Teoria de la cartera: Un método general para la

Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
'"
r^^l if ,i
'i' '.
{,. "
Universidadde Alicante
F A C U L T A DD E C I E N C I A S
E C O N O M I C AYS E M P R E S A R I A L E S
TESrSpQCTORAL
TEORIA DE LA CARTERA.. UN T'IETODOGENEREL PARA LA PARAI'TETRIZACION
DE FUNCIONES CUADRATICAS Y SU EEPERCUSIONEN LA FONUECION DE UN
PORTAFOLIO.
Dirigida
por:
l")r
5f'm;a;;
Presentada
i etgttgtrca'
D. DIEGO SUCE PEEEZ
Dor:
D.
rt{ARIA DOLOHES DIEZ
GARCIA
k€ ]6 044
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
A7 i aanfa
. . 4 4 v s . . 9 S ,
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
A J a s c u a t r o p e r s o n a s , p o r orden d e a p a r i c i 6 n ,
imDortantes
nd.s
en mi vida:
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
14is Padres,
mi ltarido
ni
Hija.
g
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
' ,Dice un refrdn
no
por
agradecido,
es
prrmer
en e-Z transcurso
mi
a
7ugar,
marido
mi
Sergio
en com{n,
de muchos ai'os de vida
profesional
como en el.
ei
orden
jntensamente en 7a consecuci6n de esta
se hubr era podido 7Levar a cabo.
para e17a,
patente
Quesada
g
u
e
p
e
r
s
o
n
a
qrue es 7a
nds enpefio ha demostrado
Rettschlag,
A ni
hacer
que
de Investigacion
Trabajo
En
quiero
eTlo
e-l
a cuantas personas han coTaborado conmigo en
agradecimiento
este
popuTar gue.no es bien nacido
humano,
?esjs
Gracias por
tanto
en
trabajando
g sin
gui6n no
todo.
'por tantas
horas eu€,
debiendo ser
absorbida
en esta
no Le he dedicado aJ estar
hija
Silvia
tarea.
A Diego Such, Director
y compaffera de trabajo,
apogo,-
gracias
guidn
de esta
?esjs DoctoraT,
amigo
en todo momento rne ha dado su
aJ cual he podido
7Levar
a
f6liz
tdrmino
esta Labor.
A Enrique CJaver,
guien con su entusiasmo g decisi6n
me ha dado muestra de su gran solidaridad.
A SaJ vador.sdnchez, uf, amigo informdtico,
.he
momentos de fuerte
compartido
auuda ha sido
tension
con e-l nrt
en Los cuafes su
indispensable.
IVo puedo
olvidar
a Ramiro I'IeLendreras,
maestto gue desgraciadamente no estd con nosotros
fecha
mi -primer
en esta
tan memorable nara mi Y a todos
-Zos gue cregeron
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
en mi g me apogaron
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
I}{DICE
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
Pdgina
TNTRODUCCION
CAPITWA 7
ASPECTAS GENERALES
l.'1. - Conceptos f'undamental.es Prevjos
Lemas g TeoremasBAsicos
7.2.-
Definiciones,
l. 3. -
PLanteamiento
de7
25
ProbLema d.e
Programaci6n CuadrS.tica tP.Q. l
7.4.-
24
33
EI Probiema de la Programaci6n C'uadrAtica
Convexa lP.Q.C.)
3'4
FormuJ-aci6n g AnAlisis
de un Problema General
Paramdtrico
Conugxo.
1.5. -
Cuadrdtica
FormuLaci6n del
7.5.7.-
Problema Ceneraf
Notacr.ones a utiTizar
7.5. - I{etodoJogia
r.7. -
tP.G.P.Q.C. )
57
e l/ipdtesis
P r o b J - e m ac o n S r e s t r i
48
52
cciones
-rTesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
activas
54
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Expresi6n generaT de -los nuTtipLicadores
1.7.I"-
de
Lagran g e
55
solucion *s (e)
7.7.2.-
EJ- vector
7.7.3.-
Teorema de - I a E a s e
7.7.4.-
Condici6n
56
59
g necesaria
sufj ciente
de optimaT idad
7.7.5.-
Condici6n
57
g necesaria
suficiente
de
o p t i n a J i d a d con degeneracion
7.8 . - ,CdJcuJo del doni nio
del
52
de definicion
pardmetro
64
7.8.7.-
C d . T c u l - od e K 1
65
7.8.2.-
C d J - c u L od e K 2
77
7.8 .2.l. - EI pardnetro
de -Ias restri
TabLa II.
so-lo af ecta a -Zas constantes
Doninio
1.8.3.-
a
72
85
de K2
7 . 8 . 2 . 2 . - EI pard.metro a f e c t a
constantes
propias
cciones
todas Las
de - l a s r e s t r i c c i o n e s
C6.lcu7o de K
85
94
7 . 8 . 3 . r - Caso en gue K1 e s t d T i n i t a d o
p o r d o s n r t m e r o s rea-l,es
7.8.3.2.
96
Caso en que K1 est;i acotado inferior
por
o superjgrmente
-
II
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un n9 real
_
706
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CAPITWO 2
,A
SENSTBILIZACION DE UN tP.G.P.Q.C.)
P R O B L E I 4 AG
. ENERAI
PARAI4ETRICO CUADRATICO CONVEXO.
,ii
2.1.-
Breve introducci6n
177
2 .2 . - FormuLaci6n General^ d.e un Problena
Param{trico
2.2.7.2.3.-
CuadrAtico
Hip6tesjs
Convexo
de no degeneracion
SoLuci6n deL ProbLema sin
2.i.1.-
Solucion
778
178
restricciones
de un P.G.P.Q.C. sjn
r20
rescrfcctones
2.3 .1.1. - Jnyersa de 7a matriz
'
2.3.1.2.-
a 7a forma cuadrAtica
2.3.7.3.-
correspondiente
sens:b: Tizada
Caso en que 7os yectores
matriz
B coinciden
con l-a unidad
Caso en gue e7 vectot
a
Expresi6n
722'
generaT d.e *Q(e)
123
724
Expresi6n de La componente :. de La
solucion
2.3.2.3.-
724
VaLores deL oardinetro oue verifican
Jas rgstricciones
2.3.2.4.-
722
eoincide
2 .3 .2 .7 . - CoroTario
2.3.2.2.-
720
que definen
con 7a unidad
2.3.2.-
719
de no negatividad
CoroLario
2.3.3.-.Subdominio
726
737
d e K d o n d . ex e ( e )
laS restrj cciones propras
III
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
_
verifica
732
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2.3.3.7.-
Lema: *S1e) como sol-uci6n optima
2.3.3.2.-
Teorema: Condici6n Dara oue
vcrifionc
-:l
7a restrjccion
--
0
734
h
2.3.3.i.-
C a5 0 D a r t T c u t a r
2..3.3.4.-
La soluci6n
particuTar
g en e r a L d e l
probLemaP.G.P.Q.C
735
como sol"uci6n
Optinizaci on de Ja FunciSn Objetivo
2.4.-
a una restticcion
2.4.1.-
7j3
736
sometida
activa
738
FormuLaciin del orobLema sometido a
una restticei6n
2.4.7.7.-
activa
740
Teorema: Expresi6n generaT de
Ia sol.ucion
2.4.7.2.'
741
La soLuci6n generaL en funci6n
soluci6n
de 7a
de un problema perturbado
soJamente er? 7a F.O.
l....
2.4.7.i.-
Teorema: Expresi6n de La sol-uci6n
2.4.7.4.-
Otra expresi6n del vector
nuJtipTicador
2.4.1.5.-
Ex p r e s i 6 n
a eJ.
vector
de Lagrange
de la
742
744
145
componente j-dsima
sol-uci6n
746
2 .4 .7.6 . - Otra expresion de J-a componente
_
2.4.7.7.-
a-dsima. .
748
Lema : Sjgno positivo,
deL nuLtipLicador
2.4.7.8.-
en esta fase,
de Lagrange
La soTuci6n general come soiuci6n
optima
2.5.-
749
EJ vector
750
soJuci6n Dara o restricciones
activas
752
-IV-
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
754
2.5.1.-
Lema
2.5.2.-
Probiena GeneraL con ]a F.O. sometida
a q' restri
2.5.2.7.-
cciones
755
activas
Expresi6n general de La soJuci6n de un
P.G.P.Q.C. sometjdo a q restricciones
155
activas
2.5.2.2.-
Teorema: La
tunci6n
soTuci5n
general
en
d.e 7a d.e ur? probl,ema perturbad.o
en la F. O.
2.5.2.3.-
Expresi6n de 7a componente j-6sina
deL vector
2.5.2.4.-
757
soLucion generaT
EL nuLtipLicador
a7 vector
de Tagrange asociado
soluciSn
760
2.5.2.5.-
Otra expresion dei nuTtiplicador
767
2.5.2.6.-
Signo de dicho nuTtipJicador
767
2.5.2.7.-
E7 vector
factible
como vector
r62
optino
2.5.2 .8. - EI vector
2.5.i.2.6.-
759
factible
pero no 6ptimo
Teorema: Ntmero ndxino de pasos del proceso
PosibiTidad
de anpl-iaci6n deL orobfema
763
765
768
CAPITWO 3
UN I,IODELO ECONOI{ICO: FORNACION DE UN PORTAFOLIO
3.1.-
Introduccion:
EJ n€todo cientifico
770
i . 2 . - Sobre el. conceDto de model-o
775
3 .2 .7 . - E] md'todo operativo
782
-vTesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
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Financiaci6n
i.i.-
I{odeLos de inversi6n.
3.3.1.'
784
e inversion
5u necesidad
EJ riesgo en 7a toma de decisjones
3.4.-
3.5. - EJ criterio
de 7a Esperanza matemAtica
de VaTores Aptina
La formacion de una Cartera
i.6.-
Rendimiento g riesgo
i.6.7.-
DOg. APLICACIONES
ECANOI4ICAS DEL ALGORTTI4A OBTENIDO
220
227
tJn problena a" P.O.
4.7.7.4.7.2.'Un
probTema de P.Q. can 7a F.Q. parametrizada
u n p r o b J e m a d e s e n s : b j - Zi z a c i o n
g Las constantes
Otra apJicaci6n
afectadas
223
can l-a F.O.
de un pardmetro
229
deL aTgoritmo a una Cartera
240
. Optima de Val.ores
4.2.7.-
204
271
lntroduccion
4.2.-
207
4
CAPITWO
4.7.3.-
794
de una Cartera de
Vafores
4.7.-
r90
EJ probJena de La se-Ieccion de un portafoTio
242
^ TTVTEsTs Y CONCLUSIONES
255
BTBLIOGRAFIA
288
ANEXO :
324
PROGRAI4A INFOPTTATICO
-vrTesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
\,..
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
II{TRODUCCION
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
-Las tdcnicas
medio
de Programaci6n llatemdtica
para
ef icaz
generaT,
manera
reso-Zyer
prob.Zemas
relacionados
con 7a nivelaci6n
un ptogecto,
7a planificacidn
fa
d.e una subestaci6n,
introducci6n
generaci6n
progectos
en
de ingenjerja
Como Va
Programaci6n
nd.ximo,
yarias
el
Varios
para
funci6n
resolver
civiL,
todo
aTgunos
en haTLar e-l minimo
de una funci6n
de
el
de
funci6n
de
Objetivo,
inecuacjones
o
en
algebtaica,
gue se encuentra
genetaJ,mente
grado
cuaJgujer
).
gue
son l-os ndtodos o atgortcnos
eJ
caso
mas
como sus restricciones
coeficientes
electrica,
la
ld
problema de opti..n'izacion
TTamada Funci6n
g/o
en marcha
producto,
nuevo
un
de
etc.
d.e Criterio,
o
de recursos
de barcos o aviones,
energia
6ptino,
sometida a ecuacjones
( restricciones
de
Los
como
la puesta
urhana,
I'Iatemetica consist.e
variables,
Rendimiento
g asignaci6n
de
se sale,
es decir
dispares
consttucci6n
g djstrjbucion
g de una
con exactitud,
tan
metcado
eL
constitugen
g
constantes,
Programaci6n LineaT
t f ..f .1
-2
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
senciLlo
se
conocen
en el. gue tanto
primer
son
de
gue
recibe
grado
e-Z nombre
7a
con
de
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
5e
empez6
El
restricciones.
progratnaci6n
la
estudiando
prob-lema se simplifjcaba
podemos remontarnos a los m{todos del
sfn
en gtan medida g
gradiente
debido
a
Cauchgoa]'osrndtodosdesegundoordendeNewton
g'ue posteriormente
Raphson,
conjugadas,
direccjones
Tfevaron
aJ
de gran utiTidad
sometjda a un conjunto
se
pJantearon
un
para
aLgoritmo,
E7
gue
de Los extremos de
ndtodo
primera
Dantzig
vez
cd.LcuLo gue
se
el, desarrollo
posterjor
progranaci6n
Dantzig.
tdrmino
g su grupo de rnvestigadores,
procedimiento
sistemdtico
de probTemas,
ll-amado netodo
apLicaci6n
contribugera
La
so.bre ptogtalnacion
por
utiJ-izacion
Programaci6n .Lineal por
g fa obtenci6n
de un
de este
tipo
gue
su
aJ- avance de 7a Economia tanto
en
de7
un ejenpTo tipico
resuef to por Hitchcock
de
duda el rndtodo primal
hizo
9inpl.ex,
economieo.
EJ TJanado probJema de Ja distribuci6n
constituge
conocian
matemS.tica
para -la resol.uci6n
el, campo maero como en e-l micro
gue
pod.ian
sus posibilidades.
de
7.949 del
en
qfue no
de
mas conocido es sin
deJ Simplex o algoritmo
I pero
de restriccjones
dificultades
7a
con gran rapidez,
Las
de
Fud necesa4io
entonces.
anpLiara,
serfe
con los metodos
reso-lyerse
hasta
una
de
g efieacia.
Con Lagrange se aborda el, estudio
una funcion,
estudio
( 1.941)
de P.L.,
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
transporte,
fue pTanteado g
antes de gue
se generaLizatan.
-3
o
-Zos estudjos
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
por
EJ interds
de gestion
fud
de
eI' desarrolLo
estjmu-lado por
5e tuvo entonces que afrontar
etc.
reparto
recursos,
lo
gue constitugo
o
distribucion
de Jos grandes avances de
7.949,
un
minimo de
medios
varios
problema
optimo
l-o
o 7a
el
ndtodo
7a asignaci6n
coste de
distribucion
Segun
de
suq
nds
materias
opt'ima entre
palabras: 't
el-
eTaboracion d.e un plan
t"
constirur"
de Jos recursos
gue existia
racionamiento de
Savage a pubLicar
decir,
dentro
resoTver,
Ia linitaci6n
pues,
gue
tacionamiento
capitaT,
obJiga
a
en 7a
Lorie
del probTena de inversiotes
de recursos financieros
f ueron
en tdtminos
-Zas jnversiones
de una situaci6n
g
un articuJ.o en 7.955 en eJ gue aparece en
expJicita,
empzesa,
en cada momento".
existentes
mas tarde,
La consideraci1n,
de
un
gue asegure ios mejores resu-l,tados mediante -Za mejor
ut:J izacion
forma
causas
de problernas de tipo . t|cnico
transporte.
centra|
J-os
s u . b s ig u i e n t e
l-a
propuso
Kantorovich
perdidas,
de
de
algoritmos.
a Las ndqujnas,
racionaT de trabajos
con
con
J.os gue podemos destacar
entre
econ6mico
racionaL
J.a P.L. ,
para Ja reso-luci6n
cATcuIo
cuestiones
una de 7as principaTes
de Los correspondientes
en
ta-les como,
eL marcado aumento de -Ias
econ6mico,
aL
ya
financiera,
de cireunstancias,
relativas
aparicion
sjstemdt icos
pLanificaci6n
de
una serje
e-Z rd.pido crecimiento
competencias,
g
recursos
de ndtodos
-los
primeros
Podemos
pTantear
g
e7 probJema de 7a seLeccion
de P.L.,
en Ja empresa teniendo
de Los recursos
en
en 7a
financieros.
4-
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
mug en cuenta
e7
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
La
interrel.
gue
aspectos
financiera
partir
serie
acion
de
trata
e*ige
resofver
(1.966),
guien
pot
planteo
En este orden de ideas
se
e-Z trabajo
racionamiento
de
de
de
Weingartner
La seTecci6n de
capitaT,
en
inyersjones
con
situacjones,
e m p J . e a n d op a l a s u r e s o f u c i o n n 6 t o d o s
Tambien
Jas
deterrnjnarse
7a programaci6n
de
que 7a funci6n
investigaton
como podia
de Los fondos de una
t46.starde
aJ problema general de
especiaTmente,
gue generalizaton
(7.969),
por
por metas u objetivos.
7a eficiencia
g
emprendidos para incorporar
numerosos
La incertidumbre
-5
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
Loomba
Ilutchinson
de una variante
Desde 1.955 hasta 7.950
g
Orden
sornetida a restricciones
(1.960) ,
Vadja
Parkinson
Dantzig,
el ndtodo deJ- SrmpJex en el
estuviera
-ljneaJes de desigualdad,
trewjs
de P.L.
de inversjdn .
apTicaciones
I{erecen citarse,
Wolfe (1.955)
diversas
apJicadas
para demostrar
Ja apTicacion de la P.L.
ampliaron
fueron
ef coste d.e oportunidades
empresa con miLtipJes
caso
(1.959)
Cooper g l4i77er
Charnes,
de P.L.
t€cnicas
A
una
probJena
eI
l-a gesti6n
g Savage (7.955),
de Lorie
ejenpTo,
distintos
matemdticas.
tecnicas
de modeTos son formulados.
puede mencionar,
l.os
conjuntamente
de
e-Z auxiTio
pT.anteamiento
del
entre
existente
(7.954) ,
(1.972)
gue
de este mdtodo.
estudios
fueron
en -los valores
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
de
pardmetros
Jos
programas
l-os
2
a Charnes 9 C o o p e r ( 1 . 9 5 9 ) ,
referencia
Hacemos
- l i n e a - Z e s.
(1.960)
Dantzig
U
I(adanskg (1.959).
En
conocidos
7a
prActica,
e
incJ-uso
no
a 7a nitad
de un drea costaria,
apTicaciin
a toda el
drea,
7a
de
financiera
se
P.L.
En
utiTiza
7a necesaria
embargo,
modelo reguiere
ATgunas
por tanto,
de
'd"
7as
i
En principio
procedinjentos
en tdrminos
perspect ivas
Las
pTanif icaci6n
sin
funciones
deJ-
pueden
gue
A,
de programacion.
Los ndtodos obtenidos
de resolucion
los
modeTos
-6
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
No
eL andJ-isis de
especi_a-lmentet con
ea este tipo
se pueden
Programacidn
de
eran
complejos,
no es tandatrizad.os V caros
de tiempo en el. ordenador,
de
a
ventajas
de La P.L.
Linitaciones
LineaT
t a.S.l
de su
7a naturaLeza deJ problema.
con eJ- empTeo de Las tdcnicas
P.N.L.)
apTicado
como ndtodo de optinizaci6n,
superar
sensrbrlidad
son
mode-los de
Tinealid.ad.
l-a
inprobabJe.
gue no todo
los
son
en
7a nitad
algunas veces sinplificaciones
7Legar a desfigurar
con
cumpLe
se
cosa bastante
puds,
Podemos decir,
no
por ejenpTo Los
g a g u e d e s e r - l o u n e s q ' u e m ad e d e s a r r o L l o
reaTidad,
f avor
que
sabemos
de TineaTidad
7a hipotesis
costes,
conoci6ndolos
Ademds para muchas variabJes,
constantes.
no son
muchos de Los coeficjentes
de
pera
hog
dia
optimizaci6n
-7.as
son
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
g
prometedoras
esta
parceia
numerosos
deL
los.
saber.
probTemas No
eficientemente
generaci6n,
imprescindible
7as
dos
iTtinas
en cualguier
visto
d6.cadas,
Destacamos,
(1.966)
Dantzig
control-
(7.964),
g otros
^Shettg
para l-a resoLuci5n
generalizo
exahustjvo
ha sido
sometida,
AvrieT
(7.979),
-Zjnea-les
metodo
e-Z
etc.,
l,a
P. tV.I .
podemos
La Entera,
entre
fa
debe,
fundamental.mente,
-7-
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
7a
Sepatable
otras.
gue 7a Programaci6n Cuadrdtica
CA
La
aTgoritmos
encontrar
La l{ixta,
l-ineaL,
Powe77
apJicarqn
obteniendo jnieresantes
FraccionaJ-
guienes
(1.976),
de probJemas.
programaci6n
de
auto.res como I'langasarian
tipo
programacion Cuadrdtica,
estudio
(1.973)
de este
de
,
deL mdtodo
'para probTemas no
BeJa t(artos (7.975),
Programaci6n No LineaL,
Dentra
por aplicaci6n
( I . 971)
I4gJander
Bazaraa g
gue
problernas
ciertos
HabetTer y Price
un metodo iterativo
( 7.964,7.970),
(7"977),
que
resoJverse
deJ SimpTex, FaIk (7.967),
usado por Fiacco
(1.967)
HartJeg
otros,
gui6n denostr6
c o m p l e m e n t a r - i o s. '
apJicada
del SimpJex a probJemas No lineal.es
optino.podian
obtuvieron
7a
economia.
entte
eJ. mdtodo
extendid
de
en jnstrumento
de investigacion
tipo
en
resofver
han
s€
a 7a P.N.L.
ha convertido
gt en especiaT, €D la
La
en
a gue 7a aLta veLocidad de 7as computadoras
gracias
g
centrados
esfuerzos
Lineales,
en
recompensados
debidamente
cuarta
7os investigadores
a gue
El
tP.Q.)
bajo
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
cjertas
hipotesis
funci6n
no
problema
El
de
7o
gu.i6n demostr5
inportante
gue modificando
en
variabJe
el-
se
compTementaria
dif icuJ-tad eJ- 6ptino
algunas
jnstrucciones
deL
cuadrdtico
simpTex,
7.-
De
aLgunos
aptoximaciones,
soJ.uci6n.
se debe
Asi,
WoJfe
a
el
(1.959)
algoritmo
7a introducci6n
sj
a77i,
su
deL
de
variabTe
s€ conseguia sjn
mediante
nodificacion
poco numerosas en eJ programa deL
posible
eia
resoi,yer
un
prograrna
(7.959),
en su articuTo
enunera cuatTo tipos
de problemas de P.Q.:
Regresi6n:
mininos
gue
N.L.
convexo.
WoJfe,
posibJes
sucesjrzas
ga
buscado.
funci6n
funci6n
- lj n e a - Z e s,
b6.sico
encontraba
una
de TagTor.
ligeramente
c o nj u n t o
una
una
de manera gue no se autorizara
SimpJex,
ndtodo
por
de TagJor, a la
Una aportaci6n
de
en serre
minimizar
r e s u e - Zt o
han
mediante serjes
una
a
sometida a restriccjones
diferenciabJe,
continuidad,
aproximarse
mediante un desarrolTo
cuadrdtica
autores
puede
JineaL
g
derivabiTidad
de
Encontrar
cuadrados en el
cjertos
7a
nejor
caso en qrue se
pard.metros satisfacen
desiguaTdad.
-8
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
aproximacion
sepa,
por
a priori,
-Zas restnccjones
de
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
2.-
l,Iaximizaci6n de Las ganancias
De.Producci6n:
de funcione.s de producci6n
de eosto variabJ.es con esperanzas de
Programd.s Convexos:
Existen
variantes
Ll
mon5tona, Dantzig
TineaTes
teniendo
g por BaranKin g Dorfnan
de optinalidad
soJ-uci6n
este
en constatar
en resol.ver
propuesto
Tucker taL g como fud
primeros
ampTiado, teniendo
n6.s
de maneta
gue,
era
una
de variabJ-es figuraban
uLtino
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
de
lfiarkowitz
par de autores
eombinando las
bd.sica
de base.
fueton
condicjones
originaT,
deJ
de gue soTo ciertas
en el. conjunto
-9
eL sjstema
(1.959).
soluci6n
7a propiedad
l-a tesoJ,uci6n
por Harrg
de Lagrange con Las deL sistema
6ptina
mds proxr.mas
decrecjente
esqruemaspara
consjste
Hist6ricamente,
los
1.958).
(1.956) .
de programas cuadrdticos
(1.956)
g
una regJa de selecci6n
economica
Uno de fos mds conocidos
Kuhn
guiera
"u"i
aproximacjones
de7 ndtodo de WoJfe,
una' funci6n
.eosto
una f unci6n
(White, Johnson g Dantzig,
aJ mdtodo deJ- simpTex,
estrjcta
I4inimizar
bajo retricciones
cuadrAticas,
de
(ILarkowitz, L .956| 1 .959) .
dadas y varianza minima,
convexa
Tineal
ResoJver un programa que consta
l[inina:
coeficjentes
4.-
LineaT g de variaci6n
Dofman (7.957).
de Los eostos marginales,
3..- De Variancia
en eJ caso
7a
sjstema
parejas
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
Para Ia
P.Q.,
de1 pivote
resueJve mediante l-a tdcnica
puede
ser
lineales
(7.974)
mas
matrices
desarolTa
gue,
de problemas
propone "
complementario. Eaves (1.971)
a
se
Tucker
compTementario,
(1.968)
Lenke
complementatios.
resuJtados
-
Kuhn
en c-l.ases mds generales
util"izada
aTgoritmo del pivote
Los
de
e-Z sjstema
generales.
eJ
extiende
Vann de Pann
de este mdtodo para eJ-'caso
una variante
de7 probLema Tineal- compJementario.
En ausencia
simpTe
avaTado
por
o con una
procedimientos
distintos
exjsten
caso de funciones
es
de r-estricciones
(7.953).
Kiefer
de
Fibonacci
procedinientos,
Otros
de 7a secci6n
incLugendo ei nltodo
En el
iterativos.
e-Z procedimiento
uninodales
testticcion
airea,
son
discutidos
por WiTde (1.964).
Otros
ajuste,
han
autores
citemos,
en
recurrido
este
F l - e t c h e r g P o w e J , L( 1 . 9 5 3 ) ,
gradiente
sentido,
Ffetcher
a
Davidon
g Reeves (7.954)
estudjo
7J-evado a cabo por I'Iurtagh g Sargent, (7.'970)
anraximaciones
realizadas
7a
de
eficiencia
de
g ef
sobre
ciertas
.
Dado un probTema de
estrechamente
con eJ.
Luenberger (t.973)
deJ
limitaciones
de
(7.959) ,
mltodo
al.gunas
conjugado,
aJ uso de curvas
Tigado a 41.
P.N.L.
exjste
otro
probJema
' E J p r i m e r o e s J - l - a m a d .P
o rimaL g
eL segundo probTema es eJ DuaJ
-70-
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
Lagrangiano.
Bajo
ciertas
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
hipotesis
de .. convexidad,
o bj e t i v o s
6ptinos
problema primal
Uno
encontramos
(I.967),
en
Cottl-e (7.96i),
La
(7.970),
este
eJ uso de l-a fornuLaci6n
estudjo
Rosenbrook
(f.960)
considerados
como
P.Q.,
SinpJex
g
y
e-7 de
Box (1.955)
Los
Posterjores
g FJetcher
ndtodos
consi derados
optinizacion
direcciones
con
(1965).
se debe
Peterson
en
eJ
conjugadas.
(7.967),
reso-Zyer
el
eL mdtodo de
son
(I .967)
problemas de
usando e7 ndtodo
de
las
deJ.
direcciones
fueron
hechas por
(1.969) .
direcciones
usan
dentro
sin restricciones.
una :so7uci6n,
Whiston
ZangwiTT
nodificaciones
gue
ef icientes
para
.
de etapas,
uni6n
en
7ibre,
ZangwiTT
mas eficientes
7os
€D-un ndmero finito
conjugadas.
duaJidad
(t.968),
Baumol
procedimiento
convexo
7a
de
econ6mica de La dualidad
Entre Los m6todos del gradiente
un
Erzerett
(1.970) g Becman g Kapur (1.972).
WiJJians
desarroTT6
fud
I,Iangasarian g Ponstein
BaJinski
a
e7
dual..
(7.966,7.969,1.970),
interpretaciSn
principaJ-mente
del
computacionaL
RokafeTTar
a
en
vaTores
reso-?.yer
por resoluciSn
desarrolTo
Interesados
posible
siendo
pioneros
i.os
con
(7.963) .
iguaTes,
rndirectamente
de
Lagrangiana
.;ambos problemas tienen
caso
-Zas
de
Benyenrste
de
La
P.Q.,,
Para funcjones
-77
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
conjugadas son
tdcnicas
(1.979)
obtiene
utilizando
cuadrdticas
de
-las
estos
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
metodos :'afcanzan
autores
ATgunos
g
I4cCormick
producido
han
investigado
para su
-linea-les.
( I .969 )
G o 7 d . fa r g
utilizando
para
eJ
optina
derivad.as
son
sobre
los ndtodos
de
el?
eL
utilizaci6n
probTemas con
que
pbjetjvo
continuas
g
si
se
de
restriccjones
progecci6n
de
concepto
s.i La funcion
en este
eJ- ndtod.o
extend.i6
deL
para
J-o generaTizo
gue eJ- metodo de'Davidon-Fletcher-PoweJ-7
soJuci6n
inexacta
n o J - i n e a - l e so a P o w e L l ( 1 . 9 7 2 )
restrjcciones
eJ efecto
Podemos citar
gue
(7.970 )
Davies
a
(7.976),
Lenard
han modificado
restricciones
restricciones
gradiente,
n pasos.
de
de7 aTgoritmo.
Davidon-Fietcher-PowelLjnea-les
(1.972),
(I.974),
investigadores
sjn
optimizacion
sentid.o a
mdximo
usar una Linea de aproximaci6n
ai
Otros
de
un
en
Polak
como
Rjtter
7a convergencia
caso
e-Z optino
gue
demostro
converge hacia
una
sj
l.as
Tinea
de
observar
gue
es convexa,
usa
una
jnvestj gaci6n exacta.
En
este
e-Z iJ-tino
campo
de
investigaci6n
numero.sos Los trabajos
hemos podido
guinguenio
estd
real-izados,
en
citando
auge
g
gue
algunos
son
de eLLos
a continuaci6n.
Pang (7.987),
Panne
-
basd.ndose en J-os algoritmos
Wiston. (7.969) g de Dantzig
equival-encia en el
caso de 7a P.Q.
-72
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
(7.966),
de Vann de
demuetra su
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
\.
.\
g Caron ( 7.983 ) ,
Best
de Khun -
Tucker asociados a dichas
de c6mputo de Los algoritmos
Partiendo
7a hipotesjs
GoLdfard e lgnani
un
probTema
(7.962)
de
g por
del minino de la
de
tJ
Gi77
l(urrag
( 1 .985 )
a
objetivo
variaci6n
g
7ibre,
(1.98i)
obtuvieron
un aTgoritmo
dual- para
comparable
aJ- obtenido
por
P.Q.,
f in
e-l
comun,
trabajo
las
reaLizado.
pzoblemas
d.e resofver
tanto
Lemke
(7.964)
Wiston
podemos cjtar
como fos de
permanecian
objetivo
positivo,
por
cuadri.ticos
conyexos.
Todos Los ndtodos expuestos
premisa
funci6n
sea definido
convexos pero no estrjctamente
una
considerabTemente
de q'ue el fjessjano
Van de Panne -
Por iltimo
Best
LineaLes.
de Fl-etcher (1.g71) g de Best g Caron (1.976).
(7.g78),
bajo
de igualdad,
restricciones
Con este mdt.odo, se ha conseguido teducir
e-Z tienpo
funci6n
una
para 7os muLtiplicadotes
un mdtodo de c6nputo
desarroTlaron
de
sometida a restrjccjones
cuadrdtica
objetivo
en e-Z caso
partian
hasta ahora
J-os coeficientes
restricciones
de
de 7a funci6n
o de -Zas constantes,
inamovib-les a 7o Targo de7
suponia un nuevo probTema,
proceso.
CuaLquier
una nueva sol-uci6n g
un nuevo vaTor en J-a f unci6n de rendimiento.
Desde 7.955 numerosos
para
incorporat
1a
estudjos
incertidumbre
- 13
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
en
fueron
enprendidos
-los valores
de -los
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
a 7os programas -ljnea-Zes.
patemetros
Charnes
Dantzig
Cooper.(1.959),
U
Haeemos refetencia
(1.965)
g
a
l4adanskg
(7.ese).
En "este
9.1
Sensjbj Tidad
de
AniTjsjs
se pJ antean determinados
trabajo
Como ga es sabido,
inversiones.
t A.S. I en J-a sel-ecci6n
7a t6cnica
conocida
de
con eJ
se ocupa de 7a vaziaci6n
de sensi bilidad
nombre de andlisis
aspectos
gue experimenta
e J -r e s u - L t a d o ' d e u n m o d . e T of o r m a l ,
-las vatiaciones
del
de los
vaTor de uno o varios
frente
a
pardmetros
de dicho modeTo.
(7.986),
MontLTor
gue
variabTes,
La
de
en ei
g
cambia,
acefitada,
no
modeTo. En
puede
una
a
debido
consistjr
funcionaT,
un
conjunto
de
este
convecci6n
67timo,
elJas,
de
pteviamente
en asumir una determinada
eJ
decisor.
Dif erentes
ddcadas
'para tratar
Los
cugo vaTor no
respecto de una variabJ-e gue no se ha77a bajo
controJ- del
a
cugos vaTores
nd.s gue variabl-es
son
indica
de Jas antetiores
independientes,
variables
esto
eu€
hrpdtesis
tltinas
otro
campo asignado a cada una de
gue
patd.metros,
con
vaTor
del
estructura
como
una estructura
el,
determinan
.Ias
distinguimos
osciTan
mediante
de variabJ.es dependientes
conjunto
travds
relaciona,
formaJ,izado
modeLo
Todo
autores
han
comprender los
intentado '
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
J-as dos
mdtodos de la progtamaci6n
e J p r o b T ' e m ad e f a o p t i m i z a c i 6 n ,
-74
en
dentro
de
una
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
cierta
de este
acepci6n
de'una funcion
de g,ue -las constantes
7a hipotesjs
bajo
tdrmino,
econ6aica,
estaban
sujetas
a
variac iones a-Zeator ias .
parl.metros
gue en
son vatiables
EJ and.lisis
congeJadas.
varjab-l.es
Bunge (1.979),
a
Siguiendo
s€ puede decir
un
contexto
de sensjbilidad
para estudjar
conocido de7 modeTo fornal
condiciones,
se supone 6ptino.
optina
gue
efecto
conLTeva una modificaci6n
de rendimiento,
de La funci5n
importancia
imprescindibl-e
conocer
de
de
7a
si
el
"descongeTa" estas
g eu€, bajo
cjertas
soLucion
de J.os coeficjentes
Puede
economicos.
optimo
carterat
obtenido
de
es de gran
constantes,
set
en un probJ-ema
en un problema de control,
es sensjb-?.e o nd a nodif icaciones
numdricas inttoducidos
La
sobre
sobre
eomo de Los coeficientes
problemas
en
seJecci6n
tanto
o de Los tdrninos
-Zas restrjcciones
etc.,
del
guedan
dado
de sus variaciones
eL efecto
un resuftado
Este estudjo
gue Los
de cjertos
vaTores
en el- modeLa.
Un and.Tisis de sens:bilidad
por varias
es importante
Tazones, gue pasamos a exponer:
Con
Ja
variaci6n
de
estabi Tidad deJ vaTor
debiL.
Una
una direcci6n,
peguefia
al-guno
optino
de
resulta,
transformaci6n
. puede originar,
-los
parl.metros
Ja
frecuentemente,
de un pardmetro
€fr algunos
casos,
-r':f,*"','..*
-rru.L!. .-.,.r
//<
f.\)'
{.-i
,!.,r,,\':{,
- 15
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
t,:Z-
"
j.i..rj'.l'Jii':
1i",_
*
tl
i
en
una
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
gran
nodificacion
otros
casos,
una
direcci6n
en
para
importante
una variaci6n
puede
en
parl.metro
dei
incluso
ocurrir
en
n6.s bien una so-lucion
bajo
e u e,
se desheche eJ 6ptino
condiciones,
adoptar
contratio,
puede dar Tugar a una debiT nodificaci6n.
En J,a industria
cjertas
o por el
La F.O.
de un modeTo
Tigeramente
inferior
eL resu-ltado
de algun
pero mucho m6.s estable.
Puede
cambio,
-los
jnteresante
ser
de ciertos
dentto
gue
coef icientes
restricciones
IncLuso sj,
estudjar
J.imites,
af ectan
en Jos vaJ-otes
deJ
F.O. ,
Jas
a
7a
a
o a ambas.
€fr alg$n p"roblema,
espontdneamente
fro es posibJe
puede
coeficientes,
estos
conocer d.entzo de gue linites
nodificar
-Za soLuci6n
ser
seguird
utiJ
siendo
6ptina.
Armancost g Fiacca
gue
bajo cjertas
inputs
sensjbjl idad
en
aungue no
La
P . N. L .
otros,
facil,
g
en
en 7a P.Q.
Posteriormente,
efecto
entre
demuestran,
es posibJe,
condjcjones
eJ uso deL an6.7isis de
particular
(1.974)
de J.a variaci6n
outpus
en eJ- affo 7.977,
de algunos
sobre
Los
76-
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
Rometo estudja
paran€tros,
indices
gue
de
e-Z
aLgunos
regulan
J-a
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
de -un gsrbgecto como e7 pJazo de
rentabiTidad
]a
reLacion
Ja
o
beneficio-inversi6n
recuperaci6n,
de
interna
tasa
rendimiento.
primera
cuesti6n
trabajo
consistird
nuevo algoritmo,
en
una
pot
diversos
cuestjdn
para
cartera,
nos
que
un
de
un
jnteres
eJ
a
indica
7a
gue
Ia
este
en la
formaci6n
cuga
fu6 7a dq
de
racional
todo.
minimo riesgo,
con
de
de
creaci6n
Suarez (1.953),
conducta
trabajo
( I .952 )
l{arkowit.z
ganancia
mdxina
de resolver,
investigado.res.
remontamos
un modeJ,o para
creando
rigurosa
obtenci6n
l-a toma de decisiones
desea
a
sometida
que han pJanteado g tratado
aportaci6n,como
invezsor
ld
ademds, de su comptobaci6n empitica
de forma expTicita
recogez
7a
de justjficar
tener
principal
no,
generaT,
manera
de
Nuestro
estudio.
cuadrdtica
caminos, djversos
A.fin
una
si
este
-Zrnea-Zes.
soTo de
No se trata
pueda
funci6n
una
de restricciones
conjunto
en
anaLizar,
en
de
sensrb:7idad
resolver
a
nos encontramos con La
con el A.S.
uniendo ]a P.Q.
cartera
de
l[arkowitz,
de
en
que
una
vafores |ptina.
tener
Las
dos maneras a-Iternativas,
una
cartera
mientras
7a
en 7a prinera
inversi6n.
se
eficiente
efectuada,
se pretelndia
en
77-
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
7a
segin
diferenciaban
nininizar
el- riesgo
segunda
se
de
trataba
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
principal-mente
su
maximizar
rentabiJ..idad.
En-' ambos
eJ probJe.na se pTantea.ba de manera gue
casos,
de estudio
objeto
de
de
era cuadrd.tica,
TineaLes;
restricciones
Paramdtrica
Programaci6n Cuadrdtica
En
posteriores
affos
puntos
djstjntos
(7.957),
(1.958)
Tobin
modeTo de l4arkowitz,
ante
tema
un conjunto
un
caso
es estudiado
Podemos citar
plantea
f uncion
de
t P.Q.P. l.
este
vista.
de
par
afectada
estamos
La
a
una extensi6n
Bierwag
Togica deL
(1.959)
e incJuso l"Iarkowitz
bajo
presenta
con magor detaLJe su pJ-anteaniento iniciaT.
partir
A
de
publicados
trabajos
interesante
nodel"o.
( 1.962 )
Farrar
util-idad,
obtiene
eu€
esta
fecha
han srdo
gue
amplian
g
obtiene
dif iere
.Sharpe
diferente
pTanteamiento,
una
extension
flester
(1.968),
un
del
una sinplificaci6n
(7.963),
(7.967),
perfeccionan
Cheng (7.952),
Asi,
y
Clarkson
pata
ndtodo
de
l[arkowitz,
I4ichaelsen (7.967),
La
Arrow
aungue can
desarroJ-J.aron de forma
d.el- modeJ-o de Ilarkowitz ,
(7.962),
S h a r p e ( I . 9 6 3)
(7.965),
Lintner
tan
maximizar
de tr[arkowitz ,
def nodelo
(7.964)
innumera.bJes -Zos
exhaustiva
Friend
Bierman (1.968),
( 7 . g 6 5) ,
BJume
etc.
Tanto
pretendieror?
Levg-Sarnat
medir el
(7.975)
como Biger
impacto del riesgo
7a compazaci5n de -Zas carteras
- 18
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
(1.979)
de cambio mediante
internacionaLes
eficientes
a
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
gue se enfrentan
jnversores
dado un saLto importanto
de
paises.
distintos
7o conocido
a7 aplicar,
ha
5e
hasta este
momento, aJ- mercado internacional.
eJ
TrAs
matemAtica
g,
g
eontenido
"7a
sobre
e-Z
sobre
especiaTmente,
programacion
gue
interds
g de su
e-Z
perturbaci6n,
pasaJnos a . desctibir
econ6mico,
canpo
er? e7
tjene
hecho
probTemas cuadrdticos
de los
estudio
andiis js
estructu racion
este
de
el-
trabajo
de
investigaciSn.
En
-T recogemos alg.unas Def iniciones,
CapituTo
eJ
Teoremas g Lemas referentes
Convexa
jnteresantes
J.os
citando\
LP.Q.C.l,
l-ineaLes.
A
presentantos e-l problema General
Paramdtrico
de
de
Cuadrdtica
Convexa
parametrizada
partida,
sonetida
parametrizadas
finn
de
nuLtiplicadores
subconjunto
expresada
asocjados a
para
obteniendo,
g tomadas en iguaTdad,
-JOrrco,
fr
a un
dicha
-79-
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
el.
con
en
.de
una
F.O.
restriccjones
una soluci6n
funci6n
soTuci6n.
g
a seguir
Indicamos 7a netodologia
Restriccjones.
hipotesis
G.P.P.Q.C.I,
i
tf'.O. I g en Las constantes
pardmetro en 7a Funci1n Objetivo
Aa
aLgunos resuJtados
deslgualdad.es
f initos
Programaci6n
Jas
Programacion
de
de
s jstemas
de ias
g a su
a 7a dependencia g compatibiTidad
reTativos
continuaci6n
formas Cuadrd.ticas
probTena
PJ-anteamos eJ
Convexidad.
Cuadrdtica
a las
Por
factibLe
de
7os
iTtino,
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
yector
haTlado
soTo posible
no
sea,
para gue dste
g suficiente
necesarja
J-a condiciSn
indicanos
no,
si
ademds,
el.
6ptino.
Un probTema interesa-nte
eL
cdl-cuJ-o
perturba
dominio
deL
7a F.O.
tanto
de
Lrneales
iones
restrjcc
la
sometida
de
de
-Zas constantes
7as
EJ CapituTo II
de
sensjbj-lizaci6n
guet
algoritno
e-Z patd.metro
no
los
restrjcc
un
g
Una
del signo
resuJne
de
gue estd
compatibJe.
iones,
probJena
en
vaf ores
estd
en
de
toda
7a
de
7a
el
lemas
e-l signo
Obtenemos un
gue
doninio
nos
Partinos
g
estudio
de pasos g sienpre
a
halJado,
de la
g
nos
indica
-20-
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
aJguna,
TJegamos,
trds
para
Las
de su nuTtipJicador
de
necesarjos
a una Fase Q+L en 7a gue
computabTe,
Fase 7, en 7a
restricci6n
correspondiente
?eoremas
el
P.G.P.Q.C.
sonetida
etapas g estudiar
Lagrange asocjado,
te6rica
7as
€n funci5n
estd centrado
c a J . c u J . a m o s- t a s o - i u c i 6 n
djstintas
a
sea
en un nimero finito
tome
Y.O.
demostrar
e-Z conjunto
desj gualdad,
conduce a La soJuci6n 6ptina.
7a
gue
obtenida.
informaci6n
gue
g
de Jos casos posibles,
tabuLaci6n
g q'ue debe
de que e7 hessiano de 7a forma
cuadrdtica,
funci6n
deL pard.metro gue
variaci6n
positiva
sea definida
cuadrdtica
posteriorrnente.'
abotdado
como las restricciones,
La dobJe condici6n
verificar
es
7a
so7uci6n,
J-a finalizaci6n
deL
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
Algoritno.
Cada vector
subdominio
de
subdominios
77ena completamente eI dominio de partida.
g,
K,
En el. CaoituLo
de
concepto
pfanteados.
7a
serd iptino
uni6n
de
comenzamos habl ando
III
indicando
para
dar
obtenido
T6gicamente,
modeTo,
cotrespondiente,
capaz de
soJuci6n
pasar
so-lucjones
a
su
esguema
un mdtodo,
reafes
dichos
sobre
eL
iterativo
el- operativo,
problenas
a
en un
econ6micos
EnTazatnoscon Los modeTos de Inversi6n,
en -los
gue Las tdcnicas
matemdticas de programaci6n,
g en especial
Jas
permiten
anal-itico
P.Q.,
de
cuantjtatjvo
-a
conducen
-
formaci6n
a
7a hora de jnvertjr.
g e7 criterio
de decjsjones
7a
pJanteamiento
un
diversificaci6n
nediante
de
dicho
Cuando se
una
su
proporcionarnos.una
'del pardmetro
Por
en
tLtino
comprobaci6n
seffaLado
en La cua-l el. resu-ltado
la
apJicaci6n
si tuaciones
pr1ctica
eJ-
deL
importancia,
del
deL
ente
mundo
gue
para
matenetico
econ6mico.
si gui ente .'
21
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
con la
para
una
cal-cuLado trene
banda de variaci6n
se consetva
capituLo
aTgoritno
nos
optimizat
eLeccion de tituJos
es cuando eL aTgoritmo
aJ
r:.esgo
intenta
ca;rte;ra de valores,
apJicaci6n,
en La toma
de 7a Esperanza matemdtica,
de un portafoiios.
eJ- resu-7.tado,
El riesgo
g
Iv
abordamos
obtenido.
Ya
nosottos
ha77ado,
5ptimo.
tiene,
a
la
hemos
La
drstjntas
Comenzamos con el
caso
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
Volver al índice/Tornar a l'índex
partimos
de una siluaci6n
funci6n
rea-Z
expresada
sometida a un sistema
cuadrdtica
en una primera etapa,
modificar
sjn
a continuacion
gue
propias.
0,
restriccjones
no
vector
a minimizar,
al
g Las
negatividad
para cada subdoninio
eu€, existe
ef
K.
Obtenemos una banda de variacidn
en la
pardmetro
de7
de K un vectot
g optino.
factibJe
Un
e jempTo,
segundo
PortafoLios
sirve
para
Programa inforndtico
-Ios
comentarios
eJ
de
La
seJ.eccion
comprobar eJ Algoritmo
de
g apTicar
ut?
eJ
realizad.o.
Resumen g
Terminamos, con el
destaca
de
objetivo
obteniendo
La'funci6n
sensjbjJizamos
las
de restricciones
Ja funci6n
en cada subdominio deL doninio
soluci6n
iguaT
restrjcciones,
sus
una
y damos su sol-uci6n.
-Zrnea-les en forma de desigualdad,
paranetrizamos,
medrante
resul, tados
mds
sobre -Io real.izado
econ6micos.
- 22
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
ConcLusiones
aplicaci6n
se
hacidndose
sobresal ientes,
g su
donde
a
probJemas
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
CAPITULOI
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
ASPECTOS GENER?.jLES
1.].-
CONCEPTOS FUNDAUENTALESPREVIOS
Necesarjos
para eJ desarroLlo
aTgunas Definiciones
Los
conjuntos
en primer
damos
afgunas
Cuadrdtica
Convexa,
teoremas
rel.ativos
reLacjonados
FormuTamos,
Programacion Cuadrl.tica,
Lemas
g
?eoremas
La
finaLmente
condiciones
de compatibilidad
-ZjneaJes
(F.O.)
de desigualdad,
0,
a
gue nos permita
en
hallar
eJ optino
restricciones
R) vienen afectadas
previamente
conocet
r e s u - Zt a d o s r e i a t i v o s
a 7a consecuci6n
Funci6n
Convexa con eJ pardmetro
Cuadzdtica
-24
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
deL
La
consistjr
cuando t,anto 7a Funci6n
necesitamos
y Jas
lineaTes
Convexa sometida a
como sus restricciones(
par{.metro
n
dichos sistemas.
Puesto gruenue.stro probJema va
de una Funci1n Cuadrdtica
algunos
de una sofuci6n
existencia
para un sjsterna de desiguaLdades
de un algoritmo
Teorema de
abordar
dimensional
obtenci6n
bd.sicos,
eJ probTema de 7a Programaci6n
p4ra
a
con
g su convexidad.
e-Z Teorema de Farkas g ef
(7.957),
son
-1as f ormas
definiciones,
a continuaci6n,
trabajo
polildricos,
e7 problema de la
pfanteamos,
Khun*Tucker
g
convexos
7ugar,
este
g Teorema€ conocidos
sus propjedades
cuadrdticas,
de
optimo
Objetivo
por
un
algunos
de
tnicamente
una
en
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
7a Funci6n Objeti.vo,
constitugen
un
caso
deJ probJema generaT que ahora pJanteamos.
particul-ar
estos
tanto,
V gue
lP.Q.C.l
resu-l tados,
resumidos,
Por
son anaTizados en J-a
segunda parte de este capituLo.
EJ And.Tisis Te6rico
General- Paramdtrico
pardnetro
en
Restr:.ccjones
formuladas
Funci6n
(R),
planteado
es
y tras
en este capitulo
No se trata
Andl.isjs
en este
por
Convexo,
no de destacar
gue
te6ricanence
para
bas:cas
y
nuestro
una serie
con eJ
en
Las
por primera
estudio
son
de condiciones
del P.G.P.Q.C.
D E T T N T C T O N E SL,E T { A Sy T E O R E I , I A8SA 5 J C O 5
.
si
(f.O.1
Objetivo
obtenemos 7a soLuci6n teorica
7.2.-
ProbLema
deL
Cuadrd.tico Convexo lP.G.P.Q.c.)
hipotesis
Las
vez.
7a
S e n s r b r - Zi d a d
de
pueden
aguelTos
en nuestro
apartado
otra
parte
tnicamente,
encontrarse
conceptos
en
de hacer
un estudio
suficientemente
onitiendo
Bazaraa
deJ-
conocido,
-las demosttaciones
(7.979
7.986
),
gue fundamentaLmente vamos a necesitar
trabajo.
- 25 "-
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
1. 2. 7.-
C O N J U N T OC O N V E X O
un conjunto
puntos
dos
dados
X en E'11se Llana un conjunto
xf
g
Ixl.
+ ( 7 - f ) xZ e X
x2
de X,
convexo
para cada Ie
sj
10,71 se
verifica
1.2.2.-
C O N OC O N V E X O
una
Constitugen
importante
de
conjuntos
g s€ definen:
convexos,
Un
propiedad
cfase
cono
convexo
e
es
un conjunto
convexo con 7a
adicionaJ- de que
I x e C para cada x E C g cada f
Tomando l=
siempre
se puede observar
0,
contiene
otigen,
aL
ragos o semjrectas
( Ix
gue un
convexo
Sus elementos son todos Los
> 0 ) gue parten
; f
cono
deL origen.
CONJUNTOS POLIEDRTCOS Y CONOS PALIEDRICOS
7.2.3.-
Los conjuntos
representan
convexos
poliedrjcos
importantes
casos
g de conos convexos
-26
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
g
J.os
poTiddricos
conos
especiaJes
de
conjuntos
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
poliddrico
Un conjunto
nimero
finito
de
mediante
un s:stema deLtipo
que una ecuacjdn
que
tjene
mediante
.intersecci6n
7a
semiespacios.
dondeA
parte,
mx7. Por otra
es
puesto
se puede representar
finito
de desiguaTdades g /o
poTiedrico
es 7a intersecci6n
un nimero
un
desrgualdades,
como dos
poTiedrico
de
representar
Axs'b},
se puede escrrbr4
un conjunto
puede
5e
{x:
mxn y b es un vector
una matriz
se
es
ecuacjones
-linea]es.
[Jn
f inixo
cono
d.e semiespacios,
En
origen.
palabras,
otras
puede representat
matriz
7.2.4.-
cugos
como I x :
hiperpTanos
de un nrtmero
pasan por e7
C es un cono poTi{drico
A x < 0 ],
sj
se
en donde A es una
mxn.
DETTNTCTON
Las
funciones
papel impartante
f unciones
paramdtrico
de
problemas. de
hagamos una breve cita
Una funcion
gue es convexa si,
se satisface
manera
f
natural
optinizacion,
(xI,
para cualguier
x2,
-27-
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
en
e-7. andJ jsjs
de
ahi
gue
o propiedad.
xn) se dice
par de vectores
7a desjguaTdad siguiente:
Estas
optimizaci6n.
de alguna definicion
deL vector
desempeffan un
cincavas
en 7os probJ-emas de
surgen
de
g
convexas
xI,
x2,
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
t(
Ixt
+ (7 - t)x2 ) s t f(x1)+
Ina funci6n
f
(t
es c6ncava si,
r/ t(x2),
g
solo
v te [0,7]
si,
-
t
es
convexa.
7.2 .5. - DE'FINrCrON
Diremos gue 7a forma cuadrdtica
-
Definida
-
Semidefinid.a Posrtrya
Positiva
sj
*T B * > o-,
sj
*T B *
es
v x * O , x e Rn
*T B * > O ,
V xt
O, x e Rn.
7 .2 .6 . - LE|LA
La
forma
cuadrdtica
xt .B x es convexa sj
* T B x e s S e n i d . e fi n i d . a P o s i t i v a .
-28
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
g so-Zo sj
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
DETINICION
7.2.7._
Sea 5 un subconjunto de {,5
5e drce gue h es diferencjaDl.e
un vector
funci6n
V
f:
h(
en xl,
Tlanad.o
xf ),
Q, g sea h:5 -->R.
t
xl
e.int
S, si
exjste
gradiente,
vector
y
una
Rn
h(x) = h(xr)
para cada
+ Y h(xt)r
x € 5,
(x-x1) + ll
7in.
cuando
t
(xI;
x-xr ll t
x-x1)
(xt,
x-x1)
= 0
x--> x7
h se dice
La funcion
abierto
de 5,
51 c S,
sj
diferenciable
en un subconjunto
es diferenciabTe
para cada punto
de 51.
7.2.8.-
TEAREI{A
Sea 5 un subconjunto
*,
g
Entonces
sea
h
h.'
5
--->R
es convexa
no vacio,
abierto
g convexo de
una
funci6n
diferenciabTe
U
soTo si
V xl,
sj
verif ica
t t h(x2) - V h(xl))r
(xz - xI) > O
-29
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
x2 € 5,
en 5.
se
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
,
a__
And.loganente,
sj
hes
estri ctamente
ts x_2, x2 € S, con x 7 *
Sea
5
-->R.
int
un
no
subconjunto
si
exjste
vacio
nxn J,Tanadamatriz
f:
Y h (
un vector
de
xI
P,
sea
U
una
),
B
ffessrana,
en xI,
matriz
x1),
1
g
una
Rn
= h(xf)
(x-x|)
+ Y h(xl)T
para cada x E 5,
siendo
+ 1/2
t
7in.
x-*->
La funcion
subconjunto
diferenciabLe
h
se dice
abierto
(x-xt)r
A(x7) (x-xI)
+
(xt; x-x1)
+ llx- x1ll'r
un
7a
x7) > O
Se djce gue h es dos veces diferenciabJ.e
S,
sindtrica
h(x)
estrjctamente
DEFINICION
7.2.9._
funci6n
(xZ -
Y h(xt)lr
t Y h(x2)
xle
se verifica
sol-o
desigualdad.
anterior
h:5
x2,
g
convexa si
de
(xl;
x-x1) = 0.
x7
dos veces
S,
en cada punto de 5;.
-30-
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
Sl,
diferenciable
sj
es
dos
en
veces
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
1.2.70.-
TEORETLA
Sea 5 un subco.njunto no vacio,
*,
g sea
S --->
h:
h es convexa
Entonces,
x a 5, 7a matriz
7.2.77.*
g sea
5e verifica
f .-
veces
dos
g
cuando
h:
en
cuando, pata
.soLo
'5.
cada
positiva.
Hessiana es semidefinida
subconjunto no
vacio,
^5 -*->
veces
R dos
B es
def inida
abierto
tJ convexo d.e
diferenciabLe
positiua
x E S, entonces h es estrjctamente
en
5.
para .cada punto
convexa.
parte,
Por otra
l: es
estrictamente
hessjana
B es
convexa,
semidefinida
DEFINJCJON
Sea
h;Rn
tlinin.
sujetoa
estand.o 5 c nn.
-31
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
entonces
positiva
xeS.
7.2.72.-
diferenciabJ-e
gue:
7a matriz
5j
ff. - 5i
g convexo de
TEOREI,'IA
Sea 5 un
Rn ,
R
abierto
h(x)
x eS
7a
matriz
para cada punto
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
S u p o n g a m o sg u e
e 5 es una
"*
de7 probJ-ema. Ahora bjen;
o resuf tado posible
soluci6n
h(x)>h(x*),
Vx e 5,
entoncesxesuna
"*e5g
soLuci6n g7oba7 optina
o
sinplemente
soLuci6n 6ptina,
a) 5i
una soluci6n
de7 problema.
un e -
e S g exjste
"*
v x e 5 n Ng(x),
b) 5i
soLuci1n local
7.2.13.-
h(x)
>
h(** ),
w.(x),
entonces
tal
x
es
gu€,
una
ootima.
