julio rafael rivera feijoo

Universidad Nacional de lngenieria
PROGRAMA ACADEMICO ESCUELA DE GRADUADOS
" Análisis Sísmico de Reservorios Elevados con
Estructura Cilíndrica de Soporte "
TESIS
PARA OPTAR EL GRADO DE MAGISTER EN CIENCIAS
"MENCION ESTRUCTURAS"
fresen tada por
JULIO RAFAEL RIVERA FEIJOO
UMA • PERU • 1984
RESUMEN
La primera parte del trabajo sobre el comportamiento hidrodinámico de
Reservorios Elevados con Estructura Cilíndrica de Soporte es un com­
pendio sobre el comportamiento hidrodinámico del agua, cuando ésta se
encuentra almacenada en reservorios semi-infinitos y finitos.
Se
describe en esta primera parte las teorías que permiten encontrar las
formas de modo del agua sometida a movimientos vibratorios; así como
también, las presiones que se generan en los muros.
En base a un sistema mecánico equivalente que representa el comporta­
miento del agua, se modeló el conjunto reservorio elevado - agua.
Se tomó una población de 360 reservorios que engloba en sus caracte­
rísticas geométricas a la mayor parte de reservorios elevados de con-
creta armado existentes en el Perú.
Estos reservorios fueron anali-
zados y luego los resultados han sido tabulados e interpretados; plan­
teándose posteriormente una metodología simplificada para efectuar el
análisis, proponiéndose un sistema estático simplificado para determi­
nar los periodos de vibración y las fuerzas de inercia de los reser­
vorios sometidos a eventos sísmicos.
Finalmente se realizó la comparación entre los análisis dinámicos de
los reservorios y los análisis según el método estático propuesto, en­
contrándose una buena concordancia entre ambos.
RESUMEN
La primera parte del trabajo sobre el comportamiento hidrodinámico de
Reservorios Elevados con Estructura Cilíndrica de Soporte es un com­
pendio sobre el comportamiento hidrodinámico del agua, cuando ésta se
encuentra
almacenada en
reservorios
semi-infinitos
y
finitos.
Se
describe en esta primera parte las teor ías que permiten encontrar las
formas de modo del agua sometida a movimientos vibratorios; así como
también, las presiones que se generan en los muros.
En base a un sistema mecánico equivalente que representa el comporta­
miento del agua, se modeló el conjunto reservorio elevado - agua.
Se tomó una población de 360 reservorios que engloba en sus caracte­
rísticas geométricas a la mayor parte de reservorios elevados de concreto armado existentes en el Perú.
Estos reservorios fueron anali-
zados y luego los resultados han sido tabulados e interpretados; plan­
teándose posteriormente una metodología simplificada para efectuar el
análisis, proponiéndose un sistema estático simplificado para determi­
nar los periodos de vibración y las fuerzas de inercia de los reser­
vorios sometidos a eventos sísmicos.
Finalmente se realizó la comparación entre los análisis dinámicos de
los reservorios y los análisis según el método estático propuesto, en­
contrándose una buena concordancia entre ambos.
I N O I C E
Pág.
i
RESUMEN
INTRODUCCION
RESE�A BIBLIOGRAFICA
iiiii
CAPITULO I - COMPORTAMIENTO HIDRODINAMICO DE RESERVORIOS
1.1
1.2
1.3
HIP0TESIS
1
RESERVORIO RECTANGULAR
4
1.3.1
Reservorio de lon9itud infinita
1.3.2
Reservorio finito rectangular
8
1.3.3
Influcnci.a de la rigidez óe las paredes y
�DOS Y FRECUENCIAS NATURALES DE OSCILACION DEL AGUA.
PRESIONES CONTRA LOS f,lJROS.
rotación de la cimentación
1. 4
ERRORES AL TOW.R EL LIQUIDO cor.o INCOMPRESIBLE
l. 5
RESERVORIOS DE FOR"V\S NO RECTA:;GULARES
1.6
SISTEM.l\ MECANICO EQUIVALENTE
1.6.l
Teoría general de reservorios rectangulares
1.6.2
Sistema mecánico equivalente simplificado.
Reservorio Rectangular
1.6.3
1.7
10
12
13
14
17
17
20
Sistema mecánico equivalente simplificado.
Reservorio Circular
l.6.4
8
Influencia de 1a ior,11a
RESERVORIOS ABIERTOS Y LLENOS.
20
, ,
ue.1.
tondo del reservorio
20.
25
Pág.
CAPITULO I I - ANALISIS DINl\MICO DE RESERVORIOS ELEVAOOS
2.1
2.2
MODE LAJE DE LA ESTRUCTURA
CARACTERISTICAS DE LOS RESERVORIOS ES'l'UDIADOS
28
2.2.1
28
2.2.2
2.3
2.4
2.5
2.7
Características de las Cubas
Características del Fuste
METODO USA DO
FORMAS DE MODO
30
30
33
PERIOOOS DE VIBRACION
33
2.5.l
33
2.5.2
2.G
26
Primer M::>do de Vibración
Segundo Modo de Vibración
FUERZAS DE INERCIA
INFLUENCIA DE MODOS SUPERIORES
36
39
45
CAPITULO Il! - DETER�UNACION SIMPLIFICA9A DE PERIOOOS
DE VIBRACION
3.1
3.2
3.3
?TGl..ffiil MODO
S_t:;C:'NDO MODO
ERHUi'F.S SI NO SE CONSIDERAN LAS l)EFORMACIONES POR CORTE
43
53
CAPITULO i V - METODO ES·rA TICO SIMPLIFICADO PARA DETERMINA
CION DE LAS FUERZAS HOKIZONTALES, FUERZAS DE CORTE Y MO-­
MENTOS FLEC'IDRES
4.1
FORMULACION DEL METODO
4.1.1
4.1.1
4.1.3
4.1.�
4.1.5
Parámetros del A gua
Período de Vibración a� la Estructura
Fuerza de Inercia de masa móvil de agua
Fuerzas de Inercia de la Estructura
Fuerzas OJ:tantes y lvPmentos Flcctore�
55
55
56
57
58
58
Pág.
4.2
COMPARACION ENTRE EL ANALISIS DINAMICO Y EL ANAL I
SIS POR METODO ESTATICO SIMPLIFICADO
4.2.1
Metodología para el Análisis Dinámico
4.2.2
Metodología para el Análisis Estático
60
4.2.3
Interpretación de Resultad0s
60
CAPITULO V
5.1
5.2
59
59
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
CONCLUSIONES
62
RECOMENDACIONES
63
NOMENCLATURA USADA
65
REFERENCIA..C
67
ANEXO A
F1GURAS Y TABLAS
68
ANEXO B
METODO DE RAYLEIGH
80
ANEXO C
J.NALISIS DINAMICO t-'JATRICIAL,
!JE RESERVORIO
V = 1, 600 M3
84
ii
INTRODUCCION
El presente trabajo trata sobre el Análisis sísmico de Reservorios
Elevados con Estructura Cilíndrica de Soporte.
En ciudades, cuyas superfícies geográficas se presentan bastante hori­
zontales, es muy común el construir reservorios elevados con el objeto
de dotar de agua a las edificaciones, la misma que debe tener una
presión adecuada.
En nuestro medio, por motivos económicos, estéticos y de rapidez cons­
tructiva se usa frecuentemente reservorios de concreto con estructuras
cilíndricas de apoyo.
Si al ana:!.izd.c el reservorio elevado, se tratara al fluido como unñ
masa unida �n su totalidad a la mása óe la estructura que le sirve de
soporte,
se
tendría diset'ios
mu;'{.' conservadores
estructuras scbredimensionadas y costosas,
soporte
ifuste)
a
sob:;-..:: todo en cua1.to al
y a la cimentación se refiere;
ejecutar diseños más razonables,
que conllevarían
es pues importanf:.'e
que tengan en cuenta el verdaót::::o
comportami¿;¡t.:, hidrodinámico de la estructura.
En la primer.:. parte de este trabajo, se presenta información sobre el
comportamiento dinámico del agua sometida a movimientos vibratrios.
Se determinar. de esta manera los modos y frecuencias naturales de
oscilación del agua, así como tambiJn la presión sobre los muros de
los
reservorios.
Con
el
objeto
de
simplificar
el
análisi.s
hidrodinámico, se representa un Sis�ema Mecánico Equivalente que tiene
la característica de producir efectos sobre el reservorio, similares a·
los del lÍquid�.
iii
En base al sistema mecánico equivalente, y teniendo en cuenta las
características estructurales del reservorio
se
prepara
estructural que es procesado mediante un análisis modal.
un
modelo
con el objeto que el presente estudio tenga resultados que puedan ser
aplicados a cualquier reservorio elevado con estructura de soporte
cilíndrica, se trabajó con una gama de reservorios comprendidos entre
los más chicos a los más grandes que comunmente se usan; los reser­
vorios estuvieron entre los 350 a 3,000 metros cúbicos de capacidad de
almacenamiento.
Por este mismo motivo se efectuó en ellos una grrn
variación de alturas y en rigideces,
reservorios.
cubriéndose un total de 360
Los reservorios fueron analizados teniendo en cuenta las deformaciones
por flexión y corte.
incluir
la
c1 iferencia::.
También se volvieron a analizar los mismos, sin
deformación
de
corte
evaluándose
de
esta
manera
las
Analizando los resultados, se invr.stigó la posibilidad de encontrar,
de una mane1a simplificada, los pe�íodos de vibr-c�ón que correspond�n
a los dos primeros modos de vibración, obteniéndose expresiones pa·a
estos resultados con un margen de er�or muy pequefio.
Se plantea finalmente, �n método está��co simplificado de diseno, y s�
verifica
!·U
grado de validez, com'._)e.1ándolo con un análisis modal.
Para evalu�r el grado oe certidumbre que tiene el método simplificado,
se efectúa el disefio e5tático propuesto y se compara con el análisis
sísmico modal, teniendo en cuenta los tres tipos de suelos con que eJ.
Reylam�nto Nacional d� Construcciones dP.l Perú (1977) clasifica a los
diferentes terrenos de nuestro territorio.
Como resultado d� a1ct1a
comparación, se obsE::cva que el método planteado e.s en todos lo!· casos
conservador con valores muy cercanos a los obtenidos por el análisis
modal.
iiii
El análisis dinámico fué realizado considerando que el reservorio se
comporta en el rango elástico y que se encuentra empotrado en la base.
