Tema 10: Tracción, flexión y torsión Bibliografía Introducción Sólidos

Bibliografía
Física para la ciencia y la tecnología (vol. I y II) (6a Ed.), P.A. Tipler y G. Mosca. Reverté, 2010.
Tema 10: Tracción, flexión y torsión
Óscar de Abril
Grupo B. Otoño Curso 2014-15
Física (vol. I y II) (3a Ed.), R.A. Serway y J.W. Jewett. Thomson, 2003.
Física Universitaria, F.W. Sears, M.W. Zemansky y H.D. Young. Addison Wesley Iberoamericana, 1988.
Fundamentos y Teorías Físicas, M.A. Navacerrada, C. Velázquez, I. González, P. Oteiza y A. Martín. Página de la
asignatura en el OpenCourseWare de la UPM. http://ocw.upm.es/fisica-aplicada/fundamentos-y-teorias-fisicas.
Física y Mecánica de las Construcciones, M.A. Navacerrada, C. Velázquez, I. González, P. Oteiza y A. Martín.
Página de la asignatura en el OpenCourseWare de la UPM, http://ocw.upm.es/construcciones-arquitectonicas
/fisica-y-mecanica-de-las-construcciones.
Mecánica vectorial para ingenieros (vol I y II) (6a Ed.), Beer y Johnston. McGraw-Hill, 2000.
Mecánica para Ingenieros. M. Vázquez y E. López. Ed. Noela, 1995.
Resistencia de Materiales. M. Vázquez. Ed. Noela, 1999.
Elasticidad teórica. Fundamentos. Aplicaciones. A. G. de Arangoa. Ed. por el autor, 1974.
Apuntes de Elasticidad A. Martín Domingo. Cuadernos de apoyo a la docencia, vols 367 y 368. Instituto Juan de
Herrera, ETSAM, 1992.
Elementos de resistencia de materiales. S. Timoshenko y D. H. Young. Ed. Hispano Americana SA, 1991.
Sólidos deformables
Todos los cuerpos en equilibrio bajo la acción de fuerzas externas se
deforman.
Introducción
El comportamiento global del sólido depende de:
El comportamiento local:
⟵
Fuerzas internas
⟶
deformaciones locales
Comportamiento
elástico
La geometría del cuerpo.
Resistencia de materiales
Método de análisis por elementos finitos
La resistencia de materiales estudia los sólidos deformables mediante
modelos simplificados.
La geometría de la mayoría de los elementos constructivos permite
considerarlos como objetos 1D ó 2D.
En estos casos los campos de deformaciones y tensiones son sencillos de
calcular.
En el diseño mecánico de elementos con geometrías complicadas se utilizan
métodos numéricos como el análisis por elementos finitos.
(http://www.youtube.com/watch?v=jHRCv6Bc0x8).
Método de las secciones
Resultantes de las fuerzas internas
Fuerzas internas
Un sólido deformable bajo fuerzas
externas → distribución continua de
fuerzas internas sobre la sección.
∑F⃗
ext
+ ∫ dF ⃗
int
S
= 0⃗
ext
int
∑ M⃗ + ∫ x⃗ × dF ⃗ = 0⃗
S
Resultantes de las fuerzas internas
Resultantes de las fuerzas internas
La fuerza y el momento resultantes de las fuerzas internas distribuidas
sobre la sección son:
F⃗
int
= ∫ dF ⃗ = ∫ σ⃗ds = ∫ σ̂n⃗ ds
S
S
S
int
int
int
M⃗ = ∫ x⃗ × dF ⃗ = ∫ x⃗ × σ⃗ds = x⃗CM × F ⃗ + M⃗ CM
S
(http://www.youtube.com/watch?v=iBTYbyo51do).
Componentes de
sección F ⃗ :
int
= ∫ σ⃗ds = ∫ σ̂n⃗ ds = F n⃗ + F t⃗
S
S
→
Fuerza normal (Fn ): componente de F ⃗ normal al plano.
Tracciona o comprime en la dirección normal.
→
Fuerza tangencial o cortante (Ft ): componente de F ⃗ sobre el plano.
Deformación angular respecto del plano de la sección.
Relación entre
F⃗
int
y
sección M⃗
int
S
int
respecto de su CM:
int
M⃗ CM = ∫ (x⃗ − x⃗CM ) × σ⃗ds = ∫ (x⃗ − x⃗CM ) × σ̂n⃗ ds = M⃗ t + M⃗ f
S
S
→
Momento torsor (Mt ): componente normal de M⃗ .
