π , G , ζ(n) , γ

π , G , ζ(n) , γ
Edgar Valdebenito
abstract
In this paper we give some formulas related with the numbers: π (pi) , G (catalan) , ζ(n) , γ (EulerMascheroni).
Keywords: Number pi , Catalan constant , Euler-Mascheroni constant , Function zeta , Double integrals .
Resumen
En este artículo se muestran algunas fórmulas relacionadas con los números: π , G , ζ(n) , γ.
1 Introducción
En esta nota se muestran fórmulas y relaciones que involucran constantes clásicas como son :
(-1)n
∞
π=
n=0
(-1)n
∞
G=
n=0
n=1
n2
∞
ζ(3) = 
n=1
1
2
1
+
π2
1
∞
n→∞
(2)
(2 n + 1)2
ζ(2) = 
γ = lim 1 +
(1)
2n+1
3
=
(3)
6
1
(4)
n3
+ ... +
1
- ln n
n
(5)
En algunas fórmulas aparecen funciones especiales :
∞
ζ(s) = n-s , Re(s) > 1
n=1
la función de Mobius μ(n) , la función de Euler ϕ(n) , los polinomios de Legendre Pn (x) , .., etc.
se muestran algunas integrales dobles que involucran constantes clásicas.
1
(6)
2 El número π , el número G , las funciones ϕ(n) y μ(n)
Una de las funciones aritméticas más importantes en la teoría analítica de los números es la función de
Mobius μ(n) que se define de la siguiente manera :
1
si n = 1
(-1)
si n es el producto de k primos distintos
0
si n tiene algún divisor cuadrado mayor que 1
k
μ(n) = 
(7)
la función de Euler ϕ(n) se define como el número de enteros positivos primos con n , y menores o
iguales que n. la función ϕ(n) se puede escribir como :
μ(d)
ϕ(n) = n 
dn
(8)
d
tres fórmulas que relacionan las constantes π , G , y las funciones ϕ(n) y μ(n) son :
1
G
π
=
4
(-1)n μ(2 n + 1)
(9)
n=1
(2 n + 1)2
∞
(-1)n ϕ(2 n + 1)
=4+4
G
π
∞
=1+
(10)
(2 n + 1)2
n=1
n
-2
1 + ∑∞
n=1 (-1) ϕ(2 n + 1) (2 n + 1)
n
-2
1 + ∑∞
n=1 (-1) μ(2 n + 1) (2 n + 1)
(11)
3 La constante G y la función w(x)
Una representación integral para la constante G es :
1
π
G=
donde w(x) es la función inversa de y =
tan-1 x
4
+
w(x) ⅆ x
(12)
π/4
, 0 < x ≤ 1 , y(0) = 1.
x
La función w(x) satisface la ecuación diferencial :
w (1 + w2 )
ⅆw
=
ⅆx
1 - x (1 + w2 )
, w
π
=1
(13)
≤x≤1
(14)
(1 - x)2 + ...
(15)
4
La función w(x) se puede representar como :
∞
w(x) =
an (1 - x)n ,
n=1
w(x) =
an = 3,
3 (1 - x) +
27
5
π
4
27 1377 1809 4 313 493
,
,
,
, ...
5 175 175 336 875
2
(16)
4 Una serie de Fourier
Recordamos una serie de fourier :
1-
1 π
∞ 1
nπ
, L ∈ ℕ - {1}
=  sen
L 2 n=1 n
L
(17)
la serie (17) se puede escribir como :
1-
1 π
L L
L-1
m=1
2 L-1
1
N
=  sm 
k=0
2k L+m
1
N
+  sm 
m=L+1
k=0
∞
2k L+m
L-1
+  
k=N +1 m=1
sm
2k L+m
2 L-1
+ 
m=L+1
sm
2k L+m
(18)
donde
N ∈ ℕ0 , sm = sen
mπ
, m = 1, 2, ..., 2 L, sL = s2 L = 0
L
(19)
5 La constante G
Algunas series y relaciones que involucran a la constante de catalan :
G2 +
G2 m
π4
96
π4
96
∞
G = 2 
k=1 n=1
(-1)n+m
n
∞
= 2 
n=0 m=0
∞
((2 n + 1) (2 m + 1))2
(-1)n+m
∞
=2 
n=0 m=n+1
(-1)n n
(2 n + 1)k+2
(20)
((2 n + 1) (2 m + 1))2
(-1)n
∞
+
n=0
(2 n + 1)m+2
, m∈ℕ
(21)
(22)
La función beta de Dirichlet se define por :
∞
β(s) = (-1)k (2 k + 1)-s , Re (s) > 0
(23)
k=0
de (23) se tiene :
β(2) = G
(24)
La ecuación (22) se puede escribir como :
1
m
∞
G = 2 (-1)n n 
n=1
k=1
(2 k + 1)k+2
+ β(m + 2) , m ∈ ℕ
(25)
Algunas series :
2n+1
∞
G=8
n=0
∞
G=2
n=0
(26)
((4 n + 1) (4 n + 3))2
1
∞
2
(4 n + 1) (4 n + 3)
3
+2
n=0
1
(4 n + 1) (4 n + 3)2
(27)
∞
G=8
n=1

4 n2 - 1
1
n=1
(-1)m-1
n
(2 n - 1)2

n=1
n=1
(28)
m
(-1)n-1
∞
+
(4 n2 - 1)2
(29)
(30)
1
∞
m
m=1
m=1
m
m=1
-2

(-1)m-1
n

(4 n2 - 1)2
n=1
(2 n + 1)2
(4 n2 - 1)2
4 n(n + 1) - 1
∞
G=
∞
n=1
(-1)m-1
n
(-1)n-1 n
∞
+4
4 n2 - 1
n=1
n=1
2
n
1
∞
-
m
m=1
∞
G = 4 (-1)n-1
G=
(-1)m-1
n
2
n
(-1)m-1
n
(4 n2 - 1)2

m=1
(31)
m
Otra representación para G es :
m
G = 2k 
k=0
m
 H(m, k) , m ∈ ℕ0
k
(32)
donde
(-1)n nk
∞
H(m, k) = 
m+2
n=0 (2 n + 1)
G = 1 + 4

0
n=1
(33)
(-1)n n x
∞
1
, m ∈ ℕ0 , 00 ≡ 1
(2 n + x)3
ⅆx
(34)
Algunas desigualdades :
1-x
π
tan-1 x + (1 - x)
tan-1 x , 0 ≤ x ≤ 1
(35)
n-1 1
k
1 n-1 1
k
< G < +  tan-1
, n∈ℕ
+  tan-1
n
n k=1 k
n
4 n k=1 k
(36)
4
<G<x+
x
π
π 2 + 3 x - x2
8
1+x
3 x - x2
<G<
2-2x
1-x
+
2x
tan-1 x +
x
1-x
tan-1
1-x
1+x
(37)
0<x<1
6 Número π ,polinomios de Legendre , integral doble
Los polinomios de Legendre Pn (x) se definen por la fórmula :
1
Pn (x) =
ⅆn
2n n ! ⅆ x n
n
(38)
Pn (x) ⅆ x ⅆ y , n ∈ ℕ0
(39)
x2 - 1  , n ∈ ℕ0
Una integral doble para π es :
1
1
2
π = 4 (-1)n   x y
0
0
((3 + y2 ) / 2)n
(-y2 / 2)n
donde
(x)0 = 1 , (x)n = x (x + 1) ... (x + n - 1)
4
(40)
7 Número π , suma de radicales
Para m ∈ ℕ, se tiene :
⟵------m-radicales------⟶
π
4
1+
2-
2-
2
2+
2-
2
2+
2+
2 + ... +
2
∞
+ ... +
+
n=0 k=1
2
2+
2+
2k
m
= 
2
2+
2+
2 + ... +
(41)
2
2k (2 n + 1) - 1
2
⟵------m-radicales------⟶
⟵------m-radicales------⟶
π
4
1-
2-
2-
2
2+
2-
2
2+
2
2+
2 + ... +
2
- ... + (-1)m-1
+
∞
n=0 k=1
2+
2+
(-1)k-1 2k
m
= 
2
2+
2+
2 + ... +
2
(42)
2k (2 n + 1) - 1
2
⟵------m-radicales------⟶
8 El producto de Euler para la función zeta ζ(s)
Recordamos el clásico producto de Euler para la función zeta de Riemann :
1
ζ(x) = 
p
1 - p-x
, x>0
(43)
la funció zeta satisface la ecuación :
ζ(2 k) =
22 k-1 π2 k Bk
, k∈ℕ
(44)
(2 k) !
donde Bk son los números de Bernoulli :
1 1 1 1 5
Bk =  ,
,
,
,
, ...
6 30 42 30 66
(45)
combinando las fórmulas (43) y (44) se tiene :
1 2 (2 k) !
π=
2
1/2 k
Bk
1 - p-2 k 
-1/2 k
, k∈ℕ
(46)
p
El producto de Euler se puede escribir como :
1
ζ(x) = 
p
1 - p
-x/2
 (1 + p-x72 )
, x>0
(47)
Si p(n) representa el n - ésimo número primo, entonces se tiene :
m
1
ζm (x) = 
n=1
1 - (-1)n-1  p
donde [x] es la función parte entera , y se tiene :
5
n+1
2