TEORET{A
Sea 5 un subconjunto
Rn, V
entorno sugo,
h: 5 --->
sea
Supongamos
probJema,
que
x*
abierto
g convexo de
R . Consj deremos eJ probJema:
I[inin.
h (x)
sujetoa
xe5.
es
una
soiuei6n
focaL
optina
def
€frtonces;
I.-
5j
h es convexa, **
f.I .-
5j
h es estrictamente
ci6n
no vacio,
us una sofuci6n
convexa,
gJabaT optina.
* 32 -
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
**
gTobaL 6ptina.
es La
rinica
sol.u-
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
CUADRATICA
PLANTEAI4IENTO DEL PROBLETLADE" PROGRAI\TACION
1. 3.-
lP.Q. j
Cuando 7a F.O.
Lrneales
restriccjones
un
caso particuTar
perturbar
nos encontTamos ante
de Programaci6n No LineaT
Programaci6n
primer
en
PLanteamos
CuadrAtica sometida a
de desjguaTdad,
denomina
se
sabido,
es una funci6n
Tugar'
para, en eL capituTo siguientet
probJema
general
perturbado
como es
(P.Q. ).
Cuadretica
problema
eJ
que,
P(xr0)
general
sjn
centrarnos
objeto
en e7
nuestro
de
estudio.
La
f ormul-acion
del
Programacion CuadrAtica,
tP.Q.l
siendo
nxn,
a
Ax
p V x vectores
b e s u n vector
conscanxes,
y
lP.Q.),
sin
perturbar,
de
vjene dada par:
(1.1)
g(x)=pTx+*xTpx
Minim
Sujeta
Probl-emat
nxf
mxf
AesLa
<
(r.2)
D
de *,
de
{,
matriz
B es una matriz
sjmdtrjca
l,lamad.o vector
de
de
-las restricciones
-Zas
de
dimensi6n mxn.
En aJ"gunos casos,
como en e7 problema de J-a sel"ecci6n
del
portafo|io
g en aTgunos problemas de 7a teoria
deJ
consufio;
eL
sjstema
( 1.2 )
- 33
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
estd
formado,
cTdsica
ademds
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
por
de
tratamiento
En 7a prd.etica
Lrnea-Zesde igualdad.
restrjcciones
supuesto
este
es
aJ- deL
similar
eJ-
caso
generaT.
exjsten
Si
PROBLEI"IA DE
EL
Las consi-
en (1.2).
deraremos inciuidas
1.4.-
de no negatividad
condiciones
LA PROGRAI4ACTONCUADRATICA CONVEXA
tP.Q.c.)
deL supuesto de gue 7a forma cuadrdtica
Partimos
positiva.
definida
programacion
En
pouinl.
sido
de la
introducciSn
de
trabajo.
De
(1.t1
acuerdo
(1.2)
con
pasa
a
Convexa
Cuadrdtica
enunciaremos
eJ
.
J.o
anterior,
ser
LP.Q.C.I.
Bajo
de
Farkas
Teotema
generaT,
Sufj ciente
a
fin
de obtener
paza gue un vector
l-Jamado P. Q.C. ,
sigu:.endo
e7 probTema anterior
problema
un
V eJ Teorema de Khun g Tucker (7.957),
caso
es de uso comrtn g
r e s u - l .t a d o s i n t e r e s a n t e s ,
enconttar
como puede comprobarse con La Jectura
estb
de Los aTgoritmos de
andh.sr.s
esta hipdtesis
cuadrdtica,
con ell-a ha
e-I
es
de
estas
(
(1.e68).
-34-
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
condiciones,
Baza'raa
7.986),
adaptado a
nuestro
una condici6n
x sea eJ vector
eI
Programaci6n
Necesarja
soJuci6n
esguema planteada
g
deJ-
par Eoot
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
F O & U W A C I O ND E L P . Q . C .
1.4.7.-
EI probTema pTanteado es ;
a
sujeta
g
simdtrica
definida
x
son vectores
Podemos
siguiente
positiva
de
{,
B
e s una
matriz
mx7 d e F m g
nxnt b es un vector
obtener
una
(1.4) ,
en
con
que
7o
equivaLente
f ormul-acion
de no negatividad
las condiciones
gue
podriamos
suponiamos
escr r bir
eJ
sjstena;
g(x1 =pTx+;xTBx
14inin.
Sujeta
a
A* de
otden
(7.3)
(1.s)
A*x < b*
x>
siendo
nxl
mxn, de Las restrjcciones.
A es La matriz
inclurdas
(1.4)
Axsb
d o n d . e_ p
separando
(7.3)
g(x)=pTx+lxTax
tlinim.
(7.6)
O'
k = m-n t
kxn ,
tl
5u
,*
h
tth
vector
kxl. de
Rk.
Reescrib imos ( 1 . 5 )
como:
A*x + rg = b* ,
g > o
- 35
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
(1.7)
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
g
siendo
un "vector
-Zas variables
de kxl
componentes,
positjvas
de holgura,
Ll-amado vector
de
o nuJas.
DE T'ARKAs
7.4 .2 . - TEOREI4A
para
E s t e t e o r a m a e s u n i m p o r t a n t e r e s u - Zt a d o g u e s e u s a
'condiciones
desarroJJ-ar Las
de optinaTidad de KhunTrata
Tucker.
de
7a
soluDi Tidad
de
dos
sistemas
de
ecuacjones y desiguaTdades, g se enuncja como sigue.
[Jno,
tiene
g
so76
tinot
de
-Zos dos sjstemas
siguientes
soLuci6n.
S:stema I
eTgso
Sistema 2
Ax=b
en donde A es una matriz
TanbiJn
puede enunciarse
gue Af y < O g bT rl s 0,
que A x = b,
g
g
bTrl>o
x>0
mxn dada, g b es un m-vector
dado.
un vector
g tal
como:
"Si exjste
entonces no exjste
un x >
O
tal.
teorema
nos
g recipocramente".
La intetpretaci6n
ge6metrica
J-ndtca que :
-36
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
de
este
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
E7
I
sisterna
( .g:
poTi6drico
( g:
soluci6n si
tiene
nT tJ > 0)
AT gs0)con
J- Ct
deL
el- s e m i e s p a c i o
abierto
g solo
soTucion si,
aJ cono genetado por
si,
l-as fiTas
e7 vectot
de A.
ADAPTADO
e N U E S ? R OP . Q . C .
T E O R E I TD
AE K H U N - T U C K E R
7.4.3.-
Reformulamos eJ- probTema
(1. 3)- (1. 5)- (1. 6) como:
(1.8)
g(z)=p*z+lzTBz
I,Iinin
Sujeto
-*w-Z
a
=
E
(1.e)
-*
A
(7.10 )
z>0
Ja s si g u i e ntes matr ices
u t i Ti za n d o
II
p* =
cono
no es vacia.
EJ sjstema 2 tjene
pertenece
intersecci6n
p
ll
il
0
-*
a=D
il
ll
ll ; z = ll
lt
ll
tl
il
tl
i
B*=
tl
tl
tl
B
0
0
il
II
il
-:t
E=
, *
(I .11)
g u e h e m o s e s c r j t o p * g z b a j o La forma
en
Las
de
n+k componentes,
componentes,
i
tl A*T II
tl
t.l
tl r ll
descompuestos en dos blogues de n g k
respectr vamente;
gue serd. definida
de vectores
positiva
B* es de orden
por serTo B por
de orden (n+k)xk.
-37-
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
(n+k) x (n+k)
hipotesjs;
E* es
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
rJ,
usar un vector
Vamos a
(n+k) x7,
descompuesto
an
llvll
u=
siendo
,
ll
lf
g
v
w
dos yectores
de
dimensiones
llwll
nxl
g kx7,
respectivamente.
Con estas
condiciones
e7 teorema
puede
fotmularse
modo:
del- siguiente
llxll
EJ
vectjr
=
z
ll
ll
es sotuci6n iteJ- p.e.C.
llv ll
cuand.o g
sofo
_ * T' Z
E
cuando
z
es factible,
es decjr.'
-*
A
(1.12)
z >.0
(7.r3)
=
llvll
g existe
un vector
u = ||
||
de n+k componentes, taL
que
ll w ll
u=o*+B*z+E*w>0
(1.14)
uTt = o
(1.7s)
38 '
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
La
la
utiLizando
forma siguiente.'
(1.16)
p+BxtA*Tw>0
(7.77 )
w=w20
Veanos',
condiciones
es decir
eue e7 punto candidato
Esto
se
conoce
con el
La segunda condici6n
de
estabTece,
debe ser
estas
como ga
factibJe;
- 1 : n e a - ? . e sd e J p r o b l e m a
Las restrjccjones
satisfacer
icado
signif
La primera
de optinaLidad.
pJanteado.
primaJ.
eJ
brevemente,
hemos indicadot
lidad
Jas
(7.77),
de 7as matrjces dadas por
patticulares
estructuras
bajo
(I .14) puede escrjbirse
condiciSn
nombre de factibilidad
es eg,uivalente
a 7a
factibi-
duaL, €D un'problema de P.L.
A
-Zos vectores
yarjab-Zes duaJes o
v g w se i.es conoce con eL nonbte
-las
cortespondientes
a
respectivamente.
La tJtina
de holgura
Las condicjones
para
primeramente
por dicha autor
g
convexidad)
pata
A
en
vamos
Estas condiciones
son
adecuadas
de
hipdtesis
E
a
cuanto a nuestro
39-
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
de
desarrolJ-adas
7a optimalidad.
cont.inuaci6n,
importantes,
en 7.'950.
(bajo
(1.6)
g
de optinaLidad
programas no LineaJ-es fudron
sufjcjentes
Lagrange
se conoce con eL nombre
condici6n
Kuhn*Tucker
de
(1.5)
-restricciones
conpJementaria.
necesarjas
nultiplicadores
vectores
de
resei-ar
trabajo
unos
resu-Ztados
se refiere,
de 7a
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
de -los sjsternas frnrtos
teoria
particular,
la
g
dependencia
muV
estudjo
compLeto
deL
mismo.
de desiglal.dades
(7.956),.
en
basdndose
a
guien
trabajos
obtuvo
precedentes
DE?TNICIONES
8A5TSA5
dependencia de Jas
de signo
cambio
de tango
r,
con
conceptos
aLgunos resu-ltados
concernientes
JineaLes,
desiguaTdades
r+l
e-Z
dependiente
necesjtamos
des:guaTdades,
a 7a
en
basadas
de algunos menores de un sjstema
ptecisat
fundamenta-les.
Supongamos un sjstema
de la
re-Zatjyas
Las desiguaJdades deJ
sjstemas
Cernikov
En
por l4inkowskg (1.896) g Farkas (1.901).
Antes de abordar
algunos
de
solre
en
resul.tados
importantes
7. 4. 4.-
a agueTTa cuestjones
compatibiTidad
yerse
-ljnea-Zes puede
reaTizados,
Jinea-l.es.
como a 7a dimensi6n de l-a soTuci6n
asi
sisterna,
Un
nos referjremos
de desigualdades
finito
de desiguaTdades Tineal,es
forma
+ djnxn+ aj
aj7x7 + aj2x2+
t - ^vn! ! i = 7 )
w
J-LrGt
..,
mt
- EI determinante
no vacio,
ajfu
a3e
R;
6 obtenjdo
de orden r de
col-umna de Los tdrmjnos
7a
en
2 0,
el- q'ue se
(1.18)
define:
bordeando un menor arbitrario,
matriz
--deJ- sjsterna
independientes
-40-
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
con
7a
de J.as desigualdades
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
g
fila
una
gue
siendo
est6.
Los
bordeado,
adjuntos
afiadida en eJ determinante
de
X
caracteristrca
caracteristjcos
adjuntos
sj
6,
6 * 0;
Un
adjunto
5e dice
consistente
determinante
sj
son
sistema
de Los eTementos de 7a
Jos
columna
6.
deL sistema
es e-Znrtmero de estos
cugo signo coincid.e con
si
si
deJ ntnero de ad juntos
gue un adjunto
este coincide
eJ.
signo
en J-a serje
de
$ = 0.
presenta un contraste
de mds de J.a nitad
'
del
g el nrtmero de contrastes
caracterjsticos
adjuntos
LJ-amado
caracterjstjcos
compTementarios aTgebraicos
La
€s
en el- menor
de-l sistema.
caractetistico
;
gue no se encuentre
de la matriz,
su signo no ds eJ
con signo.
caractetistico
con e-l signo
trene
de7
un signo
determinante
caracterisLico.
7 .4.5 . - DEPENDENCIA
DE
LAS
DESICUALDADES
DE UN
SISTEI'TA
.F'rNrro
Un
inc6gnitas
sistema
compatible
g de rango r,
caract'erjstica
es igual
de
r+L desigualdades
es depend.iente sr
a uno.
-47
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
g
sol-o
con n
sj
su
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
desiguaTdad J.ineal es .dependi.ente (subordinada)
lJna
sj,
siendo 6 * 0, posee un adjunto
o bien,
consjstente,
e7 caso en gue $ = 0, posee un adjunto
contTastado.
CONDTCIONES PERA LA EXISTENCIA Y COItPATIBILIDAD
7.4.5.-
en
DE
UNA SOLUCION N _ DIIIENSTONAI
Transcribimos,
a
importantes
teoremas
conjunto
pueden verse
cugas d.emostraciones
anteriormente
7a referencia
un
continuaci6i,
de
en
citada.
l
Teotema
E7
sjstema
tjene
estrjctas
carrespondiente
consjstente
(1.18 )
una.so-luci6n
sistema
( compatible
Un resuLtado
-l.:.nea-les no
desiguaLdades
de
n-dimensional
sj
desi gualdades
de
g soTo si
el-
estrjctas
es
E
).
jnteresa.nte,
g eom€tr i camente evi dente,
es e-Z siguiente:
La
homogeneo
de
consjstencia
asegura
desiguaLdades
7a
un
consistencia
no-homogdneo.
5u
cierto
-42
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
de
sjstema
de
reciproco
desiguaTdades
un
no
sistema
de
siernpre es
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
.'\\
de .l-a caractezistica
Usando -?.anotacion
de
desiguaLdades de rango r,
r+7
condici6n
del
se obtjene
sistema
7a siguiente
de compatibiTidad:
?eorerna 2
lJn sistema
inc6gnitas
si
g
sol-o
de
tango
una sofuci6n
sr.
r
con
no degenerada
caracteristica
su
n
X
es
de cero.
5i
o bien
g tjene
es compati ble
( n-dinensionaT)
distinta
de r+L desigualdades
- ? . ac a r a c t e r i s t i c a
e-l sistema
detetminante
es inconsistente
prdctica
es 6 *
caracteristico
soLuci6n degenerada, sj
EI
X del
siguiente
de decision
es ceto,
entonces
( contradictorio),
0,
o
bien
si
tjene
e-l
una
$ = 0.'
permite
teorema
de
sistema
7a
formuLar
conpatibilidad
o
una regla
no
sistema de desigualdades Ljneal.es g La construcci6n
de
un
de,
aJ
menos, una de sus soluciones.
Teorema 3
EJ 'sistema de desi guaTdades TineaLes
aj7x7*
aj2x2+
(1.7e)
*1inxn-aj<0
J
-43
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
con j
es
=7,2r.....m,
por
satisf echo
por
definido
-las
.todas
uno , cuaLguiera
formado por r de fas
La
> 0 es conpatib-le sr g so-Zo sj
de rango r
regla
tipo
(1.19)
s 0,
g enconttamos
del
d e rango
(f.19),
sjstema
coJ-umnas oue son tanbi4n
de un sjstema
es como sigue;
( 7 .19 ) ,
de7 sistema
uno de [os
menOTes,
de arden r
por
definidos
de
(1.19) t
cugos
coeficientes
cada
uno
desigualdades
de
coLumnas de c.
conteniendo
estan
estos
por
7as
7a
agueTTas
Para cada uno de esos menores tenemos un subsistema
sjsterna
r,
de orden r.
J-os menores no vacios
HaTlamos todos
matriz
3. -
La consistencja
EstabJ-ecemos e-Z rango de 7a matriz
por ejempTo c, no vacios
2.-
sistema
desiguaTdades -Zineal.es.
para decidir
que suponeJnos r
deJ
de sus subsjstemas
de desiguaTdades l-ineales del
7.-
soLuciones
deJ.
agueTTas desjgualdades
determinados en ef menot.
sustituimos
subsisternas
coxre.spondientes
ecuaci6nes
En
Las
en
iguaJdad.
4.-
H a T T a m o s7 a s o L u c i 6 n d e c a d a u n o d e
eso,S
sfsEemas
de
ecuaciones TineaLes.
5. - Sust ituimos
(1.Te).
sj
cada una de esas sof uciones
dicho
sistema
-44
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
es
en
e-Z sistema
compatihTe,
serd
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
por,
satjsfecho
ocurre
al
sj
no
entonces 'e-l sjstema es incompatibLe.
asi,
para eL sjstema
de consjstencia
La condici6n
puede venir
menost una de las soJuciones;
(7.79)
dada como siguei
Teorema 4
una
sjstema de desigualdades
> 0
rango r
no vacio
sea
g
necesaria
condiei6n
- lj n e a - l e s ,
conpatib-le
suficiente
para gue un
de7
(I .19 ) ,
es g,ue exista
un
de
detetminante
de orden r
I
c=
ail
ail;
;7. . . .
fl
J'-
I
airirl
= 7,2,....
t a L Q U e, p a r a t o d o j
I
(1.20)
I
I airir...:.....
aijij
tm,
aij;r
...
l-a condici6n
di
J
I
7
| ajril
ajyirajrl
c
I ajil
diir
se satisfaga.
satjsfechas
rl
I
I
. .m a t r i z
tipo
5j
J"
r =
m,
entonces
di
J
> o
I
e.stas
reJ-aciones
por cada uno de Los menores s, no vacios,
deL sistema
( 1 . . 7 9) .
(1.27)
son
de fa
E
45
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
E7
formado
matriz
determinante
al- bordear
algrtn
determinante
cuenta
acompaffante
determinante
f iTas
sus
rnenor
recjbe
detecha,
tdrminos
nombre
eL
de
acomoafiante o comDafrero de o.
determinante
el.
la
de 7a
arbitraria
g con Los correspondjentes
por
ind.ependientes,
entre
menor s con una fiTa
por abajo,
A,
5j
ef
(7.20),
que aparece en 7a expresi6n
rndj.ces
repetidos,
(1.20);
es innediato
eJ sigurente
tjene
LJ-ama
se
(1.19),
def inici6n
De acuerdo con esta
c.
entonces
deJ sjstema
caracteristico
ct no
de
bordeando
g tenjendo
en
teorema
Teorema 5
.
es
Un sjstema
conpatible
menort
s,
sj
de desj guaTdades TineaLes de rango r
g sofo sj
no vacio
de orden r
acompaffantes en e-l sjstema
mismo signo
su matriz
o
gue este menor.
tiene,
taL gue
son igual
( A este
>
aL menosr
0
ufr
detetminantes
sus
a cero,
o poseen eJ
menor se I e
llama
un
que
eJ-
"nudo" def sjstema ).
5j
e7 rango deJ
sistema
(1.19)
es
menor
nimero m de sus desigualdailes,
e n t o n c e s s e s u e - Ze h a b J a r d e
e-l determinante
deI
caracteristico
menor en cuesti6n.
-45
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
sistema
bordeando
eL
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
a\
Teorema 6
d e d e s i g u a L d a d e s - Z j n e a - Z e se s c o m p a t i b J e
IJn sjstema
si
u so-Zo si
tiene
aL menos un ttnudo".
R e g J - ap a r a s e l e c c i o n a r
l.-
7os "nudos'l
sjsterna
deJ
de desiguaLdades -lrneaJes (1.19 ) .
c de orden r;
un menor no vacio
3. -
7a
nudos
-los
todos
Encontramos
(
nudo
algun
relaci6n
guedan,
tras
nudo s,2 * oJ.
tenrendo
en
g
primera seTecci6n,
esta
el
tepetimos
cuenta
7a
regJa
nudos gue permanece despuds de
satisface
-Zas condiciones
Pasemos
ahora
a
para e-l estudio
Para
estticta.
en una desigualdad
proceso
de
descrita.
todas
(7.21 ) g
contengan
J.as cuaJ.es al. rnenoi una de Jas rel.acjones
convierte
necesarios
que
Knots ) de7 sjstema
escribimos 7a
";
el-iminamos todos agueTTos nudos gue no
gue
A
gu€ son menores de X!.
Para
para
matriz
-Las co-7.urnnasde ese Jnenor c.
contiene
(1.19)
Exjste
estabLecemos La matriz
formada por Jas r coJuJnnas de
XT,
2.-
gue suponemos r)0,
Determinamos e-Z rango de 7a matriz,
Jas
fiTas
(7.2U
"..
-Zos nudos
eTeginos otro
eTininaci6n,
E7 sistema de
eLiminacjones
dadas. a
resurnjr
algunos
gue nos ocupa.
47-
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
Teoremas g Lemas
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
ANAITSTS :TEORICO DE LA
DEL
SENSIBILIDAD
PROBLEIIA
GENERAL
CONVEYO CON EL PARATYETROEN LA FUNCION ABJETM
CUADRATICO
Y EN LAS CONSTANTESDE LAS RESTRICCIONES.
de
Partimos
sens:bj-Zidad
n6.s
de un probJema
citamos
importantes
Pretendemos
a
sujeta
de n
un
7.5_
de dicho
de
resu-Ztados
debido a qrue nos
e7 caso generaT
de
trabajo.
minimo
de
una
funciSn
que depende de un pardmetro e ,
variables,
de
restrj
m
la
de estudiar
con objeto
funcion
ef
encontrar
sjstema
cugos
para abordar
cciones
en eJ. gue sus, constantes
desigualdad
de A,
cuadrdtico,
en e-Z gue centramos este
sensjbjl.idad
an6.7isis
de
a continuaci6n,
sr.ryen de punto de partida
cuadrdtica
particuTar
caso
un
Lineales
dependen,
variabiJ-idad
asi
de
mismo,
del- 6ptino
en
pardmetro.
FORI'IULACION DEL PROBLEI,IA
Como ga hemos indicado,
sometida
cuadrAtica,
Tineal-es,
pero
coeficientes
restriccjones
a
un
ineidiendo
sjstema
Ja
en
de una deterninada
Sin perdida
de
va
a
restricciones
parametrizaci6n
variabJe
de generalidad,
lineaLes
investigaci6n
de 7a sensiDil idad de una funcion
eJ. estudia
desarroTTar
nuestra
xi,
i=7,2, . . .,n.
supondremos esc.rjtas
en"forma de desiguaTdad.
-48
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
de -Zos
5j
-las
aLguna
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
restrjcci6n
es
viene dada en forma de iguaTdad,
m6.s gue
un
caso partrcular
e7 probJema no
del. gue vaaos a resolver,
puds es bien sabido gue toda igualdad puede sustjtuirse
por
dos desrgualdades de signo opuesto, Bazaraa (1.986).
La formuJ-acion de este probfema serd;
P . G . P . Q . C . : P r o b l e m a G e n e r a J -Parandtrico
Cuadrdtico
Convexo
con un Pard.metro e n 7 a F u n c i 6 n O b j e t i v o
g en -las
Constantes de Las Restri cciones.
g(x,Q)
14inin.
Sujeto
= (p+Ap*)T* + I/2
*T1a*ea*1*
'
Ax<b+0b*
a
(7.22)
(1.23)
Siendo;
g, parl.metro
reaL gue afecta
de -Zas variab-les de La F.O.,
las
restri
B,
matriz
p
x,
A,
matriz
a -Zos coeficientes
xi,
de
g a las constantes
una
de
cciones.
simetrica
veccores
positiva
definida
nxl
de
Rn.
de Los coeficientes
son funciones
continuas
de x,
-49-
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
d e d J-mensJ-on nxn .
de -1as restrj
ceiones,
:.
ae aJ-mensJ-on mxn.
gue
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
-
b,
-
p*,
vector
de
la
vector
de Las constantes
de dinension
gue
-
vector
B* ,
todos
ocupa
de
el.
j,
iugar
p*j
e R
elementos
j
a 7a fila
B * = a e ?j + e j a ! ,
decjr;
e R.
g
nulos
ll
m
e' j=(0r...
at
(7.24)
ll
2rj
aI
'
o ll
o ll
az
an ll
tl
ll o
centraremos
Es decir
por tanto.'
rf ,...,0),
il
p*T = p*
excepci6n de 7os
g coTunna j.
lt
B*=
a
s i e n d . o a T = ( a . ., & 2 , . . , r ; , p ) ,
ll o
ll o
asi mismo:
es
Jas pert urbaciones de d.inensi6n nxn gue
sus
correspondientes
ai
Rm.
mx| de nm.
matriz
tiene
de
nxl cuVas componentes son nulas a excepci6n
p*T = (0,0,...rp*j,...ro),
b*,
mxl
an
r0)
i(0,...,7,...
nuestro
o ll
an'Tjsjs
a7
caso
en
gue La
Definida Positiva,
7o gue en virtud.
""a
y 7.2.73.,
nos'permite a afirmar
-7os teoremas 7.2.77.
matriz
B + 0B*
= p* j.T j
exrstencia
de un 6ptino
g7oba7 inico.
-50-
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
de
7a
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
7.5.7.
N O T A C I O N E SA U T I L I Z A R
Las
notaciones
siguientes
serdn
en eJ desarro-l7o de este
frecuencia
utiTizadas
trabajo:
I.-
K1 ={OeR/
B +eB*.rdefinid.apositiva
rr.-
K2=
Ax
III.-
K = Kf n K2 , dominio de definicion
VI.-
S c
{geR/
{
.7,2,...,il
restricciones
de
<b+Ob*
es
},
(1.23).
con
sea
un
i
conpatible
de7 pardmetro
subconjunto
Podria
}
de
Jas
m
ser un subconjunto
inpropio.
V.-
L J - a m a r e m o sP r o b l e m a G e n e r a L ( p C S ) a
ILininizar
{ g(x,B)
I
shTv 3 b\r+. Ib*U, h e S }
Siendo.'
-
uhT Lo, vectores
-
bh+ lb*h,
fila
d.e l-a matriz
A
he S, -Zas componentes correspo.ndientes
vector b + gb*.
-51
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
deJ-
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
I4ETODALOGIA E HIPOTESIS
7.6._
I " T E T O D O L O G ID
AE L T R A B A J O
7.6.1._
llna vez defini.do con toda
era
alcanzar,
nos
gue
resoJ-vian
utiTizando
problema
el.
d.e
sin parametrizar;
aungue estas
propuesto,
tenian
todas
en
gue
g 769icas,
algoritmos
optimizar
dicha
f uncion
fin
ninguna de
de La forma cuadrl.tiea.
decidimos
n
de 4os ndtodos
Ja filosofia
conocidos
conseguian eJ
intentarJo
de TheiT y Van de Panne.
eJ algoritmo
seguir
a
sensjbj-Z izaci6n
un denominador comrtn,
nosbtros
esto,
La
tdcnicas
eJ hessiano
e-l-las Darametrizaba
Ante
racional-es
habian abordado
funci6,n cuadrdtica
una
fases
mediante
ATgunos autores
de
objetivo
Lo que nos habiamos pfanteado.
a tdrmino
llevar
eJ
pensar en una metodologia
inprescindibTe
para,
sjryjera
cLaridad
basiindonos
El,Io nos J"Jev6 a
de restricciones
activas
de ]a P.Q.
5e
de
conjunto
restricciones
de
conjunto
iguaTdad g tal
6ptino
(1.2i);
.q
I
puds,
trataba,
x'
de
resoJver
S,
fuera
restricciones
eu€,
eJ vector
haria
minimo
por tanto
xf
subprobJemas cugo
un
subconjunto
oreginales
verificadas
soluci6n *5 fu.ta
(1.22 )
= xn = vector
-52
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
bajo
optino).
posibJe
dej
en
g
-Zas condiciones
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
7 .6 .2 . _ HIPOTESTS BASTCAS PARA E'SfE gSTUDIO
Trabajaremos con las
'
Hipotesis
'l-: Ht
EJ rango de 7a matriz
representamos
.
.
por
de las restrjcciones
O 7o q'ue es 7o mismo,
Los vectores
de -las 5 restriccjones
s u b c o nj u n t o s
posibTes,
pendientes.
de S, gue
A5, ha de ser conpTeto.
coeficientes
trata
hipotesjs.'
siguientes
Esta
serdn
activas,
siempre
es
hrpotesrs
formados por
usuaf
7os
de todos -Zos
:nde-
Lineal.mente
hacerTa
c u a n d . os e
problemas de P.Q,
de sensjbiTizar
7 .6.2 .7 . - LEI'IA
7a
Bajo
Lagrange
(
restricciones
o
Hipotesis
Los
duaf es
variables
actjvas,
Hl,
existen
g
directa
del
),
son
nuTtiplicadores
asociados
a
Las
de
^5
r i nj c o s .
. Demostracion:
Es consecuencia
Bas{.ndonos en
restriccjones
7a
propias
Teorema de Khun g fucker.n
terminoTogia
a
aqueTTas
-53-
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
c76sica,
distintas
TLamaremos
de
Las
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
condiciones
inclujdas
totaJ- de rest.ricciones,
propias
de restrjccjones
nimero
Puesto.que m es
de ho negatividad.
-Zas de no negatividad,
gue eJ ntmero de variabTes,
Aungue
muttipl icador
el-
propias
otros,
entre
del
cdTcuTo
numerosos autores,
unas
incLujmos a' continuacion
imprescind:.b-Zes para nuestro
iguaJ
€s
vector
se refiere,
Boot
(1.968)
gue
tal- su importancia
sucjntas
posterior
y
peto
referencias,
desarroTTo.
. CTIVAS
P R O B L E I 4 AC O N S R E S T R I C C I O N E SA
en
Hemos indicado
haTLaremos el. vector
sean
pernitirdn
7a
metodologia
de partida,
bajo forma de igualdad,
inconpat:b-Zes
g
obtener eJ vector
su
-54
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
de
maneta
gue
con 7a condici6n
rango
6ptino.
de trabajo
gue
tomando un subconjunto
x5,
soluci6n,
de l-as m restriccjones
escribirlas
no
g
er cuanto a P. N..L.
d.e Lagrange,
(1.979)
es menor 6
m-n < n.
es decir:
concepto
desaruo-l.Lado por
Bazaraa
S,
e-Z
vendrd dado por m-n.
EL nrtmero de restriccjones
7.7..
nimero
2 (Hz)
Hipotesis
ha sido
e-l
sea
eompTeto,
aJ
de que
nos
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
E7'.problema
en eJ caso particular
se ha transformado
siguiente;
g(x,O)
Ilinin.
= ( p + e p * ) T * + 7 / 2 x f ( B + g B *) x
(7.25)
ASx=bS+eb*S
Sujetoa
Siendo
- 45 una suDmatriz
un
bg
vectot
kxn de l'a natriz
- b. *^ 5 u . n v e c t o r
en e-l vector
kx7 contenido
a - Z . a sr e s t r i c c i o n e s
diente
,*
kx7 de'b-,
A.
b
g correspon-
actjvas.
gue depende de -las restricciones
tomadas.
1.7.1_
EXPRESTON DE
LOS
ItWTIPLICADORES
DE LAGRANGE EN
NUESTRO PROBLEI{A DE SENSIBILTZACION
Como es bjen
cuaTquier
vector
por
t.
signo
problema
sabido,
de
de
las
variables
a
programaci6n,
de -los nuJtipTicadores
Vamos a mostrar
asociado
l-a
ex:ste
sol-uci6n
e-l
de
TTamado
de Lagrange gue denotaremos
La relaci6n
que
existe
entre
ei
de Lagrange g e-Z hecho de que se
cumplan o no -Zas restricciones
- 55
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
activas
tomadas.
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
4a,.,
Ei cAJcuTo de los
vaJ-ores I
se
faciJ-mente
obtiene
reso-i.viendo eJ sistema
Vxg(x,O)+AfI=O
= Vx 9 (x,
0p*) + ( B + e B*)
( p *
con
g entre
Veamos ahora uJ?os teoremas t
Base,
gue nos dan La Cond.ici6n Necesaria
La
exjstencia
no
serd
de un punto optino.
simpJemente
restriccjones
activas,
se
7.7.2.-
g Suficiente
verif ican
si
sino
interrogarnos
para
de decisi6n
o
-Zas
n6
deL signo
a cerca
de Lagrange corzespondjentes.
E L V E C T A RS O L U C T O NX s ( e )
E m p e c e m o sc a L c u l a n d o e J v e c t o r
eJ probJema (7.25),
=
Q(x,\,0)
-
estando sonetida
activas.
5 restrjcciones
soluci6n
gue ninimiza
La funci6n
objetivo
a
Consideramos eJ Lagrangiano
(p+Qp*)*
+J-
+ tsriAs
x-
despuds de diferenciar
(p *
eJ-Zos eJ de La
EJ criterio
ver
gue toman los muLtipTicadores
e)
/2 xT(B + eB*)* *
( b5+ 0b*5)J
(1.25)
e iguaTar a cero se obtjene
6pn) + (B + lBn)*s(e)
+ ATg(e) 15= o
-56
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
(1.27)
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
es *5fe,
De (1.27)
(1.28 )
bS+ Ob's
deducimos el- vaLar del
vector
soTuci6n
(B + ea* 1-7 f,(p * o p * ) * A T s t s f e ; 1 =
= * 0 ( o ) - ( g + g n * )-r
+ 8 B *) - 1 ( p *
siendo*i(e)=-(B
sin
o p *) J a s o l , u c i 6 n d e ( 1 . 2 2 )
l-a
igualdad
(1.28),
fos muJ-tipTicadozes de
Lagrange
rsfo/
Teniendo en
por 7a izguierda,
=
para
cuenta
en (1.29) por 7a matriz
A5 x0 (o) - 45 t(a +
As *Sfo/ =
g
(1.2e)
sometido a restrj cci6n aTguna.
estar
obtener
ars rsre,t
vatnos a
operames,
AS, TTegando a
oa*1-l uru rsre)l
(1.30)
b s+ 0b*s
introducimos
simpJificar,
una
notaci6n
especiaJ
tJamanao
fs = As (B '+ oa* 1-7 a?s
gue
exjste)
matziz
una
serd
debid'o
rango de fiTas
( a + 0 " 8 *) '
""
a]
sindtrica
hecho
de La matriz
definida
(1 . 31)
positiva
( x-ts
de gue consideramos compTeto eJ
Ag ( hipotesis
def inida positiva.
-57-
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
IflJ 9la
matriz
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
viene d.ada por
7a expresi6n d.e fsfe/
Por {|tinio,
r s f e ) = y - l s t a s * Q ( e ) - = ( b s + 0 b * 5 )1
con l-o gue e7 vector'sofucion
seta, al
(1.32)
en (7.27):
sustitujr
* s ( e ) = * Q ( e ) - ( s + o B *) - 7 e T s y - l s t e 5 x 0 1 9 / - ( b s + 0 b * 5 / I
'
Ya
e17o
soTo
queda
l-Jamemos
diTucidar
aJ
W
S tJ W = {j,
g puesto
que
suponiendo
7a
de
queremos
restricciones
snw=0
Las
sj
f g)
"5
restricciones
comprobar
de
Para
€s decir
m}
2,...,
matriz
*s (g) es posibJe.
sj
subconjunto
conpJementarjas de 5 en (1.23),
(7.i3)
.es'
posible,
dividida
en
bJog'ues As y Aw, se deber6' vetificar
+ 0 B * ) - L a T sr s f e , )< ( b w * l b * s )
aw *s(e) = Aw *4(e) - A1a(B
ria
:, **
rt
zntti
A s ( B + o B * ) - 7 e T sr s f o ; > A s * Q ( e ) - ( b w 1 b * s )
(1.34 )
Evidentemente
ningin
Jas
restrj
cciones
probTema en l-o gue concierne
solucion
sea posrbJe ga que
al
as xsfg/
- 58 -
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
de
hecho
S no
de
- bs* 0b*s.
plantean
que
J-a
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
Ll-amaremos
restrj
re W,
q.ue
su vector
optino
hemos
asociado
por
Las
g
el
g
r5+rr f e/ .
al. conjunto
resul.tante
serd.n, Tespectivamente,
nuJti-
te S,
15-tt f 0/
a7
vector
-la
vector
optino. asociado
a su
"5-t
d.e -Zas variables
de Lagrange
rl
corresponde a -Za restr
EJ
Teorema
nueva
de suprimir
ll.amaremos 5-t
restrieciin
*s+r
5
7a
adicionado
de Lagrange correspon_diente a fa restriccion
pJicador
r
formado
conjunto
aJ-
activas
cciones
restricci6n
aJ-
5+t
gue hemos suprimido.
iccion
gue
gue
vemos a continuaci6n
en cierto
€s,
deL Teorema de Kuhn-Tucker.
modo, una refornuLaci6n
DE LA BASE
7 .7 .3 . _ TEOREILA
Partimos
Las
de dos conjuntos
restriccjones
de (1.23).
complementarios
te 5 g gue eJ rango de
matriz
en
5e verifica
W de
S u p o n e r n o sg u e J a r e s t r i c c i 6 n
re W g 7a restricci6n
descompuesta
S g
bTogues ( AS,
fiJas
de
a7 )T es compJeto.
que
ar x5
b r + obr
sj
g soJo sj
r5+rrro) > o
II
aT * 5 =
br + Obr
sl
g soTo si
0
III
dr xS .
br * Qbr
sr. g soTo si
0
-59-
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
7a
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
t'4.-.
o bien
I1
q-f
.
rs1(01 > O sj g soTo s-l a2
q-f
.
rrt
r 5 1( o ) = o
sj g soTo
sl
TIIT
lr1(0/<0
sjgsoTo
sf
b2 + 0b2
b2 + 0D1
a2
,
at
x'
q-f
b1 + 0b6
Demostraci6n
La
de
demostracion
puede encontrarse
g
matrices
en Boot(
97-707)
7,968,
nuJtipLicadores
aJ
dependiendo,
e,s decir
encontramos,
teorema g deL siguiente,
este
caso
-1as
adaptando
en
eL
gue
nos
de un pardmetro
ambos,
g.
La
soluci6n *5fgJ no
vector
cuando
se
objetivo
de
trate
sometida
iguaTdad,
7d
a
r,
Las
e-l
minimo
restriccjones
5+r
re
decir,
W,
de l-a funci6n
tomad.as en
de Lagrange asociada
'
es positiva.
guerria
IIIT
el
a
and.Togamente,
l-a variabl-e de Lagrange asociada a Ja restricci6n
sj
c
Irt(O/,
vecto.r xs-t
que
enconttar
\s+rr(O),
La proposici6n
te S,
J-a restricci6n
verifica
si
componente del- vector
esa restricciln
gue:
por ejemplor. es:
de7 caso. I,
interpretacion
dicho
€s negativa,
trds
suprimir
vector
entonces se puede obtenet
en 5 Ja rest.iricci6n
satisface
suprimido.
-60-
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
La
restricci6n
eJ
t g eomprobar
gue
hemos
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
La
en
degeneracion
Panne se produce
en lo9
e s t e n d t o d o de TheiT
g II7,
casos II
g Vann de
suponernos g'ue escoS
d o s c a s o s s e e x c l u g e n g , e n a u s e n c i a d e degeneraci6n,
a dar
oue nos garantiza
una condici6n
7a exrstencra
vatnos
de
una
soLuci6n optina.
7.7.4.-
TEOREMA:
CONDICION
TV.SCESARIA DE
SUFICIENTE
OPTIILALIDAD
Suficiente
5i
*s (g )
es
un
vector posible
muJtipTicador asociado es posi tivo,
g si,
I'fe/
>
ademds,
0,
eJ
entonces
*s (e) es 6ptimo.
Necesaria
5i *s(e) es
una
gtJ
restricci6n
te
-q
0,
negativo,
\'7(0)
vector
S,
factibTe
el
pero,
para af
nuJtjpl icador
menos
asociado
es
entonces xS (A)no es eI 6ptino.
Demostraci6n
An6.7oga a
cuenta
7a
Jas condiciones
dada
pot
especiales
nos movemos.
Boot(1.958) ,
teniendo en
de sensibiJizacion
en gue
B
j6I-
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
Antes
pf1
pasar aJ punto siguiente
e-l caso especial
Si
no
de
fa
de degeneraci6n
un importante
suponemos gue se ha excluido
g necesaria
sufjcjente
de optinaTidad
Teorema.
7a dependencia
puede reformufat
sc
degeneracion,
vanos a resefrar,
fas
pero
condiciones
dadas en
e7
Teorema
de Ja manera siguiente.'
7 .7 .4.
CONDICION SUFICIENTE Y NECESARTADE OPTIILALIDAD.
7.7.5._
CASO DE DEGENERACION
Suficiente
5j
e-l vector
2 0,
Ist(e/
*5(U
es posibJe
g si
e-Z nuJtiplicad.or
es 6ptino.
entonces *s(g)
Necesaria
Aungue esta condici6n
dado
en
Teorema
e-l
se mantiene taL g como
anterior,
s€
puede refotmul-ar
ha
se
como
si gue .'
si
fs1(0/
1 0,
bi6n *sfe)
S:,
eJ vector *S (g) es posib 7e pero eJ muLtipJicador
para'al- menos una restriccion
no es el. 6ptino,
con igual
o biln
exjste
nrtmero de eLementos que S,
*5*=*5=6ptimo
-62
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
t
e 5,
un
tai
entonces
o
subconjunto
gue lJ-
> 0 g
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
los
Resumimos,
siguiente
Teoremas anteriormente
citados,
en
7a
TabTa I
TABLA I
llll
I
I
I
I
Condici6n
Suficiente
condicion
I
I
ivecesar.ra
I
tl
ll
I
I
sin
I
1 xs re) factible
==>
l5>o
lY
I oegeneraci6n I
|
|
I
xsfe,
I
Ist.
factibte
O, te 5 ==)
I
I
,l
.frel=oPrrl^o
*s(o)*oPrrlqo
I
;
xsfe,/
factible
I
|
t51.
O, te5==>
I
|
tl
tl
llll
I,lll
I
con
|
|
| g
l}egeneraci6n
|
|
|
"s
(a)
factible
t5:
O
==>
,
|
*s(e)=oprrrro
rtll
rtll
-63
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
|
*s(g)*oprrlqo
t
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
J.;8.-
C A L C U L OD E L DAItLNIO DE DEEINICION
pro.bJema a resoiver,
EI
es haLfar
obvias,
nos
Esto
nos
soluci6n
lTeva
Tugar
conjunto
de
I/essjano
de la
vaLores
-los
todos
vaf ores
K;-,
es
para
0
decir,
ej
- Z o s .c u a - l e s e L
positiva,
es definida
q,ue estard. formado pot
gue
deJ- pardmetro
de desiguaTdades
EJ prinero
resue-Zto
Tinitaremos
a
nuest.ra
presenta
eJ
pertenecjentes
nos definirS.n
ambos dominios,
para
real.es
e,
Tineaies
hagan
-Zas
de
cciones.
- Los vaTores de e,
sido
de
caLculazemos K-2,
com-patible eJ sjstema
restri
haLLar
forma cuadrd.tica
a continuaci6n,
de7 parl.metro
K.
obtener
reafes
razones
dos subprobJemas cuVa
a considerar
necesitamos
g por
denotamos por K.
en 7.5.7.,
oermitirii
En primer
previamente
de definiciin
el. doninio
gu€, como hemos indicado
DEL PARATI{8?RO
de estos
Quesada R.
citar
agueTTos
jnves tigaci6n.
cdTcuJo de K2,
intersecci6n
c67cu7o de K1
(7.987),
r e s u - Zt a d o s
Otro
pues no
momento g, "por otra
desarroTl-o ' hemos encontrado
1a
matiz
por
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
,
hd
7o gue nos
imprescindibl-es
mug
distinto
conocenos que haga sido
partet
a travds
aTgunos resu-ltados
-64
de
K.
probJemas,
por
abordado hasta-eJ
a
de su
jnteresantes.
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
DE K7
CALCULO
7.8,7.-
gue trabajanos
Ya
+
B
e8*
gue
tiene
de gue 7a matriz
con 7a hip6tesis
yaJnos a ir
positiva,
def inida
ser
.asj
obTigando a gue todos sus menores principaTes,
determinante
principaT,
coeficientes
cl-ato
de
sean magores gue cero.
que
Recordando
dimensi6n
sensj.bjl. izar
vaziabJe
xi
jxj,
g,ue Jos de dinension
ga
en elLos el parl.netro
magores grue cero por
ser 7a matriz
B definida
-Zos
de l-a F.O.,
menot con eL gue trabajaremos
aJ. no intervenir
suga,
de
tratamos
de una deterninada
gue eJ ptimer
como su
€S
serd
inferior
e,
eL
a La
son todos
positiva,
pot
hio6tesis.
Necesrtamos
7a forma cuadrdtica
necesaria
cuadrdtica
conocer el
parametrizada,
g suficiente
DETERI{INANTE DE
de 7a matriz
asi cemo las
LA
de
condiciones
para gue eJ Hessiano de dicha
forma
positivo.
definido
sea
determinante
DE
I'IATRIZ
LA
FAR]4A
CUADRATICA
PARAIfETRIZADA
7.8.7.1.-
TEOREj/'IA
Llamando:
( i
= 712r...rfr
B
I
i
j
bij )
-
t
L,
= ( Bij):
;B-I
2, ...
-55
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
rD
);
tl / lsll
donde A1i
(aii)
representa
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
e7 adjunto
deJ elemento b1i,
de 7a matriz
t2 = aTB-7ej e R,
11 = a?B-l-a e R+,
B, g siendo
13 = eTjB-7ej
e R+
se verifica.:
- o'r1r31 =
l s + e . B * l= l s l t f r + 6 t 2 ) '
( 1 . 3 s)
= lalf fr'2-tll3/o'+
PA&4
NECESARTA
CONDICION
QUN
z I2o + tl
LA
CUADRATICA PARAIIETRIZADA SEA DEFINIDA
!r
ILATRIZ
DE
LA
FOAUA
POSITIVA
1 .8 .7.2 . - TEOREI'IA
- -- Cual-esguiera
matrices
vector
a g B-7,
utiTizado
t'2
grue sean J.as componentes reaJ.es de -Zas
defin:.das
hasta
- IlI.:
anteriormente,
ahora como tal,
g siendo ei
e-l
se verifica:
(1.35)
s 0
7.8.7.3.-TEORE|IA
Siendo fl.,
Teorema 7.8.7.7. ,
7.8.I.2.,
13 -Ios ndmeros reaLes
t2,
y
bajo
-Zas hipotesis
se verifica:
-66
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
def inidos
def
en e-?,
Teorema
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
aT =
(0r....,ajr...0),
aj*
Q 1===7 T'2-I-iI-:
= O
(1.37)
E
1.8.1.4.-TEOREI4A
Siendo
a,
r.-
*_
B-, ei
B,
Si
t'2
tl,
t2,
f3
7as matrjces
Los
numeros real,es
ga conocidas,
ya definidos
V
se verifica:
- ftf:
l - B+ e B * l > o ,
ye e[-r /t (ttt3)1/2+t2), r/t, (t1rr,irr-r2]]=(a7,
e2)
(1.38)
ff.-
5j
T'Z - I;.fS = 0, entonces
lr + oB'l u o,
fe e (-7/2t2,
+ @) = (Q3, + -)
con
( 7 . 3 e)
t2 > 0
o bien
ls + eg'l 7 o,
F0 e
(-
@,
t/2tZ)
=
(-
@r el)
-67-
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
con
t2
< 0
!!.
(1.40)
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
CONDICION
PARA
SUFICIENTE
LA
QUE
I4ATRIZ
DE
LA
FORI,IA
POSITIVA
CUADRATICA PARAI'IETRIZADA SEA DEFINIDA
TEOREI,IA
7.8.1.5.-
Sea:
(a + gB*)p
7a matriz
-
ak?' = (alr..
l-m
e^'i
t"r-o,
- Bk,
=
. rak),
€l
vector
(Or...rlr...0),
formado por 7as k
de
gue
vafe
de esta
fa matriz
By..
= akrB-J'kak = xks=lf,ks=1asarBk""
- Ik-i = .kTia-l*ej
= E ki = J a i } k i j
= Bkjj
> O
-68
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
primeras
fiTas
g
rtLtina.
j=7,...k,
i=7,...,k,
todas
uno.
una submatriz de B fornad.a por 7as k
t k z = a k T B - 7 k e kj
primeras
de k componentes,
eJ- vector
saJ-vo Ja d.e Tugar j
B-7k = (Bkij),
- Ikl
< k I n,
a.
7as k primeras.coiunnas
-
j
( B + g a *) .
componentes del vector
-
de d.inensi6n kxk,
unu submatriz
> o
jnyersa
de
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
BaSo estas
condiciones
se verifica:
lfa + oB*)kl = larltl(tkz)"-
rk1tk3J0' + 2tk20 + I
l
E
(7.41)
1.8.7.5.-
COROLARTO
Bajo 7as hipotesjs
- Iklfk:
(tkz)'
del Teorema 7.8.7.5. , se verifica
(7.42 )
s o
1 .8 .1 .7 . - COROLARTO
Bajo
7as hipotesjs
Teorema 1.8.7.5.,
del
akT =(0,...rdjr...,0)<===>(tk2)'-
7.8.7.8.-
- ftf-i
ssn aj
* O.
COROLARTO
Cual-quiera gue sea k,
l'2
Tkltkj=g
se verifica
= 0 <===> (tkZ)'
g como de aT = ajeTj
j
s k < n,
se verifica
- fkf fk:i = O
se deduce akT = ajekTj,
(1.43)
sin
m6.s
!
-AO
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
gue
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
7.8.1.9.*
TEOREI,IA
Con -l.as mismas hipdtesis
del. Teorema I . 8.1 . 5. , se ve-
rif ica:
a) 5i
(tKZ)'
- Ikllkg
I
0, entonces
lfB+oB*)klso,
vee[-1/L (Tk1vkt17/2 + tk21, t/t (tk1vkt17/2
= (0kI,
b) 5j
*z)]
(7.44)
AkZ)
(tkZ)'
fklfk3
= O, entonces
lfs+oB*)kl2o,
tsOe (*7/(2fk2),
+ -)
= (0k3, + @)t sj
tkZ > O
(1.45)
= (- -,
tkZ < O
(1.46)
o bien
lfa + oa*)kl > o,
70 e (- @, -1/(2tk2))
}kj),
70-
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
sj
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
TEOREI'IA
7.8.7.10.-
Siendo f1 g tki,
Vk, j
conocidos,
i=7,2,3
s k 1 n,
,
- l o s numeros
se verifica
rea_les
ua
uno de l.os dos casos
siguientes.'
r.*
(0r, ez) c (}kr,
II.-(gj,+
ekz) s: t2z- frr-i < o
irS c (Okj,+ -)
(_ -,6j)
c (- -,Okj)
Pasamos
a
(1.47 )
sj
t2Z - I'1.I3= O, t2 > O
(7.48 )
sj
t2Z - 11t3= 0, t2 < O
(1.4g)
continuacion
a
abordar
ei
c6.7cu1o deL
subdominio K2
7.8.2.-
1ALCWODE K2.
5e trata
ahora de encontrar
rea-Zes deJ p?rdmetro
gt
todos
aqueTTos
gue hacen conpatibTe
d e s i g u a J d . a d e s - l : . n e a - Z e sd a d o e n ( 1 . 2 7 ) ,
vaTores
eJ s:.stema de
es decir
Axsb+0b*
Vamos a e s t u d i a r
s e g tn
gue
Los casos
sens j.bjl, icemos
o
-
77
negatividad.
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
fro,
que
pueden
plantearse,
7as restricciones
de no
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
7.8.2.7.-
EL PARAI(ETRO SOLO AFECTA A LAS CONSTANTES DE LAS
RESTRTCCTOIVESPROPIAS
5e
trata
de
sensibi Jizar
para
propias,
restrjccjones
unicamente
separadamente -las condiciones
7o
lr:
cual
m-n
escribimos
de no negatividad,
taL g como
en (1.5)-(1.0).
se indic6
Jugar de 7a A*,
(k=n+7,
propias,
por comodid;d,
tJtiTizaremos,
Observaci6n:
7a matriz
ga gue ahora soJ-o posee
n*Zr...,
Ay en
restrl'ccrones
m ).
Tenemos, por tanto
-xi
<0
(1.s0)
sb y + ob*k
Akx
S u p o n e r n o sq u e b * k * O , V k , ( k = n + 1 , f i * 2 r . . ,
gue
sj
Lizaci6n
b*k = O,
a|gin
de -Za restricci6n
estariamos
de
7a
no vacio
matriz
restrjcjones.
(1.20),
de orden r,
de
En nuestro
ga
]a sensjbj-
corresDondiente.
Recordemos eu€, segin
determinante
inpidiendo
m),
designd,bamos por
gue nos indicaba
-1os coef icientes
caso es evjdente
72-
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
deL
gue
e eJ
e-l rango
sistema
de
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
_T
I
c=
0 I
0..
0 -t..
|
0
l=
I
I
--z
I
gue
7o
(1.sL)
(-1 )n
I
g:.
inpJica
restricciones
coincide
I
e-l
con
rango
eJ
de
de
fa
matriz
nimero
de
inc6gnitas,
Jas
es
decir,r(A)=n>0.
Bas{.ndonos en -los Teoremas 4 g 5 de 7a prineta
de
s€ verif ica
CapituTo,
este
compatibl.e cuando sus
deterrnjnantes
por abajo,
la
matriz
gt
Ay
independjentes
signo
l-a
derecha,
cotrespondientes,
o
serd
gue
mr obtenidos
el- menor cLcon una fiJa
pot
(7.39)
caracteristicos,
k = n+L, n+zr...
representaremos por Dok,
bordear,
qrueeJ sistema
parte
cualguiera
Jos
con
al.
de
tdrminos
poseen eJ mismo
bi6n
gue eJ menor o son nu7os.
n
UCLK
I
0
c
I
-
I axt ak2
a1n
bk+
Ob* kl
Dck = ( by + 0b*.p,).
Pud,iendo expresarse
adj
(bX
+
Qb*y) ,
(1.52)
verificd.ndose
paridad
c
-
adj ( bx + Ib*p )
cualquiera
gue sea fa
de7 nimero n de variables.
Teniendo en cuenta el- signo
una de Las dos sjtuaciones
de a,
siguientes:
-
73
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
podemos
encontrar
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
c = f
I.-
7 0, esto lleva
En funci6n
restricciones
de los
bk,
r"
podemos asignar
signos
nos
se
en
teniendo
opciones,
cuenta
con
gu€,
Lo
b*y,
coeficientes
de Las
-las
Las
de
srgurentes
gue
posj.b-Zes signos
Los
que todos
Dq;q 2 0, Vk
constaxtes
presentan
a Los eoeficientes,
Consideremos, pues,
negativos,
consigo gue Los
de7 pardnetro.
b*k,
7os by son positivos
er? f unci6n
deJ
signo
o
-1os
de
tendremos Los casos;
a)
5j
b*ks0rVk
(1.52)
g la
apa.rtado I ) , se verifica
gue
teniendo
este
Vk,
adj
en
hipotesjs
de partida
de
( bX + 0b*k)
( bx + g b*k)
gue ai
cuenta
2 0,
ser cjerto
de dond.e O > - bp / ,*o,
Vk, obtenemos -los vafores
0 z rrfax { - by / b* X },
( k= n+7, n+2, .. .,
n)
b)
En eJ caso en gue
g bajo
O, Vk, ( k = n+7,
b*k .
J-as mismas hipotesjs
de par.tida,
74
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
n)
se verif ica
gue
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
Vk,
adj
( bp+
6b*y) > O
g como Dq;g 2 0, esto
nos TLeva
a gue
( bx.+O b*y ) 2 0,
de donde
e s l|in t - by / b*y l,
Pasemos a pla4tear
fos
coeficientes
h positivos
exjstir
g
como se
Vk, obtenemos finalnente
verifiea
entre
O s - b* / b*o,
( k= n+7, n+2,...,
eJ caso,
nds generaT,
de -Zas restrjcciones,
by,
g n -
n)
€fr eJ gue
pud.ieran
(n+h) negativos.
c)
Supongamos, por
by descompuesto en
tanto,
bXl>O,
(kJ=n+7,n+2,
bXZ < 0 ,
( k2 = n+h+7,
poder sistematizar
para
7ugar,
ml
eJ proceso
positivos
J-oscoef icientes
agrupanos,
en primer
g, a continuaci6n,
Los
negativos.
Vk,
adj
( b* + eb*p) > O g como D6r;rs> O, esto
gue
(bx +o b*k)
> o
-
75
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
nos LJeva a
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
e n e sce ca so
+ g b*XI) > O
(bn
(bXZ + e b*p2) > O
En
coeficientes
deJ
posibiTidades.
coeficientes
deJ
funci6n
signo
parenetrot
En
gue
7o
b*p positivos
correspondiente
exjsten
sigue,
Las
a
siguientes
consjderaremos
o negativos,
cr)
eonsideranos
b*kl
( kI
> O,
= n+7, n+2,
( k2 = n+h+7
b*kz > O ,
. n+h ),
......
g
m )
l-a soTuci6n comin de
e > - bxt / b*n
< O
o
se verifica
para
0 > tfax { -
bxZ / b*i2
I,
-76
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
Los
segin 7o sean Los
by correspondientes.
5i
los
( k2= n+h+l
, m)
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
.
