poliedros regulares

POLIEDROS
ELEMENTOS DE LOS POLIEDROS:
CARAS: Los polígonos que limitan al poliedro.
ARISTAS: Los lados de las caras. Cada una pertenece a dos de ellas, por ello también se puede
decir que son los segmentos que surgen de la intersección de dos caras.
VÉRTICES: Los vértices de las caras. Cada uno pertenece a tres o más caras, por eso también se
puede decir que son los puntos de intersección de tres o más aristas.
DIAGONALES DEL POLIEDRO: Los segmentos que tienen por extremos dos
poliedro, que no pertenecen a una misma cara.
vértices del
ÁNGULOS DIEDROS: Son los ángulos formados por dos caras que tengan una arista común.
ÁNGULOS POLIEDROS: Son los ángulos formados por tres o más caras que tienen un vértice
común.
SUPERFICIE: Es el conjunto de todas sus caras, o también la suma de las superficies de todas
sus caras .
POLIEDROS REGULARES
Los poliedros regulares son aquellos que tienen sus caras formadas por polígonos regulares e
iguales y en cuyos vértices concurre el mismo número de caras. Su nombre alternativo, "sólidos
platónicos", se debe a que Platón (427 - 347 a.C.) los cita en el Timeo. Para él, los últimos
elementos de la materia son los poliedros regulares.
No se sabe exactamente en qué época llegaron a conocerse los cinco poliedros regulares
convexos. Se tiene constancia de que el objeto más antiguo hecho por el hombre con forma de
dodecaedro es atribuido a tiempos prepitagóricos.
1- Poliedros regulares de caras triangulares
Como el ángulo interior de un triángulo equilátero mide 60°, para que se forme ángulo poliedro
podrán concurrir en un vértice 3, 4, o 5 triángulos, ya que la suma de sus ángulos interiores será
respectivamente: 3x60°=180°, 4x60°=240°, 5x60°=300°
Si en un mismo vértice concurriesen 6 o más caras, su suma sería 6x60°=360° o más (cuatro
rectos o más), lo que impediría la formación del ángulo poliedro.
TETRAEDRO: 4 caras
TETRA: prefijo, del griego: cuatro.
OCTAEDRO: 8 caras
OCTA: prefijo, del griego: ocho
ICOSAEDRO: 20 caras
ICOSA: prefijo, del griego: veinte
TETRAEDRO
OCTAEDRO
ICOSAEDRO
2- Poliedros regulares con caras cuadradas
Los ángulos del cuadrado miden 90°, por lo tanto en un vértice podrán concurrir tres de ellos para
formar ángulo poliedro, pues: 3X90°=270°. Si tomás emos cuatro caras cuadradas no se podría
formar ningún ángulo poliedro, ya que 4X90°=360°.
Por lo tanto, con caras cuadradas no puede existir más de una especie de poliedros regulares:
Hexaedros o Cubos.
HEXAEDRO O CUBO: 6 caras
HEXA: prefijo, del griego: seis
4
3- Poliedros regulares de caras pentagonales
Sabiendo que el ángulo interior de un pentágono regular mide 108°, el ángulo poliedro en el que
concurren tres caras pentagonales por vértice medirá 3X108°=324°, que es menor que 360°,
permitiendo así construir triedros de caras pentagonales regulares. Si fuesen cuatro ya no sería
posible ya que 4X108°=432°. De esto se deduce que n o existirán ángulos poliedros con cuatro o
más caras de esta clase.
El único poliedro regular con caras pentagonales es el llamado Dodecaedro.
DODECAEDRO: 12 caras
DODECA: prefijo, del griego: doce
4- ¿Existen poliedros regulares con caras hexagonales, heptagonales, etc. ?
Los ángulos interiores del hexágono regular miden 120°. Tres de ellos sumarán 3X120°=360°, que
no es menor que cuatro rectos. Si consideramos que los ángulos de los polígonos regulares van
aumentando a medida que lo hace el número de lados, tres ángulos de cualquiera de los
polígonos regulares de seis o más lados sumarán más de 360°.
Por lo tanto: No existen polígonos regulares cuyas caras sean hexágonos, heptágonos,
octógonos, etc.