Solucionario desarrollado

BLOQUE 3 / SECUENCIA 1
2
n
Secu
dari
a
L
MENTA O
A
D
N
U
F
GR A D
SEGUN
Solucionario desarrollado
DO
1
3
Presentación
Estimado maestro:
En la búsqueda de facilitar la labor docente, Ediciones Castillo pone a su
alcance el presente Solucionario desarrollado como complemento de la
Guía para el maestro.
En este Solucionario encontrará respuestas detalladas que le permitirán
profundizar en la reflexión de los contenidos y en el análisis de las conclusiones que los alumnos obtengan al resolver las actividades del libro de
texto.
Asimismo, se muestran las operaciones y cálculos completos de los ejercicios numéricos.
En cuanto a las evaluaciones de los bloques se incluyen los argumentos
que dan validez a las respuestas.
En cada bloque las respuestas se organizan por página del libro de texto y
sus actividades correspondientes, las cuales se representan en una miniatura en los costados.
Confiamos en la utilidad de este material didáctico para favorecer el trabajo
dentro del aula y así conseguir que sus alumnos desarrollen, de manera natural, las habilidades y actitudes para el logro de los aprendizajes esperados
y las competencias para la vida.
4
Bloque 1 / matemáticas 1
BLOQUE 1
L1
Bloque
1
1. Resolución de multiplicaciones
y divisiones con números enteros
Resolución de multiplicaciones y divisiones con números enteros.
Situación inicial
1 En parejas, resuelvan el siguiente problema.
12 m
Una batisfera se sumerge en el mar de manera que la distancia que desciende cada minuto es constante (fig. 1.1).
0m
a) Al transcurrir 17 min la batisfera se encontraba a 39 m
respecto al nivel del mar. Si su posición inicial era de
12 m sobre el nivel del mar, ¿cuántos metros descendió cada minuto?
b) Si la batisfera continúa descendiendo de la misma manera, ¿en cuánto tiempo llegará a 63 m respecto al
nivel del mar después de que alcanzó los 39 m?
39 m
Página 18
Compartan sus respuestas y procedimientos.
Fig. 1.1
Explora y construye
Multiplicación de números
Glosario
batisfera.
Esfera de acero
destinada a la exploración marina.
1 En equipos, realicen lo siguiente.
a) En su cuaderno tracen un segmento de recta numérica que vaya del 12 al 12
(fig. 1.2) de tal modo que la separación entre números consecutivos sea de
1 cm. Luego dibujen un carrito pequeño en un pedazo de cartón o de papel,
que mida 1 cm de largo, y recórtenlo con cuidado. De acuerdo con las siguientes condiciones, realicen los movimientos que se señalan en I, II, III y IV.
▶ La parte delantera del carrito siempre iniciará en el origen.
▶ Si el carrito se orienta en la dirección de los números positivos, sus desplazamientos se considerarán positivos.
▶ Si se orienta en la dirección de los números negativos, entonces sus desplazamientos se considerarán negativos.
▶ Si el carrito avanza en la misma dirección en la que está orientado, las unidades que recorra se considerarán positivas.
▶ Si se mueve en dirección opuesta a la que está orientado (en reversa), entonces las unidades que recorra se considerarán negativas.
Fig. 1.2 12 10
0
5
5
Situación inicial
10 12
I. Orienta el carrito en dirección hacia los números positivos y empújalo hacia el frente 5 veces. En cada empujón el carrito debe avanzar 2 unidades.
¿En qué número quedó la parte delantera del carrito?
18
1. a)3 m por minuto.
.
18
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Primero se obtiene la distancia que recorrió la batisfera: se calcula la diferencia entre la posición inicial y la posición al transcurrir 17 minutos, es decir, 12 m – (–39 m) =
12 m + 39 m = 51 m. Después, se divide el resultado entre el tiempo transcurrido:
51 m ÷ 17 min = 3 m por min.
b)En 8 minutos.
Primero se obtiene la diferencia entre la posición inicial y la posición final: –63 – (–39)
= − 63 + 39 = −24. Como se trata de una distancia, se considera el valor absoluto del
resultado anterior: |−24| = 24. Después, se divide entre 3, que es la distancia en metros
que desciende cada minuto: 24 ÷ 3 = 8.
Página 18
Explora y construye
Multiplicación de números
1. a)I. En +10.
Se multiplica (+5) × (+2) (el carro está orientado hacia los números positivos y avanza
cinco veces, cada una de dos unidades, en la misma dirección).
Página 19
Lección
1
II. Orienta el carrito hacia la parte de los números positivos y empújalo 5 veces
de manera que avance de reversa. En cada empujón el carrito debe avanzar
2 unidades. ¿En qué número quedó la parte delantera del carrito?
.
II.En –10.
III. Voltea el carrito hacia la parte de los números negativos y empújalo hacia el
frente 5 veces. En cada empujón debe avanzar 2 unidades. ¿En qué número
icial
onstruye
Resolución de multiplicaciones y divisiones
con números enteros
quedó la parte delantera del carrito?
.
IV. Orienta el carrito hacia la parte de los números negativos y empújalo para
que avance de reversa 5 veces. En cada empujón debe avanzar 2 unidades.
¿En qué número quedó la parte delantera del carrito?
.
b) Relacionen las siguientes expresiones matemáticas con las actividades que
hicieron en los números anteriores anotando en los paréntesis el número
correspondiente. Anoten también el resultado de cada operación.
• (
) (5) (2) .
• (
) (5) (2) .
• (
) (5) (2) .
• (
) (5) (2) .
Se multiplica (+5) × (–2) (el carro está orientado hacia los números positivos y avanza
Comparen sus respuestas con las de otros equipos. Argumenten si consideran que
sus respuestas son correctas o, si piensan que están equivocadas, expliquen por
qué lo consideran así.
c) Determinen en qué número de la recta numérica quedaría la parte delantera
del carrito de acuerdo con las siguientes multiplicaciones. Consideren que
siempre parte del 0 y que la recta numérica en la que se desplaza es más larga
que la que dibujaron.
• (3) (5) cinco veces, cada una de dos unidades, en la dirección contraria).
• (4) (2) • (6) (4) • (7) (1) • (14) (3) • (12) (6) • (3) (1) • (13) (5) III.En –10.
d) Realicen las operaciones en la calculadora y comparen sus resultados. De
acuerdo con los resultados obtenidos analicen y respondan:
• ¿Qué signos tienen los números que al multiplicarse su resultado es positivo?
.
• ¿Qué signos tienen los números que al multiplicarse su resultado es negativo?
.
En matemáticas se dice que dos números son opuestos, si al sumarse, el resultado da
cero. A partir de esta definición, analicen y respondan las siguientes preguntas.
• ¿Por qué número debe multiplicarse el 3 para obtener su opuesto?
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19
.
19
Se multiplica (–5) × (+2) (el carro está orientado hacia los números negativos y avanza
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cinco veces, cada una de dos unidades, en la misma dirección).
Bloque 1 / MATEMÁTICAS 1
IV.En +10.
Se multiplica (–5) × (–2) (el carro está orientado hacia los números negativos y avanza
cinco veces, cada una de dos unidades, en la dirección contraria).
b)• (II) (+5) × (–2) = –10.
• (III) (–5) × (+2) = –10.
• (IV) (–5) × (–2) = +10.
• (I) (+5) × (+2) = +10.
Las respuestas se obtienen a partir de las actividades anteriores.
c) • (+3) × (+5) = +15.
El carro está orientado hacia los números positivos y avanza tres veces, cada una de
cinco unidades, en la misma dirección.
• (–6) × (+4) = –24.
El carro está orientado hacia los números negativos y avanza seis veces, cada una de
cuatro unidades, en la misma dirección.
• (+14) × (+3) = +42.
El carro está orientado hacia los números positivos y avanza 14 veces, cada una de tres
unidades, en la misma dirección.
• (–3) × (+1) = –3.
El carro está orientado hacia los números negativos y avanza tres veces, cada una de
una unidad, en la misma dirección.
• (+4) × (–2) = –8.
El carro está orientado hacia los números positivos y avanza cuatro veces, cada una de
dos unidades, en la dirección contraria.
• (–7) × (–1) = +7.
El carro está orientado hacia los números negativos, y avanza siete veces, cada una de
una unidad, en la dirección contraria.
• (+12) × (–6) = –72.
El carro está orientado hacia los números positivos y avanza 12 veces, cada una de seis
unidades, en la dirección contraria.
• (–13) × (–5) = +65.
El carro está orientado hacia los números negativos y avanza 13 veces, cada una de
cinco unidades, en la dirección contraria.
d)• Los dos tienen signo positivo y signo negativo.
• Tienen signos distintos, uno positivo y otro negativo, o viceversa.
• Por –1.
Porque +3 × (–1) = –3, que es el opuesto de +3.
5
6
Bloque 1 / matemáticas 1
Página 20
Bloque
1
Lo que ya sabes
Un producto es el
resultado de la multiplicación de dos
o más números.
También se dice que dos números son simétricos si en la recta numérica se encuentran a la misma distancia a partir del origen pero en sentidos opuestos.
e) En sus cuadernos respondan las siguientes preguntas.
• ¿Qué semejanzas y diferencias tienen un número y su simétrico?
• ¿Por qué número debe multiplicarse el 5 para obtener su opuesto?
• ¿Por qué número debe multiplicarse el 8 para obtener el simétrico de 40?
• ¿Por qué número debe multiplicarse el 9 para obtener el simétrico de 36?
• ¿Cuál es el resultado de sumar dos números simétricos?
e)• Se asemejan en que su valor absoluto es igual; la diferencia es que tienen signos dife-
Utilicen este resultado para verificar si sus respuestas a los ejercicios anteriores son
correctas.
Integración
• A partir de lo realizado en la actividad anterior, en grupo, con la ayuda de su profesor, completen los siguientes enunciados.
a) El resultado de multiplicar dos números del mismo signo es de signo
.
b) El resultado de multiplicar dos números de signo distinto es de signo
.
rentes.
Los enunciados que acaban de completar se llaman leyes de los signos del producto.
En la siguiente actividad analizarás la multiplicación de números con signo a partir
de potencias.
• Por –1.
2 En parejas, resuelvan en su cuaderno lo siguiente.
Lo que ya sabes
Una potencia es
una expresión
matemática de la
forma an, donde a
se denomina base
y n exponente. Si
n es un número
entero mayor que
cero, entonces
el exponente
indica el número
n de veces que se
multiplica la base
a por sí misma.
La potenciación
se refiere a la
operación matemática entre la base
y el exponente,
por ejemplo, la
potenciación de 32
es 3 × 3.
20
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En la siguiente actividad analizarán la multiplicación de números con signo a partir
de potencias.
a) Calculen, en su cuaderno, las siguientes potencias y anoten los resultados.
• (2)2 • (2)3 • (2)4 • (2)5 • (2)6 b) ¿Qué relación existe entre los exponentes y el signo del resultado?
División de números enteros
Porque –5 × (–1) = 5, que es el opuesto de –5.
1 En equipos, resuelvan en su cuaderno los siguientes problemas. Justifiquen sus
respuestas.
a) En una tienda de electrodomésticos, una plancha tiene un precio de $196.00,
si puede pagarse en 28 semanas, ¿cuánto debe abonarse cada semana para
cubrir su costo total? (Cada semana debe pagarse la misma cantidad.)
• ¿Cómo es el signo de las cantidades indicadas en el problema?
• ¿Qué signo tiene el resultado?
b) En una zona nórdica, al caer la noche la temperatura desciende de manera
uniforme. Si en esa zona la temperatura a las 18:00 h era de 2 °C, y a las
22:00 h de 26 °C, ¿cuántos grados Celsius descendió la temperatura cada
media hora? Consideren a la temperatura que desciende como negativa.
20
• Por –5.
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Porque +8 × (–5) = –40, que es el simétrico de +40.
• Por –4.
Porque –9 × (–4) = +36, que es el simétrico de –36.
• Cero.
Como tienen signos diferentes, se tiene que (a) + (–a) = a – a = 0.
Integración
a)El resultado de multiplicar dos números del mismo signo es de signo positivo.
b)El resultado de multiplicar dos números de signo distinto es de signo negativo.
2.a)• (–2)2 = +4.
Porque (–2)2 = (–2)(–2) = +4.
• (–2)3 = –8.
Porque (–2)3 = (–2)(–2)(–2) = (+4)(–2) = –8.
• (–2)4 = +16.
Porque (–2)4 = (–2)(–2)(–2)(–2) = (+4)(+4) = +16.
• (–2)5 = –32.
Porque (–2)5 = (–2)(–2)(–2)(–2)(–2) = (+4)(+4)(–2) = (+16)(–2) = –32.
• (–2)6 = +64.
Porque (–2)6 = (–2)(–2)(–2)(–2)(–2)(–2) = (+4)(+4)(+4) = (+16)(+4) = +64.
b)Respuesta modelo. Si el exponente de un número negativo es par, el signo del resultado
es positivo. Si el exponente de un número negativo es impar, el signo del resultado es
negativo.
División de números enteros
1. a)$7.
Se divide el costo de la plancha entre el número de semanas: $196.00 ÷ 28 = $7.
• El signo de ambas cantidades es positivo.
• Tiene signo positivo.
Esto sucede por las leyes de los signos del producto.
b)–3 °C cada media hora.
Bloque 1 / MATEMÁTICAS 1
7
Página 21
Lección
1
• En sus cuadernos expliquen el procedimiento que realizaron para encontrar la respuesta. ¿Cómo utilizaron los signos en sus operaciones?
• ¿Qué signo tuvo el resultado?
c) En tus clases de Ciencias 2, Física, has visto, o pronto verás, que a la velocidad se le puede asignar un signo dependiendo del sentido en el que un
objeto realice su movimiento de acuerdo con un marco de referencia específico. Supón que un automóvil se desplaza en línea recta a una velocidad de
80 km/h. Si parte del origen, ¿en qué tiempo se encontrará en la posición
760 km?
• Primero se calcula cuántos grados descendió la temperatura entre las 22:00 y las
80 km/h
Fig. 1.3
760 km
18:00 h: (–26 °C) – (–2 °C) = –24 °C. Después, se divide el resultado anterior entre el
•
0 km
Comparen el signo de las cantidades que utilizaron en sus operaciones y
el del resultado, ¿qué observan?
d) ¿Cuál es el valor faltante de la división
(8) 20?
Analicen y respondan. ¿Con qué operación es posible comprobar cada uno de los
resultados de los incisos a) al d)?
e) Algunas calculadoras tienen una tecla especial que permite escribir y utilizar
números negativos. Consigan una calculadora de ese tipo y completen la siguiente tabla anotando en las celdas correspondientes el resultado de dividir
el dividendo entre el divisor indicados. Observen el ejemplo.
número de medias horas que transcurrieron en ese periodo: –24 °C ÷ 8 = –3 °C. Se
Dividendo
Divisor
1
20
30
5
5
0
6
12
20
1
5
2
hizo una división de números enteros con signo.
•
Analicen la relación entre el signo del dividendo, el divisor y el cociente
de cada resultado y escriban en su cuaderno una conclusión al respecto.
Escriban en su cuaderno sus conclusiones.
Busca en...
la siguiente página
electrónica:
http://www.
edutics.mx/Zio
y elige la opción
Matemáticas 2
y contesta las
preguntas 3 y
4. Compara tus
resultados con
tus compañeros y
juntos comparen
sus respuestas con
los procedimientos
que usaron a lo
largo de la lección
para multiplicar y
dividir números
con signo. Fecha
y hora de consulta:
5 de octubre de
2012 a las 12:25 h.
Integración
• En grupo, con ayuda de su profesor, revisen los resultados de los incios a) a e) y
determinen en qué casos el cociente resultó positivo y en cuáles negativo. Luego,
completen los siguientes enunciados.
a) Cuando se dividen dos números del mismo signo el resultado tiene signo
• Tuvo signo negativo.
.
21
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21
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c)En 9.5 h.
Se divide la posición –760 entre la velocidad: (–760 km) ÷ (–80 km/h) = 9.5 h.
• Que el signo de ambas cantidades es negativo y el del resultado, positivo.
d)160
Sabemos que 160 ÷ 8 = 20 pero, para que el cociente tenga signo negativo, el numerador y el denominador deben tener signos opuestos. Como el denominador es negativo,
el numerador debe ser positivo.
Analicen y respondan. Los resultados se pueden comprobar mediante multiplicación.
e)
Dividendo
Divisor
+20
–30
+5
–5
0
+6
–12
+1
+20
–30
+5
–5
0
+6
–12
–1
–20
+30
–5
+5
0
–6
+12
+5
+4
–6
+1
–1
0
+1.2
–2.4
–2
–10
+15
–2.5
+2.5
0
–3
+6
• Si el signo del dividendo y del divisor es el mismo, el signo del resultado es positivo. Si
los signos del dividendo y del divisor son diferentes, el signo del resultado es negativo.
Integración
a)Cuando se dividen dos números con el mismo signo, el resultado es positivo.
Página 22
Bloque
1
b) Cuando se dividen dos números de distinto signo el resultado tiene signo
.
Los enunciados que acaban de completar se llaman leyes de los signos de
la división.
b)Cuando se dividen dos números con distinto signo, el resultado es negativo.
Situación inicial
2 En parejas, resuelvan lo siguiente en su cuaderno. Apliquen las leyes de los signos de la división.
a) ¿Cuál es el valor de x en la ecuación 18x 234?
b) Pensé dos números y dividí uno de ellos entre el otro. Si el resultado de esta
división fue 1, ¿qué se puede afirmar de los dos números que pensé?
Comparen y comenten sus respuestas con otras parejas.
2.a)x = –13.
Regresa y revisa
1 Regresen al problema inicial y en parejas, respondan las siguientes preguntas.
a) Si la batisfera continúa descendiendo de la misma manera, ¿a qué profundidad se encontrará media hora después de que tocó el agua?
b) Si el cable que sostiene a la batisfera tiene una longitud de 300 m, ¿en qué
momento alcanzará su profundidad máxima?
Explora y construye
Resuelve y practica
Porque 234 ÷ 18 = 13 pero los números que se dividieron tienen distintos signos, lo que
1. Escribe , o dentro del rectángulo, según corresponda.
• (3)(19)
• (5)(1)
(3)(19)
(5)(12)
• (36) (12)
•
48
6
(24) (12)
48
6
2. Pensé un número y lo multipliqué por 8. Luego, al resultado le resté 56 y obtuve
cero. ¿Qué número pensé?
quiere decir que el resultado es negativo.
b)Los números que pensó son simétricos.
3. Antonio compró una televisión para pagar en mensualidades sin intereses. Cada mes
le cobran la misma cantidad. El primer mes en su estado de cuenta aparece la siguiente cantidad:$125.50. Si Antonio no realiza ningún pago y al final su estado de cuenta
señala la cantidad de $1 631.50, ¿en cuántas mensualidades compró la televisión?
• Compara el signo de las cantidades con las que hiciste las operaciones para resolver el
problema con el signo del resultado. ¿Se cumplen las leyes de los signos para la división?
En grupo y con ayuda de su profesor, recapitulen sobre las operaciones de multiplicación y división de números con signo y el uso y significado que pueden tener
en la vida cotidiana.
