UNIVERSIDAD LIBRE

UNIVERSIDAD LIBRE
FACULTAD DE INGENIERIA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS
GUÍAS
NOMBRE DE LA ASIGNATURA:
MODULO DE TRABAJO No:
GUÍA No:
TÍTULO:
TEMAS
BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA:
CÁLCULO DIFERENCIAL
1
1
VECTORES Y MATRICES
VECTORES
OPERACIONES CON VECTORES
DEFINICIÓN DE UNA MATRIZ
OPERACIONES CON MATRICES
STEWART, CÁLCULO. TOMO 1
OBJETIVOS
¾ Identificar los vectores y matrices como herramientas matemáticas
¾ Operar correctamente los vectores y las matrices en un ejercicio dado
CONCEPTOS TEÓRICOS BÁSICOS
1.VECTORES
Un vector renglón n- dimensional es un conjunto ordenado de n números escritos como
( X , X , X , ..... X )
1
2
3
Un vector
como
⎛x
⎜
⎜x
⎜M
⎜
⎜x
⎝
1
2
n
n
columna n- dimensional es un conjunto ordenado de n números escritos
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
se llama primera componente del vector, X segunda componente y asi
X
sucesivamente. En general , Xk es la k- ésima componente del vector.
1
2
Los siguientes son ejemplos de vectores:
(3,6) es un vector renglón (o un vector con dos componentes)
[Escribir texto]
⎛2 ⎞
⎜ ⎟
⎜ − 1⎟ es un vector columna (o un vector con tres componentes)
⎜5 ⎟
⎝ ⎠
(2,-1,0,4) es un vector renglón (o un vector con cuatro componentes)
⎛ 0⎞
⎜ ⎟
⎜ 0⎟
⎜ 0 ⎟ es un vector columna y un vector cero
⎜ ⎟
⎜ 0⎟
⎝ ⎠
IGUALDAD DE VECTORES
Dos vectores columna ( o renglón) a y b son iguales si y solo si tienen el mismo número
de componentes y sus componentes correspondientes son iguales
⎛a
⎜
⎜a
En símbolos, los vectores a = ⎜
⎜M
⎜a
⎝
1
2
n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛b
⎜
⎜b
b=⎜
⎜M
⎜b
⎝
1
y
2
n
⎞
⎟
⎟
⎟ son iguales si y sólo si
⎟
⎟
⎠
a = b ; a = b ;L; a = b
1
1
2
2
n
n
SUMA DE VECTORES
⎛a
⎜
⎜a
Sean a = ⎜
⎜M
⎜a
⎝
1
2
n
⎞
⎟
⎟
⎟ y
⎟
⎟
⎠
⎛b
⎜
⎜b
b=⎜
⎜M
⎜b
⎝
1
2
n
⎞
⎟
⎟
⎟ n-vectores. Entonces la suma de a y b se define como
⎟
⎟
⎠
⎛a + b ⎞
⎜
⎟
⎜a + b ⎟
a+b = ⎜
⎟
M
⎜
⎟
⎜a + b ⎟
⎝
⎠
MULTIPLICACIÓN DE VECTORES
¾ Vector por escalar
[Escribir texto]
1
1
2
2
n
n
⎛a
⎜
⎜a
sea a = ⎜
⎜M
⎜a
⎝
1
2
n
⎞
⎟
⎟
⎟ un vector y α un escalar. Entonces el producto α ⋅ a está dado por
⎟
⎟
⎠
⎛ αa
⎜
⎜ αa
α .a = ⎜
M
⎜
⎜ αa
⎝
1
2
n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
¾ Vector por vector
⎛a
⎜
⎜a
Sean a = ⎜
⎜M
⎜a
⎝
1
2
n
⎞
⎟
⎟
⎟ y
⎟
⎟
⎠
⎛b
⎜
⎜b
b=⎜
⎜M
⎜b
⎝
1
2
n
⎞
⎟
⎟
⎟ n-vectores. Entonces el producto escalar de a y b
⎟
⎟
⎠
Representado por a . b, está dado por a ⋅ b = a .b + a .b + L + a .b
Para realizar el producto escalar se necesita que los vectores tengan el mismo
número de componentes
1
EJEMPLOS
⎛2 ⎞ ⎛6 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
¾ 3 ⎜ − 1⎟ = ⎜ − 3 ⎟
⎜ 4 ⎟ ⎜12 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 4⎞
⎜ ⎟
⎜6⎟
¾ Sean a = ⎜ ⎟ y b =
1
⎜ ⎟
⎜3⎟
⎝ ⎠
[Escribir texto]
⎛ − 2⎞
⎜ ⎟
⎜4 ⎟