El
análisis
de
los
reservorios
se
efectuó
usando
el
método
Reyleigh, para lo cual se contó con un Computador I.B.M. - PC.
de
Deseo hacer público mi agradecimiento a todas aquellas personas que
colaboraron en el desarrollo de este trabajo; ellos son, el Dr. Rafael
Torres, Director de la Tesis el Dr. Jorge Alva y el Dr. Javier Pique
por sus valiosos comentarios, el Bachiller Albert Peyre, por la veri­
ficación de cálculos mediante el computador y la Sra. Lucrecia ZÚftiga
por su paciente labor en el tipeo del trabajo.
iiiii
RESE�A BIBLIOGRAFICA
La siguiente reseña
bibliográfica
fué
tomada
del
trabajo
de Tesis
desarrollado por Armando Flores Victoria, señalado en la referencia 1
de esta Tesis.
Existe diversidad de estudios referente al comportamiento hidrodiná­
mico del agua almacenada en presas y reservorios.
Lamb,
en
1879,
publicó
su
r.t>vimiento de FluÍdos".
fluÍdos
sujetos
a
"Tratado sobre la Teoría
Matemática
del
Analiza los modos naturales de oscilación de
ciertos
tipos
de
movimientos
forzados,
oleaje y
condición de borde libre.
Wertergaard,
en
1933,
determina
las
presiones
en un
muro
vertical
rígido, con movimiento periódico, en reservorios de longitud semi-in­
finita.
Tomó sólo el efecto bidimensional, suponiendo el nivel libre
sin presiones (oleaje mínimo).
Hoskins y Jacobsen
vorio rectangular,
(1934),
verifican experimentalmente,
en un reser­
los estudios planteados por Westergaard,
haciendo
notar que si la longitud del tanque "L", excede de 2.5 la altura H•,
11
del nivel libre del agua en reposo; la presión total es menor en 4%
que la de L = infinita.
Hinds, Creager y Justin, en 1945; estudian el efecto de pared incli­
nada y sefialan criterios básicos para disefio sísmico de presas.
Werner y Sundquist,
desplazamientos,
en 1949,
para
obtienen las ecuaciones de presiones y
distintos
movimiento horizontal armónico.
incompresible.
Estudian
tipos
recipientes
sujetos
a
un
Estudian el comportamiento de fluído
reservorios
miento de una o dos paredes,
de
de
longitud
fÍnita
con
movi­
medio cilindro con movimiento longitu­
dinal y transversal, sección triangular, reservorio cilíndrico, pila y
semi esfera.
iiiiii
Grankam y Rodríguez, en 1952, estudian tanques de combustibles rectan­
gulares para valuar su efecto en aviones.
Encuentran expresiones del
sistema mecánico equivalente de masas y resortes que producen el mismo
efecto dinámico que el
líquido
sobre
las paredes del
tomando para ello el líquido como incompresible.
Zangar, en 1953, estudia la incompresibilidad del fluÍdo.
aplicación de redes de flujo para determinar las presiones.
Napedvaridze, en 1959,
vertical
e inclinado
reservorio,
Sefiala la
estudia el efecto de movimiento horizontal,
para
un reservorio
fluÍdo incomprensible y muros inclinados.
de longitud infÍnita con
Housner, en 1957, propone un método aprcximado y sencillo del efecto
hidrodinámico del fluÍdo incompresible, en reservorios con una o doble
simetría y movimiento horizontal en una de esas direcciones.
Trata
recipientes rectangulares, cilíndricos, pared inclinada y la flexibi-
lidad del muro, mostrando que ésta disminuye las presiones al ser más
fl�xible.
Jacobsen,
en 1949,
estudia el movimiento horizontal de res�rvorios
circulares con fluído incompresible.
lentes y las confirma experimentalmente.
D�termina las masas equiva-
Jacobsen y Ayre, en 1951, dan un reporte de experimentos en servo=!os
circulares sujetos a movimientos armÓ�jcos amortiguados.
Estudiar el
efecto de la cubierta del reservorio y sefialan que si más del 2% del
volumen es �ire, se puede considerar abierto.
Housner. en 1960, sefiala el criterio de cálculo por sismo en reser­
'vorios ré'e't.angulares y r:il{ndricos a j?artir de formar el sistema mecá­
nico equivalente de masas y resortes tomando sólo el efecto del primer
aodo de
CI..cile=.=.6!'!
15 h,:e del agua.
para reservorios elevados.
En 1963 da las cosideraciones
iiiiiii
Flores, en 1963, desarrolla un trabajo sobre las presiones hidrodiná­
micas empresas Y tanques.
Recopila toda la información de trabajos
anteriores y da las consideraciones más importantes en el disel'io de
recipientes y presas bajo movimientos arbitrarios.
meno de resonancia,
sistema mecánico equivalente,
flexibilidad de los muros.
Estudia el fenó-
influencia de la
- 1 CAPITULO I
COMPORTAMIENTO DINAMICO DEL AGUA
1.1
HIPOTESIS
Se considera al medio como homogéneo, continuo e isotrópico; así
mismo, se supondrá que se trata de un fluido sin viscosidad, es
decir, que durante el movimiento, los esfuerzos generados entre
las partículas son normales a su s�perficie de contacto, y por lo
tanto se tiene que en un punto dado del fluido la presión en
cualquier dirección será la misma.
Se
considerará
que
las
partículas
dos
partículas
se
desplazan siguiendo un
"movimiento continuo", entendiéndose con ello, que la velocidad
relativa
entre
adyacentes
es
peque�a,
de tal
manera que su distancia entre ellai; permanece en el mismo o::��n
de ra:1gni tud durante todo el naovimie�to.
Se observó qu<' ,m las presiones dinámicas, l.:i viscosidad y la
tensión superficial en el líquido, ti€nen un efecto mínimo en los
re�ultados teóricos con respe-::tc a los experimentales
tener
en
cuenta
la
viscosidad,
complica
(1) *.
inútilmente
El
i..as
ecuaciones y consecuentemente su solución, por lo que su efecto
r.c se tomará en cuenta (1).
Cuando
el
mc·.-imientos
líquido
de
se
alguna
encuentra
manera,
en
se
reposo
tendría
coordenadas como se indica en la figura l.
y
se
que
le
indur:en
usar
tres
Sin embargo, se puede
simplificar el problema si es que considera��s "{Ue el movimiento
del líquido se c'!esarrolla en secciones paralelas entre sí.
comodidad,
la sección que se torne como la representativa,
Por
se
puede hacer de espesor unitario y en ese caso bastará solo dos
coordenadas para determinar los movimientos en cualquier punto o
partícula en un instante cualquiera.
*
Los números entre paréntesis indican la referencia usada.
- 2 -
z
FIG. 1
RECIPIENTE RECTANGULAR. SISTEMA TRIDIMENSIONAL
r___-- -....__
-
.......
..............
......_
_______ _
H
-;. X
L
FIG. 2
RECIPIENTE RECTANGULAR. SISTEMA BIDIMENSIONAL
- 3 -
oe esta manera, cuando se tenga un movimiento bidimensional, y se
quieren conocer las presiones que se generan en el agua;
(Ver figura 2)
tendrá el problema bidimensional.
se ha considerado que los
reservorios
están
se
constituídos por
paredes y fondo r Íg idos y que todos sus elementos se mueven en
forma uniforme sin presentar giros ni desplazamientos relativos.
Forma del Reservorio
Dentro de un movimiento bidimensional,
el movimiento pertubador del
movimiento
ser
reservorio
que
inclinado,
dependiendo
en
alteró
el
el
fluido
estado
que
éste
de
inicial
puede
la
forma
del
agua
horizontal,
del
producirá
vertical
reservorio.
movimiento estará en el mismo plano que el movimiento pertubador.
un
o
Este
El tipo de movimiento dependerá de la forma del reservorio, pudiendo
rectangula.i;..
ser este de forma
muestra en la figura 3.
trian gular,
circular:
p- -3.1 RECTANGULAR
X
��
3.2 TR IANGULAP.
..
3.3 AR.;O DE CIRCULO
FORMAS
DE
como se
1
:r -����-__j
__.__
, -"'�--x
Fig. 3
etc.,
LOS RESERVORIOS
- 4 -
1.2
MODOS Y FRECUE�CIAS NATURALES DE OSCILACION DEL AGUA.
RESERVORIO
RECTANGULAR
Tomando un reservorio como se indica en la figura 4, que tiene
una altura del nivel libre de reposo H y una longitud L, con los
ejes coordenados como se indica en la figura, la Pcuación de onda
en
función
del
potencial
de
velocidades
estará
dada
por
la
siguiente expresión(l):
1
(1.1)
a.2
La misma que debe cumplir las condiciones de frontera:
(l. 2)
(l. 3)
(l. 4)
que expresan las condiciones de paredes inmóviles y la presencia
de oleaje por gravedad en la superficie libre.
¡!
función potencial de velocidades
g
aceleración de la gravedad:(9.81 m/seg.
t
a
Ev
do
tiempo
2
velocidad del sonido en el agua = 1,438 m/seg2: = �Ev g/t0
= módulo de compresibilidad volumétrica del agua = 210, 920
tn/m3
= peso volumétrico del agua:l tn/m3
- 5 -
f ______--
-
,_....
A
-........
H
Fig. 4
-
-..............
.
�- ���
--......._____
�;=-
.,...
........
RESERVORIO RECTANGULAR RIGIDO.
SISTEMA BIDIMENSIONAL
Suponiendo que el líquido se mueve periódicamente de tal manera
que
i:-:,i..J
configuración de movimient o en un instante dado, se: puede
expresar mediante una función armónica
� (t)
- w
a.
6
tal que:
(t)
? (t)
dt�
formada por una combinación de funciones periódicas en las que w
:-- -?, 7Y' /T es la frecuencia del movimiento en :-2. rl /c 1; 0
período en segundos.
':! 'T' es el.
- 6 -
En este caso se determina que el movimiento de las partículas se
genera por ondas gue se mueven a lo
1
argo del eje X;
longitud de dichas ondas resulta ser�= 2L/m.
y la
La solución a la ecuación de onda está dJda por la exµresión.
Donde
X (x)
Y (y)
Z
(t)
Mi cos (m ¡,- X/L)
= cos (hn Y/H)
sen wt
Kn Tan (Kn) =
W
t
H/G
Constante
m
O , 1,
2,
3, ........•
Para el caso de reservorios, la siguiente expresión nos permite
(
encontrar las formas de modo del agua 1) .
- 7 -
tanh
(l. 6)
válida para el caso en que
L/T
<
719m, donde
Soc,
p < (Hm
'Tí /L) ó el valor egui valente
wH
2 1'r H
a
a
T
La expresión (1.6) es válida para reservorios de agua, ya que la
relación L/T práctica es generalmente bastante menor que 719 m.
m
1, 2, 3 .......... modo de vibración
T
período de vibración en seg.
