Documento 502424

UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO
Escuela de Ingeniería Civil
T-03-12-2007
Sesión Nº 10:
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES:
MAXIMOS Y MINIMOS, MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
Sea f : D  R 2  R , D : abierto.
Máximo Absoluto: f tiene máximo absoluto en D , si existe el punto Px0 , y 0  D ,
tal que cumpla:
f ( x, y)  f ( x0 , y0 ),
 ( x, y)  D
Además f ( x0 , y 0 ) es el valor máximo absoluto.
Mínimo Absoluto: f tiene mínimo absoluto en C, si existe el punto Px0 , y 0  D ,
tal que cumpla:
f ( x0 , y0 )  f ( x, y),
 ( x, y)  D
Además f ( x0 , y 0 ) es el valor mínimo absoluto
Máximo Relativo: f tiene máximo relativo en el punto Px0 , y 0  D , si existe
B( P,  )  D tal que:
f ( x, y)  f ( x0 , y0 ),
 ( x, y)  B( P,)
Mínimo Relativo: f tiene mínimo relativo en el punto Px0 , y 0  D , si existe
B( P,  )  D tal que:
f ( x0 , y0 )  f ( x, y),
 ( x, y)  B( P,)
Observaciones:
-
Si f : R 2  R es continua en el conjunto cerrado D, entonces existe al menos
un punto máximo y al menos un punto mínimo de f en D .
-
A lo valores máximos y mínimos de f en D se les llama valores extremos.
Teorema
x 0 , y 0   D y
f : D  R 2  R , D : abierto, tiene un valor extremo en
Dx ( x0 , y0 ), Dy ( x0 , y0 ) existen, entonces Dx ( x0 , y0 )  0, Dy ( x0 , y0 )  0 .
Si
Docente: Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz
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Nota:
Si
f : D  R 3  R , D : abierto, tiene un valor extremo en
existen,
Dx ( x0 , y0 , z 0 ), Dy ( x0 , y0 , z 0 ), Dz ( x0 , y0 , z 0 )
T-03-12-2007
x0 , y 0 , z 0   D
y
entonces
Dx ( x0 , y0 , z 0 )  0, Dy ( x0 , y0 , z 0 )  0 Dz ( x0 , y0 , z 0 )  0 .
Definición: Sea f : D  R 2  R , los puntos x0 , y 0  D , donde todas las derivadas
parciales de primer orden de la función se anulan, se llaman puntos críticos o
puntos estacionarios (puntos silla)
Ejemplos Explicativos
Hallar los puntos críticos de
1.- f ( x, y)  x 3  y 3  9x 2  3 y 2  15x  9 y
2.- f ( x, y)  x 2 y 2  5x 2  8xy  5 y 2
3.- f ( x, y)  x 2  xy  y 2  6x  2
4.- f ( x, y)  x 2  2 y 2  z 2  6x  3 y  2z  5
5.- f ( x, y, z)  2x 2  y 2  z 2  xz  xy
CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA:
Sea f : D  R 2  R , D : abierto, y f tiene primeras y segundas derivadas parciales
continuas en D , supongamos además que ( x0 , y 0 )  D es punto crítico, y definamos

D xx
D yx
D xy
, el determinante de la matriz Hessiana. Luego:
D yy
1) Si   0 , P( x0 , y0 ) corresponde a un extremo relativo, y,
i) P( x0 , y0 ) es máximo relativo si Dxx ( x0 , y 0 )  0
ii) P( x0 , y0 ) es mínimo relativo si Dxx ( x0 , y 0 )  0
2) Si   0 , f no tiene ni máximo relativo ni mínimo relativo en P( x0 , y0 ) . En
este caso P( x0 , y0 ) recibe el nombre de punto silla.
3) Si   0 , puede o no existir máximos y mínimos, no nos da información.
Observación
Docente: Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz
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Si f : D  R 3  R , D : abierto, y f tiene primeras y segundas derivadas parciales
continuas en D , supongamos además que ( x0 , y 0 , z 0 )  D es punto crítico, definimos
el determinante de la matriz hessiana, como
D xx
D xy
D xz
  D yx
D yy
D yz
D zx
D zy
D zz
Además sean  n k el determinante obtenido de  de prescindir de las k últimas filas y
columnas Luego:
1) Si los números 1 ,  2 ,  3 son todos positivos entonces, f tiene un mínimo
relativo en P( x0 , y0 , z 0 )
2) Si 1  0  2  0,  3  0 , f tiene un máximo relativo en P( x0 , y0 ) .
Ejemplos Explicativos
Hallar los extremos relativos de
1.- f ( x, y)  x 3  y 3  9x 2  3 y 2  15x  9 y
2.- f ( x, y)  x 2 y 2  5x 2  8xy  5 y 2
3.- f ( x, y)  x 2  xy  y 2  6x  2
4.- f ( x, y)  x 2  2 y 2  z 2  6x  3 y  2z  5
5.- f ( x, y, z)  2x 2  y 2  z 2  xz  xy
6.- Una caja rectangular sin tapa deberá tener un volumen fijo. ¿Cómo deberá hacerse la
caja para emplear en su manufactura la cantidad mínima de material?
7.- Se quiere construir una cisterna metálica y abierta para agua, con un triángulo
rectángulo como base y lados verticales. Si el volumen de la cisterna debe ser de 2m3
¿Qué diseño redundará en la menor área del metal?
Docente: Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz
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MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
¿Qué sucede ahora si deseamos hallar máximos y mínimos de funciones pero sujetos a
restricciones laterales o a condiciones? Para solucionar este tipo de problema
utilizaremos el método de los Multiplicadores de Lagrange
- Sea
f : D  R 2  R , supongamos que deseamos optimizar la función f ( x, y) ,
cuyas variables están sujetas a la restricción: g ( x, y)  0 ,
para esto formamos una
nueva función, llamada función objetivo, como:
F ( x, y,  )  f ( x, y)   g ( x, y)
 , es llamado multiplicador de Lagrange .
Luego debemos calcular las derivadas parciales para hallar los puntos críticos:
f
g