⎜ − 3 ⎟ Calcule 2a − 3b
⎜ ⎟
⎜0 ⎟
⎝ ⎠
1
2
2
n
n
⎛ 4⎞
⎜ ⎟
⎜6⎟
2a − 3b = 2 ⎜ ⎟ + (-3)
1
⎜ ⎟
⎜3⎟
⎝ ⎠
⎛1 ⎞
⎜ ⎟
¾ Sean a = ⎜ 2 ⎟ b =
⎜ 4⎟
⎝ ⎠
⎛ − 2⎞
⎛8 ⎞
⎛6 ⎞
⎛14 ⎞
⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜
⎜ ⎟
⎜4 ⎟
⎜12 ⎟
⎜ − 12 ⎟
⎜0 ⎟
⎜ − 3 ⎟ = ⎜ 2 ⎟ + ⎜ 9 ⎟ = ⎜11 ⎟
⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜
⎜ ⎟
⎜0 ⎟
⎜6 ⎟
⎜0 ⎟
⎜6 ⎟
⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝
⎝ ⎠
⎛ − 3⎞
⎜ ⎟
⎜1 ⎟ y c =
⎜7 ⎟
⎝ ⎠
⎛2 ⎞
⎜ ⎟
⎜5 ⎟
⎜ −1⎟
⎝ ⎠
⎛ − 1⎞
⎜ ⎟
Entonces b + c = ⎜ 6 ⎟
⎜6 ⎟
⎝ ⎠
a • b = −3 + 2 + 28 = 27
a • c = 2 + 10 − 4 = 8
a • (b + c ) = −1 + 12 + 24 = 35
a • b + a • c = 27 + 8 = 35
2. MATRICES
Una matriz A de m x n es un arreglo rectangular de mn números distribuidos en un
orden definido de m renglones y n columnas :
⎛ a ..a L a L a
⎜
⎜ a ..a L a L a
⎜M....M.......M.......M
A=⎜
⎜ a ..a L a L a
⎜
⎜M....M........M......M
⎜ a ..a L a L a
⎝
11
12
21
22
2i
i1
i2
ij
m1
m2
1i
1n
2n
in
mj
mn
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
EJEMPLOS
Las siguientes matrices son matrices de mxn para varios valores de m y n:
⎛1..3 ⎞
⎟⎟ 2 x 2 (cuadrada)
¾ A = ⎜⎜
⎝ 4..2 ⎠
[Escribir texto]
⎛ − 1...3 ⎞
⎜
⎟
¾ A = ⎜ ..4....0 ⎟ 3 x 2
⎜ ..1. − 2 ⎟
⎝
⎠
⎛ − 1..4..1 ⎞
⎟⎟ 2 x 3
¾ A = ⎜⎜
⎝ ...3..0..2 ⎠
⎛1...6... − 2 ⎞
⎟
⎜
¾ A = ⎜ 3...1......4 ⎟ 3 x 3 (cuadrada)
⎜ 2. − 6.....5 ⎟
⎠
⎝
3.SUMA DE MATRICES
Sean A = (a ) y B = (b ) dos matrices de m x n . La suma de A y B es la matriz A+B
de m x n dada por
ij
ij
⎛ a + b ...a + b L a + b
⎜
⎜ a + b ...a + b L a + b
A + B = (a + b ) = ⎜
......M...........M...............M.....
⎜
⎜ a + b ..a + b L a + b
⎝
ij
11
11
21
21
12
12
22
22
m2
m2
1n
1n
2n
2n
ij
m1
m1
mn
mn
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Es decir, A + B es la matriz de m x n obtenida al sumar las componentes
correspondientes de A y B.
La suma de dos matrices está definida solamente cuando ambas matrices tienen el
mismo tamaño.
4.MULTIPLICACIÓN DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR
Si A = (a ) es una matriz de m x n y si α es un escalar, entonces la matriz α ⋅ A de
mxn está dada por
ij
⎛ αa ...αa Lαa
⎜
⎜ αa ...αa Lαa
αA = (αa ) = ⎜
...M......M.........M...
⎜
⎜ αa ...αa Lαa
⎝
11
12
21
22
1n
2n
ij
m1
m2
mn
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
EJEMPLO
⎛ ...1...2.....4 ⎞
⎛ 4.....0.....5 ⎞
⎟⎟ y B = ⎜⎜
⎟⎟
¾ Sean A = ⎜⎜
⎝ − 7...3.. − 2 ⎠
⎝1.. − 3.....6 ⎠
[Escribir texto]
⎛ ...1...2.....4 ⎞
⎟⎟ + (3) .
− 2 A + 3B = ( −2) ⋅ ⎜⎜
⎝ − 7...3.. − 2 ⎠
⎛ 4.....0.....5 ⎞
⎜⎜
⎟⎟ =
⎝1.. − 3.....6 ⎠
⎛10..... − 4.....7 ⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝17..... − 15..22 ⎠
EJERCICIOS
¾ Consultar la multiplicación entre matrices y realizar tres ejemplos
¾ Realizar los problemas 2.4 del libro de álgebra lineal de Stanley Grossman
¾ Consultar los tipos de matrices
[Escribir texto]