Para el caso en que
se
p odrá
(2L) �
- -....;;
0.1
aT
despreciar
valor,
su
ya
que
es
muy
peque�o
comparativamente con m y de esta manera se tendr á la siguiente
expresión simplificada:
En
m.tanh (7T mH/L) = 4
L
g
T
la
obtenida
T
figura
para
1.13
m
yc
5,
se
tiene
(l. 7)
la
relación
1, notándose que para L/H
<
H/L
a
1, se cumple:
L/T'
(1.8)
- 8 -
que corresponde al caso
altura ya no interviene.
de recipiente profundo,
en donde la
De esta manera el fenómeno queda definido por las oscilaciones
del nivel libre.
1.0
L/T�72
- tenhtY-=-�
H 41T L
L 9 T
.e
Ji
L
,6
.4
.2
o
1.00
m=I
---------
o
.1
.2
.3
L
T2
,4
1
.,,,,,
JI
VI
./
1
/
m
.5
.6
seg.2
1.25
1.67
2.50
1 5.00
1
.7
1
1.e
00
0.78
Fig. 5. Relación H/L a L/T z. para el primer modo de oscilación
libre bidimensional para reservorio rectangular.
1.3
PRESIONES CONTRA LOS MUROS
1.3.l
Reservorio de longitud infinita
A
continuación
se plantean soluciones para
infinitos, como se muestra en la figura 6.
reservorius
Bajo la hipótesis de que el agua es imcomprensible C•L('),
la ecuación 1.1 se convierte en:
+
o,
(l. 9)
- 9 -
que
resolviéndola
set'ialadas en las ec.
para
las
(l. 2) ,
(l.
condiciones
3) y
(l.
de
frontera
4) se obtiene la
expresión que nos da la ecuación· para la presión en el
muro.
- � wt
¿_
4s
'?\: • /'
'2 (-I)
'h+l
fJ. z.__ u:.'
-n -J1-''"'
..r- ..
(OS
donde/�= (2n - 1) 7T /2; _,fi= wH/a
O(
H
(1.10)
(2TT/a)H/T
Proporción máxima de la aceleración de la gravedad
en el movimiento pertubador.
-�
-
/-
&-t.
J.J.,, _d_
....
�
1
�
��
.Js = Ao Cr,:. {d,t.
1
l
(
Fio. 6
RESERVORIO DE LONGITUD SEMI INFINITA.
MURO RIG\00
En la figura 7, se muestra graficada la ecuación 1.10, en
ella se observa claramente como varía la presión a lo alto
del muro, en función a la presión en la base.
- 10 -
1.0
.8
1---�
.6
y
H
.4
e
.2
o
MF' �EsloN
0
rEtJSiO�
.2
.4.
p .
Po
.6
.8
(Po= Pbose)
FIG. 7 DISTRIBUCION DE PRESIONE� EN
1.3.2
1.0
EL
MURO MOVIL
Re:servorio [i111.to rtctangu1.a.:
Cuando
se
sometidos
trata
a
de
reservorios
vibraciones
rectangulares
ar!!IÓnicas
finitos
estacionarias,
las
presiones en los m,,ros va1 ían de acuerdo al movimiento
relativo entre éstos, puditndo estar el movimiento c1, fase
o en desfase.
LOs valores obtenidos par:> reservorios infinitos según la
ecuación (1.10) es válida también para el caso en que un
solo muro se mueva y el opuesto permanezca fijo, así como
se muestra en la fiqura 8.
En estE> ;::.aso de movimiem:u <le un solo muro,
se pueden
cv�uar las presiones en la base de los muros así como
también los empujes y los momentos de volteo que éstos
producen en la base.
la figura 9.
Estos valores han sido graficados en
- 11 -
5=
Muro movil
Ao cos wt
FLUIDO
l.
.I
l
]
FIG. 8 RESERVORIO RECTANGULAR FINITO, MOVIMIENTO DE
MURO IZQUIERDO
(----
�=I
L
1r=�
1.5,_____.._
.543
100
I O
'
Fig. 9
1i-
200
250
300
(�)
PRESIONES EN LA BASE Po, EMPUJE TOTAL f.So Y
FLEXION Mo POR TRANSLACION ARMONICA DE
LA PAREO
VERTICAL RIGIDA
donde la presión en la base
el empuje en la base es
Q0
y el momento en la base es
350
- 12 -
Cuando ocurre el movimiento de los dos muros, los valores
de las presiones varían de acuerdo al desfase que exista
entre los movimientos¡ sin embargo se dan dos valores¡ uno
mínimo que corresponde al caso en que los dos muros se
muevan
en
fase
°
desfasados 180 .
y
otro
máximo
cuando
se
encuentran
En la fig�ra 10 se muestra la variación
en las presiones de acuerdo al desfase del movimiento de
las paredes.
Hñfs=j
-·
2.0
fig. tú
1.3.3
P
c,t:3'! H
DISTRIBUCION DE PRESION PROOL!CIDA POR
MOVIMIENTO DE U.\S PAREDES
Influencia de la rigidez de las ¡paredes y rotación de la
cim€'ntación
�rmando
Flores Victoria
(1963)
T
realiz6
un
análisis
en
reservorios rectangulares finitos y concluyó que el hecho
de
considerar
conservador,
Los
los
muros
rígfudos
e
indeformables
es
sin embargo para l@s dimensiones usuales de
reservorios
de
agua,
estéi'!ii diferencias
no son
muy
- 13 -
importantes
por
y
anteriormente se
consiguiente
los
valores
obtenidos
pueden considerar buenos dentro de
la
práctica ingenieril.
l. 4
ERRORES AL TOMAR EL LIQUIDO COMO INCOMPRESIBLE
Según estudios efectuados por Flores (1) y Rosenblueth y Newmark
(6), se determina el error en los empujes sobre los muros,
los
mismos que se muestran en la figura 11.
El error señalado es válido para valores desde L/H
según
lo
observado
en
la
figura
9,
los
>
empujes
5, ya que
no
se
afectados al tratarse de reservo�ius con L/H superiores a S •
.h.>5
H
80t-----l---+---+--l----l----4--�
e O= O comp-O¡ncomr� y 100
eo
Qcomp
..:..:�-----i----,.--t-i
60
Zona¡ usu.o de
(%)
reservor10
40
20t77:n¿,j---+--t---b-'-'-------t-�1--_.,H
10
º""'""'-===1-�..L-�..L�.J-.�...L.�lJ
100
Flg. 1!
H · 200
T
m
<seg?
a<Jml 350
360
ERROR EN EMPUJE TOTAL 4.\L TOMAR
FLUIDO INCOMPRESIBLE. VAS©. RECTANGULAR
ven
- 14 -
Rosenblueth y Newmark
(6) presentan una expresión sencilla para
incom!?resible.
expresión,
determinar el error que se tiene al considerar al líquido como
(agua) ,
se
siguiente:
Esta
encuentra
a
las
[1
que
sirve
temperaturas
J
( 3G�TY'
Para un reservorio de H
=
10 mts. y L/H
=
cuando
el
fluido
es
ordinarias,
la
4/3 el valor obtenido
de la expresión es de 1.00002, que significa que el valor real
del empuje considerando el empuje como comprensible es igual al
valor
considerando
al
líquido
como
incom!?rensible
y
multi!?licándolo por l. 00002, esto representa un error de O. 02%,
que desde el punto de vista ingenieril es despreciable.
l. 5 RESERVORIOS DE FORMAS NO RECTANGULARES
Las teorías descritas anteriormente están referidas a reservorios
rectangulares;
sin
embargo,
reservorios de otras formas.
esas
expresiones
variarán
para
Kotsubo (1959), ha determinado las
soluciones para algunos reservorios de secciones transversales no
rectangulares (6).
En la figura 12, se muestran algunas formas no rectangulares.
Kotsubo
deduce que es
conservador
y
satisfactorio
para casi
cualquier perfil de reservorio proceder de la siguiente manera:
l.
Se puede asumir, conservadoramente, que las presiones sobre
los muros de reservorios es la misma que para una sección
transversal rectangular.
2.
Tómese
1
el
período
fundamental
igual
al
de
la
sección
transversal rectangular que tenga una altura H, multiplicado
1
por
H/H
donde H y H son,
respectivamente, las
profundidades máxima y media d �l reservorio (H
=
A/L).
- 15 -
3.
todos
Tómese
perío dos
los
superiores
iguales
a los
de la
sección rectangular de pro fundidad H.
Las
soluciones
obtenidas
p or
Werner
y
Sundquis t
(1943)
conf irman los resultados correspondientes de Kotsubo (6).
L
+
H
·-----
.
A= LH
o)- RECTANGULAR
b)- SEV.ICIRCULAR
A
H=-¡:-
A
e)- �[GME;-�TO CIRCULAR
d)- TRIANGULO AGUDO
FIG. 12 SECCIONES TRANSVERSALES DE RESERVORIOS
- 16 -
Aplicando la teoría de Kotsubo para los reservorios mostrados en
la figura 12, se obtienen los siguientes períodos naturales.
EXACTO
SECCION TRANSVERSAL
SEGUN KOTSUBO
ERROR
Tl/T
T2/T
Rectangular
l. 000
0.335
l. 000
o.oo
Semicircular
0.853
0.374
0.885
3.80
Segmento circular
0.727
0.331
0.74E
2.97
o. 651
0.284
o. 70'
8.3 0
°
Tl/T
en %
(o(= 45 )
Triángulo agudo
T
�críodo de vibración fundamental de reservorio rectangular
Tl - �eríodo correspondiente al primer modo
T2 = P��íodo correspondiente al segundo modo
- 17 1.6
SISTF.MA MECANICO EQUIVALENTE
1.6.1
Teoría General de Reservorios Rectangulares
Hasta
el
presente,
sólo
ha
sido
posible
encontrar
analíticamente el sistema mecánico equivalente de masas y
resortes que representa el fenómeno hidrodinámico, cuando
se supone al fluído como incumprensible.
Graham
y
Rodríguez
(1)
hicieron los análisis para
tanque rectangular rígido, como se muestra en la fig. 1
un
A continuación se presentan los resultados obtenidos para
un movimiento estacionario de traslación armónica a lo
largo del eje "X" unicamente; tratándose el problema como
un caso de análisis bidimer.sion;l como se muestra en la
figura 13.
..z
..
-.
i
H L
-,2 2
�
i-- i(t-------.....;...__¡__ _J
·x
H
�--1
L__ ----+-----_,.¡,
-�
.1
FIG. 13 RESERVORIO RECTANC"JLAR
- 18 -
Sometiendo al recipiente a un movimiefl.to de sus paredes de
forma:
:§
Ao cos w t,
se obtiene la solución al comportamiénto del líquido, la
misma
que
es
asociada
al
de
un
sistema
mecár,ico
equivalente similar al mostrado en la figura 14.
En esta configuración,
se tiene una masa fija Mo a una
distancia zo del eje "X", y un número infinito de masas
puntuales Mn ligadas a las paredes del tangue, por meaio
de resortes con una rigidez Kn situados a una distancia Zn
del eje "X".
r
Z3
H
2
z,
. +- - - .:__ ----t-t-----,a... X
Ji
2
Zo
.,
--...11
2 --·+'--�·
L
,.......--=
1
::...c/'--=
·
:.
r"!(,, 14 SISTEMA MECANICO EOU1'YALENTE DEL
LIQUIDO. RESERVORIO RECTANGULAR
- 19 -
Si llamamos Wf al peso total del fluído contenido en el
recipiente,
y llamando Mf = Wf/g a- su masa; el sistema
�
��
=
Mo
Mt=
:.
equivalente estará dado por:
i!"t\
H
�.
H
r�.:n h ( -i.p,,.. .!f:}
..-,M-�
�
i -¿
"\'\ :.t
-
'
2
(1.10)
H/L
M-n
(1.11)
("d �
"t-om h � H/L2
(l. 12)
...,..U'I'\ tt/L.
M�
Mo
Z(
'"": '
N
-n
MF )
�..,...
(1.13)
H
2 i-O-M }/ (2fi'" H ¿L)
\-1 �""
W.f
(1.14)
.,.,u!
donde _/A n = ( 2n - 1) V /2
En la figura 15 se muestran
(1.15)
los valores de las m�sas
aso:::iadas al t?.:1que y sus posiciones;. en la paré(!, en ell.<'.
se puede apreciar la poca influencia que tienen los modos
superiores:
masas M2, M1, etc. ,
C!K1
respecto a Ml y Mo,
así como su posición en ,ü tanque, que en las masñ:; de
orden superior se va,1 colocando a la altura- del nivel
libre.
1.0
.h.
H
2.0
.5
.4
� 2.0
1.0
1T
1.0
1.s 2.0 2.s �.o
H
.5
.4
.4
.8
.2
.6
.2
.5
Fig. 15
1.0
1.5 �.u 2.5 3.0
H
o
A.3 OC: I A.DAS AL SISTF.MA KECANICO EQUI,VALEUTE Y
SU POSICION RESPECTO A LA IIEDIA ALTURA.
RECTANGULAR.
(GRAHAM Y RODRIGUEZ 1952)
RESERVORIO
- 20 -
1.6.2
Sistema
Mecánico
Equivalente
Reservorio
simplificado.
Rectangular
Housner
(1963),
más simplificado
plantea un
(1),
sistema mecánico equivalente
como se muestra en la figura 16,
considerando solo el primer modo de oscilación.
Asimismo,
evaluó los errores de su método con respecto al planteado
por Graham y Rodr Íg uez,
encontrando como máximo, errores
del 2. 5%
El método planteado por Housner es válido para relaciones
de L/H �
En
4/3.
la figura 18
se muestran los valores
de las masas
asociadas al tanque y sus posiciones en la pared.
1.6.3
Sistema
Mecánico
equivaler.te
Reservrrio
simplificado.
Circular
Similarmente
(1963)
planteó
equivalente
4/3.
En
al
caso de
tanques
expres�on�s
(1),
que
son
para
rectangulares,
un
sistema
válidas para
Housner
mec��ico
rango�: •de D/H �
En la figura 17 se muestra el sistema.
la figura 18
se muc..::.tran los valores
de las m:.1sas
asociadas al tanque y sus pcsicione� en la pared.
1.6.4
Influencia de la forma del Fondo de]. Reservorio
Cuando el !::.:.�=:: ��,
r<>�erv-.>r::.o no e plano y horizontal,
como es el caso de los reservoricD-s
elevados comúnmente
usados en el que el ;0;1do es semiesflérico .Y. ti:.onco cónico,
se
puede
asurru.r
según
R0senbl.mart.h
(-6)
un
reservorio
equjvale:nte que tenga el mismo diJÍnetro y volúmen que e l
t :.oque en cuestión.
- 21 -
¡.
L
b
PLANTA
---- ---
--- ---
_:._
-
H
(b)
(a)
Tan h (VÍO
t
../To .Ji_
L
T o=2TT.¡(Mí"
K
ho =iH
8
I¡L to< ( Mo -10�
MF
h1 = H
f
>
j
cos h ( ./lo � )- /8
- --------
./To � sen h(.fio � )
Cuando se toman en cuenta las presiones del fondo y paredes del tanque:
o( = l. 33 , ..,,(3 = 2
Cuando sól o se consideran l os efectos de las p resiones en las paredes
( Caso usado en esta tesis):
, .-6'=1
o(=O
FIG. 16 TANQUE RECTANGULAR ... SISTEMA MECANICO EQUIVALENTE
SIMPLIF !CADO
H/L � 0.75
- 22 -
PLANTA
•1
D
------ --
-----...... -- --
- --=-
K/2
..._.,.
_/::\
K/2
--\N-�-W-
H
( b)
( o}
_
363
M1
MF-512
H
Ton h (v'Í3.5
)
D
H
.J13.50
JT
HK
WF
Ta=2TT {Mí'
3
MF -1)
[
1+o<(-ho=-H
J
8
Mo
Cuando se toman en cuento los presiones del fondo y paredes del tanque:
cx=l.33 , ..,,6:2
Cuando solo se consideran l os efectos de los presiones en los paredes
( Coso uso do en esto t esis ) :
o< =O
, 4= 1
FIG. 17 TANQUES CIRCULARES. SISTEMA MECANICO EQUIVALENTE
SIMPLIFICADO
H/0
� 0.75
0.1
l/1
1
0.2
1
::-i-.....
1
1
L
H
0.3
0
,
1
0.4
o
H
1
0.5
1 ,..r :r-....... 1
1 ......., 1
O
H
1
1
0.6
º
H
O
1 ,A".\. I ', ,liit---�
'
Ó
CIRCUL AR
0.6
1
1
O
0.1
L
0.3
H
VALORES
0.2
0.5
0.7 0.75
O
º·
'
o.4
0.6
O
1
1
0.1
f--
1
1
1
0.2
1
nr,
L
H
L
H
0.3
1
h9
o
•
o
,
/
D
o
H
H
0.4
....
1
0.5
1
0.6
0.7 0.75
-- L.=KJ--1--j
-- 1 1 ------,
'- h 1_ I
h1
J( �
,_____¡__ ,
l¡-\. �j-l �
I
1
H
O
'\¡
0.2
/,(
0.3
H
L
1
0.4
,
H
o
O
1
0.6
1----
0.5
�7l __Vr--
Hk_j
�.;,
-
.... ....
0.7 0.75
::- . . "' ,. �
-­
--
0.1
.3751
1
O
1
1
1 1
1
,
o
DEL SISTEMA MECANICO EQUIVALENTE. SISTEMA SIMPLIFICADO
0.4
H
,
o
D
1
t
lí ·1í I�
í d-:t--i--+d
FIG. 18
1. 0
'
3.o 1
4.0
H
L
CLAVE
o
º'
o.4
0 .6
o.a 1
H
L
.
,
.
.
·
:
·
¡
.,,
.
r
· · í ·r i · 1 '-1---
RECTANGULAR ---
1 1
1
1
0.7 0.75
-,-_ e: 1
:..o -;-:-
::Li� i T '!' íJ'JJ
o
O
I""
o.4 1
º'
1
�-f-M
0.6 1
o.e 1
ó
.
.
.
.
.
·
·
·
· · .. · · "'
H
h
1
�
- 24 -
D
�= -
NT = Nivel su;::>erior de ogua
�-N1 = Nivel
- de maso M1
r
w_
No= Nivel de maso Mo
t=======I --- *--
--
V= Volumen de liquido
-
4V
H = lT 02
Nt = NT-H + ht
No= Nt -H- ho
N= 0.00 Ni vel asumido como empotrado
H = Altu ra prome dio del aguo
ht, ho = Ubicación de masas M1 y Mo respectivamente
NT, N1, No= Cotos de niveles de agu o
FIG. 19 UBICACION DE MASAS DE AGUA
- 25 De esta manera se puede trabajar con un reservorio que
tiene una altura promedio
figura 19
l. 7
(H),
como se muestra en la
RESERVORIOS ABIERTOS Y LLENOS
Las
expresiones
deducidas
reservorios abiertos.
anteriormente
son
válidas
para
El comportamiento de reservorios r Ígidos
completamente llenos, cubiertos con tapa rígida es diferente, sin
embargo, si existe un pequeño espacio entre la superficie del
líquido y la tapa (2% del volúmen del reservorio), las presiones
ejercidas sobre las paredes serán prácticamente iguales a las que
se producirían en reservorios abiertos (6).
Si el volúmen de aire entre la superficie del líquido y la tapa
es inferior al 2% del volúmen del reservorio, se debe considerar
�orno
reservorio
completamente
lleno
y
en
ese
caso
la
masa
asociada Mo considerada fija -31 recipiente se asume como el 100-s
ue:
Mi 'i �.l = í'..
- 26 CAPITULO 11
ANALISIS DINA.�ICO DE RESERVORIOS ELEVADOS
2.1
MODELAJE DE LA ESTRUCTURA
Según se vió en el item l. 6 y l. 7,
la masa de agua se puede
convertir en una parte fija a la estructura
movimiento
de
la
estructura
y
otra
(Mo), que sigue el
parte
(Ml)
ligada
al
reservorio mediante unos resortes de rigidez K, como se muestra
en la figura 19.
Los
reservorios se pueden modelar,
diferenciando
la zona del
recipiente, que denominaremos cuba, y la zona de la estructura de
soporte que llamaremos fuste.
La altura total de la cuba (He)
estará comprendida entre el centro de gravedad del fondo,
que
comprende el fondo tronco cónico y el fondo esférico, y el centro
de gravedad del techo esférico.
La altura
(Hf)
se considera
desde la zona inferior del fuste, asumida como empotrada y la
parte inferior de la cuba; la altura total será Ht = Hf + He.
En la figura 20 se observa el modelaje de la estructura, en ella
se ha dividido el fuste en
5 partes iguales,
representadas por las 5 primeras masas.
las
que están
La masa M6 representa
el peso del fondo de la cuba y está ubicada al mismo nivel que su
centro de gravedad.