22
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Porque si al dividir un número entre otro el resultado es 1, los números son iguales (siempre que no sean 0). Como el resultado tuvo signo negativo, los números tenían signos
contrarios, es decir, eran simétricos.
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8
Bloque 1 / matemáticas 1
Página 22
Regresa y revisa
1. a)A –90 m.
Cada minuto, la batisfera desciende 3 m; en media hora descenderá 3 m × 30 = 90 m.
Como la profundidad se expresa con signo negativo, el resultado es –90 m.
b)100 minutos después de que empezó a descender.
Se divide la longitud del cable entre la distancia que recorre la batisfera cada minuto: 300 ÷ 3
= 100.
Resuelve y practica
1. •(+3)(–19) = (–3)(+19).
Pues (+3)(–19) = –57 = (–3)(+19).
• (–5)(–1) > (+5)(–12).
Pues (–5)(–1) = 5 > –60 = (+5)(–12).
• (+36) ÷ (–12) < (–24) ÷ (+12).
Porque (+36) ÷ (–12) = –3 < –2 = (–24) ÷ (+12).
= +48
• –48
+6
–6
Ya que –48
= –8 = +48
.
+6
–6
2.–7
Como 56 – (+56) = 0, el número pensado multiplicado por –8 es x × (–8) = +56, es
decir, x = (+56) ÷ (–8) = –7.
3. En 13 mensualidades.
Se divide –$1 631.50 ÷ –125.50 = 13.
• El signo de ambas cantidades es negativo y el del resultado, positivo. Sí se cumplen las
leyes de los signos.
Bloque 1 / MATEMÁTICAS 1
Leyes de los exponentes
L2
Página 23
Lección
2
2. Leyes de los exponentes
Cálculo de productos y cocientes de potencias enteras positivas de la misma base y potencias de una potencia. Significado de elevar un número natural a una potencia de exponente negativo.
Situación inicial
Situación inicial
Cuenta la historia que un rey de Persia, fascinado por el juego de ajedrez, quiso recompensar al inventor. De modo que,
como premio, le dijo que pidiera lo que quisiera. El joven
inventor accedió y le pidió 1 grano de trigo por la primera
casilla del tablero, 2 por la segunda, 4 por la tercera, 8 por
la cuarta y así sucesivamente hasta completar las 64 casillas.
El rey se sintió un poco ofendido por la humilde petición
y ordenó a su tesorero que le dieran al joven lo que pedía.
Cuando sus administradores terminaron el cálculo, le informaron al rey que ni con todo el trigo del mundo sería posible
pagarle. ¿Imaginas cuántos granos de trigo había solicitado
el inventor?
Regresa y revisa
1
2
4
8
16
1 024
32
64
512
256
128
1 En parejas, utilicen potencias para representar en su cuaderno la cantidad de trigo que correspondía a cada casilla.
Fig. 1.4
Explora y construye
Multiplicación de números
1 En equipos, resuelvan lo siguiente.
a) En la figura 1.5 se muestra un rectángulo cuyas dimensiones están
expresadas como potencias de base 2.
1. Respuesta modelo. Para cada casilla la potencia es 2n–1, donde n representa el número de
• ¿Cuál es el área del rectángulo?
22 cm
.
23 cm
• En la operación que realizaron para encontrar el área, ¿cuántas veces aparece el 2 como factor?
Fig. 1.5
.
• Expresen el área del rectángulo como potencia de base 2.
.
b) Ahora supongan que la base de un rectángulo mide 35 cm y que su altura
mide 34 cm.
• ¿Cuántas veces aparece el 3 como factor en la operación necesaria para
casilla.
obtener el área?
.
• ¿Cuál es el área del rectángulo expresada como potencia de 3?
.
• ¿Cómo se relacionan los exponentes de 35 y 34 con su respuesta anterior?
.
Lo que ya sabes
Exponente
an b
Potencia
Base
en la que an se
lee: a a la enésima
potencia.
Analicen y comenten. ¿Cuál es el resultado de a7 a9 expresado como potencia
de a?
En la casilla número 1 hay 2 = 2(1–1) = 1. En la casilla número 20 hay 21 = 2(2–1) = 2 semillas. En
23
23
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la casilla número 3 hay 22 = 2(3–1) = 4 semillas. Entonces, el número de semillas de cualquier
casilla es igual a 2 elevado al número de casilla menos 1, es decir, 2n–1, donde n es el número
de casilla.
Página 23
Explora y construye
Multiplicación de números
1. a)• 32 cm2
Para calcular el área de un rectángulo se multiplica la longitud del ancho por la del
largo, es decir, 22 × 23 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 25 = 32.
• Cinco veces.
• 25 cm2
b)• Nueve veces.
De manera análoga al procedimiento del inciso a), se tiene 35 × 34 = 39, es decir, el
número 3 aparece 9 veces.
• 39
• Los exponentes se suman.
Analicen y comenten.
a)16
Como los exponentes de la multiplicación se suman, se tiene que a7 × a9 = a7 + 9 = a16.
Página 24
Bloque
1
Analicen sus respuestas de los ejercicios a) y b) del ejercicio anterior y en grupo
generalicen el resultado de multiplicar dos potencias con la misma base.
• Es la misma.
• ¿Qué relación existe entre la base de los factores y la del producto?
.
• ¿Cómo se relacionan los exponentes de los factores y el del producto?
.
Integración
• En grupo, con ayuda de su profesor, escriban una expresión en la que el resultado
• El exponente del producto es igual a la suma de los exponentes de los factores.
de an am sea una potencia de base a. Justifiquen su respuesta.
.
Reflexionen. ¿Puede aplicarse la expresión que obtuvieron a la multiplicación 34 52? Argumenten su respuesta y discútanla con sus compañeros.
La potencia de una potencia
1 En equipos, resuelvan lo siguiente.
a) En la figura 1.6 se muestra un cubo. Las medidas de sus aristas están expresadas como potencia de base 3.
Integración
• ¿Cuál es el volumen del cubo expresado como potencia de base 32?
.
• ¿Cuál es el volumen del cubo expresado como potencia de base 3?
.
b) Supongan que las aristas del cubo miden 54.
• ¿Cuál sería el volumen del cubo expresado como potencia de base 5?
32 cm
Justifiquen su respuesta.
Fig. 1.6
.
• ¿Cómo se relaciona el exponente de 54 con su resultado anterior?
.
Analicen y comenten. ¿Cuál es el resultado de (a7)4 expresado como potencia de
base a?
a n × a m = a n + m. Uno de los factores indica que a se multiplica n veces, y el otro, que se multi-
Integración
• En grupo, con ayuda de su profesor, escriban una expresión en la que el resultado
de la potencia (an)m sea una potencia de a. Justifiquen su respuesta.
.
plica m veces; entonces, a se multiplica m + n veces.
24
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9
10
Bloque 1 / matemáticas 1
Reflexionen
Respuesta modelo. No, porque no tiene la misma base.
La potencia de una potencia
1. a)• (32)3.
Para obtener el volumen de un cubo, la longitud de lado se eleva al cuadrado, es decir,
(32)3.
• 36.
Por el resultado anterior se tiene (32)3 = (32) × (32) × (32) = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 36.
b)• 512
El volumen se obtiene al multiplicar el largo por el ancho por la altura: 5 4 × 54 × 54 = 512.
• El exponente se multiplica por 3.
Analicen y comenten. a28.Para expresar el resultado, se multiplican los exponentes: (a7)4 = a7
×4
= a28
Integración
(an)m = an × m, porque al elevar un número a una potencia, éste aparecerá como factor en la
multiplicación tantas veces como indique el exponente: (an)m = an × an × an × … × an, donde an aparece como factor m veces y, por el producto de potencias, an × an × an × … × an =
an + n + … + n + n + n, donde n se suma m veces.
Página 25
Lección
2
El cociente de potencias de la misma base
Anteriormente trabajaste con productos de potencias de la misma base y con la
potencia de una potencia; ahora nos ocuparemos del cociente de potencias. Esta
operación nos permite ampliar los exponentes de una potencia a los números negativos y al cero, donde el exponente adquiere un nuevo significado.
El cociente de potencias de la misma base
1 En equipos, resuelvan lo siguiente.
8
a) ¿Cuál es el resultado 8 ?
.
b) ¿Cuál es el resultado de dividir una cantidad, a excepción de cero, entre sí
misma?
.
c) En el siguiente razonamiento hay un error.
85
88888 88888 888
82
0
88
88
Determinen en qué consiste el error.
Busca en...
En Matemáticas se le llama reducción al hecho de escribir una fracción de un modo
a
más simple, por ejemplo: a 1, con a diferente de 0: el cociente se reduce a 1;
4 se reduce a 1 porque 4 4 1 4 1 1 1 1 .
8
4
2
2
2
42
8
2
d) Respondan en su cuaderno: ¿cuál es la diferencia entre reducir y eliminar?
e) Reduzcan las siguientes fracciones. Escriban detalladamente las operaciones.
•
•
•
25
22
36
33
54
52
f) Expresen cada uno de los resultados anteriores como potencia de las respectivas bases, y a partir de esto, escriban en su cuaderno un procedimiento
corto para obtener las reducciones anteriores.
la siguiente página
electrónica:
http://www.
edutics.mx/Zio
y elige Matemáticas 2 y contesta
las preguntas 37
y 38 acerca de las
operaciones con
potencias de la
misma base, usa
los procedimientos que utilizaste
en esta lección
y compara tus
resultados con tus
compañeros. Fecha
y hora de consulta:
5 de octubre de
2012 a las 12:52 h.
Analicen. ¿El procedimiento que acaban de escribir tiene alguna ventaja o desventaja respecto al procedimiento que emplearon inicialmente para reducir tales
fracciones?
1. a)1
b)Es 1.
Integración
c)En que el divisor del último cociente es 1 y no 0.
• En grupo, con ayuda de su profesor, escriban una expresión en la que el resultado
n
de aam sea una potencia de a. Justifiquen su respuesta.
.
74
Analicen y comenten. ¿Es posible simplificar 93 con la expresión que obtuvieron?
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25
25
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d)Reducir una fracción es expresarla de manera más simple; eliminar consiste en quitar
términos a una expresión.
e)∞
25
2×2×2
= 2×2×
=2×2×2=8
2×2
22
∞
36
3×3×3×3
= 3×3×
= 3 × 3 × 3 = 27
3×3×3
33
∞
54
×5×5
= 5 × 55 ×
= 5 × 5 = 25
5
52
25
= 23
22
∞
Porque
•
25
= 25–2
22
= 23
36
= 33 .
33
Porque
36
= 3 6–3 = 33
33
Bloque 1 / MATEMÁTICAS 1
•
11
54
= 52.
52
Porque
54
= 54–2
52
= 52.
f)Se conserva la base y al exponente del numerador se le resta el del denominador.
Analicen. Respuesta modelo. El procedimiento anterior es más rápido.
Integración
an
= an – m: en este caso, n es mayor que m, es decir, a aparece en el numerador como factor
am
más veces que en el denominador, por lo que, después de reducir la fracción, el numerador
es
1
n
a
0
= an = an – m, y el denominador, 1.
a
Analicen y comenten. No, porque tiene distinta base.
Página 27
Lección
2
Integración
• A partir de las conclusiones obtenidas en la actividad anterior, en grupo, con ayuda de
su profesor, escriban una expresión en la que el resultado de 1n sea una potencia de a.
a
Justifiquen su respuesta.
.
Integración
Uso de las leyes de los exponentes en la notación científica
Lo que ya sabes
Si tuviéramos que expresar cantidades como la masa del Sol, el tamaño de una bacteria, la longitud de una galaxia, u otras cantidades muy grandes o muy pequeñas,
tendríamos que escribir números con muchas cifras. Para facilitar la escritura de
ese tipo de cantidades se emplea la llamada “notación científica”, la cual hace uso
de potencias.
1 En equipos, resuelvan los siguientes problemas.
a) En las figuras 1.7 y 1.8 se muestran los tamaños de una bacteria y de un virus.
1
an
–n
0
= a : como 1 = a , siempre que a no sea 0,se tiene que
1
an
a0
= n = a0 – n = a–n.
a
La notación científica es una manera
de representar cantidades muy grandes
o muy pequeñas.
La expresión general para la notación
científica es a × 10n,
donde a es mayor
que o igual a 1 pero
menor que 10, y n
es un entero.
0.000 002 m
0.000 000 06 m
Fig. 1.7 Bacteria Escherichia coli. Se encuentra
principalmente en los intestinos de los animales
y en las aguas negras.
Fig. 1.8 Virus del papiloma humano.
• Escriban en notación científica las cantidades dadas en las figuras 1.7 y 1.8.
0.000 002 0.000 000 06 • ¿Cuántas veces es mayor la longitud de la bacteria que la del virus? Ex-
Usos de las leyes de los exponentes en la notación científica.
presen su resultado en notación científica.
.
b) La galaxia Andrómeda se encuentra a 2.2 millones de años luz del Sol. ¿Cuál
es la distancia aproximada, en kilómetros, entre el Sol y Andrómeda?
.
Reflexionen. ¿De qué manera las leyes de los exponentes facilitan las operaciones
con cantidades expresadas en notación científica?
1. a)• 0.000002 = 2 × 10
–6
Lo que ya sabes
Un año luz es la
distancia que recorre la luz en un
año, que es aproximadamente de
9460000000000 km.
27
27
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• 0.00000006 = 6 × 10 –8
• 3.3 × 101 veces.
0.000002
= 62 = 0.3 = 3.3 × 10
Pues 0.00000006
b)2.081 2 × 1019.
El resultado se obtiene al multiplicar 9 460 000 000 000 × 2.2 y expresar el resultado en
notación científica: 2.081 2 × 1019
Reflexionen
Respuesta modelo. En que sólo se realizan operaciones con los exponentes en lugar de hacerlo con todas las cantidades.
Página 28
Bloque
1
Regresa y revisa
1 Regresen al problema inicial y resuelvan.
a) Representen mediante una expresión algebraica la cantidad de granos de
trigo de cada casilla del juego de ajedrez con potencias.
b) Si en el problema inicial el inventor del juego hubiera pedido 1 grano de trigo por la primera casilla, 3 por la segunda, 9 por la tercera, 27 por la cuarta,
etcétera, ¿cómo representarían esas cantidades usando potencias?
Regresa y revisa
Situación inicial
Resuelve y practica
1. Realiza las operaciones. Expresa el resultado con exponentes positivos.
•
33 311
38 32
11 × 115
• 113 117 b3 b4
6
4
• b4 b4 21 21
• 21
5 218 • (23 25)2 •
⎞ 5 ⎞4
⎢ 3 ⎢ ⎠ 32 ⎠
2. Resuelve las siguientes ecuaciones. Expresa el resultado con exponentes positivos.
• 78y 714
• 136y 1310
• 1119y 1120
3. Determina si el siguiente razonamiento es correcto o incorrecto.
95
955 90 0.
95
4. Calcula las siguientes potencias: 70 y (4 108)0.
1. a)2n – 1 .
Explora y construye
5. En la figura 1.9 se representa la distancia entre la Luna y la Tierra, y entre la Tierra y
el Sol. Respondan las siguientes preguntas empleando la notación científica.
a) ¿Cuántas veces está más lejos la Tierra del Sol que de la Luna?
Cuando la Tierra gira alrededor
del Sol describe una trayectoria, llamada órbita de la Tierra,
que tiene la forma de una curva cerrada, llamada elipse; en
particular la órbita de la Tierra
es muy parecida a una circunferencia.
b)3 n – 1 .
b) ¿Qué área aproximada delimita la órbita de la Tierra si la
consideramos como una circunferencia?
Fig. 1.9
La respuesta anterior se obtiene con un razonamiento análogo al caso donde el inventor
En grupo y con ayuda de su profesor, revisen sus respuestas y valídenlas. Argumenten
si consideran que son correctas o corrijan las que estén equivocadas.
28
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pide 2
n–1
semillas por cada casilla.
28
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12
Bloque 1 / matemáticas 1
Resuelve y practica
1. ∞
33 × 311
38 × 32
33 × 311
38 × 32
b3 × b4
b4 × b4
∞
∞
∞
= 34
=
33 + 11
38 + 2
=
314
= 314–10 = 34
310
b3 + 4
b4 + 4
=
b7
b8
= b1
b3 × b4
b4 × b4
=
= b7 – 8 = b–1 = b1
1
216 × 214
= 3
215 × 218
21
216 × 214
=
215 × 218
11 × 115
113 × 117
=
11 × 11
113 × 117
5
216 + 4
215 + 8
1
1
=
2110
= 2110 – 13 = 21–3
2113
=
1
116
= 216 – 10 = 11–4 = 4
1110
11
=
213
114
=
115 + 1
113 + 7
∞ (23 × 25)2 = 216.
(23 × 25)2 = (23 + 5)2 = (28)2 = 28 × 2 = 216
∞
35
32
4
35
32
= 312
4
= (35 – 2)4 = (33)4 = 33 × 4 = 312
2.• 78 y = 714 ⇒ y = 76.
y=
714
= 714 – 8 = 76
78
• 13 6 y = 1310 ⇒ y = 134.
y=
1310
= 1310 – 6 = 134
136
• 11 19 y = 11 20 ⇒ y = 11.
y=
1120
= 11 20 – 19 = 11
1119
3. Es incorrecto, porque cualquier número distinto de 0 elevado al exponente da 1.
4.•70 = 1
• (4 × 108 ) 0= 1
5. a)3.90625 × 102
1.5 × 108
1.5
108
El resultado se obtiene con la división: 3.84 × 105 = 3.84 ×
= 0.390 625 × 10 8 – 5 =
105
0.390625 × 103 = 3.90 625 × 102
b)2.25 π × 1016 km2
Para determinar el área aproximada que delimita la órbita de la Tierra se utiliza la fórmula A = r2π , donde r es el radio del círculo. Así, A=(1.5 × 108 )2 π = (150 000 000)2 π =
2.25π × 1016.
Bloque 1 / MATEMÁTICAS 1
Relaciones entre ángulos a partir de
rectas paralelas
L3
Lección
3
3. Relaciones entre ángulos
a partir de rectas paralelas
Regresa y revisa
Identificación de relaciones entre los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una
transversal. Justificación de las relaciones entre las medidas de los ángulos interiores de los triángulos y
paralelogramos.
Situación inicial
1 En parejas, lean la siguiente situación y resuelvan el problema.
Página 29
Juan es diseñador gráfico, y entre otras cosas
dibuja letras para publicidad. Necesita escribir la
palabra “ANUNCIOS” , por lo que ha iniciado trazando una letra “A” gigante, que corresponde a
esa palabra para colocarla en un anuncio espectacular. La figura muestra un bosquejo hecho a
escala del diseño de la letra.
a) ¿Cuánto deben medir los ángulos marcados
con los números 1 y 2, de tal manera que la
parte horizontal de la letra “A” sea paralela a
la línea de base?
1
108°
2
Fig. 1.10
Explora y construye
Situación inicial
Rectas paralelas cortadas por una transversal
1 En equipos, resuelvan lo siguiente.
a) Un ingeniero está planeando la construcción de una rampa que conecte dos
niveles consecutivos de un estacionamiento público. El croquis, muestra el
diseño del ingeniero.
Nivel superior
B
A
Rampa
C
Nivel inferior
20°
Fig. 1.11
• ¿Cuánto mide el ángulo marcado con la letra A?