-x/2
, m ∈ ℕ, x > 0
(48)
lim ζm (x) = ζ(x), x > 0
(49)
m→∞
otra fórmula es :
1 2 (2 k) !
π(k, m) =
2
1/2 k
(ζm (2 k))1/2 k , k, m ∈ ℕ
Bk
(50)
lim π(k, m) = π , k ∈ ℕ
(51)
m→∞
para el caso particular k = 1 , la función π(1, m) tiene la siguiente representación :
6
π(1, m) =
ζm (2) , m ∈ ℕ
(52)
π (1, m)
3.4
3.3
3.2
3.1
3.0
2.9
10
20
30
40
50
60
10
20
30
40
50
60
m
π (1, m)
3.4
3.3
3.2
3.1
3.0
2.9
m
9 Número π , arcotangente , particiones
Si P(n) representa el número de particiones de un entero n , se tiene :
π
6
3
∞
+ (-1)n-1 tan-1
3n
n=2
= tan-1
n-1 -n
3 ∑∞
3 P(2 n - 1)
n=1 (-1)
n -n
P(2 n)
1 + ∑∞
n=1 (-1) 3
(53)
10 Integrales dobles
3
π=
3
2 (b - a3 )

x2 + y2 ⅆ x ⅆ y
(54)
R(a,b)
R(a, b) = (x, y) ∈ 2 : a2 ≤ x2 + y2 ≤ b2  , 0 ≤ a < b
6
(55)
un caso particular de (54) con a = 1, b = 2, es :
3
π=
14

x2 + y2 ⅆ x ⅆ y =
R(1,2)
3
14

x2 + y2 ⅆ x ⅆ y
(56)
1≤x2 +y2 ≤4
la gráfica de la región R(1, 2) es :
1≤x 2 +y 2 ≤4
2
1
y
0
-1
-2
-2
0
-1
1
2
x
de (56) se obtiene :
3
π=
1
56
1
x
R
(57)
ⅆxⅆ y
+

y
R = (x, y) ∈ 2 : 1 ≤ x + y ≤ 4, x > 0, y > 0
(58)
R
5
4
y
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
x
R
ⅆxⅆ y =
x (1 + y)
π2 ln 2
7
-ln(1 - y)

4
ζ(3) -
6
(ln 2)3
+
R = (x, y) ∈ 2 : 1 - x ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 1
7
3
(59)
(60)
R
1.0
0.8
y
0.6
0.4
0.2
0.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
36 + x2 - y2
R
144 - (x2 - y2 )2
12
(ln 3)2
-
4
(ln 3)2
ζ(2)
=
-
2
4
R = (x, y) ∈ 2 : 0 ≤ x + y ≤ 2, 0 ≤ x - y ≤ 2
(61)
(62)
R
2
1
0
y

