimado de regresión de y con respecto a WA, z1 , z2 y z3 es: c = 5.77 − 0, 00008W A + 0, 998z1 + 1, 65z2 − 0, 005z1 W A − 0, 008z2W A, pH (0,000727) (0,4664) (0,4701) (0,0014) R2 = 0, 866 (0,0016) Entre paréntesis las deviaciones tı́picas estimadas de los estimadores de los parámetros correspondientes. (a) Realice el contraste general de regresión y los contrastes individuales con α = 0, 05 indicando las variables que influyen significativamente en el pH. Interprete el significado de cada parámetro. (b) Proporcione sendos intervalos de confianza al 95% para los parámetros de las interacciones z1 W A y z2 W A. ¿Qué conclusiones pueden extraerse? ¿Se puede simplificar el modelo? 47. Dos becarios del Departamento de Ciencias Sociales están interesados en el estudio de la Tasa de Mortalidad Infantil (TMI). Para ello, han recogido en 107 paı́ses dicha magnitud ası́ como la alfabetización (A), el PIB y la población (Pob) en cada uno de ellos. Las medias y desviaciones tı́picas corregidas de estas 4 variables son: Media DT corregida TMI 42.67 38.3 A PIB Pob 78.34 5831.4 48501 22.88 6537.24 147.991 (a) Si el coeficiente de correlación entre TMI y A vale -0.9005 estime el modelo de regresión simple en el que TMI es la variable respuesta y A la variable explicativa y contraste si la pendiente estimada es significativa. (b) Los becarios han estimado un modelo de regresión múltiple en que la variable dependiente es TMI y las variables independientes son A, PIB y Pob. Observando que la diagnosis del modelo es inadecuada. Estime el modelo de regresión múltiple entre TMI (variable dependiente) y los regresores A, log(PIB) y log(Pob). Para ello se proporciona: 14 e ′ X) e −1 (X 0.0259 −0.0499 0.0001 = 10−3 −0.0499 0.3186 0.0007 0.0001 0.0007 0.0004 −8.3651 e ′ Ye ) = 104 −1.7007 (X 5.1293 e la matriz de estos 3 últimos regresores en desviaciones a la media e Ye el vector siendo X respuesta en desviaciones a la media. ¿Son significativos los coeficientes estimados? c. Para el modelo del apartado anterior realice el contraste general de regresión. ¿Encuentra contradicciones entre el resultado de los contrastes individuales del apartado 2 y el del apartado 3? Justifique la respuesta. d. Los paı́ses objeto del estudio se pueden clasificar en desarrollados y no desarrollados. Para ello se introduce la variable cualitativa Z que toma valor 0 si el paı́s es desarrollado y 1 si no lo es. El modelo resultante se presenta a continuación: T MI = 138.2 − 1.1A − 9.6 log(P IB) + 3.3Z con sb2R = 196.3 Todos los coeficientes estimados resultan significativos. Interprete dichos coeficientes y elija de manera razonada el mejor modelo de entre los propuestos en el segundo y cuarto apartados NOTA: Utilice α = 0.05 para todos los contrastes que sean necesarios. 48. Se ha realizado la regresión entre la anchura y la longitud del pie en centı́metros con datos de chicos y chicas de cuarto curso de la enseñanza secundaria. En la tabla se proporciona el resultado de la regresión. En el modelo se ha incluido una variable cualitativa que toma el valor 1 si la observación corresponde a una chica y 0 si es a un chico. Interpreta el resultado del análisis. Multiple Regression Analysis ----------------------------------------------------------------------------Dependent variable: Anch ----------------------------------------------------------------------------Standard T Parameter Estimate Error Statistic P-Value ----------------------------------------------------------------------------CONSTANT 4,29977 1,12692 3,81551 