\.\
c2)
Si tomamos
> O,
b*kl
( kI
= n+1, n+2,
. n+h ),
g
b*k2
oDXenemos
0 > - b*:. /
< O
b'kl
e < - bxZ / b*XZ
< O
de donde
0 > Max { -
bxl / b*xl
g s ff:..n{ - brZ / b*rz
Pueden pLanteatse
- sj
},
( k7= n+7, ....,
},'
( k2= n+h+It
...,
n+h)
m)
dos casos.'
tiax [ - bm / b**t ] s uin
{ - btz /' b*xz },
ent.onces
Ilax { - bn
En
caso
verifiguen
/ b*n
contrario,
} < g s lIin
no
existen
ambas desiguaTdades,
vacio.
77-
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
{ - bxz / b*xz }
vaLores de 0 g'ue
€s decir,
k2 seria
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
c3)
Tomando
b*kl
( k7 = n+J., n+2,
< O ,
. n+h ),
( k2 = n+h+7
b*k2 > 0.,
g
n )
La soJuci6n de
>0
e<-bm/b*Xl
0
es clerca
sl'
0 < Itin
{ - bn
/
b'Xl
},
0 > Ifax { - bxZ / b*XZ },
posibiTidades
Las
( k7= n+7,
n+h)
( k2= n+h+7
, m)
son..
- si .ir{ax[ - bxz / b*xz ] < uin { - bxl / b*xt l,
o b te n e mo sp a ra 0 el inter vaTo
Irax { - bxz / b*xz J < 0 < I4in { - },t:
- AJ igual
no
/ b*tl
que en e-l caso c2 ) , es evidente
exjstjr
vafores
desjgualdades g,
de
por
vacio.
-78
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
0
tanto,
gue
k2
gue pueden
verifiguen
serja
l
de
ambas
nuevo
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
c4)
Por
rt7timo,
si
suponemos
gue
Los coeficientes
son
todos negativos
b* kl
b*k2.
( k2 = n+h+7
0 ,
......
m )
obtenemos e-l sistema
O < 'bXt
0 s -
> O
/ b*kt
< O
bXZ / b*XZ
gue se verifica
0 < ffjn
paza
{ - bxZ / b* xz J,
Pasemos ahora a
estudia-r
( k2= n+'h+J
e7
caso
en
, fi)
oue
c
sea
negativo.
c = -l
II.-
< 0 , Jo que inpTica
Nuevamente, suponemos
positivos
los
gue
que Los
todos
o negativos,
con 7o gue, en funci6n
b*y,
se pueden presentan ios
coeficientes
-79
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
Dsla< 0,
-ios
Vk
bp
deJ signo
casosi
son
de
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
a)
- Si,
primeramente,. consid.eranos gue los
V k,
adj
( b* + eb*y)
bk *o b*ka O,
b*k
> 0 9 como Dsk 3 0,
s 0,
Vk
entonces
de donde
O < - bp / b* X ,
gue aI
ser cierto
0 < I{in { - by / b*y },
resul.tado
eguivaTente
Si Jos
.*
b",p < 0, Vk
Vk obtenemos
( k= n+7, n+2,...,
a7 obtenido
en
n)
b) de I.
b)
V k,
adj
gue
.se verifica
( bX + Ob*k) > 0 g como por hip6tesjs
Dsy s'0,
esto nos J-Leva a
bk + 0 b*1s O,
e > - by / b* X
g a7 ser
d.e donde
cierto
Vk
obtenemos
como
soJ.uci6n
0 > Ifax { - lx
resuLtado
/ b**
gue coincide
con el. caso
Pasernos a considerar,
- gue
entre
Los
pudietan existir
( k= n+7, n+2,...,
},
h positivos
a) de I.
a continuaei6n,
bk,
coef icientes
g m -
-80-
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
de
n)
e-Z caso en e-Z
-Zas restricciones,
(n+h) negativos.
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
c)
Suponganos, por
tanto,
b,p descompuesto en
= n+I,
bXl > 0,
con kl
bXZ < 0 ,
con k2 = n+h+7
g pata poder sistematizar
n+2r,
......
m
eJ proceso seguimos agrupamos
positivos
Los coeficientes
n+h
primero
g
J.os negativos
continuaci6n.
c7)
5j
s u p o n e m o s .q u e t o d o s e T L o s s o n p o s i t j y o s
= n+7r fi*2,
b*k1 > O,
( kI
b'k2 > O ,
( k2 = n+h+l
. n+h )
n )
Jlegamos a
O s - b;<-Z1 bn1l
< O
0 s -
> O
bxz / b**Z
gue se verifica
para
Q < I,Iin { - bp
/ b*n
J,
87
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
(
k. = n+7,
n+h)
a
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
c2)
C o n si d e re mo s g u e
b*kl
( k7 -- n+7, n+2,
> O ,
( k2 = n+h+7
b*k2 < O ,
. n+h )
n )
esto nos LJ.eva a
<O
o<-bn/b**t
e > - bxz / b*xz
de donde
6 s ttin { - bm
/
o > l4ax { - lxz
/ b*xz
boxl },
},
( kf= n+7,
n+h)
( k2= ri+h+7
, m)
c u g a s p o s : . D J e s . s o - Zu c j o n e s s o n ;
-sj
tlax t-
bxZ/b*x2jsuin
{*bxt/b*xt
}
entonces
Itax { - bxz / b*xz J < e < I4in { - b.tf / b*xt
- En
contrario,
caso
verifiguen
vacio.
no
existen
ambas desigualdadesr
Esta soluci6n
vafores
€s deeir,
de 0
k2
coincid.e con 7a obtenida
deI
-82
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
}
gue
serja
en c3 )
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
c3)
si
=n+7,
b*kL < O,
( kI
b*k2 > O ,
( k2 = n+h+I
D*2,
n+h )
n )
e-Z sistema
e >
- b;<J / b*xl
> o
e s
- b X Z / b*x2
> O
es cierto
para
e > Ilax t - bn
0 < lfjn
En
{ - bfz
cu g a
/ b**l
j,
( k7= n+lt
n+h)
/ b*xz
},
( k2= n+h+I
, m)
so L uci6n
se
plantean
las
aLter natjyas
siguientes:
-sj
I4ax{-nn/b*xt}
se ve ri fi ca ,
<uin
t-bxz/b*x2
}
entonces
I,Ia x i - b ;.f / b*XJ ] s 0 <.ir fjn { - bXZ / b*X2 }
- Si 7o anterior
e gue permitan
no se cumpJe, no existen
val-ores de
Ja parametrizaci6n.
La sol-uci6n es an6.7oga,
fro, a 7a de c2) de I
-83
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
tanto
sj
existe
e
como
si
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
c4)
por
Consideremost
iTtimo,
el. hecho
de que todos
Los
.*
D k Seax negaxTvos
-*
b^Xl
< 0 ,
-*
b'-XZ < 0 ,
esto
( k7 = n*-1, n+2,
( k2 = n+h+I
. n+h )
......
m )
nos l-l-eva a
e s - b kt / n *k l
> O
O < - bXZ / n*xZ
< O
grue es cierto
para
I
0 > lJax { -
bxt / b*xl
De una paranetrizaci6n
seguidamente,
pero
a-ntes
( k7= n+7r
},
mas general
7a
Tabla
...,n+h)
nos vamos a ocupat
II
resume -los casos
obtenidos en 7.8.2.7'
Hemos
c
=
igual
-7,
signo,
coeficientes
considetado,
tanto
paza
c = J
el. hecho de gue todos Los coef icientes
diferenci1.ndolo
de agueL otro
b11 trenen distjnto
-84
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
como
para
b . 7 .t i e n e n
en e-l gu€,
signo de Los bXZ.
Los
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
TAFLA II
5r1.,: F;;rr;?,{irr*tt'-ii*-rds.r.
ie=
DOHINItr DE IiZ
cnn:lt.rntg=.
,x =1
cie 1a=. r - e * t r i
i:ci angg
b t' r". ::rt:]
E
F. *
cI=*1
i-
tI=1
,la
+ :
Har: t-
br./b**l-
*
t'lin
bk./b*,. 1-
..' r-\
.r'r-t
Li
!
t-
t * e,..:.t-t
{x=- I
F,
u
l.
tf
'-,
J'l
1-.ra,
€r I
?
i.- rl.
u
k: =
ti*
r,rcni es.
Har:
{-
bka,/b*,.=l-
".-;,
r' '-.'
h: l.
*
1ir
I
Flin
t-
bk:a/b*r.=1.
h * u':n''l''J
s=1
l,' b*
ld =.-,
L.' l{.
a
F I
f'lin
{-
buz/b**=l-
I
i
Hi n
{-
b ut /b*r.,
*
5 l"tin t-
br.t/b*,.r.]
{t
!
Har:
i-
b r" r/b ** t l-
{t I
Hin
t-
b*r/b*r"tl'
*
l'lin
i-
b *='/b*r.=l-
.r '._i
F'lt: e): i ste
A
b r",:a''i,'l
Ha:.: t-
b *=!b **=1.i
Ho er:iste
.1-
S
I
!
h*l
1.::rt:i
t'
!
f.
{(
L'
'...-t
I,
aJ
I
.i'r-t
k:l
i-_._*..._..-._..**
h * r.,'r. '':-;]t
"'!'
LL,
t*
l.
?
-''... ._t
,._.
{t =-1
1 x , . , . . , . . : r t l l1 r , i : x * , * . : i { i !
Ha:.: tLr
&(
1.
,r
"]
*r.zl-I
b *=!b
i._i
tJs e>: i gte
L.i 1.. f;
=i:=
*
1. '.-.'
f'lax
t*
br../b*r.rl'{
Flo ei: i ste
6
-85
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
:
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
EL PA'RA!,IETRO.AFECTA
A TODAS LAS CONS?AME.SDE LAS
7.8.2.2.=.
RESTRICCIONES
restriccjones
de
sjsterna
sensjbjJ izat
-Zas
como
ptopias.
e-l
hecho
gue
en
variables
por
ejempTo,
producir
asignadas,
J-os
no tendrd
econ1mico
de orden r,
coeficientes,
sentido
productos
indicado,
gue nos indica
correspodiente
-86
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
o
asj
a Jas
gue
las
Asi ocurrird,
7as
con
de 7os distintos
hemos
Esto serd
deben adaptatse
en.un probJema de creaci6n
Como Va
sobre
dominio K2 serd un
vaTores negativos.
tomar
determinados
para 7a adguisici6n
vacio
matendticas
en e7 catnpo
de
el
real. posi tiva.
en muchos casos,
puedan
n )
prdctica
condiciones
g,
(1.5i)
7a
gue
reales,
de
siguiente
gueremos l-l-amar 7a atenci6n
de La semiuecta
Las
eL sjstema
e77o,
k= n+7, D*2, ...,
subconjunto
ga
de no negatividad,
para
en 7a forma
de seguit,
de
restricciones
desigualdad,
s b k + o b *k
tt
Antes
de
dado un
s0 + ob*j
Akx
7
)
LtZt...,
es eL de,
-lineales
Suponemos,
escrjto
- xi
-
-las
tanto
restriccjones
l,;
l4
qruere/nos estudjar
gue
EJ- caso
-las
de
ur
unidades
a
cantidades
PortafoJio,
vafores.
s,
es e-Z determinante
e-Z ranga de 7a matriz
a Las condiciones
no
de
de no
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
negativi.dad,
gue
=
u
del- sjstema de restriciones
( -7
Sabemos gue
)n .
= n+1, n+2r...
cuaTguiera
escribirse
matriz.
Ds,k, k
eJ menot
gt
Ay
por
J-a
cozrespondientes,
gue eJ menor o son nu-?os.
deterninantes
pueden
caracteristicos
como
o
I
la.tt
l-a condicion
bni o
I
I ------
Dck =
(7.27)
ak2..
bk + 0 b*k
a1n
de compatibiTidad
7o gue acabarnos de afirnar
( I
por abajo,
independientes
o bi6n poseen eJ- mismo signo
Puesto gue los
7a
de
con -los t6rminos.
derecha,
caracteristicos,
m, obtenidos a-l bordear,
s con una fiJ-a
( 7.53 ) serd
sjs'tema
el
compatibTe cuando sus determinaxtes
g taj
de La F.O.,
/ a ) D q J k2 0 ,
se transforma,
en eJ plrrafo
(k = n+I,
I
anterior,
n+2,...
segtn
en
(1.54)
n)
o bi6n
I
(t/u)t
a
|
o |
|
|
+ |
I utr ak2.. atu1 by I
I
=(1/u)
[b*c+o
a
b*i e I
a
|
lakjak2.. akn
b*i
I
ak2. .
-87-
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
akr1
=
b**01
I
I
I arl
I
b* k
I
t
>o
(I.sS)
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
7o gue eguivaJ-e a
( 1/s)
[b,pc+
donde denotamos por Dy
0Dx
eL
]>
(7.s6)
0
factor
determinante
de
e
en
se anufaran
Vi
(1.ss)
S u p o n d . r e m o sg u e L o s b * i
(i
= 1r2r...,
Ai
n),
estariamos en ei
halJ-ar eJ doninio
n o s p u e d . e np r e s e n t a r
f.-
ft.-
* O,
pues sj
caso I,
Va estudiado.
deJ pardmetro,
de definicion
-los srguientes
se
casos.
o = f .'
.Supongamos, en primer
7ugar, gue Dys* 0,
Vk,
J,o gue
puede dar Tugar a dos posibiTidades
A7
Dy)0rVk=n+It
En este
caso, de (1.55)
g de 7as hip6tesis
hechas se
deduce oue
0 > rVax { - A7. / PX },
88
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
( k= n+7,
...,
nt)
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
A2
D 1 7< 0 t
V k = n+f ,
...r
m
(1.56) nos asegura que
Q < I'Iin t - bp /
( k= n+7,
D1,l,
...,
n)
h vaLores positivos
V
A3
En ei
caso de exjst ir
negativos
Los
entre
consecutivamente
DXI
(kl
7 0,
Lo
sj n
eu1,
f acil-ita
=
n+7,
supondremos
n+h),
m),
gener alidad
.restar
agrupados
e.s decir,
fi*Z,...,
n+h+l
h
al
pJanteam iento,
7os cdLcuTos.
Las posibl,es
-si
Jos
seg6.n su signo,
k2 =
Dk2 < 0,
Dk,
n
ltax {-
sol.ucjones son;
bn/Dm}suin{-nn/Dxz
}
enxonces
Itax { * bxl / Dxt i < 0 s lrin { - bn
Si
n6,
no
eondiciones
existen
g,'por
/ Dxz }
val.ores de 0 q'ue verif iquen
tanto,
k2 seria
-89-
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
vacio,
ambas
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
\
I2.-
S u p o n g a m o s a h o r a q u e D y = 0 , p a r a a J menos u n k = k L
Esta hio6tesis
r e d u c e 7 a expresi6n
(l
56) a gue
bn
0 podrd tomar cualguier
^5j esto se cunpTe,
en
la
restri
cci6n
exclusjyamente
Si,
g
por
K2
tanto
de Las m-I retricciones
por e7 contrario,
Sufjciente
g
I,
de
restricciones,
deL
(1.56) ,
por
dependezd
restal:tes.
bXt 4 0, 7a condici6n
ConpatibiTidad
dada
vaLor reaJ
Necesarja
sistema
de
podrd
ser
gue en el. I,
un
nunca
satisfecha.
II.-
c = -l
Considerarnos a continuaci6n:
Hacemos en este
estudio
pJantearse
apartado
sistenetico
, df
de
en .1a resol. uci6n
igual
-las
opciones
gue
pueden
de
-by+QDy<0
(1.s7)
gue no es mds gue 7a transformada
nuevo supuesto.
90-
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
de (l
56) bajo
este
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
-.:IIJ-
S u p o n e m o sD k t " 0 ,
W<. 5e nos plantean
Los srgurentes
casos
B7
Dy > A, V k = n*7,
(1.57)
se verificard
V 0 s llin
m
...,
sj
( k= n+7,
nX / DX I,
{
...,
m)
B2
D.pcO,VJ<:n+I,m
Para gue (1.57) se cumpla es necesario
0 > .t{ax{
( k= n+7, ...,
br / Dx },
gue
n)
tt5
Al
n
igual
h
negativos
cutiva]nente
DXI 2 0,
DXZ 1 0,
las
-si
que en A3, sj
existen
h yal.ores positivos
-los
agrupados
entre
segtn su signo,
(kl
=
k2 =
n+7,
l4ax{- bxZ/DxZ
tenemos
fi*2r...
n+h+L
posrbl.es sofucjones
Dk,
r
n+h),
m),
serdn;
}<ujn{
-97-
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
tm/Dl.Jj
U
conse-
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
enconces
ItaxI
En
bxZ/DxZ
caso
verifiquen
is0<.f{jn{bp/Dn
contrario,
no
l
exjsten
ambas condiciones
g,
val-ores
por
tanto,
de
0
k2
gue
serja
vacio.
II2.-
Si
suponemos D1..= 0,
ante un caso iddntico
La
rel.atjvas
constantes
Tabla
III
para al- menos un k = kJ,
al, estudiado
nos resume todos
a7 c61cu7'o deJ doninio
de -las restricciones
-92-
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
estamos
en 12.
los casos haJJados
K2, cuando en todas -Zas
fjgura
e7 pardmetto
e.
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
TAFLA
I I I
r i e l . 1. * = r - e = t r i . , : c i , * : n e = .
Tnrl*.=. i;.4.= rc:n'*.'l:*,nte=
f:,* r.
egtan
DBHIHIO DE
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l-t
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l_,
b*a./F*al'i
ic,
hlo e:-:i ste
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r ' s r . ' - Li r
rrr,::
fe!,
'ir-.rnci.*n
t''E[.tr-i ':ri. *n
Ln
* r " , r . . . . =t ] ]
:i"
Ll I' 1....:
r-r I
g JHint
br"r./D*t]
€
I
r.:{l rLrl s. li.a gn
i
d*
i..Erim-I
r e s , t r i c r i n n m = . r*es.i.s,nte*."
-93
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
I
br.,r--',i.i-ir l'':.:e *
fr
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
1 . 8 . 3 . - C A L C W OD E K
LTegados a este
eJ
7.8
apartado
punto,
planteaban
se
soJ,uci6n nos iba
a permitir
condiciones
abordar
de
g teniendo
dos
en cuenta gue
subproblemas
el- cdLcuLo
de
K,
en
cuga
estamos
en
dicho cdLcuTo como :.ntersecci6n
de
7os dominios obtenidos en -los aDartados 7 .8 .7 u 7.8.2
gue
Debemos tener en cuenta
hemos
aividido
a
su
vez
en el
haTTado K2 cuando 0 na afecta
g en el. 7.8.2.2,
en e7.gue
TTegando
permite
ttabajar
particuJares
g sufj ciente
aJ- resumen
orientada
7.8.2
J-o
en donde hemos
restrjccl.ones
para
7a Tabla III.
de
ahora'r)nicanente
de
no
para gue
1a
Esto nos
B
J-a
no son ml.s gue casos
en 1a II
matriz
e-Z caso
"con Jos resu Ttados de
= A, ts i=] ,
Tugar conocemos que L a c o n d i c i 6 n
+
*
OB
sea
2r..,fr.
necesaria
def inid.a
es
la+ea'l = leltft'2-f1r3i0"
representa
las
de 2a prirnera cuando b* i
En primer
En
7.8.2.7,
obteniamos K2
puds -Zos obtenidos
TabTa III,
positiva,
pdrraf o
g cuga sol-uci6n hemos resumrdo en l-a Tabla II,
negatividad
generaT
a
el-
esta
una
hacia
expresi6n,
+ 2 tz0 + tl
> o
factor'
entre
verticaT
con su convexidad
eJ
par6.bo7a de eje
7a patte
gue ..el coeficiente
negativa
del
eje
de ordenadas,
en 02 es siempre no positivo.
-94
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
corchetes
ga
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
Con objeto
de facilitar
7a comprensj,dn del posterjor
resumimos Las djstjntas
desatroTTo,
expresiones
ga expuestas en eJ- Teorema 7.8.7.3,
Kl,
cortes
I.-
Si
segin
de-Z dominio
7os posibJ-es
de 7a pardboLa con e-t eje horizontaL
a,*
T'2-
I-i.f-i I0,
Ifa + 0B^)Xl > 0
voet-l /t (t1t j)]/2
= ( 0l-,02
+ t 2 J , 1 / t ( r - z t 3) 1 / 2 - 1 2 l i
)
rr.- lfa + ea*j*l > o,
a)
-f1t3=0
g
Ye e (-71(2t2),
+ -)
Sjt2Z
t2>O
= ( 03, + 6 ),
03 < 0
o bien
b)
-f1f3=O
SiT2Z
g
T2<O
ye e (- @, -1/(2tZ))
Para
tendremos
hal7ar
gue
casos anteriores,
.
.
-las
TTT I
- - 1 t
K
tener
= ( - 6,03
como
en
)
interseccion
de
cuenta l-a combinaci6n
incl-ugendo los
subapartados,
K1
g
K2,
de los
con
dos
todas
opc.iones cal-cuLadas para K2 en su c.aso.generaT ( TabLa
.
-95
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
puds,
- V a m o sa . h a c e r ,
eJ estudio
Dor
separado
LII4ITADO
POR
DOS
de
estas dos posi.bjl jdades.
CASO EN QUE K1
7.8.3.7.-
ES?A
NUMSROS
REALES
Recordemos gue 11 g 13 son ntmeros
por Jo que su producto
parte,
en
serd
stn
cuad.rado g,
eJ-evado aJ
expresiin
Ja
es
diferencia
g
acuerdo
can
anterior
se supone t2Z-
',
f.,
)'r "
esto,
> tZ,
otra
determinado,
de g2 en (1.24)
l-o
tanto,
d.icha
de dos nrtneros positivos.
teniendo
I:.t3
por
Por
signo
e x p r e s i 6 n q r u en o s d e e J c o e f i c i e n t e
7a
aparece
(ffl:
positivo.
siempre
aungue. 12 es un nrtmero real
reafes positivos,
.
De
en cuenta gue en eJ caso I
0,
podemos asegurar
gue
en eJ caso gue
de,donde se concluge eu€,
nos ocupa, serd siempre:
o1 <o
Por otro
IIf,
Las
dominio
de
v o2 > o
J-ado hemos obtenido
opciones
a tener
definici6n
del
g resumido,
en l-a Tabla
en cuenta cuando se caicul-a
eJ
parametro,
eJ
K2,
para
gue
s j s t e m a d e d e s i g u a J d a d e s - l r n e a - Z e ss e a c o n p a t i b l e .
5e
parilmetro
trata
ahora,
verifican
a la
como en eJ- caso I,
g K2,
pos-ib7es dominios
pues,
vez
de
K;.,
para,tener
de variacion
-96
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
ha77ar gue valores
cuando
asj
K de 0.
viene
definido
de-Z
expresado
uno de 7os
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
Segdn
exjsten
ya-l.ores
J,os
signos opuestos
1os Dyr.
entre
posrbilidades
con -Zas siguientes
Dk o, bien D;.1 g Dkz,
de o,
si
p o d . e m o se n c o n t r a r n o s
para eJ cdJcuTo de K.-
7.c = f
Sabemos gue sl
V DX > 0 entonces
0 > I4ax {-
-Zos valores
de g,
5j
l4ax {-
by/
segin el
oy}
signo
deL I,Iax [-
At / D*],
g,ue desr gnamos por K a continuacion
son 7os intervalos
Ia)
by /
nyl
< 01 obtenetnos
/(=(01,02)=KI
7b) Sj
01 < I{ax [-
ny/
K -
Ic)
5j
Oy].82,
[ Max {-
02 s l4ax {- by/
Dp}
el- doninio
by/
Dy},
no exjsten
vien'e dado por
O2 )
val,ores de e
K-0
2.Recordemos gue si c = -?,rl
0 <
I{in
{-
Dy < 0 entonces
by/
-97-
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
Dkl.
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
obteniendo
2a)
5j
l4in [-
pX] ( 0-t, no exjsten
fX/
valores
de e
K=0
2b)
5j
01 < I{in
{-
bp/
K -
2c)
Si
02
s
pertenecer
op} .
( Itin {-
l{in
{- bp/
02, tenemos
by/
Dy},
Dy},
02 )
-Zos valores
de
0 de.ben
a K1.
( = ( el,
02 )
3.Pasemos aho.ra a considerar
.
Dy
DX2
de
DXt determinantes
negativas (
positivos
entre
jnterseccion
( l<l = n+l
K2,
puds cuando K2 =
es vacia.
E n e ste ca so , sj c = f g Dk;- > 0 g Dk2 < 0 entonces
Ita x {- b n /
7os
= n+h+7
k2
canente so-Zo eJ caso en gue existe
cualguier
fa existencia
D x t} s 0 s l{ in { - bxZ/ DXZ}
7o-que da Tugar a las sigujentes posibiTidades
-98
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
0
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
l4in {-
3a) Si
bn/
DXZ} <
0 1r
€ntonces
/(=0
3b) Sj l"lax {-
DXt} s 0t < I,Iin {- bp2/
bn/
DXZ} < A2
entonces
'
ic) 5i
K - ( ot, tiin t- bxz/ D*z] l
I'Iax {- btrt/
esto
inp|ica
Dy1} < 01
gue K1 estd
contenido en K2 g por tanto
'K:(Qr,o2)=Kl
.
i d ) si
0 1 < I4 a x t- b Xl/
ocurrirA,
dJ contratio
gu€ K2 serd
caso anterior,
del
de K1, 7o gue significa
un subconjunto
K - [ Iiax[- bxt/
3e) sj
DXll < I4in t- by2/ DxZj
oy1], uin{-
01 < I{ax {- nXl/ Dxt}.02
7a interseccci6n
bxz/ Dxz}l= K2
s lLin {- btZ/ DXZ}
de ambos dominios viene
/( = |
I'Iax {-
-99*
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
by2/b* k2I,
dada Dor
A2 )
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
3t)
02 < I,Iax {- bn/
Si
DXI},
ani.Toganente a 3a)
K=S
4.ahora gue
Supongamos
e =-7 g Dk 7 0, resul. ianao
pxil
0 s uin { tx/
5e nos pueden presentar
4a) Si
llin
I bp/
op] s 01.,
no ex:sten
valores
de
es
O,
decir
ti=0
4b) Sj
01 < I{rn I nX/ OXI .
8 2 , e - 1 .d o m i n i o r e s u l . t a n t e
J( = ( 07, tlin
4c) 5i
A2 s Min I by/
apartado 3c),
Dy],
{ bX/
es
nXll l
7a solucian
es igual
ga gue K1 vueTve a estar
a
7a
contenido
deL
en K2
por 7o que
5.-
Continuando con e-Z supuesto de, gue
ahora Dy I
0, con 1o que
- 100
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
o =-f
g considerando
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
e 2 r{axl ny/ oy\
5a)
los
casos posibl.es
5j
I{ax
contenido
serdn
I nX/ n1lt ( 01.,
eJ doninio
K1 vueLve a estar
en K2, por 7o gue
K-(01,02)=KI
5b) 5i
91 < I4ax I by/
oy\ < 62,
e-L dominio
de
d . e fi n i c i o n
vendrd dado por
deT.parAnetro
J( = [ ffax I bt/
5 c ) 5 i o 2 < l l a x I b y/
oy],
02 )
Dy\, ' el. don:injo
de
defjnj cion
K-0
Al
existencia
iguaT que cuando c =
de determinantes
consideramos
positjvos
Dk, gue voiveremos a designar
soLo tendremos en cuenta el
7,
por
ahora
g negativos
Dk1 V DXZ.
caso de existencia
entre
Sea
c = - 7,
trax I bxzl
Dkl > 0 g
de
Dk2 I 0, con 7o gue
Dxz\ < 0 s btin i b,,.r/ Dr..:)
-
101
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
Los
Andl-ogamente,
K2.
6.-
7a
dominio
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
Lo gue inpJica
7os sigurentes
l4in t by|/
6a) 5j
DXt\ <
0 1,
casos
€ntonces
K-0
6 ? ) sj
< 01 < ttin { bxt/Dy1} < 02
t4 a x I b *z/ D p ]
e n to n ce s
K -
( 01, tlin lbn/
Dk] ] l
5 c ) S i l 4 a x {b X Z / D X Z } s 01 < Q2 s Min tbn/
esto
gue K1 estd contenido
inpTica
Dxt}
en K2 g por tanto
K-(0I,02)=KJ
6d) 5j
01 < I4ax {by2/
ocurtitA,
dl
contrarjo
un subconjunto
K -
6e) 5i
DXZ} s I'Iin {bm/
02
que K2 serd
del caso anterjor,
de K1, 7o gue significa
[ tfax[bxZ/
DXz], I(in{bp1/
0 1 < Ma x l b xz/
7a interseccci6n
.
Dtllt
Dxt}l=
Dxzl < Q2 < I' Iin { bn/
de ambos dominios viene
- 102
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
K2
Dxr J
dada Dot
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
K -
6f)
| I"Iax IbXZ/ DXZ], 02 )
0 2 3 M a x { b X Z / D X Z I, a n d . T o g a m e n t ea 3 a )
Si
J(=0
La TabLa siguiente
nos
reTacionada
acabamos de obtener,
por
K, cuando K1 estd Tinitado
hemos
e-Z mismo
funci6n
de7 signo
En
]a
generalidad,
igual
signo,
dos nrtmeros reales,
es
dominio
a Lo gue
V
partimos
g n-h
positjyos
de
La
tjenen
> 0 o Dp < 0 g en
Dy
decir,
posibJes
de c aparecen -los casos
de
existencia
negativas.
Sin
K.
de
JT
pdrdide
se supondtdn agrupadas consecutivamente
sinpTificarla
llamaremos A = Ifiaxl- by/
=
del
de
-los d e
signo.
Paza
C
con eJ cdlcuLo
suponemos gue -i.os determinanates
TabLa
determinantes
gue
informaci5n
a todas -1as restricciones.
En La TabLa IV,
todas
7a
g K2 estd haTTado suponiendo que ei
TLanado caso I,
par1.metro afecta
resume
I,Iax{
utilizaremos
= I,lax{ bxi/
bX/
Ai
DX}
g
notacion
Dp\ g B = lfjn{=
D
= I,Iax {-bt: /
I,Iin[ bp/
Dpi},
Dl<i} ,l DL= Itin{ b.t: /
-
10i
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
Bi
1a
de
by/
IV,
Dp}.con A t 8,.
Dp] y en Ja Tabta
= rljn
oy1}, i
Tabia
=1,2
t-
bXi/
V
Ok1}, Ci
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
TAELA IU
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Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
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Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
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lflsx {- b rr/Drr},
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J
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ll'l+x {b rzlD rz} , l'li n ib r.r/D r"r} l
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105
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
..\
F2
}
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
CASO EN
7.8.i.2.-
ESfA
QUE K1
ACOTADO
INFERIOR
O
SUPERIOR]"IENTE POR UN NUI'IERO REAL
Vamos a estudj ar ahora eL caso II,
punto
7 .8.3 . ,
en
gue
el
cuadretica
a fin
pTantea. 7a posibiTidad
de g2 guet como ga sabemos,
anuLacion d.el coeficiente
ser no positivo
se
al-
correspondjente
de asegurar
qrue La matriz
de
debe
de La forma
parametrizada es d.efinida positiva.
signo
Segrin el
tta)
5i
t2,.0,0
IIb)
5i
t2 I
12 distinguimos:
de
e (- 7/(2
0, 0 e (- -,
t2),
1/!2
+@) = ( Oj, +.@)
tZ)
)
-
(- @, 03 )
gue
Tanto en el caso IIa) como en ef IIb) es claro
-,
seErdn estot g en funcion de los vai,ores de a g de
03 € R
Jos
posibiTidades,
a 7a vez Las condicjones
g'ue nos ocupa.
de K1,
cuando viene
de J-asformas dadas en II,
estudjarelnos'-Zas jntersecciones
K2.
Para e77o,
IIb)
con cada uno {e tos
7a
djstintas
puds, de haLLar los vaLores deJ pard.metro
expresado en cualguiera
facilitar
distinguir
p a r a e 7 c d . J , c u L od e L d o n i n i o
5e trata,
que verifican
podemos
Dk,
determinantes
posibles
comprensi6n
TTevard 7a Letra
dominros
de -Zas opciones,
cor-respondiente
- 706
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
de
g -Zas de
de IIa)
K2.
g
Para
cada apartado
aL caso de K1 en
gue
nos
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
a o b, seguida de un ntmero que corresponderd.
encontremos,
a
Las
jntersecci6n
1.-
5i
posibilidades
djstjntas
aJ
eue,
haL7ar
con K2, se nos presenten.
c = f
g
Dp > 0 como 0 > ifax l-
ny/
oyl
+ -)
=
fanpmnc
al
5i
Ma x t- b p / oyl < 03 entonces
K-(03,+@)=K_1.
a2
5j
03 < I(ax {-
ny/
oy}
entonces
K -
| I(ax {-
by/
Dy\ <
K -
[ ]fax {- bX/ Dy},
bX/
Dy},
bl
Si
l{ax i-
03,
entonces
b2
5j
0 3 < I{a x l- ny/ oyl, entonces
K-0
-107Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
0S)
K'2
7a
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
2.Sea c = f. g Dk < 0,
como es 0 s t'tin {- ty/
oy}
podrd ocurrit
aI
Si I,tin t- by/ Dy\ < 03
J(=0
a2
sj
03
< t4in {- by/ opl
K -
( gj,
I(in t-
bp/
Dp\)
b7
Si l4in t- by/ DyI s 03
Lz
5j
03
< tlin
t-
by/
Dy)
t(=(-@r03)
3.Considerando gue
s = -f
g
o < lrjn I rx/ nxl
- 708
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
Dy 7 0, sabemos que
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
oDXenemos
al
si r,rin I
nx/ oxl < 03
K-0
a2
sj
03
< r{in I bX/ oX)
ft = ( gj,
Itin I by/ a;s]J
b7
5i .r-1jnI
nx/ Ox] 5 03
K _
(_ @, trin
{ ny/
I
a2
si
03
< Hjn
I
by/
oy\
K-(--,03)
4.-
Si c = -f, g
Dp < 0 como ha de ser
0 > dax t t*/
px]
cenemos
-709-
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
D7s}1
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
a7
Si I,Iax { np/ op} s 03 entonces
K-(03r+-)=Kf
a2
5j
03 < I{ax { bX/
K-
Ot}
entonces
-I4axtbx/oy}
,+@)
=
K2
bl
PX} <
l(ax { lX/
Si
K -
03, entonces
[ Max { by/
Dkir,
gS)
b2
03 < I{ax I lX/
Si
Dy\,
entonces
K-0
Consideremos,
a
determinantes
con
denotamos por
Dy1 a -Zos deterrnjnantes
( ki
negativos,
Nos rnteresa
cualouier
distinto
= n*l
7a
continuaci6n,
signo,
entre
de
Dy - t
que
l-os
positivos
g DXZ a Los
n+h) g ( k2 = n+h+L,...,.
soJo e-Z caso en q,ue existe
intersecci6n
exjstencia
es vacia.
- 7L0
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
K2,
puds si
m ).
K2 = 0
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
5.Sj
c = f,, DkJ > 0 g
Itax{- bXt/
pudi1ndose
dominio,
aI) Sj
DXZ I 0, es
DNt} < 0 < M:n{-
pJ.antear,
€fr
el.
bXZ/ DtZ}
de
caso
exrstencja
de
7os casos sigueentes
I4in {- bn/
DXZ} s
Qj, entonces
/(=0
D xt\ s 03 < I( in { - bxz/ Dxz}
a 2 ) 5 i i 4 a x t- b n /
onfnnFaa
f( = ( ej,
a3) Sj
esto
03 < I'Iax {-
inpJica
bxl/
I4in { - bxz/ Dxz} l
DXt} < I,Iin {-
gue K2 estd contenido
/ ( = [ ] r a x { - b ; . t/ D y l } , u i n l -
bl)
Si
t4in i-
bXZ/ DXZI s 0j,
en un caso andTogo al
by2/
DXZ}
en K1
b X Z / D X Z } 1 =K 2
entonces
nuevanente estamos
a3)
ff = | rta xf- ],,.r/ D*t],
-
r [in{ - bxz/ DXZ} ) = K2
777
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
D xt} s 03 < I{ in t- bxz/ DxZl
b 2 ) 5 i ffa x {- b xt/
entonces
t( = [ ifax i- bn/
b3) 5i
03 < I[ax l-
bXl/
DXI ] esto
Dxt],
inplica
03 )
gue K2 es vacio.
K*0
6.Si c = -7,
DXI > 0 g
Dk2'< 0, es
tl a x{ b xZ / D X Z} s 0 < I{ ini lfr / Dp1}
pudiindose
al)
pTanteat -Zos sjguientes
l{in { bXt/
5j
Dy1} s
casos
03, entonces
/(=0
a2) Si
l 4 a x { b X Z / D X Z} s 0- : < I4in I b,tr / Dr il
entonces
K - ( 03, I4in I
ai)
sj
esto
btr / op1] )
03 < i4ax { bxZ/ DXZ} < ILin { brr / oxtlr
inpTica
gue K2 estd contenido
172
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
en K1
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
t( = [ I{ax{ bXZ/ DXZ}, I{in{-b,tf /
bl)
5i
}fin
DXI})= KZ
Dy1\ s O3, obtenemos
t lt:/
( = 1 ,vax{ bXZ/ DXZ}, Itin{ btf / D*t}l= xZ
b 2 ) 5 i l ra x I b y2 / D xz] < 03 < I[in { bn/
Dy1}
e n to n ce s
K - [
b3) 5i
Ir ax{ by2/ Dxz} , 93 )
03 < IIax { bXZ/ Dn}
esto
gue
inpJica
no
existen
vaTotes comunes Dara 0.
*=0
posibles
Una vez hall.adas Las interseccjones
KL,
caso II.a g IIb,
informaci6n
nos resumen la
En la
=
A
con e7 K2 generaT,
by/ Dyl,
7as TabLas VI g VII
gue hemos obtenido
Tabfa VI LLanamos,
I'Iax t-
entre
como en casos anteriores.'
c = t'iax I bp/ Dtsl,
B=I4in[-ny/Oy]gD=r4in
bp/
I
Dy
],
fin
a
de
sinpTif icar las aLternatj vas posib-Zes.
Para
-la
Ai
=
j
VII,
restrliccjones
consideramos
(propias),
Tabla
1( de
=J ,
no
2
nos
indicard.
negatividad)
o
siendo
I'!ax i-
bp1/b* yl
g Bi
713
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
= Ilin {-
byi/b*i.i
sj
i.
2
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
TAFLA VI
Val or
de
5i gno
f,sscrs
Dominio
lr"
ria
rX
Dr
b
d
A5*rE
ti
*;:t
":.
A
A .'" *;c
'*rslA
fi
lr. = tr:r.tII]
ll l':.n
tr.- (F3. +o1 =9,
H=EFlax {-br" lDkT r +o} -[j"z
!.i=[l'lax t-br./Dr.]
r Ss]
H=6
t]{=1
g!
._,
J
':
li;Fi-
l{=ff
(€s ! l.li n. t-bl../Dt" l'l
{ -o. Hi n . t-b klD kl 7
H- 1_o, .6s)
Hl{=
l.:
fr
( 6rr ' l"li n - tbl. /D* l' l
1-o, l'li n. tb r../Dr"] l
ls_- t-Dr
S=)
:5
S,:E 'r. F
FJ$;r
$s t:: F
lt
Dl{to
0
*:: "; D
v,=-1
Dl**
6:s "'; E
cJ**
il'.:r ';
C
trl{t*
ti. tlr
tJ:r
-774-
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
'{: E
!q= (€s 1 +o) =l*i,
H:E l{a:* tb* /Dk } . +o} =F.=
H=f l"lax t-bk/Dr"]
! g!,)
H=fr
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
Volver al índice/Tornar a l'índex
TABLA VII
Valor
de
5i gn*=
t{
Dominio
f,asos
r{s
fi
l:. = l:.rtII)
Dr.e
D*=
":.fi
.J',-t
B= I
::'t
r:.tJ
A : .l 6 s ' i $ =
;'r0
r:.{_i
{t.'.{:A r'. F:a
3{l
': *
.3O
'i lJ
A r l6;:s*'. F;e
:3rl
'{.rJ
6 ;:r't:.Fl r.ti.El:p
E-=fr
'ia-l
.J't'i
Fr
€tx
bl=fr
.:r{t
.;lJ
f,:;;!6s.i [ ].
.:rt]
*; tJ
€lsti f,=ti P
.-rl_J
.i. t_,
.
3t1
':i t-l
:''tl
{::0
L
[l E:e
H=S
s,s
K=(
Srsr l'lin{-br.=/Dr"=}l
K=tl'lax
t-hr /[Lr ].i'lin {-brz/Dtz}l
13=1
I
/&r ].flin i-brz/[Lz]l
F,=tllaxi-hr
**
E{:E I
-
H=(
l'la:r {-br" r /D6 r ]- r 6s }
€sr
t'lint
br.:2./Dr.=,1l
l,i=[fla:lthz/Dr.z],|{in { bk1/[Lr ]l
"
trrl
H=[
63
hi=[flaxthzl&z]rl'lin t bkl/U.1]l
ra=-L
H={
C7':1 6*r:. S
Ha>:{ b*=/D*z}
"
tl*''i f,:e
- 715
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
K=ff
r
*s}
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
CAPITULOil
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
TA SSN^STBILIZACION DE UN
B R E V EI N T R O D U C C I O N
2.7.-
estudio
de Ja paralnetrizaci6n
de rJna de fas
o Funcidn
deL gue nos varnos a oeupar
primordiaT
EJ objetivo
el
P.G.P.Q.C.
Objetivo
CuadrAtico
como
-lineal.es,
de Los
coeficientes
de La Funci6n de Rendimjento
ProbJema
un
en
Convexo,
restricciones
Ja xir
variabTe,
tanto
es
-las
de
GeneraL
Paramdtrico
constantes
apogdndonos
pata
b
e77o,
de
-las
como
ga
en un ndtodo debido a TheiT g Van de Panne
hemos indicado,
(7.960)
Para 7a resoluci6n de este
a7 gue denominamos S, del- conjunto
uJ?subconjunto,
de partida,
restricciones
obtenido,
sol-uci6n,
( tanni1n
activas
como
nombre de conectantes
vector
g taL eu€,
como restrjccjones
teniendo
consideradas
problema hemos de escoger
o
fuertes
€l'*S ( g) ,
),
de Las m
e-Zninimo de 7a F.O.
-Zas 5
elegidas
g
se Jes conoce con e-Z
nos
proporcione
fro soLo posible
sino,
un
adem6.s,
6ptino.
La tnica
existencja
deL
es
subconjunto
condicion
q,ue se 7e exige a *S(g)
la no incompati.bilidad
S,
aJ, ser
eogidas
activas.
777 Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
para
de Las restricciones
como
restricciones
su
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
Pasemos,
hipdtesis
de
a pJantear el. probTema g a fijar
que
trabajo
para l7evar
partida,
2 .2. _
pues,
necesitamos,
como
Jas
punto
de
a cabo este estudio.
FORI"TTTLACIONDE
UN
PRABLEI4A
GENERAL
PARAIIETRTCO
IUADRATTCO CONVEXA I P. C . P. Q.C. )
EJ probTena
q'ue nos ocupa es e-l de
q(x,Q)
I'Iinin.
= (p + Op*)T* + 7/2 *T(A + gB*)x
A x s b + Ob*
Su;reta a
gue x,
p,
"l
mismo significado
en
p*,
B,
B*,
(2.1)
A,
gue en eJ pdrrafo
g
b,
b*,
g
7.5,
gue
tienen eJ
suponemos
conocido.
A fin
6nico,
de asegurar 7a existencja
seguimos
cifrendonos
a7
de un optino
caso
de
que
La
gTobal
matriz
( a + e B *) s e a d e f i n i d . a p o s i t i v a .
2.2.7.*
H I P O T E S T SD E N O D E G E N S R A C I O N
la
vista
siguiente
prActico,
hipStesis
no supone,
ninguna finitaci6n
178
tr.
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
desde un punto de
importante:
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
t' No
algoritmo
en ei
degeneraci6n
exjste
de Theil
Van de Panne (7.960)'.
Esto se traduce en que
Yt
*s(e) **s-t6ei
es,
Recordemos gue 1a degeneraci6n
se
presenta
en
Los
dos casos siguientes:
a) Cuando e7 muJ.tipLicadoz de Lagrange asociado
Las
restriccidnes
o
activas
a
de
una
fuertes
deL
con
subconjunto
subconjunto
5 tomado, se anuLa.
b)
Cuanda
activas,
restrjcciones
restantes
obtenido
6ptino
eJ
convierte
o
conectantes
pertenecian
ddbrl,es
a dicho
gue,
)
llamadas
en
5 de
aTgund d.e Las
en activa
( tanni1n
restricciones
un
inactivas,
principio,
na
no
subconjunto.
2.3 . - SOLUCION DEL PROBLEI'IAsT/V RESTRICCIONES
El
sjn
primer
restricciones.
de gue eI
paso consiste
en resoJver
Estamos, pot
tanto,
eL problema (2.1)
consideranfi
eJ caso
subconjunto 5 = 0. A esto 7e lfamaremos Fase 7.
-179-
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
.FASE 7 deL AJgoritno
. Partimos
t'Iinim.
g(x,Q)
del
siguiente
= ( p + o p *) T * + 7 / 2 x T ( B + e B *) x
SOLUCTOD
NE UN P.G.P.Q.C.srff
esta
expresi6n
. expresi6n
fin
soLuci6n
*Q(e).
es:
(B+ oa*,;-l (p *op*)
nos
indica
de encontrar
utiTidad.
a
hora
7a
una
( P + e B *) - 7 ,
inversa,
rApida g fiable,
7a obtenci6n,
5u
(2.3)
La necesidad
c o m p u t a b l - ed , e 7 a m a t r i z
de faciTitar
RESTRTCCTONES
sjn restrjcciones,
La soLucion del P.G.P.Q.C.
*{fe)=-
(2.2)
dada por
cuga sol-uci6n viene
2.3.7.-
problema
a
del vector
de
resoTver
problemas rea-l,es es de gran valia.
2 . 3 .1 .1 . - rNvERSa DE LA rLArRiZ
(B + es
*J
A
CORRESPONDTENTB
LA FOPI,TACUADRATICA PARAMETRIZADA
El ndtodo
matriz
de
que se
(B + 08*)-1,
utiLiza
para
e-Z cal-cuLo
estd basado en 7a identidad
5]:erman-I'Iorrison-I4urtag
( 1. 981, 17) .
- 720 -
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
de
l-a
matriciaj
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
Recordemos g'ue hemos LLanado:
f2 =aTB-ra
eR+
t2="TB-7.jeR
13=eTjB-fejeR+
La
expresi6n
(B + oa* S-l viene
de
dad.a por:
(a + oa*1-7- B-7IB -l,g/((1 + etz)2 - e2tpj))
L(t + 0r2)B* - 0(rpieri
+ rjaar) lJa-l
(2.4)
Las matrices B,
a continuaci6n,
B = (bij)
B-l
B-7,
B*,
ei
g
'
son ga conocjdasi
una matriz
sindtrica
gue recordamos
a,
definida
positiva.
= (Bii)
B*=eja?*a"Ti
'.Tj
= (0,...,1,...0)
aT = (a1,a2,...,an),
(i= 1,2,
n; i
= fr
2,,..,
n)
E
Imponiendo
coeficientes
aT
condiciones
g e; se obtienen
siguientes:
- r27
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
particuJ.ares
a
Los
Los dos casos especiales
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
2.3.7.2.-
C A S O E N Q U E L O S V E C T O R E SQ U E D E F I N E N I A
CON EL VECTOR UNIDAD
COINCIDEN
5i
tomamos
ej
= e = a = (IrIr...rf)7,
g suponemosgue p*T = (pl,...rpn),
t7 = 12 = 13 -
(a + eB*)-1 = B-f * l,o/(I
esta
sustjtugdramos
rrr
a'
g ej
pi
e?B-re = r -
B* = aeT + ea? = 2ee?,
A
ITATRIZ B,
expresion
e R , s€ verifica
tn1,i=1gii
obteniindose
+ 20t)l
se
TTegaria
Los vaJ-ores particuJares
(2.s)
a-78*n-7
si
en
( 2 .4 )
de Los coeficientes
gue estamos eonsidetando.
2.3.7.3.-
C A S OE N Q U E E L V E C T O Ra C O I N 1 I D E C O N E L
VECTOR
UNIDAD
5i
suponemos eu€ aT = (frl,...,7)
7a expresi6n d.e (B !
g
se mantiene,
"Tj
0 a * 1 - 7 e s J - ad . a d . ae n ( 2 . a 1 , s i e n d o T l ,
tZ V T3, en este caso.'
- 722
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
11 = tni,j=f
T2 = ,n j=,
gij
donde Bi ind.ica la
Bj,
matriz
col-umna i
de
7a
para
7a
B-7
13 = gii
2.3.2.-
EXPRESION
G E N E R E iO N * Q ( E )
Sustj tugendo 7a
(a
matriz
g-eneral
Q a *1 - 7
en (2.i),
probTema
( 2 .2 )
+
deL
expresrdn
anterior
dada
obtenemos,
s:n
como soiuciin
restriccjones
7a
gue
sigue.'
*0(el
= Bjf
-
tI/((t2z
t7t3)92
+ o(t2ei - r3a/'-
+ lua + oej
en La gue
U
U
+ 2t20 + 7)JItufr2a
-
TTei)+
(t2Z - 11t3)n)e2 +
2t)ple - p ]
o, gue
ndmercs
son
(2.6)
reales,
tienen
exptesion:
u = Etj=t
pigji
= eT jB'r p e R
o = xnr=-l. arxnj--zpjBn
- p* j
= 2Tg-7, - p* j
- 72i
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
e R
rr
pot
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
2.3 .2.7. -
COROLARTO
5i
suponemos
en
considerado
sensi.bj Tizacion
ningtn
tipo
sinpTifica,
el.
el
punto
de la F . O.,
de
pard.aetro
problema
un
en
estariamos
que
cuadrl.tico
I .3,
en
La
e-Z gue
*Q(e) =-
como
no
'
0,
el.
exjs.te
ademds, sometida a
expresi6n
conviti6ndose
g -
anu7a,
lP. Q. I
no estando,
restrjcci6n.
en gr'an medida,
se
(2.A)
se
(2.7)
E
viene
dada,
en
a-lp
2.3 .2 .2. - COROLARTO
La
componente i
(i=7,2r...,fr)
c o m o i n d . i c a Q u e s a d aR . ( 7 . 9 8 7 ) ,
L.,
xvi(Q)=H(O)
de xQ(g),
por 7a srguiente
tpie"+Qi
0+R1l
- rltj)02
+ 2t20 + 1)J
expresi6n:
(2.8)
siendo
H(e) = f, 1/(tt2t
.
p1 = { Xn,.=18;; t(f 2y - tSo) ar - ( t2Z - t[j)
+ \ij
( tZo - Iru,/ ]
Qi = xnr=181r (var - 2t2p7) + gijo
R1 = -
f,nr=Jlirpt
- 724
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
pr]
+
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
.
Necesj tarnos
paremetro
ahora
V,
En Las fabLas IV,
en
*6(g)
es |ptina
signo
o
restrjcciones
'VI
KI
dominios
:.guales
para
7a soluci6n
O,
posibJes
conocer
o
los
y VLI,
en
flo,
deL
en su doninio
K.
d.e q.ue se
constantes
determinanates
una pardboLa o una recta,
represente
vaJores
estdn resumjdos todos Los
f unci6n
Jas
que
Dy,
consideren,
de
b.k
Las
g gue K1
de K2,
grado
dependiendo del
del- poTinomio en 0 gue Jo defina.
En el.
segtn
e-Z pard.metro afectase
gue
Las restricciones
eu€,
convertirse
propias
no
solo.
o a fas constaltes
engToba aI
en 61 sjn mis gue
Estudiamos,
primero,
dejar
de
en. primer Lugar,
comprobando si
de .partida,
af ectado
par
A eontinuaci6n,
hacer
todas
de
-Zas
este 67tino
si no
gue puede
sensjbj lizar
si
una de sus componentes es menor o igual
aJ
de
Las
que
7a soJuei6n *0fg)
de no negatividad
-Zas restricciones
desiguaJdades
.*
b^ i,
casos I
de no negatividad.
restriccjones
verifica
dos
soTo a -Zas constantes
Vamos, seguidamente, a estudjar
restrjccjones.
caso
pJantedbamos
anterior
capitulo
pard.metro
e1
deL sjstema
J,a opuesta de cada
gue eJ
*0f g) verif iq,ue las restantes
-
725
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
coeficiente
considerado.
hal-l-aremos -los doninios
propiad.
de
qrue resul-ten
restrjcciones
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
S U B D O r , r r N rD
OE K E N E L Q U E x q ( O ) V E R I F T C AS O L O L A S
2.3.2.i.-
RESTRICCIONESDE NO NEGATIVIDAD
Puesto
gue
Va conocemos la
componente j-6sima
restrr.cciones
de xi(g),
este
vector
cuando Vi
de no negatividad
generaL de 7a
expresrdn
-Zas
verificar6.
( i
= 7r...,
n )
se cumpla.'
-*Orfe/
Al
ser
Las
io
gue
obtenida
eu€,
en (2.9),
{ En3=1813 |
Bij(t2o
g
B
(B + eB') sjmdtrjcas
g
se saDe qrue.'
(r22 - r2r3)
inplica
(2.e)
Ob*j
matrices
d.ef inidas. posi tivas,
H(g) = 7/t
30+
g2 + 2T2 0 + I
util-izando
la
I 2 0,
v g e K
expresi6n 6". vQi(6)
podemos escrjbjr
(t2y -
- 11u/i
e2
ljo)a7
-
(t2z - fltj)pr
[f,nr=]Bjr(uar
- 2rzpr)
I -
+ Biiol
0 +
+ f,nr=LBjrpr
(2.10)
qrue se transfotma
en
- 725
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
b*j
( t2z
rlt; ) ai +
+ [ f,nr=18i3 L( fzu - t3o) ar -
+ $ij(
11r3.) Pr I +
) + I 2t2b*1) l g2+
flu
t2s'
( t2 Z
+ { 1 xns=1ni'( udr -
2tzpr) + Bijo I +
b*i
} e
- t f,n r=-zB i rp r I > O
Notemos
(2.1r)
gue
en
priner
eL
obtenido
una expresiSn de tercer
ecuaci6n
de tercer
reales,
miembro de (2.77)
grado en e.
grado solo posee una o
se nos pueden presentar
Dado gue
tres
-Zos s:gurentes
7a
reaJ,
casos:
0 1 ,.
€ri cugo caso La soLuci6n de (2.17)
intersecci6n
de
intervalo
un
ur?a
soLuci6nes
1. - Que La ecuacrdn tenga un so-lo punto de corte,
el. eje
henos
abierto
con
eon
serd.
e-Z
dominio K, es decir:
K1
(-@,Al)nK=
o bi6n
(0I,+@)nK=Ki.
2..- eue La ecuacidn-'tenga tres
real,
'.r\
0L,
0 2 y g - :,
puntos de corte
con
€n cugo caso ef dominio
-727*
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
el.
e,te
donde e
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
la
verifica
(2.77)
condici6n
uni6n de dos intervaTos,
intersecado
K,
con
formado
estar6.
g otto
uno cerrado
g
tal
como
se
por
7a
abierto,
expresa
a
conxrnuacron
t t 0t, 92l
-
03, +-
u[
)]
nf
=K2
o bi5n
l, ( - @t 01 I u |
En
casos,
cjertos
02, 03 l]
eJ
n K = K2
coeficiente
de
03
puede
anu-l,arse, fo gue d6. Tugar aJ siguiente
Caso particuTar
primer
E7
miembro
en una pardboTa de eje
convierte
b*i
gue
.t
b^i
=
condiciones
- 5i
al-
se
si
(2.12)
menos
uno
de
-los
dos
no se parametrizan
Las
se anufa;
factores
^5i
verticaT
(2.77),
( 12Z - r1r3/ = O.
Esto nos l"Leva a suporer
-
jnecuacidn
7a
de
a
( t"2
0,
gue
a
eguivaLe
de no negatividad.
- T1f3J= 0,
so-Zo cuando aT = aj
g a s a b e m o s -q ' u e s e v e r i f i c a
"T
j,
aj
e R
- t 28
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
g
aj*
o.
cuando g
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
Bajo
hipotesis,
esta
coeficiente
d.e
el.
gue tome el.
signo
podemos encontrar
nos
o2,
segin
con
varjas
posibi-Z jdades.
0u1 g 01. los puntos
Nota : Vamos a denotar por
dicha parAboJa con eJ eje
En funci6n
de e2 y dei
A.*
Que
Oaj g 0bi,
reafes
8.-
Que el
C. -
Que
2 Ob*i,
el
}ai,OAi]nK=Ki
sea negativo,
no es posibJe
discriminante
coeficiente
<ie 02,
de contacto
es Oaj.
x0i(g)
de
srendo negativo
ef
de g2.
coeficiente
*Stfe)
eL coeficiente
posi tivo.
r0e[
discrininante
coeficiente
por 7os dos ntmeros
aL suponer negativo
0D*i,
2
Tinitada
venga
de7
puede ocurrir:
cuando exista,
92 g el. discriminante
*itte)
respectivos
de -Zos signos
soLuci6n
de
real.
discrininante,
La
de corte
2
se
para ningin
anule,
en cugo caso ef
0b*1,70=Oaj
729 -
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
3iendo
tnico
nK=K4
e.
no nul.o el.
punlo posibTe
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
D. -
E. -
dos intervaLos
abjertos
xQjf0/
Yg e{(-
Que
2 eb*i,
positivo
d e 0 2,
*Q11e) =
caso
F.-
negativo,
e7 coeficiente
posible
supuesto ,
teniendo
cugo
€fr
toda l-a recta
caso
signo
tenemos
rea-Z.
