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Soluciones a “Ejercicios y problemas”
PÁGINA 37
■ Problemas “+”
61
Un grupo de amigos ha ido a comer a una pizzería y han elegido tres tipos de
pizza, A, B y C. Cada uno ha tomado 1/2 de A, 1/3 de B y 1/4 de C; han pedido en
total 17 pizzas y, como es lógico, no ha sobrado ninguna entera.
a) ¿Ha tomado cada uno más de una pizza, o menos? ¿Cuántos amigos son?
b) ¿Cuántas pizzas de cada tipo han encargado? ¿Ha sobrado algo?
c) Contesta a las mismas preguntas si hubiese sido 20 el número de pizzas pedido.
a) Cada uno toma 1 + 1 + 1 = 13 ; es decir, han tomado más de una pizza cada uno.
2 3 4 12
Como cada uno toma más de una pizza y han comprado 17 pizzas, eso quiere decir
que son menos de 17. Veamos cuántos.
13x = 17 8 x = 15,69
12
Por tanto, son 15 amigos.
b) Sabiendo que cada uno toma 1 de A, 1 de B y 1 de C, y que son 15 amigos, han
2
3
4
comprado:
• 8 pizzas de A, pues 15 = 7,5, y ha sobrado 1 de pizza A.
2
2
• 5 pizzas de B, pues 15 = 5, y no ha sobrado nada de pizza B.
3
• 4 pizzas de C, pues 15 = 3,75, y ha sobrado 1 de piza C.
4
4
c) Si han comprado 20 pizzas, ahora tenemos:
• Siguen comiendo 13 > 1 cada uno.
12
13 x = 20 8 x = 18,46
12
Ahora son 18 amigos.
• Ahora han comprado:
18 = 9 pizzas A
2
18 = 6 pizzas B
3
18 = 4,5 8 compran 5 pizzas C y sobran 2 de C
4
4
Unidad 1. Fracciones y decimales
Pág. 1
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Soluciones a “Ejercicios y problemas”
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En una receta para hacer mermelada de higos se lee: “añadir 400 g de azúcar y
100 g de agua por cada kilo de higos”. Tres amigas, A, B y C, con un puesto en el
mercado, elaboraron estas cantidades:
A 8 2 botes de 5/8 kg y 4 de 9/25 kg.
B 8 3 botes de 1/5 kg y 3 de 5/8 kg.
C 8 5 botes de 9/25 kg y 2 de 1/5 kg.
a) ¿Cuál de las tres preparó más cantidad?
b) Si una persona pide 3/4 kg, ¿cuál es la forma de entregarle la cantidad más próxima?
c) Si el agua se evapora durante la cocción, ¿cuál es la proporción de azúcar que tiene la mermelada?
a) Han preparado:
A 8 2 · 5 + 4 · 9 = 269 = 2,69 kg
8
25 100
B 8 3 · 1 + 3 · 5 = 99 = 2,475 kg
5
8 40
C 8 5 · 9 + 2 · 1 = 11 = 2,2 kg
25
5 5
Preparó más cantidad A.
b) 3 kg = 750 g
4
Utilizando dos botes de 1 y uno de 9 , conseguimos:
5
25
1 + 1 + 9 = 19 = 0,760 kg = 760 g
5 5 25 25
c) La mezcla total pesa 400 + 100 + 1 000 = 1 500 g.
Como perdemos 100 g por evaporación del agua, nos queda que la proporción de
azúcar es:
400 = 2 = 0,286 8 28,6%
1 400 7
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Miguel quiere aplicar un herbicida a su finca. Sabe que debe añadir agua al
producto, de forma que tenga una concentración del 5% como mínimo para que
sea eficaz. Mezcla 1/2 litro de herbicida con 5 litros de agua y comienza a aplicarlo.
Cuando ha gastado 3 litros de la mezcla, se da cuenta de que no va a tener bastante
para toda la finca y le añade 2 litros de agua. ¿Tendrá la concentración adecuada en
todo momento?
)
Al principio, la concentración es 0,5 = 0,09 8 9%
5,5
Cuando quedan 2,5 l de mezcla, le añade 2 l de agua más. Ahora hay 4,5 l de mezcla
para 2,5 · 0,09 = 0,227 l de herbicida.
Por tanto, la nueva concentración es 0,227 = 0,05 8 5%
45
Sí, en todo momento la concentración es mayor o igual que el 5% requerido.
Unidad 1. Fracciones y decimales
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Soluciones a “Ejercicios y problemas”
■ Reflexiona sobre la teoría
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Pág. 3
¿Cuál es la fracción inversa de –3/5? ¿Y la de 1/7? Justifica tu respuesta.