0,0005 Long 0,21311 0,048554 4,38913 0,0001 Chica -0,272394 0,127844 -2,13067 0,0402 ----------------------------------------------------------------------------Analysis of Variance 15 ----------------------------------------------------------------------------Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio P-Value ----------------------------------------------------------------------------Model 4,60164 2 2,30082 16,41 0,0000 Residual 4,90599 35 0,140171 ----------------------------------------------------------------------------Total (Corr.) 9,50763 37 R-squared = 48,3994 percent 49. Según la ecuación de los gases ideales, la presión ejercida por un gas a volumen y temperatura constante es proporcional a la masa. Se puede utilizar el siguiente procedimiento para estimar el peso molecular de un gas. Se almacena el gas en un recipiente de volumen constante, y se va soltando poco a poco gas, variando la presión, pero manteniendo la temperatura constante. En la tabla adjunta se proporcionan mediciones de la presión (con respecto a la atmosférica) y de la masa del gas para el árgon. Presión (psi) 52 49 44 39 34 29 25 21 19 19 11 0 Masa (g) 1, 028 0, 956 0, 88 0, 793 0, 725 0, 645 0, 593 0, 526 0, 5 0, 442 0, 373 0, 21 (a) Para estimar el peso molecular del árgon a partir de los datos, se propone el siguiente modelo de regresión Pi = αmi + ui , con ui ∼ N(0, σ 2 ). Obtener el estimador de máxima verosimilitud del parámetro α (b) Realizar el contraste H0 : α = 50 frente a H1 : α 6= 50 con nivel de significación 0.05. (c) Para el modelo del apartado 1, obtener un intervalo de predicción para la presión cuando la masa es igual a 1 gramo. (d) Se considera también el modelo alternativo Pi = β 0 + β 1 mi + ui con ui ∼ N(0, σ 2 ). 16 Obtener la varianza del estimador de E[Ph |mh ], es decir del valor medio de la presión Ph para una masa dada mh con ambos modelos. Si el modelo verdadero fuese el del primer apartado, ¿qué efecto tendrı́a sobre la predicción adoptar el modelo alternativo? 50. Se ha estimado un modelo de regresión con dos variables independientes y 150 observaciones obteniéndose la siguiente ecuación: ybi = −1.17 + 0.025 log x1 + 0.59 log x2 , sb2R = 2.48 b ,β b ]T para el modelo propuesto es La matriz de varianzas estimada de bb = [β 1 2 −1 .253 .201 T 2 X̃ X̃ sbR = . .201 .288 realiza el contraste general de regresión con α = 0.05: H0 : β 1 = β 2 = 0 H1 : algún β i es distinto de cero 51. En el modelo de regresión yi = β 0 + β 1 X1i + β 2 X2i + ui con las hipótesis habituales, explicar como se contrasta H0 : H1 : β1 = β2 β 1 6= β 2 52. Demostrar que en el modelo de regresión múltiple con k regresores y constante, el estadı́stico que contrasta H0 : β 0 = β 1 = β 2 = · · · = β k = 0 frente a H1 : algún β i 6= 0, si H0 es cierta es: F = n−k−1 Y TV Y T Y (I − V )Y k + 1 Fk+1,n−k−1 donde V = X(X T X)−1 X T e I es la matriz identidad de dimensión n × n. 53. En la tabla siguiente se muestra el resultado de un experimento para relacionar el calor generado en el proceso de endurecimiento del 13 muestras de cemento en función de su composición. Los regresores Xi corresponden al porcentaje de 4 componentes de la mezcla. 