Ob*j, Y e e R n .K = K6
extremo
es
a
0".
de
coeficiente.
e-l
n K = K5
Oaj I u t OAi, + -)}
-,
sea
como doninio
g
positivo
siguientes;
discriminante
e-l
sea
7o que nos dard 7a uni6n de Jos
positivo,
discrjmjnante
g2
de
coef iciente
e-l
Que
asj
suponet,
La
expresidn
pod.ria resumjrs a
mismo,
(2.7I),
nul-o
el-
bajo este
"o^o,
( Qi + bn1l 0 + Rj 2 0,
donde Q1 g Rj tienen
de
-Za hip6tesis
presentarse
ga conoeido.
e-l significado
gue
(
-los siguientes
Qi
+
b* i)
x
O,
Bajo
pueden
casos:
-Ri
- Si
( Qi + b*i)
> @ ===) e >
, Por tanto
Qi + b* i
e e [ - R 1/ ( a i
.*
+ b-1),
-730-
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+ -
)
n K = K7
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-
- Si
( Qi + b*i)
..D ,-:.
< 0 ==> 0 <
, €s decjr
Qi + b* i
0 e ( - @ , - R 1/ ( a i
Trds
dominio
(i
gue denotaremos por K1,
expresando
*4 (g) ,
a
relativo
estudio
este
n K = K8
+ b*1))
= 7,
2, . . . rn),
deJ pard.metro para el. que xQ1e1 cumple
restricci6n
de
no negatividad.
restriccidn
de
no
verif icaci6n
cualguiera
del-
de Las
Es evidente
negatividad,
parS.me.tro K1
opciones
i,
el
podrd
anterjores.
terminanos
7a
e-7,
i-esina
gue para cada
subdominio
de
bajo
presentarse
Podemos conc-lujr
con eJ siguiente:
COROLARTO
2.i.2.4.-
5e verifican
de no negatividad
*0fg/
g cada una de
todas
parametrizadas,
< 0 + oDnj,
ts 0 e ni
Demostra cion
Evidente.
-
731
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
-las
restriccjones
sj
Ki,
( i
* 7t 2,...,
n)
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
restartes
cumpJe Las
pasalnos
de desiguaJ-dades -Iinea-les,
deJ sjstema
condiciones
*6(g)
de comprobar si
A fin
a considetar:
K
SUBDOI,IINIO DE
2 . J .3 ..
DONDE
*Q(e)
LAS
VERIFICA
RESTRICCIONES PROPTAS
propias,
gue
AL iguaL
miembro
gue
eJ
resu-ltado
puds,
Tendremos,
-las de (2.17),
by.
de
Asi puds,
polinonios
de
g
en
ga yjstos
t m )
dlnensi6n
*0f gi en 7a correspond.iente
agrupar
tdrminos
semejantes.
iddnticas
a
- saLvo eL termino independl.ente gue incTuird.
d7 no existir
Los
variaci6n
potencias
primeros
no positivos
Los cuales
de
matriz
en generaT, fr-D inequaciones
-Zas djstjntas
obtener,
es una
de sustjtujr
propia
restticciin
fi*ft...
gue cada una de sus componentes no es mds
La
en
( k =
-los
de
(2.Li)
de
Ak
de'l.as
coeficientes
'(m-n)
x:n. Por tanto, e-Z
d.e d.inension
propias,
restriccjones
(1.39),
en
matriz
7a
representa
(2.13)
bk + 0 b*k,
A,kx0(o) s
(n-n)x7,
7as restricciones
sj
),
primer
icarA
un subdominio de K ( gue puede ser
menos en
aL
inpropio
h a T L a d . ov e r i f
*Q(g)
Ej vector
de-I
pardmetro,
mjembros
de tercer
- 732
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
de
volvemos
a
cada inecuaci6n,
grado en O,
se nos - podnd.n presentar
en 2.3.2.3.
en Los coeficientes
en cad.a uno
casos andTogos a l-os
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
( i
LLanandoKi
d.ominios
g
de
en Jos gue x01e1 cumpTe 7a correspond.iente
es obvio gue (2.f3)
propia,
restrjcci6n
=n*-1
se verificard
YeenjKj
Uniendo Los resul.tados obtenidos
de 2.3 .3,
en 2.3.2.4
-Los
eon
Jlegamos aJ siguiente
OpTr r 4A
SOLUCTON
2 . 3 . 3 .7 . - L E ![A , *0 re J COr qO
Siendo
(i
gue
K
j
= 7, 2r...rfri
l.
x q ( g)
eJ dominio
= n*1,
satisface,
parametrizadas
de variaci6n
fr*zr...,
fr),
respecti vamente,
de e
g i(j
rl Kj
-Zos dominios en Jos
las
retri
cciones
d.e no negatividad. g 7as propias,
pod.emos
d e J -P . P . Q . C . ,
vg e K0,
af irmar :
" *Q1g1 es 7a soiuci6n
siendoK0
= ( ni Ki
optina
) n ( nj Kj
) n K ".
(2.14)
Demostracion
tr
Evidente.
733
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
TEORET{A
2.i.i.2.-
Los valores
para
*Q (g)
.l.os gue
h, h = I,
m,
2,
inecuacion
7a siguiente
se haJ,Tan reso-lviendo
b*h (t2z
0
restrjccion
una determinada
verifica
r1r3/ e3
f , n r = f g i 7 [ ( f z u - T 3 o )a y - ( t 2 Z
{ I t i - L a h ,i l
+ Bij(tZo - r:uJI
- { tni=1ap,i
-
pardmetro
de|
r1f3/ + 2r2b*71 le2
tby(t22
( var - 2tzpr ) + Bijo I -
| [nr-]Bjr
[ f,nr=-lah,i xnr=J.Birpr -
-
( 2t2bn + b'1)]e
f113/rr 1 +
b 1 1] > O
(2.rs)
donde Tl,
t2,
conocidos,
matriz
B-l
Brr
g gij
cotrespondientes
g
t3,
o
(irr
= 7,
son los
u
-Zos nrimeros
son
n)
rea-les
son -Ios elementos de La
efementos de 7a columna j
a Ja variabTe
ga
sensjbjl.izada
de
B-7
xi.
Demostra ci6n
Para aue xl191
verif igue
J-a restricci6n
h,
cumpTirse gue:
ahr *b(g)
s
bh + o b*h,
- 134
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
h = 7, 2,
...,.m
debe
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par 7a matriz
*6(g)
Sustjtugendo
( 2 .8),
dada cad.a una de eJJ.as por
iccion
-Za restr
h como uhT '
de sus componentes,
g expresando la matriz
( dh,l,
. . .,
( 2 . 15) despucis de agrupar en p o t e n c i a s
en
teniendo
gue
cuenta
se obtierie
dhrn),
de
decrecientes
H(g)
de
denominador
e]
de
g,
es
estri ctamente positivo.
2.3.3.3.-
tr
CASA PARTICWAR
ptimer
El
mjembro
(2.7
expresion
de s e g u n d o g r a d o e n g,
en un trinomio
conviette
7a
de
5e
en uno
Aa
-Zos dos casos siguientes:
vimos en (2.12)
d e 0 3 s e a n u - l a, l o q u e e q u i v a L e c o m o g a
'o
no patametrizamos 7 a r e s t r i c c i 6 n
a que
h,
a se expresa como a = ai
5i
eL coefic:ente
o eL vector
ai
e R,
o
am.bas cosas.
bi6n
5j
m
e-i,
Eni-lah,j
+ bh = 0,
f,nr=-lgirpr
esto equivaLe a gue
ahr xQ -- by2.
La explicacion
de esta
segunda
posib.i lidad
es
La
srguiente:
"si
Convexa
(
gue vendrd
en
e-Z
ptobJema
de
Programaci6n
P.Q.C. ) halTamos eL 6ptino
expresado
_1
por xQ = - B-'
-
135
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
F,
de Ia
Cuadrdtica
funci6n
7ibre,
g aL sustituirTo
en
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
7a
h
restrjcci6n
gue aJ trabajar
podemos asegutat
ae xi(g)
sustjtuciin
permite
poTinonio
-los
f aciTmente
haLJar
e3
en
En ese caso,
se anu-l,a.
podemosreso-l ver la
e * 0,
nuestro
en
en La misma restricci6n
un
obtener
independiente
en igualdad,
dsta se vetifi'ca
vaTores
probLema,
tdrmino
cugo
pot
que resuJta
deL
A, con
en 02
pardmetro
gue
g
7a
E
vetifican".
Teniendo
en
cuenta
el-
Teorema 2 . j .3 .2. ,
e J Lema
puede expresarse como sigue.'
2.3.3.7.
2"3.3.4.-
5i
g,
fa
parametrizad.a,
dividiendo
inecuaci6n
entonces
LE|4A
obten jdos
como
con
(2.9)
de
sol"uci6n
coincide
respectjvamenter'
soluci6n
d e l o s m interval-os
La interseccion
K,
entonces
deJ parAmetro
g
(2.73),
*Q ( g)
es -Za
(2.1)
d e L p z o b L e m ag e n e r a l
Demostraci6n
Evidente.
La condici6n
verifica,
lo
gue
casos generaTes,
pata este Lema no saempte
reguerida
nos
LJeva,
a redefinir
para poder trabajar
el. concepto
como:
-736-
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
ya u t i T i z a d o
se
en Jos
de r0
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
DQ = K0 = t o e K / uhr *6(a)
m \,
bh+ ob*h,
(2.76)
dondd
hemos
de
-1os dos sigujentes
forma
lema anterior
a
CoroTarios.
x0
=
K,
entonces
*Q (g)
busedbamos de7 probfema P.G.P.Q.C.
a gue x0 (O)=5nt'^o.
2.3.3.6.-
*4(g)
es
la
soJ.uci6n gue
Y0 € K, l-o que eq,uivale
Se habria f inaJ-izado e-Za|goritmo.
COROLARTO
Si,
por eJ contrario,
.ic0es un subconjunto
serd 7a soLuci6n d.el P.G.P.Q.C.,
IncJuso en el. caso en gue K0 sea vacio,
acabamos de af irmar,
Evidentemente
verifica
de lugar
COROLARTO
5i
K,
pero
distinta,
en 2.3.3.1
n6 del
o
verificaci6n
2.i.3.5.-
i60
a como 7o hicinos
eguivaLgnte,
La
expresado
y O e r0
esto
iLtino
Lo qqe
se verifica
significa
restricciones
KO, J-o gue nos obliga
-737-
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
gue
cuando
de
K.
c
E
siendo dste e-l caso triviaT.
al, menos una de las
- . . . v a J - o r e se n K -
propio
*Q (g) no
0
toma
a pasar a 7a FASE 2.
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
2.4.-
APTII,TIZACION DE LA FUNCION OBJETIVO
SOIIETIDA
A
UNA
RESTRICCION ACTIVA
Este es ef momento en eJ- gue conviene recordar
jdea
a
fundamental
seguir,
es
sobre La q'ue se apoqa eL metodo gue
una
generalizaci6n
una de -Zasrestricciones
minimo,
es activa
gue 7a
vamos
deJ hecho de eu€,
no verif
icada por
camo
*6(g),
para La soluci6n.
f'eSE 2 del- AJgoritno
Es claro
vacio
g,
en este
gue,
Fase,. K - x0 es d.istinto
en esta
a d e m d . s ,* 0 f O J e s n o f a c t i b l e
subdominio.
N0 = { n /
ahr*6(e)
d.eL
cuand.o 0 toma vaJ.ores
Llamamos:
> bh+ 1b*h, he fr,...,
n};
ee K- K0}
(2.17)
g se
cumple que
y e e K- K0, es srempre
u0 t O.
Sea
p*
donde P f NO )
f N0 ) = p ( NO)
represe,nta eJ
-
0
conjunto d.e Jas partes
138
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
de
1170.
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
A -los elementos de P* f NO ) le
en Los gue e7 subindice
po, *Q(o),
no satisfechas
especif ica
eJ.
restrjccjones
,
ili
indrca
gue e7 superindice
mjentras
cugo cardina|
. subconjunto
no verifica
xi(g)
,
j
nos
d.e -Zas m
es i.
yahTx|{e)>bh+
= { g /
77anar Lj i
e-l ndmero de restricciones
correspondiente
={eer-r0
tii
i
vamos a
ob*h, h e{r,...,m}
i
por e7 subconjunto j
restricciones,
}
expresadas
(2.18)
].
siendo
r.Jt
c
P*
(N0/
er
/jcr;i
donde
es el- c o n j u n t o
numerico g finito
- Sean Jos conjuntos
- Definimos
K - KQ e r,
una famiTia
denotatemos
de todos Los
i,
el
ga conocidos.
L1 de K
de subconjuntos
={r:/i
60
nrla
: . v
e-r}
subconjuntos estd
uno de estos
infringe
m }
Dot:
F
Cada
de indices; -r={ 7,
subdominios
K
de
-
fornad.to por 7a uni6n
60
mismo nrtmero de restricciones.
coincidir|.
con
t.
U7
e-Z
rt,
V1
subind.ice
17
U-
-7i9-
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
7
Uorra"
en
*Ofg)
Dicho nimero,
del-
subconjunto
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
F, asi
Evidentemente esta fanilia,
una part icion
definida,
de K - iqO.
Considerernos ahora un conjunto
val-ores en 61,
formado
por Ja
es no vaeio g,
uni6n de
zI
ei, ptoblena
objetivo
FORTIWACION DEL
pot definici6n
estd
contenid.os en /( - i(0.
intervalos
sometida J.a funci6n
2 .4 .7 . -
toma
(2.Le)
l
ademds,
Pasemos ahora a resofver
ocupa,
que cqando 0
i.
Lz = { e e K- r0 / z = ILin( i)
conjunto
tal
*Q (g ) inf ringe eL menor nimero posible,
de restricciones
este
constituge
generaT q'ue nos
a una so-Za restriccion.
P.G. P. Q. C.
SOIIETIDO
A
UIVA
de
Las
REs?RTCCIONACTIVA
suponganos gu. *Q(g),
restricciones
partida,
h
del
v
e
e Lz infringe
s:.stcima de desigualdades
por ejempTo h = hl- e I 7, 2, . . . ,fr\,
- 740
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
TineaTes de
esto equivaTe a
gue
ahrT *4(e) > bht+ eb*hl,
una
h7 e rOf e,,t
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
A continuacion,
introducimos
virti€ndola
-
€l
paso a segurr es:
restricci6n
esta
probJema,
g(x,O)
se ha transformado
= ( p + }p*)T*
en:
+ 1/2 *T( a + aB*) x
ahl?x = bh1 + O b*y1
Suieta a
con-
].
EJ probLena a resol.yer
Pdra su soluci6n
2 .4 .7 .1 . -
el-
en activa,
l-J-amamos 5 = 57 = t W
I"Iinin.
en
necesjtamos
(2.20)
el, Teorema siguiente.
TEOREI,IA: EXPRESTONGENERALDE LA SOLUCION DE UN
P.G.P.Q.C. SOHETTDO
A U N A R E S ? R I C C I O NA C T T V A
Un vaLor
pata
f actibJe
( 2 .27 )
e-Z problema
viene
dado por
xs16(0) = vi 1oS-
( B + oB* )-lahl
x-lnl
Gm(o)
( 2 .21)
siendo
Gnt(o) = L ahtr*Q(e)
y-7nl
-
*
( b n t + o b h I ),J.
a + gB* )-7ah]-)-7
= [ ahlr(
-
747
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
Demostracion
Si a (2.20)
en
eJ
pArrafo
(1.29)
Je aplicarnos e] resu]tado
g,
7 .7 .2
teniendo
en
obtenido
(I .37 ) ,
cuenta
tenemos.'
xsTc(g) = *Q(e)
( a + o B * ) - 7 ^ h 7 x h r( o )
donde denotamos Dor
xhl(e) = 1"hlT1p + 0B*)-7ah7l-ltahlr*6(e)
= y-fhl
Gnl
gue sustj tuido
en
Vamos a
particuJar
dt
x"g(0)
nos da
piantear,
a
por
no se ven afectadas
pernirtird
0b*y7)) =
(e)
sensjbj Tizacian
de
(byy
expresar
el
(2.21).
E
continuacion
en e-Z g'ue Jas restrjccjones
pardmetro
cada so|ucion,
0,
este
de esta soLuciSn restringida.
2 .4 .7 . 2. -
LA SOLUCIAN GENERAL EN
nos
caso
ademdsde en su
generaT, €a funci6n
?EOREI'IA:
probTema
un
FUNCION
forma
DE
LA
SOLUCION DE UN PROBLEI"TASOLO PERTURBADO EN LA F . O.
S u p o n g a r n o sg u e e n ' n u e s t r o
f uera
b*
=
0,
l-o
que
problema
egui vaTd.ria
- 742 -
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
a
inicial
un
(2.t)
Problema
de
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
Cuadr6.tica
Progr.amaci6n
perturbado
F71
eJ
g (x,
En este caso,
(2.22)
activa
considerar
hlT
a"--
x
p1 .h- l
-
g u e e n e I p u n t o - Z. 5 .
Ja restriccion
( 2 . 2 3)
-
su p o n g a mo s e u e xQ1g1n o v e r i f i c a
l-a restricci6n
hI,
(que
E, siendo E un subconjunto
cuand.ob*hl=O,VOeKl
dado por
h7 de
a
se reduce, logicamente,
5i
ha
se
s)
e-l mismo significado
xgB
teniendoA,
ser
sofo
<b
Ax
5ujeto
puede
gue
l-a F.O. , e.s decir
14inin.
(2.20)
Convexa
de I(1.
vacio)
pasamos a7 problema
( 2.1) , s€ verifica
,,*Q1O) infringe
general
de
sensi.bi-l izacion
gue ;
7a misma restricci6n
y e e K n ( Kl
- E),
cuando Ob*lrl. < On
Demostracion
Partimos de 7a h.rpdtesis
restrjccion
hl
cuando 0 e K1- E, 7o gue
ahtr.*i(e) - bnt
-
\
de gue xQ{e) no verif ica
743
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
eguivaLe a gue
J-a
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
Supongamos gue L b * h 1 < 0 .
e-Z p r o b T e m a g e n e r a l
CA
5j
*Ofe,
de patametrizacion,
verif
i c a s e h]
en
V 0eKn(-Kl
gue cumpTir
tendria
ahlT *Q(a) < bnt* o b*h-l
de donde
expresi6n
en contra
de 7a hipotesis.
rEoREr,lA
Si La restriccion
hl
expresada
misma que 7a correspondiente
soluci6n
Ob"jrL < O, no podria
cugo segundo miembro, al- ser
ser positivo
i.n.r.3.-
- bnt
"ore,,t
ahrr
o b*ll
de. este
del
(2.23)
probTema general
puede obtener comosuma de
*57(O),
(2.23)
soluci6n
y una
7a
es
(2..1),
gue hemos TTanado xs76(0),
iTtimo,
sometida a 7a restricci6n
por
.de
expresi6n,
7a
7d
se
r.o.
funci6n
de 0, de 7a forma:
*s7(o)c = *sr(g)
+ [ o b * h - z/
(ah7r Aip(a)
(i,
'-I/emos" denotado por Aip(0)
en 7a gue e-Z elemento Aii
p
7a matriz
=
"hi)]lAip(e)
n)
l-,,..,
adjunta
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
(2.24)
d e ( a + O B *) g
no depende deL pard.metro.
- 744
uhll
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
Demostraci6n
Por (1.29 ) sabemos que
= xi(e)
*s7(e)
-
l-a soTucion de (2.22 ) serr.a
( B + 0B*1-7.h7 y-Lnt
1;.hry|(o)-bnt)
g teniendo en cuenta (2.21)
xsTc(0) = *s7(g) +l( B + eB* 1-ruh7 y-f nl b*1110
(2.2s)
Como
( B + 0B* )-7
'
v-7nt
= A1p(Q) /
= | ahTr ( Aip(o)
la + 0B*1,
/
l.B + gB*l) .hr
= la + es*l / ahlr a1o(o)
sustjtugendo
2 .4 .7 .4 . -
Bajo
d.enotando
en (2.25)
T J e g a m o sa
l-1
=
"hI
se o.btjene ]a expresidn
(2.24).
!!
TEORETLA
l-as mismas hipotesjs
por
Xhl (e)
Lagrange asociador
g
\h76(0)
g
a *5f
xSfc(0),
verif ica:
-
7/tq
1=J
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
anterior
g
-Zos nuJtiplicadores
de
deL
-
Teorema
respecti
vamente,
se
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
\hlc(o)
= x h l ( e ) - [ b * i r l l a + o . B *| / a h l T a 1 o ( 0 ) r i r l 1 0
(2.26)
( i,
p = 7r..,j,
n)
Demostraci6n
Evidente,
del
sin mds gue tener
g e7 hecho de gue
Teorema anterior
lht (e) = \h16(o)
A efectos
contar-
+ e y-Lht
de rapidez
bnhl.
E
en eL cdJcuTo,
es
f actibJe
conveniente
componente j
con La expresi.on de una determinada
La soiuci6n
de ahi
en cuenta Las notaciones
de
denotaremos por x5761(0),
.haL7ada, eu€
gue propongamos eJ siguiente
Teorema
2 .4.7. 5. - TEORET4A
La componente i
(i=7,
xS76(0) toma 7a expresion
x5161(a) = v-7h;l.(
2,...,
soLuci6n
siguiente:
bx1+ eb*hJ) -
E n y = 1 f1 y ( o ) a h 1 , r
n) dei vector
-
tnr=laht,rx|r(g))l
E n y = 1 fi 7 ( g ) p r
- 0tii(o)n*
i
(2'27)
- 146 --
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
ahl'T = (ah^r1,..,
siendo
( a + en*1-l
=
ahL,r,..,
( tii(O)
j = f,
(i,
),
g
7a matriz
2,...,
n) es 7a
anf,n)r
c a l - c u L a d ap r e v i a m e n t e e n ( 2 . a 1
Demostracion
en eL primer sumando de (2.2U
5i
por
obtenido
*{ fg, ,
cuga
expresion
sustjtujmos
viene
eL vaTor
dada en (2 .3 ) ,
abtenemos:
x s l 6 1 ( 0 ) = ( a + o B *) * 7 1
"hJ'v-l
htt ( bht+ 0b*nt)- ahTTxq(e)l*
- (p + ep*)l
(2.28)
Si J.J.amamos:
- bnt = a J-a constante
-
ahlT -
(ah|,7,..,
-Za restriccion
a h 7 , n ) a J -v e c t o r
y-Inl
-
( B + O a *1 - I = ( t i i ( O )
€s, en este
matriciaL
entonces,
'g,
tras
componente cuaLguiera
6",v5!61(0),
de -los coeficientes
de
caso, un ntimero reaL
),
* 0 ?( e 1 = ( x Q t ( o ) , . . . ,
podemos,
h1
considerada
-
-
de La restriccion
dada por
(i, j=t,
2,...,
n)
* i n f e ))
expresar la iguaTdad (2.28)
eL
d.esarroLJ.o de Ia
en
misma,
de g, lTegamos a 7a expresi6n
(2.27).
-147-
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
forma
para una
buscada
E
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
2.4 .1.6, - Corolario
5j
-la restriccion
gue l"a gue verif icaria
restricci6n
i
activa,
de 7a soLuci6n
componente j
del
h7 deJ probJ-ema(2.20)
(2.2j)
]a expresicin
cuando b*hr=
generaT
o,
para
entonces la
puede expresarse,
problema restringido,
x5161(0) = xSli(A)
es la
misma
una
so-la
componente
en funci6n
de La
de modo guej
+ gy-lhtb*h1lnr-]fjr
(O)aht,t
(2.2e)
Demostraci6n
conocienclo ta expresidn
para el
probTema (2.22)
teniendo
sonetido
(2.2s)r
en cuenta
ilel vector
a una
xsl1(0),
restricci6n
s€ 77ega sin
sor.uci6n
hf,
g
a
Ja
dificultail
de (2.29).
obtenci6n
vamos
a 7a soluci6n
optinaTidad
E
ahora a ocuparnos de-z nultipricador
haTlada,
culo
signo,
en generaJ,
o n6 de dicha so-lucidn.
soTuci6n
factible
activa,
el
se haga obtenido
siguiente
- 148
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
determina ja
En eL caso de
gue
ja
con una soia restricci6n
lema nos indica
su signo.
asociado
7a invariabilidad
de
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
2 .4 . 1 .7 . -
LEIIA:
Como se
S I 6 . N OD E L I , I W T I P L I C A D O R \ h L 6 ( 0 )
Los muLtiplicadores
sabe,
deJ grad.iente,
funci6n
este
iTtino
restri
cciones.
't El
l-a inica
eJ gradiente
funcion
es
de7 punto,
es funci6n
las
de
de Lagrange
constaxtes
de
son
g
Las
Puds bren;
muTtipTicad.or d.e Lagrange,
restrjcccion
de (2.20),
\hL6(6),
asociado a
€s s:empre positivo
".
Demostracion
Recordemos gue el. nul.tiplicador
\h16(0)
yiene expresado pox:
de (2.20)
a -la restriccion
= v-7hf.l
de Lagrange asociado
ahtr *ifg)
-
( bnl+ 0b*6))
siendo
y-Int
gue
serd
= | ahlT( A
gg*)-I
*
un nimero positivo
de una f orma cuadrAtica
uhl l-1
ua qrue se trata
sindtrica
d . e fi n i d a
AdemAs, ga qruenos
dinensi6n
7x7 .
hip6tesis
de gue *Q1eS no verif ica
-la restricci6n
( bnt + gb*nt)
-749-
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
posl.tiva,
encontramos
verificard
ahTT *Q(e) -
de La inversa
> o
de
bajo
hI,
se
7a
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
De Jo anteriormente
e x p u e st o ,
<F
dadltfaa
ntla
rllre,) > o.
2.4.7.8.-
E
COROLARIO
vector
E]
c7
x"'6(8)
serd
7a
K - K0, sj
P . G . P . Q . C . en e-Z subdoninio
soLuci6n
deL
optina
se verifica
a xsTc(o) < D + ob*, y e e K - K0
Demostraci6n
Al
ser,
Corolario
es
Sufr ciente
de optimalidad
una
consecuencia
LLegados a este
eL ptoceso.
d.e 7a
ditecta
'
dada por
l'
e-Z
cond.ici6n
el
CoroTario
anterior,
se ha
FJN.
g en Los gue eL
cubre todo K,
para eJ P.G.P.Q.C.
0,
ptrrnto estamos ante dos posibiTidades.
Hemos halLad.o dos subdor,rjnjos disjuntos
cuga uni6n
)
\"'"(0)
e n a u s e n c i a d e degeneraci6n
En el. caso en que se verifigue
terminado
1. 1t-
como ya hemos demostrado,
adopta, como funcion
dt
x9(e) g xrL6(0),
vector
150
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
sofuci6n
de g, 7a expresi6n
respectivamente.
-
X0'g K- x0,
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
Pasemos a d e f i n i r
el
Las rn-1. r e s t a n t e s
verif ica
conjunto
restrj
cciones
/(sI = { e e K_ r0 / ahr*57, (o)
hI,
h *
de manera que ye e xSf,
La uni6n,
nos
citados
siguiente
( h = 7,...,
€f vector
x" 6( 0)
g que TJanaremos
bh+ gb*;,
m
(2.i0)
)\
xSIc(O) es 6ptino.
g u e T T a m a r e m o sD 2 ,
de -los dos subdominios
de pasar o no,
-Zanecesidad,
indicard
q7
-
e-Z gue
en
a -Za
Fase.
D2 = K 0 U K S l
Puede ocutrir:
a) Que D2 = K, en cuyo caso el. proceso ha finaLizado.
b) Que D2 sea un subdominio propio
caso,
y e e
K-
D2,
no
de K,
existe
D2 c K,
vector
FfN.
en
este
soJ.uci6n ' del
P.G.P.Q.C. g pasariamos a l-a FASE 3.
Para genetalizar
encontramos,
proceso,
e-l
en una FASE a
supongamos
cuaTgrur.era g,
pasamos a 7a Fase Q+7.
757
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
gue
nos
seguidamente,
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
2.5.-
EL "VECTORSOLUCION PARA 0 RESTRTCCTONESACTTVAS
Partimos
U KSl,
U KSl U
con 7a condiciSn
el
no
hecho
gue
de
La
en
Fase Q
hemos
e7 subconjunto propio:
obtenido
Dn = yi
.del
2,.. ',
c K, con
Dn * K
de eue:
subdominio K- Dg es distinto
f actible
es
(q-1)
expresamo" .o*o
e-Z vector
*s7,
deL vacio
soTuci6n
(g-7)
2, ' ' ',
haL7ado,
g
gue
c(g) .
Esto,nos conduce a 7a Fase Q+7 siguiente.'
FASE Q+7 del AJgoritno
vector
Ns7,2,...,
N57,2,...,
(g-7) (g),
(q-7)
h * hi,
(q-i)c(g)
*5I,2,..r,
so1uci6n
es decjr
lo
expzesamos como
defininos
2,...,
161= { n y4hT*57,
i=7,2,...,(g-l),
(q-1) (e) >
bh+Ob*h,
0 e K-D,.I c { 7,2,....m
i
(2.37)
es eyidente
g u e i v s f, 2 , " ' ,
(q-1) (g)
es no vacio
t'oma vaTores en e K- Do.
752
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
cuando o
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
Siguiendo
trabajo,
7a
con
en -la fase
empJeada
p
a<f
AN
en K- Dq una partici6n,
vamos a obtener
gue ocurriS
metodoTogia
i n tst sa5 - l
)I
-:t
7 del Algoritmo.
5ea
.Los
el.ementos
- i
ntmero
ind.icar|
gue coincidirl.
cudl" representa
_ -7
=
(
t-
^
0
cardinal
un subconjunto
de
de
gue
-las
xsl,2, "',
soluci6n
con el
en
cf ases
e-Z
d.e restricciones
ntmero
e K-
D-
htll
/
Y
q?
a"'xu-t
2r. i
con h t
Tjrp
seran
(q-l) (g),
deJ superindice
retrjccjones
no
de
j,
€7
Jas
m
Por tanto
existentes.
L J ; LnY
e7
el. 'vector
por
satjsfechas
( g) ,
P* q
gu€ expresaremos por Li is,
eguivaTencia,
subindrce
de
= i g /
x51,2,...,(q-1)
restricc
, (q-7) (e)
hi,
> b1 + ob*h,
q s fr, i=1, . ..,
(e) no satrsface
a7
q-1]
menos
una
ionl .
(2.32)
gd definido
s i e nd o I e J co n j u n to ,
-'1
de indices,
se cum ple gue
^t
ZtiecP"g(e),jcI,jeI
Partiendo
deL
encontzado.soiuci6n
de'subconjuntos
con junto
donde
no
hemos
K- Dg, defininos" una faniTia
factibJe,
Fo
-
tod.avia
753
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
f-)'-1
t'q=1nig/7erl
formada por l-a uni6n de todos Los subconjuntos
2r "',
Los q,u" *5f ,
(q-I) (g)
Podemos, por tanto
retrjccjones.
L ;1nY J - Y=
en
el- mismo nunero i
de
expresar
tJ: LJ;-
es cLaro gue esta famiTia,
K-
infringe
de K- Dq
F,
una partici6n
constituge
de
Dn.'
:
De todos fos subconjuntos
aguel
en
eJ.
que
xs7, 2,"',
ntmero de restricciones
Lrg
e s t e mi n i mo
Este
definicion
2.5.1.-
se
tee
i.
(q-1)(g)
vanos
a
considerar
infringe
e7 menor
Sea
K-Dq/z=rlin(i)
a L ca nzar d poz
conjunto
L1n,
i2.33)
]
ser "1 < z s m - p+ 7.
gue acabamos de definir,
7a uni6n de intervafos
contenidos
Ltg,
en K- Dp.
LEI'IA
La cJase de eg'uivaLencia Lrg es no vacia.
Demostraci6n
Evidente
-
754
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
es por
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
2.5 .2. _
FORUTILACION DEL
PROBLEI'IA
sortETIDA LA F.O. A
GENERAL
RESTRTCCTONES
ACTIVAS
O
Supongamos gue una.de -Zas restricciones
fr },
hq e { 7,...,
esta
Convertimos
en activa
U Tlamando
q, = { h7, h2,
hq },
q < m
gue tenemos g'ue reso-l.ver se ha transformado
el, problena
g ( x,
I4in.
a
cuga solucion
en;
g)
ahi| x = bhj + 0b*hi,
(i
=7,.t.,
q)
(2.34)
7a obtendtemos como sigue.
T E O R E I L A :E X P R E S I O N C E N E R A L D E L A S O L U C I O ND E U N
2.5.2.7.-
p.G.p.Q.c.
Un
(2.34)
1e) > bhq + 0b*6g,
restrjccidn
5 = 5f , 2r...,
Sujeto
(q-l) (g) g
}'0 e K- Ds, es decir
x51,2,...,1q-7)
ahgf
infringidas
(q-1) (g)
e s h q , h g e l v S l, 2 , " . ,
2,...,
por *5f ,
PARA]4ETRICO
ST T V A S
s o r 4 E r r D o A Q R E S T R T C C T O NAEC
val-or factible,
€fr
nos 7o d;i 7a siguiente
K - Dq,
para
e-Z problema
expresiin
xs7,...,QG(g)= xl(e) -(B + 0a*1-7 ATsl,...,e
lsf,"
"q(g)
(2'3s)
-
155
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
en 7a gue
ATslr2,...
traspuesta
esta
=
,Q
de
hi
utt'
- t51'.-.,Q1g1
q)
i=l
vector
representa
de -Zas restricciones
t.anto, de dinensi6n
es eJ
asociado
(
),
7a matriz
Q, g, por
fase
exf,
,
(
Ft't
nxs.
nuTtipTicador,
a 7a soiuci1n
activas
7a
de
g cuVa expresi6n
dimensi6n
yjene
dada
por:
( e ) - ( b s l , . . . e + 0 b * s - 2 ., . . g ' ) J
,qlATsl, . . .,q*+
ISf,...,Q(0)=X-7qt
donde
g-lSt, 2.
. ., g=
, e ( B + 0 a *1 - 7 A T s l , 2 , . . . , g l - 7
2,
-tASl,
Demostraci6n
Este
r e s u - Zt a d o
problema
a
resul,tados
obtenidos
obtenci6n
del-
correspond:ente
resol.yer
en
victor
r e s u - Z . t ae v i d e n t e
(2.32),
el
punto
soJ-uci6n
(1. 32) .
si,
partiendo
de7
tenemos
en
cuenta
Jos
7.7 .2
gue
pernite
7a
(1.33)
g su nuTtipJicador
EI
r55
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
2.5.2.2.-
T E O R E T 4 A LA
:
SOLUCION. GENERAI EN
FUNCION
DE
LA
SOLUCION D E UN PROBLEI4A PERTURBADO UNICA},IENTE EN
.
LA F.O.
Supongamos. gue
sol"amente en
Es
aLgoritmo.
infringe,
F.A. ,
su
dl
cl-aro
menos,
(2.22),
prob-l.ema
el
s€
gue
encuentTa
la
en
pe.rturbado
7a
(g-7) (gl
xSl' "''
soluci6n
q de7
fase
pot ejenpTo 7a hg,
una restriccion,
verificando
, (q-t) (e) > bhg
ahgT x57,2,
5j
en
eJ
problema general
g
estudiando
infringe
de parametrizacion
g u e v j e n e d . a d op o r
7a nisma restriccion
gue estamos
(2.11,
*51
(q-l)
en
ideftica
fase,
hn,
G(e)
es
-i
decar
. ahQT xsL,2,...,
(q-I)
C(e) > bhq a eb*he
entonces La soLucion de este uLtino
por
Teorema
e-l
anterior,
probTema general
expresarnos
y i e n e d . a d . ae n f u n c i 6 n d e x S f , " ' ' q ( A )
mas
mattiz
una
expresi6n
aTgebraica
de l-as restricciones
x57, "',QG(0)=
*Sl,
gue
por
Q6( 0) ,
*si
soluci6n
depende
g eu€,
de
(2.22)
de 0 y de l-a
activas.
, Q ( e ) + o t ( B + o B *1 - l A T s t , .
Y-lsl
757 Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
g b*sr,...
.. rQ
,gJ
(2.36)
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
Demostraci6n
Partimos
sust j tuye
e-l
de
7a
primer
expresi6n
(2.35),
l
xv(0) por su valor
en
7a
que
se
obxenido en ( 2.3 )
TTegando a
x57,
,Q6(0)= (a + 0B*)-r[ Ars]
tL l lYhS- r- ( r . , . r Q '
--ts
o b*si
gy-7st
q)- Ast
q*O(e/l-(p*ep*)l
ahora e n c u e n t a g u e l a s o l . u c i o n d e
teniendo
q(e).
(2.22)
adopta
7a forma de
xSf,...,e(0)=
(A + eB*)-1[
ATSI,
lbst, . . . ,8 - esl
qY-Ist
qrc).
n * 4 f e ) ) - (p + e p n) I
(2-37)
se 77ega inmediatamente a La expresi6n
(2.36).
lDna forma computab-le nas rd.pida de halLar
E
eJ
soJuci6n
es tener-Zo descompuesto en sus componentes,
se indica
en.eL siguiente
Teorema
758
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
vector
como
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
2 . 5 . 2 . 3 , - T E O R E T L A :EXPRESION DE LA COI{PONENTEi DEL VECTOR
SOLUCTONGENERAL
La
componente
( i = 7 , 2 , . .. .. t -' n- )/ r i e l
i
ha1Lado xSf,. ..,e6(0),
Vo s K _
Dn,
Y'
vcr:fg7
viene
soJ-uci6n
dada
por
l-a
expresada seguidamente:
igualdad
{ f,nr=-1 [k=] g E85=1f iy ( o ) ap7wy"
xSl,...,eci(01=
I b h s + o b * ; 5 / - f , n r = - ?a s r x 0 ( o ) ) ]
- f,nr-tf
ir(0)pr-
(2.38)
Otij (0)p* r
DemostraciSn
UtiTizamos
recuerdan
Las
por
notaciones
comodidad,
siguientes,
g otras
algunas
aparecen para
se
sinplifiear
e-l c6.7cu7o.
ATsl,...,
( i - - 7,
(ahi)
q
nl
g,l
( a + e s *) - f
(t;;)
Y-lsl ,...,e(o)
bsf,...re
1 wutv(e) )
(urv=
(bni)
( i
= 7,
q)
b*sl ,... re
( b*ni)
( i
= 7,
nl
a/
Partiendo
sustjtugendo
teniendo
en
*Q(e)
de
la
soJ,ucion
dada
por su,correspondiente
cuenta
=7,
( i,i
(2.37),
-759-
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
por
expresi6n
n)
--.q)
(2.35),
(2. 3) g
obtenemos una igualdad,
gu€
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
desarroTl-ada
obtenci6n
en
de
forma , matriciaL,
Su
una
componenete
permite
nos
cualguiera
i
La
g como
taL
aparece en (2.38)
2 . 5 .2 .4 .'
LEI{A:
E
EXPRESION DEL
ASOCIADO AL
conjunto
vector
de
q
general,
restr:. cciones
es posibJe
haLlar
x S 7 ,' ' ' , g G ( e )
sometida
activas.
eL vector
expresada por 7a siguiente
de
LAGRANGE
soLucion deL
7a
F.O.
a
Asociado
a
un
este
-Z.os nuLtipTicadores
para una
de Lagrange cuga expresion,
I51,. .. '8g1(e)
DE
VECTOR SOLUCION GENERAL
Hemos obtenido e7 vector
probTema paramdtrico
I{ULTIPLICADOR
componente
i
viene
igualdad.
= t8s=1wis(0)l
tnr=I
+ 0 E Q s = lw i s ( g ) b
*4r(g)
*hs
- b;251+
(2.ie)
Demosttacion
Inmediata,
g la notaci6n
teniendo en cuenta. el
natricial
definida
-760-
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
teorema de 7a base
en e-l teorema 2.5.2.3.
tr
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
2.5.2.5.-
COROLARTO
otra
en
oDtenerse
funci6n
(e)
perturbado
*51, ' ",gG(g)
soLuci6n
del problema (2.22)
puede
g
Isf,-..,qc(o)
de s u m u T t i p l i c a d o r
l S l , ' ' . ' q ( O ),
del nultipTicador,
x51,...,9
de 7a
expresidn
asociado a
La
soluci6n
e u € , c o m o g a s a b e m o s ,e s t d
solo en su F.O.
- *5I ,...,q(A)
xSf,...,gc(g)
+ (B + 6s* 1'7 ATs1,....,
q(e) -
I rsf,
e.
qc(e)
tsl
I
(2.40)
Demostraci6n
Partiendo
(2.36),
7a
de
teniendo en
lSf , ' ",gc(O)
d.e
se obtendria
cuenta
hallad.o
xSl,' ",gG(O)
expresion
eI
vaLor
en eJ punto
lSf , ' ' ' , 9 ( g )
aJ
deJ
anterior
anuLar
dada por
nuJtipTicador
g ef
0b*725,
vaTor gue
JTegamos
(2.40).
2.5.2.6.-
En
COROLARTO
ausencia
posi.bitidades
de
siguientes
a) Isf, ' .. '861(0)
degeneraci6n
una
se verifica
(-i
2 0, vi,
-
767
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
= 1, . ..,
q)
de
-Zas
dos
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
o bien
' 'Q6i(0)
b) tSl,
Esto
condici6n
I
0,
( i
Vi,
consecuencia
es
g
necesaria
= 7,...,
del
de
El signo de
asociado nos LTeva a7 siquiente
2.5.2.7.-
teorema
sufjcjente
ausencja de degeneraci6n.
q)
oue
nos de 7a
en
optinaTidad,
nuTtipJicador
este
Corolario.
COROLARTO
Diremos
optimo
,
1n
p a r a n e tT i za ci o n
gue
vector
el
e - Z s u b c o nj u n t o
h a T L a d o x S f, . . . , g G ( g )
K-
Dg
gue estafios estudiando,
es eJ
para eJ problema
si
se verifiean
de
las
d o s co n d i ci o n e s s i g u i e n t e s . .
qc(g) <
r.-
axsl
II.-
ISf,.,.'Q61(0)
b +ob*,
2 0, Vi,
( i
Yee
v-n
= 7,...,
q)
Demostraci6n
Inmediata,
teniendo
en cuenta
eJ- Teorema de la
Base
g 2.5.2.1.
s
De este CoroLario
continue.
5i
depende que eJ proceso finalice
-Zas dos condiciones
I 62
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
anteriores
se verifican:
o
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
FIN.
para
Hemos obtenido,
soiuci6n
I4inimiza
Eue
La
resumjmos en e-Z siguiente
cada
F.O.
*st ( e)
ye e D 2
"
CoroLario
= 7r. -
soluci6n
Y
grue sea el. valot
cualq'uiera
un vector,
funcion
de 0,
pasamos a
de 0 e K
es
grue resueTve ej
De no cumpTirse eJ
estudjar
el-
signo
del
de Lagrange.
a xsf '...,qc(o)
e-l v e c t o r
i
que
coRoLARIO
5i
-las
tl
y0 e K - D n
anterior,
nuJtipTicador
a
eDn
gue nos habiamos planteado.
P.G. P.Q.C.
2.5.2.8.-
ve
q
Por tanto,
enconttar
un?
:
(g-7)
xSL'"
K
del- parS.metro
Doninio
VA e KO=Df
,...,
(2.7),
er?
*o(e)
'xSf
pero
dada
de
esquema..
Vector Soiucion
posible
subdoninio
nultiplicador
restriccjones
.
s- b + ob* ,
es
de
xSl, ' ' ',qG(g)
Lagrange correspondiente
para
negativo
q g ISf, ' " rQ61(0)
es factj
P . G .P . Q . C . e n e J d o m i n i o K - D q .
- 763
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
.
tseeK-D,
0,
al
entonces
menos un
eL
bJe pero no 6ptino
i,
vector
para e-Z
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
DemostraciSn
Evidente.
g
De ser cierto
posibiljta
guitar
eL coroLario
Fase Q+7, €fi 7a gue 5 = 5-Z
con
tse,
cortespondientes
Fase
cugo vector
*{(g),
infringiria
proceso,
hasta-
ur?
(g-t)
que
so7uci6n,
con' 7"
de
gue el
restricci6n
f inal-iza
ei
nos
queda
demostrar
en un nimero m6.ximode pasos,
s:gu:ente
Teorema
- 764
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
a
7a
ser jnc-luso
para
Sl, . . . (q-t)
se
continuando
e-l
7a
dorninjo K sea denso en si
por
de
yO e K-Dq.
t,
respecto a Jos vaTores de 0 gue optimizan
SoTo
l,levaria
eu€ podria
taL U como -Zo hemos descrjto
conseguir
con junto
-Zas restrjccjones
nueya
en.la
restricciones
t
nos
r,
sj
gue
t muTtipJicadores
nuevo
alguna restriccion
EJ conjunto
ampTiaria
51,...
Asi,
Las
eliminar
obtenemos
activas
negativos.
n existen
aJ
restricdrones
Q+7-T,
e-l Teorema 7.7.i
d e 7 c o n j u n t o 5 a g ' u e J - Z a sr e s t r i c c i o n e s
lTeven asociados muJtiplicadores
negativos,
tTtino,
Pase
Q+1,
mismo con
7a F.O.
gue
e-Z algoritmo
como se demuestra en
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
2.5.3.-
fE'On.Effa: NUMEROI,IAXIIIODE PASOSDEL PROCESO
EJ
ntmero
conLTevar 7a soluciin
parametrizada
de pasos o iteraciones
mdximo
del optino
sonetida
m
a
d.e una funci6n
restrjccjones
gue puede
cuadrdtica
-Z:neal.es
de
viene dado por
desigualdad,
Pm=2m+m+1
Demostraci6n
Corno es
,
por
exc-luyentes,
Las
obvio,
distintas
1o gue hablamos del
ra;nas
son
caminos
nd.ximo nimero posible
de pasos.
Nuestro
Principio
Los
ndtodo de d.emostraci6n
ile Initucci6n
casos m=-1,g m=2,
correspo.ndjentes,
cuales,
Completa.
g sin
estd
basad.o en
Por tanto,
anilToganente a
rnds que fijarnos
s€ podrian
en sus drbol.es
-Ios restantes,
construjr
eJ
-los
omitimos por su gtan extensrdn.
aunqrue fdciTes,
Se comprueba que:
Para
m = L eJ md.ximode pasos es Pl = 2,
Jas pos-r.bJes
ralnasI
como
diagrama
arboL.
Denotamos
en
verificat',
o simpJemente por
eJ.
sol-uci6n
vector
por
" sj
t'sitt o
"no",
cumpLa o
Supongamosgrue 5 = { lf }
-
yerse
puede
155
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
no
al
en
seguir
el
verifica"
el
una de
siguiente
o t' no
hecho de gue
l-a restriccion
tomada.
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
5i
verifiea
*
h7-*->optimo
I
A
xv(0)
No verifica
ct
h1--->
xt'(Q)
optimo
*
Pata m = 2 e7 m6.ximo de pasos es P2 = 5 ( Tama en negrita)
Sea 5 = | hl,
5j
h2 I,
h2 -->6ptino
su diagrama en arboL viene
dad.o por
*
xs7( e) 6pti no
t
*
t
si
h]
h2-->optino
5i
*
6ptimo
*
No h2
rt
t
t
*0(e)----+No hr:-r"51 fol---+no h2 --t*sf
2{e1-+No
hj-, DO h2--r*6(e)
J
No h2
--,
*52 ->Sj
hl
_-> ;ptino
*
{
No hI
> ss2l ,
\l>0
g \2>0
--)
optimo
*
I
\2 < o --
x51 --> 6ptino
t1 < o +
*0 *
- 755
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
^sr.hl.->
*
xsl
--> 6ptino
*
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
quei
Analogamente se verifica
Para m = 3 eJ nAximo n9 posibTe de iteracjones
Para m
=
Ahora
bien
estos
etc
m = J
p(l)
m=2
P(2) =
m=3
=
pueden
resuftados
descompuestos de 7a siguiente
expresarse
manera
! = 27
- I
+ I
+-l=22+2
7
p(j)=10=p(2)+22+
l=23+3
t
m=4
P(4)=Lg=P(3)+2j+
f
m=5
p(S) = j5=p(4)+24+I
Suponien(lo
fr = h,
70.
obtenemos como mdxino P4 = 79 posibiTidades.
4
Para m = 5 oDtenemos P5 = 36,
Sj
es P3 =
qrue esta
5=p(7)+2
zegJa de
=24+4
7
=25+S-7
formaci6n
'para
se verif ica
con 7o gue tendtemos Ja expresion
m=h
P(h)=P(h-L)+2h'1
Veamos gue tanbi1n
se verifica
+7
para
=2h+h
I
m = h+ I
P(h+11 = 2h+7 + (h+7) - I
m = h + 1
en efecto
P(h+7)
= P(h)
+ 2h + 7 =
-
+ (h+r)
,h+7
-
-767-
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
(Zh + h I
7)+
2h + 7 =
tr
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
Volver al índice/Tornar a l'índex
.POSIBILIDAD
2.6.".
Tr6.s
DE AI'TPLIACION DEL PROBLEI{A
e-Z and-l.isis
parametrizada
soLucion
cuadrdt.ico,
de
un
encontrar
de una funci6n
no TineaL,
incorporaci6n
sucesiya
basado en 7a
restrjcciones
paTa
ef ectuado
sjsterna
de
desigualdades
pJanteamos aTguna cuestjdn
qrue se podria
abordar
anpTiaci6n
en posterjores
estudios.
I.-
de este
trabajo
posibiTidad
La
de
gue
haga
problema que puedan eliminarse
paso posterior
.
II.-
a .su incorporaci6n',
Lagrange asociado,
Ei poder afiadir,
de
de
Las
7inea7es,
para
7a
en
e-l
en
algtn
eJ muTtipJicad.or de
negativo.
en una fase cuaJguiera,
restricciones
posibTe
de tipo
restrjccjones
por obtener,
7a
reducci6n
activas,
a
subconjuntos
fin
7a
estudiar
-de
dei nrtmero de pasos deL algoritno
haL7ado.
III.-
EJ contar
al,
con un buen apogo de software
md.ximo eJ
tiempo
de
ordenador.
768 Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
soTucion
gue reduzca
por medio
de7
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
CAPITULO ilI
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
i.7.-
INTRODUCCION: EL I"IETODOCIENTIFICO
Oimos con asidui dad que vivimos
Ciencia",
pero
concepto?.
Unos
realmente gue
"uU"
sueJen confundirl-o
con l-a
aceptan
han hecho investigacion
sea de ideas,
puede ser,
en parte
una de -Zas tareas
reLaciones
adecuado,
drstjntos
partida.
hipdtesis
de
extendidas,
son gue Ja ciencia
encuentran
gue
Los
g
descubrjmiento,
concepto
para La l(atemdtica,
gd gue
consiste
el?
descubrir
proposicjones
Otras
de
opiniones,
es recoLecci6n
en el
Vemos,
gue
admite
pot
g eLaboraci6n
opuesto
gue
se
de 7a
consjste
tanto,
drstjntas
Las
bastante
extremo
hag guien opina gue
o
es
en
uJl
interpretaciones
d e e - Z - 1 a si n a d e c u a d a s g s i n p T i s t a s .
algunas
E7
f ormul,ar
ptogresa
nuevas
exjstentes
gua,
criticar.
eonpTejo
concepto
que nunca
creen gue es una Tibre creacion
mente humana.Por rt7tino,
conjeturar
tecnoTogia,
-Zas consecuencjas
o por e7 contratio,
este
Este
conceptos,
asi como en descubrrr
de datos i
de
desconocidas.
de un matendtico
entre
teorias,
nicJeo
con e-l
o de cosas antes
7a
Un concepto popuTar de
cientifica.
es eJ que 7a identifica
ciencia
indica
de personas
opiniones
de
"era
ese
gue otros
rnjentras
7a
en
cientifico
construcciones,
consjste
en
bd.sicamente
de 7a ciencia
todavia
no se
formado pot
han
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
estando
aguel.las teorias
demostrado
- t70
g,ue otras
demostrar
son faTsas o han guedado obsoletas,
gue
son
en
e-l
vigentes
faJsas.
La
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
revolucion
cientifica
jnves tigacion
reempTace
propacaa
gue
a
suoerd.ndoLo
otta,
progtana
un
de
de
modo
progresivo.
Popper,
investigaci6n
unjversaL
'tLa
public6
7 9 35 ,
en
que
cientifica"
tuvo
una
sociafes.
faJsacionista:
en
a una
cientifico
fa-?.sabjJidad,
Propuso
determinada
es
formuLaci6n
7a posibilidad
decir
metodol-ogia
1o gue confjere
definitiva,
caracter
te6rica
es
de contrastarLa
un enunciado bdsico g debe rechazar,se sf,, de hecho, estd
confJicto
con ur? enunciado bdsico
q'ue debe
adicional
pueda caTificarse
de
hechos
es
nuevos,
conocimiento
este
anterior.
autor,
cientifico
en
7a
ser
aceptado.
decir
historia,
gue
es
rnesperados
EJ conocimiento
Una
su
con
en
condici6n
para gue una teori.a
sati sf echa,
cientifica,
La
repercucion
nueva
una
de
A, en particular,
en 7a metodoTogia de la ciencia
de -Zas ciencias
Togica
debe
a
la
ci4ntifico,
considetando
como eJ proceso por e7 gue se
eJ
corrigen
predecir
l-uz
del
Lo situa
progreso
pasados
errores.
NageJ (7.974) dio
una definicion
de ciencia
diciendo
gue era una de 7as formas con -las gue eJ hombre se enfrenta
a un proceso
de comprensi6n g expJicaci1n
Lakatos
rival-es
de 7a
faLsacionismo
(1.982) hace un estudro
ciencia:
inductivismo,
de La reaTidad.
de -las metodoTogias
convencionaLismo
; e s t a n d o c a d a u n a d e e - l - Z a sc a r a c t e ' r i z a d a
- 777
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
g
por
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
gue
regl-as
rigen
de. . teorias
de jnvestigacion.
programas
o
esboza una nueva teoria
autor,
programas
que
cientificos
(cientif
icos)
AdemAs,
este
7a metodol-ogia de Los
soire
proporciona
proponiendo
de 7a ciencia,
racional
g e-Z rechazo
Ia aceptacion
una teconstrucci6n
n|todo
un
historico
para 7a evaLuaci6n de netodoTogias rjva-Zes.
(7.985)
Bunge
de todas Las cjencjas,
como faniTia
de investigaci6n
totaJidad
eampos
dd. su concepto particuLar
fond.o
eugo
deJ. conocimiento
de
conocimiento
o mejor ain
especifico
cientif
ico.
es
como campo
iguaT
a
La
Esta f anif i'a de Los
divide
se
de ciencia
dos
subfarnif ias
disjuntas:
7a de fos
campos de jnvestigacion,
mente segin
el, resul tado de dicha
investr gaci1n
dind.mica,
f o r m a l - e sr
Las
a
gue
g
presibnes
conocimiento
sistemdtico,
riormente,
consecuencia
Los
expecifica
sea cjentifico:
verificable
la
n.ecesidad
-las
-Zas
a
nds estdticos,
de
socja-Zes, como por ejenpfo,
Este autor
a
Es
una
ciencias
aplicadas,
nuevos probJemas.
7a de Los canpos de creencias,
cambiar soTo como
investigaci6n.
engToba
teenol-ogicas
formuTando g solucionando
cambiante constante-
gue pueden
reg,uisitos
faTibJe,
de
que
se
para
aportando
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
gue
un
exacto,
poste-
puedan contrastat
someter con aguda de t6cnicas--especja-Zes.
172
de
7as poTitjcas.
ha de ser racionaT,
g
o
controversias
o
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
de gue
Somos conscjentes
gue ahora presentamos ser6,
Tejano
a1
ni-Vel,
puede
g
U€
:j-'
,
contribuit,
de
(1.992)
Kunh
te6rico
en un futuro
no
pero mientras
no
t'estado
denamina
de un pragrarna de investigacion,
en 7a evoluci6n
estancado"
probabJemente,
otzas jnyestigaciones,
superado por
'tTaatta
e-Z pLanteamiento
rnanera
modesta,
probTendtica
econ6mico-financiera
un algoritma
nuevo a 7a l-uz del
aL
avance
de 7a empresa,
de J-a
aportando
gue hasta este
conocimiento
momento se posee.
Vamos
conocimientos
inversion.
reTacionados
Se trata
nodif icaciones
a-fros.
presentar
a
con junto
un
con Las decisiones
de ur? tema actuaL gue
inportantes
dpt:mas en l-a
estd
sufriendo
susta-ncja"l,es en -los {Ltinos
V
de7
gue
no
podemos
g preocupa eJ planteamiento te6rico
'paraTeTamente/
hemos ha77ad.o, pero,
ol-vidar
7a
en e-l campo econ6mico.
a n d - lj s r s
l-a
de
cuantificabTe,
afirmar
estudjar.
reaf idad
ApTicada,
Schumpeter
desde
pueda
tener
su
La l4atemdtica hace un
un
punto
yrsta
de
siendo capaz, bajo determinadas condiciones,
de partida
o negar una hipotesjs
A fjn
nos
teoricos
hechos,
introducimos
en
donde J-aEstadistica,
(7.977),
progreso cientifico
en particular,
Ciencia.
