AJUSTE

AJUSTE
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
DIFERENCIA ENTRE INTERPOLACIÓN Y AJUSTE
METODOLOGÍA DEL AJUSTE
MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS
MODELO LINEAL
MODELO EXPONENCIAL
EJEMPLO
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
Cuando los datos tienen errores
sustanciales, la interpolación polinomial es
inapropiada y puede dar resultados poco
satisfactorios cuando se utiliza para
predecir valores intermedios. Con
frecuencia los datos experimentales son
de este tipo.
DIFERENCIA ENTRE
INTERPOLACIÓN Y AJUSTE
INTERPOLACIÓN : se caracteriza por
suponer que los datos que intervienen en
el problema son exactos; por lo cual en la
construcción de la FUNCIÓN DE
INTERPOLACIÓN se exige que la
misma satisfaga todos y cada uno de los
valores que constituyen los datos .
DIFERENCIA ENTRE
INTERPOLACIÓN Y AJUSTE
AJUSTE : supone que los datos ingresados
están afectados en cierto grado de errores
debido al modelado, por lo que, no resulta
indispensable que la CURVA DE AJUSTE
correspondiente, pase exactamente por los
puntos que representan los datos, sino que, en
promedio la aproximación sea óptima de
acuerdo a un cierto y determinado criterio,
denominado CRITERIO DE AJUSTE.
GRÁ
GRÁFICO DE DISPERSIÓ
DISPERSIÓN
Disposición:
Eje de abscisas: variable independiente (X)
Eje de ordenadas: variable dependiente (Y)
Frecuentemente X es una variable controlada (no
aleatoria)
Un punto por cada observación (par de valores X-Y)
Aproximación al tipo de relación existente entre las
variables
Problema general
Se debe encontrar un criterio para
establecer una base para el ajuste. Una
forma de hacerlo es obtener una curva
que minimice la discrepancia entre los
puntos y la curva. Una técnica para lograr
tal objetivo, es llamada regresión por
mínimos cuadrados.
Problema general
En el ejemplo, los datos sugieren una recta, más o
menos, y entonces una relación lineal entre y y x. Aquí
son varias rectas que se acercan a los puntos
REGRESIÓN LINEAL
Una
aproximación
por
mínimos
cuadrados es ajustar una línea recta a un
conjunto de observaciones definidas por
puntos:(x1;y1),(x2;y2),…,(xn,yn). La expresión
matemática para la línea recta es:
y = a0 + a1 x + e
(1.1)
Regresión lineal
Donde a y a son coeficientes que
representan la intersección con el eje y y
la pendiente, respectivamente, e es el
error, o diferencia, entre el modelo y las
observaciones, el cual se representa al
reordenar la ecuación 1.1 como:
0
1
e = y − a 0 − a1 x
Regresión lineal
Así, el error o residuo es la
discrepancia entre el valor verdadero de
y y el valor aproximado, a 0 + a 1 x
que predijo la ecuación lineal.
Regresión lineal
La recta de mejor ajuste será:
Regresión lineal
Esta recta se llama la recta de mejor
ajuste, recta de regresión, o recta de
mínimos cuadrados asociada a los
datos.
CRITERIO PARA UN MEJOR AJUSTE
Una estrategia para ajustar una “mejor”
línea a través de los datos será minimizar
la suma de los errores residuales de
todos los datos disponibles; como sigue:
CRITERIO PARA UN MEJOR AJUSTE
La estrategia consiste en minimizar la
suma de los cuadrados de los residuos
entre la y medida y la y calculada con el
modelo lineal:
CRITERIO PARA UN MEJOR AJUSTE
Este criterio tiene varias ventajas, entre
ellas el hecho de que se obtiene una línea
única para cierto conjunto de datos.
Antes de analizar tales propiedades,
presentaremos
una
técnica
para
determinar los valores de a y a que
minimizan la ecuación
0
1
Ajuste de una línea recta por
mínimos cuadrados
Para determinar los valores de a0 y a1, la
ecuación se deriva con respecto a cada
uno de los coeficientes:
Ajuste de una línea recta por mínimos
cuadrados
Observe que hemos simplificado los
símbolos de sumatoria; a menos que se
indique otra cosa, todas las sumatorias
van desde i=1 hasta n. Al igualar estas
derivadas a cero, se dará como resultado
un Sr mínimo. Si se hace esto, las
ecuaciones se expresan como:
Ajuste de una línea recta por mínimos
cuadrados
0 = ∑ y i − ∑ a 0 − ∑ a1 xi
0 =
∑
yi xi −
∑
a0 xi −
∑
a 1 x i2
Ahora, si observamos que ∑ a0 = na0
expresamos las ecuaciones como un conjunto de
dos ecuaciones lineales simultáneas, con dos
incógnitas (a0 y a1).