Gira la sección sobre su dirección normal.
→
Momento flector (Mf ): componente tangencial de M⃗ .
Gira la sección sobre una dirección tangente.
σ̂
⎧ F ⃗ = i ⃗ ∫ σ dydz
⎪
⎪
x
11
⎪
⎪
⎪
S
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
= ∫ σ̂i ⃗ ds ⇒ ⎨ F y⃗ = j ⃗ ∫ σ21 dydz
S
S
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩ F z⃗ = k⃗ ∫ σ31 dydz
⎪
int
M⃗
Componentes del momento resultante de las fuerzas internas sobre una
Relación entre
Respecto del sistema de coordenadas con el origen en el centro de masas
de la sección y el eje X normal al plano:
F⃗
S
int
Componentes de la fuerza resultante de las fuerzas internas sobre una
int
S
= ∫ (x⃗ − x⃗CM ) × σ⃗ds
F⃗
Componentes de
F⃗
donde:
int
M⃗ CM
int
M⃗ CM
int
M⃗
σ̂
y
⎧ M⃗ = i ⃗ ∫ (yσ − zσ ) dydz
⎪
⎪
x
31
21
⎪
⎪
⎪
S
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⃗
= ∫ (x⃗ − x⃗CM ) × σ̂i ds ⇒ ⎨ M⃗ y = j ⃗ ∫ zσ11 dydz
S
S
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪ M⃗ z = −k⃗ ∫ yσ11 dydz
⎩
⎪
S
∣ i⃗
∣
Ya que: x⃗ × σ̂i ⃗ = ∣ 0
∣
∣ σ11
j⃗
y
σ21
k⃗ ∣∣
z ∣ = (yσ31 − zσ21 )i ⃗ + zσ11 j ⃗ − yσ11 k⃗
∣
σ31 ∣
Convenios
Para calcular la distribución de las fuerzas internas dentro de elementos
esbeltos deformables tomamos:
Casos particulares
Las secciones planas y normales a la línea media del elemento.
Sistema de coordenadas: origen en el centro de masas de la sección
en estudio, y ejes coordenados:
Eje X || dirección normal a la
sección.
Ejes Y , Z || direcciones
principales del momento de
inercia de la sección.
Casos particulares
Vamos a estudiar los siguientes casos:
Deformaciones homogeneas: tensión constante sobre cada sección
recta y normal (σ̂ = σ̂(x)) ⇒ deformación constante en cada
sección.
Tracción o compresión monoaxial
Tracción o compresión monoaxial.
Deformaciones inhomogeneas: tensiones inhomogeneas σ̂ = σ̂(x, y, z)
⇒ deformación diferente en cada punto de una sección.
Son muy dificiles de tratar. Dos casos sencillos son:
Flexión.
Torsión.
Tracción o compresión monoaxial
Una viga está sometida a tracción o compresión monoaxial si en toda
sección recta y normal a la línea media:
F ⃗ = ∫ σ⃗ ds = F n⃗ ⇒ F t⃗ = 0⃗ , M⃗ = ∫ x⃗ × σ⃗ ds = 0⃗ ⇒ M⃗ t = 0⃗ , M⃗ f = 0
S
S
Por tanto:
∫ σ11 dydz = Fn
∫ σ21 dydz = 0
∫ σ31 dydz = 0
∫ (yσ31 − zσ21 ) dydz = 0
∫ zσ11 dydz = 0
− ∫ yσ11 dydz = 0
S
S
S
S
Hipótesis de Bernoulli
Las ecs. anteriores no son suficientes para determinar la distribución de
fuerzas internas en una sección.
Hipótesis de Bernoulli o conservación de las secciones planas: las
secciones planas y perpendiculares a la línea media de una viga sin
deformar permanencen planas y perpendiculares cuando la viga se
deforma.
S
S
Hipótesis de Bernoulli
Esto se confirma experimentalmente dibujando una retícula (líneas paralelas
y perpendiculares a la línea media) en un sólido esbelto deformable de
sección constante.
σ̂
en tracción o compresión monoaxial
En tracción o compresión monoaxial se cumple que:
F ⃗ = ∫ σ⃗ ds = F n⃗ ,
S
Es una buena aproximación para elementos esbeltos con una dirección
principal cuyas secciones normales son iguales o varían lentamente (falla en
las secciones próximas a variaciones bruscas).