( ) ( )
La inversa de – 3 es – 5 porque su producto es igual a 1: – 3 · – 5 = 1
5
3
5
3
La de 1 es 7, ya que 1 · 7 = 1.
7
7
65
66
)
Comprueba )que 2,6 9 y 2,7 se expresan mediante la misma fracción. ¿Ocurrirá
lo mismo
) )con 4,0)9 y 4,1? ¿Con qué decimal exacto podemos identificar los números
0,02 9; 5, 9; 8,139?
)
)
2,69 = 243 = 27 ° 4,09 = 369 = 41
90 10 §
90 10
¢
§ 4,1 = 41
2,7 = 27
10
10
£
)
)
)
0,029 = 0,03; 5,9 = 6; 8,139 = 8,14
a) Calcula en forma decimal el valor de:
7 + 7 + 7 +…
10 100 1 000
b) Escribe el resultado en forma de fracción.
)
a) 7 + 7 + 7 + … = 0,7 + 0,07 + 0,007 + … = 0,777… = 0,7
10 100 1 000
)
b) 0,7 = 7
9
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Busca 4 números fraccionarios comprendidos entre 1/3 y 1/2. ¿Cuántos puedes escribir?
Buscamos fracciones equivalentes a 1 y 1 con un denominador común, por ejemplo 36:
3 2
1 = 12
1 = 18
3 36
2 36
Entre 12 y 18 están comprendidas 13 , 14 , 15 , 16 .
36 36
36 36 36 36
Si en lugar de 36 elegimos un denominador común muy grande, podemos escribir tantas
como queramos. Hay infinitas.
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Una cantidad P rebajada un 18% se ha convertido en una cantidad Q, de forma que P · k = Q.
a) ¿Cuál es el valor de k?
b) ¿Y si en lugar de rebajarla se aumenta un 18%?
a) P · 0,82 = Q ; k = 0,82
b) P · 1,18 = Q ; k = 1,18
Unidad 1. Fracciones y decimales
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Soluciones a “Ejercicios y problemas”
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He pagado 200 € por un abrigo rebajado un 10%. ¿Puedo calcular el precio
inicial aumentando 200 en un 10%? Razona la respuesta.
Si aumento un 10% a 200, obtengo 220 €.
Si disminuyo un 10% esa cantidad, 220, obtengo 198 €, que no es lo que pagué.
El precio del abrigo era 200 : 0,9 = 222,2 €.
70
Si en una factura nos tienen que aumentar el 18% de IVA y nos hacen un descuento del 20%, ¿qué es más ventajoso, aplicar primero el aumento y después del
descuento, o al revés? Justifícalo.
Es igual. Se obtiene la misma cantidad: P · 1,18 · 0,8 = P · 0,8 · 1,18.
■ Manipula, tantea, prueba
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Observa esta expresión:
(
) (
) (
)
1+ 1– 1 + 1 – 1 + 1 – 1 +…
2
2 3
3 4
a) Halla su valor con 4 sumandos.
b) Calcula su valor para 100 sumandos.
c) ¿A qué valor se aproxima la expresión cuando hay infinitos sumandos?
a) 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 = 2 – 1 = 7
2 2 3 3 4
4 4
b) Con 100 sumandos: 2 – 1 = 199
100 100
c) Cada vez restaremos a 2 un número menor.
1
Por ejemplo con 10 000 sumando obtenemos 2 –
que es un número muy
10
000
próximo a 2.
El valor de la expresión se aproxima a 2.
72
¿Cuántos números de cuatro cifras terminados en 45 son múltiplos de 45? Explica tu respuesta.
Para ser múltiplo de 45, hay que serlo de 5 y de 9. Probamos poniendo las dos primeras
cifras múltiplo de 9:
1 845
2 745
3 645
4 545
8 145
7 245
6 345
5 445
En total hay 8 números con esa propiedad.
Unidad 1. Fracciones y decimales
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Soluciones a “Ejercicios y problemas”
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¿En qué número termina 283?
Pág. 5
☞ Observa en qué cifra terminan las sucesivas potencias de base 2 y busca una regla.
21 = 2
25 = 32
22 = 4
26 = 64
23 = 8
27 = 128
24 = 16
28 = 256
Las cifras 2, 4, 8, 6 se repiten de 4 en 4.
Como 83 = 80 + 3 8 283 terminará en la misma cifra que 23, en 8.
Unidad 1. Fracciones y decimales