- 173
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
con
l-a
de
r e a - Zi d a d
e-Z campo de -la Economia
es un jnstrumento
de esta
gue se intenta
f os resu-f tados empiricos,
de contrastar
pJanteamientos
econ6mica,
gue
importancia
apTicabiTidad
-los
de
Nos jnteresa
algoritmo
de
sistemd.tico
como indjca
indispensab-le
en e-I
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
,J'TAS
financieras,
dificultades
fa
de
.Guetra
Segunda
surgieron
de toda postguerra
tipicas
para
apareciendo 7os pro'blemas
reconversion de La industria,
seLecci6n
l[undiaL
d.e estructuras
gue
financieras
pudieran
gue se l:abja provocado.
soportar
J-a situaci6n
principio
de La ddcada gue comienza en 7.950 se obserya una
actividad
econ6miea expansiva,
crecimiento
de
Las
acompafrado por
por
desemboco en una
provocando
-io gue 7lev6
empresas,
e-Z mercado
ni
deprimido,
especial
un
hecho
de
valores,
cambio
en
no
al-
estar
continuaba
eu€
excesjya
de
perspectiva
7a
rApido
q'ue estaba restringido,
eJ. monetario,
conservacion
gue
un
a
A
los
activos,
l-a gesti6n
de
financiera.
Podemos distinguir
grand.es
d.os
corrientes
como indica
J-a economia positiva,
a La que 7e jnteresa
-Zos aspectos
economia
prd.ctical
pogturas
indiyiduales
estas
trata
dos cotrientes
irteconcrl.:ab-les,
utiTidad
moneLario,
correcta
se
de ahi
de
la
de pensamiento,
que
,gue
se
LLevaban a
tradujo
de
retriccion
en
f.uera
prinordial
una
- 774
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
en un
oportunidades
7a
" asignaci6n
En La
econ6mica.
en l-a variedad
Le. affadia
econ6mico g La
aspectos col-ectiyos.
heCho
avance no 7inea7 de 7a ciencia
A l-a Tinitaci6n
principalmente
del. comportamjento
gue
normativa
Q ' u es o n j
Keynes (7.955),
economia como ciencia,
de La
de
recursos.
el
de
mercado
estimaci6n
Los
avances
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
tecnoT6gjcos
no soLo e7
faciLitaron
nanejo
datos- sin6.. eue, ademds, propiciaron
de
apJicaci6n
inmediata
expTotados e, incluso,
Camo indjca
totaLidad.
-las
(I.970)
hasta
para
ser
comprendido
posibTe
cada
de forma precisa
en
su
canbio
deben
ser
g matemd.tica.
Newton,
a
astronomia
construgen
eonstruccion
-las
todas
esqruemas conocidos
teoria.
en
DE I"IODELO
SOBREEL CONCEPTO
encuentra
Borh
abstraer.
de un peguefio mundo,
La idea de modeLo en su acepci6n
se
es
todas Las reTacjones deben ser c-?aras g
En 61,
determinadas
poco
entonces
teorizar
para
sinpTe
inpTicacjones
3.2.-
campos
de modeTos
impensables,
Sharpe
suficientemente
abundantes
7a aparicion
un modeTo, La descripcion
5e construge
7o
a
de
7a
base
generaTizada,
Podemos citar
KepTer,
const"itugen
g de La mecdnica.
sobre
ciencias.
de GaJiTeo,
gue
nAs
Tgcho,
Einstein,
verdaderos modeTos de 7a
Normal-mente -Zos modeLos
de
Esta idea es mantenida,
deL
desarroTJ-o
entre
se
g a 7a vez l-a
una teoria,
de modelos es soporte
Los
otros
de
autores,
7a
por
Papandreou (7.967) .
Ya en 1.954 Di Fenizio
coordinaci6n
'un 'sis.tema
de
sostenja
proposicr.ones
axiomAtico.
175
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
7a
V de hipotesjs
en
enpiricas
Segtn "dste
-
gue un modeTo es
autor
en
todo
modeLo
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
econ6nice
existen
' dos . tipos
empiricas
obtenidas
mediante
reaLidad
economica
g
de
observacion
otras,-
de
expresadas
qrue son expTicacjones
hip6tesis,
proposiciones,
a
priori
unas
propia
7a
en
forma
de
fen6menos
de
rea-Z,es.
representaci5n
ampJia
sinpJificada
aL
def inir
representaci6n
conjunto
de 7a
un
de relacjones
andTisis
un model-o es una
reaJidad,
nodel-o
concepto
economico
como
gue
una
g en sinboTos matemd.ticos de un
sinpTificada
economicas.
Dagum (7.969) postuT6 gue eJ proceso
Posteriormente,
de
Sampedro (7.960)
e-Z profesor
Para
769ico
en
fo'rna
formuJ-aciin
de
modelos
comportamienta
de -los sujetos
integrada
capaces
conduce
de
a
7a
expJicar
eJ
econ6mica
en
I
ur sjsterna o subsjstema,
El
caracteristica
ttata
de,
prof esor
de 7a actividad
sector
I4ontal-ban
a travds
de e17os,
cuVa utifidad
posteriores
decjsjones
' 'Tod.o'modeLo
utiJiza
se.fra-Za
como
paza
ser capaces de comprendet g
de
la
economia.
menta-les de sjtuacjones
representacjones
pata elsta,
se
(1.973)
de 7a economia.
bds: ca de todo modeLo su utrl.jdad , ga gue se
reso-Zver prob-Zemas concretos
tanto,
o subsectot
se pretende eon eL fin
Son,
pot
re-l,eyantes
de adoptar
en eLJa.
es una abstracci6n
obtener
una
- 176
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
de 7a
r e a . Li d . a d ,
imagen conceptual
a fin
gue
de
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
7a conpTejidad g variedad del-mundo reaT a un niveL
reducir
gue pod.amos entend.er y especi f icar.
gue
hipotesis
modelos q'ue sirzrpTifiq,uen determinados
sean
aspectos
de 7a reaTidad,
indica
Ybarra
de manera gue sean capaces,
(1.985),
suficientemente
expJicativa
Sus hipdtesis,
posibiTitan
gue
gu€,
se
(1.976),
ademds de
deben referjrse
en
su
eomprensi6n
Una
CoTin (1.975) el.
posibilidad
apunta
g
cientifico,
en 7a 76gica,
teorias
compottamiento
-las
de
no
oue
vaJor
es
poJiticas,
de
un
posible,
modelo
un
para
apLicaciJn
de
7a mejor
sjstema
e.n
por razones
experimentar
prinaria
clasificaci6n
Las
tanto
en su representacion
g sinboTos
su comportamiento
( mera descripcion
sjstema
gue
and-lisjs
de dicho
reptesentan
con
una
comportamiento
fundamental
de
entre
fisicos
como
del, comportamiento
a una profundizaci6n
en
deL
en e-l
) .
modeTo abstracto:
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
ambos
( djspositivos
desarroTl-amos en este
-177-
g
en fisicos
para -Zos segundos ),
frente
Precisamente--nosotros
7os divide
principales
diferencias
para 7os primeros
tipo
avance
eomo
a aTgin aspecto de 7a reaLidad.
en
abstractos.
un
estd
real.
situaci6n
radican
se
7eges, teoremas,
modeTos,
el
como
abstracci6n
gue
formuLaciones,
basadas estas
econ6micas o
tdcnicas,
una
agueTTo
construgan
estar
del
circunstancias
de
Qu€ permitan
Comoindica
radica
aportar
de
anal-izando.
wartofsky
pJ-ante;r
Es necesarjo
un
trabajo
modeTo
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
;Debido a su posible
natenetico;
deJ
nimero
precisard
de
variabl-es
Las
como deL de restricciones,
€fr definitiva,
a obtener
gue, segr.inLowrg (1.965),
principaLes
tipo
- Jos parl.metros
-. eL a T g o r i t m o
e5 de tipo
de
o constantes
7os
autores,
de
de
la
g
siguiendo
modeLo parece
gu€,
a
realidad
7a
La
gue
g
gue
7a aportaci6n
l-a
en eL campo de Las Ciencias
-
778 -
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
vez,
la
a una
debe
,ser
anaTizar,.
mayoria
de
sinpTificaci6n
comunes de -Zos modeTos.
invenci6n
n6.s dificil
Jimenez
referirse
Para La
representatividad
coma caracterjsticas
afirma
a
gue se pretende
determina su completitud.
pueden cjtarse
autor
numdrjcas.
perspectiva
concepto
representativa
dl-tino
gue Jas integran.
o n€todo programado para e-Z ordenador,
sinplificada
esto
-7.as
iteratryo.
e-l
exposici6n
hacerse
parte
constj tu-r.das por
estructural.es ,
En esta amplia
constjtuge
7as componentes
deben formar
f6rmuLas mateml.ticas y Jas variables
Este
eficaz.
de modeTos:
re.laciones
(7.984),
dependiendo
deJ uso deJ ordenador para su aplicaci6n
LLegamos,
este
asi
. compTejidad,
g
de un nueva modelo
vaTiosa
Socia-Zes.
gue
puede
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
.La aproxinaci6n
de tres
real puede ser
deL nodelo al sjstema
cJases, segrtn su dif icuJtad,
Los modeLos descriptivos,
con
a saber.'
una
aplicacion
para
7a
previsidn
corto p7azo,
tjenen Tinitaciones ga gue como
.a
su nombra indica,
a Ja representaci1n
se refjeren
de una
situaci6n
No
existente.
necesidad
informacion,
de
satrsfacen
ni
enteramente
agudan
a
eTegir
7a
entre
programas aLternativos.
Los modeTos positjyos
naturaTeza,
son
o de previsi6n
son predictivos
J"a manera en gue Jas decjsiones
descrj.bjendo
tomadas g -Zas reJaciones
exjstentes
entre
asegurarse de que -las variabl"es
Es necesario
por
ias
cosas.
inclujdas
eJ2
el" modeTo pueden evaLuarse en e-Z f uturo.
pJanificaci6n,
Los modefos normativos
o de
como
de estos
una
acci6n,
ser
anpliacion
como resuitado
tanbi1n
qud tipo
de
determinadas
de rendimientos
segtn sean Los objetivos
han
soTo
hipitesis,
o actuaci6n
gue se
la
deberian
5e construgen de forma que indiguen n6
hechas.
seguirse
s€ guian por
la manera en gue -Zas decisjones
indican
gud ocurrird
sjno
ril.trmos,
considerados
puede
fijado
de
. antemano.
El
uso
instrurnento
seguir,
y el
de
de
modeTos natemAticos
aguda
en
7a
J79
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
como
de una poTitica
selecci6n
hecho de Las consecuencias
-
de predicci6n
g
7os
costes
a
de
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
aiferentes
este
tipo
entre
de
modeTos.
agueTTos
funcionamiento
cuantif
hace gue nos
elecciones,
de un sistema,
el.
Las
gu€
factores,
icada,
sinpTificada
Cuando
modeLo
aLgun factor
su
conjunto.
tepresentan
modeLo
impottante,
-
Asj
relacion
7a
cambio
cugos
senciTla
efectos
de sus
exponer
(f.969),
una
forma
visi6n
sj
surje
una variaeion
resuJtante
natemAticas
ecuaciones
entre
Jos elementos deJ
produce
coeficientes,
poder
en
computarse
de
un
manera
g eficaz.
No guetemos terminar
modeTos,
-las
debe
en
e7
deL sistema.
exjstente
una modificaci6n
of rece
rnedjr el. efecto
sj
pata
importantes
natem{.tico
en
exjstentes
se expresan mejor
Un modeTo debe ser capaz de,
en
con detaJJe
tel-aciones
son
funcionamiento
dei
fijenos
en generaTr.
un mdt.odo,
de cuaJ-guiet modeTo,
breve
acercamiento
a
g a 7os economicos, en particular,
debido
eue explica
este
a
HaniLton
ei nacimiento,
siguiendo
continuaci6n.
-780-
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
g
a
otros
concreci6n
Los
sjn
autores
g apLicaci6n
eJ esguema q'ue presentamos
a
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
DEF INICION
DEL PROBLEI'IA
?OR}IULACION DEL
MODELOINICIAL
STLTULA ION
COIIPROBACION DE LA
VALTDEZ
DEL
TIODELO
NUEVA FOR-ItULACION
DEL
T4ODELO
APLICACION
I,IODELO
-
787
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
DEL
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
E7 procedimiento
este
esguema
gue
Tabotatotio
perf eccionar
son
Los
a
representar
diseff'os
yjas
han permitjendo
experirnentos
modelizacion
eu€, sin
posibiTita
reaL,
Las
t€cnicas
el.las,
de
debido a gue
fro se hubieran
pod.emos concJuir
gue
dentro de J"a economla nos ind.uce a utiTizar
e-l
pJanteamiento
posibiTita
el- sistema
punto
este
a
mdtodo gue ha pernitido
misma.'
Aunque J-a
jands.
lograr
LJegados
-la
de
para
investigad.ores
han aLcanzado un gran desbrroTTo,
simuLaci6n
podido
a Jos expetimentos
pued.e, €E algunas ocasianes,
investigacion.
de
observad.as
m o d e J - o sf i s i c o s .
de
con veracidad
siempre nuevas
7os
cabo
sjmuJ acion d.el modeTo iniciaJ
no
iteraciones
equiparab-les
LLevan
de7 proceso
-la esencja
de un mod.eLo. Las
d.e construccion
en
iterativo'es
fa
moderna .on".p"ion
ndtodo operativo,
real
eJ.
de
que no sol-o conduce a un
d e J - ap r o b l e n d t i c a
la obtenci6n
cientifica
l-a
existente,
si
n6 gue
de soJ-uciones reafes.
3 . 2 . 7 . - E L I 4 E T O D OO P E R A T I V O
A
fin
microecon6mica
utiTice
de
captar
es
Las t6cnjcas
L l - a m a d a sO p e r a t i v a s
gue tantas
en
necesaria
su
una metodqTogia
cuantitatjyas
o de
inplicaciones
total,idad
- 782
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
reafidad
especial
gue
modernas, sobre todo -7.as
Investigacion
tjene
7a
Aperativa
lI.O.),
en el. campo de 7a Economla.
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
EJ
desarroLTo
para
metodoTogia
conocimiento,
cafificar
esta
m6todo, a veces de dificiT
juicio,
cientif
I.O.
concepto
V
fases de
gue
concreto
de 7a I.O. :
primeras destacan
Las'dos
gue la
mientras
de expTicaci6n,
consta
iLtima
nos
Esto caracteriz,a
a
aL mismo tiempo gue como
cientifico
de l-a Decision.
Como
mismo objeto
cita
varias
g
al
aproximaci6n
de
la
viene
avalado
por
indica
que han
aoarecido
ciencia
necesario
g
dstas
Las
del
ramas
trabajo
de
pata 7a soluci5n.
783
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
por eJTo
ante
7a
aJ intentar
especialidades
inteLectuaJ,.
Esto
(7.975)
guien
Eicks
distintas
partes
cosas
humana ha estado
apareciendo,
palabras
"reaL"izan
mAs,
.econ6mico,
hecho
divisi6n
Es
Ja conducta
en parcelas,
obLigada a dividirse
dejen de tener
especificos.
g econ6mica,
social.
de
sea estudiado a 7a vez
sin que estas
distinguibLes
resu-l,tantes
o hechos
gue un
€s co'rriente
gue puede ser un conjunto
material-
ciencias,
reaLidad
( 7 . 9 6 4) ,
Sacrjstan
o un grupo de actividades
una
caso
el-
acci1n.
-g
como ndtodo
Ciencia
temas
Las tres
en e-l canpo de las decjs:ones.
adentra
por
entre
ur?
separaciSn.
en
investigaci6n
por su caracter
La
ico
esta
cientifico
de
bigecci6n
Cuervo (1.976) indica
m6todo
etc. , no es mds gue 7a
g puesto gue es neces aria
poder
aparece
f-
Dara
Jas predicciones
su an6.7:sjs,
gue de eLJ.os se derivan,
metodoTogla de La ciencia,
e]
tdcnicas
estas
de Los hechos,
contrastaci6n
posteriores
de
distjntas
de
una
de
misma
trabajo
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
3. 3. -
.r'TNANC-IACION
E rNvER^srON
por
Como consecuencia de -los cambios experimentados
La realidad
mantuvo
econ6mica,
como por
asj
Las tdcnicas
7.950-60
un desarrol-l-o acrecentado
mds modernas,
e-l enfoque moderno de.fas
se observ6 en -Zos afros
de l"o que podemos llamar
f inanzas.
Conviene sefialar gue hog dia
incTuir
probJemas
tanto
problemas de inversi6n.
Jas
gue
el
(1.968)
considerado
recopiTaron
puede
se
como
su
pos:bJe.
L7evar
e-t
vaJ.or
nds
anaTitico
g
Robichek
sobre
figers
finanzas
otros.
hecho Eue siempre se ha
fundamentaT,
et?
el.
mundo
deL nd,ximo beneficio
ha tenido
diyersas
La
informaci6n,
entre
el precio
de
."justot'1
o gue Los costes
- 784
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
que
d.e Jas
o
criticas,
aI tomar en cuenta cjertos
La asjmetria
7a empresa y su
moderna
hecha por Van
7a aportaei6n
l-a obtencion
surgiS
como
de esta concepci6n
olvidar
objetivo
finanzas'
f inanciaci6n
afio 7.965,. entre
a grandes diferencias
competitivoi
de
conferencia
Este objetivo
inconsistencja
ta-Zes como:
La
en el
econ6mico capitaTista,
lucro
tirmlno
(7.967),
PortefieTd
ceLebrada en Stanford
No
eL
I[ao (7.974 ) con un caracter
primero,
gue
Dentro
podemos ci'tar
finanzas
Horne (7 .973) ,
para usar en sus
sobre temas fjnancjeros
andlisis
de
gue
evoLuci6n
e7.pensamiento econ6mico g 7a capacidad nds ampJia
de Los tratadistas
sue-le
7a
hechos
que
puede
de mercado de
e-Z mercado
transaccjones
no
sea
sea;l
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
eTevados.
objetivos
puede
Por
todo
ndLtrples
no existir
actuaLidad se habLa n6.s de
.7a
q,ue de un solo
puesto
gue
objetivo,
unaninidad
-Zas actividades
discrepancjas
e71o en
a
de
en el
r e a - Zi z a r ,
objetivos
e
criterio
de se-Zecci6n de
incluso
pueden
entre
Los
exjstjr
g 7os
accionistas
obligacionistas.
A
J.a
debe el
escueJ,a normativa
haber
aeciones.
5e trata
con
de
e-l
nAximo
totaL
general. no
antes
en Bo-lsa
por 7a obtencion
La resoLucjdn
de probTenas tdcnico-econdmicos
racionaL
obtenci6n
def
p{rdidas,
ld
varios
coste
probTema centraL
6ptino
de
de
-las
etc.
l-o constituge
producci6n
mediante La utiTizacion
gue
-Zas
a
mater-Las
nds eficaz
de transporte,
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
7Jev6
tales
a
como 7a
mAguinas,
7a
un minimo de
Segin este
de
a s e g u r e L o s m ej o r e s
785
es
cotizan
d.el- cargarnento
de -los recursos
-
con
7a eLaboraci6n
momento.
gue
un ndtodo de cdJ.cuTo para
traba jos
de
d:.str:buci6n
medios
g
recursos
de
(1.960)
asignacion
incompatjbl.e
citado
Kantotovitch
a propiciar
7a
de
de m€todos sistemeticos
g de gesti6n
eficaz
se
de mercado de sus
para 1as grandes empresas gue
sus acciones
de pTanificaci6n
valor
benef icio
id6neo
jnterds
del
generaT
objetivo
de un objetivo
especialmente
EJ
como
maximizaci6n
La
empresa
introducido
americana sobre f inanzas
existentes
entre
au.tor,
un
e-Z
pLan
r e s u - i .t a d o s
en
ese
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
Por Lo expuesto hasta ahora. podemos decir
and-Zjsjs
e
investigaciones
g eJ coste
6ptina
desarroLTo
de
sobre Ja estructuxa
En 7o gue a inversi6n
puntos de yjsta
7os tres
juridico,
un
notabTe
un tema importante
exisfen
primeros
tjenen
mjentras
gue
de
c.orrjente
nos
jnferesa
mobiTiarios,
nds
tanto
de alternatjyas
eran
principaJ-mente
tal.
inversi6n
7.944,
dificil
de
de
de
era
g'ue esta
una
obra,
deJ probJ-ema ga gue
vatiabTes
como
exactamente g no sufrieran
sj
786
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
se
aTguna.
por
publica
un
teoria
no
apTiqabTe
parte
pudieran
de
desde
privadas,
de previsi6n
vatiaci6n
-
de optar
conocido
inversiones
mantener,
vaTores
- ? . ar e n t a b i T i d a d
afio en g,ue Schneider
trata
parciaT
A nosotros
a fin
sobre -la inversi6n,
5e
por
financiera.
de inversion
convenientes
micro
def inir
inversi6n
en e-l campo de las
un pTanteamiento
con las
nds
a nivel
se puede
e7 probLema de determinar
como
hip6tesis,
7a
Los dos
microecon6mico,
g pagos que origina.
gue es una cipica
sistend.tico
aparece
sentjdo
Toda inversi6n
especialmente
no es hasta
estudio
niveL
ej
entre
o soLapamientos.
a
tjene
de ingresos
agueTTas gue
antafio,
sentido
el. tercero
Aungue
un conjunto
comencemos citando
Hosmalin (7.967),
recogidos por
interseccjones
como macroecon6mico.
7a
se refiere,
V eJ economico o productivo,
e-l f inanciero
gue
tr.abaja
aLcanzado
eJ? J-a actualidad,
siendo,
fjnanciera
e investigaci6n
estudjo
Los
han
capital,
Los
eu€,
de
petfecta
con
Ia
g
conocer
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
(I .951)
I{d.s .taz.de Dean
ptobJemas
en la
7a
-Zos
se entra
en
en eJ gue Jos aspectos
a
a
g Los de financiaci6n;
de inversi6n
un canpo vigente
vez
estudia
actuaLidad
dependen de que se apTiq'ue a una inversi6n
vaTorar
pibJiea
o a una privada:
- La primera
se -l-Zeyar6. a
sociaJ-.
andl,isrs
EJ
bjenestar
marca 7a pauta paza T l e v a r
XIX,
e-Z bienestar
. aumenta
de coste*beneficio,
remonta a 7a economia del
'
si
cabo
cugo origen
gue naci6
se
en eL sigJo
progecto
a cabo o n6 un
pJanteado.
- L a s e g u n d a s e r e a - Zj z a r d c u a n d o s e i n c r e m e n t e
. de la
empresa g por
7a rigueza
tanto,
La teoria
de La inversi6n
criterios
gue permiten
de 7os a.ccionistas.
proporciona,
TLevar
benef icio
el
en este
ade-i.ante
un
-Zos
casot
pr:ogecto
de
inversion.
En
l-a terminoTogia
7a paTabra
inversi6n
corriente,
a
designa
7a
segrin l4assd (7.96i),
vez
un
g
acto
e-Z
g e7
resu-l,tado deJ mismo, es decir,
7d decision
de invertir
bien
invertido.
nds general
gue se puede dar
deL
acto
. La definici6n
ae i.nvertjr
que nediante
es
inmediata
e-Z cambio de una satj sfacci6n
se
renuncja,
cual. ei
un
patte
contra
bien invertido
riesgo,
ga
ei
mismo tjene
g cierta
a
una esperanza qrue se adguiete
es e7 soporte.
gue esperar
2a esperanza concierne
Por un
no-significa
a7 futuror'7o
-787-
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
tenet,
Tado
g
7ug.ar
7a
gue
g de 7a
existe
pot otra
gue significa
un
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
de tienpo.
transcurso
productivas
g no productivas,
no de producir
de
destaca
o
de
La
caracterjstjcas
deL objeto
adguisici6n
que se trata
pot
es
a
de 7a inversi6n,
de b:enes g,
a un conjunto
finaLidad
como
de inversi1n:
g no de 7a decisi1n
q'ue se refiere
l-a
en
gue seax susceptibl.es
segin
en cuenta en 7a definicion
un acto
-Zas inyersjones
un excedente.
GiL Aluja' (7.969)
tener
divide
Este autor
7a
gue
riTtimo,
obtenci6n
de
seryicios.
AJ
g ahorro,
inversidn
comunmenter' a
sociedad,
Kegnes ( 7.963 )
establ,ecer
7a compra
diferenciaci6n
un
de
positivo,
o
a diferencia
bien
capitaT
de
o
(redes comerciaTes,
por Couvreur (1.970),
a
fin
de
asociada
asegurar
g
incertidumbre
presente
contra
determina
c)
gue
-
788
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
un
saTdo
son esperados tl
un
probTema
e-7. cambio,
Ja espera de futuros
escaTona en e-Z tiemoo.
guien
a) e-Znecesario
eJ heeho de gue 7os ingresos
gue 7a incertidumbre
materiaj
inversi6n
de este concepto:
rentabiTidad,
b)
entre
) viene indicada
observa en 7a definici6n
cantidad
de
e jnte-Zectual
inmuebTes, etc)
paq'uetest etc
decisi6n
un individuo
clase
Una
c67cu1o
por
entre
asocia,
se
las nueyas jnyersjones,
de Jas rejnversiones,
(niguinas
inversi6n,
7a compta de un activo,
significando
cuaLguier
gue
explicita
7as relaciones
de
de una
ingresos,
s€
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
Gar.cia
toda ttansformaci6n
en
bienes,
La
g
aparato
como
drsponrb-Zes
Indica,
deJ
7a reaLizaci6n
7a inversi6n
financieros
exigibTe.
configuraci6n
para
necesarjo
define
de Los medjos
seryjcjos
constituge
(1.972)
Echevarria
producci6n
de
prinordial
deL objeto
gue
ademAs,
de la
empresa
parte,
Por otra
inversiln
es 7a condici6n
expansi6n
uno es
g
cuaiitativo
otro
por
se adguieren,
po;.
(reaJes
activos
seryjcjos
g rentas
Existen
estratdgico,
agente
distinguir
( 1.973 )
la inversi6n
de
de proporcionar
de
de tiempo.
inversidn
er?
de
guienes
en su obra.
seffa7a
como
Las diferencias
789
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
que
f undamenta-Zes para
de La especuJaci6n:
-
cuando
conjunto
ejenpTo; Puig y Renau (1.g81)
una ampTia selecci6n
de ,Alba
continuo
Para un maVor conocimiento
Terminemos dste punto indicando
Njeto
uD
periodo
numerosas cl.asificaeiones
Las mismas vease, por
g el.
jnyersi6n
capaces
durante un cierto
tipo
alguna
invetsor,
financieros)
o
g
para una
cuantificable,
sefia-la q,ue existe
un
La
de
gue aJ ser cuantitativo
gue no vamos a incidir.
recogen
vafor
de cuantificacion
(1.973)
gue
gua non" de supervi vencia
dificiTnente
es La .rentabiTidad,
Prieta
indica
Considera dos aspectos
e-l
tanto
no pTantea dificuTtad
Las
"sjne
de una empresa.
buena inversi6n,
(I.972)
Agostini
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
Por 7a temporalidad.
La invers:dn
es a mAs
pJazo
Targo
que 7a especuJaci6n.
Pot J-a corriente
de :.ngresos.
La inversion
gue }a
Tigada a La ren tabiTidad., mjentras
est|
a -1as ganancias def
Por eL riesgo.
de
Targo
especulacion
7o
capitaT.
En 7a inversi6n
periodo
un
hal-La nds
se
dste se dtstrl.buge
a
gue
en
magor
temporaT
lo
7a
especulaci6n.
Para el. caso de valores,
econ6mica de
7a
e-Z inversor
emptesa
en
La
mjentras
gue
e7
especuJador
situaci6n
general
de 7a BoLsa.
concepto
E!
de inversi6n
anaJiza
gue
invertir,
su atenci6n
puep,
g8.3), un concepto mug dif icil
Suarez (t
pr.ensa
centra
€s,
7a situacion
en 7a
de acuerdo
con
de del-imitar.
3 .3 . T . - I'TODELOS
DE TNTERSTON. 5U I{ECESIDAD
uaTguier
empresa TTevarA aparejada
esto
acciones,
adecuadamente,
fin
de
q'ue se decida
aTtetnativa
una variaci6n
conduce
irtcidencia
la
7a
a
La
aspectos
financiera,
necesid.ad. de
ur?a
de sus
pond.erar,
variabLes
de maximizaci6n
a
deL vaLor de
acciones.
interrel.acidn
gue
en
en e-7 precio
de -las d:stjntas
conseguir ef objetivo
mercado de dichas
tomar
trata
de
ha exigido
existente
resofyer
eJ auxjlio
-190-
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
entre
Los
conjuntamente
de tecnicas
distrntos
7a gesti6n
natendticas.
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
A partir
del
(7 .955)
rel-ativo
Savage
inversi6n
cuand.o 7as
empresa
tipo
planteamiento
seLecci6n de progectos
de
una
por
f inancieras
serie
de model-os de todo
punto de vista
un
g
hist6rico
-Zas t6cnicas
matemdticas
simuLaci6n
usadas
de problemas econ6micos, g por tanto
resoTuci6n
en generaT,
aspectos;
g e-l dindnico.
Entre Jos ptimeros
progranacion,
Los lTanados modeTos de
l-a
7os modelos
se c-Zasif ican,
eJ estdtjco
de
en
en el.-Zas integrados,
hal7an
7a
de
formuTados.
Desde
optimizacion
g
d.isponibiLidades
Tinitadast
estaban
han sido
l-a
a
Lorie
efectuado
de
bajo
dos
Los
se
gue
resai. tamos
m o d e J - o sd e p r o g r a m a c i 6 n - Zj n e a l .
modeLos de programaci6n No LineaL
6xito
funcion
a l-as Tinitaciones
objetivo.,
q'|
(P.L. ) .
(p.N.L.),
para definir
de -los ndtodos
realista
de planif
en tdrminos
que venga expresada mediante una funcion
Dentro
de tipo
una
g
icaci6n
Linea7.
d e e - Z - 1 o sd e s t a c a n - Z o s C u a d r d t i c o s .
mod.eToscon nimeros enteros
(P , E. ) .
model,os de programaci6n estocdstica,
ciones
gue deben su
cuando fas restric-
son varia.b-les aLeatorias.
model-os de teorja
estrategia
n6.s
punto de yjsta
de juegos,
interesante
de su utjlidad
-
791
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
en Los q'ue se determina
para
cada jugador
esperada.
desde
La
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
Los modeLos dindnicos
parte
forman
de
una
m u c h o m d . s a n p J i a . d . e n o m i n a d . aT e o r i a d . e . C o n t r o 7 ,
de
con un campo
como
7a
djmensjdn
inprescindibles
Car7o,
obtener
en
concLusiones
g fiables.
vdiidas
7a introduccion
En
gue
numerosos autores
de este
utiTizan
trabajo
7a
en determinar
se apJicaron
ga hemos citados
programaci6n
pademos ahora afiadir
investigaciones,
de
euet aungrue
como l-os de llarkov g
probTemas econ6micos para
determinados
P.L.
l{onte
de
e-l
sobrepasa
incl-uge ptocesos
meramente economica,
mcitodos
que
apllcacion
teoria
(1.959)
En
este
sentido,
el- costo
Charner,
de
oportunidades
apTicaciones
Cooper
g
de
I"Ii77er
eJ
ampJiand.o posteriormente
de 7a empresa,
aJ probTema de 7a programaci6n
,su apJicacion
de
7a P.L. para optimizar
demostraron como utjlizar
progratna operativo
sus
que J.as tlcnicas
-Zos fondos de una empresa con multjples
invetsi6n.
en
por
netas
u
obj etivos
en ei
Resul.ta curioso,
g quiza
gue nos movemos,
un trabajo
el, gue ind.ica
que .7a meta. del
eTaborar
plan
funciSn
un
de bienestar
Obseruamos
entre
de
que
esto
J,a Arguitectura
aplicaci6n
objetivos
de tdcnicas
de7 contexto
de Ben-Shahar (7.970)
en
pJanif icad.or d.e una ciudad
es
que maximice e7 vaLor de 1a
trabajo
socja-l,
un paco fuera
sujeta
a unas
restricciones.
una estrecha
. c o n d u c e. 7
g -las Ciencias Socja-les,
natendticas
pJanteados.
-792-
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
coTaboraci6n
exigiendo
para LJevar a
cabo
7a
-l.os
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
Trds Jo expuesto en eJ pdrrafo
gue creemos
diciendo
motivos,
optina
sus
debe
en un pto7ecto
En
Las
La utiJ,izaci6n
eJ ptoblema
de
esos
entre
aJ-teraciones
a fin
no se tenja
- matemAtico gue -le
de
gue
7ugar,
q.ue se posean;
financieros
adeLante,
anaLitico
Esto
g cuantitativo,
de
decisi6n
pTantea
un
recurrir
de
gu€,
se engloban bajo eJ epigrafe
Cuadrd.tica.
empresarjal..
gue
posibJe,
tdcnicas
hecho
a
un
a
La
-Zos recursos
como veremos md.s
de 7a
aspecto
aguden
Programaci6n
nuevot
de
a 7a hora de enfrentarnos
invertir,
gue
aspecto
su drstrrDuci6n
de
maten1.ticas
de La mejor forma
podemos
eta La obtenci6n
se planteara
Aparece nuevamente -Zanecesjdad
asignaci6n,
en eL mundo
existentes,
-Zos elementos gue componian eI activo
tdcnicas
f inanzas,
debido aJ hecho d.e que
en cuenta
sin
Las
recursos,
en primer
a resoTver,
de
m6.s
d.e Tograr
ocurridas
optima de Jos
recursos,
conjunto
con
7a poTitica
entre
econ6mico,
'modetna
concepcion
de
anteriormente
g
fuerte,
econ6mico V de Los avances tecnoT6gicos
citaz
concLuimos
Togros.
l-a
consecuencia
mds
g ef mundo algoritmico
objetivos,
dichos
mucho
ser -1a rel-aci6n exjstente
a seguir
permite
gue
anterior,
gue
importante
tipo
con 7a
no
debe
oTvidarse.
Podemos afirmar
constitugen
gue
eJ medio eficaz
-
-Zas tdcnicas
para resoi,ver
79i
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
de
progranaci6n
con exactitud,
y
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
de
manera
'asignaci6n
algunas
de
generaT,
de
recursos
de
tipo
computabLes a
conduce
un
desproporcionados
model-os gue
razonabJe,
en conparaci6n
con otros
?ras Jo expuesto hasta ahora,
.
siempre presente
teniendo
dq conseguir
aqueTTas
tjene
gue hacer,
dichas
de
de
7ugar,
paza,
decisi6n
6ptino
inversi6n
en primer
aJ-tetnativas,
probTema
e-Z objetivo
un rendimiento
aTternativas
l{o
a
gue
o
probTemas
a
bien
no
son
c6.7culos
algotitmos.
vemos que 7a empresa,
q'ue se ha marcado g a
de 7os
que
recursos
un andlisis
pernitiri
en
se 7e plantean,
exJlaustjyo
de
resoLver
e-l
continuaci6n,
7e
de
obstante,
producen
o
g
niveLaci6n
ptogecto.
un
a
costo
de
de J-a programaci6n
veces 7a aplicaci6n
este
fin
probTemas
7os
Tograr
el
fin
propuesto.
3.4.-
EL RIESGO EN LA TOI4A DE DECISTONES
A 7a preocupaci6n
g financiacj6n,
inversi6n
de 7os recursos,
bajo
e-l
estudjo
vjsta
por eJ hecho de J.as decjsiones
prisma
de Ia asignaci6n
del enfogue
anal-itico,
tradieionaL
de
de estos g otros
La
g drstrr.buci6n
etc,
certeza,
probTemas desde nueyos
e jncertidunbre.
como J,os del riesgo
-
794
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
de
estudjados
se sum6 e-l
puntos
de
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
En eJ mundo econ6mico nos movemos,
e7 .campo de J-a incertidumbre
se
gue depende una inversion,
un
gue
sjn
generaT,
tdrminos
gue
error
eL
rtferece
notable.
de -Zas
sean tomadas como
produce
se
nuestra
en e-l gue Jas diferentes
al-eatorio
gue
g gue se conocen unicamente eon
magor o menor gtado de aproximaci6n,
ciertas
en
El grado de informaci6n
.
ser taL gue haga g,ue Jas variabLes
puede
posee
normafmente,
por
sea,
atencion
eJ
lo
caso
magm tudes se conocen en
de probabiTidad.
Asi,
determinado.
expresada
es conocida
propotcianan
cuando se jnyjerte
de
acciones,
en Bolsa adquiriendo
s€
compra
en teirminos probab:Jjstjcos
a priori,
lJ-even aparejados
Podemos,
pero
rentabiTidad
ga gue ]a certeza
no
comrtn gue agueTTos vaTores gu'e
siendo
ur? tendimiento
un tipo
nedio
superior
a
Los
demis,
un magor riesgo.
por
tanto,
distinguir
dos
tipos
de
inversi6n:
Inversi6n
con r i e s g o ,
cuando
se
conocen
Las
probabi-
T i d a d e s d e - ? . o so o s r b - l e s e s t a d o s d e J a s m a g n j t u d e s .
- Inversion
con i n c e r t i d u m b r e ,
cuando dichas probabiTidades
no se conocen
5e consjdera,
totaL
incertidumbre
generaTmente,
gue -Zas si tuaciones
o -las de informaci6n
795
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
de
compTeta no sue-7en
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
Con 7a probabiTidad a priori
d.arse en 7a realiiaa.
posible
transf otmar
-los
ca.sos
de
ha s:.do
incertidumbre
en
al"eatorios.
EJ sujeto
decisi6n
en
decisor,
estado
cuando
de
riesgo
con -Zos sj guientes
encontrarA
se
o
encuentre
de
conjuntos,
ante
una
incertidumbre,
comunes a
se
todas
- 2 . a ss i t u a c i o n e s ;
a) Un conjunto
fl, gue viene
de estados de 7a naturaTeza,
expresado por
f f = [ w / w s o n J o s p o s i b - l e s e s t a d o s d e 7 a .n a t u r a i e z a
conpatibles
con eJ problema consj derado ]
(3.1)
b)
U n co n j u n to
D,
todas Las decisiones pos:bJes a
de
consi derar
D.-
[ a /d
son -Zas decisiones posib].es]
(3.2)
c)
Un conjunto
X
=
X de resu-Ztados
x
[
/x
s o n 7 o s r e s u - Zt a d o s c o r t e s p o n d : . e n t e s
cada eLemento deL conjunto
a
OxD ]
(3.3)
d)
Por iTtino,
pondencia
A
resuJ,tad.o,
fin
una funci6n
entre x,
de
eLegir
f ,
gue estabJ-ezca una corres-
d g w.
7a
estrategia
gue
hag gue estab-lecer aTguna nedida
de refezencia.
Para eLLo se debe considerar:
795
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
optimice
qrue nos
el
sirva
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
l. -
La
noci6n
permitird.
de incertidunbre.
JJegar
aL
5u axionatizaci6n
de
concepto
nos
ProbabiJidad,
def inid.a en O.
2.-
La
noci6n
ordenaci6n
3.-
Debido
pref erencia.
en e7 conjunto
La noci6n
util-idad
de
de vaJ,or.
Permite esta-bf ecer una
D.
Lleva
para e-l conjunto
aparejada
l-as
bAsicos,
de
estudiando.
ambos casos,
hacerse
g
7as
distinci6n
objetivas
entre
en
subjetivas,
objetivas,
valores
nbdidas
trds
se
independjentes
tras
una
7a
-los
deL
tendrdn
definen
problema
-
a
se
independjentes
que serdn
o faJsedad de l-a proposici6n.
l-97 -
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
'-1as
de
son
-Zos datos
trayes
que
de
m:entras
val-or significativo,
cuando g soTo cuando sean
de 7a certeza
toma
vaJ-ores
conocet
resu-Ztados a aLcanzar g de sus vaTores,
consecuencia
estado
-Zos estados
en
7a conducta deL suTeto decisor,
medjdas
dichos
procedimjentos
7os
puede
En Las rnedidas
dependientes
q'ue en
(7.972),
White
subjetivas
decisiones.
decimos gue eJ.
gue
o aleatorio.
Como indica
teorjas
de
puede conducir
cuando estamos ante un caso tal
su Leg de pro'babiTidad es conocida,
incertidumbre
concepta
X.
aL hecho de gue cada decisi1n
a resu-Ztados distintos,
es de riesgo
eI
de
estA
en
de
una
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
Ei
modelo
'pat
desarroJJado
(7.95e)
te6rico
regJ.as para la
(7 .952,
l{arkowitz
nos proporcionan
sel-ecci6n
de
una
netodoTogia
carteras
g
7 9 5 9)
pot
de
deL riesgo,
diversificaci6n
de
Tobin
g
and.Tisis
como veremos mds
adeLante.
5e
de carteras
efjciente
tanto
de una teoria
tzata
normativa de diversificaci6n
gue ha
de inversi6n,
sjdo
apJicada
af metcado nacionaT como aL mercado internacionaL
de
capita-Zes.
Respecto a su apJicaci6n
c a b e s e . f f a J a r a G r u b e L ( 1 . 9 6 8 ),
( 7 . e 7 e ),
quienes
itiversificaci6n
diversificaci6n
77ega
en
el
excl,usjyamente nacionaT.
irei.eyante
en
7a
( 1 . 9 7 7) g B i g e r
gue
destacar
gue 7os obtenidos
que eJ riesgo
mercado
segundo
Levy-Sarnat
coinciden
mds bajos
asegurar
a
este
internacionaL'reduce
a niveles
cartera
en
riesgo
7a
de
mediante
Este iLtimo
La
La
autor
de canbio es una variabLe
reTaci6m
riesgo-rentabiTidad
internacionaT.
Contrariamente
(7.983)
demuestra gud e7
reJ-evante en 7a relacrdn
pues
a
7a
el-ininaci6n
dsta
riesgo
de
tituLos
de
deL
riesgo
cambio
ted.ucir eL riesgo de La cartera
798
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
de
es
altamente
internacionaT,
cambio
altera
gue
La
operarA en e-Z sentjdo
de
Asi mismo,
extranjeros
Berges
afirmaci6n,
riesgo-rentabiTidad
fund.amentaTmente tal-' reLaci6n.
inciusi6n
iltina
sefiaLa
a traveis de l-a d.isninucion
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
-Zas
de
las couarianzas
diversificada
en
varianzas
eJ
para
respectiyas
Conviene
gue
'
en
de dicha
Fama (1.976) estudja
djferentes
una
carteza.
En
-Zas ponderacjones
gue
a7
trabajar
con
formadas
por tituLos
jnternacjonal.es
concepto
de riesgo,
el. l-fanado rr.esEro de cambio,
de -Zas fLuctuaciones
en
relevancia
ultino
este
Las
tamafios de carteras.
resa-ltar
de
cattera
un peso magor gue
tjenen
cdnputo de7 riesgo
misma linea,
esta
puesto
correJaciones,
el
se jntroduce
tipo
riesgo
un
cambio,
de
en
carteras
nuevo
derjvado
aunque
e-Z contexto
La
de 7a
d,e cart.e.ras r?o es unilnimemente aceptad.a Dor todos
seTecciin
7os autores.
Abundando en Io anterior,
La
sefialar
como
aparicion
consecuencia
comercio,
pues
extran jeros
7a
de
agueTTas
se
fiuetuaciones
del
mismo tipo
Jas distintas
de riesgo
77ega
a
de cambio
deJ
gue opezan en mercad.os
empresas
b aj o
(7.987)
internacionaL
dinensi6n
encuentran
de
Soenen
J-a inf Juencia
dryjsas.
de
-Zas
ATgunas de estas
empresas exageten su njye-Z de riesgo
de cambio debido a gue
7o evaLuan desde 7a perspectiva
-las
decir,
7a divisa
extranjera
de
frente
dos
diyisas,
a -l.amoneda del
€s
pais de
origen.
EL mismo autor
investigar
de
reaLiza
-las posibJes
un
interesaate
rel.aciones .estables
cambio'de Las distintas
divisas
-799-
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
estudio
entre
e identificar
aj
-Zos tipos
l-as dreas
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
de dichas
a fin
d.lyjsas,
de conseguir
cambio de 7a-empresa internacionaT.
de
]a
La
todas
entre
depende
de cada divisa
de La
g de 7o peguefia qrue resuJte
de 7a diversificacion
cotreLacion
e7 riesgo. de
Esta reducci6n
de 7a rentabiTidad
variabiTidad
cartera,
reducir
d:.yrsas gue camponen ]a
Las
cartera.
E] rendimiento
yjene
rntrinseco
titulo,
d.irigentes,
empresa,
de
gue
etc,
riesgo
d.e
d.irectanente,
activid.ad.
es el no sisterndtico
de
sistemdtico
o
rendimientos
dependg
La
no
BoLsa,
mercad.o,
no son
disninuir
el
independ.jentes
riesgo
tJno de
entre
los
nediante
g habiTidad
de
de ' dicha
o tanbi1n
TJamado
7a cantidad
adecuadamente;
e-Z otro
qu.e incid.en,
f actores
son f ieJ
ref Tejo
recj^ben eL nombre de riesgo
ga
djversificabTe,
relacionados
de
repartiendo,
de
g
tipo
productiva
e n e L m e r c a d . od e , . 7 o r J " ,
indice
decisiones
La
en ya-Zores d:.stratos
disponibJe,
uno gue depende deL
de l-a informacion
g p.uede disninuirse
diversificabJ-e
deJ
de riesgo:
nobiTiario
val-or
a 67, g gue dependerd del
de qrue se ttate,
eapresa
tipo
determinado
afecta.do por dos tipos
propio
sus
de un
si,
g,
gue
aL
estar
mediante e7 indice
pot
tanto,
sus
deL
no se puede
una diversificaci6n.
criterios
n6.s
es el. oue a continuaci6n
- 200
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
usua-Zes en 7a toma de
exDonemos.
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
EL CRITERIO DE LA ESPERANZATLATEI{ATICA
J.5.-
P a s a m o sa h o r a a
cartera
de
natendtica
7a
estudiar
vaTores,
viene
.gue.
del rendimiento
debe
el. resu-Z.tado.
un criterio
de
( inversion
decisi6n
caso aleatorio,
es el. de maximizar
de 7a ganancia.
5e trata
de eTegir
gue proporcione
al.ternativa
una
cartera.
en estado de
agueTTa estrategia
eTegir
de
por 7a esperanza
medida
de dicha
Cuando se toman decjsjones
rentabiTidad
riesgo,
se
) que optirnice
utiTizado,
en
el.
1a esperanza matem{tica
agueTTa estrategia
o
7a m6.xima espe-ranza matem1tica
de beneficio.
Comoindica
a todo tipo
apJicarse
(7.969),
Lanbin
este criterio
de fenomenos,
sol-o puede hacerTo con
ga gue
agueTTos sometidos a 7a 7eg de Jos grandes ntmeros,
es soLamente en raz6n
gue
estudiado,
ganancia
e7
pata
XVIIIT
Tograr
continu6
estos
no
estudjos
7a seguridad de yer su
trato
matemd.tica ga se conocia
de mejorar
este
de su campo de acci6n,
era
utiLizable.
aungruesu teotia
economica de su
- 207
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
en
criterio,
ga que en
I{ds tarde LapJace
sobre 7a esperanza
esperanza mateml,tica de 7a utiLidad
en cuenta por 7a ciencia
del- fen6meno
e-l vaJ-or medio espetado.
de esperanza
una ampliaci5n
ocasjones
reiterativo
trene
hacia
BernouiTTi
ciertas
moraL
decisor
nedia convetger
E7 concepto
e-Z siglo
deJ- caracter
puede
no
- no fud
tienpo.
Ha
tenida
sido
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
ga
en
el
XX con Von Neuman g I ' I o r g e n n s t e r n ( 1 . 9 7 0 )
sigTo
cuando se ha estudjado
incidencia
en nuestra
Expongamos
usuafes
ei
con rigor
conducta.
uno
brevemente
perspectiva
Sea r una
E(r)=
Dado
un
funcion
de
de r, .como ga
natemdtica
satisface
x d F(x).
conjunto
en (3.2),
matemdtica
€f
consiste
perspectivas
de
criterio
de elecci6n
Vd E D,
r(d),
de La esperanza
aqueTla perspectiva
en eJegir
r(d)
gue
7a condici6n
I = r(d')
I4ax E t r(d)
Esto nos
E1
decisiones,
asegura
problema
poder utiTizar
es
que
necesarjo
un nimero
caracter
7a
este ciiterjo
estudjan do sea de tipo
al,
cuga
viene dada por
es sabido,
ocurrido
en estado d.e riesgo,
aLeatoria
-La esperanza
es F(x).
djstrjbuci6n
Sptina.
mds
de ]a esDetanza matemdtica.
criterio
definido
-Zos crj terjos
de
e-Z tema de Las decjsjones
en
dad g su
7a noci6n de utili
de
eJ-eccion
puede
de
perspectiva
la
plantearse
es gu€,
para
como medida a -l.a hora de tomar
que
repeti tivo,
suficientemente
centralizaci6n
- 202
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
e-Z fenomeno
a fin
gue
estamos
de asegurar
grande de veces,
que
tiene
7a
gue ha
debido
espetanza
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
5o-Zo cuando podamos.gatantizar
matemetica.
media convetge
gue 7a ganancia
hac'ia su vaTor medio esperado,
serA correcto
uti.LizarJ-o como un estimado-r suuo.
Habria
que preguntarse
Tugar en 7a empresa, se cumpJe fa condici6n
tjene
grandes
de . l-os
ntmeros.
suma de numerosas
gran ndmero de azares,
prdctica
certeza
emerge
hecho de La reiteraci6n
7eg,
citada
de
en
7a
que
eJ
negativa,
-las
a inducjr
con una
g
nos
casos, al-
cunpJiniento
de
hagan compTetado
aproximacion
utiTidades
que 7a
Esto
en algunos
para e7
-las
- g de un
incertidumbre.
gue aLgunos autores
objetiva
introduciendo
-
decision
necesario
de ahi
-la jnyestigaci6n
resul, tados anuaJ,es son una
pudidndonos Lieyar
conduce a dar una respuesta
la
de La feg
juegan un papel importante
personales
diferencr.as
Los
de
tomas
gue
ante cada situacion
si,
subjetiva,
probabilidades
Las
subjetrvas.
La idea b6.sica de 7a
siguiente..
una
apuesta,
oportunidades,
signifigue
igua7.
por
La
principio
plante5
gue
uti-?.idades
reaLizada
arin
jugador
el,
Este crjterio
con
cuantitativa
habia
g
mienttas
desyentajas
a
entre
e-l
tal
cosa.
sector
con 7as ideas de 7a teoria
- 203
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
gd
J-a utiTidad,
de
de
la
no
por
g. seguido
no contenpJa 7a posibiTidad
necesldad
una dura poldnica
no coincidian
ventajas
es
iguaLdad de
pTanteado por Bernoul,l.i
,
escuel.a americana,
no
de
no es verdaderamente egui tativa
para
dar una medida
teoria
gue
de
en
Este hecho
economistas
cLd.sica.
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
. En cuanto a 7a probabilidad
y
LapJace
concepto
Bages,
cualitativo
una decisi6n.
grado
se
En reaLidad,
una
146.starde
BoreJ
necesarjo
e7 individ.uo
anteriores
q , u r . e ni n d i c a
estimaci6n
decjsor
trene
gue toda decisidn
de probabilidad
77e96
se sjntetizan
de 7a
a
en 7a regLa
reyel.a a 7a
g una funci6n
la
concLusion
pudi*ndose obtener
gue
de
ut?as con
vez
de utiTidad.
conocer a 7a vez 1as probabilidades
Jas utiTidades,
toma
gue se ha pTanteado previamente.
de un estrategia
de Ramseg,
que
d.e7 sujeto
e7
€s una medida del magor o menor
gue
Las dos teor:as
por
iniciada
de un vaJ-or gue cuantifica
trata
de yeros inilitud.
d.e conf ianza
certeza
subjetiva,
no
era
g
subjetivas
independencia
de -las otras.
3.6.-
LA
FORI'IACIONDE UNA CARTERA DE VALORES OPTIIIIA
optina Suarez (I.986),
Como
mobiTiarios
cartera
es
una
tipica
de vaLores consiste
juridica,
eu€ pasan a formar
mobiTiarios
tanto,
en
adguiridos
no
sentido
obJigaciones,
i.cciones,
cuaLg'uier otro
activo
por
de
estricto,
204
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
combinaci6n
patrinonio.
su
considerar
como
f ondos ptbJicos,
f inanciero.
Una
una persona fisica
parte de
soTo
en val-ores
financiera.
en una deteriinada
finanacjeros
por
inversi6n
inversi6n
de activos
ttata,
7a
o
5e
-Zos vaTotes
por
etc. ,
ejempTo:
sino
ad.emds
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
La inversi6n
de activos
reales,
jntereses
sj
de
flujos
de
cuando se trata
coste
caja
bi6n
,
de obJigaciones,
en
forma
de
o de dividendos
o bien de ingresos por venta de derechos
son acciones,
percibid.os
o ingresos
de suscripcion,
debido al
g n6.s tard.e produce
un ilesembolso inicial
corriente
al- iguaT gue 7a
financieros,
en primer 7ugar,
origina
d.e J-a inversi6n,
una
en aetivos
por 7a venta de
-tos
vaLores de una carteta.
Los objetivos
pueden
carteEa
considerados
determinada
7a
con
mug
por
importantes
uJ? cierto
conseguir
ntmero
de
con
renta;
sustraer
monetaria,
objeto
una
destacamos
Jos
e7
autot
-los
g
en
unos
Tiquiatez
excedentes
en e-l futuro
pa-ra.eL7o
de una
invertir
unos ahorros de Los efectos
invirtiendo
citado
de acciones
rentabil-idad
una
de djsfrutar
de
controT;
coTocar de forma duradera
ahorro
fornaci6n
distintos,
empresa con fjnes
aceptabiei
variable,
mds
reunir
para
ahorros
se.r
como
uLtimanente.'
a alcanzar
deL
de una cierta
de 7a
valores
erosi6n
de
renta
etc.
Genetalmente
cartera'de
rentabiTidad,
eL
inversor
ya-?,ores intenta
conjugar
g
Tiquidez;
seguridad
agueTTa combinaci6n de sus
magor rentabil-idad,
un probJema,
]a
a
activos
hora
7os
trata
gue
Le
de fotmar
principios
dificiT
- 205
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
so7uci6n,
de
de encontrar
garantice
seguridad g Tiguidez posibTe.
a yeces de
uJ?a
debido
la
Resufta
a
1a
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
incompatibilidad
de estos
gue Jos valotes
rentables
principal
La
aportaci6n
g de La teoria
de La Cartera
La
un trabajo
ILarkowitz
(7.952),
jnteresado
por
el-
de carteras
etc.
dei I'Iercado
Afios n6.s tarde
portafoJio,
de7
gue eJ primero
eu€ tuvo mds rel.evancia
como Tobin (7.g58)
problema
de
de vafores
de
guien resumiS en su
seLecci6n
de una teoria
se
l-a composici6n
encontrar
5e trata,
dada.
habian
como
de diverbi.ficaci6n
ga
eficiente
de inversi6n.
La regla
de sel.eccion
media -
ur?a gesti6n
importante
apTicaciones
en el. campo de 7a
en 7a teoria
varianza
perfeccionado
este
financiaci6n
jnteresante
pubTicciones
prestigiosas
revistas
Debido
Tobin
de se-Zecci6n de carteras
matriz
de
g en sus
econ6mica.
A
han ampTiado V
dando
resultados
Ia
covarianzas
(7.963,
Teoria
regueria
g era un probTema mug diticil
Sharpe
Jogrado
Tugar
a
apare'cen
en
ltarkowitz
y
Econ6nicas.
aJ, hecho de que
varianzas
modeTo,
cugos
ha
de La cartera
de este momento muchos investigadores
numerosas
seguros,
poco .liguidos,
de7 inyersor.
sobre -Ia
de una cartera
J:emos indicado,
tiempo,
poco
ser
sabido
en eJ campo de 7a Seieccion
guizA por gue otros autores,
tituLos
sue-len
del EquiTibrio
tipica
conducta
publicaria
partir
Es bien
se debe a I'Iarkowitz (I.952),
Capitales,
6ptina
principios.
gue 7os m6.s segu-ros resuJtan
mjentras
modeLo
m{s
tres
de
de
7a inversiSn
-Zas rentas
de sol-ucionar
7.964) expTor6 7a hipotesis
206
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
de 7a
de
-los
en
su
de un
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
modelo diagonal
de un portafoLio
andlisis
de
obteniendo
,
-las
de sustitucion,
maximizaci6n
e_Z
moderna
sustjtuci6n,
eJ valor
modeTo sinpTificado
de
de
de la
hora
de
7a
a
cartera
reTaci6nes
entre
como
eL cAfcuLo de la
indica
fontera
de
-los
indiy:dua-Zes
con
cuaLguier
tjtu-ios
e-I
gue
-Ze debe ur?
-los
tipos
es
indice,
-207-
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
de
(7.986),
utj-l izando
a Ia
de
en Los
un anlLisis
eficiente
Demostr6 gue si
de manera gue
'se
Fernandez
de mercado gue dard origen
de capital.es.
modelo
gue perm:te reducciones
a La hota de reaTizar
Este autor,
eJ modelo de
1tf1
(1.970)
Sharpe
de Jos tjtu-Ios
modeTo de indice
basado
de utiTidad.
de las
de 7os datos,
identificado
por 7a varianza
citada,
explicita
Posterjormente,
sinpTifiea
tasa
de A
Ja funcion
La cartera.