.
• ¿Cuánto miden los ángulos señalados con las letras B y C?
Los ángulos 1 y 2 deben medir 108°.
.
• ¿Cómo son entre sí los ángulos A y C?
.
• ¿Y el ángulo B con el que mide 20°?
.
• ¿Cómo son entre sí las rectas que representan los niveles superior e inferior del estacionamiento?
.
29
29
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Como la base sobre la que se localiza “A” y el segmento de recta sobre el que están los ángulos
1 y 2 son paralelos, los ángulos alternos internos miden lo mismo. Entonces, el ángulo 2 mide
108°. Como la letra “A” tiene un eje de simetría vertical, los ángulos 1 y el 2 miden lo mismo.
Página 29
Explora y construye
Rectas paralelas cortadas por una transversal
1. a)• 160°.
• El ángulo B mide 20° y el C, 160°.
Los resultados anteriores se obtienen con apoyo del transportador.
• Son iguales.
• Son iguales.
• Paralelas.
Página 30
Bloque
1
En general, si dos rectas paralelas son cortadas por otra recta, llamada secante o
transversal, se forman ocho ángulos (fig. 1.12).
Glosario
b)Respuesta libre.
secante.
Línea o superficie
que corta otra línea
o superficie.
h
g
c) • ∠f tiene como ángulos suplementarios a ∠e y ∠g.
b) En una hoja blanca tracen dos rectas paralelas cortadas por una secante y
mediante dobleces determinen cuáles ángulos son iguales entre sí. Escriban
sus resultados en su cuaderno y compárenlos con los de otro equipo.
c) Respondan las siguientes preguntas referentes a la figura 1.12.
• Las parejas de ángulos cuya suma es 180° se llaman suplementarios.
¿Cuáles ángulos son suplementarios con ∠f y cuáles lo son con ∠e?
d
c
a
b
e
.
• ¿Qué parejas de ángulos tienen un vértice en común y los lados de uno
son la prolongación de los lados del otro?
f
Fig. 1.12
tienen un vértice en común?
Notación
El símbolo ∠
significa ángulo,
mientras que significa medida del
ángulo.
,
los cuales se llaman opuestos por el vértice.
• ¿Qué parejas de ángulos están del mismo lado de una recta y
,
los cuales se llaman adyacentes.
• ¿Qué parejas de ángulos están en el mismo lado de la transversal, pero
,
son interiores a las paralelas?
los cuales se llaman colaterales internos.
• ¿Qué parejas de ángulos están en el mismo lado de la transversal, pero
Como ∠f + ∠e forman una recta, suman 180°. Y lo mismo para ∠f + ∠g.
son exteriores a las paralelas?
,
los cuales se llaman colaterales externos.
• ¿Qué parejas de ángulos están en diferente lado de la transversal, al interior de las paralelas y no son adyacentes?
,
los cuales se llaman alternos internos.
• ¿Qué parejas de ángulos están en diferente lado de la transversal, son
externos a las paralelas y no son adyacentes?
,
los cuales se llaman alternos externos.
El ∠e tiene como ángulos suplementarios a ∠f y ∠h.
• ¿Qué parejas de ángulos están ubicados en el mismo lado de la transversal, uno al interior de las paralelas y el otro exterior a las paralelas, y no
son adyacentes?
.
, los cuales se llaman correspondientes.
Con ayuda de su profesor verifiquen sus respuestas.
Como ∠e + ∠f forman una recta, suman 180°. Y lo mismo para ∠e + ∠h.
• Opuestos por el vértice: ∠d y ∠b; ∠a y ∠c; ∠h y ∠f; ∠e y ∠g.
• Adyacentes: ∠a y ∠b; ∠a y ∠d; ∠b y ∠c; ∠c y ∠d; ∠e y ∠f; ∠e y ∠h; ∠f y ∠g; ∠g y ∠h.
• Colaterales internos: ∠c y ∠h; ∠b y ∠e.
• Colaterales externos: ∠d y ∠g; ∠a y ∠f.
• Alternos internos: ∠c y ∠e; ∠b y ∠h.
• Alternos externos: ∠d y ∠f; ∠a y ∠g.
• Correspondientes: ∠d y ∠h; ∠c y ∠g; ∠e y ∠a; ∠f y ∠b.
30
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30
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13
14
Bloque 1 / matemáticas 1
Página 31
Bloque
1
Integración
L
• En la figura 1.14 se muestra una recta L que
pasa por el vértice de un triángulo y que es
paralela al lado opuesto a dicho vértice. En
grupo, con la supervisión de su profesor,
respondan las siguientes preguntas. Justifiquen sus respuestas.
d c e
a
b
Fig. 1.14
a) ¿Cuánto vale la suma ∠d ∠c ∠e?
Integración
.
b) ¿Cómo son entre sí ∠a y ∠d?
.
c) ¿Cómo son entre sí ∠b y ∠e?
.
d) ¿Cuánto vale la suma ∠a ∠b ∠c?
.
e) A partir de la respuesta anterior, escriban una propiedad que cumplan los ángulos internos de cualquier triángulo:
Lo que ya sabes
.
2 En parejas, respondan las siguientes preguntas. Argumenten sus resultados.
Un ángulo agudo
es aquel cuya medida es mayor que
0° y menor que 90°.
a), b), c) y d) Iguales
a) Dos de los ángulos de un triángulo miden 50° y 35°. ¿Cuánto mide el tercer
ángulo?
.
b) Uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo mide 30°. ¿Cuánto
mide el otro ángulo agudo?
.
c) En un triángulo rectángulo uno de los ángulos agudos mide la cuarta parte del
otro ángulo agudo. ¿Cuál es la medida de cada uno de los ángulos de dicho
triángulo?
e), f) y g) Suplementarios
.
Glosario
dodecaedro.
Sólido de 12 caras
con forma de pentágono regular.
Medida de los ángulos internos de un paralelogramo
1 En equipos, resuelvan lo siguiente. Exploren diversas estrategias.
a) Un fabricante de juguetes ha diseñado un dodecaedro en el que se introducen piezas con diversas formas
geométricas (fig. 1.15).
Regresa y revisa
Fig. 1.15
32
32
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28/11/12 17:57
Medida de los ángulos internos de
un triángulo
1. a)En todos los triángulos, la suma de sus ángulos interiores es 180°.
b)La suma de los ángulos mide 180°.
c) Resupuesa modelo. Que la medida de los ángulos interiores de un triángulo es de 180°.
d)Respuesta libre. Por ejemplo, hacer varios triángulos más.
Página 32
Integración
a)180°.
Porque ∠d + ∠c + ∠e forman una recta, es decir, suman 108°.
Lección
3
En la figura 1.16 se muestran los orificios con forma de paralelogramo, donde a
representa la medida de un ángulo interno del cuadrado y tiene el mismo valor en
las otras figuras.
Lo que ya sabes
Los paralelogramos son cuadriláteros en los que sus
lados opuestos son
paralelos entre sí.
b)Iguales.
Porque son ángulos alternos internos.
Fig. 1.16
• ¿Cuánto mide ∠a?
.
c)Iguales.
• ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos internos de estos orificios? Apliquen
lo que aprendieron sobre ángulos formados por paralelas cortadas por una
secante.
.
• ¿Cuánto suman los ángulos internos de cada uno de los orificios con forma de
paralelogramo?
.
Analicen y comenten. Si el ángulo agudo del orificio con forma de rombo hubiera
medido a , ¿cuánto hubiera dado la suma de los ángulos internos de este orificio?
Porque son ángulos alternos internos.
3
b) En su cuaderno tracen y recorten un cuadrado, un rectángulo, un rombo y
un romboide. Luego, mediante dobleces determinen cuánto vale la suma de
los ángulos internos para cada una de las figuras.
Integración
• En grupo, y con la supervisión de su profesor, completen el siguiente enunciado:
La suma de los ángulos internos de cualquier paralelogramo es igual a
.
d)180°.
Regresa y revisa
1 Retomen el problema inicial y organizados en parejas, respondan.
a) Si los ángulos marcados con los números 1 y 2 midieran 112°, ¿cuánto debe
medir el ángulo externo para que la parte horizontal de la letra “A” sea paralela
a la línea de base?
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33
33
28/11/12 17:58
Por el inciso a) se tiene que ∠d + ∠c + ∠e = 180°, y por los incisos b) y c), ∠a = ∠d
y ∠b = ∠e. Al reemplazar en el resultado del inciso a) los valores de los incisos b) y c) se
tiene que ∠a + ∠b + ∠c = 180°.
e) Respuesta modelo. La suma de los ángulos interiores mide 180°.
2.a)95°. Es el resultado de la resta 180° – 50° – 35°.
b)60°. Es un triángulo rectángulo; por tanto, es el resultado de la resta 180° – 60° – 30°.
c)18°, 72° y 90°. Hay que resolver la ecuación 90° + x + 0.25x = 180°: x = 72° y x ÷ 4 = 18°.
Página 33
Medida de los ángulos internos de un paralelogramo
1. a)• 90°
• De izquierda a derecha: los ángulos del primer y segundo pentágono miden 90° cada
uno; los del tercero, 45° y 135°; y los del cuarto, 135° y 45°.
Bloque 1 / MATEMÁTICAS 1
15
Para determinar las medidas de los ángulos del primer y segundo pentágono se puede
trazar una diagonal del cuadrado interno para obtener dos triángulos. Como la suma
de los ángulos internos de cada uno es 180°, la de los ángulos internos de los dos
triángulos es 360°. Además, los cuatro ángulos internos de un cuadrado, así como los
de un rectángulo, son iguales; entonces, a = 360° ÷ 4 = 90°.
Dos ángulos colaterales internos del paralelogramo son suplementarios,
El ángulo indicado en la figura mide
a
2
=
90°
2
a
2
=
90°
2
= 45°
= 45°, por lo que cualquiera de los ángulos
contiguos a éste mide 180° – 45°=135°.
Para las medidas de los ángulos del cuarto pentágono se puede utilizar un procedimien3a
to similar al anterior: como el ángulo marcado en azul mide 2 ×
inferior izquierdo y el superior derecho miden, cada uno, 45°.
3 × 90°
= 135°, el
2
• 360°
Analicen y comenten. 360°
b)Respuesta libre.
Integración
La suma de los ángulos internos de cualquier paralelogramo da 360°.
Página 33
Regresa y revisa
1. a)112°.
Página 34
Bloque
1
Resuelve y practica
Notación
El símbolo significa
rectas paralelas
entre sí.
1. En la figura 1.17 L M. Si d 35°
y g 60°, obtén los siguientes valores.
• ∠f c
L
d
e
• ∠d ∠e • ∠a • ∠c ∠a • ∠h • ∠ a ∠ b ∠c • ∠b • ∠a ∠b h
M
b
a
f
Situación inicial
g
i
j
Fig. 1.17 Rectas paralelas
y dos secantes.
Resuelve y practica
2. Calcula la medida del ángulo obtuso formado en la intersección
de las bisectrices de los ángulos
agudos de un triángulo rectángulo isósceles (fig. 1.18).
Fig. 1.18 Triángulo
rectángulo.
90°
P
L
3. En la figura 1.19 las rectas P, N y
O se intersecan entre sí y L M
N. Asigna valores a ∠a y ∠b e
1. •∠f = 120°.
a
M
inventa un problema referente
a lo estudiado en esta lección.
N
b
O
Fig. 1.19 Tres rectas paralelas
y dos secantes.
4. En la figura 1.20 L M. ¿Cuánto
L
mide cada uno de los ángulos
internos del triángulo?
66°
142°
M
Fig. 1.20 Dos rectas paralelas y dos secantes.
Como ∠f y ∠g son colaterales internos, son suplementarios; suman 180°. Así,
∠f = 180° – 60° = 120°.
• ∠a = 35°.
Como ∠d y ∠a son opuestos por el vértice, miden lo mismo, es decir, ∠a = 35°.
• ∠h = 120°.
Como ∠h y ∠g son suplementarios, suman 180°. Así, ∠h = 180° – 60° = 120°.
• ∠b = 25°.
Como ∠f y la suma de ∠a + ∠b son suplementarios, entonces suman 180°. Así, ∠f + ∠a +
∠b = 180° y, como ya se conocen los valores de ∠f + ∠a, se tiene que ∠b = 180° – 120°
– 35° = 25°.
Explora y construye
a
5. En el Tangram de la figura 1.21 el
cuadrilátero verde es un paralelogramo. ¿Cuánto miden ∠a, ∠b
y ∠c?
b
45°
c
Fig. 1.21 Tangram.
Expongan sus resultados en grupo y con ayuda de su profesor verifíquenlos. Esta
sección puede servirles para revisar su aprovechamiento escolar a lo largo de la
lección; si tuvieron problemas para resolver alguna de las preguntas repasen los
temas correspondientes.
34
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16
Bloque 1 / matemáticas 1
• ∠d + ∠e = 60°.
Como ∠d + ∠e y ∠b + ∠a son opuestos por el vértice, miden lo mismo. Es decir, ∠d +
∠e = ∠b + ∠a = 35° + 25° = 60°.
• ∠c + ∠a = 155°.
Como ∠c y ∠f son opuestos por el vértice, miden lo mismo. Así, ∠c + ∠a = 120° + 35°
= 155°
• ∠a + ∠b + ∠c =180°.
Ya se conocen los valores de estos ángulos. Entonces, ∠a + ∠b + ∠c = 35° + 25° + 120°
= 180°.
• ∠a + ∠b = 60°.
Ya se conocen los valores de estos ángulos. Entonces, ∠a + ∠b = 35° + 25° = 60°.
2.135°.
Como el triángulo es triángulo rectángulo isósceles y la suma de los ángulos internos de
cualquier triángulo da 180°, los ángulos internos iguales miden 45°. Además, el ángulo obtuso se forma con dos bisectrices; entonces, dos ángulos del triángulo que tiene dos catetos morados y uno anaranjado miden 22.5° cada uno. Así, el ángulo obtuso es igual a
180° – 22.5° – 22.5° = 135°.
3. Respuesta libre.
4.38°, 66° y 76°.
El ángulo que mide 142° y uno interno del triángulo son suplementarios; entonces, este último mide 180° – 142° = 38°. El ángulo que mide 66° y uno interior del triángulo (el inferior
izquierdo) son alternos internos; entonces, este último mide también 66°. Para obtener la
medida del tercer ángulo interno se calcula la resta: 180° – 38° – 66° = 76°.
5. ∠a = 45°, ∠b = 135° y ∠c = 45°.
El ángulo azul, marcado en el triángulo morado y ∠c son alternos internos, entonces
miden lo mismo, es decir, ∠c = 45°. Además, como ∠c y ∠b son colaterales internos,
son también suplementarios, y ∠c y ∠b = 180°, esto es, ∠b = 180° – 45° = 135°. Para
obtener el valor de ∠a, notemos que el ángulo azul y ∠a son correspondientes, por lo
que ∠a = 45°.
Bloque 1 / MATEMÁTICAS 1
Condiciones para la construcción
de triángulos
L4
Lección
4
4. Condiciones para la
construcción de triángulos
Construcción de triángulos con base en ciertos datos. Análisis de las condiciones de posibilidad y unicidad
en las construcciones.
Situación inicial
1 En parejas, lean la siguiente situación y resuelvan el
problema.
Página 35
Parque
En la ciudad donde viven Brenda y Luis, las tres calles que conducen al Parque, la Gasolinera y el Cinema
son rectas y forman un triángulo. De tal manera que se
puede hacer un recorrido por estos tres lugares.
Cinema
Gasolinera
Fig. 1.22
Luis y Brenda quieren hacer ejercicio por las mañanas trotando por esas calles.
Para saber la distancia que cubrirían en ese recorrido, registraron la distancia
marcada en cada uno de los odómetros, instrumento utilizado para medir distancias, de sus respectivos autos, como lo muestra la siguiente tabla.
Recorridos
Situación inicial
Marca del odómetro del
carro de Luis (km)
Marca del odómetro del
carro de Brenda (km)
2.4
Parque-Gasolinera
2.3
Gasolinera-Cinema
3.9
Cinema-Parque
1.4
3.7
1.6
a) La diferencia de marcas en los odómetros indica que uno de los dos no funciona bien, ¿cuál es?
. Justifiquen su respuesta.
.
Explora y construye
¿Cuántos triángulos se pueden construir?
El problema anterior se relaciona con las propiedades de los triángulos. A continuación analizaremos algunas de ellas.
1 Organizados en equipos, realicen las siguientes actividades.
a) Corten popotes (o tiras de papel) con
las longitudes indicadas en la figura y,
tomando al azar de tres en tres, formen siete triángulos diferentes. Anoten las longitudes de los lados en la
tabla de la página siguiente.
1. a)El odómetro del carro de Luis no funciona bien porque no es posible formar un triángulo
con las distancias que indica.
Fig. 1.22
Fig. 1.23
35
35
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Página 36
Explora y construye
Bloque
1
Triángulo
Lado M
Lado N
Lado L
1
2
3
4
• No, todos los triángulos que se pueden construir son iguales.
5
6
7
• Para cada una de las combinaciones con las que se pudo hacer un triángulo determinen si es posible construir un triángulo diferente. Justifiquen
su respuesta.
.
Esto sucede porque la posición de dos triángulos que tienen lados de la misma longi-
• Comparen sus resultados con otros equipos. ¿Hubo combinaciones de
popotes con las que no fue posible hacer un triángulo? Expliquen.
.
b) Tracen, en su cuaderno, tres segmentos tales que la suma de las longitudes de
dos de ellos sea igual o menor que la longitud del otro segmento e intenten
construir un triángulo. Expresen sus conclusiones.
tud no implica que sean triángulos distintos.
.
c) Tracen, en su cuaderno, tres segmentos tales que la suma de las longitudes
de cualesquiera dos de ellos sea mayor que la longitud del otro segmento e
intenten construir un triángulo. Expresen sus conclusiones.
.
• Respuesta modelo. Sí, porque los extremos de dos lados no se unían, es decir, no se
Integración
• En grupo, con ayuda de su profesor, respondan la siguiente pregunta.
¿Qué condición deben cumplir tres segmentos para poder construir con ellos un
triángulo?
36
formaban tres vértices.
.
36
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b)Respuesta modelo. No es posible construir el triángulo.
Los extremos de dos segmentos no se pueden unir. A continuación se analizará cómo
para formar un triángulo es necesario que la suma de las longitudes de dos lados sea
mayor que la longitud del tercero.
c) Respuesta modelo. Sí se puede construir un triángulo.
Integración
La suma de dos lados tiene que ser mayor que la longitud del otro.
Lección
4
Página 37
2 Organizados en equipos, realicen la siguiente actividad.
a) Cada integrante del equipo, a partir de los segmentos que se dan a continuación, construya tres triángulos de manera que en el primer triángulo los
segmentos formen un ángulo de 29°, en el segundo triángulo los segmentos
formen un ángulo de 90°, y en el tercero, los segmentos formen un ángulo
de 158°.
4.5 cm
3.6 cm
Fig. 1.24
2.a)Respuesta libre.
• Respuesta modelo. No es posible trazar triángulos distintos: son triángulos iguales a los
anteriores, pero en distintas posiciones.
Comparen y comenten sus construcciones con otros equipos.