17 Fila X1 7 1 11 11 7 11 3 1 2 21 1 11 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Regresores X2 X3 X4 26 6 60 29 15 52 56 8 20 31 8 47 52 6 33 55 9 22 71 17 6 31 22 44 54 18 22 47 4 26 40 23 34 66 9 12 68 8 12 Calor Y 78.5 74.3 104.3 87.6 95.9 109.2 102.7 72.5 93.1 115.9 83.8 113.3 109.4 Modelo II Residuo vii -1.574 0.25 1.049 0.26 -1.515 0.12 -1.658 0.24 -1.393 0.08 4.048 0.11 -1.302 0.36 -2.075 0.24 1.825 0.18 1.362 0.55 3.264 0.18 0.863 0.20 -2.893 0.21 Modelo I Parámetros Constante X1 X2 X3 X4 Estimación 62.4 1.55 0.51 0.10 -0.14 Modelo II Desv. Tı́p. Estimadas 70.1 0.74 0.72 0.75 0.71 t 0.89 2.08 0.70 0.13 -0.20 Parámetros Constante X1 X2 Fuentes Grados Lib. Explic. Residual Total 2667.9 47.8 2715.7 4 8 12 t 23.0 12.1 14.4 Análisis de la Varianza Análisis de la Varianza Variabilidad Estimación 52.6 1.46 0.66 Desv. Tı́p. Estimadas 2.28 0.12 0.045 Var. F Fuentes Variabilidad 667.0 5.98 111.5 Explic. Residual Total 2657.8 57.9 2715.7 Grados Lib. 2 10 12 Var. F 1328.9 5.8 229.5 En las tablas se proporcionan dos modelos de regresión lineal, con las estimaciones de los parámetros, las desviaciones tı́picas estimadas de éstos y los estadı́sticos t de los contrastes individuales. Debajo se incluyen las tablas de análisis de la varianza de cada modelo. (a) Realizar los contrastes H0 : β i = 0 frente H1 : β i 6= 0 para los distintos parámetros en los dos modelos. Realizar el contraste conjunto H0 : β 3 = β 4 = 0 frente H1 : alguno de los dos es 6= 0. ¿Se puede concluir con éstos datos que X4 no influye significativamente en el calor Y ? (b) Estimar el modelo de regresión simple del calor Y y la variable explicativa X4 ¿Influye significativamente X4 en el calor Y ? Analizar este resultado e interpretarlo teniendo en cuenta el resultado del apartado anterior. (c) En la tabla superior se muestran los residuos del modelo II y los elementos de la diagonal de la matriz V = X(X T X)−1 X T . Indicar los residuos con mayor y menor varianza, justificando la respuesta. Si se vuelve a repetir los experimentos en estas dos 18 condiciones, dar un intervalo para la predicción de los nuevos valores de la variable dependiente (usar α = 0.05). 54. En un estudio de regresión simple con 35 observaciones ha resultado el siguiente modelo ŷ = 0.12 + 7.6 log(x), ŝR = 1.2, R2 = 0.37 Obtener el intervalo de confianza al 95% para el parámetro de la pendiente e indicar si su efecto es significativo.(El percentil 0.975 de la distribución t de Student con 33 grados de libertad es 2.03) 55. Los datos siguientes corresponden a la pérdida (P) por abrasión en gr/h y su medida de dureza (D) en grados Shore para 15 gomas de caucho de alta resistencia a la tensión (A) y otras 15 gomas de caucho con resistencia a la tensión baja (B): A A A A B B B B D D P P D D P P 75 53 128 221 45 89 372 114 55 61 66 71 71 81 86 60 64 68 79 81 56 206 175 154 136 112 55 45 166 164 113 82 32 228 68 83 88 59 71 80 82 51 59 65 74 81 86 196 97 64 249 219 186 155 341 340 283 267 215 148 Escribir el modelo estadı́stico, indicar los parámetros y explicar el procedimiento de estimación para estudiar con estos datos simultáneamente el efecto de la dureza y de la resistencia a la tensión (alta o baja) en las pérdidas por abrasión. Indicar cómo contrastar con el modelo propuesto que “las gomas de caucho con baja resistencia a la tracción tienen por término medio mayor pérdida que las gomas con resistencia a la tracción baja.” (Nota.- No se pide ningún cálculo numérico, los datos se presentan para ilustrar y describir el problema de forma precisa). 