Área en coordenadas polares

Sergio Yansen Núñez
1.
Calcule el área de la región encerrada por uno de los cuatro pétalos de la rosa
r = cos2θ.
Solución:
Los límites de integración se obtienen de las soluciones de la ecuación:
cos2θ = 0
π
θ = π , en el primer cuadrante.
4
⇒
π
π
A = ∫ 4 π 1 r 2 dθ = 1 ∫ 4 π r 2 dθ = 1 ∫ 4 π cos 2 2θdθ
−4 2
2 −4
2 −4
Por simetría:
π
π
π
1 + cos4θ
A = 1 ⋅ 2 ∫ 4 cos 2 2θdθ = ∫ 4 cos 2 2θdθ = ∫ 4
dθ
0
0
0
2
2
π
A = 1 ∫ 4 1 + cos4θdθ = π
8
2 0
Área en coordenadas polares
Sergio Yansen Núñez
2.
Calcule el área de la región encerrada dentro de la circunferencia r = 3 sinθ
y fuera de la cardioide r = 1 + sinθ.
Solución:
Puntos de intersección:
3 sinθ = 1 + sinθ
⇒ sinθ = 1
2
θ= π
6
θ = π − π = 5π
6
6
⇒
,
5π
(en cuadrantes I y II).
5π
A = 1 ∫ π6 3 sinθ 2 dθ − 1 ∫ π6 1 + sinθ 2 dθ
2 6
2 6
Por simetría, se tiene:
π
π
A = 1 ⋅ 2 ∫ π2 9 sin 2 θdθ − 1 ⋅ 2 ∫ π2 1 + sinθ 2 dθ
2
2
6
6
π
π
6
6
A = ∫ π2 9 sin 2 θdθ − ∫ π2 1 + sinθ 2 dθ
π
A = ∫ π2 9 sin 2 θ − 1 + sinθ 2 dθ
6
π
A = ∫ π2 8 sin 2 θ − 1 − 2 sin θ dθ
6
Usando la identidad:
π
A = ∫ π2 8 ⋅
6
sin 2 θ =
1 − cos2θ
2
Área en coordenadas polares
1 − cos2θ
se tiene:
2
− 1 − 2 sin θ dθ
Sergio Yansen Núñez
π
A = ∫ π2 4 − 4 cos 2θ − 1 − 2 sin θdθ
6
π
A = ∫ π2 3 − 4 cos 2θ − 2 sin θdθ = π
6
Área en coordenadas polares
Sergio Yansen Núñez
3.
Calcule el área de la región encerrada por la lemniscata:
r 2 = 9 cos2θ.
Solución:
Por simetría, se calculará 4 veces el área de la porción en el primer cuadrante.
cos2θ = 0
π
⇒
θ= π
4
π
, en el primer cuadrante.
π
A = 4 ⋅ ∫ 4 1 r 2 dθ = 2 ∫ 4 r 2 dθ = 2 ∫ 4 9 cos2θdθ
0 2
0
0
π
A = 18 ∫ 4 cos2θdθ = 9
0
Área en coordenadas polares
Sergio Yansen Núñez
4.
Calcule el área de la región que es interior a la cardioide r = 31 + cosθ
y exterior a la circunferencia r = 3.
Solución:
Puntos de intersección:
31 + cosθ = 3
θ= π
2
⇒
⇒
cos θ = 0
∨ θ = 3π (menores que 2π)
2
Por simetría, se calculará dos veces el área de la porción del primer cuadrante
π
π
A = 2 ⋅ ∫ 2 1 31 + cosθ 2 dθ − ∫ 2 1 ⋅ 3 2 dθ
0 2
0 2
π
π
A = ∫ 2 91 + cosθ 2 dθ − ∫ 2 9dθ
0
0
π
A = ∫ 2 91 + cosθ 2 − 9 dθ
0
π
A = 9 ∫ 2 1 + cosθ 2 − 1 dθ
0
π
A = 9 ∫ 2 2 cosθ + cos 2 θdθ
0
π
A = 9 ∫ 2 2 cosθ +
0
1 + cos2θ
dθ
2
π
A = 9 ∫ 2 4 cosθ + 1 + cos2θdθ = 18 + 9π
2 0
4
Área en coordenadas polares
Sergio Yansen Núñez
5.
Calcule el área de la región interior a r = 2 + cosθ.
Solución:
Por simetría:
π
π
A = 2 ⋅ ∫ 1 r 2 dθ = ∫ 2 + cosθ 2 dθ
0 2
0
π
A = ∫ 4 + 4 cosθ + cos 2 θdθ
0
A=∫
π
0
4 + 4 cosθ +
1 + cos2θ
dθ
2
π
A = 1 ∫ 8 + 8 cosθ + 1 + cos2θdθ
2 0
π
A = 1 ∫ 9 + 8 cosθ + cos2θdθ = 9π
2 0
2
Área en coordenadas polares
Sergio Yansen Núñez
6.
Calcule el área de la región encerrada por r = 4 sin2θ.
Solución:
Por simetría, el área será 4 veces el área del pétalo del primer cuadrante
sin2θ = 0
π
⇒
θ=0
θ = π (considerando el pétalo del primer cuadrante)
2
∨
π
π
A = 4 ⋅ ∫ 2 1 r 2 dθ = 2 ∫ 2 r 2 dθ = 2 ∫ 2 4 sin2θ 2 dθ
0 2
0
0
π
π
A = 32 ∫ 2 sin 2 2θdθ = 32 ∫ 2
0
π
2
0
1 − cos4θ
dθ
2
A = 16 ∫ 1 − cos4θdθ = 8π
0
Área en coordenadas polares
Sergio Yansen Núñez
7.