La
de
7a
esperanza
EJ probJema se pTanteaba a la
de La seJecci6n
rentabiTidad
producto
eL
(1.967) desarro776,
Adelson
c{Lculos
cugo minuendo era la
anteriotmente
estimar
g un aumento
deJ riesgo
empresa g propuso como objetivo
sustraendo
de vaLores.
I[arkowitz
una reducci6n
de la
cartera
un vaTor A, TTanado tasa
defini6
de una funcion
matem1.tica g eJ
rentas
para
gue es usado en l-a teoria
(1.966)
entre
de 7a rentabiTidad
mercado
sinplificaci6n
f inanzas.
Weingartner
utiJiza
una
teoria
un
del-
un .indice puede ser
reJaci6n
entre
por
medio
de
soTo
serdn
necesarias
-las
relaciines
-Zas
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
covarianzas
Los
entre
la
renta
en el
pata
tituTos,
encontrar
aproximadamente efrcjentes
(1.972),
Litner
n6.s
segura
una
djstrjbucion
de
cada
uno
gue
carteras
de
seax
.
Rosemberg (1.97i)
Gonedes (7.974),
Blattberg-
g en
indice
7os datos
g
posteriormente
que 7a estimaci6n
estabfecieron
era mediante una aproximaci6n
g
Togaritmico-normal
no
medzanxe
de
una
Normal-.
(1.975)
Bawa
carteras
para
funciones
de utiJidad
ri
todos
obtuvo
los
un
conjunto
inversores
adnisibJe
de riesgo
de
adverso
con
c6ncavas mon6tonamente crecientes
art
nrroo=
Por
parte,
otra
trabajos .de Weingartner(7.966)
a 7a maximizaci6n
( I . 9 75 )
I'Iao en
g Adelson (1.955)
de e-l vaLor del
para
7a
seLecci6n
una
de
-Zos
re.l,atjyos
mercado de l-as acciones.
E7ton, Gruber g Padberg (7.979),
simple
sintetiz6
dieron
cattera
un criterio
en e7 caso de
nuLtiindices
Rudd
probJena
Rosembergr (1.979)
originaT,
progranaci6n
util,idad.
g
obteniendo
matemAtica
con rapidez
sin
hacen
un
una revisi6n
nuevo
que aproxima e7 valor
precedente
operando. en un pegueffo espacio
..-
de trabajo.
2Ag
\.
\
g
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
algoritmo
6ptino
aparente
deL
de
de La
robuscez,
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
Citemos
g,uienes
demostraron
en
Ja
era suficiente,
estimaci6n
introducir
aTeatorio
para
en aTgunos casos,
reaJ-izado por Brenner
La infiaci6n
con Ja teoria
cartera,
TTegando
a
infl-acci6n
exjstente
€s,
variabLe
La
seguian
un sesgo en I as aplicaciones
Un estudjo
relaciona'
que
de un erro-r
existencia
(1.980)
PhiJTips
modeTos
en
eu€,
d.e t4arko;witz, ld
tradicidn
g
Frankfurter
ademds a
7a
(1.980)
Sarnat
de La selecci6n
concTusi6n
que
potenciaTmente,
La hora de considerar
a
V
grado
e-l
una
de una
de
importante
una se-lecci6n de carteta
de ya-Iores.
Berges (1 .983)
cambio
soDre
invetsi6n
7a
estudia
e-l
ef ecto
deJ. riesgo
de
rentabilidad
g
riesgo
de
de
internacionaTes,
rentabiTidades
de
individuaTmente
Asimismo asegura eu€,
diversjficada,
porci6n
por
tanto
tituTos
incfuso
e-l tiesgo
deL
sustanc-la-l
pal.abras ei
riesgo
mosttando que 7a varianza
extraaieros
en una cartera
de canbio
riesgo
de cambio tjene
eficientemente
J-a carteza.
carl.cter
eL tipo
de cambio a pJazo ),
prTma por rJ-esgo.
209 -
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
de
una
En otras
sistemdtico,
toQo mecanismo encaminado a eLiminar
por ejempTo:
de canbio.
es responsabJe
de
de Las
considerados
por e7 riesgo
incrementada
es
carteras
taL riesgo
de.be flevar
g
(
una
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
- Todo inversor
deseos
se
a 67,
riesgo
gue trata
de apostar
€l
temor o
de nininizar
experiencjas
-las inversiones
riesgo
gue
anterjores.
mds rentabl.es
jnyersor
riesgo,
g
tenga
De hecho ocurre
-Z,l.eyan aparejadas
eJ
5e trata
gana.ncia -
e-l
g
un
gue
magor
g, yiceversa.
eJ punto de vista
Desde
Los trabajos
indicado,
de l,Iarkowitz,
fud
tipico:
de
( nedido
en gae,
se centra
la
Los
rendimientos
conducta
de urr inversor
7a
p'or 7a varianza o desviaci6n
rendiniento
EJ
tipica
jnyersor
e7
7a varianza
deL rendiniento
como aTgo que no
cutvas ' de
indiferencia,
representaci6n
de utiLid.ad.,.
En
resumen,
vemos
gud inversiones
determinar
momento
permiten
d.e ganancia-riesgo
conbinaci6n
deben
rentabiTidad
totaL
ponerse
eJ
) de 7a
deberia
espe rado como algo deseaD-Ze g a
consid.erar
funci6n
esperanza
esperados g nininizar
dado.
de
como ga hemos
eL val"or medio ( dado por
para un rendimiento
cartera,
econ6mico 7a importancia
capaz de pJantear
maximizar
natendtica)
riesgo
dos
-Ze produce
en todos Los casos.
por un binonio
en cada caso,
por
gue
inseguridad
dependi.ente de 7as preferencjas
avaLado
pot
condicionado
por un Tado eL de md.xima ganancia
contrapuestos,
frente
encuentra
aL
inyersor
7o
grd.f ica
es.
de
determinar
.Las
La
7a
q'ue es capaz de asumir.
gue
ptobJema a tesoTyer
el
se han de 7Levat
a
7a
sea -la mdxima,
prl.ctica
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
para
con La condici6n
no sean rebasadas -las disponibi-ljdades
-270-
a cabo,
financieras.
es
en gue
gue
de
Ja
gue
5e han
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
de
Las
verifiiar
g
tariedad
sustr.tuci6n
permitiendo,
de
rnyersjones
totaT
compTemenconsideradas,
deL vector
resu-ltante
sin
varie
RENDII{IENTO Y RIESGO DE UNA CARTERA DE VALORES
3.6.1._
Para
recotdar
cierto
abordar
7a
+ Pit
e7 periodo
i
periodo
aJ
comienzo
t.
Rjt
Dryersos
g
i
5e
aleatoria,
bjdn de tipo
por
sus
trata,
fina7,
coinciden
se caracteriza
es
discreto
respectirzas
continua
de
de
como
ey1-1
por
t.
en gue ,,ex posttt,
sabido,'
de
con
peso
un
a
probabiTid.ailes.
Rjt
predec:r
no es faciT
ajustarse
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
de7
( en tanto
es
su
una variabLe
probabiTidades,
277
en
de 7a
especifico
bi6n
una
de tipo
determinada
En
cua|q,uier
por e7 par de nedidas sigu:entes..
-
i
respectivamente,
7a rentabiTidad
como
con posibiTidad
ci6n
aL
pero ,,ex ante,,,
resu-?,tado.
definida
de un
vaTot de 7a cotizaci6n
el
en e-Z t i e n p o
autores
) /
t,
Rit,
o dividend.os d.e La accion
representa
un vaLor conocido,
distribu
+ Pit-I
Pit-1, g Pit,
t;
uno ) de cada vafor
continuo
euaLquiera
dig Jos jntereses
Siendo :
acci6n
o Tasa de Retorno,
en un periodo
= ( dit
previamente
este concepto se necesita
Rentabilidad
vaTor i
Rjt
caso,
Las
ademds, una oscilaci6n
gue 7a rentabiTidad
dado
de tenporalidad,
condiciones
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
Esperanza
su
rentabiL idad
que
matemdtica,
media,
es
decir
ponderados
rendimientos,
una
es
dei
medida
ptomedio
l-a
de
de
l,os
Las probabiTidad.es d.e gue
con
escos ocutran.
Varianza,
su
correspondiente;
f inanciero
7a dispersidn
entre
funcion
en
se
trata
(una medida de dispersidn
estadjstjco
g,
una medida deL riesgo
es
eu€
de
deJ activo
parS.metro
un
abso-luta ) que nide
f os e-Zementos de uJ? con junto
su
de
magor o menor valor
de
datos
La inversi6n
m 6 . s o m e n o s .a t r i e s g a d a .
resuf ta
Es evjdente
g'ue si
que asume e-t posible
prefieran
7a vatianza
inversor
al.ta su varianza
su dispersi6n
apuntamiento
otros
de 7a distribuci6n
esperanza
g por
de
tanto
sea J,o menor posible.
coef icientes,
o Curtosis,
una
correspondiente,
en e-l rendimiento,
Existen
e-1 tiesgo
de ahi q'ue se
7o es,
gue teniendo
agueTTos titul-os
rendjrniento
tanbiln
es grande,
-Zos de
capaces de dar informacion
de Las rentabilidades,
g
asjmetrja
acetca
pero no son
Los
n6.s usuaf,es.
EJ tendimiento
e7 tanto
de ren.tabiTidad
cad.a unid.ait monetaria
periodo
de una cartera
de.tienpo
t,
obtenido,
invertida
gue
en
puede
definirse
po.t termino
dicha
"rrr.ru
generaLmente es un
212 Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
como
me.dio,
durante
afro.
por
un
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
Ilna cartera
que
una
inversi6n
de
combinaci6n
de
determinadas proporciones,
pox un vector
representa
( Xt(t),
7a
Xl(t)+
., 5i
rendimiento
o valores
a invertir
g
Rjt
N
nobiliarios,
en
a7
de 7a cartera
e7
€fr
expresada
tituTo
i-dsino
-la relaci6n
V xi(t)
> 0
de vaTores que se estdn
nimero
rendimiento
al
nd.s
d . o n d . ec a d a X i ( t )
eu€ satjsface
Xw(t) = l,
X2(t)+...+
no es
t,
individuaLes,
Xrg(t)'),
por uno),
. Llamamos
considerando
activos
XZ(t)
cantidad
(expresado en tanto
en un tienpo
deL
vaTot'
i,
el.
de vaTores Rgy vendr6. dado por
Rcv = f,j=Nj=1 xi(t)
Rjt
I
La esperanza matemdtica
funci6n
de 7a esperanza Eit,
E tRCyl = ECV -
(i=7r...,
'Ei=NjI
En eL modeTo de l4arkowitz
riesgo
de 7a cartera
cartera
entropia,
La
RCV.
(Otros
La varianza
autores
7d semjvarianza,
etc.,
varianza d.e 7a variabTe
anteriormente,
RCV,
de
es
- 273
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
Xi(t)
se
expresar6.
N) de Rjt
Eit
,
se utiTiza
como sigue
(i=7
N)
como nedida
del rendiniento
sugieren
medjdas
de
RCV,
deJ.
dicha
como
cugo uso es bastante
aLeatoria
en
7a
menor)
definida
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
vf.Rcfl = Ej=ffj=J. x2 i o2i*
=
= o2 [Rcy]
donde
indica
oij
variaci6n
g j,
o'i
jnyersjones
parte
pred,icci6n
se
covarianzas
de -Zos
datos
partir
una
un
i
en
pueden
parecen
las
d.e esos
a
de
eJ futuro
aconsejabl,es
cattera.
esperanzas,
obtenerse
anal-ista
sobre
determinad.a
lendimientos
andlisis
capaces
de
su
eomportamiento
pueda ser
tdcnico
de
Es'ta
g
vatianzas
N
valores.
partir
de
La Teoria
e informat,
predecir
Los
de determinadas
por
ejenpTo
teniendo
Los
serjes
p,r6xino
vd
a
tener
274
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
inversor
Tugar
en cuenta
eI
como
Se
repetitivas,
es una
de -Zosmovimientos
g es Tabor de un buen analista
al
a
de tendencias
para 7a predicci6n
con anticipaci6n,
bursdti-Zes
contrataci6n.
tragectorias
tipos
. agueTTas
financieras,
e-Z voLumen de
describen
-tadas
precios
magnitudes
de Down basada en tres
de J.as m6.s utiTizadas
.bursdtiJes,
comprende
evoLuci6n hist6rica,
supone g,ue los precios
un fututo
7a
o escjmarse subjet ivamence.
EJ
tecnicas
de
es decir
de Los tituTos
gue
. de
en principio,
concreta
necesarjos
historicas
de Ri g Rj,
hace una predicci6n
financieras
f ormar
(i.1)
oi j
de Ri.
h:pdtesis
de Ja
de -Zos IV ya-Zores eu€,
para
xix j
de 7os dos rendrmjentos
7a varianza
Partimos
Ej=Nj=I
oi j =
xix j
La. covarianza
conjunta
n
g
f,j=Nj=1
ti*j
eL descubrir-las
deJ cambio gue en
para
gue
obre
en
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
En
consecuencia
deL
teoria
refJejan
Ta.iJtina.
metcado
eficiente,
toda 7a informaci6n
tdcnicas
en
e-l desarroLTo de la
gue
7a
necesaria,
(g no de tipo
anALiticas
entredicho
d6cada,
Jos
precios
g l-a aparici6n
de
puesto
en
grdfico),
ha
eI and.Tisis tdcnico.
5j
se
capitales,
gtandes
esperan
una opini6n
de tipo
cambios
g u e 7 a Q r u es e p o d r i a
hist6ricas.
No
infotmaci6n
se
prediccion
con
tener
a partir
7a posibiTidad
excluge
o'bjetiva
puede, quizd,
subjetivo
mds acertada
eJ mercado de
en
7a
serjes
de combinaz Ia
para
subjetiva
de
ser
obtener
7a
fina7.
E^stamos en
condiciones
Itlatkowitz.
Como se
f ormaci1n
de una cartera
sabe,
de
abordar
este
autor,
el-
indica
pasa por tres
6ptina
modelo
gue
de.
7a
etapas..
Etapa 7
Determinar
eI conjunto
eficientes.
Est o
mJ.nTma para
una
de c a r t e r a s
puede Togtarse:
a) haJlando
7a
cartera-
de
espetanza de rendimiento
b) haTTando
varianza,
agu677a
fd
Pot tanto,
puede detetminar
gue
varianza
concreta.
tiene
para
una
determinada
esperanza mdxima.
segun Los dos apartados
e7 conjunto
de
275
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
carteras
anteriores,
se
eficientes,
en
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
de
tdrninos
7a
Programacion
Cuadrl,tica
lP.Q.l ,
de dos
maneras posibJes.'
I.-
Funci6n Objetivo
i-
o2cV = f,j=Ni=-l
I,Iin.
rt
tJ-"-;_7
X;X;
oij
Restricciones
Parametrr.cas
Ei=Nj=-l x1
Presupue staria
f,'-"j=1
;-rt
No negatividad
de ser
de
Jos porcentajes
de E*,
son T6gicas
que ser un nrimero no negativo.
cual-
TLevatia
P.Q.
como vaLores
principio,
en 7a cartera
participaci6n
se obtend.rd 7a cotrespondrente
es
de planteamiento
a tener
g'ue resoLver
djstintos
gue puede expresarse
como sigue.
-276-
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
ha
cuaLg,uier
Pata cada vaJ-or
tantos
E*,
de escasa operatividad.
es mediante eJ dual
de
cartera
tomara
N)
hacerLas ga eu€, 7a
de participaci6n
i g u a T a 7 a u n i d . a d .g ] a
val.or tjene
(i=7,
VXi20,
Estas restrjccjones
suma
X1 = f
eficiente,
Lo
subprobJemas de
hecho
Otra
eu€,
en
forma posi.bJe
deJ probJ-ema anterior,
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
II.-
Funcion objetivo
Ecv =
I,Iax.
f,j=Nj-1. xj
E1
Restricciones;
Paramdtricas
Ei=Ni=7
Presupuestarja
Et-ttj=-1
.i-rt
En
probLema
este
de.
ambos
conocidos
dd 7ugat,
ef icientes
,
g,
debe
pot
casos
aJguno
matend.ticamente
a inyertir
7a
de
en cada tituLo
La
7os aLgorjtmos
de
ca-nteras
g,ue permi te
vector
un
varianza)
o grdficos.
a una curva
a
N)
determinarse
vaLor movil de
gtaficamente
conocer La cantidad
Etapa
(i=7r...,
ga descritos,
mediante ndtodos an{Titicos,
s-ol-ucion
7
tanbi1n
e7 parl.metro V* (
previamente
-
X1
Yxi20,
No negatividad
= V*
EJ=ili= t X+X; o; i
exrstente.
2
Tr6,s
inversor
haber
haLJado
en vjrtud
de
su . espiritu
aguelTa que n6.sfe satjsface
tanbi*n
LLamada de
reTaci6n
g tiesgo,
aL
e je
haTLar 7a cartera
.
-las
de
ef icientes,
jugador,
De 7a funci6n
satrsfacci6n
dependerA 7a forma de
ganancia
l-as catteras
curvas
U
de
=
)ptima.
277 -
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
g
eTegird
utiTidad.,
F ( Ecv,
o2gy ),
indiferencia
entre
eu€ sueJ.en ser crecjentes
d.e ord.enad.as,
de
cada
gue
g c6ncavas con
servird.n
para
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
Volver al índice/Tornar a l'índex
Etapa 3
Por iTtimo,
graficamente
cotresponde
-Zas pos-ib-les
curvas
efjcrentes.
casos I o II
anteriotes,
EJ
ILarkowitz
modeJ-o de
Asi,
exorbitado
eJ
esperanza,
Cg= ( E*,
de
jnd:ferencia
La
sustjtuci6n
seLecci6n
v* ).
Los
gue
fundamentalmente
citado,
de
gue
ning,jn
proporcionara
una franja
sin necesidad
de
tuviera
soLucion
sufrieran
una
una
cualguier
2 .925
preocup6
nos
una
nueva
resu-l.ta
mucho
variacion.
278
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
cuando
de -Zos
Suarez
en Ja Bol-sa de
m{s
de
pero
e-Z hecho,
Los
de optimizaci6n
resoTucidn
optina
cartera.
a La
estimacj ones;
algoritmo
o canal
gue
reTativas
in.dica gue para 75 vaTores cotizados
en
a
tenido
de -Zos rend.imientos
patte
necesarjos
deL vector
prActico
(1.983)
serian
C6 en Jos
debido
ha
se
gue entran
a format
de
aL mundo econ6mico a
valates
I,Iadrid
curva
cartetas
nimero de estjmaciones
g covarianza
varianza
una de
6ptina.
desde eL punto de yjsta
gran
7a
deJ punto
apottaci6n
punto
Este
entre
con
de
por
determjnada
de Tugar a 7a obtencion
probTemas' con
enfrentar.
yiene
punto de tangencia
al
una gran
ha sido
de Los
optina
para haLTar 7a cartera
optimo necesario
pesar
cartera
ganancia*riesgo
7a combinaci6n
carteras
la
deL
ga
exjstentes
en el. eD€,
probJema
-Zos datos iniciales
se
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
CAPITULOIV
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
DOS APLICACTONES ECONOI{ICAS DEL ALGORITIIO OBTENIDO
4.1.-
INTRODUCCION
Como aplicaci6n
trabajo,
vamos
te6rico
/roblema
al
anterior,
Tugar
varios
bajo
a f in
en cada caso.
a
disefiado
este
un peguefio
cada uno englobando
g'ue experimenta
de ver 7a'variaci6n
que aTcanza 7a funci6n
eJ
objetivo
Para el,l,o:
sjn
de un probJema de
optina
sens:.bjlizar
Parametrizamos La Funci6n Objetivo
anterior
en
estudjar
supuestos,
PLanteamos g damos Ja soluci6n
P.Q.
2.-
primer
en
soJ-uei6n g ef valor
vector
7.-
deJ- algoritmo
g obtenemos eJ vectot
nultipJicador
soluci6n
correspondiente,
d.e1 probLema
lF.O.)
en
optimo
cada
g
doninio
su
deJ
par6.metto.
3 . - Adends de 7a F.O. ,
tanto
eJ
Jas propras
sensjbj-l izamos
de| pard.metro g,
sugo,
segtn
el
.
factible,
pTanteaniento
gue podr,i ser
empirica
e-Z 6ptino.
soTuci6n
deJ presente
220 Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
g en
cada
iremos obtenjendo
g su correspondiente
una comprobacion
haTTando
signo def nuLtipTicador
Lagtange asociado a J.a sol.ucidn,
vectot
restrjcciones,
como Las de no negatividad,
doninio K de definicion
subdominio
Las
Este
de
un
uJ-ti.mo
constitugen
trabajo.
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
4.7.1.
-
U N P R O B L E I , ID
AE P. Q.
.Sea un
unidades
consumidot
g sea su
unos ingresos
con
funci6n
de utilidad
mAximos de 2
para dos bienes
La
siguiente.'
+ 6 x2 -"*2I
x2) = 2 xl
f(xl,
+ 2x1 x2 - 2*22
Supongamos q,ue eJ precio
como
deJ
bien
diferencia
entre
(denandada) del
tjene
2,
como
es
eJ
7
unjtano,
u.m.
dobLe
tanto
J-a
cantidad
bi6n 2 g su correspondiente
Tinite
superior
e-l
vaLor
bien 7
ad.em6,s, gue 7a
5e sabe,
de
del
consumida
para e7 bjen
7,
de 7a restricci6n
presupuestaria.
Dado
funci6n
de
que
e-l
utilidad,
consumidor
€f
tratard
problena
a
de
maximizar
resoLver
su
puede
pTantearse:
I4ax.
Sujetoa
f(x1,
x2)
xI
>0
x2>0
xl
+ x2
-xl+2x2
s 2
s2
donde hemos TTamado x1 y x2 a -Zas cantidades
7 g 2 respectivamente.
- 221
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
de J-os.bienes
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
Tenjendo
acotada,
en
de tipo
gue
cuenta
Tineal
(1.982 ) ,
a
plantearse
en tdrminos
o no,
ltinimizar
su
l,Iaximizar
equivale,
una
f unci6n
CabaTl"ero g otros
e-Z probTema puede
opuesta,
gue
de mininizacion,
como
es
hemos
pTanteado g estudj ado eJ algoritno.
I[in.
t(x)
Sujeto
a
= - 2 *l
-
- 6 x2 + 1/2
( 2x2I - 4x1x2 + Ax22)
<0
xj
-x2
<0
x7*x2
s2
-xI+2x2<2
2 -2
ll
Lamatriz
B = ll -2
4
ll
ll ,
lsl = 4
.Fase I . -
5 = 0, el
vector
Comprobamosque verifica
no verif ica
(3),
ni
S = 53 = l,(3)]
(4),
soluci6n es
*0 = ( 5, 4)
Las restrjccjones
(1)
g (2),
por t_anto no es factibLe.
pero
Hacemos
g p a s a m o sa
Fase 2. -
El
nuJtiplicador
vector soiucjdn
es *53 = ( 4/5,
asociad.o lS3 =
-las restricciones
I4/S
hemos encontrado
222
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
6/5 ) u su
> O. como verifica
eL 6ptino.
tod.as
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
minimo d.e 7a F.O. se a-Zcanza para x = :<53 g
EJ valor
va|e
xs3) = -7.2
t(
gue
Ya sabemos
coeficientes
de
una
La funci6n
de -Zas restrjcciones,
eJ problema,
vector
peq'uefi'a nodif icaci6n
de utiLidad
nos obTigaria
o de -Zas costantes
a resoJver
con 7o gue obtendriamos,
g otro
soLucion
7os
de
nuevamente
gitobabTemente, otro
a7 gue hemos haLJ-ado
minimo distinto
en esce caso.
4.7.2.-
u N P R O B L E I L AD E P . Q .
EJ anterior
Supongamos gue
7a F . O. ,
s jn
restriccjones.
probLena
vectores
vd a
nodif icar
izar
en
gue nodifiguen
un
7a funcion
x1 de
eJ. coeficiente
constantes
nuestro
bnT, fuesen
e-LLo necesitamos
transformaciones.
Las
todavia
EguivaLdria
PARAI'IETRIZADA
sufrjr
gueremos sensjbjl
componentes d.eL vectar
Para
CON LA F.O.
caso
-Zas
de
a
gue
-las
0,
g
ul?os
todas nu-Zas.
parS.metro,
cuadrdtica
de partida.
Sean -los vectores:
ej
= (7,
O), cT = ( -2,
con 7o gue 7a matriz
(
B
-6);
+
expresion
223
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
"*T
*,
0 B
(f,
I
A); uT = (j,-tS
toma
-las
siguiente
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
tl
(B+
ll -2-
eB')=
g su determrnante
5e trata
es
-2
2+60
-e
,
e
T
I g + e B*l = - Q2'+ 20 O + 4
ahora de:
tl
tIin.
+ 7/2
aL
2+
-2
0 ll
ll
xl
tl
0
4
ll
tl
x2
ll
mismo conjunto de restriccjones
-xf
-
x2
s 0
(3)
x7 *
x2
< 2
cdl-cuLo
-xl
yaJores a f in
de
del
que
+ 2 x2 < 2
donde eJ pari.metro toma
dominio K,
Ja
forma
g estd garantizado
cuadrd.tica
7a unicidad
a:
/( = (-0.79;
(1)- (4)
<0
(2)
(4)
positiva
x2
6e
(xt, x2) l l -2
(1)
EJ
il
tl
x7
e) = (- 2 + 60, - 6) ll
f(x,
tl
Sr:"to
il
tl
20.79)
- 224
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
sea
del 6ptino,
definida
conduce
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
Fase 7.-
de 5 = i,
Partimos
vector
el
soTucion x0 viene d.ad.o
por:
2 0 + 20 ll
lt- 02 + 20 0 + t6 tl
ll
*Q(e) - ( tl - 02 * 20 e + 4
Comprobamoseu€,
andTogamente al
caso
1,,
esta
soLucion
cumpte i
- Jas
- no verifica
.
(f)
restrjccjones
(3)
7a
(2) cuando 0 e K,
g
para
ningin
vaTor
de
0
de
este
:ntervaTo,
-Za restriccion
dominio
(4) se verifica
(- 0.79,
Por tanto
en el. suDintervaLo
- 0.13 ).
tenemos un intervaLo
todas Jas restricciones
a excepcion
D1 = /(V = 0, K - KV = K, L1 =
l,
L-
donde
se
de l-a (3),
(- 0.79,
S = 53 = I,f SlI
p a s a r n o sa - l a F a s e s : g u r e n t e
225
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
verifican
Llamamos
- 0.73
g haciendo
.
deL
l
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
FASE 2.-
R e s o - lv e m o s l - a f u n c i o n d e u t i - l i d a d i n i c i a L
(3),
- Z . ar e s t r i c c i 6 n
sometida a
tomada coma activa.
I4in.
tl
x,
0l
S'ujetoaxl*x2=2
El vector
soluci6n es
y su nuTtipLicador
x53fe/=
+ to)l
/(ae
o + 8ll
ll
15 e + i2ll
asociado toma La expresi6n.
rs3(e) = ( e2
r
tt
ll
gue es siempre positivo
20 + 28) / (Bg + ro)
en K,
como ga se
demostr6
e-l
en
punto Z.A.t.Z.
Cinprobanos
restriccjones
asi
en
*s3 (g)
sj
aJgtin
cuando K53 = (- 0.79;
ConcTujmos diciendo
verif
ica
todas
subd.ominio TTegandoa gue esto
es
o.3O l.
guei
*s3(e)=6ptino,
vo
e
.1c53
Fuera de este subdomjnio x53 fg) no es factibTe,
se de.be a gue no verifica
-Zas
-Za.restricci6n
- 226
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
(4).
esto
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
D2
Llamamos
ocurre.
Como*s3(g)
afiadimos,
como
=
60 y 153 y es tudiamos en K - D2 gue
no verifica
restricci6n
7a
(4),
restrjcci6n
pasando
activa,
a
7a
l-a
Fase
sjguJ.ente.
Ahora consideranos el conjunto 5 = 534 = {(3),(4)}
estamos en 7a
Fase 3.-
Partimos
restriccjones
de 7a funcion
(3) V (4),
Itlin.
cuadrS.tica sometida a _las
tomadas en igualdad.
tt
x,
Sujetoa
0l
xf+
- xf
x2
+ 2 x2
Reso-lvemos este problema,
=2
= 2
sjendo
e-l vector
soluci6n
ll 2 / s ll
c^,
xrr4 = Il 4 / 3 ll,
gue como observamos no
depende deJ pard.metro e.
EJ vector
nuJtipJicador
tiene
por conponentes
e2 t
\"'*3(0)=(-200+26)/9
Q2
rl
\u"4(01=
(15 0 + 2) /
-227-
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
(10 0 + 2)
-'tt.,.
g
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
comprobanos gue.ambas son posrtjrzos
e21
por Ko'* = ( 0. j0;
dado
g
f actibTe
1.3 ).
e-Z nbJtipTicador
en un.subdominio
Siendo e-l vector
K
soLuci6n
positivo,
asociado
de
pod.emoi
gue
afirmar
xs34 = 6ptimo, v o e Ks34 = ( 0.io;
Ya
eL vector
existen
6ptimo,
7.i
)
dos subdominios de K'donde hemos hallado
c a J - c u L a m o s7 a u n i 6 n
Dj =K0 UKs3 UKs34 = ( -
0.19;
1.3)
g e s tu d j a mo s g u e o cu rre fuer a de este subdominio,
En
restrjcci6n
restrjcci6n
X
D;,,
(i),
nultipTicad.or
.eJ
\S3 g(g)
es
asociado
negativo.
a
7a
Quitamos
esa
de 534 g estamos nueyamente en -Za .Fase anterjor
con una sola restrrccion
activa.
F a s e 1 , .Partinos
Obtenenos e-Z vector
restricci6n
*54,
(4),
={(4)}
de5=54
tomada
gue ninimiza
como activa,
a s i c o m o s u m u i ,t i p l i c a d o r
- 228
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
la F.O. sujeta
a 7a
qrue expresamos por
de Lagrange asociado
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
10 ll
ll
llroe + 7 l l
*sa(e) =*[f /( 700+ 2) l
xs4(e)= ( t5g +2)/(7os+2)
Segurdamente
comprueba
se
que
eL
vector
haTTado
dt
xra (Q) es posibJe g 6ptino en este subjntervaTo,
6f,
es posr.tivo.
x64(e)
EJ proceso
ha
-Hemos descompuesto
terminado.
d.ominio d.e partid.a en -los subdominios
uni6n
ga gue en
e-Z
KS3, Ks34 g xSA, cuga
cubre compLetamente a K.
Subdominio de K
SoLuci6n optina
K53 = ( - 0 . 7 9 , 0 . 3 0 )
*s3 (e)
K s3 4 _ (
* s 3 4( e )
0. 30, 1.30)
KS4 = | 7 . 3 0 , 2 0. 7 e)
4.7.J._
*s4 ( e)
U N P R O B L E I { AD E S E N S T A E I Z A C T O N C O N L A
F.O.
Y
LAS
CONSTANTES AFECTADAS DE UN PARAT4ETRO
En
eJ
parametrizaci6n
restricciones
pr.oblena
de
-las
de-i sistema
eLlo necesj tamos def inir
segundos
4.7.2
se
vd
a
constantes
J-l-evar a cabo 7a
de
todas
d e d e s i g u a - l d a d e s - 1 . r n e a - l e .s
e-l
vector
miembros de7 conjunto
g g u e T T a m a r e m o sb * ? .
229
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
gue
sensibiTiza
de restricciones
-Zas
Para
-los
de partida
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
Supongamos b*T = ( -I,
2) = ( n*Ti,
2)
)gb*'O=(7,
por. Tos coef icientes
formados
actian,
-l
(-7,
siendob*Ti=
-1, l,
respectr vanente,
del pard.metro,
E7 problema
a resol,yer
f(x,
0) = (- 2 + 60,
no
-xf
(1)
Sujetoa
4
xt+
x2
ll
llxt
ll
llx2
ll
-e
- x2
(3)
+
-2-ell
s
(2)
ll
5) ll x2 ll
b*6s
(xt,x2) ll-2 - e
+1/2
o
<2
+
0
-xf+2x2<2+20
(4)
hessiana es La misma
del probl-ema anterior
g
dada por
ll
(A+
de
es ahora
ll
viene
cuando estos
sobre -Zas restrjccjones
llxr
La matriz
vectores
o sobze 7as propias.
negatividad
I'Iin.
Los
b*Tk)
eB')=
ll
-2 -oll
2+60
-2-
e
4
lg + e a*1= * 62+ 20g +4
-230-
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
ll,cugod.eterminantees
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
Siendo La maxraz"Jnyersa
( B + O B* )-1 = (t /-
LLegados
gue
c6.7cu7o de K,
subdominios
7.-
a
ll
4
o+ 2
0 2 + 2 O O+ 4 ) l l
0+ 2
60+ 2
punto 7o primero
este
previamente
supone
s igujentes
7a forma cuadrl.tica
eJ
doninio
gue yiene
a reso-i,yer es el.
cal-cuLar
Jos
dos
.'
gue garantiza
HaLJamos e-l dominio K1,
con
tl
tl
gue 7a matriz
positiva.
es definid.a
de
Esto coincid.e
deJ caso 2 resue-l to con anterioridad
rJ
dado por
K1=(0.t5;20.19)
2.-
A contjnuaci6n
necesjtamos
asegura 7a compatibiTidad
CaTculamos,
como fos
estudiar
determinantes
el
signo
Debe verificarse
indica
s jstema
en priner
7ugar,
el. detetminante
caracterjsticos
ef, Teorema
5
necesarja
desrguaJdades
comnatibJe.
-
k2,
gue
del sjstema de restricciones.
co-rrespondiente
La condici6n
de
conocer eJ doninio
237
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
Dk,
cL, a,sl.
a
fin
de
a cada uno de eJ-los.
(Capitufo
g suficiente
LineaLes
de
1)
que
nos
para gue un
rango
.r
sea
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
o I
l--z
c=
|
en cuenta gue s > 0 , la
Iiemos de tener
g los
o
|
O -7
| -:
Estamos
acompaffantes de
siguiente
(1.56)
expresi6n
resul. tados de Dy1 g Dk2
l-r
D1l =
_j l>o
o
en
Dk2=
|
eL
caso
signos
O -i
I -7
2 |
opuestos,
de variaci6n
fo
gue
-I
2
qrue existen
en
-t I
o
l-r
-Il=7,
2
jntervaTo
I4ax { - bn
-t I
l=-l
2 I
determinantes
nos
lLeva
para el parl.netro
aJ
0.
/ pm } < e s uin t - btz / oxz}
Como
I4ax t - b*t / Dxt ] - - 2 / t = -)
I[in {-bXZ/DXZ
Teniendo en cuenta eue,
sentido
tomar
=
}--2/-l
en
como negativos
2==-)0el*2,2l
nuestro
-Zos yaiores
obl,igamos a que eL dominio de variacion
0, por
tanto
K2=[0,2]
232 Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
caso
no
de
tendria
xl
del pardmetro
g x2,
e
>
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
De Los apartados 7 g 2 se deduce que 0'pertenece
intervaLo
aL
certado
K=KlnK2-K2=10,21
FASE 1
En
esta
primera fase
CaLcuJ-amos 7a
estar
de 5 = 0.
partimos
soluci6n
gue minimiza
La funci6n
sin
sometida a ninguna restricci6n
EJ vector
soluci6n
x 0 y . e n e d . a d . op o r :
2 o + 20 ll
ll- e2 + 20 o + t5 ll
ll
*$(e) = i tt - s2 + 20 0 + 4
Es obvio
sin
parametrizar
gue sr. hacemos Q = 0 obtenemos 7a ' so-Zuci6n
vista
en eJ apartado
Comprobamos g,ue rest ricciones
igual
7.
verif
iea *Q (g) ,
g dl
que en e-l caso anterior:
- para gue verifigue
La restriccion
gue
1 g 0 1e ;> e
- 233
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
(7),
se
debe
cumplir
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
7o gue nos conduce a
03-20g2-20+20>o
gue
es cierto
-la restricci6n
si-
0 e (- 0.79,0.971
(2) se cunpLird
U | 20.04,
>0.791
cuando
x O 2 ( s ) >e
es decir
03-2102+32e+15>o
ecuacion
q'ue Se vetifica
intervaTo
- Sustjtuimos
siempre
O e (- 0.7g,
que nos
movanos
2.Ogl U | 79.2g4,
en
eJ
20.1gl
7a soLuciSn haTLada en -Za restriccion
( j)
*Qr{e)*y02(0)<2+0
o b te n i e n d o
gue
e3 + 79 g2 + 6Q - 28 > 0
nos dd como intervalo
de variaci6n
0 e [ 7. Og, 19. 24J
- 234
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
para e7 parAmetro
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
-
Por 67timo,.7a retricci6n
(4) serd verif icada por *Q(e)
si
- * v 1l ' (l ' 0 ) * 2 y v 2 ( 0 ) < 2 + 2 9
g esto es cierto
Pot tanto,
-Zas cuatro
una vez caTculada 7a jntersecci6n
comun a
g teniend.o en cuenta el- vaLor de
restrjcciones,
K haTTado al
- 0.15 l.
cuando 0 e (- 0.79,
comienzo de
este
caso,
concJ-uimos
diciendo
gue.'
*Q(A) es e-l vector
optimo,
lr 0 e [ 0.77,
O.g7)
CalcuJamos
D 1 = 1 g 0=
| 0.71,
O.g7l
K - r0 = [ O, O.7t)
siendo
EJ
subconjunto
ndmero de restriccjones
corresponde
L",
U ( 0.g7,
donde
se
2 ]
infr.ingen
e7 menor
yiene dado por L1 = ( 0, 0.71 ) g
a -Za restriccion
Estamos en condiciones
(3).
de abordar
- 235 Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
fa
fase siguiente.
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
FASE 2.-
S = 53 = l(j))
Pasamos a -la reso-luci6n
sujeta
a - ? . ar e s t r i c c i o n
I{in.
Sujetaa
(3),
ft
7a
funcion
de
tomada como activa,
utilidad
es decjr:
x, 0l
xl*
HaLLamos eJ vector
yiene
de
=2
x2
soluci6n
+0
trds
eue,
sinplificar,
dado por
ll
xs3(e)= tt /(ee +roll
cuVo.nuJtipTicador
02+
70+
ll zs2+ts
8ll
0+izll
de Lagrange asocjado es
rs3rej = ( e3 -rs s2 - 6a + 28) / (Be+ to)
siendo f53fg)
v 0, V O E K,
Pasemos a
estudiar
dominio K -"K0 = | O, O.7I)
como vimos en eI
sj
*53(A)
U ( 0.g7,
236
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
es
2 l.
punto 2.4.L.7.
factible
para elJo:
en e-Z
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
- Debe verificar
(7),
Ia restrjccjon
gue cumpTir
tenjendose
C:?
xu'1(0) 2 0
-
cuga ecuaci6n
7 e2 - 30 + I
0e[-7.30,0.88
> O
=
]n(K-Kq)
- La restricci6n
(2) 7a verificard.
es
no
negativa
sj.
lO,O.7i)
si
x S 3 z ( o )> o
es
decir
siempre
sj
- 02 + 90 + 72 2 0,
ecuaciln qrue se verifica
gue 0 se Jnueya en el. interyal.o
0 e t- 7.I8,
70.18 I n (K - K+) =
= ( 0, O.7IJ U [ 0.97, iO.tel
Si
serd
por
tJtimo,.
sustjtujraos
por *s3fe/
verificada
-
gue
si
xS3l(0) + 2 xS3Z(0) < 2 + 20
operando obtenemos 3 02 + 5e + 4 2 0,
cuando geRn(K-KQ)
Podemos finaTizar
*53(g)
(4),
en 7a retricci6n
es optino
=(0.79,
que
cuando 0 e lo,
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
verifica
O.1S l
esta etapa diciendo
-237-
se
qrue:
0.77J = 153
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
S e g u i d . a m e n t e c a J c u T a n o s . r c OU K 5 3 - D 2 = | O , O . g 7 ) g
como
D2
x
eI proceso continua
K
sol-uci6n 7e
vector
eK-D2.
no sati sfechas po, *53 (g) en eL
De -Zasrestricciones
conjunto
ga gue no exjste
K - D2,
es decir
Lrg,
subconjunto
donde
(1) g 7a (2),
la
infringen
se
restrjcciones,
qrueen este casa,
-la restricci6n
(1).
eL menor n6,mero de
seria Lj1
Esto nos permite
tomamos aqueT
g corresponde a
pasar a
rASE 3
Afradimos, df conjunto
de restricciones
con 7o gue 5 = 531 = {(3), (1)}
-la restricci6n
(7),
5e
trata
de
sujeta
a Jas restricci6nes
objetivo
de 7a Fase 2,
caLcular
Ia
soJ.ucidn
de
(1) g (i),
La
funciSn
tomadas como
activas.
tl
I'Iin.
Sujeta
a
x, 0l
=e
xl
x7+
x2
=2+0
C o m e n z a m o sc a L c u L a n d o e J v e c t o r
sabemos
se
obtendria,
caso de dos restricciones
factible
QU€,
COnO
apTicando eL Teorema 2. 5.2.7
en eJ
activas.
- 238
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
lle
ll
xsr3(01= ll 2 ll
cugo nuLtipJicador
d.e Lagrange asociado
ll 7s2 +ie
rsriro/=ll
s2+20-i
con componentes positjvas
C o m o a d e m 6 . sx S 1 3 ( g ) v e r i f
I
es
ll
ll
(
en e-Z subdominio
ica i.as restantes
0.97,
2
restriccjones
(2)
x5732(0) 2 Q,
(4)
xs131(0) + 2 xS73z(e) s 2 + 20, tr 0e ( 0.g7, 2 l
Hemos haTLado el
ts 0e ( 0.g7, 2 l
6ptimo en este intervaLo
xsr3(e) = oPTrI4o, v o e ( 0.g7, 2l.
EJ proceso ha concTuido,
dividido
e-l dominio K ha gue dado
en
K - t 0.77, 0.971 U | 0, 0.77) U ( 0.97, 2 l
SoJuci6n 6ptina
Subdoninio
*i(e)
K0 = t 0.7t,
*s3 (e)
KS3- ( O,' O.7t )
xs73( e)
K513 = ( 0.97,
239 Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
O.97 I
2 l
l.
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
5e. ha
eJ vector
a
Los
obtenido
factibTe
7a franja
pernitiendo
es 6ptimo,
datos iniciaies
una so-luci6n
de variaci6n
en e-Z intervaTo
comtn a Los
una variabiTidad
respectivo.
problemas,
tres
de 0 en donde
la
Existe
*s3 (e)
7a F.O. pero que T6gicamente dA nds informaci6n
minimiza
eJ caso general
rtltino
que
en
estudiado.
PARAI'IETRIZACIONDE UN SUPUESTODE ANALIsT.s DE CARIERA.
4.2.-
OTRA APLICACION DEL ALGORIN(O A {JNA CARTERAOPTIILA DE
VALORES.
A
hemos
fin
de
descrjto
siguiendo
supuesto
en
de andLisrs
covarianza
de
oji
-las
estudjar
2
vamos
a
un ptoblema rea-Z:
La
variaci6n
de uno de Los activos
del
a
gue
aplicario,
cleterminadas condiciones,
todas las
sistema
la- cazteta
de
dado, cumplan Jas exigencias
240 \
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
restri
un
de
La
eJ xj,
cciones
de
se conoce, bajo
gue tLene
eu€, paza un niveL
fijadas
conjunta
deJ portafoTio,
De este portafoTjo
desiguaTdades -ljnea-les.
de tendimiento
Fases,
e-i algoritmo
de cartera.
constantes
minimo entre
como f u n c i o n a
Capitulo
eJ
d:.stjntas
sus
Queremos
g
comprobar
un
riesgo
de 7a espetanza E
de rentabiTidad
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
de u.n probJema conocido
5e trata
SeTecci1n
de
una
7o pLante6
g estudi5
(1.962),
Desde entonces
citar
de
vaTores
o
Como ga sabemos fud I[arkowitz
PortafoTio.
Farrat
Cartera
como es eJ de 7a de
por
bajo
primera vez,
otros
numerosos
en
de un
guien
7.952
aungue posteriormente
supuestos,
autores
AniiTisis
perfeccion).
7o
entre
gue
-Zos
pod.emos
a Romero (1.977) g a Suarez (1.986) 1o han utiTizado
para sus aplicaciones.
E7 probJ-ema que vamos a pTantear
Romero (7.977)
resueJto
por
condici6n
de l-a rigidez
soTuci6n parametrizada
g permitimos,
Las constantes
ambos
tetminos,
conocidos
de
cosa
iniciaJ-es,
concibi6
resu-Ztados
obtiene
no era posible
una
hessiana.
adenAs del
una
la
qrue en eJ-
por
obtenidos
restricciones,
qye
(1.987)
fue
bajo
La natriz
al parametrizar
Las
ambos
hessrano
oseiTaci6n
con los
en
mdtodos
hasta este momento.
La apLicaci6n
conocer
Quesada
aL sens:bj-lizar
Comprobamos -los
autores
1o
de todos -los coeficientes
Posterjormente
intervenian.
gue
a continuaci6n,
previamente
deL aTgoritmo
7a
gue
deserito,
estimacion
Las
de
necesita
covarianzas
posibilita:
- -Zas posibles
combinacjones de activas
cada dominio de variaci6n
del.
- 247
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
individuaTes
patAmetro.
Dara
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
-Zos -limjtes
de variaci6n
qrue se sigan
de -Zas covarianzas
generando
. carteras
o;-i de manera
eficjentes
de
minima
varianza.
- e-I c 6 . 7 c u L o d e L o s v a J - o r e s m i n i m o g n d x i m o d e l a
rendimiento
de
de
7a
esperanza
cartera.
Pasernos, puds, a exponer e7 problema g a expliear
sensjbj Tizacion
4.2.7.-
gue vamos a efectuar.
E7 PROBLE]4A
DE LA SELECCIONDE UN PORTAFOLIO
formada por
"Sea una eartera
7,
2 g 3.
dichos
-tas espetanzas en
tjtu-los
varianzas
podido
son
de Los rendimientos
deducirse
covarianzas
a partir
minima
varianza
entre
para
tres
tjtu-los
d.e J-os
E(R2)=20
de
esos
de series
rendinientos
.5e trata
distintos
bursdtj-les
rend.imientos
U E(Rl)=t0.
gue
vaTores,
historjcas
son o71=200,
o7j=40 g o2j=30.
o12=50,
%
E(R1)=30,
estjmadas subjetivamente,
tres
7a
de
Las
han
o bien ser
o22=I50 g ojj=700.
toman
los
vaLores
de ha77ar 7a cartera de
'deL
vaLores
rendimiento
medio. "
TaJ y como estd
siguiente
expresi6n
enunciado
matemi.tica:
-242-
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
e-Z problema
adoptatia
Ja
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
ll 200 50 40 ll ll xf ll
r'tin. f (x)= ( xt,x2,xj / ll 50 rs) 30 ll ll x2 ll
4030too ll ll x3 ll
ll
(1)
Sujeto a
-xt
< 0
-x2
(2)
s 0
-x3
(j)
Romero
-Zos tres
(4) 0.3x1 + 0.2x2 + 0.Ix3
- E
(5)
-7
E del 25%.
rendimiento
posibi,Tita
7a
rendimiento
x3
efjciente,
c o m p u e s ta
Este resuJ.tado de l-a
J-o
(4)
tanto,
. tomada
el
esperanza
en
g gue convertimos,
(4)
con objeto
0.3x1 + 0.2x2 + 0.7xj
para sinpTificar
con
la
restriccion
s 0.26
7os cdLcuJ-os, €fr
75x1 + 70x2 + Sxj < l3
de utiTizar
de
coeficientes
- 243
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
a
desigualdad.
(4) en desigualdad
(4)
deL
md.ximo d.e 7a esperanza de
para poder trabajar
citado
por
que comencemos7a parametrizaci5n
restricci6n
por
tJtiTizamos,.
x2+
para un val-or md.ximo de J-a esperanza
tituTos,
de
xt+
genera una cartera
rendimiento
partir
s 0
enteros.
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
Decidimos q,ue Jas covarianzas
F.O;
cual
-ias correspondientes
sean
= (2r3,J);
restrjcc
defininos
Usaremos
parametrizat,
= (Irl,J,
= (f,7,7)
b*Ti
como
g
Esto tjene
dicho,
(7, O).
obtiene
al
de
7a
F . O. ,
Sacat 1,0 facto,
s jn
"o,*un
en
es decir:
ll
obtenido
de -Zas
j,O),
jana
.F/ess
ll 20 s
B=ll
s ts
el- minimo
a-T.no.exrstirparte
a Las constantes
b*!k=
matriz
La qrue se
7a originaT,
para Lo
xlt
vector
el
= (t*Ti,b*Tk)
b*f
'
PoT Jo g,ue respecta
iones,
siend.o
= (7,OrO) g,
ej
La
hemos considerado c*T = (0,0,0).
Tineai en 7a F.Q.,
Ademds,
a La variabLe
en
yectores:
usaremos -Zos srguientes
aT
a sens:bj-l izar
gue
con
este
4
3ll
i
70 ll
-la ventaja
buscamos
7a
4ll
matriz
probTema
de sinpTificar
de
f (x,0)
anteriqr.
serd
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
diez
yeces
g
el-
De acuerdo con todo 7o
puede escribrrse
- 244
Los cd7cu1os,
..
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
I'Iin.
f (x,
Sujeto
Q)= ( xt
ll zo+ae 5 + i 0 4 + Q l l l l xf l l
3 ll ll x2 l l
I I 5+307s
l l 4 + 0 3 ro
ll ll x3 l l
x 2 t )t3 )
a
-xf
(1)
<e
-x2
(2)
<e
(3)
(4)
i5x1 + l0x2
(s)
x7+
Vamos a presentaz
ptobJema,
pasando pot
-tas
expresiones
gue
0
tome
con objeto
de
calcul-ar
los
optimos,
su
hos
posteriores,
<73+
=f
Fases,
segun el
en
eI
hasta
de
oDtener
comentarenos
econ6nico.
programa,
B,
a tin
7os rzafores de
para Jos cdl.cul"os
-Zos hessianos,
tanto
I I s . 7 s s t o 3 E - 0 2 - 1 ,. 5 5 - 1 0 2 7 8 * 0 2 - 7 . 8 3 6 7 3 s 8 - 0 2t I
7. 5 7 4 2 0 5 8 - 0 2
I f-l.s367isE-02
-7.6326538-02
245
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
de
Lo primero
g K7.
B-t = l l-l.ssro2rE-02
deJ
subilominio en eJ
deJ parl.metro.
necesarias
Los'determinantes
0
Tugat e7 desarroTlo
de 7a matriz
constaxtes
como parametrizado,
5*3
x3
significado
datos
jnrrersa
se
posteriormente,
eue,
eJ dominio de variaci6n
principaTes
otiginal
en ptimer
de desentrafiar
gue obtenemos son la
Las
x2 +
sus djstjntas
vaTores,
Introduc.t.lnos
+
-x3
- 1 . 6 3 2 6 s 3 8 - 0 2I
.772244e
I
II
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
f1 = .6608763;
u - o;
t2 = 5.0204098-02;
f3 = 5.7557038-02;
o - o ;
| .B I = 2450 ;
I B + e B* | = -87 02 + 246 e + 2450.
K1 = (-4.077994,
A acontinuaci6n
o = -f ,
Como
6.90558)
caJ-cuLariamos e7 doninio
Dkl = -3-l ,
Dk2 = -J
K2
sabemos gue
0 > .l{dx { bt / Dp}, por tanto
K2 = { e e R / 0 > }fax (-ts /31, -t
Esto nos permite
de 0 yiene
variaci6n
K = Kl
Al
haTJar
exrstjr
eL vector
nd es 6ptino
diciendo
que eJ doninio
+ o)
de
dado Dor
f, -I/
fi K2 =
debetianos.comenzar
a
conc-luir
/ s } - t - 7/ j,
una
restrjccidn
directamente
*Q(A)
3, 6.905 )
por
activa,
7a Fase 2,
La
pero
(5) ,
vamos
para comprobar gue efeetivamente
para g e K.
Empezamos, por
tanto,
Algoritmo.
-246-
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
con
la
primera
Fase
deL
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
rASE I
tra sofuci6n de La F.A. Tibre, S - Q, viene dada por:
il 0ll
*Q(o) *t
/(-a702 + 246 0+ 24s0) ll o ll
il 0ll
es
facil
comprobar gue verifica
excepci6n de 7a (5),
todas Las restrLcciones
por tanto *Q(e) no es
g
6ptino
a
nos
obligaapasaraJ-a
FASE 2
Partinos
5 = 55 ={(5)}.
de
CaLcuJ-amos
I
= ------
( a + e B* )-l
por La lratriz
- 9 7 9 . +1 2 4 5 0 + 2 4 5 0
74t
fl
Il
+-270+-38
ff
+-6
AL
restricci6n
02+32
0+-45
302+
introd.ucir
(5)
+-270+-is
0+t84
5e+-40
J-a constante g
obtenemos
247 Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
+-5
30?+
-ss2+30
6+-4s
5e+-40
e+27s
Jos coeficientes
de 7a
ll
ll
ll
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
-402+
6e+
354
D =
I{atriz
o
87 g' +- 246 0 +- 2450
87 02 +- 246 0 *Landa.(0)
2450
= ------4e2+
6 e+
354
gue como demostramos, en e-Z CapituTo 2, es siempre positivo
V e e K.
EL vector
factible
toma,
trds
sinpTificarse,
La
expresidn
ll
x s s( g ) =
ll
-4g2+50+J54
su
af ecta
constante,
aL
subintervaLos
retricci6n,
662+
ll
K
en
apareciendo
gue
l-os
cuga intersecci6n
29e+t90
djstinta
xs5 (
en
g)
la
gue
-los
ica
cada
verif
Para 7a l.e restricci6n
0 e t-
0.19,
6.905)
Para 7a 2a restriccion
e e [-
0.33,
6.905)
Para 7a 33 restricci6n
0 e t-
0.33,
5.905)
Para 7a 44 restricci6n
0 e t-
0.33,
6.905)
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
ll
pantaTTa
con e7 dominio K es.-
248
de
g el. coeficiente
sus coeficientes
par{.metzo,
de
sB ll
2 s2 + io e + io5 ll
para cada restricci6n
Introducimos,
(5),
+-33 0+
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
Como exjste
vector
jntersecci6n
comin,
se concJuge qrue.eJ
haTTado es 6ptimo.
* s 5 ( e ) = o P T r I l o ,v o e [ - o . r g , 6 . g o s )
Como yee[-0.33,(l),
restnccidn
0.19),
7a rntroducimos
*55(e)
como actjya
no
cumple
]-a
g pasamos a 7a
FASE 3
(5) g (7),
T o m a m o s- l a s r e s t r i c c i o n e s
sjendo
ahora
5 = 5.15 = {(5),(1)}.
Landa ( 0)=
Por La I'Iatriz
+-
7653 02 + 4674 O + 46550
Elem.7=-348 05+ 1505 94+ 36257 03 +-88620.02 +-800778 e +EJem.S=
+-
g u e si n p T i fi ca d a
2877 04+ 73764 03 + 78850'02 +-776786 0 +-
742700
345450
se rj a
Landa(o)= (1/1s)
||
2 e3 +-82 e2 +-675 o +-116
||
I|
33 o2 +-776 s +-282
||
249 -
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
E7 vector
posib-l"
*5l5fg/
yjene d.ado por
+_7e
ll
*slsfe) =
(r/ie)
ll
2s2+
ll
8 o+7
ll
ll-2e2+Ir0+i2ll
A7
estudjar
nultipJicador,
a f in
de -Ias componente deL vector
d.e comprobar
sr
xs75(O)
nos encontramos q'ue en ef intervalo
6ptino,
no
esto
e-Z signo
posible
es
correspond.iente
retricci6n
aJ
ya
EJem.5
gue
la
t-
(5) g volvemos a una faie
0.33,-
componente
negativa.
es
puede
ser
0.79)
segunda
Sacamos
7a
anterior.
FASE 2
Tenemos S = Sl = {(l)},
Landa (A) = ( 1/741)
I
( 87 03 +-246 e2 +-2450 g )
+-747 0
ll
*sl (e) =
t4r
Como no es cierto
calcuLamos
fl
27s2+-iB
ll
502+4seso
para ningin
qrue nos encontramos,
e
ll
ll
ll
vaTor de g,
deJ- intervaLo
gue
2702+-380<O
esta
soLuci6n no es factibLe,
(2) y estudiar
debemos afiadir
este caso.
250 Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
-Za restricei6n
en
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
ra^sE 3
Partimos de 5 = Sl2 = [(1),
H a T T a m o se L v e c t o r
I
L a n d a( o ) =
ll
soTuciin
(2)]
g su nultipTicador
asociado.
o.t e3 +-5.e o2 +-22.2o Il
+-2.7 s2 +-17.e0 I I
l
*s12 (g) =
Por La Iratriz
(- 87 03 +246 02 +2450 O J
ELem.7=- 87 .03 +246 02 +2450 e
Eiem.7- - 87 A3 +246 g2 +245O O
ELem.l=
o bi6n,
8.7 04 +36.3 e3 +- 477.2 02 +-j7t5
xs72T(g) = (- o,
Como
02+ 70 < 0 si
(3)
-Za restricci6n
0
e, o2+ 7g)
e [-.J3,
-.1g),
para haTl"ar eL optino
hemosde afiadir
buscado.