Ajuste de una línea recta por mínimos
cuadrados
na0 + (∑ xi )a1 = ∑ yi
( ∑ x i ) a 0 + ( ∑ xi2 ) a1 =
(1.2)
∑xy
i
i
(1.3)
Éstas se llaman ecuaciones normales y se
resuelven en forma simultánea
Ajuste de una línea recta por mínimos
cuadrados
Este resultado se utiliza conjuntamente
con la ecuación para obtener
a1 =
n∑ xi yi − ∑ xi ∑ yi
n∑ xi2 − (∑ xi ) 2
Este resultado se utiliza conjuntamente con la
ecuación (1.2)para obtener
a 0 = y − a1 x
Donde y y x son las medias de y y x
respectivamente.
Ajuste de una línea recta por mínimos
cuadrados
EJEMPLO
Obtenga la ecuación de demanda que se ajusta mejor a los
siguientes datos, y úsela para pronosticar ventas anuales de
casas preciadas a $140,000.
Precio
160
180
200
220
240
260
280
126
103
82
75
82
40
20
(Miles de
dólares)
Venta de nuevas
casas este año
CURVA EXPONENCIAL DE MEJOR
AJUSTE
Para obtener la curva exponencial de mejor
ajuste de la forma:
y = Ar x
Tomando logaritmo en ambos miembros:
log y = log( Ar x )
Las propiedades de logaritmo nos dan:
log y = log A + log r x
log y = log A + x log r
CURVA EXPONENCIAL DE MEJOR
AJUSTE
Esto expresa log y como una función
lineal, con:
Pendiente = a1= log r
Intersección = a0 = log A
Por lo tanto si calculamos la recta de
mejor ajuste usando log y como una
función de x, entonces la pendiente y la
intersección en y serían dados como mas
arriba, y después podemos obtener los
coeficientes r y A por:
CURVA EXPONENCIAL DE MEJOR
AJUSTE
r = 10 a1
A = 10 a0
COEFICIENTE DE CORRELACIÓN
Hay un número que mide la "bondad de
ajuste" de la recta de regresión llamado
coeficiente de correlación. Este
número, que se representa por r, está
entre −1 y 1. Cuanto más se acerca r a−1
o 1, el ajuste es mejor. Si el ajuste es
malo, se acerca r a 0. Si el ajuste es
exacto, r=−1 para una recta con
pendiente negativa, o r=1 para una recta
de pendiente positiva
COEFICIENTE DE CORRELACIÓN
Las figuras más abajo muestran varios
conjuntos de puntos con sus rectas de
regresión, y los valores correspondientes
de r.
COEFICIENTE DE CORRELACIÓN
El coeficiente de correlación se puede
calcular con la siguiente formula:
Coeficiente de correlación r:
r=
n(∑ xy) − (∑ x)(∑ y)
n(∑ x2 ) − (∑ x)2 * n(∑ y 2 ) − (∑ y)2
COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN
Una pregunta importante que se plantea en el
análisis de regresión es la siguiente: ¿Qué parte
de la variación total en Y se debe a la variación
en X? ¿Cuánto de la variación de Y no explica
X?
El estadístico que mide esta proporción o
porcentaje se denomina coeficiente de
determinación (r2). Si por ejemplo, al hacer los
cálculos respectivos se obtiene un valor de
0.846. Esto significa que el modelo explica el
84.6 % de la variación de la variable
dependiente.
COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN
El significado del Coeficiente de
Determinación es que nos proporciona
el porcentaje de causas comunes que
tienen las dos variables relacionadas para
explicar su variabilidad o evolución si se
expresa en tantos por 100.
El campo de variación del coeficiente de
determinación es 0≤R²≤1.
Bibliografía
Pace G. “Métodos Numéricos” Edictorial
de la UNNE, 1997
Chapra, S.C. y Canale, R. “Métodos
Numéricos para Ingenieros” 5ta Ed.,
México, McGraw-Hill, 2007