π2
ⅆxⅆ y =
-1
-2
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
x
π2
1

R
ⅆxⅆ y =
xy
12
(ln 2)2
-
2
(ln 2)2
ζ(2)
=
2
-
2
R = (x, y) ∈ 2 : 0 ≤ 2 - x ≤ y, 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1
8
(63)
(64)
R
1.0
0.8
y
0.6
0.4
0.2
0.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
x
sean a < b , c < d , se tiene :
π
3
d
3
c
d
(b - a)2 (d - c) (y - c)
b
= 
((b - a) (d - c))3 - ((x - a) (y - c))3
a
c
((b - a) (d - c))2 + ((x - a) (y - c))2
a
d
c
c
(66)
ⅆxⅆ y
(67)
(b - a) (d - c) - (x - a) (y - c)
a
b ln((b
d
ⅆxⅆ y
1
b
ζ(2) =  
2 ζ(3) =  
(65)
(b - a) (d - c)
b
G = 
ⅆxⅆ y
- a) (d - c)) - ln((x - a) (y - c))
ⅆxⅆ y
(68)
(b - a) (d - c) - (x - a) (y - c)
a
d
ζ(2) ln((b - a) (d - c)) - 2 ζ(3) =  
c
ln((x - a) (y - c))
b
ⅆxⅆ y
a
(b - a) (d - c) - (x - a) (y - c)
(69)
Algunas integrales en la región :
R = (x, y) ∈ 2 : 1 - x ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 1
(70)
1
ln(1 - y)
ζ(3) = -  
ⅆxⅆ y
2
xy
(71)
R
1-x
γ = - 
R
x y ln(1 - y)
ⅆxⅆ y
(72)
1
G = 
R
x (2 - 2 y + y2 )
ⅆxⅆ y
(73)
1
ⅆxⅆ y
ζ(2) =  
R
1
π
4
(74)
xy
= - 
R
ln
x (1 + (1 - y)2 ) ln(1 - y)
(75)
1-x
π
4
ⅆxⅆ y
= 
R
x (2 - y) ln(1 - y)
9
ⅆxⅆ y
(76)
11 Número π , integral triple
π
4
1
1
1
=  ζ2 + x2  ⅆ x -   
0
0
0
1 (1
∞
n=2 m=0
ⅆxⅆ yⅆz
(77)
(-1)m (ln n)m
∞
2
 ζ2 + x  ⅆ x = 1 +  
0
2
(1 - x y) Γ(2 + z2 )
0
1
- x) (-ln(x y))z
(78)
m ! (2 m + 1) n2
12 Número π , serie
1
9
=
π
32
∞
+ 2
n=1
2
2n+2
2n+1
2
2n+1
2n
- 22
n+2
n+3
2n-2
(79)
13 La función ζ(s) , números primos , números compuestos
ζ(s) = 1 +  p-s + c-s
p∈P
(80)
c∈C
donde P = {2, 3, 5, 7, 11, ...} es el conjunto de los números primos y C = {4, 6, 8, 9, 10, 12, ...} es
el conjunto de los números compuestos.
1
∞
ζ(s) = 1 + 
psn - 1
n=1
+  n-s
(81)
n∈A
donde pn es el n - ésimo número primo y :
A = {n ∈ ℕ : n ≠ pm , p ∈ P, m ∈ ℕ} = {6, 10, 12, 14, 15, 18, 20, ...}
(82)
14 Algunas representaciones integrales
Recordamos un resultado del análisis :
∞
Sea an > 0 , n ∈ ℕ tal que : 
n=1
1
an
∞
y
n=1
(-1)n-1
son convergentes, entonces :
an
∞
π
n=1
∞
π
n=1
1
an
= 2
(-1)n-1
an
1
∞ ∞
0
= 2

n=1
2
x + a2n
∞ ∞
0
10

n=1
ⅆx
(83)
(-1)n-1
x2 + a2n
ⅆx
(84)
Ejemplos :
π3 = 16 
π G = 2

0
n=1
x + (2 n - 1)4
0
n=1
x2 + (2 n - 1)4
1
∞ ∞

0
= 2
2
x + n2 s
n=1
π e = 2

0
n=1
ⅆx
(86)
x 2 + n2 s
n=0
(87)
ⅆx , s> 0
(88)
1

x2 + (n !)2
ⅆx
(89)
ⅆx
(90)
(-1)n
∞ ∞

0
(85)
ⅆx , s> 1
(-1)n-1
∞ ∞
∞ ∞
0
ⅆx
(-1)n-1

π ζ(s) 1 - 21-s  = 2 
e
2
∞ ∞
π ζ(s) = 2 
π
1
∞ ∞
n=0
x2 + (n !)2
15 Número π , función ζ(2n+1) , números de Euler
π2 n+1 ζ(2 n + 1) En = 22 n+1 
∞
0
∞
x2 n 
m=1
1
cosh(m x)
ⅆx , n ∈ ℕ
En = {1, 5, 61, 1385, 50 521, ...}
2n
(91)
(92)
k
En = (-1)n+k 2-k 
2n+1
k
    (k - 2 m)2 n , n ∈ ℕ
k+1
m
(93)
m=0
k=0
16 Número π , función ζ(s) , números de Bernoulli
Sea m ∈ ℕ - {1} y m ℕ = {m, 2 m, 3 m, 4 m, ...} , se tiene :
ζ(s) (1 - m-s ) =
 n-s , s > 1
(94)
n∈ℕ-m ℕ
Para s = 2 k, k ∈ ℕ se tiene :
22 k-1 Bk π2 k
(2 k) !
(-1)m-1
Bm =
21-2 m - 1
2m