M⃗ = ∫ x⃗ × σ⃗ ds = 0⃗
S
Si se supone que también se cumple la hipótesis de Bernoulli:
Las secciones paralelas entre sí permanecen paralelas ⇒ ϵ11 = cte.
en cada sección ⇒ σ11 = cte. en cada sección:
∫ σ11 dydz = σ11 ∫ dydz = σ11 S = Fn
S
σ̂
S
en tracción o compresión monoaxial
Las secciones normales a la línea media siguen siendo normales ⇒
def. angulares nulas:
γ21 = γ31 = 0
⇒
σ21 = σ31 = 0
Las componentes de σ̂ y de ϵ̂ son:
⎡ Fn /S
[σ̂] = ⎢ 0
⎣ 0
0 0⎤
0 0⎥
0 0⎦
⇒
0
0
⎡ σ11 /E
⎤
[ ϵ̂ ] = ⎢ 0
−ν σ11 /E
0
⎥
⎣ 0
0
−ν σ11 /E ⎦
Flexión pura
⇒
σ11 =
Fn
S
Flexión pura
Flexión pura
Una viga está sometida a flexión pura si en toda sección recta y
normal a la línea media:
F ⃗ = ∫ σ⃗ ds = 0⃗ ,
M⃗ = ∫ x⃗ × σ⃗ ds = M⃗ f ⇒ M⃗ t = 0⃗
S
S
Asimétrica: si M⃗ tiene componentes en los dos ejes principales del
momento de inercia de la sección:
My ≠ 0 , Mz ≠ 0
Imaginamos el sólido deformable compuesto de un conjunto de fibras
longitudinales.
En flexión pura:
Unas fibras se alargan y otras se acortan.
La línea media (que une el centro de masas de las secciones) sólo
varía su curvatura, no su longitud ⇒ no está sometida a tensiones →
se conoce como fibra neutra.
Simétrica: si M⃗ es paralelo a un de los ejes principales del momento
de inercia de la sección:
My ≠ 0 , Mz = 0
My = 0 , Mz ≠ 0
ó
Flexión pura
Deformaciones angulares en flexión pura
Las fuerzas y momentos en flexión pura:
F ⃗ = ∫ σ⃗ dydz = 0⃗ ⇒ ∫ σ11 dydz = 0 , ∫ σ21 dydz = 0 , ∫ σ31 dydz = 0
S
S
M⃗ = ∫ x⃗ × σ⃗ dydz = M⃗ f
S
S
Hipótesis de Bernoulli: secciones planas y perpendiculares antes de
deformarse lo siguen siendo después ⇒ no hay deformaciones angulares.
S
⎧
⎪
∫ (yσ31 − zσ21 ) dydz = 0
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪ S
⇒ ⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩ ∫ zσ11 dydz = M y , − ∫ yσ11 dydz = M z
⎪
S
S
γij = 0 ⇒ σij = 0
Def. longitudinales en flexión pura
Se toma un elemento longitudinal liberado de una viga deformable con flexión
pura.
Tensiones normales en flexión pura
La deformación es (y = dist. de la fibra
long. a la fibra neutra, ρ = radio de
curvatura):
ϵ11 =
En dos secciones son muy próximas, los triangulos ABO y CDB son
equivalentes:
MN
AB
MN
MB
=
⇒
=
MB
AO
AB
AO
Ley de Navier
Ley de Navier: en una sección de un cuerpo deformable sometido a
flexión pura el módulo de la tensión sobre cada fibra es proporcional a
su distancia a la fibra neutra:
σ11 ∝ y
dx′ − dx
MN
MB
y
=−
=−
=−
dx
AB
AO
ρ
Según la ley de Hooke:
ϵ11 =
σ11
σ11
y
E
⇒
=−
⇒ σ11 = − y ∝ y
E
E
ρ
ρ
Fuerza resultante sobre las secciones
Las componentes de F ⃗ a partir de σ11 son:
Fx = ∫ dFx = ∫ σ11 ds = −
S
S
E
∫ y ds = 0
ρ S
⇒
∫ y ds = 0
S
ya que la fibra neutra contiene el centro de masas.
Se comprueba que la fuerza resultante sobre cada sección es nula.
F ⃗ = 0⃗
Campo de tensiones normales
Las componentes de M⃗ a partir de σ11 son:
Mz = − ∫ y dFx = − ∫ yσ11 ds =
S
S
E
E
∫ y 2 ds =
Iz
ρ S
ρ
Flexión simple
donde Iz es el momento de inercia de la sección transversal.
La constante de Navier es:
Mf
E
=
ρ
Iz
⇒
σ11 (x, y) = −
Mf (x)
y
Iz
Flexión simple
Flexión simple
Efectos:
Una viga está sometida a flexión simple si en toda sección recta y
normal a la línea media:
F ⃗ = ∫ σ⃗ ds = F t⃗ ⇒ F n⃗ = 0⃗ ,
S
M⃗ = ∫ x⃗ × σ⃗ ds = M⃗ f ⇒ M⃗ t = 0⃗
S
Las componentes de la fuerza y momento resultantes son:
∫ σ11 dydz = 0 , ∫ σ21 dydz = Fy , ∫ σ31 dydz = Fz
S
S
El momento flector M⃗ f produce la flexión de la viga (al igual que en
la flexión pura).
La fuerza resultante tangencial F t⃗ en una sección proviene de una
distribución no uniforme de tensiones tangenciales sobre ella ⇒
deformaciones angulares no uniformes sobre los planos
perpendiculares a la linea media.
S
∫ (yσ31 − zσ21 ) dydz = 0 , ∫ zσ11 dydz = My , − ∫ yσ11 dydz = Mz
S
S
S
Flexión simple
Tensiones cortantes no constantes sobre la sección ⇒ deformaciones
angulares no uniformes → las secciones inicialmente planas y normales se
alabean (dejan de ser planas).
Flexión simple
Suponemos deformaciones angulares pequeñas ⇒ se desprecia el alabeo
relativo entre dos secciones planas muy próximas.
AB ≃ A′ B′ ⇒ ϵ11 (flexión simple) ≃ ϵ11 (flexión pura)
A′ B′ longitud de la fibra A0 B0 bajo flexión pura.
AB longitud de la fibra A0 B0 después de la flexión y el alabeo.
Alabeo relativo despreciable
Casos en los que el alabeo relativo (alabeo de una sección respecto de otra
próxima) no se considera:
Si la tensión cortante no varía a lo largo del eje longitudinal de la viga
σ⃗ = σ21 (y, z)j ⃗ + σ31 (y, z)k⃗
⇒ todas las secciones sufren el mismo alabeo.
⇒ ϵ11 (flexión simple) = ϵ11 (flexión pura) ⇒ σ11 (f. s.) = σ11 (f. p.)
Aproximación común: si las dimensiones transversales son pequeñas
frente a la longitudinal (Lx ≫ Ly , Lz ).
⇒ ϵ11 (flexión simple) ≃ ϵ11 (flexión pura)
En estos casos se puede aplicar la ley de Navier a la flexión simple.
Distribución de tensiones tangenciales
Las tensiones tangenciales producidas por fuerzas cortantes no son
constantes sobre la superficie de una sección transversal
⇒ σ21 = σ21 (x, y, z) ≠ Fy /S
Se puede tomar como una buena aproximación que el campo de tensiones
no varía en la dirección del eje Z :
σ̂ = σ̂(x, y)
Teorema de reciprocidad
Teorema de reciprocidad de las tensiones tangenciales: si existe una
tensión tangencial en un punto de una sección recta, tiene que existir
otra tensión tangencial del mismo valor sobre la superficie de la fibra
longitudinal que pasa por ese punto.
Distribución de tensiones tangenciales
Dos secciones muy próximas definen un segmento de la viga de espesor
diferencial (rebanada diferencial).
En el fragmento superior a la fibra a dist. y de la fibra neutra:
− ∫ σ11 ds + ∫ (σ11 + dσ11 )ds − ∫ σ12 ds = 0 ⇒ σ12 S3 = ∫ dσ11 ds
S1
Distribución de tensiones tangenciales
Utilizando la ley de Navier para expresar dσ11 :
σ12 a(y)dx = − ∫
S2
dMz
dMz
dMz m(y)
∫ yds ⇒ σ12 = −
yds = −
dx Iz a(y)
Iz
Iz
S2
S2
S3
S2
Distribución de tensiones tangenciales
Tenemos la fórmula de Collignon para la distribución de las tensiones
tangentes:
σ12 (x, y) =
m(y) = ∫ yds es el momento estático de S2 respecto del eje Z .
Fy (x) m(y)
Iz
a(y)
S2
En el equilibrio el momento respecto del punto O es nulo:
∑ MOz = 0 ⇒ − Mz + (Mz + dMz ) + dx(Fy + dFy )
dMz
≃ dMz + dxFy = 0 ⇒ Fy = −
dx
Ejemplos de distribución de tensiones tangentes
Diagramas de momentos flectores y esfuerzos
cortantes de una viga
Curva elástica de vigas en flexión simple
Curva elástica de vigas en flexión simple
Curva elástica línea media (lugar geometrico de los centros de
gravedad de la secciones transversales) de la viga deformada.
Ec. diferencial de la curva elástica de una viga en flexión
Curvatura de una curva parametrizada en 2 dimensiones
α(s) = (x(s), y(s))
∣ d
∣ du⃗t (s) ∣
(x′ , y ′ ) ∣
κ= ∣
∣= ∣
−−−−−−− ∣ =
∣ ds ∣
∣ ds √x′2 + y ′2 ∣
∣ x′ y ′′ − y ′ x′′
∣
∣ x′ y ′′ − y ′ x′′ ∣
∣
(−y ′ , x′ )∣∣ = ∣ ′2
∣
∣ ′2
∣ x + y ′2 ∣
∣ (x + y ′2 )3/2
∣
(u⃗t (s) = vector tangente unitario). La curvatura y el radio de curvatura
con signo son:
k=
x′ y ′′ − y ′ x′′
1
=
ρ
x′2 + y ′2
Curva elástica de vigas en flexión simple
Curva elástica de vigas en flexión simple
Ec. diferencial de la curva elástica de una viga en flexión
Ec. diferencial de la curva elástica de una viga en flexión
Si la curva se expresa como α(x) = (x, y(x)), su radio de curvatura en x
es:
2
Para deformaciones muy pequeñas respecto a la longitud de la viga
Δy ≪ L
2
d y/dx
1
=
ρ(x)
1 + (dy/dx)2
⇒
y(x) = ∫
d 2 y/dx2
donde EIz se conoce como módulo de rigidez.
Flecha
⇒
d 2 y(x)
Mz (x)
≃
EIz
dx2
La función de la curva elástica es la solución de la ec. anterior
Utilizando E/ρ = Mf /Iz (de la ley de Navier):
Mf (x)
=
EIz
1 + (dy/dx)2
dy/dx ≪ 1
L
0
dx ∫
L
0
Mz (x)
dx
EIz
que cumple las cond. de contorno y(0) = y1 , y(L) = y2 , y ′ (0) = θ1 ,
y(L) = θ2 .
Ejemplo de curva elástica de viga en flexión simple
Flecha es la máxima distancia entre la fibra neutra de la viga en
reposo y la de la viga deformada (bajo carga).
Torsión
Una viga está sometida a torsión si en toda sección recta y normal a
la línea media:
Torsión
F ⃗ = ∫ σ⃗ ds = 0⃗ ,
S
M⃗ = ∫ x⃗ × σ⃗ ds = M⃗ t ⇒ M⃗ f = 0⃗
S
Las componentes de la fuerza y momento resultantes son:
∫ σ11 dydz = 0 , ∫ σ21 dydz = 0 , ∫ σ31 dydz = 0
S
S
S
∫ (yσ31 − zσ21 ) dydz = Mx , ∫ zσ11 dydz = 0 , − ∫ yσ11 dydz = 0
S
Torsión
Efectos:
Las secciones normales rotan en torno a la línea media.
Las fibras antes rectas pasan a ser helicoidales.
Los segmentos de la viga entre dos secciones normales sufren
S
S
Torsión
La deformación angular es inhomogenea.
En una barra cilíndrica:
Tomamos un disco (dl) → tomamos un anillo (dr)
→ tomamos un segmento (rdθ)
deformación angular.
Las secciones normales se deslizan unas respecto de las otras ⇒ sólo hay
def. angulares ⇒ sólo hay tens. tangenciales (σ11 = 0 )
La def. angular sobre una sección es proporcional a la distancia al eje de la
viga
Torsión de una barra cilíndrica
Una barra de diám. d, long. l0 y mód. de rigidez G, está sometida a un
momento torsor Mt que gira sus extremos un ángulo φ0 .
La sección a distancia l de la base fija gira φ(l) =
φ0
l
l0
Torsión de una barra cilíndrica
Deformación angular de anillo de radios r y r + dr entre las secciones l y
l + dl:
γ(r) ≃
φ
da
dφ
=r
=r 0
dl
dl
l0
La tensión tangente en un segmento diferencial del anillo
σ(r) = Gγ(r) = Gr
Torsión de una barra cilíndrica
Relación entre distribución de tensiones tangentes y
El momento torsor sobre la corona entre r y r + dr
dMt = rσ(r)Sr,dr = Gr2
φ0
2πrdr
l0
El momento torsor resultante sobre una sección
Mt = 2πG
d/2
φ0
φ
πd 4
∫
r3 dr =
G 0
l0 0
l0
32
Mt
φ0
l0