56. Sea x1 la altura del tronco de un árbol y x2 el diámetro del mismo en su parte inferior. El volumen y del tronco de árbol puede ser calculado aproximadamente con el modelo yi = αx1i x22i + ui , según el cual, el volumen del tronco es proporcional al volumen de un cono con las medidas x1i , x2i , siendo α el parámetro (desconocido) de proporcionalidad, más una componente de error aleatorio ui . La tabla siguiente contiene los datos (en metros y metros cúbicos) correspondientes a una muestra aleatoria de 15 troncos de una variedad de pino. 19 Obs. 1 2 3 4 5 6 7 8 x1i 10,1 11,3 20,4 14,9 23,8 19,5 21,6 22,9 x2i 0,117 0,13 0,142 0,193 0,218 0,236 0,257 0,269 x1i x22i 0,14 0,19 0,41 0,56 1,13 1,09 1,43 1,66 yi 0,062 0,085 0,204 0,227 0,47 0,484 0,623 0,722 x1i 19,8 26,8 21 27,4 29 27,4 31,7 Obs. 9 10 11 12 13 14 15 x2i 0,297 0,328 0,351 0,376 0,389 0,427 0,594 x1i x22i 1,75 2,90 2,60 3,90 4,40 5,00 11,2 yi 0,821 1,280 1,034 1,679 2,073 2,022 4,630 (a) Estimar α por máxima verosimilitud suponiendo que las variables ui tienen distribución normal de media cero, con la misma varianza e independientes. (b) Un tronco tiene una altura de 20 metros y un diametro de 0.25 metros, dar un intervalo de predicción de su volumen (95% de confianza). La varianza residual del modelo es 0,0058. (c) En el análisis de los residuos se observa que la varianza de los errores crece con el volumen del tronco. Para obtener homocedasticidad se propone el siguiente modelo transformado utilizando logaritmos neperianos, log yi = β 0 + β 1 log x1i + β 2 log x2i + ui El resultado de la estimación es: Parámetro β0 β1 β2 Estimación -1,45 1,14 1,86 0, 1250 0, 0212 −0, 0317 cb = 0, 0212 0, 0082 −0, 0051 M β −0, 0317 −0, 0051 0, 0042 y cb = b siendo M s2R (X T X)−1 (X es la matriz de los regresores transformados según el β modelo) La transformación logarı́tmica del modelo inicial (αx1i x22i ) implicarı́a que β 1 = 1 y β 2 = 2. Contrastar (nivel de significación 0.05) si estos dos valores son aceptables. (d) Con este modelo, dar un intervalo de predicción (95% de confianza) para el volumen del tronco del apartado 2 si la varianza residual es 0,0031. 57. La cantidad máxima yi de cierto compuesto disuelta en un litro de agua a temperatura xi sigue el modelo de regresión simple, yi = β 0 + β 1 xi + ui , dónde ui cumple las hipótesis de normalidad, homocedasticidad (Var(ui ) = σ 2 ) e independencia. Una muestra de n disoluciones diferentes han proporcionado los valores (yi , xi ). ′ Además se han medido las cantidades disueltas y1′ , y2′ , ..., ym en otra muestra de m disoluciones que se encontraban a la misma temperatura x0 . El valor x0 es desconocido. Estimar por máxima verosimilitud los parámetros β 0 , β 1 , σ 2 y x0 utilizando las n + m observaciones. 20 58. Explicar en qué consiste el problema de la multicolinealidad en el modelo de regresión: cómo se detecta, cómo se puede corregir y cuáles son sus efectos. 59. Ciertas propiedades del acero se mejoran sumergiéndolo a alta temperatura (T0 = 1525 o F ) en un baño templado de aceite (t0 = 95 o F ). Para determinar la influencia de las temperaturas del acero y del baño de aceite en las propiedades finales del material se han elegido tres valores de la temperatura del acero y tres del baño de aceite, 1450 o F 70 o F Temperatura acero (T ) 1525 o F Temperatura aceite (t) 95 o F o 1600 F 120 o F y se han realizado los siguientes experimentos: x1i x2i yi 0 0 0 0 -1 1 -1 0 0 0 0 -1 -1 1 49.2 49.4 47.0 49.5 28.2 88.6 54.9 1 0 0 -1 1 1 -1 1 0 0 31.3 59.2 43.6 41.9 58.0 dónde se ha utilizado la siguiente transformación (para simplificar cálculos) x1i = Ti − 1525 75 y x2i = ti − 95 . 25 Estimar el modelo de regresión yi = β 0 + β 1 x1i + β 2 x2i + β 3 x1i x2i + ui e indicar qué parámetros son significativos para nivel de significación 0.05, teniendo en cuenta que la desviación tı́pica residual es b sR = 9.6. Estimar y contrastar el modelo anterior empleando las variables originales Ti y ti . 