• Con los mismos datos tracen triángulos distintos a los anteriores. Comenten con sus compañeros de equipo si pudieron o no trazarlos y por qué.
.
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37
37
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17
18
Bloque 1 / matemáticas 1
Página 38
Bloque
1
Integración
• En grupo, con ayuda de su profesor, elijan la opción que completa de manera correcta el enunciado.
a) Cuando se conocen dos segmentos y el ángulo comprendido entre ellos…
• En ocasiones no es posible construir triángulo alguno.
• Siempre es posible construir dos triángulos distintos.
• Siempre es posible construir un solo triángulo.
• Algunas veces es posible construir dos triángulos.
•
Realicen la misma actividad en su cuaderno pero ahora ustedes elijan las
longitudes de los dos segmentos y las medidas de los tres ángulos.
Comparen sus resultados con los del otro equipo. Analicen las condiciones suficientes para construir triángulos idénticos. Escriban sus conclusiones.
Integración
3 Organizados en equipos, realicen las siguientes actividades.
a) A continuación se muestran dos segmentos con sus respectivas medidas.
3.1 cm
•
4.4 cm
Con los ángulos 145°, 90° y 25° construyan, en su cuaderno, todos los
triángulos posibles escogiendo dos ángulos y un lado, de manera que
dicho lado se encuentre entre los dos ángulos. También en su cuaderno
hagan un registro de las combinaciones con las que sí fue posible construir un triángulo y un registro con las que no fue posible.
• Para cada una de las combinaciones con las que se pudo construir un
3. a)• Siempre es posible construir un solo trángulo.
triángulo, determinen si es posible construir un triángulo diferente. Justifiquen su respuesta.
Busca en...
la siguiente página
electrónica:
http://www.
edutics.mx/Z5Z
y junto con otros
compañeros compara los procedimientos usados
en esta página
electrónica con
los procedimientos que usaron a
lo largo de esta
lección sobre la
construcción de
triángulos. Fecha
y hora de consulta: 5 de octubre de
2012 a las 13:52 h.
.
•
¿Con qué parejas de ángulos no fue posible construir un triángulo?
. ¿Por qué?
.
b) Dibujen, en su cuaderno, un segmento y dos ángulos tales que su suma sea
• En total hay seis posibles combinaciones, pero sólo cuatro permiten construir un trián-
mayor que 180° e intenten construir un triángulo. Expresen sus conclusiones.
.
c) Dibujen, en su cuaderno, un segmento y dos ángulos tales que su suma sea
menor que 180° e intenten construir un triángulo. Expresen sus conclusiones.
38
.
38
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gulo.
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Las seis combinaciones son 145°, 90° y 3.1 cm; 145°, 25° y 3.1 cm; 90°, 25° y 3.1 cm;
145°, 90° y 4.4 cm; 145°, 25° y 4.4 cm; y 90°, 25° y 4.4 cm.
Las combinaciones con las que no se pueden construir triángulos son 145°, 90°, 3.1
cm y 145°, 90°, 4.4 cm.
• No es posible construir triángulos diferentes porque los ángulos determinan la ubicación del tercer vértice.
• Con 145° y 90°, porque suman más de 180°.
b)Respuesta modelo. No se puede construir el triángulo.
c)Sí se puede construir el triángulo.
Lección
4
Página 39
Integración
• En grupo, con ayuda de su profesor, respondan la siguiente pregunta.
¿Qué condición deben cumplir dos ángulos para que con un segmento entre ellos
sea posible construir un triángulo?
.
En la actividad anterior analizaron un criterio de unicidad en triángulos. A continuación analizarán otras condiciones para la construcción de triángulos.
4 Realicen en equipo, las siguientes actividades.
a) Cada estudiante del equipo construya un triángulo cuyos ángulos midan 75°,
38° y 67°, y luego obtenga su perímetro.
Integración
• ¿Todos los triángulos que construyeron en el equipo tienen igual o diferente perímetro? ¿Por qué piensan que ocurrió esto?
Su suma debe ser menor a 180°.
.
• ¿Cuántos triángulos distintos se podrían construir con estos ángulos? Justifiquen su respuesta.
.
b) Cada estudiante del equipo construya un triángulo en el que dos de sus lados
midan 5 cm y 6 cm, respectivamente, y el ángulo opuesto al lado que mide
5 cm sea de 50°.
• ¿Todos los triángulos que se construyeron en el equipo fueron iguales?
4.a)Respuesta libre.
.
• ¿Cuántos triángulos distintos se pueden construir con estos datos? Justifiquen su respuesta.
.
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39
39
• Respuesta modelo. Tienen diferente perímetro porque cada integrante utilizó distintas
28/11/12 17:58
medidas para los lados.
• Tantos como se quieran, pues basta elegir un lado y asignarle una medida distinta cada
vez que el triángulo se construya.
Que los tres ángulos internos de dos triángulos sean iguales no es criterio suficiente
para identificarlos como triángulos iguales.
b)
• Respuesta modelo. No, hay dos triángulos distintos.
• Se pueden trazar dos triángulos distintos: una forma de construirlos es trazar un segmento de 6 cm y, desde uno de sus extremos, una recta, L, a un ángulo de 50° (el
ángulo de 50° será opuesto al lado de 5 cm). Después, desde el otro extremo del segmento de 6 cm, se traza una circunferencia de 5 cm de radio; ésta interseca la recta L
en dos puntos distintos, que son las posibles ubicaciones del tercer vértice.
Bloque 1 / MATEMÁTICAS 1
Página 40
19
Bloque
1
Integración
• En grupo, con ayuda de su profesor, respondan las siguientes preguntas.
a) Si se conocen las medidas de los ángulos de un triángulo, ¿cuántos triángulos diferentes se pueden construir con los mismos ángulos?
.
b) ¿Cuántos triángulos distintos se pueden construir si se conocen las medidas de dos
lados y el ángulo opuesto a uno de ellos?
Situación inicial
.
Regresa y revisa
1 Retomen la actividad inicial, y en parejas expliquen, de acuerdo con las con-
Integración
diciones de posibilidad de construcción de triángulos, cuál era el odómetro
descompuesto.
.
Resuelve y practica
1. ¿Cuántos triángulos pueden construirse de manera que sus lados tengan una longi-
Explora y construye
tud, en centímetros, correspondiente a los tres menores números primos que existen?
.
2. Construye en tu cuaderno todos aquellos triángulos cuyo perímetro sea de 7 cm y
las longitudes de sus lados sean cantidades enteras, también, en centímetros.
a)Tantos como se quiera.
3. Construye un triángulo isósceles tal que el lado que es distinto a los otros dos mida
5 cm y uno de los ángulos mida 95°.
b)Dos triángulos distintos.
4. ¿Es posible o no construir un triángulo en el que los ángulos midan 73°, 90° y 55°?
Argumenten su respuesta.
.
Expongan sus respuestas en el grupo y con apoyo de su profesor valídenlas. En
grupo escriban una lista de las condiciones de posibilidad y unicidad en la construcción de triángulos.
40
Regresa y revisa
1. El odómetro de Luis es el que está descompuesto, porque las distancias que marca no
cumplen la desigualdad del triángulo.
Como 2.3 + 1.4 = 3.7 es menor que 3.9, la desigualdad del triángulo no se cumple.
Resuelve y practica
1. Ninguno, porque no se cumple la desigualdad del triángulo.
Los tres menores primos que existen son 2, 3 y 5, pero como 2 + 3 = 5, la desigualdad del
triángulo no se cumple.
2.Se pueden construir dos triángulos distintos, cuyas longitudes son 2, 2 y 3 cm, y 1, 3 y 3 cm.
En esos dos casos se cumple la desigualdad del triángulo; por tanto, es posible construirlos.
3. Sólo se puede trazar un triángulo distinto y el ángulo de 95° debe ser opuesto al lado de 5
cm. De lo contrario, como los ángulos adyacentes al lado de 5 cm son iguales, la suma de
los ángulos internos sería mayor a 180°.
4.No, porque 73° + 90° + 55° = 218 > 180°.
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40
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Bloque 1 / matemáticas 1
Problemas de áreas de figuras compuestas
L5
Lección
5
5. Problemas de áreas
de figuras compuestas
Página 41
Resolución de problemas que impliquen el cálculo de áreas de figuras compuestas, incluyendo áreas laterales y totales de prismas y pirámides.
Situación inicial
3.5 m
2.65 m
1 En parejas, resuelvan el siguiente problema.
visa
En una pared de las instalaciones de un club deportivo se pintará su escudo. En la figura 1.24 se
muestran algunas de las medidas que este tendrá.
Situación inicial
CLUB DEPORTIVO
0.85 m
1.75 m
OS
LL
GA
OS
GR
NE
a) ¿Cuál es el área que ocupará el dibujo del balón?
b) Sin tomar en cuenta la región que ocupa el balón,
¿cuál es el área de la región blanca que tiene forma
de diamante?
c) ¿Qué estrategia siguieron para encontrar las áreas?
AG
UA
SC
AL
IEN
TE
S
20
2.7 m
Fig. 1.25
Explora y construye
Áreas de figuras planas compuestas
1 En equipos, resuelvan los siguientes problemas.
a) En la figura 1.26 se muestra un vitral colocado en una ventana cuadrada. El
Glosario
punto E es el punto medio del lado derecho y F es el punto medio entre E y el
1. a)2.4 m2
vitral.
Es una composición de vidrios de
colores.
vértice inferior derecho. ¿Cuál es el área conjunta de los vidrios azules?
.
E
18 cm
Es el resultado de multiplicar 0.875 m × 0.875 m × 3.14 ≈ 2.4 m2.
F
Fig. 1.26
Escriban en su cuaderno la estrategia que utilizaron para encontrar el área solicitada.
41
41
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b)4.94 m2
El área del trapecio que forma el diamante blanco tiene un área de 3.5 m +22.65 m × 0.85
2.7 m
= 4.725 m2.
≈ 2.61 m2, y el área del triángulo, la otra parte del diamante, 3.5 m +
2
Entonces, al sumar las áreas anteriores y restarle el área del balón se tiene:
2.61 m2 + 4.725 m2 − 2.4 m2 = 4.94 m2.
Página 41
Explora y construye
Áreas de figuras planas compuestas
1. a)121.5 cm2
Se conoce la altura de ambos triángulos azules y la base de cada uno (9 cm y 4.5 cm).
Entonces, se calculan sus respectivas áreas y se suman.
El área del triángulo azul más pequeño, el de la esquina inferior derecha, es 4.5 m ×2 18 cm
= 40.5 cm2, y el área del otro triángulo, 9 c m ×2 18 cm = 81 cm2. Entonces, el área conjunta es 121.5 cm2.
Página 42
b)• Un rectángulo, un trapecio y dos círculos, uno encima de otro.
• 60.8 cm2
El área del rectángulo es igual a 3.3 cm × 11 cm = 36.3 cm2.
El área del trapecio es 11 cm +24.8 cm 22.12 cm2.
Bloque
1
b) En la figura 1.27 se muestra el logotipo de una cafetería, así como algunas de
las medidas que se utilizaron en su diseño.
2.2 cm
3.3 cm
El área del semicírculo blanco (la parte “hueca” del asa) es igual a 1.1 cm × 21.1 cm × π ≈
2.8 cm
Fig. 1.27
4.8 cm
11 cm
• ¿Qué figuras geométricas se usaron en el diseño de la taza?
.
• ¿Cuál es el área total del logotipo?
.
1.90 cm2.
Comparen y comenten, con otro equipo, sus respuestas.
Comenten. ¿Recuerdan algún logotipo que pudiera descomponerse en figuras elementales, como triángulos, cuadrados o círculos?
c) En la figura 1.28 se muestra un reloj de mesa y su soporte, así como sus dimensiones. El soporte está cubierto con una mica que imita la apariencia de
la madera, además, el reloj tiene forma de octágono regular. Respondan las
siguientes preguntas sabiendo que la apotema del reloj mide, aproximadamente, 6.76 cm y que cada lado mide 5.6 cm.
El área del semicírculo anaranjado, sin considerar la parte hueca, es
24 cm
4 cm
4 cm
Fig. 1.28
1.65 cm × 1.65 cm × π
2
33 cm
• ¿Cuál es el área del hueco que ocupará el reloj en el soporte?
4.27 cm2.
.
• ¿En qué figuras se pueden descomponer el reloj y su soporte?
.
• ¿Cuál es el área de la mica del soporte?
.
Compartan y comenten sus procedimientos.
42
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42
28/11/12 17:58
Por tanto el área del asa es 4.27 cm2 – 1.90 cm2 = 2.37 cm2, y, así el área total del logotipo es 36.3 cm2 + 22.12 cm2 + 2.37 cm2 = 60.79m2 ≈ 60.8m2.
Bloque 1 / MATEMÁTICAS 1
21
Comenten. Respuesta libre.
c) • 151.42 cm2.
Es el área del octágono regular: 5.6 cm ×26.76 cm × 8 ≈ 151.42 cm2.
• El soporte se puede descomponer en un semicírculo, un trapecio y un rectángulo.
• 320.66 cm2
El área de rectángulo es 33 cm × 4 cm = 132 cm2.
24 cm
× 4 = 114 cm2.
El área de trapecio es 33 cm +
2
El área del semicírculo es 12 cm × 212 cm × π ≈ 226.08 cm2.
Entonces, el área de la mica del soporte es la suma de las áreas anteriores menos la
del reloj, esto es, 132 cm2 + 114 cm2 + 226.08 cm2 − 151.42 cm2 = 320.66 cm2.
Página 43
d)• Cada figura se puede colocar dentro de un cuadrado, como muestra la imagen; luego
se puede calcular su área.
Lección
5
d) El símbolo internacional del acero1 es un logotipo compuesto por tres figuras
que se asemejan a un destello de luz (fig. 1.29).
Fig. 1.29
• ¿De qué manera se puede calcular el área de cada figura?
.
• Si el cuadrado donde está colocado el logotipo mide 10 cm 10 cm,
¿cuánto vale el área del logotipo?
.
• ¿Cuánto vale el área blanca del cuadrado?
.
Comparen y comenten sus resultados.
Integración
• En grupo, con ayuda de su profesor, escriban en su cuaderno una estrategia para
obtener el área de figuras planas compuestas.
Áreas de superficies de prismas y pirámides
1 En equipos, resuelvan los siguientes problemas.
a) En una hoja de tamaño carta, construyan el desarrollo plano que se muestra
en la figura 1.30 y recórtenlo para formar un dado en forma de tetraedro.
8 cm
Lo que ya sabes
El desarrollo plano
de una pirámide
(o de un prisma) es
una figura plana
compuesta por
las caras de este
cuerpo, dispuestas
de tal manera que
doblando debidamente las partes de
la figura se obtenga
dicho cuerpo.
6.9 cm
Fig. 1.30
1
www.steel.org/en/About ASIS/History.aspx
43
43
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28/11/12 17:58
Como hay cuatro cuartos de círculo que no son parte de la figura, es necesario restar un
círculo completo. Entonces, al área del cuadrado se le resta el área de un círculo de radio
igual a la mitad de la medida del lado del cuadrado.
• El lado del cuadrado que contendrá una de las figuras mide 5 cm y, por tanto,
su área es 25 cm2. Después se le resta el área de un círculo de 2.5 cm de radio:
25 cm2 – 19.63 cm2 = 5.37 cm2.
Para obtener el área de las tres figuras se multiplica por tres: 5.37 cm2 × 3 = 16.11 cm2.
• El área del cuadrado menos las tres figuras juntas: 100 cm2 – 16.11 cm2 = 83.89 cm2.
Página 44
Bloque
1
Busca en…
la siguiente página
electrónica:
Áreas de superficies de prismas y pirámides
http://www.edutics.
mx/Zio
y resuelve la actividad 48 de Matemáticas 1 mediante
los procedimientos que usaste en
esta lección para
calcular el área de
figuras compuestas,
después compara
con tus compañeros tus resultados.
Fecha y hora de
consulta: 5 de octubre de 2012 a las
15:53 h.
• ¿Cuál es el área de cada una de las caras del dado?
.
• ¿Cuál es el área de la superficie del dado?
.
• ¿Qué área de la hoja de papel se desperdiciará (sin tomar en cuenta las
cejas)?
.
Compartan y comenten sus procedimientos y resultados.
b) En una empresa, dedicada a la venta de leche, se tienen dos tipos de cajas
de cartón —una para leche entera y otra para leche descremada— en las que
el contenido es el mismo. En la figura 1.31 se muestran las dimensiones de estas
cajas.
20.3 cm
1. a)Respuesta libre.
20.5 cm
Regresa y revisa
5.5 cm
9 cm
7 cm
7 cm
Fig. 1.31
• 27.6 cm2
• Para cada caja tracen los desarrollos planos, determinen las áreas laterales
y las áreas de las tapas.
.
• ¿Cuál es el área que ocupa la superficie de la caja de la leche entera?
.
• ¿Cuál es el área que ocupa la superficie de la caja de la leche descremada?
Con la fórmula para obtener el área de un triángulo: 6.9 cm2× 8 cm = 27.6 cm2.
Fig. 1.32
.
Analicen y comenten. ¿En cuál de las cajas se desperdicia más cartón?
c) En la figura 1.32 se muestra una pecera en forma de prisma recto cuya base es
un hexágono regular. La longitud de cada lado de la base es de 50 cm y la longitud
de la apotema es de 43.3 cm. Si el área de cada cara lateral es de 7 500 cm2:
44
SFUMA2SB_B1.indd 44
44
28/11/12 17:58
Bloque 1 / matemáticas 1
• 110.4 cm2.
Es el resultado de multiplicar por 4 el resultado anterior: 27.6 cm2 × 4 = 110.4 cm2.
• 492.24 cm2 (se consideró que la hoja tamaño carta mide 21.6 cm × 27.9 cm).
El resultado se obtiene al restarle al área de la hoja el área del tetraedro:
602.64 cm2 – 110.4 cm2 = 492.24 cm2.
b)• Para la caja de leche entera cada cara lateral tiene de área 111.65 cm2; cada cara frontal, 182.7 cm2; y las tapas, 49.5 cm2 cada una. Para la caja de leche descremada, cada
cara tiene un área de 143.5 cm2; y cada tapa, 49 cm2.
Cada valor se obtiene al multiplicar el largo por el ancho de los rectángulos que forman
las cajas.
• 687.7 cm2.
• 672 cm2.
Las dos respuestas anteriores son las sumas de las áreas de todas las caras, la leche
entera y la descremada, teniendo en cuenta que hay dos laterales, dos frontales y dos
tapas para cada caja.
Analicen y comenten. En la caja de la leche entera.
Página 45
c) • 150 cm
Lección
5
• ¿Cuál es la altura de la pecera?
Glosario
.
• Si la pecera no tiene cristal en la parte superior, ¿cuál es el área de la superficie de la pecera?
.
d) En la figura 1.33 se muestra una pirámide recta cuya base es un pentágono
regular. En la figura se dan las longitudes de la apotema de la base, de los
lados de la base y de la apotema lateral.
apotema lateral.
Altura de una de
las caras laterales
de una pirámide
o de una pirámide
truncada.
Como cada cara lateral tiene un área de 7 500 cm2 y cada lado, una longitud de 50 cm,
• Tracen el desarrollo plano de la pirámide.