La masa Ml viene a ser la masa del agua Ml,
ligada a la estructura con el resorte de rigidez K.
incluye
la
masa
de
las
paredes
del
reservorio,
La masa 8
la chimenea
interior de acceso y la masa de agua Mo considerada fija a la
estructura ubicada en el centro de gravedad del conjunto.
La
Dependiendo de las características geométricas de la cuba,
en
masa M9 representa la masa del techo del reservorio.
- 27 -
Centro de gravedad
del techo
k/2
He
k/2
___../\/V'-[Mj]../\./v"-Mo
V)
4
(1)
4
�
�
Cfentro de gravedad
del torto de cubo
de cubo
V)
4
....1
w
o
--- -------
V)
HT
HF
----------Fuste
+
------------
(El)F
hs
4
h5
m4
o
z
w
ir
n.
o
h4
m3
V)
4
o
N
m5
h3
(E l)F
+
------------
h2
+
HF =
Altura del fuste
He= Altura de lo cubo
HT = Altura total
Hi = Altura hasta el centro de
.11
11
gravedad de moso m1
mi= Maso concentrado e n el
11 11
nivel i
FIG. 20 MODELAJE DEL RESERVORIO
- 28 -
al gunos reservorios la masa de agua (Ml) liga da c on resort e a la
estruc tura está por encima de la que c orre_spond e a ias paredes de
la cuba.
2.2
CARACTERISTICAS DE LOS 1"IBSIDi&ORIOs ESTUDIADOS
con el objeto que éste estudio tenga una am plia c obertura, s e ha n
escogido reservorios a.1mpi:endidos desde los má s chicos hasta los
más grandes usados en nuestro País, habiéndose optado por 8
reservorios de 350, 500, 800, l,Ooo, 1, 500, l,GOO,
m etros cúb icos de c apacidad de almacen ami ento.
2,ooo y 3,C00
2.2.1 Características de las Cu bas
Las cubas de los reservorios no tienen mucha variación
g eométri ca p ara una determinada capacida d, razón por la
,
varins
c;ial se ha tomado las car acter 1.sticas
reales de
ruodelaje ::;e
reservo rios construídos en el Perú.
El
,
muestra en la figura 21, y la s caracter1.sti
cas se dan en la
tñbla 2.
Centro de grovec: 0 d techo
He
k /2
/\f\fi--....¡
t==========-
� .
=::::::::::-:-
29
Zs
Z7
Wa = c.¡ M1
Wi = Peso en el nivel
F IG. 21 MODELAJE DE LA CUBA ,
Ws
10
10.4
10.67 X 10
21.43 X 10
410 X 10
1500
1600
2000
3000
X
7.06 X 10
1000
4.995 X 10
8 00
8
8
8
8
8
8
5. 8 5 X 10
500
8
2.03 X 10
(EI) Cuba
(Tn .M2)
350
Capacidad
(M3)
8
�V
7.04
6.37
7.22
6.93
5.93
5.67
4.99
3. 8 9
H:lTJ> "
-
o
0.302
0.31 8 3
0.4296
0.4175
0.400
0.423
0.441
234.4
179.0
158 .0
152.0
8 9.0
100.2
72.2
57.5
K
(Tn/M)
5.04
4. 72
4.107
4.0 8
4.41
3.695
3.35
3.554
Ta
(seg)
662
5.63
993
6.17
93 8
4.4 8
1005
4.38
1000
5.40
240
1.15
272
1.40
38 3
1.60
1334
6.20
615
4.3 8
630
4.90
;J.50
1.00
430
1.60
431
3.70
519
4.45
129
1.00
1
1
319
3.71
111
0. 8 3
1545
7.10
340
5.27
200
4.49
161
3.41
219
2.90
67
0.70
W8
Z8
W7
Z7
W6 (Tn)
Z6 (M)
1
CARJ\.CTERISTICAS DE LOS RESERVORIOS ELEVru)()S
0.364
H/
-
TABLAN º 2
1
1
1
!
11
1
100
11.90
53
10.30
l
37.95
22.0
22.0
22.6
39
9.60
39
9.75
16.0
17.72
12.4
11
Wf
(Tn / M)
30
8.50
8 .61
29
19.4
7.45
16
5. 8 0
W9
Z9
N
U)
- 30 2.2.2 Ca racterísticas del fuste
El fuste se ha variado en altura como en rigidez, corno se
indica en la figura 22.
Se adoptaron relaciones de altura del fuste a altura de la
cuba (Hf/Hc) = 2, 3, 4, 5 y 6 respectivamente.
Asimismo
adoptaron relaciones de rigidez del fuste a rigidez de la
cuba de : (EI)f/(EI)c = 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7,
0.8, 0.9.
Lo que dá para cada capacidad de reservorio, la cantidad de
5
X
9
45 diseños,
y para los
8 tipos diferentes de
reservorios la cantidad de 45 x 8 = 360 dise�os diferentes.
2.3
ME'IDDO USADO
Para determinar
las
formas de modo,
las fuerzas cortantes y
momentos flectores en los reservarios se utilizó el método de
Rayleigh.
Para el cálculo de las deformaciones por flexión, se utilizó el
método de "Area de Momentos" y a esta deformación se le sumó la
deformación por corte, dada por la expresión.
Óc.
RVihi B
=
G.A
Donde
R
=
Vi
hi =
G
=
A
=
B
Coeficiente de forma = l. 344
Fuerza cortante del nivel i (tn)
Altura del nivel i (m)
Módulo de corte (se asumió
Area (m2)
G
l X 10
Coeficiente de plasticidad (asumido
'
tn/m2)
2)
- 31 -
He
Ht=6He
He
Ht
-¡:::¡-= 2, 3, 4, 5, 6
___ e ------ �
5 Variaciones
Ht=2He
o)= VARIACION DE LA ALTURA
(E l)e
b) = VARIACION DE LA RIGIDEZ
TOTAL VARIACIONES= 8 RESERVORIOS x 5 x 9 = 360
FIG. 22 VARIACION DEL FUSTE
- 32 Para elementos cilíndricos de pared delgada, se puede asumir
I =
'1Y e D 3
8
=
A
y.
1T De
De las expresiones anteriores se obtiene:
A
=
ff
Donde e
/ii'
v-:v
e�
A='Tre\�
ó
V'TTe E
espesor de la pared.
Cuando�= 0.20 m. y E= 2.3 x 10' tn/m2 se tiene:
A =
0.011 �
Donde A es el área en m2 y (EI)
en
los
reservorios
se
varía
está expresada en tn-m2.
el
valor
de
(EI!,
se
automáticamente el valor de A con le expresión anterior.
Corr.o
varia!'"é.
El método de Rayleigh es un método iterativo de aproxima:::i�:,es
sucesivas y para lograr un buen resultado, se trabajó hacl.endo
uso de un computador IBM PC.
Las iteracciones se llevaron hasta lograr un error relativo �;ror
de O.Onl para cada uno de los niveles,
anterior
y
fina\;
vale
decir,
cuando en cada nivel se cumplía:
Y (n)
Y (n-1)
Y (n)
En esta expresión Y (n)
iteración n.
entre la forma de mcJo
que las iteraciones
terminat�n
� o. 001
es la forma de modo de cada nivel �n 1a
- 33 En el nivel donde se encuentra ubicada la masa móvil de agua,
(WB),
ver
la
corresponde
al
figura
21,
existen
desplazamiento
dos
del
deformaciones¡
reservorio
y
corresponde al propio desplazamiento del peso WB,
una
que
otra
que
influenciado
por la deformación propia de su resorte de rigidez K.
2. 4
FORJl�S DE MODO
La primera forma de modo se caracteriza por el desplazamiento de
toda
la
estructura
a
un
lado,
acompafíado
de
un
gran
desplazamiento de la masa móvil del agua en el mismo sentido.
Ver figura 23.
La segunda forma de modo se caracter íza por un desplazamiento
similar de la estructura, acompañado de un pequeño desplazamiento
de la masa móvil del agua en el sentido opuesto.
En la tabla 3 se observa los desplazamientos modales máximos y
mínimos de la masa móvil de agua para los diferentes reservorios
analizados en esta Tesis.
2.5
PERIODOS DE VIBRACION
2.5.1
Primer Modo de Vibración
Se
ha determinado para cada uno de los 360 reservorios
estudiados, sus formas de modo y los períodos de vibración
que
les
corresponde,
primer modo
(Tl) es
observándose
que
el
período
prácticamente igual al período
del
de
vibración del agua móvil (Ta), es decir, que el movimiento
de la masa móvil del agua es prácticamente independiente
del movimiento del propio reservorio,
esto es lógico y
- 36 entendible ya que si observa la figura 23, se puede notar
que el desplazamiento de la estructura es prácticamente
despreciable contra el desplazamiento de la masa móvil del
agua.
En la Tabla 4 se muestra la diferencia en porcentaje entre
los valores de Tl y Ta,
mayor que Ta.
siendo siempre Tl ligeramente
Tabla 4 - Máxima Diferencia de Ta con respeclo a Tl
Volumen de
Reservorio
Ta
&1 - Ta)x 100
Tl
2.5.2
.
350
500
800
1000
1500
1600
13.554
3. 35
3.695
4.41
4.08
4.107
4.72
5.04
l.8
l.8
4.7
2.5
4.3
4.5
2.7
4.7
3000
2000
Segundo Modo de Vibración
Observando los desplazamientos de los segundos modos de
vibración mostrados en la figura 23 y en la Tabla 3 se
puede inducir de una manera análoga a la descrita en el
item 2.5.1, que el segundo modo de vibración es similar al
que le correspondería a un
modo de vibración sin masa
móvil, ya que su influencia es despreciable desde el punto
de vista ingenieril.
Para corroborar esta hipótesis se
procedió a determinar los períodos de vibración,
en su
primer modo de reservorios sin masa móvil de agua
vacío,
y luego
se
comparó
con
los
obtenidos
(Tl)
para el
segundo modo de vibración de reservorios en los que se
consideró
la
masa
de
diferencia muy peque�a.
agua
(T2) ,
observándose
una
- 37 En la
Tabla 5 se presenta la comparación para algunos
rcservorios que están en la relación Hf/Hc = 3.5.