60. Se ha ajustado un modelo de regresión para estudiar el efecto de la velocidad de corte (x1 ) y el caudal de refrigerante (x2 ) en la duración (y) de una herramienta de corte. Las tres variables se han transformado mediante el logaritmo neperiano y el modelo estimado ha sido: log y = 18, 30 − 5, 050 log x1 (1,65) (0,19) − 3, 750 log x2 (0,34) (entre paréntesis se proporcionan las desviaciones tı́picas estimadas de los coeficientes estimados del modelo). El número de observaciones es 32 y la desviación tı́pica residual b sR = 0, 24. Obtener los intervalos de confianza (99%) para los tres parámetros de la ecuación de regresión. El coeficiente de determinación es R2 = 0, 96, realizar el contraste conjunto de los parámetros correspondientes a las dos variables explicativas. 61. Se ha ajustado el siguiente modelo de regresión múltiple con una muestra de 86 vehı́culos, de los cuales 31 son japoneses , 41 norteamericanos y 14 europeos, dónde la variable dependiente es el consumo, y los regresores: Pot (potencia) está expresada en unidades de 100 Cv, el 21 Peso en Toneladas, ZJ toma el valor 1 si el coche es japonés y cero en los demás, y ZE toma el valor 1 para los coches europeos y cero en los demás. yb = 3.305 + 0.843 Pot + 3.829 4.791e − 1 5.054e − 2 (X T X)−1 = −3.794e − 1 −9.157e − 2 −4.682e − 2 Peso + 0.440 ZJ + 1.127 ZE sb2R = 0.506, 5.054e − 2 −3.794e − 1 −9.157e − 2 1.595e − 1 −1.931e − 1 −3.443e − 3 −1.931e − 1 4.646e − 1 5.210e − 2 −3.443e − 3 5.210e − 2 6.667e − 2 −1.262e − 2 2.865e − 2 2.744e − 2 R2 = 75.7% −4.682e − 2 −1.262e − 2 2.865e − 2 2.744e − 2 9.759e − 2 Dar el intervalo de confianza para el consumo previsto de un coche norteamericano con una potencia de 120 Cv y 1600 Kg de peso. 62. El modelo de regresión múltiple que relaciona el calor generado en el proceso de endurecimiento (variable dependiente) de 13 muestras de cemento en función de su composición x1 , x2 , x3 y x4 , es ybi = 62.4 + 1.55 x1i + 0.51 x2i + 0.10 x3i − 0.14 x4i (70.1) (0.74) (0.72) (0.75) (0.71) (entre paréntesis la desviación tı́pica estimada de las estimaciones de los parámetros). Abajo se proporciona el coeficiente de determinación R2 de los 15 modelos de regresión diferentes que se obtienen según los regresores elegidos. R2 Variables en el Modelo 53.3948 x1 66.6268 x2 28.5873 x3 67.4542 x4 97.8678 x1 , x2 54.8167 x1 , x3 97.2471 x1 , x4 84.7025 x2 , x3 68.0060 x2 , x4 93.5290 x3 , x4 98.2285 x1 , x2 , x3 98.2335 x1 , x2 , x4 98.1281 x1 , x3 , x4 97.2820 x2 , x3 , x4 98.2376 x1 , x2 , x3 , x4 ¿Qué variables influyen significativamente en el calor generado? Justificar la respuesta. ¿Qué modelo seleccionarı́as para predecir el calor generado? 63. Se desea estudiar la relación entre el sueldo de 100 personas, en función del número de años que llevan trabajando y el sector al que pertenecen, pudiéndose dividir el sector en 22 S=servicios, I=industria, A=agricultura. Escribir el modelo de regresión entre el sueldo (variable respuesta) y el resto de las variables. Se estima este modelo de regresión obteniendo una varianza residual sb2R = 0.25. Con el objetivo de contrastar si el sector influye en el sueldo se estima otro modelo de regresión que no contiene ninguna variable de sector, para este ′ modelo se obtiene una varianza residual b sR2 = 0.4. Contrastar si el sector influye en el sueldo que perciben los empleados (α = 0.05). 