n=0
1 - m-2 k  =  n-2 k
(95)
ℕ-m ℕ
1
n+1
n
(-1)k 
k=0
1
n
 k+
k
2
2m
, m∈ℕ
17 Función ζ(x) , constantes , integrales
11
(96)
s
tan-1 xn 
11 ∞
G ζ( p + s) = 
0
x

11 ∞
G ζ(3) = 
π ln 2
2
0
x
0
2
0
ζ( p + s) = 
0
x
2
∞
0
(100)
0
ⅆ x , s > 0, p > 1
np
11 ∞
γ(ζ(2 s) - 1) = -
(99)
s
n=1
ζ(3) = 
ⅆx
n2
n=1
senxn 

π
ⅆ x , s > 0, p > 1
sen-1 (xn )

x
11 ∞
π
2
np
11 ∞
ζ(3) = 
(98)
s
sen-1 xn 
n=1
π ln 2
ⅆx
n2
n=1

x
(97)
tan-1 (xn )

11 ∞
ζ( p + s) = 
ⅆ x , s > 0, p > 1
np
n=1
sen(xn )

x
(101)
ⅆx
n2
n=1
∞
ns
(102)
s
ln x e-x xn -1 ⅆ x , s > 1 / 2
(103)
n=2
18 La función G(z)
Definición :
1
0
1
1
G(z) =  
0
2
1
2
z +x y
ⅆxⅆ y =
2
z
1/z tan-1

0
x
ⅆx , z > 0
(104)
x
y se tiene : G(1) = G (constante de catalan) . para 0 < z < 1, se tiene :
1
G
G(z) =
1/z tan-1
+
z

z
1
x
ⅆx
(105)
ⅆx
(106)
x
para z > 1 se tiene :
1
G
G(z) =
z
z

1
tan-1 x
1/z
x
algunas fórmulas :
1
1
  sech
0
0
1
xy
2
∞
ⅆ x ⅆ y = 4 π (-1)n (2 n + 1) G((2 n + 1) π)
∞
1
n
  sech(x y) ⅆ x ⅆ y = π (-1) (2 n + 1) G n +
0
1
0
n=0
1
  sech
0
0
1
1
4
x yπ
2
ⅆxⅆ y =
π
  sech(x y π) ⅆ x ⅆ y =
0
0
(107)
n=0
1
2
π
(108)
∞
G + (-1)n (2 n + 1) G(2 n + 1)
(109)
n=1
1
π
∞
(-1)n (2 n + 1) G n +
n=0
12
1
2
(110)
1
0
0
0
1
0
0
1
0
1
(111)
n=0
n=0
tanh
1
0
2
tanh(x y) ⅆ x ⅆ y = 2 G n +
4
x yπ
ⅆxⅆ y =
2
xy
 
ⅆ x ⅆ y = 4 G((2 n + 1) π)
∞
xy
1
1
0
1
1
∞
xy
tanh
xy
1
 
 
1
1
 
π
tanh(x y π) ⅆ x ⅆ y =
xy
1
2
π
(112)
∞
G + G(2 n + 1)
(113)
n=1
2
π
1
∞
G n +
n=0
(114)
2
19 Número π , fórmulas
∞
π = A( j)  1 -
(-1)m s( j, m)
(115)
2m+3
m=0
donde A( j) y s( j, m) se definen como :
A( j) = 4
j
1
j+1
1
+
k=1
2
k +k+1
, j∈ℕ
(116)
j
s( j, m) =
( j + 1)-2 m-3 + ∑k=1 (k 2 + k + 1)-2 m-3
j
n
-1
-2 n-1
+ ∑k=1 (k 2 + k + 1)-2 n-1 
∑m
n=0 (-1) (2 n + 1) ( j + 1)
, j∈ℕ
(117)
para j = 1 se tiene :
10
π=
3
(-1)m (2-2 m-3 + 3-2 m-3 )
∞
 1m=0
n
-1 -2 n-1
(2 m + 3) ∑m
+ 3-2 n-1 )
n=0 (-1) (2 n + 1) (2
(118)
∞
π = 8  2 - 1 (2 m + 3) Pm + Qm
2
(119)
m=0
donde
Pm =
Qm =
Am Am+1 - 2 Bm Bm+1
(120)
A2m - 2 B2m
Am Bm+1 - Am+1 Bm
(121)
A2m - 2 B2m
m
Am = (-1)n an
n=0