La
Tabla
es
r�presentativa
de
diseñados en esta Tésis.
los
360
reservorios
Tabla 5 - Comoaración entre el segundo modo de vibración y el
correspondjente a reservorios sin masa móvil de aaua
(EI)
CAPACIDAD
0.369
800
0.327
1800
1
1500
'
1
2000
3000
(Seg)
o. 217
o. 3 60 -
C.404
C.233 -
1). 4
0.326
0.428
0.11
C.576
o. 431
0.316
o. 20
Tl
(Seg)
del
segunde
Período
del
primer
en
o. 2 17
o. 3 61
o. 405
133
---- o.----0.429
o. 432
1
o. 4 70
Período
Diferencia
modo
-
0.579
0.0%
0.3%
o. 2%
O.%
-1
o.;�
--o.--l,
,�
0.5%
- 0.2%
o. 4 71
de
%
vibración
de
!��
vibración
de
los
reservorios que incluyen la masa móvil del agua Ml.
Tl**
cr.
T2
0.148
1600
T2*
f
c
350
500
1
(EI)
**
*
la
modo
de
reservorios que no incluyen la masa móvil del ag•1a.
fig�ra
24
se
mucstr�n los
espectros
de
�iseño
- 39 -
sísmico
espec Íf icados
Construcciones del Perú
en
el
Reglamento
Nacional
de
(1977); se graficó los espectros
para los suelos tipo I, tipo II y tipo III.
En la parte
superior de la figura se muestra el rango en que se ubican
los valores de Tl y T2 para los 360 reservorios estudiados.
2.6
FUERZAS DE INERCIA
Se determinaron las fuerzas cortantes en los diferentes niveles,
para cada uno de los modos, con la siguiente expresión :
Vi
ª {
[v Ji
[v
Ji [sactoc de Pa,ticipaciónJ
]=
c
=
El correspondiente a cada modo
Aceleración de la gravedad
0.8
T + 1
9.81 m/seg.
=
Espectro de dise�o
Ts
Rd
Z
Factor de ductilidad
=
S
3
Factor de zona
Factor de uso e importancia
U
=
Rd]} z.u.s.
Fuerza cortante modalizada del análisis dinámico
=
[Factor de Participación]=
[g
[gJ [e/
Factor del tipo de suelo
=
1.3
- 40 -
Para los diseños efectuados en el capítulo II y III de esta tesis
se tomó un valor representativo de zus = 1.
En la figura 25 se muestra un análisis típico de un reservorio de
1,600
M3
de
capacidad,
siguientes relaciones :
H
fuste/ H cuba
f = 0.316
(EI)
que
corresponde
al
que
tiene
las·
= 3.5
(EI)c.
En esa figura se puede notar que el primer modo corresponde
prácticamente
al
comportamiento
del
agua
y
el
segundo
modo
corresponde al reservorio sin considerar la masa móvil del agua.
Estos resultados,
reservorios
atacar de
presentados en
diseñados,
una
forma
similar
para
los
360
hacen pensar que el problema se puede
manera equivalente si es que se
procesan los
reservorios sin la masa móvil de agua y posteriormente se les
suma el efecto ocasionado por el agua, calculado considerando que
el resorte de la masa móvil del agua se apoya en un elemento sin
desplazamiento.
Para verificar esta hipótesis se ha subdividido el comportamiento
del mismo reservorio, como se muestra en la figura 26.
En este
caso el comportamiento del agua se obtiene directamente de la
siguiente manera :
Ca
=
0.8
Ta + l
Ts
� 0.4
� 0.16
Para suelo tipo I se tendrá
- 41 -
®
9
®
®
o
35.8
®
5.7
-.9
®
118.8
>-
--5.7
®
36.7
118.8
7
(j)
-.3
(j)
6
®
.1
®
5
®
o
®
4
@)
o
@
3
®
o
@
3.8
@
3.8
2
@
o
@
1.5
®
1.5
(j)
o
CD
.2
CD
.2
27.9
10.3
6.8
(j)
®
27.9
®
10.3
@
6.8
Q = 211.7 Tn.
<
l
Mo do
do
2
Las fuerzas c o rtantes estó"n
FIG. 25
(e)= (a) abso luto + (b) abso luto
( b)
(a)
er
Modo
en
Tn.
FUERZAS DE INERCIA PARA RESERVORIO
V= 1600 m 3 , ANALISIS DlNAMICO
Hf /He = 3.5
, (E l}t/(E l)c = 0.316
- 42 -
®
9
�
1
,
>
(j)
1,
11
®
I¡
1
1
®
+
®
1
@
1
®
1
1
CD
5.7
@j
8 35.31
��
11
5.7
·->
35.31
®
119.2
119.2
(J)
28.0
28.0
®
10.4
®
10.4
6.9
@)
6.9
3.8
@
3.8
1.5
.2
CD
.2
/ //
1!.!: MO D O
( d) = Efecto de lo maso movil
�-º'
( f) = (d)+(e)
(e)= Reservorio sin lo maso
movil
Los fuerzas cortantes eston en Tn.
FIG. 26 ANALISIS CONSIDERANDO UNA SUBDIV ISION DE LA
ESTRUCTURA PARA RESERVORIO V= 1,600 m 3
H f / He = 3. 5
,
( E 1) f / ( E 1) e =
O. 316
- 43 -
Ca
=
0.8
=
0.054
=
( 1)
:.se adopta Ca =
0.16
4.107 + 1
0.3
F8
=
(ZUS)
C
W8
X 0.16
Rd
X 662
35.31 Tn
3
Las fuerzas correspondientes al primer modo de la estructura (e),
ver figura 26, en la que no se considera la masa móvil del agua
han
sido
Rayleigh.
procesadas
por
el
En la figura 27 se presenta
Computador
usando
el
m�todo
de
la comparación de los resultados
obtenidos para el análisis dinámico integral (correcto) y el de
sub-división de la estructura,
orden del
-0.33%,
se
puede
notándose que por estar en el
aceptar desde el punto de vista
ingenieril este planteamiento ya que la diferencia es peque�a.
Para concluir, se puede plantear la idea que para reservorios
elevados entre 350 M3 y 3,000 M3 de capacidad, con estructura de
soporte de forma cilíndrica, se puede solucionar el problema del
comportamiento
sub-división;
hidrodinámico
de esta forma,
de la estructura,
realizando una
se analizaría el reservorio sin
considerar el efecto de la masa móvil de agua, y por separado se
encontraría la fuerza que produce la masa móvil del agua y luego
se efectuaría una suma de esos valores, así como se esquematiza
en la figura 26.
- 44 -
@�---2.69
9
®
--s-17.34
®---2.69
®
16.6 8
8 ....._________
56.12
A\
--0-
7
56.31
A\
---0-
@ --------13 .18
6
@
t-----13.2
5
@
1-----
®---3.21
4
@--3.26
3
@-
3
Q)---
2
@
.71
2
®
(i)
.09
+
@t----4.87
1.79
4.91
1.79
.71
11
.09
/
0=2ll.7Tn(IOO%)
ANALISIS INTEGRAL
Q =2 11. O I Tn ( 9 9. 6 7 %)
ANALISIS POR SUBDIVISION
Los fuerzas concentrados en los diferentes niveles eston en
siendo 211.7 Tn = 100
F IG. 27
°/o ,
°/o
COMPARACION ENTRE DISEÑO INTEGRAL Y ESTRUCTURA
SUBDIVIDIDA. PARA RESERVORIO V = 1,60 0 m 3
Ht/Hc = 3.5, (El)t /(El)c =
0.316
- 45 -
2. 7
I NFLUENCIA DE MODOS SUPERIORES
Habiendo efectuado una
sub-división de la estructura como se
muestra en la figura 26, se procedió a realizar el análisis
dinámico de la sub estructura que no contiene la masa de agua.
De
los
resultados
por
computadora
para
los
360
reservorios
analizados, se observa claramente la importancia que tiene el
trabajar como mínimo con los dos primeros modos de vibración.
En la figura 28 se puede observar que de no considerar el segundo
modo de vibración, la diferencia en fuerzas cortantes estaría por
el orden del 7.4% y en momentos de flexión estaría por el orden
del
4.8%;
esto significa que la diferencia observada en los
mom�ntos de flexión es aproximadamente el 65% de la diferencia
observada en fuerzas cortantes y fuerzas de inercia.
Estos valores aún cuando son presentados para el reservorio de
1,600 M3 de capacidad descrito en el item 2.6 son representativos
para otros reservorios.
Para la agrupación de la participación de cada uno de estos modos
se utiliza el concepto señalado por el Reglamento Nacional de
Construcciones del Perú (1977), en el que senala que las fuerzas
cortantes y momentos de los diferentes modos se agrupan según la
siguiente expresión:
Q
=
V2. Q � +
Zvalores Absolutos de Qn
2
En la Tabla 6 se presentan los valores que corresponden a las dos
primeras formas de modo del reservorio descrito en el Item 2.6;
para la sub estructura que no lleva la masa móvil de agua.
- <!/ -
Ta blíí (.
RESERVURlú SIN HRSR MOVIL DE nGUR
tf•l}ttflltt1,tltt,>Jftllftltff1tll14t•llt>•111,s11f,f)f•t•11,1111f•�II •,•ltltll
,�¡ 1n!l�ye ae'�rt;r;ca por �Jrte1
IU,r!Js,!e
.Il6 • 1E1Jf.ac,;¡
CK) Ri5Jrt¿ ; C T0nl;t
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4.13
5. 57
5. 57
�. 57
5.57
�.7S
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J
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fftt•lPIJ•fJflfifftllf,lfltrtlflJffllfffft,fllff'P•t�tffJ*llflPl>fffit•lf•lllllf
Pii]úDU NOGO 1 = 1,119 Seg.
PER!.D1 #C:J 2 = 0.111 Se�.
Jl =
J2 =
1.001
�.fOl
PRPTIC. ioo; 1
FhR1Ii. ADDO 2
i::.1:c. Ml'•l.
15.99
S0.7J I
%.�j I
,�.,1,,1,.�,,1,ffflfl1Jtfl,fflttl,t,,1,,1fftt+•111•1,,.,,,ttll��+tflftlf$•�l-tff
- 48 -
CAPITULO III
DETERMINACION SIMPLICADA DE PERIODOS DE VIBRACION
3.1
PRIMER MODO
Como se indico en el Item 2.5.l el primer modo de vibración
proporciona un período Tl que se puede asumir igual al período de
vibración del agua móvil,
figuras 16, 17 y 18.
calculada según lo descrito en las
El error máximo es de 4.7% para los 360 Reservorios disel'\ados.
Además, de la figura 24, se puede notar que para todos los casos
en que se trabajó con suelos tipo I y tipo II, así como también
en la mayor parte de casos de suelos tipo III, se localiza en la
zona que corresponde a e = 0.16, que es el valor mínimo; por lo
tanto , el error se hace prácticamente nulo.