• ¿Cuál es el área de la base de la pirámide?
.
la altura del prisma es igual a 7 500 cm2 ÷ 50 cm = 150 cm.
8 cm
• ¿Cuál es el área de cada cara lateral de la pirámide?
.
• ¿Cuál es el área que cubre toda la superficie de la pirámide?
2.75 cm
.
Compartan y comenten sus procedimientos.
Fig. 1.33
4 cm
Integración
• En grupo y con ayuda de su profesor, escriban una estrategia para calcular el área
de la superficie de prismas y pirámides rectos.
• 51 495 cm2
Regresa y revisa
1 Con las medidas que aparecen en la figura 1.34, donde se muestra el escudo del
problema inicial, en parejas respondan.
a) ¿Cuál es el área que se pintará de azul, sin considerar las letras, en el escudo
del problema inicial?
El área de la base, que es un hexágono regular, es 6 × 50 cm2× 43.3 cm = 6 495 cm2.
4.1 m
3.2 m
CLUB DEPORTIVO
1.2 m
OS
LL
GA
OS
GR
NE
AG
AG
UA
UA
SC
SC
AL
AL
IENT
IE
NT
ES
ES
22
Cada cara lateral tiene un área de 7 500 cm2; entonces, el área total de las caras late-
3.4 m
Fig. 1.34
SFUMA2SB_B1.indd 45
45
45
28/11/12 17:58
rales es 7 500 cm2 × 6 = 45 000 cm2.
Entonces, la superficie de la pecera es de 45 000 cm2 + 6 495 cm2 = 51 495 cm2.
d)• Respuesta libre.
• 27.5 cm2
Se obtiene con la operación 4 cm ×22.75 cm × 5 = 27.5 cm2
• 16 cm2
Es el resultado de
8 cm × 4 cm
2
= 16 cm2.
• 107.5 cm2.
El área de las cinco caras laterales es 16 cm2 × 5 = 80 cm2. Entonces, el área que cubre
la pirámide es la suma del resultado anterior y el área de la base: 80 cm2 + 27.5 cm2 =
107.5 cm2
Bloque 1 / MATEMÁTICAS 1
23
Integración
Respuesta modelo. Se calcula el área de cada cara y se suma con el área de las tapas o las
bases.
Regresa y revisa
1. a)El diamante azul, sin considerar el diamante blanco ni el balón, se puede dividir en un
trapecio y un triángulo. Entonces, su área es 4.38 m2 + 6.97 m2 = 11.35 m2. Después se
debe restar el área del diamante interior (el espacio blanco y el balón): 11.35 m2 – 7.34 m2
= 4.01 m2.
El área del trapecio se obtuvo con la operación
4.1 × 3.2 cm
2
× 1.2 = 4.38 cm2.
El área del triángulo al calcular 4.1 cm ×2 3.4 cm = 6.97 cm2.
El área del diamante blanco y la del balón son las que se obtuvieron en el problema de
la situación inicial.
Página 46
Resuelve y practica
Bloque
1
Resuelve y practica
1. Encuentra el área de cada parte del corazón de la figura 1.35 y luego el área total.
Escribe en tu cuaderno las respuestas.
1. Área de la figura verde claro: 2π cm .
2
2
cm
Situación inicial
Fig. 1.35
La figura verde claro es un semicírculo de radio 2cm. Entonces, su área es
2. En la figura 1.36 se muestra una puerta de madera con un vitral circular. Responde
en tu cuaderno las siguientes preguntas, a partir de las medidas indicadas en el cuadrado, el triángulo equilátero y el hexágono regular que forman parte del vitral.
10 cm
Explora y construye
2 cm × 2 cm
× π = 2π cm2.
2
8.7 cm
10 cm
8.7 cm
Fig. 1.36
10 cm
a) ¿Cuál es el área que ocupa el vitral?
b) ¿Cuál es el área que ocupa el vidrio de color verde en el vitral?
c) Si las medidas de la puerta son 1.20 m 2.20 m, ¿cuál es el área de la puerta que está
hecha de madera?
2
Área de la figura verde oscuro: π cm .
3. ¿Cuánto papel será necesario para forrar una caja cúbica de 49 cm de arista? Responde en tu cuaderno.
4. Traza en tu cuaderno el desarrollo plano de un prisma recto cuya base sea un heptágono regular de área 614.2 cm2, y las caras laterales sean cuadrados de 13 cm 13 cm.
Como la figura verde claro es la mitad de un semicírculo de radio 2 cm, basta dividir entre
Comparen sus respuestas y procedimientos en grupo. Verifiquen que sean correctos
y, de ser necesario, corríjanlos.
46
SFUMA2SB_B1.indd 46
2
2 el resultado anterior. Así, el resultado es π cm .
Área de la figura azul claro: π cm2.
La figura azul claro también es igual que la anterior; entonces, su área es la misma.
Área de la figura azul oscuro: 6 cm2.
La figura azul oscuro se compone de un cuadrado y un triángulo. El cuadrado tiene
4 cm2 de área, pues tiene 2 cm por lado. El triángulo tiene la mitad de área, es decir, 2
cm2. Entonces, el área de la figura azul oscuro es 6 cm2.
Área de la figura roja: 4 cm2.
La figura roja es un cuadrado de 2 cm de lado. Por ello, su área es 2 cm × 2 cm = 4 cm2.
Área de la figura anaranjada: 4 cm2.
La figura anaranjada es un paralelogramo de 2 cm de base y 2 cm de altura. Entonces,
tiene 2 cm × 2 cm = 4 cm2 de área.
Área de la figura morada: 2 cm2.
La figura morada es un triángulo de 2 cm de base y 2 cm de altura, por lo que su área es
2 cm × 2 cm
=2cm2.
2
Área total: Aproximadamente 28.57 cm2.
46
28/11/12 17:58
24
Bloque 1 / matemáticas 1
Es el resultado de sumar las áreas de cada figura.
2.a)2 358.6 cm2.
El radio del círculo que forma el vitral tiene como longitud la apotema del hexágono, la
medida lateral de un cuadrado y la altura de un triángulo equilátero, por lo que el radio
es 8.7 cm + 10 cm + 8.7 cm = 27.4 cm.
Para determinar el área que ocupa se hace la multiplicación
27.4 cm × 27.4 cm × π ≈ 2 358.60 cm2.
b)Es 714.6 cm2
El hexágono regular tiene un área de 10 cm ×2 8.7 cm × 6 = 261 cm2.
El área de cada cuadrado es 10 cm × 10 cm = 100 cm2. Entonces, el área de los seis
cuadrados juntos es 600 cm2.
Cada triángulo equilátero tiene como área 10 cm ×2 8.7 cm = 43.5 cm2. Entonces, los seis
triángulos tienen como área total 261 cm2.
Las piezas amarillas son rombos formados por dos triángulos como los equiláteros. Entonces, su área es el doble que la anterior, es decir, 522 cm2.
Finalmente, al área de todo el vitral se le resta la de los polígonos anteriores, esto es: 2
358.6 cm2 − 261 cm2 − 600 cm2 − 261 cm2 − 522 cm2 = 714.6 cm2.
c) 24 041.4 cm2.
La puerta tiene 1.20 m × 1.20 m = 2.64 m2 de área, es decir, 26 400 cm2. Al restarle el
área del vitral se tiene que la de la puerta de madera es 26 400 cm2 − 2 358.60 cm2 = 24
041.40 cm2.
3. Si la caja se forrara sólo por fuera, serían necesarios 14 406 cm2. Si se forrara por dentro y
por fuera, se requeriría el doble, es decir, 28 812 cm2.
El área de cada cara es 49 cm × 49 cm = 2 401 cm2. Como el cubo tiene seis caras, su superficie (externa) total es 14 406 cm2.
4.Las medidas del heptágono son lado lateral, 13 cm; y apotema, 13.5 cm. La altura del prisma
es 13 cm.
L
× 7, donde a es
La fórmula para obtener el área A de un heptágono regular es A = a ×
2
la apotema y L la medida lateral. Entonces, como las caras deben ser cuadrados de 13 cm
cm
× 7, cuya resolución implica que la
de lado, se obtiene la ecuación 614.2 cm2 = a × 13
2
apotema mide aproximadamente 13.50 cm.
Bloque 1 / MATEMÁTICAS 1
La centésima parte
L6
Mexicali
E S TA D O S U N I D O S D E A M É R I C A
30°
Baja California
Sonora
Chihuahua
Hermosillo
fo
Gol
Chihuahua
de
Coahuila
de Zaragoza
forn
Cali
Baja California Sur
ia
25°
Sinaloa
Nuevo León
Culiacán
Rosales
Monterrey
Saltillo
Durango
Monterrey
Tamaulipas
La Paz
Victoria
de Durango
Página 47
Zacatecas
Tepic
Golfo de
México
San Luis Potosí
San Luis Potosí
1
Nayarit
Trópico de Cáncer
Cd. Victoria
Zacatecas
O C É A N O
P A C Í F I C O
20°
Lección
Guadalajara
Colima
Colima
Morelia
4
Michoacán
de Ocampo
Mérida
7
2
de
e
Golfopech
Cam
Xalapa
Enríquez
6
5
6
Yucatán
Guanajuato
Querétaro de Artega
3
Querétaro
Guanajuato
Jalisco
6. La centésima parte
Veracruz Ignacio
de la Llave
Guerrero
Quintana Roo
Campeche
Chetumal
Campeche
Mar
Caribe
Tabasco
Villahermosa
Oaxaca
Chilpancingo
de los Bravo
BELICE
Chiapas
Oaxaca
de Juárez
Tuxtla Gutiérrez
Resolución de problemas diversos relacionados con el porcentaje, como aplicar
un porcentaje
a una can15°
de cantidad
G U A conoTEMALA
tidad; determinar
qué porcentaje representa una cantidad respecto a otra, y obtenerGolfo
una
Tehuantepec
ciendo una parte de ella y el porcentaje que representa.
Situación inicial
115°
110°
105°
1 En parejas, resuelvan el siguiente problema.
100°
95°
90°
Mexicali
E S TA D O S U N I D O S D E A M É R I C A
30°
Baja California
Sonora
Yucatán
Chihuahua
Califo
rnia
Baja California Sur
25°
Mérida
Coahuila
de Zaragoza
de
Situación inicial
Chihuahua
Hermosillo
Golfo
Yucatán tiene una superficie de
39 612 km 2, lo que representa dos
centésimas partes de la superficie de
México.
a) ¿Cuál es, aproximadamente, la superficie del país?
Sinaloa
Culiacán
Rosales
Nuevo León
Saltillo
Durango
Monterrey
Monterrey
Tamaulipas
La Paz
Victoria
de Durango
Zacatecas
Tepic
Golfo de
México
San Luis Potosí
San Luis Potosí
1
Nayarit
Trópico de Cáncer
Cd. Victoria
Zacatecas
O C É A N O
P A C Í F I C O
20°
Yucatán
Guanajuato
Querétaro de Artega
3
Querétaro
Mérida
Guanajuato
Jalisco
Guadalajara
Colima
Colima
Morelia
Michoacán
de Ocampo
Comparen sus resultados.
4
2
5
7
Veracruz Ignacio
de la Llave
110°
105°
Quintana Roo
Chetumal
Mar
Caribe
BELICE
Tuxtla Gutiérrez
Golfo de
Tehuantepec
115°
Campeche
Villahermosa
Chiapas
Oaxaca
de Juárez
15°
Campeche
Tabasco
Oaxaca
Chilpancingo
de los Bravo
Fig. 1.37
de
Golfo he
Campec
Xalapa
Enríquez
6
Guerrero
100°
G U AT E M A L A
95°
Explora y construye
90°
Yucatán
Mérida
La tasa
1 En equipos, resuelvan lo siguiente.
a) En la actualidad, una de cada 5 personas en México tiene acceso a Internet.
1. a)1 980 600 km2.
• De acuerdo con este dato, ¿qué porcentaje de habitantes tienen acceso
a Internet?
Internet por cada 100 habitantes del país.
39 612
0.02
.
• Expresen la razón anterior como un valor decimal.
2
= 0.02 y equivalen a 39 612 km2. Entonces,
Dos centésimas se expresa como 100
para determinar el área, denotada por x, de México se puede hacer una regla de tres:
.
• Escriban la razón entre el número de mexicanos que tienen acceso a
.
b) En un centro de salud, en promedio, se atienden diariamente a 50 personas,
de las cuales 7 tienen algún padecimiento de la piel.
• ¿Cuál es la razón entre el número de pacientes con padecimientos de la
piel y el total de pacientes atendidos en un día?
.
• ¿Cuál es el valor decimal de la razón anterior?
.
• De las personas atendidas en ese centro de salud, ¿qué porcentaje, en
promedio, tiene algún padecimiento de la piel?
.
Analicen y comenten. ¿Qué relación encuentran entre las dos respuestas anteriores?
47
47
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= x1 = x
Es decir, x = 1 980 600 km2.
Página 47
Explora y construye
La tasa
1.•20%.
Una de cada cinco personas equivale a 20 de cada 100; esto es, 20%.
•
20
100
1
20
20
= 51 ×
= 100
5
× 20
.
• 0.20.
20
Pues 100
= 0.20.
b)•
7
.
50
• 0.14.
7
Pues 50
= 0.14.
• 14.
7
7×2
14
Ya que 50
= 50
= 100
.
×2
Analicen y comenten. Que al multiplicar el valor decimal por 100 se obtiene el porcentaje.
Página 48
Bloque
1
Glosario
demografía.
Estudio matemático de la población
humana.
La razón entre dos cantidades, cuando el denominador se considera un total, se
conoce como tasa, la cual se escribe como número decimal. Esta se utiliza en algunas actividades humanas como la economía, los servicios de salud y la demografía.
También es frecuente que la tasa se represente como porcentaje, pues esta representación corresponde a la razón que hay entre dicho número por cada cien de otro.
c) ¿Cuánto se pagará de interés durante un mes en un banco por un préstamo
c) • $1 800, porque se multiplica el interés por el préstamo (0.12 × 15 000).
de $15 000 si la tasa es de 0.12 mensual?
.
Justifiquen su respuesta.
.
• ¿Cuánto es el 17% de 785?
. Expliquen su procedimiento.
.
d) En una función de cine hay en total 200 personas, de las cuales 128 son
mujeres y el resto son hombres. Respondan las siguientes preguntas representando la tasa con la notación de %.
• ¿Cuál es la tasa correspondiente al número de mujeres en el cine?
• 133.45. Un procedimiento consiste en representar 17% como decimal y multiplicarlo
• ¿Cuál es la tasa de hombres en el cine?
.
.
• Si en la función hay 82 infantes de los cuales 44 son niños, ¿cuál es la tasa
de niñas en el cine?
.
• ¿Cuál es la tasa de niñas respecto a los infantes?
.
Analicen y comenten. ¿Por qué las dos tasas correspondientes a las niñas son diferentes?
e) Inventen y resuelvan un problema que implique calcular una tasa a partir
de otras cantidades. Compártanlo con otro equipo, sin darle la respuesta, y
resuelvan el problema que el otro equipo inventó.
por 785: 0.17 × 785 = 133.45.
Integración
• En grupo, con ayuda de su profesor, escriban un procedimiento para obtener una
tasa, a partir de dos cantidades, empleando el símbolo %.
Otro procedimiento es representar 17% como fracción con denominador 100 y multi17
× 785 = 133.45.
plicarlo por 785: 50
.
El porcentaje
1 En equipos, resuelvan lo siguiente.
a) Una moneda de 36 g ha sido elaborada con una aleación de cobre, níquel y
aluminio. (Recuerda que en un diccionario puedes encontrar el significado
de palabras desconocidas.)
48
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48
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25
26
Bloque 1 / matemáticas 1
d)• 64%.
128
= 0.64, que
Como 128 de los 200 asistentes son mujeres, se tiene la fracción 200
expresada como porcentaje es 64%.
• 36%.
Como 128 de los 200 asistentes son mujeres, hay 72 hombres. Por tanto, se tiene la
72
= 0.36, que expresada como porcentaje es 36%.
fracción 200
• 19%.
Sabemos que hay 82 infantes, de los cuales 44 son niños. Entonces, 38 de los 200
38
= 0.19 que expresado como porcentaje es 19%.
asistentes son niñas, es decir, 200
• 46.3%.
De cada 82 infantes 38 son niñas; entonces, se tiene la fracción 38
≈ 0.463, que ex82
presada como porcentaje es 46.3%.
Página 49
Lección
6
• Si 3 de la masa de la moneda corresponde al cobre, ¿cuántos
4
gramos de este metal tiene la moneda?
.
• Si 17 de la masa de la moneda es de níquel, ¿cuántos gramos de
100
este metal tiene la moneda?
.
• Expresen 3 y 17 como tasa, empleando el símbolo %.
4
El porcentaje
.
100
b) En la figura 1.38 se muestra un libro con una etiqueta que indica su
precio y un descuento sobre dicho precio.
•
Expresen 18 % como número decimal.
•
¿Cuántos pesos se descuentan al precio del libro?
.
•
¿Cuánto cuesta el libro una vez aplicado el descuento?
.
.
Fig. 1.38
Comparen y comenten los resultados de los incisos a) y b) con los de otro equipo.
Si se presentan errores, analícenlos y corríjanlos.
c) En un carrete de listón de 75 m el 30 % de cada metro está defectuoso.
• ¿Cuál es el porcentaje de listón que no está defectuoso en cada metro?
.
• ¿Cuántos metros del carrete están defectuosos?
.
Comparen y comenten con otro equipo el procedimiento que emplearon para
obtener el porcentaje de listón defectuoso en cada metro.
2 En la siguiente tabla se muestra el ingreso registrado en la Zapatería Hermanos
González durante enero. Calculen, individualmente, los porcentajes correspondientes a cada uno de los gastos que deberán realizarse. Pueden utilizar la
calculadora.
Zapatería Hermanos González, S. A. de C. V.
Ingresos registrados durante enero: $77 529
Concepto
Porcentaje (%)
Impuesto al Valor Agregado (IVA)
16
Impuesto Sobre la Renta (ISR)
10
Nómina
9
Pago a proveedores
17
Gastos ($)
Busca en…
la siguiente página
electrónica:
http://www.
edutics.mx/Z54
y resuelve los problemas relacionados con porcentajes mediante las
estrategias que
usaste en esta
lección y compara
tus resultados
con tus compañeros. Fecha y hora
de consulta: 5 de
octubre de 2012 a
las 16:10 h.
1.a)• 27 g.
Se obtiene al multiplicar 36 g × 43 = 27 g.
• 6.12 g.
Total
a) ¿A cuánto ascienden las ganancias de enero?
Comparen sus respuestas y procedimientos.
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49
49
28/11/12 17:58
17
Se obtiene al multiplicar 36 g × 100
= 6.12 g.
• 75% y 17%, respectivamente.
8
17
= 0.75 y 100
= 0.17
5
que expresados como porcentajes son, respectivamente,
75% y 17%.
b)• 0.18.
18
18% es equivalente a 100
, o lo que es lo mismo, 0.18.
• $40.50.
Es el resultado de $225 × 0.18 = $40.50.
• $184.5.
Es la diferencia entre el precio original y la cantidad descontada: $225.00 − $40.50 =
$184.50.
c)• 30%.