(2 k + 1)
(122)
(2 k + 1)
(123)
0≤k≤m,k≠n
m
Bm = (-1)n bn
n=0

0≤k≤m,k≠n
an+1 = 3 an - 4 bn , bn+1 = -2 an + 3 bn , a0 = -1, b0 = 1
13
(124)
2
π = 8  2 - 1
2
51
4 3735
2 - 52
3
2 - 3098
2-
2+
2 + ... +
2
(125)
2
∞
π = 2m
...
8743
20

(126)
n=0
⟵------m-radicales------⟶
2+
2+
2 + ... +
2
⟵----(m+n+1)-radicales----⟶
m ∈ ℕ0
π=1+
π
3
=1-
2
2
2+
2
2
2+
+
2
2+
2-
2
-
2
2+
+
2
2-
2
2-
2
2+
2
2-
∞
m=1 n=1
2+
+
∞
+ ... + 2  
2
2
2
2+
2+
2
∞
∞
- ... + 2  
2
m=1 n=1
(-1)n-1 am
(127)
22 m n2 - 1
(-1)n+m am
(128)
22 m n2 - 1
en las fórmulas (127), (128) , se tiene :
a1 = 1 , am =
1
2-
2
2+
2 + ... +
2
, m ∈ ℕ - {1}
(129)
⟵-----(m-1)-radicales-----⟶
π
4
∞
=1-
n=1
(-1)n-1
n
n

k=1
1
∞
n+k
(-1)n-1
+
n=1
n
1
n

k=1
(2 k)3 - 2 k
(130)
20 Suma de arcotangentes
∞
∞
(-1)n-1 tan-1 x2 n-1  = (-1)n-1 an x2 n-1 , x < 1
n=1
(131)
n=1
τ(2 n-1)
an = 
k=1
(-1)d(2 n-1,k)-1
d(2 n - 1, k)
, n∈ℕ
(132)
τ(2 n - 1) = número de divisores de 2 n - 1
(133)
d(2 n - 1, k) = k - ésimo divisor de 2 n - 1
(134)
algunos valores de an son :
14
4 6 8 13 12 14 8 18 20 32 24 31 40 30
, , ,
,
,
, ,
,
,
,
,
,
,
, ...
3 5 7 9 11 13 5 17 19 21 23 25 27 29
an = 1,
(135)
ejemplos particulares :
1
π
6
π
4
3
π
3
n=2
3 (-1)
n-1
tan
3
6
2
2 n-1
+
3 (-1)
n-1
tan
-1
+ tan
3
π
6
2 n-1
3
3 (-1)n-1 tan-1
3n
n=2
3
n=1
+ 15
3
4
n
-9
n
225
1
27
(138)
n
(139)
(140)
(-1)n-1 3n
∞
=
, x < 1
3
n
16
∞
n=1
(137)
2 n-1
3
= (-1)n-1 an 2
(2 n - 1) (1 + x4 n-2 )
∞
+
n=1
(-1)n-1 x2 n-1
∞
2
1
+
∞
9
n=1
1
2 n-1
= (-1)n-1 an 4
3
-1
(-1)n-1 tan-1 x2 n-1  = 
n=1
2 n-1
15
- tan
∞
n=1
3
-1
(136)
n=1
= (-1)n-1 an
2 n-1
2 n-1
2
n=2
3
∞
= (-1)n-1 an 3-n
∞
2 n-1
3
∞
1
+ tan-1
4
n=2
π
1
3
-1
3n
n=2
∞
+ (-1)n-1 tan-1
∞
+
6
3
3
∞
(-1)n-1 tan-1
+
(2 n - 1) (1 + 32 n-1 )
(141)
21 Número π , sucesión , integral
La constante pi se puede representar por la siguiente fórmula :
∞
π = 6 (-1)n
n=0
1 3
an
n!