3.2
SEGUNDO MODO
En
todos los reservorios
disel'lados
se
ha observado una gran
dispersión de los valores T2, sin embargo tratando de encontrar
una ley que permita determinar de una manera simplificada este
período de vibración, se ensayó con varias relaciones en las que
interviene la rigidez de la estructura, el peso y la altura del
reservorio,
siguiente :
T2
=
f2
habiéndose encontrado que la mejor expresión es la
(Ht - Hc/2)
g (EI)t
'J
- 49 -
f2
Constante adimensional
Pt
Peso total de la estructura, incluyendo el de las masas de
agua fija a la estructura (Mo ) y la masa móvil (Ml).
Tn.
(ver figura 20).
Ht
=
Altura total del reservorio = Hf + He.
g
=
Aceleración de la gravedad
En
En mts.
9 . 81 m/seg2.
E
Módulo de elasticidad del fuste.
I
Momento de inercia del fuste en M.
T2
Seg.
En Tn/M2
Si llamamos J2 =_!2, la expresión anterior se puede escribir como:
T2
J2
'
Pt (Ht - Hc/2)
(EI)f
Para cada uno de los 360 reservorios se calculó la expresión J2,
la misma que ha sido graficada en la figura 29, en la que se
p uede observar como varia de acuerdo a la relación (EI)f / (EI)c.
....,
11
N
-'
�,, =fº1 =--
1Q..
I
1- �
N
ff)
,_
-
2
7.8
B.O
5
6
8
137
ílj
7
(El)f:I
(El)c
íl
3
íl
4
..
2
íl
8
1
(El}! =
3
{ El)c
812
-
1
�íl
'- o �-1
7
4-r--
.876
2
o
8
1
1
1
1
1
1
1
º
o
2
56
--
-
1.075.J'o
6 ºíl7
J_
.699
i
1
1
1
1
2
6
1
7
-=:]_
.830
-
-8
..
C:1�29
(El)t_
7
(El)c-·
1
1
(E 1) f =
(El)c .9
CLAVE DE R ESERVORIOS
CAPACIDAD (m 3 )
CLAVE
350
1
500
1---800
3
1000
4
1500
5
1600
6
2600
7
3000
8
3
o
; íll �o
¡
4
.sosJn
-,- íl-
1
1
��+
--¡E
íl�
56
(El}f _
5
(El)c-·
o
3
4
_l-2íl
.887
1.014..Jl
FIG. 29 VARI ACION DE T2 EN FUNCION AL TIPO DE RESERVORIO
8.2 ,_
1
8.4 ,...__,
8.6
8.8
9.0
,94¿,0
o
l11
- 51 -
1.00
--- --�----
3 Valores flo��
V= 3000 m3
ª.;�-:
Error máximo
82 x I OO
e - ·8
= 7. 3 °/o
'Nu
,<)
N
1-
I 1 :=
1- w
Il­
a..
11
N
-.,
D
.83
.10������������������___._�����-----0
.9
.1
.3
.5
,7
(E l)fuste
(E l)cuba
FIG. 30
PLOTEO DE RE SULTADO DE 360 DISE NOS DE
RESERVORIOS ELEVADOS
- 52 -
LOs valores máximos y mínimos encontrados en la figura 29, han
sido llevados a la figura 30, determinándose una zona muy bién
definida dentro de la cual se encuentran los valores de J2.
Tratando de presentar expresiones conservadoras
(períodos más
cortos), se pueden obtener los valores de J2 de la Tabla 7.
Tabla 7 - Valores de J2 para determinar el período de vibración
T2, para reservorios elevados
fuste/ (EI) Cuba
(EI)
J2
1
T2
=
�?t (Ht -
:'1
Hc/2f
(EI)f
-1
!
0.1
0.3
0.5
o.1e
0.81
0.82
�º · 9
O .83
Se ob�erva en la figura 3 O, que el error máximo estaría en el
ol"Qe:) ue 7.3%.
Si ese error lo llevamos al espectro de dise�o,
en la vecindad de C =
espectro
suelos.
e
O. 4, el
0
rror máximo en el cálculo del
estaría en el ord�n de 4.5% para los tres tipos de
Ver figura 24.
Esto en realidad se puede conside,·ar aceptable desde el punto de
vista de Ingeniería.
Las ex�Jresiones e.-contradas han tomado en cuenta la deformación
por corte de la estructura.
- 53 -
3.3
ERRORES SI NO SE CONSIDERAN LAS DEFORMACIONES POR CORTE
Teniendo en cuenta que el hecho de considerar la deformación de
corte
para
el
cálculo
de
los
m odos
de
vibración
hace
más
laborioso el problema, cuando no se hace uso de un computador; se
procesaron
los
360
reservorios
nuevamente
sin
considerar
la
deformación por corte y se compararon los períodos de vibración a
fin de observar el grado de error que esto produce.
Se observó que en cuanto al período Tl, no existe prácticamente
ninguna
diferencia,
ya
que este
valor
movimi�nto propio del agua.
está gobernado por el
En cuanto a los períodos T2 sí existe diferencia, la misma que se
hace muy marcada cuando la relación de la altura del reservorio
al diawetro del fuste es baja.
En
la
figura 31
p�;::�-:-"los
se
han
para todos los
graticado las
360
diferencias
entre
los
reservorios estudiados pudiénd()se
observár qu-e para :relaciones de (Ht - He¡ 2) / Df = l. S, el error
t:s de aproximadamente 5%. y que para
e·n-.. ::-.... c.; eú el orden del 3%.
(Ht - Hc/2)
/ Df = 2
e).
1.0
FIG. 31
1----
.5
.80
.85
(T2)sc
.90
(T2 )ce
1.5
Dt
He
HT--
2.0
2.5
�9
3.0
3.5
4.0
{IT 2) se= Pe ri1do T2 evo1u9do sin consi dera r
al d eformación de corte
_ _____.,
----.-------i( T-- -)_c_c_ = Pe
_ i
_ _d e_ r_o�-+-do
do T2 evoIua;d �cons
2
la deformación d� corte
1
1
1
�nvolvente poro volor
es obte nido.s
de 369 reservorios
ERRORES AL EVALUAR T2 SIN CONSIDERAR DEFORMACION
POR CORTE
. 95 1--�--.---
1.00.--------..------,------.----------.------,--------,------,
u,
�
- 55 -
CAPITULO IV
METODO ESTATICO SIMPLIFICADO PARA LA DETERMINACION DE FUERZAS
HORIZONTALES, FUERZAS DE CORTE Y MOMENTOS FLECTORES
4.1
FORMULACION DEL METODO
El método de análisis estáticv simplicado es concordante con lo
especificado en el acápite de Normas
sísmicas del
Perú
cm:r
-
1977).
4.1.1 Parámetros del Agua
Determinar
los
siguientes
valores
correspondi.er.�es
�].
fluído almacenado.
Wo
PlSO del agua a �onsiderarse fija al reservorio
Wl =
Peso del agua móvil ligada al reservorio
º
Ho y Hl = Alturas donde se t1 Jican Wo y Wl respectivamente
Ta
Los
=
Período de vibración del agua
valores
anteriormente
descritos
pueden evaluarse con
las figuras y tablas del ��cxo �Para la €Valuación de los valores anteriores en r eservorios
de fondo irregular se consiucrará la altura equivalente H =
�
4V/ -n- D , como se muestra en la figura A. 5 del anexo A.
- 56 4.1.2 Período de vibración de la estructura
Determinar el período T2 de la estructura
T2
f2
'
Pt (Ht - Hc/2)
, donde
(EI) f
Pt =
Pe + Wo + Wl
Pe
Peso de la estructura
Ht
Altura total del reservorio en mts.
He =
Altura de la cuba en mts. (ver fig. A.6)
E
Módulo de elasti cidad del fuste, en Tn/m2
I
Momento de inercia de l fuste, en m4
T2
Período de vibración de la estructura, en seg.
f2
Constante adimensional (ver Tabla 8)
g
Aceleración de la gravedad (9.81 m/seg2)
Tabla 8
Peso total en Tn.
Valores de f2
(EI) f uste/ (EI) Cuba
(ver fig. A.6)
/,'g para determinar
0.1
0.3
0.5
o. 78
0.81
0.82
�0. 9
/
f2
0.83
T2
- 57 Para valores intermedios podrá efectuarse una interpolación
lineal.
4.1.3 Fuerza de inercia de masa móvil de agua. Fa
Se evaluará en concordancia con el Reglamento Nacional d�
Construcciones del Perú.
En el Reglament o vigente del año 1977 se estipula
Fa =
ZUSC {Wl)
Rd
Donde
Fuerza en Tn. ubicada en el nivel de Wl {ver fig. A.6
Fa
del anexo A)
Wl
Peso de la masa móvil de agua
z
Factor de zona
U
=
1.3 factor de una importancia
S
1.0, 1.2 ó 1.4 para suelos tipo I, II ó III
Rd=3
Co eficiente de ductilidad
e
=
0.8
Ta
+
1
TS
Ts
Período predominante del suelo
- 58 -
4.1.4 Fuerzas de inercia de la estructura
Se considerará a la estructu ra, conformada por una serie de
masas concentradas,
anexo A.
F
ZUSC
Rd
como se muestra en la figura A. 6 del
(Pe + Wo)
Donde
F
Fuerza Basal en Tn.
Z, U, S, y Rd están descritos en 4.1.3
o.s
e =
T2
Ts
+
l
La fuerza basal, será distribuida en fuerzas horizontales
por niveles mediante la siguiente expresión.
Fi
(0. 95 F)
(Pi)
L_ (Pi)
(hi)
(hi)
Adicionalmente se deberá concentrar en el techo un 5% de H.
4.1.5 Fuerzas cortantes y momentos flectores
Serán evaluados teniendo en cuenta la suma de los efectos
producidos por la fuerza de inercia de la masa móvil de
agua,
calculada en
la sección
4.1.3,
y
las fuerzas de
inercia de la estructura, calculadas en la sección 4.1.4.
- 59 4.2
COMPARACION ENTRE EL ANALISIS DINAMICO Y EL ANALISIS POR METODO
ESTATICO SIMPLIFICADO
Se efectu ó los análisis para los reservorios motivo del presente
trabajo.
Cada uno de los
siguientes relaciones :
Condición más rígida
Condición más flexible
Para suelo tipo I; (S
Para suelo tipo II; (S
Para suelo tipo III; (S
reservorios fué analizado para las
2 y (El) f / (El) e
He/He
Hf/Hc
1.0,
0.9
0.1
6 y (El) f / (El) e
0.3 seg.)
Ts
1.2,
1.4,
Ts
Ts
0.6 seg.)
0.9 seg.)