Como el porcentaje de listón defectuoso más el porcentaje de listón no defectuoso es
100% (es decir, todo el carrete de listón), el porcentaje no defectuoso es la diferencia
entre 100% y 30%: 70%.
• 22.5 m.
Como 30% equivale a 0.30, el resultado se obtiene con la operación 75 m × 0.30 = 22.5 m.
Bloque 1 / MATEMÁTICAS 1
27
2.
Zapatería Hermanos González, S. A. de C. V.
Ingresos registrados durante enero: $77 529
Concepto
Porcentaje (%)
Gastos ($)
iva
16
12 404.64
isr
10
7 752.9
Nómina
9
6 977.61
Pago a proveedores
17
13 179.93
Total
52
40 315.08
a) $37 213.92.
Es la diferencia entre los ingresos y los gastos $77 529 − $40 315.08 = $37 213.92.
Página 50
Bloque
1
Integración
Integración
Regresa y revisa
• En grupo, con ayuda de su profesor, determinen una fórmula que permita calcular
el monto m obtenido de una cantidad c a la que se le aplica una tasa t.
La cantidad
1 En equipos, resuelvan lo siguiente.
a) En la figura 1.39 se muestra un perfume que tiene una etiqueta que
marca el descuento correspondiente al 12 % que se aplicará al precio.
Sin embargo, la etiqueta está dañada y no es posible ver dicho precio.
m=c×t
• ¿Cuál era el precio del perfume?
.
• ¿Cuál será el precio del perfume ya con el descuento?
.
b) En la figura 1.40 se muestra la multa que tendrá que pagar un automovilista. En la papeleta aparece un recargo de 8 % por no pagar la
multa en un plazo de un mes.
Fig. 1.39
Glosario
• ¿A cuánto ascendía la multa originalmente?
recargo.
Cantidad en que
se incrementa una
deuda.
.
• ¿Cuánto dinero tendrá que pagar, en total, el automovilista?
.
• Si el automovilista hubiera pagado la multa en un plazo de 72 h
habría obtenido un descuento del 12 %. ¿En este caso, cuánto
habría pagado el automovilista?
.
c) Si en una escuela el 45 % de los alumnos son hombres:
• ¿Cuál es la tasa correspondiente al número de alumnas?
La cantidad
.
• ¿Cuántos alumnos hay en total en la escuela si hay 264 mujeres?
.
Fig. 1.40
• Si el 35 % de los alumnos son de primer grado, ¿cuántos alumnos
son de este grado?
.
Analicen y comenten. ¿Qué similitudes encontraron en los procedimientos
con los que resolvieron los incisos a), b) y c)?
Integración
• En grupo, con ayuda de su profesor, escriban un procedimiento para calcular una
cantidad, conociendo una parte de ella y el porcentaje que representa.
1. a)• $450.
.
50
SFUMA2SB_B1.indd 50
Para determinar cuál era el precio x del perfume, se resuelve la ecuación x (0.12) = $54.
$54
= $450.
Entonces, x = 0.12
• $396.
Es el resultado de restarle al precio original la cantidad descontada: $450 − $54 = $396.
b)• $250.
Para determinar a cuánto ascendía originalmente la multa m, se resuelve la ecuación
$20
= $250.
m × 0.08 = $20. Entonces, m = 0.08
• $270.
En total tendrá que pagar la suma de la multa más el recargo, es decir, $250 + $20 = $270.
• $220.
Doce por ciento de $250 es $250 × 0.12 = $30. Entonces, antes de 72 horas habría
pagado $250 − $30 = $220.
c) • 55%.
El total de alumnos es 100%. Entonces, el total de alumnas es 100% − 45% = 55%.
• 480 estudiantes en total, de los cuales 216 son hombres.
Para determinar cuántos estudiantes x hay en total (hombres y mujeres) se puede ha55
= 100
cer una regla de tres: 264
x
× 264
Entonces, x = 10055
= 480. Después se calcula el 45% de 480 estudiantes: 480 ×
0.45 = 216 alumnos.
• 168 alumnos.
Treinta y cinco por ciento de 480 alumnos es 480 × 0.35 = 168 de primer grado.
50
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28
Bloque 1 / matemáticas 1
Página 51
Lección
6
Regresa y revisa
1 Regresen al problema inicial y en parejas, respondan lo siguiente.
a) ¿Cuál es la superficie de Guanajuato sabiendo que esta representa el 1.6 % de
la superficie del país?
b) El municipio de Ocampo, en Guanajuato, tiene una superficie de 1 132 km2,
¿qué tanto por ciento representa esta superficie del total de este estado?
Regresa y revisa
Resuelve y practica
1. Resuelvan los siguientes ejercicios de práctica.
a) Calcula el 8% de 250.
.
b) ¿Qué tanto por ciento es 12 de 6?
.
c) ¿De qué número es 947 el 18%?
.
2. ¿Qué datos se requieren para calcular un porcentaje o una tasa en un problema de
porcentajes?
.
3. El mes pasado, un empleado de una compañía tenía un salario de $243 diarios. Debido a un ascenso, el salario diario del empleado ahora es de $510.30. ¿Qué tanto por
1 a)31 689.6 km2.
.
ciento aumentó el salario de esta persona?
4. Un trabajador gana $5 545 mensuales. ¿Es posible que le reduzcan su salario mensual en un 115%?
.
5. En los siguientes problemas inventen el dato faltante y luego resuélvanlos:
.
a) Una televisión que cuesta $2 450 tiene un descuento del
.
¿Cuánto vale después de aplicarle el descuento?
b) ¿Cuál será el precio que habrá de tener un vestido cuya confección tuvo un costo
de
para ganar el 17% al venderlo?
Uno punto seis por ciento de la superficie del país es 1 980 600 km2 × 0.016 = 31 689.6
.
6. Para un partido de futbol se ha registrado una asistencia de 24”050 aficionados. Esta
cantidad es el 37% de la capacidad de personas que puede albergar el estadio.
a) ¿Cuál es la capacidad total del estadio?
.
b) Si se vendió el 39% de los boletos, ¿cuántos boletos se desaprovecharon?
.
c) Si en el partido previo se registró una asistencia de 67 403 aficionados, ¿qué conclu-
.
sión se puede obtener?
d) Para la próxima temporada se planea reducir la capacidad del estadio eliminando 4 500
lugares. ¿Qué tanto por ciento de la capacidad del estadio será disminuida?
km2.
.
Compartan con otras parejas los procedimientos que utilizaron para resolver los
problemas anteriores y si se presentan errores, corríjanlos.
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51
51
28/11/12 17:58
b)3.57%.
Se divide la superficie del municipio de Ocampo entre la de Guanajuato:
1 132
≈ 0.0357, que expresado como porcentaje es 3.57%.
31 689.6
Resuelve y practica
1. a)20.
Porque 250 × 0.08 = 20.
b)200%.
= 2, que expresado como porcentaje es 200%.
Al dividir 12 entre 6 se tiene 12
6
c) De 5 261.1.
Si y es el número desconocido, se tiene que resolver la ecuación y × (0.18) = 947. Enton947
5 261.1.
ces, y = 0.18
2.Dos cantidades: la cantidad total y una parte de ella.
3. 110%.
Al calcular la diferencia entre el salario actual y el anterior se tiene $510.30 − $243 = $267.30.
=
Después se calcula la razón entre la cantidad del aumento y el salario anterior: $267.30
$243
1.1, lo que significa un aumento de 110%.
4.No, porque el salario del trabajador debería ser negativo.
5. Respuesta libre.
6.a)65 000 personas.
La capacidad de personas que puede albergar el estadio es c. Se resuelve la ecuación
050
= 65 000.
c × 0.37 = 24 050. Entonces, c = 240.37
b)1 300 boletos.
Como se desperdiciaron 39% − 37% = 2% de los boletos, se resuelve la operación 65 000
× 0.02 = 1 300.
c) Respuesta modelo. Que el registro se hizo de manera errónea o que hubo sobreventa de
boletos.
d)6.92%.
Al calcular la razón del número de lugares que serán eliminados entre la capacidad del
4 500
≈ 0.0692, equivalente a 6.92%.
estadio se tiene 65
000
Bloque 1 / MATEMÁTICAS 1
Problemas que requieren de procedimientos
recursivos
L7
Bloque
1
7. Problemas que requieren
de procedimientos recursivos
Resolución de problemas que impliquen el cálculo de interés compuesto, crecimiento poblacional u otros
que requieran procedimientos recursivos.
Situación inicial
Situación inicial
1 En parejas, resuelvan el siguiente problema.
En México, en el año 2005 el número de habitantes era de 103 483 934, mientras
que en el año 2010 la población era de 112 336 538 (http://cuentame.inegi.org.
mx/poblacion/).
a) ¿Cuál fue la tasa con la que aumentó la población de 2005 a 2010?
b) ¿Cuántos habitantes piensan que habrá en México, aproximadamente, en el
año 2025?
Explora y construye
Cálculo de intereses
1 En equipos, resuelvan los siguientes problemas.
Juan y María tienen ahorrados $26 500 para su boda y quieren continuar ahorrando pero ahora en una institución financiera.
Página 52
Glosario
interés.
Pago (cobro) realizado por el uso
de dinero ajeno
(propio) prestado.
a) Una primera opción es el Banco del Sur en el que les ofrecen, por cada mes
transcurrido, un interés del 1 % calculado sobre la cantidad de dinero que se
haya acumulado (ahorro e intereses).
• Si Juan y María invierten su dinero en este banco, ¿cuánto dinero ganarán
el primer mes?
.
• ¿Cuál será la cantidad de dinero que habrán ahorrado al final del primer
mes?
. ¿Por qué?
.
• ¿Cómo se calcula la cantidad de dinero que ganarán el segundo mes?
.
• ¿Cuánto dinero tendrán ahorrado al final del segundo mes?
1. a)8.55% (tasa de cada cinco años).
.
Comparen sus respuestas con otros equipos. Verifiquen que sean correctas y, de
ser necesario, corríjanlas.
52
Para determinar la tasa de aumento de población de 2005 a 2010, primero se calcula la
diferencia entre el número de habitantes en 2010 y en 2005, esto es, 112 336 538 − 103
483 934 = 8 852 604. Después se divide la cantidad de habitantes que aumentó entre el
8 852 604
≈ 0.085 545 684 8, lo se expresa en porcentotal de la población en 2005: 103 483 934
taje como 8.55%.
b)Si la tasa permanece constante, habrá, aproximadamente, 143 702 840 habitantes.
Si la tasa permanece constante, para el 2015 habrá 112 336 538 × 0.085 545 684 8
≈ 9 609 906.071 271 habitantes más que en 2010 (los decimales del resultado anterior se
dejaron para un cálculo más preciso, aun cuando no tiene sentido hablar de decimales
de habitantes. Por tanto, las respuestas de los alumnos pueden diferir de la indicada en
el inciso anterior). Entonces, en 2015 habrá 112 336 538 + 9 609 906.071271 = 121 946
444.071271 habitantes, aproximadamente. Observemos que el resultado anterior se obtiene también al multiplicar la cantidad de habitantes en 2010 por 1.085 545 684 8.
Entonces, para el año 2020 habrá 121 946 444.071 271 × 1.0855456848 ≈ 132 378
436.138 272 habitantes, y para 2025 132 378 436.138 272 × 1.085 545 684 8 ≈ 143 702 840.
Página 52
Explora y construye
Cálculo de intereses
1. a)• $265.
Porque 1% de $26 500 es $26 500 × 0.01 = $265.
• $26 765, porque a la cantidad inicial ($26 500) se suma la generada por el interés
($265).
• Se obtiene 1% de la cantidad de dinero ahorrada al final del primer mes ($26 765).
• $27 032.65.
Es la cantidad de dinero que tenían ahorrada al final de primer mes ($26 765) más 1%
de esa cantidad ($267.65): $26 765 + $267.65 = $27 032.65
b)• Si la boda fuera dentro de 8 meses conviene más la primera opción, pero si se desean
casar lo más pronto posible les conviene la segunda opción (la caja de ahorro).
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52
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29
30
Bloque 1 / matemáticas 1
Página 53
•
Banco del Sur
Lección
7
•
Banco del Sur
icial
Mes
Cantidad al inicio del
periodo mensual ($)
Interés mensual ($)
Cantidad al final del
periodo mensual ($)
1
26 500
2 6500 × 0.01 = 265
26 765
2
26 765
26 765 × 0.01 = 267.65
27 032.65
3
27 032.65
27 032.65 × 0.01 = 270.33
27 302.98
4
27 302.98
27 302.98 × 0.01 = 273.02
27 576
5
27 576
27 576 × 0.01 = 275.77
27 851.77
A partir de sus respuestas anteriores, completen la siguiente tabla. Pueden
utilizar su calculadora.
Mes
Cantidad al inicio del
periodo mensual ($)
Interés mensual ($)
Primero
26 500
26500 0.01 Cantidad al final del
periodo mensual ($)
Segundo
Tercero
Cuarto
Quinto
Comparen sus respuestas con otros equipos.
b) Una segunda opción para Juan y María es la caja de ahorro El Porvenir, en
la que les ofrecen por cada mes transcurrido un interés del 1.1 % calculados
únicamente sobre la cantidad inicial. En la siguiente tabla se muestran las
cantidades de dinero que resultan para esta opción.
nstruye
Primero
Cantidad al inicio del
periodo mensual ($)
26 500.00
Busca en…
la siguiente página
electrónica:
Caja de ahorro El Porvenir
Mes
Cantidad al final del
periodo mensual ($)
Interés mensual ($)
26500 0.011 291.50
26 791.50
Segundo
26 791.50
26500 0.011 291.50
27 083.00
Tercero
27 083.00
26500 0.011 291.50
27 374.50
Cuarto
27 374.50
26500 0.011 291.50
27 666.00
Quinto
27 666.00
26500 0.011 291.50
27 957.50
Analicen. ¿En cuál de las dos opciones de ahorro para obtener las cantidades de
cualquier mes, que no sea el primero, es indispensable calcular las del mes anterior?
• Si la boda fuera dentro de ocho meses, ¿cuál de las dos instituciones les conviene? Justifiquen su respuesta.
.
• Si Juan y María necesitaran $28 000 para la boda y se quisieran casar lo antes
http://www.
edutics.mx/ZMW
y junto con tus
compañeros inventa un problema
sobre el interés
compuesto con los
datos propuestos
en la página electrónica y resuélvanlo mediante los
procedimientos
que usaron en esta
lección, después
comparen sus
resultados con los
que obtuvieron
mediante la página
electrónica. Fecha y
hora de consulta: 5
de octubre de 2012
a las 16:16 h.
posible, ¿en cuál de las instituciones les convendría ahorrar su dinero?
.
Si el interés se calcula únicamente sobre la cantidad inicial, se llama interés simple;
pero, si el interés se calcula sobre la suma de la cantidad inicial con los intereses, se
llama interés compuesto.
53
53
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Página 54
Cálculo del crecimiento poblacional
1.
Bloque
1
Cálculo del crecimiento poblacional
1 En equipos, resuelvan el siguiente problema.
A continuación se muestra una tabla con cuatro estados de la República Mexicana, la respectiva tasa con la que ha aumentado la población en los años recientes y el número de habitantes en 2011 (http://www.conapo.gob.mx/es/conapo/
indicadores_demograficos_basicos).
Estado de la República
Mexicana
Coahuila de Zaragoza
Colima
Tasa anual de crecimiento
en 2011 (%)
0.94
Estado de la
República
Mexicana
Población en 2011 (habitantes)
2 680 675
1.21
616 058
Estado de México
1.24
15 222 056
Zacatecas
–0.19
1 375 271
En su cuaderno, elaboren una tabla para cada estado y anoten las respuestas de
las siguientes preguntas. Supongan que las tasas no varían en los años siguientes.
a) ¿En qué cantidad se incrementará o disminuirá la población de cada uno de
estos estados al final de este año?
b) ¿Cuál será la población en cada uno de los estados al finalizar este año?
c) ¿Cuál será la población, aproximada, en cada uno de estos estados en dos
a) Variación de la
población
b) Población al final
de este año (2012)
c) Población aproximada
en dos años (2014)
2 705 873
2 756 983
623 512
638 693
15 410 809
15 795 367
1 372 658
1 367 447
años?
Analicen y comenten. ¿En qué estado de la República Mexicana la población sería,
aproximadamente, de 1 362 938 personas en 2015?
Coahuila de
Zaragoza
Como te habrás dado cuenta, para resolver los problemas hasta ahora vistos en esta
lección, se necesitó de procesos conformados por varias etapas, en las que en cada
una se encontró un resultado que fue necesario para continuar con la siguiente etapa y así sucesivamente hasta obtener el resultado final. Este tipo de procedimientos
suelen llamarse recursivos.
Propagación de una epidemia y pérdida de valor
1 En equipos, resuelvan los siguientes problemas.
a) En una ciudad una epidemia de gripe se propaga de tal manera que la primera
semana se han contagiado 1 875 personas y una semana después, el número
de personas contagiadas desde que empezó la epidemia ascendió a 2 012.
• ¿Cuál es la tasa de contagio entre la primera y la segunda semana?
.
• Supongan que la tasa de contagio permanece constante. ¿Cuántas personas, aproximadamente, se contagiarán en la tercera semana?
54
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54
.
Colima
Aumenta
25 198
Aumenta
7 454
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Estado de México
Zacatecas
Aumenta
188 753
Disminuye
2 613
a)Es el resultado de multiplicar la tasa anual de crecimiento en 2011 por la población de ese
año. Como la tasa se presenta en porcentaje, después se divide entre 100:
(2 680 675 × 0.94) ÷ 100 ≈ 25 198
(616 058 × 1.21) ÷ 100 ≈ 7 454
(15 222 056 × 1.24) ÷ 100 ≈ 188 753
(1 375 271 × −0.19) ÷ 100 ≈ −2 613 (el signo negativo representa disminución)
b)Se suma la población en 2011 más su variación:
2 680 675 + 25 198 = 2 705 873
616 058 + 7 454 = 623 512
15 222 056 + 188 753 = 15 410 809
1 375 271 + (−2 613) = 1 372 658
c)Primero se calcula la variación para 2013, considerando que la tasa de crecimiento no
varía. A partir del resultado se calcula la población aproximada para 2014. Para facilitar los
cálculos, es posible sumar 100% a la tasa, lo que representa la población inicial:
Bloque 1 / MATEMÁTICAS 1
2 705 873 × 100.94
× 100.94 ÷ 100 ≈ 2 756 983
100
623 512 × 101.21
100
× 100.21 ÷ 100 ≈ 638 693
15 410 809 × 101.24
× 100.21 ÷ 100 ≈ 15 795 367
100
1 372 658 × 99.81
100
× 99.81 ÷ 100 ≈ 1 367 447
Analicen y comenten. En Zacatecas (1 364 849 habitantes en 2015).
Al multiplicar la población aproximada de 2014 por la tasa de incremento se tiene:
(1 367 447 × 99.81) ÷ 100 ≈ 1 364 849.
Propagación de una epidemia y pérdida del valor
1. a)• 7.31%.
Primero se calcula la cantidad de personas infectas de la primera semana a la segunda:
2012 − 1 875 = 137.