2
2
x2 n e-x 1+x  ⅆ x
0
(142)
donde
sea bn =
an
n!
an+1 = 2 n an - n2 an-1 , n ∈ ℕ , a0 = 1, a1 = 0
(143)
an = {1, 0, -1, -4, -15, -56, -185, ...}
(144)
, n ∈ ℕ0 , se tiene :
2n
bn+1 =
n+1
n
bn -
n+1
bn-1 , n ∈ ℕ, b0 = 1, b1 = 0
15
(145)
bn
1.0
0.5
10
20
30
40
50
60
70
n
-0.5
sea cn = (-1)n bn , n ∈ ℕ0 , se tiene :
2n
cn+1 = -
n
cn -
n+1
cn-1 , n ∈ ℕ , c0 = 1, c1 = 0
n+1
(146)
cn
1.0
0.5
10
20
30
40
50
60
70
n
-0.5
1 3
In = 
1
In =
2
1/3

3-n
In =
2
2
3
0
2
x2 n e-x 1+x  ⅆ x , n ∈ ℕ0
(147)
xn-1/2 e-x/(1+x) ⅆ x , n ∈ ℕ0
(148)
0
1
n-1/2 -x/(3+x)
e
ⅆ x , n ∈ ℕ0
 x
0
3-n
0 < In <
, n ∈ ℕ0
3 (2 n + 1)
(149)
(150)
22 La constante γ , fórmulas
Algunas representaciones para la constante γ :
∞
γ =
-x
x e-x-e ⅆ x
-∞
16
(151)
∞
γ =
0
(-1)n-1
∞
γ=
e-x ln x ⅆ x
cos x -
1
(-1)n-1
∞
γ = 1 - ln 2 + 
(-1)n-1
∞
γ = -ln 2 + 
n! n
n=1
(-1)n-1
γ=
n! n
n=1
1
-2 
0
(154)
1
1+x x
ⅆx
(155)
1
ⅆx
1+x x
1
1
(156)
ⅆx , k ∈ ℤ
(157)
x
1 xn (1
- x y)
∞ e-x
+ p q
n! n
(158)
ⅆ yⅆx n ∈ ℕ
1-x
0
(-1)n (q a p n - p aq n )
n=1
1
1
e-x -
ⅆx
2k
1
∞
1
1+x x
x
∞ e-x
k
γ = Hn - ln(n + 1) +  
( p - q) γ = 
1
-
∞
-
(153)
sen x
∞
-
(2 n + 1) ! (2 n)
n=1
(152)
0
∞
-
(2 n) ! (2 n)
n=1
x
x ex-e ⅆ x
1
(-1)n-1
∞
∞
∞
-
n! n
n=1
γ = -ln 2 + 
∞
-x
x e-x-e ⅆ x - 
p
q
- e-x
ⅆx
x
a
(159)
p>0, q>0, a>0
1
x y - (1 - y ln x)-2
1
γ = 
0
ⅆ yⅆx
0
1
1 + ln x
1
γ = 
0
1 - y (1 + ln x)
0
1
∞
γ =

0
∞
γ =

0
0
0
∞
(1 - x) e-x-y
1 - e-y (1 - x)
2
(163)
(164)
1
-y
e-x e - (1 + x e-y )-2  e-y ⅆ y ⅆ x
0
1
γ = 2 
0
2
x y + 2 y (ln x) e-y (ln x)
1
(165)
(167)
x
∞
0
1
∞

(166)
2
ⅆ yⅆx
0
γ = -
0
(162)
0
∞
γ = -
ⅆ yⅆx
-x y
- (1 + x y)-2  ⅆ y ⅆ x
 e
0

(161)
0
∞
γ= 
1- y+xy
-x y
- 2 x y e-(x y)  ⅆ y ⅆ x
 e
∞
γ= 
ⅆ yⅆx
0
0
ⅆ yⅆx
(1 - x) e-x
1
∞
γ = 2
(160)
x
0