Lo que da la cantidad de 6 diseños completos para cada uno de los
8 tipos diferentes de reservorios (48 diseños en total)
4.2.1 Metodología para el análisis dinámico
Se
procedió
sub-dividiendo
la
estructura
descrita en la sección 2.6 de esta Tesis.
anexo A.
de
la
forma
Ver fig. A.6 del
La estructura fué analizada con 2 modos de vibración, estos
resultados fueron combinados efectuándose el promedio entre
la
suma absoluta y
la media
cuadrática
de
los
modos.
Finalmente se efectu ó la suma de los valores absolutos de
la combinación de los dos modos y la fuerza de la masa
móvil del agua evaluada según 4 1.3.
- 60 -
4.2.2 Metodología para el análisis estático
Se procedió de manera similar a la planteada en el item 4.1
de este capítulo.
4.2.3 Interpretación de resultados
Para evaluar el grado de aproximación del método estático
simplicado propuesto, se procedió a relacionar las fuerzas
cortantes
análisis
y
momentos
dinámico
y
flectores
los
encontrados
evaluados
mediante
mediante
el
un
Estático
Equivalente.
Al
calcular
Estático
las
fuerzas
Simplificado,
de
inercia
mediante
realizaron
se
el
varios
�étodo
análisis
preliminares, concentrando un porcentaje de la fuerza basal
en
el
(Diseño
techo
del
reservorio,
Dinámico)
aproximadamente
/
en
de
(Disef'ío
forma
manera
que
Estático)
pareja
a
la
se
todo
lo
relación
mantuviera
alto
del
reservorio, habiéndose observado que al concentrar un 5% de
la
fuerza
basal
equivalente.
en
el
techo
se
encontraba
un
cierto
Esta es la razón fundamental por la que en el
Método Estático Simplificado se plantea que se efectúe esa
concentración.
En
las
Tablas
9
y
10
se
puede observar
que
el
Método
Estático Simplificado es más conservador que el Dinámico,
existiendo una diferencia entre ellos que varía entre un 4%
y un 17% dependiendo del tipo de suelo,
del reservorio.
rigidez y altura
=
0.9
0.1
0.9
0.1
0.9
0.1
0.9
0.1
0.9
0.1
0.9
0.1
0.9
0.1
0.9
0.1
2
6
2
6
2
6
2
6
2
6
2
6
2
6
2
6
0.467
0.049
1.319
0.106
1.672
0.127
1.685
0.129
0.498
0.036
l. 355
0.102
1.676
0.124
1.699
0.124
1.399
0.103
0.113
1.419
1.641
0.117
0.973
0.069
0.934
0.067
(T2)
1.596
0.120
0.962
0.074
0.908
0.069
(T2)
0.8994
0.9222
o. 9653
0.9227
0.9614
0.9201
0.9599
0.8446
0.9240
Período de vibración (T2) según Análisis Estático propuesto
0.8422
0.9222
0.8892
0.9227
o. 9227
0.9180
0.8852
0.9201
0.8815
O.9130
0.9197
0.9201
0.9192
0.9130
0.8613
0.8915
0.9130
O.9118
o. 9118
o. 9118
o. 9604
0.8702
0.8933
0.8356
0.9003
0.8399
0.8995
Suelo
III
0.9124
0.8933
0.8593
0.8996
0.8640
0.8987
Suelo II
0.9563
0.8932
0.9302
0.8996
0.9335
0.8987
Suelo I
CORTANTES
Período de vibración (T2) según Análisis Dinámico
(EI) f
(EI) e
Hf
He
**
Los cortantes y momentos <le la Tabla corresponden a la base de los reservorios
(T2) **
(T2)*
3000
2000
1600
1500
1000
800
500
350
Capacidad
M3
*
0.9107
0.8451
0.9085
0.8424
0.8907
0.9379
0.9085
O.9176
0.8780
O.9116
0.8740
0.9044
0.8583
0.9059
0.8651
0.8875
0.8388
0.8944
0.8445
0.8945
Suelo
III
0.8870
0.9176
0.9022
O.9116
o. 9004
0.9044
0.8796
0.9059
0.8950
0.8874
0.8556
0.8936
0.8621
0.8931
Suelo II
0.9092
0.9176
O.9304
O.9116
0.9269
0.9044
0.9294
0.9059
0.9209
0.8874
0.9051
0.9936
0.9091
0.8936
Suelo I
MOMENTOS
TABLAN º 10 RELACION (DINAMICO / ESTATICO) PARA FUERZAS CORTANTES Y MOMENTOS FLECTORES
'
O'
......
- 62 -
CAPITULO V
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
5.1
CONCLU�IONES
La masa de agua en un reservorio se puede modelar usando un
Sistema Mecánico Equivalente, que consiste en una masa fija Mo
y una serie de masas puntuales Mn ligadas a las paredes ctel
reservorio, por medio de resortes con una rigidez Kn.
cuando
la .celación altura a longitud es H/L � 3/4, las masas Mn se
pueden reemplazar por una sola masa Ml.
Si los reservorios elevados son de �oncreto Armado con estruc­
tur�
Cilíndrica
de
Soporte,
el
primer
modo
de
vibración
corresponde a u:1 movilll.i.ento
arande
de la m:1s;i mnvj l de .3C"'11? y
...
a u:1 desplazamiento muy peguefio de la estructura.
El segu:-1do
modo de vibración corresponde a un movimiento de la estruct11.a
similar al del reservorio vacío y a un
lél masa móvil del agua.
S1
1 .. ovimiento
casi � ,; ..., de
se efectúa una subdi visi5n del comportamiento estruct:.i­
ra-:•.gua considerando la masa móvil del agua ligada a un nu.�Lo
f1�0 y se le suma el efecto que produce el reservorio sin �a
irds.::, móvil de agua, los valores de las fuerzas de inerci �,
corsantes y momentos de flexión tienen una gran similitud cvn
los que correspr:.:>nden al análisis integral de la estructura,
efectuando la suma absoluta de sus dos primeros moaus de
vibración.
P)
per.:í. odo de
vibración
correspondiente al primer modo ,le
vibración es muy parecido al período de vibración de la masa
móvil del agua, existiendo una diferencia entre ellos de hasta
4. 7%.
- 63 -
El
período de vibración correspondiente al sc9undo modo de
vibración es muy parecido al período del primer modo de vibra­
ción correspondiente a un reservorio s'in la masa móvil de agua
Ml, existiendo una diferencia entre ellos de hasla 2.7%.
El
período
de vibración correspondiente al segundo modo de
vi,..>ración se puede calcular aproximadamente con la siguiente
expresión
�
(Ht - Hc/2)
T2
(EI)f
L< s valores de f2
1(¡
se muestran en la Tabla 7.
El error
má::imo que se observó entre los valores de T2 calculados con
la fórmula y el verdadero valor de T2 obtenido mediante un
análisis modal es de 7.3%.
F-i t>n el análisis "!M>dal
dP
un reservorin ele""'ªº
c0!1
e c t- r uC"-
tura cilíndrica de soporte n0 se considera la deformación por
corte, el error en la evaluación del período de vibración T2
"� de aproximadamente 5% para relaci01,es
(Ht - HC/21
.' el: =
l.S y se incrementa rápidamente cuando la relación es ���r
do
2 •5
El
método estático simplificado propuesto en esta Tesi.; da
v�lores para fuerzas cortan�es y momentos flectores, entre 4%
y 17% superio�es a los obtenidos mediante análisis dinámico.
5.2
RECOMENDACIONES
Se recomienda hacer un programa de trabajo experimentdl i,.,ara
determinar con instrumentos los valores reales de los t'c�iodos
de vib=�ción y comparar.los con los obtenidos mediante métodos
analíticos; de esta manera se podrá evaluar la jnfluencia del
suelo y también se podrán encontrar expresiones para corregir
les valores de la rigidez de la estructuru EI.
- 64 -
Se recomienda efectuar el diseno de reservorios mediante méto­
dos más exactos, considerando la interacción entre el suelo y
la
estructura
para
evaluar la
diferencia
que existe cor. un
análisis simplificado considerando el empotramiento en la base.
- 65 NOMENCLATURA USADA
A .. =
Ao
a
D
=
=
=
e
=
H
=
He
=
Ht
=
H
Hf'
ho
hl
=
::=
=
K
=
Kn
=
M
=
m
=
m
=
p
po
=
p
=
Q
=
Q
=
Diámetro del tanque circular
1438.4456 m/seg.
Módulo de elasticidad de la estructura del reservorio
Módulo de compresibilidad volumétrico del agua = 210,920 tn/m3
Error
Aceleración de la gravedad.
Asumido
=
9.81 m/seg.2
Altura del nivel libre del agua en reposo
Altura promedio del nivel libre del �gua en reposo
Altura de la cuba
l\lt11ra del fuste (soporte de la cuba)
rlc "' Hf
Altura de masa fija del agua, con respecto al fondo del resc�-
vor:iu
I
L
Velocidad del sonido en el agua
MÓd�lo de rigidez de corte del reservorio
G
g
Amplitud máxima del movimiento en la base del muro del reser­
vori.:>
E
Ev
Area de la sección transversal de la estructura del reservorio
=
l\lt1,ra de masa móvil con respecto al fondo del reservori0
f'iv n(:oto de inercia de la esü·uc+.:ura del reservorio
Rig.dez que lis� la masa 1 cor. el tanque
Ri_gidez que liga móviles con paredes del tanque
Lou�itud del fondo del resttv--:,rio
l-1<'nv!,1to de volteo
1, /., 3 •.•••• rnodos de vibración
Masas asociadas al movimiento del tanque
Presión dinámica del fluido
Presión en la base del mur9
Presión adimensional = p/f� o( H
i�erza cortante en el muro
Empuje adimensional
- 66 -
T
=
Ts
=
Ta
=
t
=
V
=
Wf
=
X
=
y
=
Wi
z
o(
J3
(o
=
=
=
=
=
Período de la masa móvi l de agua
Período predominante del suelo
Tiempo
Volumen
Peso total del fluido
Peso de la masa en el nivel i
Eje coordenado
Eje coordenado
Eje coordenado
P roporción máxima de la aceleración de la gravedad en el movi­
miento perturbador
Frecuencia adimensional de las ondas elásticas
Peso volumétrico del agua
Desplazamientos
óx
Desplazamiento de las partículas de fluído a lo largo del eje
"X"
A
<=
1t"'
=
6(t)
=
?'w
(seg) Período
=
-·
J-0�gitud de onda de la ola
3.141592
Función armónica que dep��de del tiempo
Funci5n potencial de velocidades
Frecuencia angular del movimiento armónico perturba1..1C,r o de
osci lación libre
- 67 -
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