FASE 4
E7 subconjunto
ttansfotmado
de retricciones
de partida
en
s = s 7 2 3= L r t l , ( 2 ) , ( 3 ) \
-
257
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
se ha
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
xs123r(g) = ( -9,
EJ vector soTuci6n es
0,
0)
9 s u n u T ti p T i ca d o r a sociado Landa ( g) tjene - Zas componentes
posi tivas
ELem.I= +-76 02 +- 58 O > O
ELem.I= +- 6 02 +- 46 O >"0
EJen.7= +- 2 Q2 +- 34 O > A
xsl23 (g)
como
verifica
todas -Zas restr:cciones:
Ff/V. Hemos
concJ-uido eJ proceso.
x S I 2 j ( g ) = )PTIIIO,
V 0 t-
- 0.79)
0.3j,
Como resurne:? tenemos
Soluci6n
Doninio de 0
Optina
-
*s5 ( e)
t- 0.79,. 6.905)
x s 1 2 (3o )
t- 0.33, - 0.79)
eJ probJema nos pTanteamos sj
AJ- enf ocar
o no -Zas restticciones
7o primero al
gue
a gue
ga g'ue si
sobre eJ inversor
2 --.0,
xi
(-1/3),
ser e-l caso mds generaT.
en cuenta gue esto podria
tener
coacci6n
de no negatividad,
s€
g como eJ
deduce gue xi
esto
guiere
"aL
menos " tJn tercio
decir
total
hacer el
vector
> 1/3.
gue e7 inversor
se.desea hacer esta
inversor
minimo
Libertad,
decidi4ndonos
pot
De todos modos
hag
s:gnificar
- xj
S 0,
valor
de
ut?a cietta
esto obLiga
0 .en
K2 es
Econ6micamente habland.o,
estd
de su capital
restricci6n
sensj.bj.-l izar
obligado
a
gastar
en cada tituJ-o.
tan
fuerte,
dejando
incTuso para no invertir,
de sensjbilizaci6n
- 252 -
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
b*Ti
5j
= ( O, O, O ).
no
aL
basta
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
Volver al índice/Tornar a l'índex
No
sjempre
significado
de
econ6mico,
definici6n
conseguir
posibTe
7os
gue
iLtino.
0
se
vea
reducido
Veremos a continuaci6n
a-lcance
gueremos encontrar
natemAticos
e-I
tjenen
gue aTgunas yeces eJ dominio
de ahi
pardmexro
deL
esto
resu_ltados
significado
bajo
de
no
es
como
posible
mdximo
a fin
obtenido
un punto
de
sj
vista
de
inversi6n.'
P a r a L o s valores
extremos
de 0 obtenemos eJ minino
eL md.ximo de -la E s p e r a n z a d e R e n d : m : e n t o d e 7 a C a r t e r a :
^Sj 0 = -0.79,
para
inversion
Titulo
e7
para el
la
Titulo
AJcanzando una
Rendimiento de 7a Carteia
5j
Q = 6.9
7a inversion
.ur? 50.95% para
ei
Rendimiento
39.8%.
mateniticamente
,
2 g S5.Ol%
Esperanza
l,Iinina
de
de un 25.6%.
debe ahora
- 82.79%
.para e7 TituLo 7,
de
en ur? 74.57%
un 30.41% para e7 Titulo
7,
3.
debe repartjrse
repartirse
en
un 137.84%para e-Z fituTo
Titulo
i,
(
Do es poiibJe
siendo
Esto,
un
2
7a Esperanza de
siendo
correeto
desde un punto de yjsta
practieabTe) .
5i
e-l
0 = 7.75,
TituTo 7,
TituLo
3.
obtenemos e-i siguiente
36.72 % para e-l fituTo
reparto
2 y
0.07 %
pata
63.2I % Itara e7
ATcanzando La Esperanza l{d.xima de Rendjmiento
de 7a Cartera de un 29.5 %.
253
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
SINTESIS Y
COI{CLUSIO}TES
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
A
continuaci6n
acabamos
teaLizar,
de
rnteresantes,
tanto
matem|tico,
como
Inttoducci6ni
necesarja
gue
7a
de contrastaci6n
gue
conclusjones
de
podemos destacar
traba jo
e_l
-1as
importante
-Zas cjencjas
gue toda teoria
otra,
resumir
e-Z punto
d.el de su
una,
en
a
dando
desde
Dos jdeas
econ6mico.
vamos
nis
puramente
vista
aplicaci6n
al- campo
de 7o expuesto
nedicion
es
en ia
absoTutamente
experimenta-Ies o positivas;
debe llevar
consigo
de 7a misma gue
g
aq,ueJJas tdcnicas
resu-l.tan
imprescindibJes
para su operat.ividad.
.
7a
I|emos citado
Ptogramaci6n
ostenta
dentro
una serje
l{atemAtica
que han llevado
de aspectos
al
a
Tugar destacado que hog dia
de 7a ciencia
, €fr especial
Los reLacionados
con cuestiones
re-Zattyas
a
7a
ApLicada
sintetizarnos,
seguidamente,
a
generaT de 7o tratado
fngenieros
sabet,
se
pLanteaniento
6ptino,
e investigadores
como -Za asjgnaci6n
de
problemas
la
mug
obtenci6n
el?
dej
el,
djyersos.
de un disefio
eJ c6.Jculo
optima de un satd-tjte
o -la determinaci6n
de un Lote o pedido.
EL hecho de gue e7
jndustrjaf.es
parte,
gue
un panotama
jnmersos
de escasos recursos,
canpo de 7a investigaci6n
sectores
tener
de todos Los campos
normaLmente
V Ja reso-luci6n
7a tragectoria
de
g
hasta ahora.
encuenttan
deL voJumen 6ptino
gran
fin
probJemas pueden se.r tanto
Estos
de
Economia
operativa
estd
g empresatiaTes,
a su contribuci6n
-
reLacionado
se debe, aJ. menos en
en 7a toma de decisjones.
255
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
con
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
Jl-anado problena
EL
.
que constituge
un ejenpTo tipico
resue-l to
por
estudios
sobre
L.
ahi
gue
g faciTidad,
antes
resol, yer
Varjos
eJ-los eJ ndtodo del
ser resuel,tos
con
SimpTex,
de
gue ver
a yeces mediante
puedan set convertidos,
en un ptobTema de transporte
transformaciones,
"ingeniosas
son
ptobTema
el.
g
gue -l,os
de
generalizatan.
pezmiten
entre
. fue pTanteado
de P.L.,
I . 947 )
o transporte,
gue muchos problemas econ6micos gue nada tienen
con e-Z ttansporte,
asi
(
Hitchcock
programaeiSn se
-Zos algoritmos
rapidez
de 7a d:,strjbucion
con 7a metoTogia apropiada
a este
y
tipo
de
cuestiones.
de circunstancias,
Una serje
crecimiento
econ6mico,
competencias
,
etc,
ta-Zes
marcado
e-l
mot-1var:on
desarroJ Lo de mdtodos sistemdt icos
rApido
el,
aumento
gr'an
un
como
de
jnterds
de gesti6n
por
financiera,
hecho q,ue se
traduj.o
aparici6n
algoritmos
ca[)aces
reso-l,rrer
de
el.
g
de recursos
de pTanificaci6n
de
-Zas
en
Ja
ta-Zes
cuestiones.
En 7a decada de fos
en
7a
Tegislaci6n
maximizar
andlisjs
mAs tarde
necesitaba
en Estados
sobre recursos hidrduTicos,
eI benefic-io
neto social.
coste-.benef icio,
con eI
afi.os treinta,
Harvatd
metodos eficaces
desarrollo
Resource
de resoi.ucidn.
255
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
se intent6
Era una apLicaci6n
gue tanto
Water
Unidos,
deL
aLcanz6 a.fi'os
Program
g
gue
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
(7.949),
Kantorovich
t1cnico
de
econ6micos deL tipo
trabajos
coste
propici6
recursos
problema
J.a
empresa
de los
muchos seguidores
propuso
por
Ja
seTecci6n
7a
teniendo
en
problema
ei
de
de racionamiento
Cooper g
de l-a P.L.
Jas
cuenta
el.
5u trabajo
a
Parkinson y
eficiencia
entre
otros,
estuvjera
desiguaJdad,
de una variante
7 . 960,
el
tuvo
Weingartner
seLecci6n de
d.e capital.
( I .959 )
I'liTJer
aJ problema general de
Dantzig,
afio
sometida
a
Loomba (7 .964) ,
(1.972)
Hutchinson
Desde
en
metas u objetivos.
funci6n
- lj n e a - ? , e s d e
-los
de
Atden g WoLfe
gue generaLizaron eJ ndtodo deL simpJex en eL
gue
hasta
perdidas,
de
destacamos
Charnes,
I{erecen citarse,
de
. deJ
g resoTvieron,
financieros.
7a hipotesjs
7a apTicaci6n
7a programaci6n
de
-1os gue
entre
7.966t
bajo
recursos
Poeteriormente,
(7,955)
racionaJ-
6ptina
con un minimo
e7
racionamiento
ampTiaron
mas
distribuci6n
g Savage ( 1.955) plantearon
en
inversi6nes
asignaci6n
momento exjstentes.
jnyersjones
en
mAquinas,
de materjas
de P.L. ,
quien,
de:
u n m e t o d o d e c A J - c u J - oc a p a z d e o p t i m i z a r
en aguel
Lorie
tirminos
-ias
a
transporte,
etc. ,
pala 7a soJuci6n de problemas
quienes
caso
restrjcciones
Lewis (7.969 ) ,
investigaron
J-a
de este ndtodo.
7.955,
con Dantzig,
nuJnerosos estudios
257 -
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
se
Orden g Wo7fe,
l-Levaron
a
cabo
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
genera-l izando
restri
eL
ndtodo deL simplex
en el, c a s o d e q ' u e J a s
cciones-,estuyi eran dadas en f orma
incorporando
l-a
incertidumbre
en
Los
parL.metros a Jos programas JjneaJes.
g Cooper (7.959),
(1.965),
Dantzig
de
desiguaJdad
val-ores
Lewis (I.969),
i.os
de
Destacanos a
e
Charnes
Parkinson
g Hutchinson (7.972).
5i
embargo, no todo eran ventajas
5e jntentaba
una
muchas yeces Los
probJemas:
conocidos
optinizar
de conocerse,
,
mAs importante,
verif icaban,
algunas
funci6n
Tineal
coeficientes
vatiabTes,
-la
V
bajo
se presentaban
no
eran
g 1o gue es
no eran constantes,
en 7a prS.ctica,
de 7a P.L.
de manera eficaz
-Zjnea-Zes, pero en La real.jdad
restrjccjones
varios
un ndtodo gu€,
desarroLJar
permitjera
r6.pida,
a favor
como Los costes,
hrpdtesis
no
necesaria
de
TineaJidad.
Lo
iTtino
aLcanzada por
Lineai
expuesto
otras
tdcnicas
p . N.L. ) ,
t
And-ljsrs
aplicarse
de
a-Z tipo
expuesta,
€s
de
investigaci6n
Programacidn
de
t
Progranacion
a.5. I .
g
ubicamos
presen tanos
- 258 Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
e-l
eJ
epigrafe
Aungue
LineaT
nueyos aLgoritmost
donde
tvo
-las gue contempTan -los
en 7a nodaLidad de P.N.Z.
hace escasos afios
7a importancia
tl grue se engToban bajo
S e n s j - b j - li d a d
. de
entender
como las
especial mente
ptobJemas perturbados,
de
permite
pueden
anteriormente
donde han surgido
es en esta
trabajo
gue
Linea
aqui
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
perspecttyas
En este momento 7as
probTemas
econ6micos
de los model-os de.optinizaci6n,
bastante
prometedoras.
centrados
en esta
su favor,
con 7a aLta velocidad
Existen
parcela
gue 7a nodificaci6n
apTicacion
de
numerosos
deJ saber,
son
investigadores
gue cuentan,
ademAs, a
de Jas computadoras,
de Las condiciones
a
iniciales
por 7o
no
supone
un gran trastorno
E7 hecho de incidrr
Cuadrdtica
tP.0.I
hrpdtesis
de derivabilidad
de tipo'no
mediante
es debido a gue
de
(1.959) nodifica
g
cuadr{.tico
posibJe
sjtuacjones
cjertos
donde
de P.Q.:
de enconttar,
mejor
diyersos
7a
cuadrAtica
funcion
lrnealesr'
autores.
N.L.
ha sido
Asi,
WoJfe
er? e7 aTgoritmo
resofuci6n
de
un
del-
programa
convexo.
ga en -i..959 enumera cuatro
EL mismo autor,
tdcnicas
una
aTgunas Lnstrucciones
hace
una
de TagTor.
minimizar
por
gue una funci6n
a
sometida a restrjcciones
de investigaci6n
Sirnplex
es pgsr.bJe, bajo cjertas
aproximarse
un desatroTTo en serie
diferenciable,
en l-a Programaci6n
g continuidad,
pueda
Lineal
problema
objeto
especiaTnente
e7 ndtodo de ninimos
en e-l caso en eue, a priori,
pard.metros
b)
apJicaci6n
a)7os problemas de Regresi6n gue
aplicando
aproximaci6n
desiguaLdad;
fundamentaJ- La
es
tipos
satjsfacen
f as
- 259 -
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
de 7as
tratan
cuadrados,
La
s€ sepa gue
restrjccjones
L o s p r o b - ? , e m a sd e P r o d u c c i 6 n
de
d.e
que maximizan
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
7as ganancias;
variables,
g,
minima
(I'Iarkowitz,
14inima,
variancia
esperanzas
a restrj
eu€ ninimizan
-?,os esg,uema.5 de
de
ecuaciones
(7.956)
Itarkowitz
dadas
-
Kuhn
varianza
Johnson g
cuadrAticas.
cuenta
con
n6.s difundidos,
eL
propuesto
por
fucker
g, posteriormente,
de
convexa sometida
cuadrdticos
resol, uci6n
de
\l
(White,
una funcion
de probler?as
La resol-uci6n
sistema
costo
- Zj n e a - 7 . e s g a p r o x i m a c i o n e s
cciones
de
de
7os programas Convexos,
d)
1.958),
Dantzig,
uno
de
l-.959 ) , qrue resu elven probyemas con coef icjentes
l-.956,
costo
c) l-os
por BaranKin g Dorfman
(1.ese).
Asociado a euaLguier probTema de
Prinal.,
existe
Puds bi6n,
bajo
probTemas
duaL.
Desde
BaumoT (1.968),
convexidad,
optimos
iguaTes,
resue-lyan eJ problema primaL
e-l
punto
yjsta
de
de
de ahi
a
tTaves
econ6mico,
Balinsk:
WiTTians (1.970)
sometida La funci6n
restrjccj.ones
.969)
gue
.
7a
g
g Becman
uti-Zi zando eJ
gradiente
posteriormente,
para restriccjones
el
concepto
a
m{todo
de
Davies
n o - Zj n e a - l e s .
-260-
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
objetivo
podemos
l,:.neales,
extendi6
FJetcher-Powei
,g,
ambos
entTe otros.
caso de estar
el
GoLdfarg
generaliz6
de
objetivos
Peterson (I.970),
g Kapur (1.972),
rJn conjunto
hipdtesrs
de la duaLidad fud estudiada por
interpretaciin
En
ciertas
autores
lLanado
Tiga'do a e7 Ll-amadoDuaJ Lagrangiano.
toman vafotes
gue algunos
deJ
otro
P.N.L.,
de
citar
a
Davidon-
progecci6n
(1.970)
a
deL
guien l-o
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
,
"Queremos
investigaci6n
iltina
dejar
esta
linea
en auge g gue son numerosos,
sigue
-Zos trabajos
d6cada,
gue
constancia
reaTizados,
de
et? esta
algunos
Los
de
cua-les exponemos a continuaciSn,
Pang (7.981),
de la
P.Q.
demuestra La eguivaLencia
de -Zos aTgoritmos
(1.969)
9
objetiyo
es cuadrdtica
de
eL
igualdad,
Dantzig
a -las restricciones
(7.983)
itltino
investigador
duaL,
Goldfard
partiendo
para un
objetivo'Libre,
probtema
exjstente
( l i 9 8 6)
gue
EL
coeficientes
hecho
a" ja"
o a 7as constantes
gue
destacarse,
en Toronto,
de
el
entre
trabajo
el.
eguipo
por
realizado
convexos
convexos.
incorporar
variabJes,
7a
pata
-
cada
267
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
incertidumbre
a -los de La matriz
de una funci6n
resoTver,
del-
g por Van de
r e s u e - 7v. e p r o b l e m a s c u a d r d . t i c o s
de
e
afrosai"e".
merece
pezo no estrjctamente
tener
Tucker asociados
posi tivo,
un algoritmo
obtuvieron
whiston (7.964)
Por
de
un mdtodo de
semejante aJ obtenido por Lemke (7.962)
Panne -
Best
de Khun
funci6n
restrjcciones
estudiaron
def inid.o
es
minimo de l-a funci6n
P.Q.,
Wiston
Linea-7.es.
Sj e-Zl/essjano
Ignani
Panne
Cuando ]a
y estd sometida a
de Los nuTtfpTicadores
obtenci6n
de
(1.966).
Caron (1.983),
g
Best
de Vann
caso
en ei
economica,
nodificaci6n,
7os
a
hessiara
posibiTita
un
no
nuevo
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
ptobLema gue ptoporeione
vaTor de 7a funcion
conocer
modeTo,
ga
nodificar
la
e-l estudjo
Jimites,
que
F.O.,
interds
-las
a
La pregunta
de
introducidos
Por otra
en eJ
parte,
gue afectan
a
ser de
econ6micas.
gue nos f ormuLamos, g gue nos ha s'ervido
arrangue
pata
iniciar
este
trabajo,
el hecho de gue una variaci5n,
con
unos Tinites
o banda, de -ios valores
sea posibJe,
sin
optima.
de
de ciertos
o a ambas, podtia
rel,acionada
e77o,
tipo
€s sensi.bl.e o n6 a
optino.
en detetminadas situaciones
de punto
de7
Los coeficientes
restricciones
eu€,
cuando se
de-Z resu-ltado de aTgtn cambio, dentro
en Los vaTotes del
g
elue
algun. pard.metro podria
.de
del- vafor
de
probTenas econ6micos,
en
numdricos
Ja "variaci6n
7a
de dicho modeLo.
o d.e controT,
valores
estabjlidad
optino,
en un probJema
ohtenido
cartera,
de
supone
importancia
eL optimo
modificaciones
se
mediante
modeTo formaL
de -Zos parl.mettos
gran
de
si
de
Las modif icaciones
conocer
condicionesl
seJ.ecci1n de ]a
.
permite
uno o varios
Es
nueyo
Tlamada Anti-ijsjs
Tugar en eJ resu-ltado de un
perturba
7a
con anterioridad,
nos
.cjertas
bajo
un
para cada variacion
probJemas perturbados,
de
ya citada
Sensjbi-lidad,
tjenen
g
soLuci6n
de rendjmiento,
estudjo
t€cnica,
nueva
de partida.
Los coeficientes
EJ
una
jnjcja-les
gue 7a soLuci6n factibTe
Esto
nos
l-7ev6
:- 252
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
a:
estd
dentro
de
deJ problema
deje de ser,
por
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
pLantearnos
79.-
pattida
una
g
metodoTogia
g,ue nos condujeron
unas
hip6tesis
de
ha77ado, para a
a7 algoritmo
continuaci6n
29.-
resuf tado
e-l
contrastar
mediante
La
aptacacJ.on
a
dos probJemas economicos.
Uniendo 7a P.Q.
primera
cuesti6n
resol-ver
a
ha consistjdo
trabajo
idad,
sensibil.
conjunto
de
nuevo
algoritmo,
soTo de
sj
En
e-l
de manera
generaT,
sometida
cuad.tetica
7a
fro,
Capitulo
rigurosa
obtenci6n
su
ademds, de
cuadrdticas,-sus
gue han pJanteado
caminos, algunos
7
g
definida
senidefinida
l-ocaL optima g
condiciones
a
un
de
un
recogiendo
comenzamos
poliddtico,
positiva,
soluci6n
de planteari
- 253
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
V tratado
investigadores.
propjedades g su convexidad.
g cono convexo,
d.e conjunto
la
comprobaci6n
fundamental-es prey:,os relac ionados con
conceptos
Nuestro
estudjo.
Jrnea-Zes de desjgualdad.
por distintos
de resoTvet,
soLuci6n
u.na funci6n
Esta es una cuest:dn
empirica.
este
en
en anaTizar,
de restricciones
No se trata
nos encantramos con 7a
con el A.5.
soluci6n
nos
7as f otmas
Las nociones
forma
6ptima,
unos
cuadrAtica
factibJe,
sl.tuax
en
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
problema
Ei
Programacion
de
Cuadrdtica
sLn
lP.Q. )
perturbar.
g a fin
A continuacian,
un inico
f orma
vector
6ptimo,
cuad.r6.tica
formulaci6n
es
partimos d.e 7a hipotesjs
de gue 7a
pasand.o a
estas
adaptado a7 P.Q.C.
condiciones
enunciamos
que
Unos
Teorema
e-I
de
Khun
base deJ posterior
garantiza,
nos
g suficientes,
necesarjas
factibLe
Teorema
aL
pTanteado,
petturbado,
condiciones
probTema
bajo
cjertas
7a existencia
de
un
a
La
para e7 probTema qruenos ocupa. .
inportantes
como a 7a compatibilidad
parte
hacer
de
de
Tucker
resuftados
concernientes
dependencia de -las desiguaTdades TineaJes de un sjstema
signo
la
Convexo lP.Q.C. l
e-l cuaT nos conduee
general
de
de7
Bajo
Farkas,
positiva,
defi.nid.a
ProbTema Cuadretico
vector
de asegurar La existencia
algunos
de7 mismo, basados en ei
lnenores
de dicho
sistema,
asj
cambio de
cierran
uJra
deL CapituJ.o 7,
En
7a
un
And-Zisis
Parametrico
t4rminos
afectando
segunda
parte
Te6rico
Cuadrdtico
de este.CapituTo,
un
de
Convexo
-Zineal.es g cuadrdticos
con
de
soTo a 7os coeficientes
Las constantes
de -las restricciones.
264
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
Probl-.ema.
eJ
la
pasanos a
parAmetro
Funci6n
de una variabTe
Genera-Z
en -Zos
Objetivo,
xi,
g en
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
K1
Entre
las notaciones
paza
indicar
e-l doninio
g u e ( B + O B *) e s
de 0 e n e l
Positiva.
Definida
dominio
K2
usadas destacamos:
de
donde
0
eJ
de desiguaTda.des
sistema
-linea-les es conpatible.
K
=
n
K1
KZ
intersecci6n
apartados
- S
doninio
de
-ios
definici6n
de
dominios
obtenidos
-Ios
.en
dos
anterjores.
subconjunto
gue afectan
J.as m restrjccjones
de
a"La
parametrizada.
F.O.
Destacamos La obtenci5n
pardmetto
cd.Tculo
g,
K7
denominado K,
d?I dominio de variaci6n
de
Dicho
nos
garantiza
gue
( A + O B *) ,
la
gue eJ determinante
parametr izada
sea magor que ceto,
7a condici1n
K2 nos indica
necesarja
-Zos yafores
para gue eJ sjstema
desigualdad.sea
gue
d.oninio
soLo
conpatible.
se
matriz
tiempo
de
se hal-La como
de
de
la
matriz
g sufi ciente
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
Esto se
hessjana
para e7Lo.
rea-les gue debe
5e estudia
- 265
F.O.
Jo gue se demuestra gue
de restricciones
s e n s j b r - Zi z a n
7a
positiva.
es definida
Togra haciendo
pardmetto
e-l
deL
de -l.os dominios Kt 9 K2.
sensjbj-l izada,
constituge
gue
f orma
deL misno sea ninimo.
intersecci6n
e-Z
pardmetro,
del
tomar
e-Z
Ljnea-Zes de
un.primer
-Zas constantes
easo
en
d.e -Zas
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
propias,
restrjccjones
para este dominio,'
resumiendo fos resuTtados
l-a
en
df pTanteamiento
continuaci6n,
antetiormente
expuesEo,
sensi.biJ izacion
de
no negatividad.
En funci6n
vacio
de orden t
Dy
coef icientes
bk,
posibiTidades
gue
g
de
pueden
conducen
de
no
determinante
matriz
7a
de
de Los deterninantes
vaLores
originales
K2,
Los
de
-Zas
estudiando
U gue tabulamos en 7a
aparecer
93).
a
Ia
de los
objetivo
dos
obtencion
necesarj o pata Ja obtenci6n
es nuestro
La
de -las restricciones
e7 rango de
caLcuLamos
subdominios
del
doninio
del vector
anteriores
del pardmetro,
soTuci6n 6ptimo,
planteamos g resoTvemos ef c6,7cuJ-o
gue
de eJ- minimo de una f unci6n cuadrA,tica de n variabTes,
depende de un pardmetro
constantes
J:.aeal es
dicho
de
vatiabilidad
pard.metro.
Generai Patandtrico
plantearse
0,
sujeta
a
un
desi gualdades ,
dependen tambien dei pardmetro,
La
estudiar
gue
primordial-.
En e-l CapituTo 2,
retricciones
a
donde, ademds de 1o
de7 signo de c,
Los
Pasamos,
considerado
hemos
-Zas constantes
La intersecci6n
nos
general
que nos indica
acompa-frantes
(p.
(p . ? B ' ) .
II
de Las restricciones,
Los coeficientes
TabLa III
Tabla
obtenidos,
Este
deL vector
problema,
en
con
el-
-
266
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
m
'g,ue sus
objeto
6ptimo en funei6n
de
de
gu€ denominamos ProbJema
Cuadrdtico Convexo lP.G.P.Q.C. ),
como sigue:
de
conjunto
puede
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
Sujeto
Ax
a
expresiin
centrado
ob*
b+
Las matrices,
en esta
op*)T x + 7/2 xT ( B+eB* ) x
(p+
g(x,o)
I,Iin.
g par1.netro
vectores
son
-Zos def inidos
en
punto
e7
en e-I caso de gue la
eL andTisis
gue apa"ecen
0,
matriz
1.5,
hess-r.a-na
( B+OB') sea Def inid.a Positiva.
La magoria de
probTema
de
7a
aTgoritmos
cuando no estaba afectada
pardmetro,
debido
puesada R.(1.987)
hessjano,
La
caso
alguna.
gue minimiza
asi
negatividad
restrjccjones.
como,
como
sufran
El objetivo
Las
en
conlLeva.
deL
una funci6n
a 7o Targo deJ
agui pJanteado es
puesto gue permite
una
Lineales, g en eJ. hessiano
de
de ese algoritmo
en 7os coeficientes
esto
ningin
parametrizaci6n
de
sr.n que Jas restrjcciones
generalizacion
F.O. ,
que
e-l
cuadrl.tica
por
hess:ana
dificuLtad
pJantea el
proceso nodificaci6n
variaciSn
7a
a
matriz
su
funci6n
una
obteniendo un algoritmo
cuadtdtica,
una
de
optinizaci6n
reso-Zvian
exrstentes
ias
constartes,
propias,
en
e-l
tanto
sjstema
Pasamos a exponer e-7 aTgoritno
-Zas de no
de
Las
disefiado
para
taL fin:
Como e7 proceso r terativo
en eJ procediniento
que hemos seguido se -basa
de TheiT g Van de Panne, necesitamos
cad.a una de Las Fases conocer el
de -Zos nuTtipTicadores
dl,
signo
de Lagrange,
concfuiremos La exrstencia
que afecta
ga gue ,
o n6 de 6ptino.
-267-
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
en
a7 vector
€D funci6n
de
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
Partimos,
. F .O . n o
La
en
FASE7,
d.e 7a minimizacion
(libre)
sometida a ninguna restrjccion
el. v e c t o r
de 7a
V calcul-amos
dado por
soLuci1n,
*0(e) = - ( a + oB*1-7( p + op* )
nos indica
e-Z cual
}a necesjdad
jnversa
computerizada
de 7a
matriz
obtener
dicho
vector
de manera
resu-lta
mug utiT
7os
vaTores
siguiendo
a
r6.pida,
-las
de
7o
gue
de esta soJuci1n,
pardmetro
deT
fin
p r o b - Z e m a sr e a J . e s .
con objeto de sinpTificar
comenzando por
restriccionesl
g
a la hora de resoLver
designamos por xQi(0),
con 7a expresion
antetior/
eficaz
haLTamos 7a componente j
continuacion
de
de contar
gue
de
e
gue
eL estudro
verif ican
-Zas
g
negatividad
no
por Jas propias.
Los
determinada
r e s o - 7v i e m d o
del
val-ores
restricci6n
La
pardmetro
0
grue .verif ican
h, con h = 7,
m,
( 2 .75 ).
inecuaci6n
5e
una
se obtienen
plantean
dos
aJternativas
a)
Si- l-a jntersecci6n
de l-os m intervaTo.s haTTados coincide
con K; FfN. flemos obtenid.o 7a Solucion
problema generaL,
b) Si esto no es asi,
K,
gue
En este
d.efininos
Optina = x0fg,, aL
V0 eK.
*0fg)
serd 6ptimo en un subd.ominio de
como D1 - K0,
g gue puede ser
c a s o D a s a m o sa e s t u d . i a r q u e o c u t r e
- 268
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
vacio.
en K - 69.
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
Es c l a r o
al-
ntla
an
al
: . 9 ,
menos una
restri
*0 (gJ no vetifica
supuesto bJ,
g esto nos obTiga a pasar a La
ccion
siguiente Fase.
Comenzanos
elTa como Jas posteriores
tanto
gue e7 n|todo
a
g es inportante
7a FASE 2,
como
minimo
subconjuntos
raz6n de ser
7a
restricci6n
no
so7uci6n.
{ Zi
},
satisfecha
Definimos
una
de K -
KQ,
un determinado ndmero de restriccjones;
subjnterval-os
caracterizan
cualguiera
ntmero
.
faniJ-ia'
de
que
f orman
e77os,
x9(6)
.obviamente,
cada
deja
infringe
todos
s u b e o nj u n t o
se
valores
de satrsfacer
en
el, mismo
de restricciones
5e
partici6n
eqe
es
*6(g)
por eJ hecho de gue cuando 0 toma
de
por *Q(g)
d e f o r m a q r u e e n c a d . . au n o d e e J J o s , q u e
puede ser uni6n de subinterya-los
Los
debido
g,ue estamos s:Eru:endo se fundamenta en gue
una
paxa
activa
tienen
gue
recordar
gue
demuestra
de K - KQ g,
cuando
0
tome
d.e elJa,
faniTia
d.e restricciones.
eu€, convertida
constituye
escogemos un conjunto
en 6L sus valores,
menor nimero posibTe, z,
-la restricci6n
esta
en activa,
*l(g)
una
taJ-
infrinja
ei
De 61 obtenemos
i/alnos a utilizar
para desarro-l Lar 7a fase en 7a gruenos encontramas.
S u p o n e m o sq u e h * h 1 e { 7 ,
anterior,
fro satrsfecha
por *Q(q),
reso-lvemos el, problema sjsuiente
- 259
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
2...rm}
fd
es -Zarestricci6n
tomamos como activa
g
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
Min
s)
:,l^,
h7 ryt
Sujeta a
x =
bhL + Ob*hL
d.emostrando que 7a sol-uci6n *SlG (0) viene
ae xQ(g) V d,el nuttipTicad.or
dada
en
funcion
de Lagrange correspondrente.
x s 7 6 ( 0 ) = * 4 ( e ) - ( n + 0 a * 1 - 7 u n r Tv - l ( o ) G 1 s ( 0 )
siendo
y'7 (e)
I a h l T ( a + 0 B *) - L a h ] ' l - l
c6(0)
ahlr*i(e)-(bnl+ob*y1
d.ond.e v-1(o)Gnl(0)=
;
asociado
.
a
]a so7uci6n.
\ l
i-esima,
*"Gi,
n5todo.
rl f o,
para
e-l
vector
nuJtiplicador
Obtenemos tambien La
de dicho
eficaz
es
vector,fo
eJ
c67cu7o
comoonente
q,ue nos proporciona
computerizado
de
un
esa
componente.
Asi mismo,
demostramos gue esta soTuci6n generaTiza
7a-obtenida por Quesada R. (7.g87),
a
partir
de
probJema de P.
7a
A.
gue d.icho autor d,d. p4ra un
"51
soLo perturbado en 7a F.O., siempre gue
soluciin
Jfo se .verif igue Ja misma restrjccion
una expresi6n
ga gue puede expresarse
dependiente de
0.
gue e7 signo del nuitiplicador
parte de una restricci6n
270 -
sin mds.gue sumar
Demostramos,
asociado,
activa,
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
h1,
\I (O),
igualmente,
cuando se
es siempre positivo.
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
gue cond.iciones xS16(0) verif
Estudianos bajo
restantes
para tod.o 0 e K - KQ,
ica
gue
asegurar
y K - Ki,
b) gue las
xS76(0)
FfN.
TTegado al
f0
pudiendo ocurrjr:
m-L restrjcciones,
Las verif
a)
t s O eK -
aptino
es
cu1a uni6n cubre
KQ,
todo K.
en un subconjunto
La uni6n D2 = f0
V se ha
disjuntos
eu€ podria
KSl ,
ser
yOe xsl.
caso *Slc (A)= SoJ-ucion optima,
En este
vacio.
en cugo caso podemos
I/emos halJ,ado dos subdonjnjos
verifigue
ica -Zas
ind'ica l,a necesidad. d.e pasar
U KSl nos
a -la Fase siguiente.
caso generaT,
suponiendo gue nos encontramos en 7a Fase Q,
en 7a gue e7 vector xs7'2,",(g-l)6(0)
gue
gue
metodoTogia
una
eJ
vector
de
pasamos
nrimeroi
por
en
de
6(O),
xs7,2, - ., (g-f ) g(e)
u.nion
no
de
con
e-l
- 277
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
7a
obtenemos en K - Dg
Li io,
satiifecha"
el
not i,
subconjunto
es i.
en K - Dg una famiTia
-Zos
inf ringe
Siguiendo
siendo j
cuuo cardinal
a contjnuacidn
ga
factibLe
.represen tad.as por
restriccjones
cciones
la
Q+7.
este estudjo
(q-f)
es
que no son satjsfechas,
Fase
cJases,
x57,2,..,
restri
Definjmos
.-formada
19
cugas
sojuci6n
-Zas m
a
enpTeada
partici6n,
indican
no
aTgunas restricciones
exjsten
por 7o
planteamos e-Z
de un metodo iterativo,
Como se trata
subconjuntos
mismo
en
nimero
t Fn)
-Zos gue
i
de
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
restrjcciones,
estar
tomando eI ninino
Q r u es e a l c a n z a r d . p o r
gscogemos un conjunto
z comprendido entre L g m-q+I.
-
gue
en eJ
q]
)
/n-1
|
xu^t o' " 1 tu 't 6(6)
posjb-ze de restrrccrones,
eu€,
Lzg,
convertida
desarrolJar
esta
infrinja
el.
menor
de e]-las obtenemos J-a restricci6n
en
activa,
vamos
a
utilizar
activas,
a
la F.O. a a
gue plantearnos asj
g (x,
Min
Sujeta
para
fase Q+7
Pasamosa formuLar eL p.G.p.e.C.sametida
restrjcciones
numero
0)
h;m
x=
a,
bni + gb*hi (i=f,
Demostramos g u e u n v a l - o r f a c t i b T e
...,g)
yiene dado por
7a
expresidn
xSf,"',qc(o)
= *Q(e) - ( a + eB")-f
en l-a gue eTgT
restrjcciones
nuLtipTicador
obtiene
g es Ja traspuesta
aTsJ,...,glsf ,...e6(0)
de l-a matriz
activas en Ja Fase e g lSfr. ..q1(g)
de Lagrange asociado a
la
de
Jas
e-l vectot
gue
soluci6n
se
haTLando
tSf,...qc(g)=
[As],..
.'Q
( B + e a * 1 - 7 eTsl
I a?st,... '8 *i(e)-
Expresamos esta soLuci6n
solucion
particular
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
-l .
*
a
de un probJema perturbado
- 272
fr
^,
q+ oD sl,..,e)l
(bst,
generaT
t...rv
partir
de
La
unicamente
en
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
su
F-a.
restricciones
de
0.
hi,
adiciondndoJe
seguidamerte
vector
mismo conjunto
una expresidn
gue
de
depende
obtenemos -las companentes.r.-dsjraas del
g del- nul-tipricador
' "qG(O)
el
*sf , - - . , Q91(0) ,
soruci6n
( 2 - 38) ,
Ir/'
gue. verifigue
siempre
Lagrange
(2.39),
por
dado
de
d.ad.a por
a f in
J-a expres:dn
earzespond.iente
d.e gue sus cillcul_os
resu-Z,ten r6.pidos g ef icaces.
como
suf:.ciente
consecuencia
de optinaTidad
nuTtipJicador
permitirA
deducir
pudilndase
r)
5i
-zas
abtenido
c7
>
",tc(e)=
xu^"
existe
.
una
5i
es distinto
necesaria
degeneraci6n,
del- vacio.
o n6 de un
g
e_z
su signo nos
vector
optimo,
verifica
en er- subconjunto K - Dq todas
g
nultiplicador
su
proceso
ef
,
Ortt*o
pOe K - Dq.
soLuci6n
restricciones
rr)
O
condici6n
dos posibijidades..
xsl'"''gc(o)
restricciones
r-a
en ausencia d.e
La exjstencia
pfantear
ISf , ' "qc(e)
de
gue
ha
positivo,
es
f inalizado,
ga gue
En cada subd.ominio de
minimiza
Ja F. o.
s uj e t a
K
a -zas
Lineal.es de partida.
e] apartado
anterior
r?o se verifica
pued.e ser debido
a dos causas diferentes.
La
primera
perteneciente
es
gue
x57,.. -,qG(g)
a un subconjunto KSf,. -.rQ,
uniiSn Dg = 10 y 651 u
u Ksl
pasando a -Za Fase siguiente.
- 273
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
Q no
sea
Optino
FO
en cugo caso 7a
cubre
todo
t{
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
La
segunda
que e-z vector
es
fuese,
es decir
I5l, ' "eg1(e)
habriamos obtenido
< o (i= r
un vector
K - Dg pata eL P.G.P.Q.
Teorema
cugos t
vector
activas,
alguna
de
restrjcci6n
r,
dicho
con
Para
r
deJ
ser
cuando
continuando
para fa
de otro
a
incluso
5I,2,.,
.,
eJ. proceso
-t
Y
signo
Afi.adinos aI
e/
7a
de : ddntica
nueva
manera
hasta Tograr cubrir
valores
s g
infringirA
(n-f |
I
de
Q-T+7, cugo
*0,
J : a s t a g , u e K sea
los
en
S
tengan
- Dg.
K
gue
Basdndonos en
conjunto
0e
Fase e+1,
modo,
respecto
s e n s : b - r . -ilz a n
denso
todo
'en
si
parAmetro
gue
demostramos
gue
el-
rear-izar
para
l-a
deL
La F . O.
f inal-izar
el
aJgoritno
nrtmero md.xino d.e jteracjones
obtenci6n
no 6ptino
corEespondrentes
restrjccjones
a La descrita
mismo
pero
agueTTas t restr:cciones,
gu€ podria
restricci6n
conjunto
K o,
con l-o
Esto nos l-Jeva a una Fase anterior
soLuci6n,
negativo,
g),
C . g r u en o s o c u p a .
muTtiplicadores
negativo.
factibLe
q , u i t a m o s,
7 .7 .3
restricciones
de Lagrange
para aJ- menos una componente i,
asociado
eL
nultiplicador
de7 6ptino
o pasos
de una F.e.
a
sonetida a m restriccjones
- Z j n e a - Z e sd e d e s i g u a T d . a d , r r i u r r . d a d o p o r
Pm=2m+m+1
'descrjbiendo,
cortespondjentes
para
a
su
los
mejor
comprensi6n,
casos m=-?.g m=2,
- 274
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
Los
drboLes
con 2 g 5 pasos
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
como mdximo respect:vamente.
CapituLo
posibJes
-las
siguiente,
en posteriores
trabajo
Indtcamos,
de pasar aJ
antes
anpJiaciones
de
este
estudjos.
C o m e n z a m o se - Z C a p i t u - Z o 3 h a c i e n d o u n a s r e f - Z e x j o n e s
cetca
del- concepto de Cjencia,
varias
esta
interpretaciones
def inici6n.
En
que adnite
concepto conplejo
segin
a
e-Z interLocutor
gue asume
7.935 Popper propuso su ',metodologia
f aTsacionistat',
qu
f e supuso una revoTuci6n en 1a netodoTOgia
de -Zas Ciencias
Socra-Zes,
caracter
cientifico
faLsabilidad,
inc-luso
es decir,
rechazarJ-a
compata estd en
predecir
5e
de
eiencia
'
-las
se encuentra
autor
g Bunge
fanilia
de modeTo,
en tod.as -las ciencias.
Srrye
Ja
(I.98S)
d.e todas -Zas
para representar
pudiendo
eLLo simboTogia matemd.tica,
el
puede
de
en su acepci6n md.s generalizada,
-i.a real. idad de manera simpTif icada,
llevarse
metodoLogias
entre otros.
La idea
faeiJ-ita
e
conocimiertos
(1.982),
coma
su
con e-Z oue se
de
estud:an
Lakatos
es
debe, ademds, pod.er
de Los progratnas cientificos"
concepto
cjencjas ,
autores
te6rica
b{sico
partir
a
imprime
de contrastarla,
enunciado
con e77a.
nuevos
destaca
"metodologia
su
e-I
gue
lo
formuLacion
Ja posibiTidad
si
Diversos
cientificas,
una
conf Ticto
hechos
anterjore.s.
con
a
que
indicando
l-a
experimentaci6n
a cabo en Ia
decjrse
vidh
g,ue eJ trabajo
permite
de
En
g
gue no pueden
este
que agui se presenta
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
para
avance cientifico
f en6menos
ord.inaria.
utiTi.zar
sentid.o,
estarja
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
englobado bajo eJ epigrafe
de un nodeJ-o" matemd.tico,
componentes prrncrpales
cugas
se encuentra
ndtodo programado para e-l ordenador
o
entre
eJ disefio
algoritmo
de un
de
tipo
iterativo.
Todo modelo
resul.tante
de
importante
del
matemdticas
debe
capaz
cuaTq,uLer
que
representan
uJ? cambio
de
medir
variacion
dependa.
en
Asi,
La
e-lementos de7 modeJo,
produce
ser
si
reTaci6n
aLgrtn
7as
f actor
ecuacjones
exjstente
una modificaci6n
Los
entre
de sus coeficie.ntes
debe poder
cugos efectos
e-Z efecto
computatse
de
manera eficaz.
Trds
prod,uce La
serviri.n
La
proceso
g u e c o n d . u c ea
sinulacion
para
formuJ-ar si
comprobar
es necesario
con
la
operativo,
La
un
aplicaci6n
model-izaci6n conduce,
mdtodo
g formuJaci6n
definici6n
v a l -i d e z ,
nuevo
a
en general,
gue
unos
deL problema,
se
resuf tados,
gue
o, en
modeTo,
un
caso
a
l-a
su def ecto ,
tetminando
concreto.
utiT.izaci6n
eJ
Esta
de7
permite l-a-obtenci6n de so-lucjones
rea-Les.
Debido
a los cambios experimentados por Ja reaTidad
econ6mica g a7 hecho de usar en
J.as
t6cnicas
cincuenta
m6.s modernas,
u.n gran desarroTLo
l-as
se olserv)
de
enfogue moderno de -Zas f inanzas
- 276
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
J-o
an6.7isis
financieros
en La ddcada de -7.os
gue
se
conoce
como
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
No podemos olvidar
empresa es maximizar
que el
e7 val-or de Ia
adguieren
especiaJ
mateml.ticos
gue contribugan
se
trabaja
con
determinjstas,
rel-evancia
-los
casos
una
econ1mica.
econ6mico
hipotesis
ndtodos
A veces
eJ probJerna se
siendo en l-a
magoria
de
a 7a reaJidad
(7.983 ) ,
horizonte
el
puede conocerse con
diticil-mente
de agentes o
condicionan
tanto
totaLmente
gue definen
Suarez
pues una serje
incontro-lables
aqueTTos
no correspondiente
Como indica
lo
inversion
conocidas,
de 7a inversion
precisi6n,
todos
de
magnitudes
suponen perfeetamente
por
misma,
de 7a
a q'ue esto sea posible.
modeLos
7as
principaT
objetivo
e infJugen
factores
externos
en i,os resuJ-tados
deL
mismo.
El probTema de
conjunto
de oportunidadas
gud inversjones
antiguo
primer
como 7a
estudjo
de inversjones
historia
segrtn
aplique
agueJlos
crjterjos
fro,
tan
es
Econ6miea.
materia
gue exjstjan
se estudjan
fjnancjaci6n,
segundo caso,
Ciencia
un
de determinar
cud-les
sobre esta
mds importantes
g
7a
de
se
EJ
debe
a
en eJ, gue recoge Los modelos de decisi6n
Posteriornente
.se
de
a fin
.g
reaJ-izar
sistemit ico
jnversidn
'rentabiLidad
la
de inversion,
conviene
Schnejder'(7.944),
este
determinar
7a teoria
gue
adeTante un determinado
a l-a vez 7os prob-l,emas de
val,orando
inyersiones
se
entonces.
distjntos
pribl-tcas o privadas.
de l-a
inversi6n
tend,r6.n en cuenta
progecto.
-277-
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
aspectos
Terminamos
En
proporciona
para
l-l,evar
este
punto
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
diferenciando
Las
g
inversi6n
entre
temporalidad,
drferenc:.as
especuJacion,
e-Z riesgo,
g,ue existen
fundamental,es
7a
en
funci6n
corrierte
de
la
g l-a
de ingresos
de 7a enpresa o bolsa.
situaci6n
La necesidad
por
avaLad.a
fa
ejenpTo en 7a
Unidos,
-Zos modeTos de
de
utiTizacion
ddcada
se intent6
de
6ptina
Los
yiene
inversion
por
de los recursos t
a-fros treinta,
maximizar el beneficio
en
estados
neto sociaT,
€fr
7a TegisTaci5n sobre recursos hidrdulicos.
Los mercad.os de vaTores,
breve
exposici6n
gulere
grue Jas decisiones
empresas
conocimiento
sj
este
CapituTo,
deben
a tomar sean las rnds
competir
de l-a situaci6n
se produce
una aJ"teraci6n de Las condiciones
adaptl.ndose a dichos
inversion,
optinizando
nuestro
estudjo
como es e-Z supuesto de analizar
debido
inversi6n
tiene
a
g,ue e-Z
puesto gue
iniciales,
resul,tados,
cambios.
centrado
va-Lores,
sus
sj. se
eficientes.
un mercado en el
e.s inprescindible,
han de ser capaces de seguir
Eemos
en
una
a menudo operan con
carnbiantes gue hag gue canocer en eada Lnstante
datos
Las
en
de -Zos gue hemo,shecho
gtan
La
infl.uencia
en un problema
de
una cartera
de
gue
e-Z ahorro-
en 7a economia de cual-quier pais.
En eL mundo econ6mico
veces eJr e-l campo
de
7a
aetuaL
incertidumbre,
- 278 -
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
nos
movemos
-las
muchas
sjtuacjones
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
linites
de
irrea-Zes .
son
ignorancia
totaT
A
f in
subjetivismo,
elr
incertidumbre,
se
decision:
pesimrsta
evitarle
sjtuacjones
los
aJ
de
decisor
grado
de
cTAsicos
de
alto
criterios
de Laplace o de igual
e-l
verosimiTitud,
el.
o de Wa7d, e7 de Hurwicks, e-Z d.e Savage, etc.
En
utjl izar
de
idearon
criterio
perfecta
o las de informacion
e-l
caso
aleatorio,
e-Z inversorr
eL
gue
criterio
LLamadoestrategia,
sue-Z,e
al-ternativa
o
saTida, es maximizar 7a esperanza matemdtica de7 beneficio.
EJ, iniciador
planteando
XVIII,
La
en 7a primera mitad
fu6 BernouiLli
matemetica
esperanza
considerarse
La parad.oja del billete
sino
ganancia
por
jdeas
sus
Von
J.
fueron
de utiTidad
g
axiond"tico
gue
indicaba
su
una
nos debemos pregunxar por
por eJ grad.o d.e realjsmo
esa teoria,
ga q,ue sj
estos
en Los procesos deductivos
gue
ser
g
estudjadas
(7.970)
a
incidencia
teoria
supuestos no sean rea-l:.stas no pod.ia ser defendibTe.
partida,
debe
conducte
Samuel-son (1.938)
mdtod.o
no es
gue
7o
N e w m a n ng l $ o r g e n s t e n
g ' u i e n e s s e - Z , e sd e b e 7 a n o c i 6 n
en nuestra
de Loterja..
sigTo
Ja es-peranza de utiTidad.
Con posterioridad
desarrol.Ladas
de
del
dtil t.
investigaci6n
g
su
de
son ttteales",
Los
en 7a Economia.
-279-
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
En
utitidad
supuestos.
un
de
d.e
g no nos eguivocarnos
o inductivos,
aplieaci6n
la
cuyos
abrir6.
esa ieoria
tendrd
nueyos caJnpos de
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
de justificar
A fin
pueda
una
para
tener
cartera,
principal
recoger
nos
remontamos a
desea
7a
( I . g 5 2)
l4arkowitz
ganancia
formacion
trabajo
en l-a creaci6n
conducta
mdxima
un modeTo para
creando
l-a
este
Suarez (7.g83),
indica
de forma expJicita
gue
que
La toma de decisiones
aportacion,como
inversor
jnteres
e7
cuga
fud la
racional-
de
de
todo
minimo riesgo,
con
de
de
una
cartera
de
va-lores optima.
.Las
dos maneras aJternativas
t - segun I'Iazkowitz,
una
cartera
diferenciaban
tener
eficiente
se
en 7a primera se pretendia
mjentras
J-a inversi6n
efectuada,
principa-Zmente
de
7a
en
maximizar
el
segunda
se
riesgo
de
trataba
rentabiJ-idad.
su
que
en
minimizar
d.e
En
ambos
casos/
e7 probLema se pJ.anteaba de manera que
La
objeto
de
cuadrAtico,
afectada
estudjo
por
un
desiguaTdad;
Cuadrdtica
era
conjunto
estamos
Param€trica
En este caso es
presenta
-las
no
LineaT,
de
ante
de
tipo
restrjccjones
Tineales
un
caso
que
nuestro
de
en
Programacion
tP.Q.P. l.
en
el
como maximo eficiente
bandas
de
funci6n
al
determinar
algoritmo
de forma reaf
de
Las
covarianzas
asi como
-las
de
osciLaci6n
determinada
variable,
rendimiento
deL portafoTio,
7a
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
de
esperanza
en -las gue eJ riesgo
280
se
una
de
es minimo.
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
metcados
Los
en e-Z CapituTo III,
breve exposi cion
ntri ara
.a
.n1F 7aS deCiSjOneS
e
tomar
Y e e
operan
conocimiento. de la
situacion
se produce una aLteraci6n
de
mercado
con
sj
se
efjCjenteS.
en
el-
gue
e7
es imprescindible,
puesto gue
de Las condicjones
iniciaTes,
capaces de seguir
ser
7aS ndS
Sean
en un
Iras empresas deben competir
han
a menudo
cambiantes gue hag que conocer en cada instaxte
datos
sj
de Jos gue hemos hecho una
valores,
de
optin-izando sus resuJtados,
adaptAndose a dichos cambios.
Hemos centrado nuestra
inrrpreiAn
l'omo
vaf ores ,
debido
inversion
tiene
Ya
se
l,a. gran
a
ha
Los coeficientes
-1as restrj
afirmar
funci6n.
de restri
tomen val-ores
g,ue e-Z vector
en
factibJe
Con esto se permite
coeficientes,
es,
cuaLq'ur.er problema real
economico.
-
La
una variaci6n
de
g de Jas constantes
dominio,
281
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
-Zas de
sea
efastjcjdad
no
dichos
cuando
posible
de La
ademis, el, 6ptino
una cierta
hecho gue cojncide
euand.o
- 7 . : n e a J e s.
eu€r
ese
ahorro-
cuadrdtica,
-Zas propias,
posibilita
ambas,
el
de
haTLado permite
cciones
objetivo
seall
Cartera
de
pais.
el. aLgoritno
de J-a funci6n
cciones,
o
coef icientes
gue
donde es posible
una franja
de
negatividad
una
ana|izar
influencia
que
dicho
problema
un
en 7a economia de cualq'uier
s o m e tj d o a u n c o nj u n t o
obtenci6n
de
SUpUeStO de
--./.
en
un probTema d.e optimizacion
sensjb:. Iizar
estd
eS eJ
vv..- v
,
estudio
en -Zos
con Las fl.uctuacjones
en
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
,Estudi amos,
debido
problema de La formaci6n
g'ue ios
conocido
variabl-es
como
la
nedida
La yarjanza,
el
Es
riesgo
que
cLaro
d:spersrdn
en
de la
los
extremos de dichos
centraLes,
e-Z inversor
una
varianza
menar
varianza.
se
,se
del
numero de valores
i-dsino
respectjrras
rendimientos
varianza
citad.os,
exjste
encuentran
pref erir
aq'ueJJos
alta,
como
una
nateneticamente
qrue se estdn considerando.
- 282
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
una
de
proporcio
por un vectar
cartera
en
gue
combinaci6n
( en tatto
vaLor en la
influge
aseguren
Xn ),
eL
de _Zos
titul-os
individua-l.es en
Xi,
para
nug aLejados
nedia g eso
de la
magor
ahi g,ue Jos ya_Zores
de
no son apetecibJes
def ine
es
en val-ores.
Xi -representa J-a fraccion
participacion
de Jos
como medjda de dispersi6n,
o de activos
expresado
La esperanza,
probabilidades
esperanz.a de rendimiento
ca-rtera
por
e-Z promedio
es
magor
de n e-Zementos ( XI,
el.emento
g la
en especial
vaTotes mobiLiarios
determinada,
doF
inversion
haci6ndole
teniendo
Una
caracterizan
rendimientos ,
que
Es
se
rendimientos
puesto
invetsor,
vafores.
son
de estos
a
de
eJ
de -zos val-ores bursdtj-zes
ponderados can las
de 7a dispers!6n
nidien'do
cartera
centralizacion,
de q'ue ocurran.
va-iores
gue
gue desp: erta,
interes
una
esperanza
de
rendimientost
un indice
de
rendimientos
aleatorias
estddjsticos:
aL
en el. gue
fil_a
e-l
por uno ) de
g
n
es
ej
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
e7
poT uno
rendiniento
del
es Ri, e-l rendimiento
I
*-n
Rc =
L"i=7
Xi
( expresadb en tanto
vaJor i
de 7a cartera
serd;
i<j
si J . J a m a m o sE 1 a L a e s p e r a n z a m a t e m d t i c a d e R i ,
-'-?
L-L,
a
,frr la
Z,
espetanza de Rs se expresard por:
La varianza
siendo
oij
para
variabJe al-eatoria
de la
V(Rc) = 62c=
ltj
La covarianza
de los
En;-i
X; xi
R" es:
o;i
rendimientos
de Los titulos
J.
Para
cal-cuLar
-los vaJ-ores de E1,
formas
bien
datos,
estimdndoTos
valores
muestra-zes,
infiriendo
7a
apJicando
mdtodos
pteviamente
p u e d . eh a c e r s e
de
-los
basdndose
de
estadisticos
,
en
de
dos
hist6rica
de
correspondientes
La experiencia
probabiJidad.es
calcul-ar
_las
e
para,
medias,
g covarianzas.
rendimiento
variabLe
partir
a
buci6n
I4arkowitz parte
EL
E st o
me"dianxe una serj e
bien
d:strj
hag g'ue es timar
"
g oii.
o 2j
distintas,
varianzas
Ec A o2
de
al-eatoria
probabiTidad,
para
de Los supuestos
cuaJ-quier
subletiva,
eJ periodo
- 283
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
fundamenta-Zes..
titul_o
cuAa
o
cartera
d:strr,bu ci6n
de referencia
es un
de
es conocid.a
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
n^r
inversor.
aj
Ev-
variabLe
se
La
acepta
esperanza
como nedia
natenetica
de
del rendimiento
dichb
de dicha
J-nversJ-on
Como nedida
rial
rendimiento,
se
r i ocna
pata
tanto
utiLiza
1a
un vaLor individual
varianza
deJ
como para
una
carteza.
-
EJ
prefiere
inversor
rendimiento
una
indicado
cartera
m d . x i m ag a n a n c i a . p a r a
varianzar
val-or
o
dado
problema
7.-
es
en
La
7a
eficiente
I,Iaxinizar
un riesgo
determinad.o,
deterninacion
del.
riesgo
Asi
conjunto
X1 = l
tlinimizar
a.
)^
ctc
i
= xt'j=-1 f,"j=7
tic=E
x;
=1t
x;
n
oii
-*
f,tj=1
X1 -
7
x1 >o
i
- 284
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
este
=l-r2r...rfr
La
Ja
para un
pues,
€f
de carteras
)*
ooc = V
x1 >o
de
ned.ido por
E" = f,n:.=-1X1 E1
f,tj=1
(rrior!n
magot
cuand.o proporciona
puede abordarse de dos formas;'
Sujeto a:
2.-
introducci6n
cuando proporciona
el ninino
'La
de
esperanza naten|tica.
de
eficientes
de
aa27fa12<
g menor riesgo.
Como hemos
trabajo,
aquelJas
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
Como vemos
primero
g
en
ambos
pardmetro v* o
anaLiticos
E*.