∞
e-x y-x x ln x ⅆ y ⅆ x
0
y + ln(1 - y)
y
17
(1 - y)x ⅆ y ⅆ x
(168)
(169)
γ + 1 = -
∞ e-x y-x
∞
0

ln x
1+ y
0
ⅆ yⅆx
(170)
Referencias
1. Abramowitz, M. and Stegun, I.A. “Handbook of Mathematical Functions.” Nueva York: Dover, 1965.
2. Bailey, D.H. “Numerical Results on the Transcendence of Constants Involving π, ⅇ, and Euler’s Constant.” Math. Comput.
50,275-281,1988a.
3. Bailey, D.H.; Borwein, J.M.; Calkin, N.J.; Girgensohn, R.; Luke, D.R.; and Moll, V.H. Experimental Mathematics in Action. Wellesley,MA:
A K Peters,2007.
4. Berndt, B.C. Ramanujan’s Notebooks, Part IV. New York: Springer-Verlag, 1994.
5. Beukers, F. “A Rational Approximation to π.” Nieuw Arch. Wisk. 5,372-379, 2000.
7. Boros, G. and Moll, V. Irresistible Integrals: Symbolics,Analysis and Experiments in the Evaluation of Integrals. Cambridge,England:
Canbridge University Press, 2004.
8. Borwein, J. and Bailey, D. Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century. Wellesley, MA: A K Peters, 2003.
9. Borwein, J.; Bailey, D.; and Girgensohn, R. Experimentation in Mathematics: Computational Paths to Discovery. Wellwsley, MA: A K
Peters,2004.
10. Castellanos, D. “The Ubiquitous Pi. Part I.” Math. Mag. 61, 67-98, 1988a.
11. Castellanos, D. “The Ubiquitous Pi. Part II.” Math. Mag. 61, 148-163, 1988b.
12. Finch, S.R. Mathematical Constants . Cambridge, England:Cambridge University Press,2003.
13.
Flajolet, P. and Vardi, I. “Zeta Function Expansions of Classical Constants.” Unpublished manuscript.
http://algo.inria.fr/flajolet/Publications/landau.ps.
14. Gourdon, X. and Sebah, P. “Collection of Series for π.” http://numbers.computation.free.fr/Constants/Pi/piSeries.html.
1996.
15. Gradshteyn, I.S. and Ryzhik, I.M. “Table of Integrals, Series and Products.” 5th ed., ed. Alan Jeffrey. Academic Press, 1994.
16. Guillera, J. and Sondow, J.”Double Integrals and Infinite Products for Some Classical Constants via Analytic Continuations of Lerch’s
Transcendent.”arxiv:math/0506319v3[math.NT]5 Aug 2006.
17. Guillera, J. “History of the formulas and algorithms for pi.” Gems in Experimental Mathematics: Contemp. Math. 517, 173-178. 2010.
arXiv 0807.0872.
18. Hardy,G.H. Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work, 3rd ed. New York: Chelsea,1999.
19. MathPages. “Rounding Up to Pi.” http://www.mathpages.com/home/kmath001.htm.
20. Ramanujan, S. “Modular Equations and Approximations to π.” Quart. J. Pure. Appl. Math. 45, 350-372, 1913-1914.
21. Sloane, N.J.A. Sequences A054387 and A054388 in “The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.”
22. Sondow, J. “Problem 88.” Math. Horizons, pp.32 and 34, Sept. 1997.
23. Sondow, J. “A Faster Product for π and a New Integral for ln(π/2).” Amer. Math. Monthly 112, 729-734, 2005.
24. Valdebenito, E. “Pi Formulas , Part 7: Machin Formulas.” viXra.org:General Mathematics,viXra:1602.0342,pdf, submitted on 2016-02-27.
25. Valdebenito, E. “Pi Formulas , Part 12:Special Function.” viXra.org:General Mathematics,viXra:1603.0112,pdf, submitted on 2016-03-07.
26. Valdebenito, E. “Pi Formulas , Part 21.” viXra.org:General Mathematics,viXra:1603.0337,pdf, submitted on 2016-03-23.
27. Vardi, I. Computational Recreations in Mathematica. Reading, MA: Addison-Wesley, p. 159, 1991.
28. Vieta, F. Uriorun de rebus mathematicis responsorun. Liber VII. 1953. Reprinted in New York: Georg Olms, pp. 398-400 and 436-446,1970.
29. Weisstein, E.W. “Pi Formulas.” From MathWorld-A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/PiFormulas.html.
30. Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. MiddIesex, England: Penguin Books, 1986.
31. Wolfram Research, Inc. “Some Notes On Internal Implementation: Mathematical Constants.”
http://reference.wolfram.com/mathematica/note/SomeNotesOnInternalImplementation.html12154.
18