Después, el resultado se divide entre la población de la primera semana: 137 ÷ 1 875 ≈
0.07306, que expresado como porcentaje es 7.31%.
• 147 personas.
Es el producto de la tasa de contagio por la población infectada en la segunda semana: 2 012 × 7.31 ÷ 100 ≈ 147.
Página 55
• 2 159 personas.
Pues 2 012 + 147 = 2 159.
Lección
7
• ¿Cuál es el total de personas que estarán contagiadas al final de la tercera
• 441 durante las cuatro semanas.
semana?
.
• De continuar con la misma tasa de contagio, ¿cuántas personas en total
se espera que se contagien durante las primeras cuatro semanas?
.
• Completen la tabla siguiente.
Propagación de la epidemia de gripe
Primero se calculan los contagios que habrá entre la tercera y cuarta semana:
Semanas
Total de personas contagiadas.
Registro al inicio de la semana
1
1 875
Número de personas
contagiadas durante la semana
Total de personas contagiadas.
Registro al final de la semana
2 012
2
3
4
5
6
2 159 × 7.31 ÷ 100 ≈ 157
Analicen. Si la población de la ciudad es de 26 670, ¿en cuántas semanas se habrá
contagiado la décima parte de la población?
b) El costo de un automóvil de cierto modelo es de $120 000. La agencia de automóviles que lo vende informa a sus clientes que el valor del vehículo disminuye
un 9 % después de su compra y que esta tasa se mantiene año con año.
• ¿Cuánto disminuye el valor del automóvil al momento de salir de la agencia?
.
• ¿Cuál será el valor del automóvil al momento de salir de la agencia?
Después se suma el resultado anterior y la cantidad de personas contagiadas entre la
.
• ¿Cuánto disminuye el valor del automóvil después de un año de su compra?
.
• ¿Cuánto valdrá el automóvil después de un año de ser comprado?
.
Analicen. ¿En cuántos años el automóvil valdrá menos de la mitad de su valor inicial?
Integración
primera semana y la segunda, y la segunda y la tercera: 137 + 147 + 157 = 441.
• En grupo, con ayuda de su profesor, escriban de manera general los pasos de los procedimientos recursivos con que han resuelto los problemas
de esta lección.
.
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•
Propagación de la epidemia de gripe
Semanas
Personas contagiadas.
Registro al inicio de la
semana
Personas contagiadas
durante la semana
Personas contagiadas.
Registro al final de la
semana
1
1 875
137
2 012
2
2 012
147
2 159
3
2 159
158
2 316
4
2 316
169
2 485
5
2 485
181
2 666
6
2 666
194
2 860
55
55
28/11/12 17:58
31
32
Bloque 1 / matemáticas 1
Analicen. Al final de la sexta semana.
La décima parte de 26 670 es 2 667, valor que se obtiene, como se muestra en la tabla, al
final de la sexta semana.
b)• $10 800.
Su valor disminuye 9%, es decir, 0.09. El valor del automóvil al momento de salir es
$120 000 × 0.09 = $10 800.
• $109 200.
Ya que $120 000 − $10 800 = $109 200.
• $9 828.
Porque $109 200 × 0.09 = $9 828.
• $99 372.
Pues $109 200 − $9 828 = $99 372
Analicen. En siete años.
Como el automóvil vale $120 000, se determina cuándo valdrá $60 000 o menos. Al repetir
el proceso de la actividad anterior, se obtiene que en siete años su valor será de, aproximadamente, $56 430.
Página 56
Bloque
1
Regresa y revisa
1 Regresen a la situación inicial y en parejas, contesten lo siguiente.
Si la tasa de crecimiento de la población disminuyera a la mitad a partir del año 2020,
¿cuántos habitantes habría en México en 2035?
Regresa y revisa
Situación inicial
Resuelve y practica
1. En las tablas siguientes se muestran las cantidades correspondientes a dos deudas.
Deuda B
Deuda A
Deuda al
inicio del
periodo ($)
88000.00
Deuda al
final del
periodo ($)
Intereses
cobrados
($)
Deuda al
inicio del
periodo ($)
Deuda al
final del
periodo ($)
Intereses
cobrados
($)
88880.00
880.00
88000.00
88880.00
880.00
88880.00
89760.00
880.00
88880.00
89768.80
888.80
89760.00
90640.00
880.00
89768.80
90666.49
897.69
91520.00
880.00
90666.49
91573.15
906.66
92400.00
880.00
91573.15
92488.88
915.73
90640.00
91520.00
• ¿Cuál es la tasa de interés cobrada en la deuda A?
.
• ¿Cuál es la tasa de interés cobrada en la deuda B?
.
• ¿En cuál de las deudas se ha cobrado un interés compuesto?
.
1. a)150 101 967 habitantes.
Explora y construye
2. En un cultivo de bacterias se observa que la tasa de crecimiento cada 24 h es del
3.7%. Si la población inicial de bacterias es de 6 644.
• ¿En cuánto aumentará la población de bacterias durante el primer día?
.
• ¿Cuál será la cantidad de bacterias después del primer día?
.
• ¿Cuál será la cantidad de bacterias después del segundo día?
.
• ¿Es posible saber qué día la cantidad de bacterias rebasará las 8 000?
.
(Se utilizaron decimales para obtener cálculos más precisos.) Si a partir de 2020 la tasa
3. En el año 2011, la población total de la Tierra llegó a 7 000 000 000 de personas, con
una tasa de crecimiento medio del 2.54% anual.
• Si la tasa de crecimiento de la población no cambia, ¿cuántas personas, aproximadamente, habitarán la Tierra en el año 2015?
.
• Si la tasa no cambia, ¿en qué año habrá más de 8 000 000 000 de personas?
se reduce a la mitad, ésta será 0.042 772 842 4. Considerando que en 2020 habrá 132
.
Comparen sus respuestas y procedimientos con otras parejas. Verifiquen que sean
correctos y, de lo contrario, discutan acerca de los errores o de cómo no cometerlos.
56
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56
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378 436.138 272 habitantes, en 2025 habrá 132 378 436.138 272 × 1.042 772 842 4 ≈ 138
040 638.124 372 772; en 2030, 138 040 638.124 372 772 × 1.042 772 842 4 ≈ 143 945
028.583 662; y en 2035, 143 945 028.583 662 × 1.0427 728 424 ≈ 150 101 967.
Resuelve y practica
1. •1%.
Porque $880 ÷ $88 000 = 0.001, que equivale a 1%.
• 1%.
Ya que $880 ÷ $88 000 = 0.001, que equivale a 1%.
• En la deuda B.
En la deuda A, los intereses cobrados sólo dependen de la deuda inicial, mientras que
en la B dependen del adeudo más los impuestos del periodo anterior.
Bloque 1 / MATEMÁTICAS 1
2.•245 bacterias.
Porque 6 644 × 3.7 ÷ 100 ≈ 245.
• 6 889 bacterias.
Pues 6 644 + 245 = 6 889.
• 7 143 bacterias.
Como entre el primer y segundo día la población aumentará 6 889 × 3.7 ÷ 100 ≈ 254,
la cantidad de bacterias será 6 889 + 254 = 7 143.
• Sí, en el sexto día.
La población en el sexto día será, aproximadamente, 8 260 bacterias.
3. •7 738 758 471 personas.
Como la tasa de crecimiento medio es de 2.54% anual, para 2012 habrá 7 000 000
000 × 1.0254 = 7 177 800 000 habitantes; para 2013, 7 177 800 000 × 1.0254 = 7 360
116 120 habitantes; para 2014, 7 360 116 120 × 1.0254
7 547 063 069 habitantes; y para 2014, 7 547 063 069 × 1.0254
7 738 758 471 habitantes.
• En 2017.
En 2016 habrá, si la tasa permanece constante, 7 738 758 471 × 1.0254 ≈ 7 935 322
936; en 2017, 7 935 322 936 × 1.0254 ≈ 8 136 880 138.
33
34
Bloque 1 / matemáticas 1
Análisis de la media aritmética y de la
mediana
L9
Bloque
1
9. Análisis de la media aritmética
y de la mediana
Análisis de casos en los que la media aritmética o mediana son útiles para comparar dos conjuntos de datos.
Situación inicial
1 En parejas, resuelvan el siguiente problema.
Página 62
Raúl y Antonio obtuvieron en el año escolar las siguientes calificaciones en sus
exámenes de Matemáticas:
Raúl: 7.2, 7, 8.3, 7.3, 8.2.
Antonio: 10, 9, 9, 0, 10.
a) ¿Cuál fue la calificación promedio de cada uno?
b) A partir del promedio, ¿es posible decir cuál de los dos alumnos es mejor
estudiante de Matemáticas?
Explora y construye
La media o la mediana para comparar
dos conjuntos de datos
1 En equipos, resuelvan los siguientes problemas.
a) Las siguientes tablas muestran las edades y estaturas de los jugadores titulares
de dos equipos de futbol de una liga local.
Tornados
Edad (años)
•
Edad (años)
1.87
Estatura (m)
45
1.83
19
Situación inicial
Águilas
Estatura (m)
25
23
1.82
41
1.74
1.85
29
1.65
22
1.76
28
1.86
22
1.80
40
22
1.82
1.66
35
1.75
21
1.74
19
1.69
31
1.65
31
30
1.82
22
1.76
29
1.75
36
1.68
21
1.77
48
1.76
1.76
Calculen en su cuaderno la media aritmética (o promedio) de las edades
y la de las estaturas de cada equipo.
• ¿Qué equipo es más joven en promedio?
1. a)Tanto Raúl como Antonio tienen 7.6 de calificación promedio.
.
• ¿Piensan que la edad promedio de un equipo de futbol es un factor importante en este deporte?
62
. Justifiquen su respuesta en el cuaderno.
62
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28/11/12 17:58
Para obtener la calificación promedio se suman las calificaciones y se dividen entre cuantas sean. Entonces, la calificación promedio de Raúl es 7.2 + 7 + 8.35 + 7.3 + 8.2 = 7.6 y la de
Antonio,
10 + 9 + 9 + 1 + 10
5
= 7.6
b)No.
Una de las calificaciones de Antonio fue 0, por lo que su calificación promedio disminuyó de manera considerable.
Página 62
Explora y construye
La media o la mediana para comparar dos conjuntos de datos
1. a)• El promedio de edades de los Tornados es 24 años, y de estatura, 1.76 m.
Águilas. Promedio de edad: 34 años; promedio de altura: 1.76 m.
Para obtener el promedio de edades de cada equipo, se suman las edades de los integrantes y se dividen entre el número de integrantes, en este caso, entre 11.
Para calcular el promedio de las estaturas se sigue el mismo procedimiento pero considerando las alturas de los integrantes de cada equipo.
• El equipo de los Tornados es más joven, en promedio.
• Sí, porque en cierto intervalo de edades la gente tiene mejor condición física.
Lección
9
•
•
•
nicial
Si fueran entrenadores del equipo más joven, ¿qué estrategia implementarían en un partido de futbol en el que se enfrentaran al otro equipo?
Escriban su respuesta en el cuaderno.
¿En cuál de los equipos la estatura promedio es mayor?
Si fueran entrenadores del equipo con mayor estatura, ¿qué estrategia
implementarían en un partido de futbol en el que se enfrentaran al equipo
con menor estatura? Escriban su respuesta en el cuaderno.
Compartan y comenten sus respuestas con otros equipos. Analicen si es la media o
la mediana la más representativa de los datos de cada equipo. Justifiquen.
b) Las temperaturas medias de dos ciudades registradas durante cierta semana
son las siguientes:
Ciudad
Lunes
Martes
Miércoles
Jueves
Zacatecas
24 °C
24 °C
23 °C
23 °C
Torreón
27 °C
26 °C
29 °C
28 °C
Viernes
Sábado
Domingo
22 °C
14 °C
21 °C
29 °C
29 °C
28 °C
Lo que ya sabes
Para obtener la
mediana de un
conjunto de datos
primero se ordenan
de menor a mayor
valor, y después:
si el número de
datos es impar, la
mediana es el dato
central, es decir,
es el dato que
tiene el mismo
número de valores
a su derecha que a
su izquierda; si el
número de datos
es par, entonces
la mediana es la
media aritmética
de los dos valores
centrales.
• ¿Cuál es la media aritmética de las temperaturas de esa semana en cada
onstruye
una de las ciudades?
.
• ¿Por cuántos grados Celsius fue Torreón más caluroso que Zacatecas
durante esa semana?
•
.
Página 63
• Meter a los jugadores más jóvenes.
¿Qué utilidad le podrían dar al conocer la media de las temperaturas de
estas dos ciudades? Escriban su respuesta en el cuaderno.
Comparen sus respuestas con otros equipos y verifiquen que sean correctas, de lo
contrario, analicen sus errores.
c) En una fábrica de piezas eléctricas para refrigerador, la producción se realiza en equipos de tres personas. En la tabla
se muestran las piezas fabricadas por cada equipo en una
semana, así como las piezas defectuosas producidas por
estos.
• ¿Cuál es la media aritmética de piezas fabricadas por
semana?
.
• ¿Cuál es la mediana de piezas fabricadas?
Equipo
Piezas
fabricadas
Rojo
542
Verde
240
Amarillo
475
• Las estaturas de los dos equipos son casi iguales.
Piezas
defectuosas
7
6
7
Naranja
410
6
Morado
485
12
• Respuesta libre. Como no hay valores extremos, la media es representativa.
.
• De entre la media aritmética o la mediana, ¿cuál es más útil para comparar
la productividad de los equipos? Escriban su respuesta.
.
Analicen y comenten. ¿Qué equipo es el más representativo de la fábrica en cuanto
a piezas fabricadas y piezas defectuosas?
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63
63
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b)• Zacatecas, 21.5 °C; Torreón 28 °C.
Es el resultado de sumar las temperaturas de cada estado y dividirlas entre 7.
• Por 6.5 °C.
Pues 28 °C − 21.5 °C = 6.5 °C.
• Obtener un valor representativo de la temperatura de la semana en cada ciudad.
c) • 430.4 piezas.
Se obtiene al sumar y dividir entre 5 las piezas fabricadas.
Bloque 1 / MATEMÁTICAS 1
• 475 piezas.
La cantidad de piezas fabricadas de cada color se acomodan de menor a mayor (o de
mayor a menor). Luego se considera la que se localiza a la mitad: 240, 410, 475, 485,
542
• La mediana, porque hay valores extremos que afectan considerablemente la media
aritmética.
Analicen y comenten. El equipo amarillo: su producción es la misma que la mediana
del conjunto de datos.
Bloque
1
Página 64
d) Se extrajeron seis muestras de dos de las minas localizadas en la ciudad de
Fresnillo, Zacatecas. En las tablas se muestran la masa y la cantidad de oro
que contienen.
Muestra/Masa (g)
Mina Rayito
Cantidad de
oro (g)
M1/250
d)• La mina El Porvenir.
Muestra/Masa (g)
Mina El Porvenir
Cantidad de
oro (g)
M1/300
0.01
0.3
M2/250
0.04
M3/250
0.08
M3/300
0.9
0.1
M4/300
0.01
0.06
M5/300
0.01
M6/300
0.01
M4/250
M5/250
M6/250
0.01
M2/300
0.01
• ¿Cuál de las minas produjo más oro en las muestras tomadas?
.
• De entre la media aritmética o la mediana, ¿cuál es más útil para comparar
la productividad de las minas a partir de la muestras tomadas?
.
¿Por qué?
.
Analicen. ¿Qué mina presenta en las muestras una cantidad más regular de oro?
2 En parejas, resuelvan los siguientes problemas.
a) La caja de ahorro El Guardadito, durante el mes de septiembre, reporta las
siguientes ganancias a las trece personas que en ella participan: $360, $270,
$210, $190, $245, $210, $100, $2 350, $250, $140, $205, $50, $250.
Porque de ella se obtuvo una muestra con 0.9 g de oro.
• ¿Cuál es la media aritmética de ahorro de ese mes?
.
• ¿La media aritmética es representativa de estos datos?
.
¿Por qué?
.
Analicen y comenten. ¿Qué otro número pudiera representar a todos los ahorros
de mejor manera que la media aritmética?
• La mediana, porque los conjuntos de datos presentan valores extremos que afectan el
b) La caja de ahorro Vida Nueva, también durante el mes de septiembre, reporta las siguientes ganancias a las once personas que en ella participan: $370,
$385, $346, $362, $355, $360, $350, $357, $371, $354, $350.
• ¿Cuál es la media aritmética de ahorro de ese mes?
.
• ¿La media aritmética es representativa de estos datos?
.
¿Por qué?
cálculo de la media.
.
Analicen y comenten. ¿A partir de la información disponible puede determinarse
cuál de las cajas de ahorro produce más beneficios a los ahorros de las personas
que en cada una de ellas participan?
64
64
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28/11/12 17:58
Analicen. El Porvenir.
2.a)• $371.54.
Es el resultado de sumar los valores y dividirlos entre 13.
• No, porque el valor de la media es muy grande en comparación con las ganancias
individuales.
Analicen y comenten. La mediana, es decir, $210.
Porque los valores extremos no afectan el valor de la mediana.
b)• $360.
Nuevamente, es el resultado de sumar todos los valores, aunque ahora se dividen entre 11.
• Sí, porque no hay valores extremos que afecten la media aritmética de forma considerable.
Analicen y comenten. Respuesta modelo. Sí, la caja Vida Nueva produce más ahorros
por persona que El Guardadito.
Lección
9
Página 65
¿Y los datos cualitativos?
Juan y Roberto están jugando una partida de ajedrez y de momento cada uno se
encuentra en la siguiente situación: Juan tiene dos torres, la reina, el rey, un caballo,
un alfil y un peón; Roberto tiene una torre, la reina, el rey, dos peones, un alfil y un
caballo.
1 Contesten las siguientes preguntas tomando en cuenta que la importancia de las
piezas de ajedrez, de menor a mayor valor, es: peón, alfil y caballo, torre, reina
y rey.
a) ¿Los datos en esta situación son cualitativos o cuantitativos?
.
b) ¿Es posible calcular un promedio referente a las piezas que tiene cada jugador?
. ¿Por qué?
.
c) De acuerdo con la importancia de las piezas del ajedrez ordenen los datos
referentes a las piezas que tiene cada uno de los jugadores.
¿Y los datos cualitativos?
.
d) ¿Es posible obtener la mediana referente a las piezas que tiene cada uno?
Justifiquen su respuesta.
.
e) De acuerdo con las piezas que cada jugador tiene, ¿quién piensan que puede
ganar?
.
Analicen y comenten. Si alguno de los jugadores hubiera tenido una cantidad par
de piezas, ¿hubiera sido posible obtener la mediana?
1. a)Cualitativos.
Integración
• En grupo, con ayuda de su profesor, respondan y completen lo siguiente:
a) ¿Cuál es la utilidad de calcular la media aritmética y la mediana de un
conjunto de datos?
.
b) Por lo regular es más frecuente utilizar la
b)No, porque no son datos cuantitativos y, por tanto, no se pueden hacer operaciones
aritméticas.
c)Piezas de Juan: peón, alfil, caballo, torre, torre, reina y rey. Piezas de Roberto: peón,
peón, alfil, caballo, torre, reina y rey.
http://www.
edutics.mx/Z5J
y junto con tus
compañeros hagan
un análisis de los
conjuntos de datos expuestos en
el video y decidan
en cuáles es útil
para describirlos
la media aritmética y en cuáles la
mediana.