Calcule el área de la región exterior a la cardioide r = 1 + cosθ
e interior a la circunferencia r =
3 sinθ.
Solución:
Puntos de intersección:
1 + cosθ =
3 sinθ
1 + cosθ 2 = 3 sin 2 θ
1 + 2 cosθ + cos 2 θ = 31 − cos 2 θ
1 + 2 cosθ + cos 2 θ − 31 − cos 2 θ = 0
−2 + 2 cosθ + 4 cos 2 θ = 0
2 cos 2 θ + cosθ − 1 = 0
cosθ + 12 cosθ − 1 = 0
cosθ + 1 = 0
θ= π
3
π
A = 1 ∫π
2 3
∨
∨
2 cosθ − 1 = 0
θ=π
3 sinθ
2
, (valores menores que 2π)
π
dθ − 1 ∫ π 1 + cosθ 2 dθ
2 3
π
A = 1 ∫ π 3 sin 2 θ − 1 + cosθ 2 dθ
2 3
π
A = 1 ∫ π 3 sin 2 θ − cos 2 θ − 2 cosθ − 1 dθ
2 3
Área en coordenadas polares
Sergio Yansen Núñez
π
A = 1 ∫ π 31 − cos 2 θ − cos 2 θ − 2 cosθ − 1dθ
2 3
π
A = 1 ∫ π 2 − 4 cos 2 θ − 2 cos θdθ
2 3
π
1 + cos2θ
A = 1 ∫π 2−4
2 3
2
− 2 cos θ dθ
π
3 3
A = 1 ∫ π −2 cos 2θ − 2 cos θdθ =
4
2 3
Área en coordenadas polares
Sergio Yansen Núñez
8.
Calcule el área de la región interior a r = 3 cosθ y exterior a r = 1 + cosθ.
Solución:
Por simetría, se calculará 2 veces el área de la región del primer cuadrante
Puntos de intersección:
3 cosθ = 1 + cosθ
⇒
cosθ = 1
2
θ = π (valor en primer cuadrante)
3
⇒
A = 2⋅
π
π
1 ∫ 3 3 cosθ 2 dθ − 1 ∫ 3 1 + cosθ 2 dθ
2 0
2 0
π
A = ∫ 3 9 cos 2 θ − 1 + cosθ 2 dθ
0
π
A = ∫ 3 8 cos 2 θ − 1 − 2 cosθdθ
0
π
A = ∫3 8
0
1 + cos2θ
2
− 1 − 2 cosθ dθ
π
A = ∫ 3 3 + 4 cos 2θ − 2 cos θdθ = π
0
Área en coordenadas polares
Sergio Yansen Núñez
9.
Calcule el área de la región interior a r 2 = 2 cos2θ y exterior a r = 1.
Solución:
Por simetría, se calculará 4 veces el área de la región en el primer cuadrante.
Puntos de intersección:
2 cos2θ = 1
A = 4⋅
⇒
cos2θ = 1
2
π
π
1 ∫ 6 2 cos2θdθ − 1 ∫ 6 dθ
2 0
2 0
Área en coordenadas polares
⇒
π
θ = π , valor en primer cuadrante.
6
= 2 ∫ 6 2 cos2θ − 1dθ =
0
3 − π
3
Sergio Yansen Núñez
10.
Considere la ecuación polar r = 4 sin3θ. Calcule el área de un pétalo.
Solución:
π
π
A = 1 ∫ 3 4 sin3θ 2 dθ = 1 ∫ 3 16 sin 2 3θdθ
2 0
2 0
π
π
A = 8 ∫ 3 sin 2 3θdθ = 8 ∫ 3
0
0
π
1 − cos6θ
dθ
2
A = 4 ∫ 3 1 − cos6θdθ = 4π
0
3
Área en coordenadas polares
Sergio Yansen Núñez
11.
Calcule el área de la región interior a las curvas:
r = sinθ
y
r = cosθ.
Solución:
Puntos de intersección:
sinθ = cosθ
⇒
θ = π , valor en el primer cuadrante.
4
Por simetría, el área interior a las curvas es 2 veces el área de la región
coloreada con el amarillo más fuerte.
π
π
A = 2 ⋅ 1 ∫ 4 sin 2 θdθ = ∫ 4 sin 2 θdθ
0
2 0
π
A = ∫4
0
π
1 − cos2θ
dθ = 1 ∫ 4 1 − cos2θdθ = π − 1
2 0
4
8
2
Área en coordenadas polares
Sergio Yansen Núñez
12.
Calcule el área de la región interior a las curvas:
r = sin2θ
y
r = cos2θ.
Solución:
Puntos de intersección:
sin2θ = cos2θ
⇒
θ = π , menor valor en el primer cuadrante.
8
Por simetría, el área interior a las curvas es 8 veces el área de la región
coloreada con el amarillo más fuerte. También corresponde a 16 veces el área
de la región sombreada (ver la siguiente figura).
Área en coordenadas polares
Sergio Yansen Núñez
π
π
A = 16 ⋅ 1 ∫ 8 sin 2 2θdθ = 8 ∫ 8 sin 2 2θdθ
0
2 0
π
A = 8∫ 8
0
π
1 − cos4θ
dθ = 4 ∫ 8 1 − cos4θdθ = π − 1
0
2
2
Área en coordenadas polares