Transformaciones Sobreyectivas e Isomorfismos File
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Transformaciones Sobreyectivas e Isomorfismos
Profesores
Hernán Giraldo y Omar Saldarriaga
Instituto de Matemáticas
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Universidad de Antioquia
Profesores Hernán Giraldo y Omar Saldarriaga
Transformaciones Sobreyectivas e Isomorfismos
Definición (Transformación lineal sobreyectiva)
Sean V y W espacios vectoriales y T : V −→ W una transformación lineal,
1. Definimos la imagen de T , denotada por Im(T ), como el conjunto
Im(T ) = {T (v) | v ∈ V } = {w ∈ W | existe v ∈ V tal que w = T (v)}.
2. Decimos que T es una trasformación lineal sobreyectiva si
Im(T ) = W .
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Transformaciones Sobreyectivas e Isomorfismos
Teorema
Sean T : Rn −→ Rm una transformación lineal y A =E TE la matriz de T ,
entonces Im(T ) = Col(A).
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Transformaciones Sobreyectivas e Isomorfismos
Teorema
ea T : Rn −→ Rm una transformación lineal y A la matriz de T , entonces T
es sobreyectiva si y solo si rango(A) = m = número de filas de A.
Ejemplo
1
0
Sea A = 1 −2 y T : R2 −→ R3 la transformación lineal definida por
3
0
T (x) = Ax, calcular la imagen de T .
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Teorema
ea T : Rn −→ Rm una transformación lineal y A la matriz de T , entonces T
es sobreyectiva si y solo si rango(A) = m = número de filas de A.
Ejemplo
1
0
Sea A = 1 −2 y T : R2 −→ R3 la transformación lineal definida por
3
0
T (x) = Ax, calcular la imagen de T .
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Definición (Isomorfismo)
Sean V y W espacios vectoriales y T : V −→ W una transformación lineal,
decimos que T es un isomorfismo si es una función biyectiva. También
diremos que V es isomorfo a W si existe un isomorfismo entre ellos, lo
cual denotaremos por V ∼
= W.
Teorema
Sea T : Rn −→ Rm una transformación lineal y A =E TE la matriz de T ,
entonces T es un isomorfismo si y solo si rango(A) = m = n.
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Transformaciones Sobreyectivas e Isomorfismos
Definición (Isomorfismo)
Sean V y W espacios vectoriales y T : V −→ W una transformación lineal,
decimos que T es un isomorfismo si es una función biyectiva. También
diremos que V es isomorfo a W si existe un isomorfismo entre ellos, lo
cual denotaremos por V ∼
= W.
Teorema
Sea T : Rn −→ Rm una transformación lineal y A =E TE la matriz de T ,
entonces T es un isomorfismo si y solo si rango(A) = m = n.
Corolario
Rn ∼
= Rm si y solo si m = n.
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Transformaciones Sobreyectivas e Isomorfismos
Definición (Isomorfismo)
Sean V y W espacios vectoriales y T : V −→ W una transformación lineal,
decimos que T es un isomorfismo si es una función biyectiva. También
diremos que V es isomorfo a W si existe un isomorfismo entre ellos, lo
cual denotaremos por V ∼
= W.
Teorema
Sea T : Rn −→ Rm una transformación lineal y A =E TE la matriz de T ,
entonces T es un isomorfismo si y solo si rango(A) = m = n.
Corolario
Rn ∼
= Rm si y solo si m = n.
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Teorema
Sea T : Rn −→ Rn un isomorfismo y A =E TE la matriz de T , entonces su
función inversa T −1 es una transformación lineal y su matriz de
transformación es A−1 .
Ejemplo
1
1
,
1 −1
determinar si T es un isomorfismo. En caso afirmativo calcular T −1 .
Sea T : R2 −→ R2 la tranformación lineal cuya matriz es A =
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Teorema
Sea T : Rn −→ Rn un isomorfismo y A =E TE la matriz de T , entonces su
función inversa T −1 es una transformación lineal y su matriz de
transformación es A−1 .
Ejemplo
1
1
,
1 −1
determinar si T es un isomorfismo. En caso afirmativo calcular T −1 .
Sea T : R2 −→ R2 la tranformación lineal cuya matriz es A =
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Teorema
Sea V un espacio vectorial y X = {v1 , . . . , vn } una base para V , entonces
V ∼
= Rn . Un isomorfismo entre estos espacios está dado
por la función
α1
.
n
T : V −→ R definida por T (α1 v1 + · · · + αn vn ) = .. , a esta función se
αn
le conoce como el isomorfismo canónico o estándar.
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Ejemplo
El conjunto {1, t, t2 , t3 } es una base del espacio V = R3 [t], por tanto V es
isomorfo a R4 y el isomorfismo está dado por
a0
a1
2
3
T (a0 + a1 t + a2 t + a3 t ) =
.
a2
a3
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Teorema
Sea V un espacio vectorial y sean {v1 , . . . , vn } y {w1 , . . . , wm } bases para V,
entonces m = n.
Definición
Sea V un espacio vectorial, definimos la dimensión de V, denotada por
dim V , como el número de vectores en una base de V. Es decir, si
{v1 , . . . , vn } es una base para V entonces dim V = n.
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Teorema
Sea V un espacio vectorial y sean {v1 , . . . , vn } y {w1 , . . . , wm } bases para V,
entonces m = n.
Definición
Sea V un espacio vectorial, definimos la dimensión de V, denotada por
dim V , como el número de vectores en una base de V. Es decir, si
{v1 , . . . , vn } es una base para V entonces dim V = n.
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Ejemplo
1. El conjunto {1, t, . . . , tn } es una base para Rn [t], tenemos que
dim Rn [t] = n + 1.
2. Una
base
para
1 0
0
,
0 0
0
M22(R) está
por
dada 1
0 0
0 0
,
,
, por tanto dim M22 (R) = 4.
0
1 0
0 1
3. En general tenemos que dim Mmn (R) = mn. Una base para este espacio
está dada por {Eij | i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m}, donde Eij es la matriz
m × n con un 1 en la posición ij y cero en las demás posiciones.
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Teorema
Sean V y W espacios vectoriales, T : V −→ W un isomorfismo,
{v1 , . . . , vn } ⊆ V y v ∈ V . Entonces se tiene lo siguiente:
1. El conjunto {v1 , . . . , vn } es linealmente independiente si y sólo si el
conjunto {T (v1 ), . . . , T (vn )} es linealmente independiente.
2. El conjunto {v1 , . . . , vn } genera a V si y sólo si el conjunto
{T (v1 ), . . . , T (vn )} genera a W .
3. El conjunto {v1 , . . . , vn } es una base para V si y sólo si el conjunto
{T (v1 ), . . . , T (vn )} es una base para W .
4. dim V = dim W .
5. v ∈ gen{v1 , . . . , vn } si y sólo si T (v) ∈ gen{T (v1 ), . . . , T (vn )}.
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