Fecha y hora de
consulta: 5 de
octubre de 2012 a
las 17:10 h.
para com-
parar conjuntos; sin embargo, la
Es decir, son una propiedad de cualidad y no de cantidad.
Busca en…
la siguiente página
electrónica:
resulta útil cuando
el conjunto de datos presenta algunos valores extremos excepcionales
que afectan demasiado a la
datos de tipo
SFUMA2SB_B1.indd 65
. También resulta útil con
que pueden ser ordenados.
65
65
28/11/12 17:58
35
36
Bloque 1 / matemáticas 1
d)Sí, porque después de ordenar las piezas de acuerdo con su importancia se elige la de en
medio.
e)Juan.
Porque él tiene piezas más valiosas que las de Roberto.
Analicen y comenten. No, porque ninguna pieza está exactamente en medio, y no se
puede calcular la media de las dos que ocupan esas posiciones.
Página 66
Bloque
1
Regresa y revisa
1 Regresen a la situación inicial y en parejas, contesten lo siguiente.
La razón por la que el estudiante Antonio obtuvo 0 en el cuarto examen fue porque
estuvo enfermo y no pudo presentar este. Considerando esta circunstancia, de entre
la media aritmética y la mediana, ¿cuál piensan que es más representativa del
desempeño escolar de Antonio en Matemáticas?
Regresa y revisa
Resuelve y practica
1. Se realizó un estudio de dos marcas de cereal para determinar si contienen la cantidad
de producto que se indica en el empaque. Analiza los resultados, mostrados en las
siguientes tablas, y responde las preguntas en tu cuaderno.
Marca A (Caja que indica
una masa de 800 g)
Marca B (Caja que indica
una masa de 600 g)
790 g
600 g
780 g
600 g
790 g
600 g
770 g
540 g
780 g
540 g
795 g
600 g
780 g
600 g
1. La mediana, porque la media de las calificaciones es afectada por el 0 que tuvo Antonio,
a) ¿Qué marca es más confiable en cuanto a su contenido real?
b) Para determinar una sanción a la empresa que no cumple con el contenido del producto, ¿qué dato se debería usar, la media aritmética o la mediana? ¿Por qué?
2. En la siguiente tabla se presentan los salarios quincenales de los empleados de dos
fábricas pequeñas, dedicadas a la producción de latas de aluminio del mismo tipo.
Responde las preguntas en tu cuaderno.
Salarios quincenales ($)
Fábrica A
2 300
2 300
2 300
2 800
Fábrica B
2 350
2 350
2 350
2 400
2 800
2 500
3 000
3 000
3 500
3 000
10 000
5 000
que es un valor extremo.
a) ¿Cuál es la media aritmética de los salarios de cada fábrica?
b) ¿Cuál es la mediana de los salarios de
cada fábrica?
c) De entre la media aritmética y la mediana, ¿cuál piensan que es más representativa de los salarios de los empleados de
cada una de las fábricas?
Comparen con otras parejas sus respuestas anteriores. Analicen, en grupo, en qué
casos la media aritmética es más representativa y en cuáles lo es la mediana. Justifiquen su respuesta.
66
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66
Resuelve y practica
28/11/12 17:58
1. a)La marca B.
El contenido real de los empaques analizados de la marca A siempre es menor que el
indicado en la caja, mientras que el de la marca B, en la mayoría de los empaques analizados, fue el indicado.
b)La media, porque no hay valores extremos.
2.a)Fábrica A: $3 625.
Fábrica B: $2 868.75.
Que es el resultado de sumar todos los valores de una fábrica y dividirlos entre la cantidad
de salarios, es decir, entre 8.
b)Fábrica A: $2 800.
Fábrica B: $2 450.
c) En la fábrica A, con la mediana; en la fábrica B, con la media.
En la fábrica A, el valor $10 000 es extremo, por lo que la mediana representa mejor los
salarios de los empleados.
En la fábrica B no hay valores extremos; entonces, la media es más representativa.
Bloque 1 / MATEMÁTICAS 1
Ponte a prueba PISA
Página 70 y 71
Evaluación
PISA
Resuelve los siguientes problemas.
1 Jesús tiene una deuda de $3 000 en su tarjeta de crédito. Si el banco le cobra un
interés mensual del 2% sobre el saldo y cada mes Jesús abona $500, ¿en cuánto
tiempo pagará su deuda? ¿Cuánto tendrá que pagar en la última mensualidad
para saldar su cuenta? ¿Cuánto pagará en total por concepto de intereses? Justifica tus respuestas.
1. En siete meses pagará toda su deuda. Deuda al final del primer mes: $2 560; del segundo:
$2 111.2; del tercero: $1 653.4; del cuarto: $1 186.5; del quinto: $710; y del sexto: $224.4.
2 Para elaborar el escudo de su escuela, los alumnos
de segundo grado necesitan cubrir con vinil la figura
roja que se muestra en la imagen con las dimensiones
señaladas. ¿Cuál es el área que cubrirá el vinil? Señala
la respuesta correcta.
30 cm
a) 2 827.43 cm2
b) 706.85 cm2
c) 2 120.58 cm2
d) 3 534.29cm2
3 La pared de una habitación mide 5 m de ancho y 2.5 m de alto; además tiene 2
ventanas circulares de 50 cm de radio cada una. Si se quiere pintar la pared, y una
cubeta de 20 L de pintura alcanza para cubrir 143 m2, ¿cuántos litros se necesitan
para pintarla? Subraya la respuesta correcta.
a) 1.5 L
∞En la última mensualidad pagará $224.4.
b) 12.5 L
c) 10.9 L
d) 1.25 L
4 Se planea construir un invernadero con forma de pirámide cuya base es un polígono regular como se muestra en la figura. Las caras laterales del invernadero
serán de vidrio templado y el piso se cubrirá con un sustrato para sembrar las
plantas. ¿Qué superficie se cubrirá con el sustrato? ¿Cuántos metros cuadrados
de vidrio se ocuparán? Subraya la respuesta correcta.
2
2
a) 62.28 m y 20.76 m
b) 13.73 m2 y 5 m2
c) 9.38 m2 y 15 m2
d) 10.38 m2 y 30 m2
∞ Pagará en total $224.42 por concepto de interés, que es el resultado de sumar la can-
Perímetro de la base: 12 m
Apotema de la base: 1.73 m
Apotema de la cara lateral: 5 m
5 En una tienda se anunció esta oferta: “En su pago con tarjeta de crédito obtenga
40% de descuento en la compra de cualquier producto del departamento de electrónica”. Si Mariana utilizó su tarjeta de crédito para comprar una pantalla y pagó
$3 600, ¿cuál era el precio original de este producto? Subraya la respuesta correcta.
a) $2 571.42
tidad de intereses que paga cada mes.
b) $5 040
70
c) $6 000
d) $3 585
70
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28/11/12 17:58
2.c)
El círculo rojo (incluyendo el amarillo) tiene 30 cm de radio. Su área es 30 cm × 30 cm
Evaluación
PISA
× π ≈ 2 827.43 cm .
6 En una fábrica producen los artículos mostrados en la tabla con sus respectivos
precios de venta.
2
Artículo
Pantalla de
televisión
Mini
componente
Refrigerador
Lavadora
Estufa
Precio
unitario *
$7 650
$4 890
$5 960
$6 105
$3 430
Precio IVA
* Estas cantidades no incluyen IVA.
El círculo amarillo tiene 15 cm de radio; entonces: 15 cm × 15 cm × π ≈ 706.85 cm2 de
área.
Por tanto, el vinil cubrirá un área de 2 827.43 cm – 706.85 cm = 2 120.58 cm .
2
2
a) Completa la tabla considerando que el IVA es del 15%.
b) Si un cliente desea comprar todos los artículos de la lista, ¿cuánto debe pagar?
c) ¿Es lo mismo sumar los precios de los artículos y a esto calcular el IVA, que calcular el IVA al precio de cada producto y luego sumarlos? Justifica tu respuesta.
7 La señora Juana necesita una estufa. Decide comprar una por $5 650, pero el
día que la fue a comprar había una oferta del 15 % de descuento, siempre que
la compre con la tarjeta de crédito de la tienda. En este caso, el banco aplica
al precio total un interés del 9 %:
a) ¿Cuánto pagó finalmente la señora Juana por su nueva estufa?
8 La suma de calificaciones de un grupo de matemáticas es 391 y el promedio del
grupo es 8.5:
a) ¿De cuántos alumnos consta el grupo?
b) Si 39 alumnos tienen un promedio de 8.6, ¿cuál es el promedio de los demás
alumnos del grupo?
9 En una tienda de mascotas hay dos peceras con los siguientes peces.
2
Pecera 1
Pecera 2
Con base en la información anterior, encierra en un círculo la palabra cierto o falso,
según corresponda, de acuerdo con las siguientes afirmaciones.
3. a)
2
El área de la pared, incluyendo las ventanas, es 5 m × 2.5 m = 12.5 m . Cada ventana tiene
SFUMA2SB_B1.indd 71
Es más probable sacar un pez dorado de la pecera 1 que de la 2.
Cierto / Falso
Al sacar un pez de la pecera 1, lo más probable es que sea rojo.
Cierto / Falso
Al sacar un pez de la pecera 2, es menos probable que sea dorado.
Cierto / Falso
Al sacar un pez de cualquiera de las dos peceras, es menos probable que sea de
color negro.
Cierto / Falso
Existe la misma probabilidad de sacar un pez dorado de la pecera 1 que de la pecera 2.
Cierto / Falso
71
50 cm × 50 cm × π ≈ 7 853.98 cm2. Entonces, las dos ventanas suman 15 707.96 cm2 de
área, es decir, 1.570 796 m2. Por tanto, el área de la pared sin ventanas es, aproximada-
mente, 12.5 m2 − 1.57 m2 = 10.93 m2. Como una cubeta de 20 L alcanza para cubrir 143
4.d)
× 20
≈ 1.5 L.
m2, se necesitan 10.93
143
El perímetro de la base, que es un hexágono regular, mide 12 m. Entonces, cada lado
mide 12 m ÷ 6 = 2 m, y su área es 2 m ×21.73 m × 6 = 10.38 m2. Para cada cara lateral se
5m
= 5 m2 de vidrio. Entonces, para las seis caras se ocuparán 5 m2 × 6
necesitan 2 m ×
2
= 30 m2.
5. c)
Si el producto tenía 40% de descuento, el precio al que se vendía era 60% del original.
Si el precio original era x, se obtiene la ecuación x × (0.6) = $3 600, cuya solución es
x = $6 000.
6.a)
Artículo
Pantalla de televisión
Minicomponente
Refrigerador
Lavadora
Estufa
Precio unitario
$7 650
$4 890
$5 960
$6 105
$3 430
Precio + iva
$8 797.50
$ 5 623.50
$6 854
$7 020.75
$3 944.50
Las respuestas de la tabla se obtienen al multiplicar el precio del artículo por 1.15.
b)$32 240.25.
Es el resultado de sumar todos los precios más iva, es decir, todos los valores del último
renglón de la tabla.
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37
38
Bloque 1 / matemáticas 1
c)Sí, porque al calcularlo de las dos maneras se obtiene el mismo resultado.
Otra justificación: sí, porque se hará una factorización del tipo 1.15x + 1.15y = 1.15 (x + y).
7. a)$5 234.73.
En la tienda hay un descuento de 15%. Entonces se pagará 85% del precio original, esto
es, $5 650 × 0.85 = $4 802.50. Como el banco cobrará un interés de 9%, el precio final
será $4 802.50 × 1.09 ≈ $5 234.73.
8.a)De 46 alumnos.
Si y representa el número de alumnos, utilizando la fórmula para calcular el promedio, se
= 8.5. Entonces, y = 391
= 46.
tiene que 391
y
8.5
b)De 7.94.
Como 39 alumnos tienen un promedio de 8.6, si la suma de sus calificaciones es x, se tiex
= 8.6, es decir, x = 39 × 8.6 = 335.4. Así, las calificaciones de los siete
ne la ecuación 39
= ≈ 7.94.
alumnos restantes es 391 − 335.4 = 55.6; por tanto, su promedio debe ser 55.6
7
9.Es más probable sacar un pez dorado de la pecera 1 que de la 2. Falso.
4
. En la pecera 2 hay
En la pecera 1 hay 12 peces, de los cuales 4 son dorados, esto es, 12
4
9 peces, y también 4 son dorados, es decir, 9 . Como la segunda fracción es mayor que la
primera, es más probable que salga un pez dorado en la pecera 1 que en la 2.
Al sacar un pez de la pecera 1, lo más probable es que sea rojo. Cierto.
En la pecera 1 hay cinco peces rojos, cuatro dorados y tres negros. Entonces, el evento
“sacar un pez rojo” tiene más casos favorables que los demás.
Al sacar un pez de la pecera 2, es menos probable que sea dorado. Falso.
En la pecera 2 hay cuatro peces dorados, tres rojos y dos negros. Entonces, el evento “sacar
un pez dorado” tiene más casos favorables que los demás.
Al sacar un pez de cualquiera de las peceras, es menos probable que sea de color negro.
Cierto
En la pecera 1 hay cinco peces rojos, cuatro dorados y tres negros. Entonces, el evento
“sacar un pez negro” tiene menos casos favorables que los demás.
En la pecera 2 hay cuatro peces dorados, tres rojos y dos negros. Entonces, el evento “sacar
un pez negro” también tiene menos casos favorables que los demás.
Existe la misma probabilidad de sacar un pez dorado de la pecera 1 que de la pecera 2.
Falso.
En la pecera 1 hay 12 peces, de los cuales 4 son dorados, esto es, . En la pecera 2 hay 9
peces, y también 4 son dorados, es decir, . Entonces, como las dos fracciones son distintas,
la probabilidad no es la misma.
Bloque 1 / MATEMÁTICAS 1
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Evaluación
ENLACE
1 ¿Qué opción muestra la relación correcta entre las operaciones y su resultado?
a) (1, a), (2, b), (3, a)
a) 15
1) (15) (1)
b) (1, a), (2, b), (3, b)
b) 15
2) 15 (1)
c) (1, b), (2, a), (3, a)
3) (3)(5)
d) (1, b), (2, a), (3, b)
2 El tamaño de un glóbulo rojo es aproximadamente 7.5 10—6 mm y el de un virus,
2 10—9 mm. ¿Cuántas veces es más grande un glóbulo rojo que un virus?
1. b)
a) 3 750
a) 856 m2
a) 13, 6 y 6
a) 44
b) 88
c) 176
d) 352
relación (3, b).
Es el resultado de la operación
7.5 × 10–6
3.75 × 10–9
= 3.75 × 10(–6–(–9)) = 3.75 × 103 = 3 750.
El área donde puede pastar el caballo es 2 m × 2 m × π ≈ 12.57 m2. Entonces, el área
donde el caballo no puede pastar es 1 000 m2 − 12.57 m2 = 987.43 m2.
Sólo con las medidas 40cm , 50cm y 60cm se cumple la desigualdad del triángulo, es
decir, que la suma dos lados es menor que el tercero.
5. a)
Una de las caras laterales de la alberca mide 8 m × 2 m = 16 m2; otra mide 12 m × 2 m =
24 m2. La base de la alberca tiene 12 m × 8 m = 96 m2. Entonces, la superficie que Carlos
debe que cubrir es 16 m2 + 16 m2 + 24 m2 + 24 m2 + 96 m2 = 176 m2. Como las piezas de
una caja cubren 4 m2, necesita 176 m2 ÷ 4 m2 = 44 cajas.
6. a)
La cantidad que Ana ahorró fue $1 800 − $1 350 = $450. Entonces, el porcentaje que le
$450
× 100 = 25%.
descontaron fue $1 800
Al final del primer año tendría $100 000 × 1.046 = $104 600.
Al final del segundo año, $104 600 × 1.046 = $109 411.60.
Al final del tercer año, $109 411.60 × 1.046 ≈ $114 444.53.
Al final del cuarto año, $114 444.53 × 1.046 ≈ $119 708.98.
Y al final del quinto año, $119 708.98 × 1.046 ≈ $125 215.60.
d) 40, 50 y 60
2m
b) 50%
c) 60%
8m
d) 75%
7 Rafael invirtió $100 000 en un banco que le paga 4.6 % de interés anual. Si cada año
no retira su capital y reinvierte los intereses, ¿cuánto obtendrá al cabo de 5 años?
b) $125 215.60
c) $130 975.52
d) $143 014.60
8 Miguel, Isabel y Beatriz juegan lanzando dos dados con las caras numeradas del 1
al 6. Después de tirar restan el número mayor menos el menor. Miguel gana si el
resultado es 0, Isabel gana si la diferencia es 1 o 2 y Beatriz gana si la diferencia es 3,
4 o 5. Con base en estas reglas, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
a) Es más probable que gane Miguel que Isabel.
b) Es más probable que gane Isabel que cualquiera de los otros dos.
c) Es más probable que gane Beatriz que cualquiera de los otros dos.
d) Es más probable que gane Beatriz que Isabel.
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2. a)
d) 300.26 m2
c) 10, 20 y 50
12 m
a) 25%
nos de la división, se tiene 15 ÷ (−1) = −15, es decir, la relación (2, b). Dado que 3 × 5 =
15, y por las leyes de los signos de la multiplicación, se tiene (−3)(5) = −15, es decir, la
b) 4, 5 y 9
6 En una tienda en liquidación Ana compró una grabadora que costaba $1 800 en
$1 350. ¿Qué porcentaje del precio inicial le descontaron?
a) $123 000
7. b)
d) 3.75
c) 987.43 m2
5 Carlos debe colocar mosaicos en las caras interiores de una alberca con las
medidas que se indican. Los mosaicos se venden en cajas con una cantidad de
piezas que cubre 4 m2. ¿Cuántas cajas debe comprar para realizar ese trabajo?
× (−1) = 15, es decir, la relación (1, a). Puesto que 15 ÷ 1 = 15, y por las leyes de los sig-
4. d)
c) 37.5
b) 725.6 m2
4 Cuando Rafael quiso construir triángulos con las siguientes ternas de medidas
para los lados, se dio cuenta de que solamente con una es posible. ¿Cuál es la
terna de medidas, en centímetros, con la que sí se puede trazar un triángulo?
Como 15 × 1 = 15, y por las leyes de los signos de la multiplicación, se tiene que (−15)
3. c)
b) 375
3 Un caballo se encuentra amarrado a un poste con una cuerda que mide 2 m
de largo en medio de un terreno de un área de 1 000 m2. ¿Cuál es la superficie
donde no puede pastar el caballo?
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8. b)
En la siguiente tabla se muestra el espacio muestral del juego.
Diferencia del número mayor menos el menor
Dado 1
Dado 2
1
2
3
4
5
6
1
0
1
2
3
4
5
2
1
0
1
2
3
4
3
2
1
0
1
2
3
4
3
2
1
0
1
2
5
4
3
2
1
0
1
6
5
4
3
2
1
0
Entonces, de los 36 posibles resultados, Miguel gana en 6 casos; Isabel, en 18 casos; y
Beatriz, en 12 casos. Por tanto, es más probable que gane Isabel que cualquier otro.