 Fx  x   x  0

f
g


0
Fy 
y
y

 F  g ( x, y )  0


La solución de estas tres ecuaciones nos dan los puntos críticos restringidos.
Para saber si este punto crítico corresponde a un máximo o a un mínimo utilizamos el
criterio de la segunda derivada.
OBSERVACION
Sea
f : D  R 3  R , supongamos que deseamos optimizar la función f ( x, y, z ) ,
cuyas variables están sujetas a la restricción: g ( x, y, z )  0 y h( x, y, z)  0 , para esto
formamos una nueva función, llamada función objetivo, como:
F ( x, y, z,  ,  )  f ( x, y, z)   g ( x, y, z)   h( x, y, z)
 ,  , son llamados multiplicadores de Lagrange .
Para este caso debemos trabajar igual al caso anterior, es decir hallar las primeras
derivadas parciales Fx , Fy , Fz , F , F e igualarlas a 0, para obtener los puntos críticos,
y luego debemos analizar, por el criterios de la segunda derivada, si se trata de un
máximo o un mínimo.
Docente: Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz
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Ejemplos Explicativos:
1.- Obtener los máximos y mínimos de la función f ( x, y)  3x 2  4 y 2  xy , sujeta ala
restricción 2x+y=21
2.- Hallar los valores máximos y mínimos de la función f ( x, y)  25  x 2  y 2 , sujeta
ala restricción x 2  y 2  4 y  0
3.- Hallar los valores máximos y mínimos de la función f ( x, y)  x  2 y  6 , sujeta ala
restricción
4.-Hallar
x2 y2

1
9
4
los
extremos
condicionados
de
f ( x, y, z )  xyz
sujetas
a
g ( x, y, z )  x  y  z  3 y h( x, y, z )  x  y  z  8
5.- Hallar los extremos condicionados de f ( x, y, z)  x 2  xy  y 2  3z 2 sujetas a
x  2 y  4 z  60
HOJA DE PRÁCTICA 10
I.- Hallar los extremos de las siguientes funciones:
f ( x, y)  18x 2  32y 2  36x  128y  110
f ( x, y)  4 xy 2  2x 2 y  x
f ( x, y)  x 2 y 2  5x 2  8xy  5 y 2
f ( x, y)  x 3  y 3  3xy 2  18( x  y)
f ( x, y)  x 3  y 3  9x 2  3 y 2  15x  9 y
f ( x, y)  x 3  y 3  18xy
f ( x, y)  x 3  y 3  3 y 2  3x  9 y  2
f ( x, y)  x 2  xy  y 2  3x  6 y
8 x
9.- f ( x, y)    y
x y
2x  2 y  1
10.- f ( x, y)  2
x  y2 1
1.2.3.4.5.6.7.8.-
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II Encontrar los extremos relativos de la función dada, sujeta a las restricciones dadas:
f ( x, y)  x 2  y , si x 2  y 2  9
f ( x, y)  x 2  y 2  2xy , si x 2  y 2  50
f ( x, y)  3x 2  4 y 2  xy , si 2 x  y  21
f ( x, y)  x 2  10y 2 , si x  y  18
x 2  y 2  10
f ( x, y)  3xy  4 y 2 ,
f ( x, y, z)  x 3  y 3  z 3 , para x  y  z  1
f ( x, y, z)  xy 2 z 3 , para x  y  z  12
8.- f ( x, y, z)  x 2  y 2  z 2 , para 3x  2 y  z  4  0
9.- f ( x, y, z)  y 3  xz 2 , para x 2  y 2  z 2  1
10.- f ( x, y, z )  x  y  z , para x 2  y 2  z 2  9
1.2.3.4.5.6.7.-
III.- Resolver:
1.- Un fabricante desea construir una caja con tapa e 36m2 de volumen ¿Qué
dimensiones debe escogerse si se quiere minimizar el costo, bajo las condiciones de que
el fondo y la tapan cuestan el doble de los lados por cm2?
2.- Hallar tres números reales positivos cuya suma es 24 y su producto sea el máximo
posible.
3.- Un fábrica produce taladros y sierras cuyos precios por unidad son S/500. y S/70
respectivamente. El costo de producir “x”
sierras e “y” taladros es
2
2
xy x
y
C ( x, y )  45x  32 y 


. Halle los valores de x e y para que la utilidad sea
30 40 80
máxima.
4.- Una empresa produce dos tipos de productos: A y B. El costo diario total (en
dólares) de producir x unidades de A e Y unidades de B está dado por:
C( x, y)  250  4x  7 y  0.2x 2  0.1y 2 .Determine el número de unidades de A y B
que la empresa debe producir al día con el objeto de minimizar el costo real.
5.- Un paralepípedo rectangular tiene sus tres caras en los planos coordenados y el
vértice opuesto al origen en el primer octante y en el plano 2 x  y  3z  6 . Encontrar
el volumen máximo que pude tener este paralepípedo.
Docente: Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz