de x - Carlos Pitta

Capítulo 3
PREFERENCIAS Y UTILIDAD
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Axiomas de Elección Racional
• Completitud
– Si A y B son dos situaciones, el individuo
siempre puede especificar exactamente su
preferencia sobre dichas posibilidades:
• A se prefiere por sobre B
• B se prefiere por sobre A
• A y B son igualmente atractivas
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Axiomas de Elección Racional
• Transitividad
– Si A se prefiere a B, y B se prefiere a C,
entonces A se prefiere por sobre C
– Este supuesto es para garantizar que las
decisiones de los individuos sean
consistentes internamente
3
Axiomas de Elección Racional
• Continuidad
– Si A se prefiere a B, entonces las
situaciones “suficientemente cercanas” a A
también deben ser preferidas sobre B
– Este supuesto se utiliza para analizar las
respuestas de los individuos como
respuesta a cambios relativamente
pequeños en el ingreso y los precios
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Utilidad
• Dados todos estos supuestos, es posible
demostrar que las personas son capaces de
ordenar jerárquicamente todas las situaciones
posibles, desde la menos deseada hasta la
más deseada
• Los Economistas llaman a ésta jerarquía
utilidad
– Si A se prefiere sobre B, entonces la utilidad
asignada a A excede la utilidad asignada a B
U(A) > U(B)
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Utilidad
• Dichas jerarquías o rankings de utilidad
son ordinales por naturaleza
– Muestran qué tan deseables son ciertas
cestas de bienes
• Debido a que las medidas de utilidad no
son únicas, no tiene sentido el
particularizar cuánta más utilidad se gana
al pasar de A a B
• Tampoco es posible comparar utilidades
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entre dos personas diferentes
Utilidad
• La utilidad es afectada por el consumo de
bienes físicos, por actitudes sicológicas,
presiones de grupo, experiencias personales, y
por el ambiente cultural general
• Los Economistas por lo general dedican su
atención a evaluar opciones medibles, mientras
mantienen constantes las otras cosas que
puedan afectar la utilidad
– Esto es llamado el supuesto ceteris paribus
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Utilidad
• Asumamos que un individuo debe escoger
entre consumir los bienes x1, x2,…, xn
• Los rankings de dicho individuo pueden ser
representados por una función de utilidad de la
forma:
Utilidad= U(x1, x2,…, xn; otras cosas)
– Esta función es única, pero puede ser
transformada si dicha transformación
preserva la ordenación o rankings originales
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Bienes Económicos
• En la función de Utilidad, se asume que
los x’s son “bienes”
– Un bien: más se prefiere a menos
Cantidad de y
Preferido sobre x*, y*
?
y*
?
Peor que
x*, y*
Cantidad de x
x*
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Curvas de Indiferencia
• Una Curva de Indiferencia muestra
combinaciones de bienes ante los cuales
el individuo se muestra indiferente
Cantidad de y
Las combinaciones (x1, y1) y (x2, y2)
proveen el mismo nivel de utilidad
y1
y2
U1
Cantidad de x
x1
x2
10
Tasa Marginal de Substitución (TMS)
• La pendiente negativa de una curva de
indiferencia en un punto es llamada la
Tasa Marginal de Substitución (TMS)
Cantidad de y
TMS
dy
dx U
U1
y1
y2
U1
Cantidad de x
x1
x2
11
Tasa Marginal de Substitución (TMS)
• La TMS cambia cuando x , y cambian
– Esto refleja la disposición del individuo a
intercambiar y por x
Cantidad de y
En (x1, y1), la curva de indiferencia es más empinada.
La persona estaría dispuesta a sacrificar más y
Para obtener unidades adicionales de x
En (x2, y2), la curva de indiferencia es
más plana. La persona será más reacia
A sacrificar y para ganar más x
y1
y2
U1
Cantidad de x
x1
x2
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Mapa de Curvas de Indiferencia
• Cada punto del plano debe tener una
curva de indiferencia pasando sobre él
(completitud de las CI)
Cantidad de y
Utilidad crece
U3
U2
U1 < U2 < U3
U1
Cantidad de x
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Transitividad
• ¿Pueden intersectarse las CI?
Cantidad de y
El individuo es indiferente entre A y C.
El individuo es indiferente entre B y C.
Transitividad sugiere que el individuo
Debe ser indiferente entre A y B
C
B
A
U2
Pero B se prefiere sobre A
Debido a que B contiene más
de x y y que A
U1
Cantidad de x
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Convexidad
• Un conjunto de puntos es convexo si dos
puntos pueden ser unidos por una línea recta
que es contenida enteramente en el conjunto
Cantidad de y
El supuesto de una TMS decreciente es
equivalente al supuesto de que todas las
combinaciones de x y y que son preferidas
por sobre x* y y* forman un conjunto
convexo
y*
U1
Cantidad de x
x*
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Convexidad
• Si la CI es convexa, entonces la
combinación (x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2 será
preferida tanto a (x1,y1) como a (x2,y2)
Cantidad de y
Esto implica que combinaciones “bien balanceadas”
Son preferidos sobre combinaciones que cargadas hacia
uno de los bienes
y1
(y1 + y2)/2
y2
U1
Cantidad de x
x1
(x1 + x2)/2
x2
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Utilidad y la TMS
• Supongamos que las preferencias de un
individuo por hamburguesas (y) y bebidas
(x) pueden ser representadas por:
utilidad
10
x y
• Despejando y, tenemos
y = 100/x
• Construyendo la TMS = -dy/dx:
TMS = -dy/dx = 100/x2
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Utilidad y la TMS
TMS = -dy/dx = 100/x2
• Note como mientras x sube, TMS cae
– Cuando x = 5, TMS = 4
– Cuando x = 20, TMS = 0.25
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Utilidad Marginal
• Supongamos que un individuo tiene una
utilidad de la forma
Utilidad = U(x,y)
• El diferencial total de U es
dU
U
dx
x
U
dy
y
• Sobre cualquier CI, la utilidad es
constante (dU = 0)
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Derivando la TMS
• Por lo tanto tenemos:
TMS
dy
dx U
constante
U
x
U
y
• TMS es el cociente de la utilidad
marginal de x sobre la utilidad marginal
de y
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Utilidad Marginal
Decreciente y la TMS
• Intuitivamente, parecería que el supuesto de
utilidad marginal decreciente se relaciona al
concepto de TMS decreciente
– Una TMS decreciente requiere que la
función de utilidad sea cuasi-cóncava
• Esto es independiente de cómo sea medida la
utilidad
– La utilidad marginal decreciente sí depende
de cómo es medida la utilidad
• Por tanto, estos dos conceptos son
diferentes
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Convexidad de las curvas de
indiferencia
• Supongamos una función de utilidad de
la forma:
utilidad
x y
• Podemos simplificar el álgebra tomando
logaritmos en ambos lados de la
igualdad
U*(x,y) = ln[U(x,y)] = 0.5 ln x + 0.5 ln y
22
Convexidad de las curvas de
indiferencia
• Por lo tanto,
TMS
U*
x
U*
y
0.5
x
0.5
y
y
x
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Convexidad de las curvas de
indiferencia
• Si la función de utilidad es
U(x,y) = x + xy + y
• No ganamos nada transformando la
función, por lo que
TMS
U
x
U
y
1 y
1 x
24
Convexidad de las curvas de
indiferencia
• Supongamos que la función de utilidad
es:
2
2
utilidad
x y
• Para éste ejemplo es más fácil usar la
transformación:
U*(x,y) = [U(x,y)]2 = x2 + y2
25
Convexidad de las curvas de
indiferencia
• Con lo que,
TMS
U*
x
U*
y
2x
2y
x
y
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Ejemplos de funciones de Utilidad
• Utilidad Cobb-Douglas
utilidad = U(x,y) = x y
donde
y
son constantes positivas
– El tamaño relativo de y indican la
importancia relativa de los bienes
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Ejemplos de funciones de Utilidad
• Substitutos Perfectos
utilidad = U(x,y) = x + y
Cantidad de y
La CI será lineal.
La TMS será constante a lo largo de
toda la curva de indiferencia.