64. En un modelo de regresión múltiple Y = Xβ+U se realiza la transformación de los regresores Z = XA, donde X es la matriz de los regresores, y A una matriz cuadrada de rango máximo. Calcular la estimación de los coeficientes del nuevo modelo Y = Zβ N + U en función de los antiguos. 65. Se ha estimado el siguiente modelo de regresión entre la variable y y los regresores x1 , x2 y x3 , ŷ = 61.1 + 46.1 log x1 + 83.1 log x2 + 27.9 log x3 , ŝR = 5.49 Teniendo en cuenta que el número de observaciones 0.1939 −0.0892 −0.0892 0.1924 (X T X)−1 = −0.0887 −0.0125 −0.1534 0.0010 es n = 60 y que −0.0887 −0.1534 −0.0125 0.0010 0.2093 −0.0066 −0.0066 0.2613 Dar un intervalo de confianza para los 4 parámetros de la ecuación de regresión y para la varianza del modelo (α = 0.05). 66. Se ha estimado un modelo de regresión múltiple para explicar el consumo de combustible de automóviles en función del peso, la potencia y el lugar de fabricación. La muestra es de 86 vehı́culos, de los cuales 31 son japoneses (J), 41 norteamericanos (N) y 14 europeos (E). yb = 3.305 + 0.843 Pot + 3.829 4.791e − 1 5.054e − 2 (X T X)−1 = −3.794e − 1 −9.157e − 2 −4.682e − 2 Peso + 0.440 ZJ + 1.127 ZE , sb2R = 0.506, 5.054e − 2 −3.794e − 1 −9.157e − 2 1.595e − 1 −1.931e − 1 −3.443e − 3 −1.931e − 1 4.646e − 1 5.210e − 2 −3.443e − 3 5.210e − 2 6.667e − 2 −1.262e − 2 2.865e − 2 2.744e − 2 R2 = 75.7% −4.682e − 2 −1.262e − 2 2.865e − 2 2.744e − 2 9.759e − 2 La variable dependiente, el consumo, está medida en litros cada 100 km, Pot es la potencia y está expresada en unidades de 100 Cv, el Peso en Toneladas, ZJ toma el valor 1 si el coche es japonés y cero en los demás, y ZE toma el valor 1 para los coches europeos y cero en los demás. Realizar el contraste general de regresión y los contrastes individuales para el modelo anterior. Interpretar el resultado. 67. En una muestra de 31 árboles se ha medido la altura (x1i ), el diámetro del árbol a un metro de altura sobre el suelo (x2i ) y el volumen de madera del tronco (yi ) y se ha estimado el siguiente modelo de regresión log(yi ) = β 0 + β 1 log(x1i ) + β 2 log(x2i ) + ui . Los resultados se muestran en las tablas siguientes: 23 Análisis de regresión múltiple Variable dependiente: Log(Volumen) Regresor Estimación Desviación tı́pica Estadı́stico t Nivel crı́tico Ordenada en el origen -6,63162 0,79979 -8,2917 0,0 Log(Altura) 1,11712 0,20444 -5,4644 0,0 Log(Diámetro) 1,98265 0,07501 26,4316 0,0 Fuente Modelo Residual Total Análisis de la varianza Suma de cuadrados G. de L. Varianzas Cociente F Nivel crı́tico 8,12323 2 4,06161 613,19 0,0 0,18546 28 0,00662 8,30869 30 Aproximando el volumen del árbol por el de un tronco cónico, el volumen debe ser proporcional a kx1i x22i y tomando logaritmos log(k) + log(x1i ) + 2 log(x2i ). Realizar los siguientes contrastes de hipótesis con nivel de significación 0,05: ′ H0 : β 1 = 1 H0 : β 2 = 2 . H1 : β 1 6= 1 H1′ : β 2 6= 2 68. En la tabla siguiente se presenta la estimación de la regresión entre el resultado en la prueba del salto de longitud de 34 atletas y los tiempos de estos mismos atletas en las pruebas de 100 metros lisos, 110 metros valla, 400 metros y 1500 metros. Constante X1 (100 m) X2 (110 m) X3 (400 m) X4 (1500 m) Coeficientes b β Desv. T. i 17.9 2.12 -.462 .266 -.181 .124 -3.39E-02 .070 -4.47E-03 .004 t p-valor 8.45 0.000 -1.73 0.093 -1.45 0.155 -.485 0.631 -1.03 0.312 La variabilidad total de los datos es 4.613, la variabilidad explicada 2.199 y la variabilidad residual 2.413. Realizar el contraste general de regresión, e interpretar el resultado del contraste y los contrastes individuales de la tabla. 24