U3
U1
U2
Cantidad de x
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Ejemplos de funciones de Utilidad
• Complementos Perfectos
utilidad = U(x,y) = min ( x, y)
Cantidad de y
Las CI tendrán una forma de L. La
utilidad solo puede ser incrementada
al elegir más de los dos bienes
conjuntamente.
U3
U2
U1
Cantidad de x
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Ejemplos de funciones de Utilidad
• Utilidad CES (Constant elasticity of
substitution)
utilidad = U(x,y) = x / + y /
cuando
0y
utilidad = U(x,y) = ln x + ln y
cuando
=0
– Substitutos Perfectos
=1
– Cobb-Douglas
=0
– Complementos Perfectos
=30
Ejemplos de funciones de Utilidad
• Utilidad CES (Constant elasticity of
substitution)
– La elasticidad de substitución ( ) es igual a
1/(1 - )
• Substitutos Perfectos
• Proporciones Fijas
=
=0
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Preferencias Homotéticas
• Si la TMS depende solamente del
cociente de las cantidades de dos
bienes, pero no de las cantidades de
dichos bienes, la función de utilidad es
homotética
– Substitutos Perfectos
TMS es la misma
en cada punto
– Complementos Perfectos
TMS = si
y/x > / , no definida si y/x = / , y TMS =
0 si y/x < /
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Preferencias Homotéticas
• Para la función general Cobb-Douglas,
la TMS se computa:
TMS
U
x
U
y
x 1y
x y 1
y
x
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Preferencias NO Homotéticas
• Algunas funciones de utilidad NO
presentan preferencias homotéticas
utilidad = U(x,y) = x + ln y
TMS
U
x
U
y
1
1
y
y
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Muchos Bienes
• Supongamos una función de utilidad
para n bienes dada por
utilidad = U(x1, x2,…, xn)
• El diferencial total de U es
dU
U
dx1
x1
U
dx2 ...
x2
U
dxn
xn
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Muchos Bienes
• Podemos encontrar la TMS entre dos
bienes cualesquiera haciendo dU = 0
dU
0
U
dxi
xi
U
dx j
xj
• Arreglando, tenemos:
TMS ( xi por x j )
dx j
dxi
U
xi
U
xj
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Superficies de Indiferencia
para n bienes
• Ahora vamos a definir superficies de
indiferencia como un conjunto de
puntos en n dimensiones que satisface
la ecuación
U(x1,x2,…xn) = k
Donde k es cualquier constante
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Superficies de Indiferencia
para n bienes
• Si la función de utilidad es cuasicóncava, el conjunto de puntos para los
cuales U k será convexo
– Todos los puntos en una línea que une dos
puntos cualesquiera sobre la superficie de
indiferencia U = k también tendrán U k
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Puntos Importantes:
• Si los individuos obedecen ciertos postulados
de comportamiento, serán capaces de
establecer una ordenación (ranking) cestas o
conjuntos de bienes
– Dicho ranking puede ser representado por
medio de una función de utilidad
– Al escoger, los individuos actúan “cómo si”
estuvieran maximizando esa función
• Las funciones de utilidad para dos bienes
pueden ser ilustrados mediante un mapa de
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curvas de indiferencia
Puntos Importantes:
• La pendiente negativo de una CI mide la
Tasa Marginal de Substitución (TMS)
– Ella muestra la proporción en que un
individuo estará dispuesto a intercambiar
cierto monto de un bien (y) por más
unidades del otro bien (x)
• La TMS decrece a medida que x es
substituido por y
– Esto indica que los individuos prefieren
balancear sus decisiones de consumo
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Puntos Importantes:
• Ciertas formas funcionales simples pueden
capturar diferencias importantes en las
preferencias de un individuo sobre dos o más
bienes
– La función Cobb-Douglas
– La función lineal (Substitutos Perfectos)
– La función de proporciones fijas (Complementos
Perfectos)
– La función CES
• Ella incorpora a los otros casos como casos
especiales
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Puntos Importantes:
• Resulta bastante simple generalizar
nuestro modelo de preferencias de dos
bienes para el caso de muchos bienes
– Las matemáticas para el caso de muchos
bienes no son, sin embargo, especialmente
intuitivas, así que seguiremos con el caso
de dos bienes para acumular más intuición
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