(7.996),
g una vez
respectivamente,
gue
hag
Para
grdficos,
o
problema
e-Z segundo
es
el
pueden
empJearse
vease- Romero (i.g77)
haLlados
g
deL
previamente
determinar
el'lo
duaL
sustjturdos
metodos
g
en
Suarez
j
djstrj.bujr
se resuel-ve eJ probJema por cuaLquiera de
e-z presupuesto de inversion
Esto
nos
de
un
introduce
el.
gue
restri
cciones
cons tatacion
capitul-o
nuestro
Los resul-tados
de economia
sol.ucjones
utilizamos
diferenciar
dos
-los
haTl,en con coeficjentes
rigidos
oscj Tacion por
gue
variaci6n
de
segin
de
en
g,ue _Zas
s e a . n m d . s o m e . n o sf u e r t e s .
este
para
emp-ir:ca
4 en e-Z eu€,
a ul? supuesto de formaci1n
d:stintas
aunqrue depende sol,o de
vd.lido
-l'os d:st:ntos
Capituj-o
a un prob-lema general
contrastamos
En
e u e,
el
comenzamosaplicando
jnvestigacion
nuestra
en
mediante su apTicaci6n
PortafoJio,
entre
l-a carEera optima
ademds de comprobar l-a
aJgoritmo
tija
X2,
pata obtener
activos
2,
o
Los aTgoritmos conocidos obteni1ndose una combinacion
de vaLores (XI,
un
minima
un problema econ1mico
variabLes,
resu-Zta
resu-Ztados 6ptinos
( sin
permitirseJ.es
mug
segun se
ninguna
permita
sea
),
se
en La Funci6n objetivo
o,
desde una perspectiva
nds generosa, permitir
una osciTacion
en Las constanEes de -Zas rest ricciones
- 285
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
-Zes
tanto
.
una
en la F.O. como
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
Volver al índice/Tornar a l'índex
'Por
el-
gue
terminamos con un .s'upuesco de Cartera
iTtino,
no
so-lo
Romero (1.977)
conf irmamos Los resuf tados obtenidos
g Quesada R. (1.987),
dominio de osciTacion
nd.s
por
si no gue ampliamos el-
del parametro,
rea-z,es a1 inversor
en
ofreciendo
a l-a hora de decid:rse
e-zementos
a formar
su
PortafoLio,
Como Anexo ae
informi.tico
se
este
reduzcan
considerabJenente
6ptino.
UtiTizando
(oJivetti
compatibTe
vector
soLuci6n
K, asi
como todos los
7a matriz
ihia
?r
t
LI-24),
g
el
este
ptograma
un
en cada uno de los
de
n^r
t)vl
tiempo
el
t4 iLlvf l t t l v it m n
buscando.
-
286
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
computo
€ri
un
vectot
para la
a
6ptino
cada
de
obtencion
pa.rametrizada,
asociados
pC
para cada Fase e-l
subd.ominios posibJes
cdJ-cul-osnecesarjos
Lagrange
de
programa,
s€ obtiene
de -za forma cuadrdtica
nuJtipJicadores
far.f
incLuj:nos
en Lenguaje GWBasic, de manera que Jos cd.LcuLos
r e s u - Zt e e l
de
crabajo
de Los
soLuci6n
g'ue estamos
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
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0'
I{end principal-.
Por Sa7va, Sergio g LoJa.
tlago 7.988
70 CLS:KEY OEF
2 0 L O C A T E L , 2 0 ; P R I N ? " S E N S I B I L I D A D D E U N A F U N C I O NC U A D R A T I C A U
3 0 L O C A T E 3 , 7 O . . P R J N ?" P o r 1 4 . D . D i e z ,
P.
Sergio
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DEL FICHERO DE TRABAJO ( sin
.sfc
en trabajo.tes
P R I N T: L O C A T E 2 3 , 7 5 : I N P U T " N O I ' I B R E
extensidn)',
;LABEL$ :LAtsEL$=}IID$ (LA
-
BEl"$r7r9)+".sfct'
U?RABANDODATOS DE TRABAJOt,
3020
CLS:LO€ATE 70,70;PRJNf
j030
OPEN LABELS FOR INPUT AS #2:OPEN t'trabajo.tes,,FOR
324
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
OUTPU
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
T AS#7
3 0 3 5 L I N E I N P U T # 2 , L A B E L $ . ' . I T N EI N P U T # 2 , K $ : L I N E I N P U ? # 2 , D $ : p
R I N T # I , L A B E L $: P R I N T # L ,K S : P R I N T # f ,D S
iO4O INPUT #2,D:DII| D(DrD),H(O,O1,F(D,D),T(D,D),G(70),2(D),5(
D ) , R ( D ) , V A ( D ) , v E ( D ) , V C ( D ) , V C P ( D ): P R I N T # 7 , D
3 O 5 O R E I , Ig r a b a L a m a t r i z
original
(B)
y%,x%
3 0 5 9 F o R x % = l T o D : F o R Y % = 7T o D : r N P t J T # 2 , D ( x % , Y % ) : N E X T
i 0 6 0 F O R X % = 7 T O D : F O R Y % = 7 T O D : P R I N T # L , D ( X % , y %:)N E X T y % , X %
3 0 7 9 F o R x % = 7 T o D : F O R Y % = 1 T o D : r N P t l r # 2 , H ( x % , Y % ): N E X T Y % , x %
3 0 8 0 F o R x % = 7 T o D ; F O R Y % = 7 r o D : P R T N T # 7 , H ( x % , Y % ) : N E XvT% , x %
3 0 9 9 F o R x % = 7 T o D : . F O RY % = 7 T o D : r N P u r # 2 , F ( x % , Y % ) . : N E X Ty % , x %
i 7 0 0 F o R x % = ] T o D : F a R Y % = 7 r o D : P R T N T # I , P ( x % , Y % ) : N E X Ty % , x %
3 7 7 9 F o R x % = 1 T o D ; F O R Y % = 7 T o D : r N P t J T # 2 , T ( x % , Y %:)N E X T y % , x %
" i 7 2 0 F o R x % = 7 T o D : F o R Y % = 7 T o D : P R T N T # 7 , T ( x % , Y % ) : N E X yT% , x %
3 1 3 0 I N P U T # 2 , D T N: P R I N T # 1 , D T N
3 t 4 A I N p t J T # 2 , R A L: I N p U i l -2 , R O 2: I N p t J T #
2 , R O 3 ; p R J N ? # - 1R, O 7: p R I N T iI
, RO2:PRJiVf#7, ROi
3 7 5 9 F O R X % = l r O 7 0 : I N P U T # 2 , G ( x % ) : N E X TX % .
3 1 6 0 F O R X % = 7 T A 1 0 : P R I N T # 7 , c ( X % ) : N E X TX %
3I69 INPUT #2,P : INPUT#2,A:rNPUf#2,Q
3 7 7 0 P R I N ? # 7 ,P : P R I N T # 7 a, : P R I N T f7t , Q:
3 7 8 9 F o R Y % = 7 r o D : T N P U T # 2 , 2 ( Y %:)T N P U T # 2 , s ( Y %:)T N P U T # 2 , R ( Y %: )
NEXT Y%
3 1 9 0 F O R Y % = 7 T O D : P R r N f # l , z ( Y % ) ; P R r N f # ] . ,5 ( y % ) : p R . I N ? # i , R ( y % ):
NEXT Y%
3 7 9 1 f O R y % = 7 r o D : I N ? U T # 2 , v A ( y % ): I N p U T # 2 , V 8 ( V X ): I N P U T # 2 , V C ( y
%) : INPUT#2, Vep ( y%) : NEXT':INP(JT#2 TCONS
: INPUT#2 , VARSEN%
3 7 9 2 F o R Y % = 7 T o D : P R T N T # 7 , v A ( v %:)P R T N T # 7 , v 8 ( y % :)p R r N T # 1 , v c ( y
- 325
\
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
% ) : P R I N T #7 , V C P( y % ) : N E X T: P R I N ? #7 , C O N S
: P R I N T #7 , V A R S E N %
3200 CLOSE#7:CL1SE#2
3210 RUN
326
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
'.intro.bas.
0
Bg Lo7a.,. Ser.gio & Sa7va. Abril, l"9gg
2 CLS:KEY OFF:cOrO 5000
3 C L S ' : P R J N ? T A B ( 1 0 ) ; " S E N S I B I L I D A D D E U N AF U N C T O NC U A D R A T I C A , ,
4 LOCATE 70,70:TNPUT ,,Dimensi6n de Ia matriz
,,iD
7 D r I q D S( D , D ) , D ( D , D ) , I t (t D , D) , F ( D , 3 ) , T ( D , D ) , W ( D , I 0 ) , A ( D) , V E C( D ,
7 0 ) , v ( 7 0 ) , G( 7 0 ) , c ( D) , H ( D , 3 ) , T r r A r l ( D) , T r r A r 2 ( D) , T r r A r T 2 ( D) , T r
T A r 0 ( D) , V A( D ) | V C( D ) , V C p( D ) , V E( D) , C O E F( D ) , r N L ( D ) , r N 2 ( D ) , r N 3 ( D )
, T ' I A T M ( D , D ) , I , T A T B P ( D , D ) , T { A T X ( ,PI 4
, PA)T V ( D , D ) , T 4 A T V 7 ( D , ,DI 4
) ATW(D,D
)
8 D I T 4 I 4 I ( D , D ) I N I ( D ' D ) , F I ( D , D ) , R E S T( D ) , T 1 ( O , A1 , V A L O RD
( , 6 ) , P O L(
D,4 )
78 RETURN
3 0 W H I L E I N K E Y $ = "" : L O C A T E 2 5 , 4 0 : P R I N T' , p u J s e u n a t e c J a t , : W E N DR
:
ETURN
2OOO REI/- RIJTINA GENEiAL PARA ENTRADADE DATAS EN LA MATRIZ
2070 L=D
2 0 2 0 C O L O R7 , 0 : I W = 7 : I H % = I : C A L O R 0 , 7 5 : G O S | J B2 3 2 0
20i0
W=l : H%=l : I4X%=7. I4Y%=7
: V7%=7: H7%=7
2 0 4 0 pr/ng=l/\* | : PH%=( H%-7 ) * 7 5 + 5 : COLOR 0, l- 5 : I F D g ( I{X%,IIIY%) = tt tt TH
( 74 )
EN D$ (I{X%,LIY%)=SPACE$
2 0 5 0 G O S U B2 3 7 0 : C O L O R7 , 0 : G O S T J B2 2 9 0 : I F
CD=73 THEN2220
2 0 6 0 r F c D < 7 7 2 T H E Nc o s u B 2 1 7 0 : c o L o R 7 , 0 : G o s t J B 2 . 3 7 0 : G o r o 2 o 4 o
2 0 7 0 I F C D = 7 7 2 Z H E N ? O S U B 2 3 7 0 : V % = W - L : t 4 Y % = I 4 y % - 7 : I FI I y % = 0 T H
EN I4Y%=7
2080 fF CD=780
THEN GOSUB2370;t/\=I/t+f
:IIy%=Ity%+I:IF W>L THE
N Vl=l:I{Y%=L
2 0 9 0 I F C D = 7 7 5 T H E N ? O S U B 2 3 7 0 : H % = H % - 7 : I { X % = I ( X % - 7 : IIF4 X % = 0f H
E"N I'IX%=L
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Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
2 7 0 0 I F C D = 7 7 7 T H E NG O S U B2 3 1 0 : H % = H % + 7 : l " I X % = t I X % + 7H: I%
F >L THE
N H%=L:I{X%=L
2 7 7 0 r F H % = 6 A N D H 7 % + 4 < L T H E NH L % = H r % + 7 ; t r x % = M x % + l - : r H % = H l % : G o s
uB 2320:H%=5:GOTO
2750
2 7 2 0 I F H % = 0 A N D H 7 % > 7 T H E NH 7 % = H 1 % - L : I " I X % = L I X % - 7 : I H % = H 7 % : G A S U B
2 3 2 0 : H % = 7 : G O T O2 7 5 0
2730 IF
W = 0 A N D V 7 % > 7T H E NV 7 % = V 7 % - 7 : I ' I Y % = M Y % - 7 : f W = V 7 % : G O S U B
2320:W=7:GATO 2750
2740 IF W=I1
A N D V 7 % + 9 < LI H E N V 7 % = V 7 % + 7 : t 4 y % = t 4 y % + I : I V % = V L % : G O
SUB 2i20:V"a=70
2 7 5 0 I F H % = 0 T H E NH % = 7 ; E L S EI F H % = 6 f l H E NH % = S : E L S EI F
EN W=7:ELSE IF
V " e = OT E
W = T L T H E NV % = 1 g
2750 coro 2040
2770 S$=CD$
2 7 8 0 D $ ( I L x % , 1 4 Y % ) = 5 9 : G O S2U3B1 0 : C O S U B2 2 9 0 : I F C D > 7 7 0 o R C D = 7 j
T H E N 2 f 9 0 : E L S E 5 9 = 5 $ + c p $ ; r F L E N ( S $ ) < 7 4 T H E N2 7 8 0
2 7 9 5 L L % = L E N( D $ ( t 4 x %I,[ v % )) : I F L I % < 7 4 T H E ND $ ( I { X %I,[ Y % )= S P A C E $( 7
4-L77) +D$ (I{x%,MY%)
22OO RETURN
2270 sToP
2230 CD$=y1pg(D$ ( X%,Y%), C%,7 ) : IF CD$="+" OR CD$=tt-rt THEN CO=V
A L ( L E F F $( D $ ( X % , v % ) , C %)) : I F C D $ = t r - t t T H E NS G = - l
2 2 4 0 I F C D $ = "1 "
T H E NA F = - t/ V A L ( R I c H r $ ( D g ( X % ,y % ), 1 4 - C % )) * S G : G O T
o 2270
2 2 5 0 I P C D 5 = " * I ' T H E N A F = V A L( R I G H P S( D $ ( X % , Y % ) ,] - 4 - C % )) * S G : G A T O
2270
2 2 6 0 C % = C % + ILF: C % < 7 5 ? H E N 2 2 3 0
2 2 7 0 D ( X % t Y % ) = C O :(FX % , Y % ) = a :y ' H ( X % ,Y % ) = A F: N E X T X % , Y %
-
328
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
tr\
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
2280 RETURN
'
2 2 9 0 C D $ = I s y g Y $ : I F L E N ( c D $ ) = 0 T H E N2 2 9 0 : E L S E I F L E N ( c p $ ) = t
TH
( R I G E T $( C O 5 ,7 ) ) + 7 O O: R E T U R N
E N 2 3 O O: E L S E C D = A S C
23 OO CD=ASC( CD$) ; RETURJf
2 i 1 0 L O C A T E P V % ,P H % : P R r N f D S ( I 4 X % , 1 4 Y %
: R)E ? U R N
2 i 2 O C O L O R0 , 7 5 : X % = 7: Y % = 7: P L % * I H % P
: 2 % = P 7 % +: 4P 3 % = I V %P
: 4%=IW+9
2 3 3 0 L O C A T E7 , ( X % - 7 )* 7 5 + S r P R f N f P L ? s : X % = X %: P
+ 1 % = P 7 % +: LI F p 7 % >
P 2 % O R P L % > L T H E N2 3 4 0 : E L S E G O T O 2 3 3 0
% + 7 : I F Pj % > P 4 % O
2 3 4 0 L O C A T E ( Y % )* 2 , 1 . . P R - I N ?P j % : y V = f f t + 7 : P 3 % =jP
R P3%>L THEN 2350;8tr58 jOTO 2340
2 3 5 0 Y % = . 7 : C O L O7R, 0 : F O R C V " a = I V %T O p j % - 7 : L O C A T E y % * 2 , 5 ; p R J N f
S P A C E ($7 5 ) : X % = 7 ; . F O R
C H % = I H %T O P 7 % - l - : L O C A T EY % * 2 , ( X % - 1 ) * 7 5 . + 5 :
, V % ): X % = X % + l ; N E X f C H % : Y % = Y %:+N
P R f r V ?D $ ( C H %C
l EXTCW
2360 RETURN
3 0 0 0 R E I ' Ig r a b a e n d i s c o
tos
(obtenidos
con fiTename=Label.g tos
con Ja opcion
3005 cLS:PRrNTt'Los frc]zeros
siguientes
da
7 del menu principal)
de datos
gue contjene
e-z disco
so
3 o o a F r L E s , , *. s f c
3OO7 PRfNf: fNPUT',Sus datos van a ser grabados con el n:ombre?,'
,LABEL$
3 0 0 8 L A B E L $ = I { I D S( L A B E L S ,7 , 8 ) + n . s f c "
3010 REI4.Hatriz rnicial
enterat
lratriz
inversa,
d e B , / B + d B / , g 7 r g 2 , g 3r g 4 r g 5 , g 6 r P , A , e , y e c t o r e s
3 0 2 0 C L S : L O C A T E7 0 , 7 0 ; P R r N f
determinante
compTetos
, ? R \ B A N D . OD A T O S I N I C T A L E S y C A L C U
LADOS''
3030 )PEN LABEL$ FOR OUTPUTAS#1
3 0 35 P R I N T #7 , L A B E L $ 'P: R I N T #7 , K $ : P R J N T #7 , D S
- 329
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Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
3040 PRINT#I,D:REI4 tamafio de ]a matriz
3 O 5 0 R E I ' I - g r a b a7 a m a t r i z
original
(B)
3 0 6 0 F o R x % = l T o D : F o R Y % = 7 T o D : P R T N T # I , D ( x % , Y % ) : N E X Ty % , x %
3 O 7 O R E I ' Ig r a b a 7 o s c o e f i c i e n t e . s d e t j t a
3 o 8 o r o R x % = l T o D : F O R Y % = r T o D : P R T N T # ] , H ( x % , Y % ) : N E X TY % , x %
3 0 9 0 R E I { a h o r a - Z . ai n y e r s a
(B-1)
3 7 0 0 F o R x " e = 7 T a D ; . F O RY % = 7 T o D : P R T N T # I , F ( x % , Y % :)N E X T y % , x %
i770 REI{ ahora La traspuesta
i 1 2 0 F o R x % = 7 T o D : F O R Y % = 7 T o D : P R T N T # I , T ( x % , Y % ) : N E X Ty % , x %
3 7 3 0 P R f N T # 7 , D T N : R E rdt {e t e r m i n a n t e
de B
'"#7,
T T A O . P R f N r # i , R O Z: P R \ N T # 7 , R O 2 ; P R f 1 7 f
R O 3: R E I 1/ A + a B ' /
3750 REI{ ahora
l-os yectores
g ()
3 7 6 0 F O R X % = 7 T O 7 0 : P R I N T # 1 , c ( X % ) : N E X TX %
3 7 7 0 P R I N T # 7 , P : P R I N T # 7 , A : P R I N T # 7 , Q : R EPI " I, A g Q
3180 REI{ ahora fas
ecuaciones componentes de Ja so|ucion
sjn'
restzicciones
3 7 9 0 F O R y % = 7 T A D : p R r N T # 7 ,Z ( y % ) : p R r N T # 7 , 5 ( y % ): p R r N T # 7 , R ( y . %:)
NEXT Y%
3 1 9 7 F o R Y % = 7 T o D : P R T N T # 1 v, A ( Y % ): P R T N T # 7 , v 8( Y % ): P R T N T # 7 , v c ( y
%) : PRINT#7, VCP( Y%): NEXT:PRINT#1 , C)NS: PRINT#7, :rARSEN%
3200 cLosE#l
32IO RE?URN
5000 cxs.'GosuB 6700:GostJB6200:GosItB 3000:cLS :pRrNT,,vuelvo almenu ptincipal
. . . . " : C H A I N , ' m a i n m e n u . b a , st ,
5 0 7 0 C L S : L O C A T E7 0 , L 0 : I N P | T
"Nombre del
6 0 0 0 R E r r fs u . b m e n u p a r a s o l u c i o n
sjn
trabajo
*->,';LABEL|
restricciones
5010' CtrS:.PRINT rAB ( 201 ; "I4ENUSOLUCTONSril RES?RI1CIONES"
6020 LOCATE6rL).'PRfNf
"f
-
Entrar lLatriz. OriginaT,,:LOCATE 8,
330 -
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Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
71:PRINT "2 -
Entrar
Factores de Tita
g yectores,'
6 1 0 0 G O S U B3 ; C t r S : L O C A T E2 2 , 7 0 : P R I N T r A B ( 1 0 ) ; " E N T R E D A T O SD E L
A I 4 A T R I Z " : G O S U B2 0 0 0
( x % , v % )) : N E x r
6 7 7 0 F O RY % = 7 T o D : F O R x % = 7 T o D : D ( x % , Y % ) = v a t r ( D g
X % ,Y % : R E f U R N
6200 CLS: PRrNr TAB( 70 ) : INPUT t'ENTRE VARIABLE A SEMrB ILIZAR,, ;
(YAR^SENS):IF VARSEN%<IOR VARSEN%>D
TARSEN.i:VARSEN%=VAL
THEN 6
200
6 2 0 5 G O S U B5 2 4 0
6 2 1 0 F O R X % = L T O D ; F O R Y % = 7 T A D : F ( X % , Y % ) = g : N E X Ty % , X %
6 2 2 0 F A R X % = 7 Y O D : F ( X % , V A R S E N % ) = V A ( X % ) : N EXX%
T : F O RY % = L T O D
: F ( VARSEN%,
Y%)=VA ( Y%): NEXT Y%
* 2 : RETURN
=r ( VARSEN%,
6 2 3 0. F f VARSEN%,
VARSqN%)
VARSEN%)
6240 REI| acond.icionar
yectores
6 2 4 5 F O R X % = 7 T O D : P R I N T " I N T R O D U Z C AV E C T Q RE ' , ; X % ;: I N P I J ? V E ( X %
) : H ( X % , 7 ) = V g ( x % ): F ( x % , f ) = v t ( x % ) : N E { T X % : C L S :' v a 7 ( d $ ( x % , 7 ) )
6246 FORX%=7 TO D..PRJN?
A E C T O RA " ; X % ; : I N P I I T V A ( X %
"f NTRODUZCV
) : H ( X%,2 )=Va( X%) : F ( X%,2 )=VA ( x%.):i/EXf X%: CLS
6 2 5 0 F O A X % = I T O D : P R T i l T " T N T R A D U Z CVAE C T O RC ' ' ; X % ; ; r N P U f V C ( X %
) : H ( X%,3 ) =VC( X%) : F ( X%,3 ) =VC( X%) : NEXTX%:CLS
6 2 5 1 P R J N f f A B ( 7 0 ) ; ' \ V E C T O RE " ; T A B ( 2 0 ) ; " V E C T O RA " ; T A B ( 3 0 1; " V E C
TOR CN
6 2 5 2 F o R X % = 7T o D : P R r r V ?r A B ( 7 i ) r V E ( x % ) ; r A B ( 2 3 ) ; V A ( X % ) ; T A B ( 3 3
:GOS U B3 0 :
) ; V C (X %): N E X T
6 i 0 0 F O RX % = 7T O D : V C P ( x Z ) - - O : N E X T : C . [ 5 ; P R T
r rAVBT( 1 O 1 , , , E N T RCEO
NSTAN?E DE G5" :LACATE 70, L0 :INPUT
IVS;GOSUB 30
6370 RETURN
-
i37
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
" * - - > , ' ; C O N S: V C P ( V A R S E N % ) = C O
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
. , f a s e l - . . b a s . . 8 . 9 .L o 7 a , S e r g i o & S a l v a .
0
AbriJ,
IgSg
(X) = ( INT ( ( X+. OOOO5
2 KEY OFF: CLS:DECII4=A:DEF FNDECIT'TAL
) * 17O^
D E C I I ' I )) ) / ( 1 0 ^ D E C I I 4 ) ; F O RX % = 7 f A 9 : K E Y X % ,, , , ': N E X T : K E y l O , , , F I N ,
+ C H R $( 7 5 1 t 1 O T O 5 O O O
7 DrI{ DS(D,D),D(D,D),
il(D,D),F(D,D),T(D,D),W(D,70),A(D),VEC(
D , 7 0 ) , V ( 7 0 ) , G ( 7 0 ) , C ( D) , H ( D , D ) , T r T A r T ( D) , r r r A r 2 ( D ) , T r T A r T 2 ( D ) ,
T I T A I 0 ( D ) ' V A ( D ) , v c ( D ) , V c P ( D ), V E ( D ) , C 1 E F( D ) , I N 7 ( D ) , I N 2 ( D ) , I N j (
D ) , | ' L A T I [ ( D ' D ), I L A T B P ( D , D )' I L A T Y ( D , D )' I L A T V ( D ' D ) ' I ' I A T V 7 ( D , D ) , M A T V ( D
,D)
8 D r t { I 4 r ( D , D ) , Nr ( O , O1 , F I ( D , D) , R E S T( D ) , T 7 ( D , 4 ) , V A L O R
( D , 6 ) , p O L(
D,4),RO(3)
]8
RETURN
2 0 G O T O2 0 0
25 LrN=CSRTJw
: C O L = p o S( 0 ) : L ) C A T E 2 3 , 5 0 : p R r N T , ' p i r _ l s e u n a t e c J a " :
WHILE INKEY$=t"t 'WEND
:LOCATE LIN , COL;RE?URN
9 0 F O R X = 7 T O N - l - : F O R Y = 1 .T O N : T ( X , \ ' ) = 1 4 ( X + 7 , y ) : N E X T y , X : F O R y
=l
TO N:T(N,y)=14(7,Y):NEXT Y:FORX=] TO N:FOR y=I fO N:I"I(X,y)
= T ( X , l ) ; N E X T Y , X : 5 G = 5 G *( - 7 ) ^ ( ( t { - l ) ) : R E T U R N
700 C = l..CC=l:5G=1.
702 IF U(7,7)=0
T H E NG O S U B9 0 : C C = C C + 7 : I F C C < = N T H E N7 0 2 : E L S E
DT=O: GOTOl-80
7 0 5 F A R P = 7 T O N : I F P = 7 ' T H E Nf = L : C O T O L 1 5
1081=l
7 7 0 F O R Y = 7 T O C - 7 : G O S U BI 9 0
772I=I+7
77i NEXTy
1 7 5 G O S U B1 9 5
] . 2 0 N E X TP
- 332 -
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
( 80) :LOCATE 22,-l ..PRrN? nRESrr-TADO
725 LOCATE 22;1. :PRrl/? SPACES
":
COLOR 7
730 DT = 1.. FOR C = J TO N: DT = DT * A(C):
N E X TC
780 DT=D?*SG:LOCATE 22 , 20 ; PRfN? ,'DT- " - DT;
',
TI- u; TI
185 RETURN
790 A(C) = 14(I,P):FOR A - L TO N:14(A,P) = LI(A,P) - LI(A,Y) * A
(C):
NEKT A .' REfURN
195 A(c)
= ,I(I,P):
F O RA * I
To N: IF A(C)
= I4(A,P) / A(C)
7 9 5 N E X TA : C = C + 1 . . R E T { J R N
200 FOR T = 2 TO D:TI
= TI + fN
2 7 0 f O R Y = 7 T O T : F O RX = 7 T O T : r 4 ( X , y ) = D ( X , y )
Y)):
+ (TI*F(X,
N E X TX , Y
275N=f
2 7 7 G O S U B7 0 0
2 2 0 I F D T < = O T H E i NT I = T I + I N :
G O T O2 1 0
2 2 5 C O L O R1 0 : L O C A T E 2 2 , 1 - ; P R I N ? S P A C E S
(80):LOCATE 22,l...pRJNr
i'PARA LA I4ATRIZ DE ,,;Tl,,ELEI{ENTOS
*",
> )u:fF
S G N ( t n 1 = - 1 T H E N5 $ = , r f f 1 = ( q , , , + 5 T R $ ( T I 1 + , , 1 , ,
226 PRIN? 55
227 GOSUB25
230 NEXT T
2 3 5 F a R Y = 7 T o D . ' F O Rx = 1 . T o D : 1 4 ( x , Y ) = D ( x , Y ) : N E X T x , Y : N = D . ' G o s u
B l - 0 0 : D T N = D T : L O C A T E2 3 , 1 . - P R J N r , '/ B / = t , 1 D T N : G O S U B
2 5 : G O S U B5 O O
250 RETURN
290 STOP
(80):LOcaTE 22,-Z:PRJNf uD
SPACES
3 0 0 C O L O R7 : L O G A T E 2 2 , I : P R r N f
A f O n ; L O C A T E2 2 , 7 0 : I N P U T 8 $ . . - f F B S = , , t ' T H E N3 0 0 : E L S E D ( X , Y ) = V A L (
ji3
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
B$)
3 0 2 L O C A T E2 2 , 4 0 : P R I N T S P A C E (S4 0 ) : L O C A T E2 2 , 4 0 : P R I N T ' | A F E C T A C
I O N " : L O C A T E 2 2 , 6 0 : I N P U T B $ : I F B $ = i t t ' T H E N3 0 2 : E I : S E F ( X , y ) = V A L (
. B $)
3 0 8 L O C A T E2 2 , I ; P R J N ? S P A 1 E S ( 8 0 )
370 RETURN
350 , ?RANSFAP
$.IACIONDE DATOS PARA EYI?AR INTRODTJCTR
'OS VECT
ORES A I{ANO
3 5 1 c L s : F o Rx % = 7r o D : v f r c ( x % , 7 ) = v A ( x:%
) c(x%,2)=va(x%
vE
: v)E c ( x
%, i ) =VE ( X%) : VEC( X%,4 ) =VE( X%) : VEC( X%, 5 ) =VA( X%) : W( X%,7 ) =VA ( X%) :
W( X % ,2 ) = V E( X %) : W( X % ,3 ) = V n ( X Z ) : W( X % ,4 ) = V C( X % ): W( X % ,5 ) = V C( X %) : N
EXT: RE?UR/V
4OO REIf CALCULA K7
.
402 PRINT ttKT=" i
A = ( G ( 2 , ) ^ 2 ) - G ( 7 ) * c ( j ) ; f F S G N( a ) = - l
T H E N4 2 0
4 0 8 B = ( - 7 ) / ( 2 , t C ( 2 ))
4 1 0 I E S G N( G ( 2 ) ) = 1 ' T H E NK $ = t t( ' + S T R $( B ) + " , + - ) u : P R ; N ? K $ : G O T O
425
4 7 2 X 5 = " ( - - , , , + s f R t ( B ) + ' ) " : P R J N 3 K $ : G O T O4 2 5
4 2 0 B = ( - 1 )/ ( s Q R ( c ( 1 ) * cj() ) + c ( 2 ) ) : c = t / ( s e n ( c ( t ) * c ( 3 ) ) - c ( 2 ) )
4 2 2 X 5 = u( " + S T R $( B1 + " , ' , + S T R $( C ) + , , ) t ,: P R I N T K $
4 2 5 R O( 7 ) = p r l l * A : R O( 2 ) = p r 1 1 * 2 * G( 2 ) : R O( 3 ) = D T N
4i0
PRINT tt/B + 0 B'/-'':D$=51'pg (RA(I) )*"
* O' +
" + 5 ? R S( R O ( 2 )
( R O ( 3 )) : p R I N T D S
)+,' * e + ,'+S?Rg
43 5 P=c ( 2 ) *G ( 4 ) -e ( 3 ) *c ( 5 ) : Q=G( 2 ) *G ( 6 ) -c ( I 1 *g ( 4 ) : PRrNT upt-ttI P :
PR.rNf "Q=" iQ
436 RETURN
5OO REI4CALCULALA I'IATRIZ INVERSAQUE LLEGA EN D(D,D)
3i4
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
505 PX=l-:PY=7'
508 X=L : Y=7 : CX=l : CY=l5 7 0 I F X < > P X A N D Y < > P y T H E N1 4 ( C X , C Y ) = p ( X , Y ) : C X = C X + 1 : I FC X > ( D 1)
T H E NC Y = C Y + 7 : C X = 7
572 X=X+],:fF X<=D THEN 570
. Y<=D THEN 570
5 1 5 Y = ! + 7 . ' X = 1 , I. F
5 2 0 C L S : F O RX = 7 T O D - 1 , : F O R Y = 7 T O D - L : L O C A T E{ + 2 , X * 7 4 : P R I N ? I v I
(X,Y):NEXT Y,X
5 2 5 N = D - l : G O S U B7 0 0 : F ( P X , P Y) = p ' y
528 PX=PX+I:IF PX<=D ruHEN508
530 PY=PY+7:PX=I:IF PY<=D THEN 508
n I,IATRIZADJUNflA,'
5 3 5 C L S : L O C A T E7 2 , 2 ) r P R f N f
5 4 0 F O R X = 7 T O D : F O R y = 7 T O D ; 5 G =( - 7 ) ^ ( y + X | : F ( X , y ) = f
(X,y)*SC
;NEXf Y, X:GOStlB 590
5 4 5 G O S U B2 5 : F O R X = 7 T O D : F O R Y = 7 T O D : T ( Y , X ) = F ( X , y ) : N E X T y , X
:FOR X=7 TO D:FOR Y=7 fO D:F(X:Y)=T(X,Y):NEXT Y,X:CLS:GOS(JB
5
90:LOCATE 1,20;PRJ/V? n I{ATRIZ TRASPLTESTA"
5 5 0 G O S U B2 5 : F O R X = 7 T O D : F O R Y = 7 T O D : F ( X , Y ) = r ( X , Y ) / D T N : N E X T
Y , X : C L S : G O S U B5 9 0 : L O C A T E 7 , 2 0 : P R I N I
, ' I N V E R S Ad e B t ,
5 5 5 G O S U B2 5 : G O S U B3 5 0 : N V = 7
5 5 6 , C L S : P R I N T T A B ( 2 0 ) ; , , g i \ i T R EV E C T O R, , 1 N V : F o RX = 7 T o D : L } C A T E
y+2,1..PR-rN?
"Vector
V " ; : I N p t J T V E C ( X ,N V ) : L A C A T E X + 2 , 2 O : p R r f f ?
" V e c t o r W " ; : I N P U T W ( X r N V ) : N E X TX
5 5 8 G = 0 : F O RX = 7 T O D : V ( X ) = O : N E X T X
560 fOR X=T TO D;r'OR Y=7 TA D:V(X)=V(X)+F(X,Y)*VUC(Y,NV);NEXf
Y : P R f I V f n V ' t ; X ; " = ' t ; V ( X ) ; : V ( X ) = V ( X ) * W ( X , N V ): P R J A I ? , ' - - > , , ; V ( X )
:G=GIV(X):NEXTX
565 G(NV)=G;PRfNf "G="'G(NV)
-
335
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
5 6 6 G O S U B2 5 : ' I F N V < s T H E N 5 7 0
5 6 7 K L = C O N S '.I.N P U T ' , C o n s t a n t e d e G 5 ' , ; K 7
5 5 8 G ( 6 1 = 6 (5 ) - K 7 : P R f N f n V E C T O R
c 6 = ' ,i G ( 5 )
5 7 0 I F N V < s T H E N N V = N V + ] : G O T O5 5 6
5 7 5 C L S : F O RX = 7 T A N V + I ; P R T N ?I 5 I I l X i ' t = ' ' . G ( X ) : N E X T X
580 GASUB 25:GOSUB 500:RETURw..RETY
CALCWA Kl
5 9 0 F O R X = 7 T O D : F O R Y = 7 T O D : L O C A T EY + 2 , X * 1 4 : P R I N T F ( X , y ) : N E
XT y,X:RE?URN:REI4 II4PRII''I,ELA ILATRIZ
600 GOSUB400: ' CALCULAKl
639 GOSUB 25:CLS;REif CALCULASOLUCIAN SJAI RESTRTCCTONES
644 FOR Y =7 TO D:CtrS
645 z=0:FOR x=7 To D:z=z+F(x,Y)*(P*vEC(x,r)'A*w(x,4)
):NExr x
6 4 7 L O C A T E2 2 , 1 . ' P R J N ? S P A C E(S8 0 ) : L O C A T E2 2 , 7 : B I J ( y ) = f ( y , V A R S E
N % )/ D T N
6 4 8 Z = Z + B I J ( Y ) r Q : L O C A T El _ 0 |l " : p R r N ? Z I t t * 9 " , : z ( v 1 = 7 , 1 1 0 $ 1 I I , I A L ( Z *
DTN):'IF
(-.000I)<z(Y)
AND z(Y)<.0007 ffiEN Z(Y)=0
6 5 0 5 = 0 : F O R X = 7 T O D . . 5 = 5 + F( X , y ) * ( c ( 4 ) * V E C ( X , 7 ) - 2 * G ( 2 ) * W ( X , 4 )
)
: N E X X ; 5 = 5 + 8 f J ( V 1 * g ( 5 ) : L O C A f B 1 1, 7 : P R I N T S ; , , * O , ' : S ( Y ) = F N D E C
T M A L ( S * D T N:)' I F
( - . 0 0 0 1 ) < S ( Y ) A N D 5 ( Y ) < . 0 0 0 7 T H E NS ( v 1 = g
6 5 2 R = 0 ; F O R X = L T O D . . p = f t + F ( X , y ) * W ( X , 4 ) : N E X TX : L O C A T E7 2 , I : p R I
N T S P A C E $ ( A O ) : L O C A T7E2 , 7 : P R r N f R . . R fY ) = F N D E C I I L A L ( R * p y y( -t I ) ) :
6 5 5 P R I N ? i l P A R AL A F I L A ' , ; Y : P R I N T : G O S U B6 9 0
5 7 0 G O S U B2 5 : N E X T Y
6 7 5 C L S : L O C A T EI N T ( D / 2 ) + 7 , 7 ; P R I N ? , , X ( 0 ) = 1 / , , ; D $ ; t '
I
* t,:FORy-
T O D : L O C A T EY , 4 0 : G O S U B5 9 0 : N E X T Y : R E T U R N
6 8 0 f o R x % = 7 T o D : r N l ( x % ) = z ( x % ): r N 2 ( x % ) = s( x % ) : r N 3 ( x % ) = R ( x % ): N
EXT: RETURN
690 PRINT Z(Y);t'tt 0'
+ ',iS(Y);,, * 0 +u)R(Y):RETURN
- 336
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
3000 REI{ graba'en
tos
(obtenidos
disco
c o n f i T e n a m e = - l a b e - z $- l o s s : g u i e n t e s
con 7a opcion I
d.a
del menu principal)
( 0)
3005 .Lfil=CSR-L
IN : COL.=POS
3 o 7 o R E I ,I , I a t r i z
rniciaT
entera,
Iratriz
inversa,
de B, /g+aB/, g7rg2rgi,94,g5,g6,p,A,e,yectores
determinante
compJetos
3020 LocATE 20,10:PRTNT ncRABANDoDATos rNrcrALEs
y cALcwADo
srt
3030 OPEN,'trabajo.tes,,
F O R O U T P U TA S # l
3 0 3 5 P R [ N T l l 7 , L A B E L:$P R I N T # L , K S ; P R r t r T # LD,S
3 0 4 0 P R I N T # 7 , D : R E I " It a n a f i . o d e - l a m a t r i z
3050 REI{ graba 7a matriz
(B)
original
3 0 6 0 F o R x % = 7 r o D : F o R Y % = 7 T o D : P R T N T # I , D ( x % , Y % ) : N E X Ty % , x %
3 0 7 0 R E I 4g r a b a - l o s c o e f i c i e n t e s
de tita
3 0 8 0 F o R x % = l T o D : F o R Y % = r T o D : P R L N T . # I , H ( x % , y % ) : N E X yT% , x %
3090 REl{ 4hoza -la jnyersa
(B-1)
3 7 o o F o R x % = r r o D : F o R Y % = L T o D : P R r N T # 7 , F ( x % , y % ) : N E X Ty % , x %
3710 REI{ ahora 7a traspuesta
3 7 2 0 F O R x % = L r o D : F o R Y % = 7 r o D : P R T N T # 7 , T ( x % , y % ) : N E X Ty % , x %
3 7 3 0 P R I N P # I , D T N : R E I ' Id e t e r m i n a n t e
de B
3 7 4 0 P R I N T # 7 , R O ( L :) P R I N T # 7 , R O ( 2 ): P R I N T # 1 , R O ( 3 ) : R E r , r/ a + a B , /
3 1 5 0 R E I 4a h o r a L o s y e c t o r e s
g()
3 7 6 0 F O RX % = 7 T O 7 0 : P R I N T # 1 , c ( X % ) : N E X TX %
3 1 7 0 P R I N T # 7 , P : P R I N T # I , A : P R f N T # L , Q : R E IP4 , A g e
3180 REIf ahora fas
restri
ecuaciones componentes de r-a soLucion
sjn
cciones
3790 FOR Y%=7T
' O D : P R I N T # 7 ,Z ( Y % ): P R r N f # 1 , 5 ( Y % ): p R r N f # 1 . ,R ( y % ) t
NEXT Y%
3 7 9 7 ' ' F o R Y % = 7 T a D . :P R rN T #7 , v A ( v %) : P R T N T #
7 , v E ( v %) : p R r N T #r , v c ( y
-337-
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
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" ' % ) : P R I N T # 7 , V C P( v % ) : N E X T: P R I N T # 7 ,C O N S
: P R I N T # 7 ,V A R S E N %
3200 cLosE#7
t r , , r 0 L O C A T E2 0 , 7 0 : P R I N T "
3 2 7 5 L O C A T EL T N , C O L
3276 RETURN
3220 REI,I recupera
tos
j230
(obtenidos
R E I 4l { a t r i z
disco
con filename=-labef 5 -7.oss:gurentes
da
con 7a opcion 7 de| menu principal)
rniciaT
entera,
l,Iatriz
de B, /a+aB/,glrg2,g3,g4,g5,g5,P,Q,
determinante
vectores completos
',CAR?ANDO
DATOS INICIALES
3240 CLS:LOCATE 10,70:PRfil?
3250 OPEN"trabajo.
inversa,
"
t e s , , F O R I N P T J TA S # 1
3 2 5 5 L I N E I N P U T # 7 , L A B E L S : L I N EI N P U T # 7 , K $: L I N s
INPttT #7,D$
3 2 6 0 I N P U T # 7 , D : G O S U B7
i270 R&tf lee
La natriz
originaL
.(B)
3 2 8 0 F O RX % = 7 T O D : F O R Y % = 7 f O D : I N p U T # L , D ( X % , y % ) : N E X Ty % , X %
i 2 9 0 R E r Y- l e e
-Zos coeficientes
de tita
3 3 0 0 F o R x % = 7 . l o D : F o R Y % = 7 T o D : T N P I J T # 7 , H ( x % , Y % ) : N E XyT% , x %
3370 REI{ahora la
jnyersa
(B-7)
y%,x%
3 3 2 0 F o R x % = 7 T o D ; F O R Y % = 7r o D : T N P U T # 7 , F ( x % , Y % ) : N E X T
3 3 j 0 R E I 4a h o r a L a t r a s p u e s t a
3340 FoR x%=7 ro D:FOR Y%=r To D:raipurl-t,r(x%,Y%):NEXT y%,x%
3350 INPUT#7,DTN:REi/determinante
de B
3 3 6 0 I N P U T # 7 ,R O ( 7) : I N P U T # 7 ,R O (2 ) : I N P U T # 7 ,R O (3 ) : R E I { / B + a B , /
3370 R8l{ ahora -l,os yectores
g ()
3 3 8 0 F O R X % = 7 T O 7 0 : I N P U T # I , c ( X % ) : N E X TX %
I ,A
3 3 9 0 I N P U T # 7 , P : I N P t l T ' # 7 , A : I N P U T # 1 , Q : R E IP
i400 REI'f ahora Las ecuaciones
.9 e
componentes de La soTucion sjn
-338-
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Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
.
restricciones
3 4 7 0 F O R Y % = 7 T O D : I N P U T # 7 , 2 ( v % ): I N P U T # l , S ( y % ) : I N P t l T # 7 , R ( Y % ):
NEXT Y%
3 4 7 7 F O R Y % = 7 T o D : I N P ' U T I - 7 , V A ( Yt%
V )E ( Y % ) , v C ( Y % ) ,V C P ( Y %:)N E X T :
INPUT#7, CONS
: I NPUT#
7, VARSEN%
3420 CLOSE#I
34i0
C L S : L O C A T E7 , 2 5 : P R I N P" f R A B A J ) = " ; L A B E L $: R E f U R / V
5000 RElf menu principaT
6 0 6 0 } O S U B 3 2 2 0 : G O S U B2 0 0 : G O S U Bi 0 0 0 : G O S t l B 1 0 0 0 0
6 0 5 7 C L S : P R I N T ' t V u e l v oa l
70000
l{enu Principal
....":CHAIN
t'mainmenu
' TNT.ERVALO
PARA IAS RESfRICCTONES
7 0 0 1 0 P R I N T :P R f N f , k 7 = , , ; K $ : P R J N F
7 0 7 0 0 5 = 0 . . R = 0 t 5 = 0: T = 0
7 0 7 7 0 L I N E I N P U T " e B k / = " ; V B K S : V B K = V A(LW K $ ) : I F W K | = " F I N ' ,
OR VBKS="finn
PHEN REfURN
70180 LINE INPUT "e BK* ?- ";VBKP$:VBKP=VAL(VBKPS)
7 0 7 9 0 F O RX % = 7 T O D : P R I N T , , i A s u b h ( ' , r X % i , , ) ! = , , ; : L I N E f l v p U
T VAH$: VAH( x%1=Ya, ( VAII$) ; NEX?
7 0 2 7 0 P R I N T : P R - f N :f P R r N f u y f -
" iK$: PRfNf ;PRfNf
7 0 2 2 0 F O R Y % = L .T O D
7 0 2 3 0 5 = 5 + ( I N 7 ( Y % ) * v A H ( Y %))
7 0 2 4 0 R = R +( I N 2 ( Y % )* V A I I( Y % ))
7 0 2 5 0 T = T +( I N 3 ( Y % 1 * v A I(rY % ))
70260 NEXT
70270 Z=RO(7)*VBKP
7028'0 5=(S- ( (vax*Ra(7) )+(Ro(2)*wKp) ) )*(-I)
7 0 2 9 0 R = ( R - ( { v B K ' * R o ( 2 )) + ( R o ( 3 ) * w K P ) ) ) * ( - I )
7 0 3 0 0 T = ( T - ( R O( 3 ) * V B K )) * ( - l )
-339-
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
7 0 3 2 0 P R f I / f Z l n g ^ t + " i S i " g ^ 2 + " ' 1 R 1t t g + " ' T ' t ' > - O "
70340 ENTRADA=.7
'70390
(B^ 3 ) +5* (B^ 2 ) +R*B+T: TESTSI1NO%=o
DATOANT=2*
7O3gO FOR X=B TO (C+ENTRADA)STEP ENTRADA
7 0 4 0 0 D A T O N U E = Z( *X ^ j ) * g * ( X ^ 2 ) + R * X + T
(DATOANT
70410 rE sGN(DATONUE)<>sGN
) nHEN rESrSIGNO%=TESTST?NO
%+TtGOSUB
11000
70420 DATOANT=DATONUE
70430 NEXT
70440 -fF ?ES?SIGNO%=O
fHE'N PRfNf "NO HAY CA]LBIADE SIcNO',..pRf
N T D A T O N U E : G O T 7O0 4 6 0
70450 FOR X%=(TESTSICNO%+7)fO 3rPRrN? UNO HAY rtfAs CA:YBIOS".-N
EXT
70460 '
70470 TNEXT
1 0 4 8 0 G O T OT T O O O
77000'
intervaTos
a entrada/70
'LIN=CSRLIN : COL=POS
( 0 ) :LOCATE 23 , 50..PR.riVf,,Recorriendo
l7O0I
K
7 a 0.07":LOCATE LfN,COL
( X-ENTRADA):DATOANT2=Z*( INFERIOR^3 ) +S* ( INFERI?
77005 TNT'ER.IOR=
R^ 2 ) +R*.rNFERIOR+T
77070 rOR |4INII4OSALTO=INFERTOR.TO
X STEP (ENTRADA/10)
17020 DAT)NUE2=Z*(ltrNrIIOSALT?^3 ) +s* (r4rNrr4osALfo^2 ) +R*r4rNIr4OsA
LTO+T
770i0 fF ^SGN(DATONUE2)<>SGN(DATOANT2)
THEN PRINT 'th (g)
ant=n
( ENTRADA
; DATOANT2," 0 ant= " ; ( I4INI-I{OSALTO/ 10 ) ) ..pRJN?:pRrNr
( g)
post="'lDATONUE2, -',O',"post=n ; I4INIIflOSALTO..
PRJIV?.-
77OJ5 DATOANT2=DATONUE2
-340-
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nh
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
77040 NEXT
77050 REfURN
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Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
0
' fase2.bas
Por Lo7a, Sergio g-SaLva, lgga
2 KE Y o F F:cL S :D E C rt{=4
( x) = ( znr ( ( x+. 0000s) * ( r 0^ D E
:DEF FND9cr uaz
c I I [ ) ) ) / ( I1 ^ D E C III):F OR X%=7TO g:KEy X%,"' t : NEXT:KEy70, "FIN" +C
E R S ( 7 3 ) : G o r o5 0 0 0
7 DIILD$(D,D),D(O,O1, M(D,D),F(D,D),7(D,D),W(D,70),A(D),VEC(
D , 7 0) , V ( 7 0) , G( 7 O) , C(D) , H (D , D) , r r r A r T ( D) , T r r A r 2 (D) , T r r A r T 2( D) ,
T I T A I O ( D) , V A( D ) , V C( D ) I V C P( D) ' V E( D) , C O E F( D ) , I N 7 ( D ) , I N 2 ( D) , I N 3 (
D ) , M A T I t ( D , D ) , I ' I A T B P ( D , D ), I L A T X ( D , D ), I " I A T V ( D , D ), t I A T V l ( D , D ) , I I A T W ( D
,D)
8 D I I I L I I ( D , D ) , N I ( . p ,p ) , F I ( D , D ) , R E S T( D) , T 7 ( D , 4 ) , V A L O R ( D 5, ) , p O L (
D' 6)
T8 RETURN
25 LIN=CSRIIN; coL=poS(0) :LoCArE 25,50:pRINT,,pulse
una tecla',:
WIIILE fN/(EY$= " n 'WEND:LOCATELIN, COL:RErURIV
i220
tos
R E I , Ir e c u p e r a d i s c o
(obtenidos
3230 REI{ I4atriz
con f ilename=rabeLg Los siguientes
con 7a opcion
rniciai
d.a
I deL menu principal)
entera,
Iratriz
inversa,
de B, /B+aB/rgTrg2rgi rg4,g5,g6rprQ,vectores
determinante
.
compJetos
3240 CLS:LOCATE 70, 7Q..PRrNf ',CARGANDO
DATOS ELABORADOS,'
3250 OPEN "trabajo.tes
', FOR INPUT A5/-1
3 2 5 5 L I N E I N P U ?# 7 , L A B E L $: L I N E T N P U T # 7 , K 9 : L I N E I N P T J T# 7 , D 5
3 2 5 0 I N P U T # 7 , D: G O S \ J B7
3270 REI{7ee
7a matriz
(B)
originaT
3 2 8 0 F A R X % = l - T O D : F O R Y % = 7 T O D ; I N P U T # I , D ( X % , y % ) : N E X Ty % , X %
3290 RErrflee
-los coeficientes
de tita
3 3 0 0 F O R X % = I T O D . . F O RY % = L T O D : I N P U T # I , H ( X % , y % ): N E X T y % , X %
3 3 1 0 R E I {a h o r a 7 a i n v e r s a
(a-t)
3 3 2 0 F O R X % = 7 'T A D : F A R Y % = 7 T O D : I N P U T # I , F ( X % , y % ) : N E X Ty % , X %
- 342
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3330 REM ahora l-a traspuesta
3 3 4 0 F O R X % = 7 f O D . . F O RY % = 7 T O D : I N P U T # 7 , T ( X % , Y % ) : N E X Ty % , X %
3 3 5 0 I N P U T # 7 , D T N : R E | 4d e t e r m i n a n t e
de B
I
3360 INPUT#7, ROL: INPUT#J.,RO2: INP\IT#7, RO3: REI4/B+eB , /
3370 REI{ ahora los
vectores
go
i 3 8 0 t O R X % = 7 T O 7 0 : I N P U T # I , c ( X % ) : N E X TX %
3 3 9 0 I N P U T # I , P : T N P U T# 7 , A : I N P U T # I , Q : R E I f P , A g Q
3400 REI{ ahora fas
ecuacjones componentes de l-a sorucion
sin
restricciones
3 4 7 0 F o R Y % = 7 r o D : r N P u r H T , z ( Y % ): T N P U T # l , s ( Y % ): T N P U T # 7 , R ( Y %:)
NEXT Y%
3 4 7 7 F o R Y % = 7 T o D : T N P \ J T # L , v A ( v % ) , v E ( Y % )v,c ( v % ) , v c P ( Y % ): N E X T :
INPUT#7, CONS:INPUT#7, VARSEN%
i420
cLosg#l
3 4 3 0 C L S: L O C A T E 7 , 2 5 : P R I N P " T R A B A J 7= ' , ; L A B E L $: R E f U R N
5OOO 'trTENUPRINCIPAL
5 0 2 0 G O S U B3 2 2 0 : C L S: L O C A T E 7 , 3 0 : P R I N T , T T M B A J O =;,L' A B E L g: G O S T I B
8 000 : CHAIN nI'IAINI{ENU.AAS
S O O O , C A L C U L OD E I N V E R S AD E ( A + O B , )
8 0 0 5 F O RX % = 7 f O D : F O R Y % = 7T O D : I , I A T , \ I ( X % , y % ) - 0 : M A T V 7 ( X % , y % ) = 0
:I'IATV( x%, Y%)=g : NEXT:NEyT
8 0 1 0 F O RX % = I f O D : F O R y % = l T O D : r I A T r , r ( X . % , y % ) = ( V E ( X % ) * V E ( y % ) * c
( 7 ) ) + (vA ( X%) *vA ( Y%)*G ( 3 ) ) : NEXr: NErT
8 0 2 0 F o R x % = 7 T o D ; F O R Y % = 7 T o D : I ' I A T B P ( x % , y % ) = ( v A ( x z S* y u ( y % ) )
+ ( VE( x%) *VA ( Y%)) : NEXT: NEKT
8 0 3 0 F o R x % = 7 r o D : F o R Y % = 7 T o D : I " I A T X ( x % t Y % ) = 6 ( 2*) I 4 A T B P ( x " a , y %
) -IIATI'I( x%, Y%) : NEXT: NEXT
8040 FORX%=7 fO D:FOR Y%=7TO D:FOR Z%=L TO D:I'IATV7(X%,y%)=U
-
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Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
ATVI ( I&, Y%)+F ( X%, ZX; *74Ur"P( Z%,Y%): NEXT;NEXS: NgXr
8050 FoR x%=7 To D:FoR Y%=L To D:FoR z%=7 To. D:r'IATV(x%ty%)=ya
( X%,Z%)*7'( Z%,y%) : NEXT: NEXr ; NEXT
TV ( X%,y%)+I,IATVL
8055 fOR X%=7 TO D:FOR Y%=l TO D:IIATVT(X%,Y%)=0:NEXT:NEXT
8060 FoR x%=7 To D:F)R Y?s=rTo D:FOR z%=L ro D:I'IATVT(x%,y%)=M
ATVI ( X%,Y%)+F ( X%,Z%1*yUr* ( Z%,Y%): NEXT: NEXT: NEXT
8070 faR x%=7 ro D:F2R Y%=L To D:F2R z%=7 To D:I'IAWI(x%,y%)=ya
rw( x%, y%) +I{ATVL( X%,Z%)*f ( Z%,y%) : NEXT: NEXT: NEXT
8 0 8 0 P R I N T ,(' B + 0 B , ) ^
(-1)
=
2 +t'
i F N D E C I \ ' L A L ( 2 * G ( 2*) D y y l r r *
1 /
',;FNDECIIIAL(A*DTN1
;,,*
0 +,, iFNDECII"\AL(DTN
; ")
e
pOR LA
I,IATRIZ
8 0 8 7 P R T N ? : F R I I v r ; F O RX % = ] -T o D : F o R Y % = 7 T o D : P R I N T ' ' E L E I 4 E N T 7 ' ' ;
x%i"rt';Y%r"
"'
( ( E*T (N%,Y%).I4ATW( X%,Y"4)) *DTN) : NI ( X%,
8O9O TII ( X%,Y%)-FNDECTTTAL
Y%)=pNpsCnIAL ( ( 2 *G ( 2 ) *Y ( x%, Y%)-I4ATV( x%, y%) ) * DTN) : F I ( X%,Y%) =ytp
DECII{AL( f ( X%, Y%1 *D'yil
8 0 9 7 P R J N r I { f ( X % , Y % ) i " * 0 ' + " 1 N I ( X % r Y % ;)" *
0 +"ifI(X%rY%)
8700 NEXf:NEXf
8 7 7 0 G O S U B2 5 :
8720 'CALC.ULODE D (CASO DE 7 RESTRICCTON)
8727 KEY ON:KEY OFF:PRIN? ,'INTROD|JZCACONSTANTE
DE LA RESTRIC
CION";:INPUT
CONRES$
( CONRES
87 2 2 CONRES=VAL
$)
8730 FOR X%=7 TO D:PRINT,'INTRODUZCALA,,;X%;,'e COAPONENTE
DE L
A RE'STRJCCION"
; : INPUT RESP(X%) :NEXT
8740 P7=0:P2=0:P3=0:FOR X%=7 TO D:FOR Y%=7 TO D..p-l=pl,+REST(X%
) * ( REST( Y%) *v7 ( x%, Y%) ) : P2=P2+RESf( x%) * ( RES1( y%) * uz ( x%, Y%)) : P 3
= P } + R E S T ( X Z *1 ( R E S T ( v Z 1* v 7 r x % , Y % ) : N E X T : N E r T
344
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
\.
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
8 7 4s INPUT t'valor
de BK * t , ; I / 8 K p
tt;P71n*
8 1 5 0 PRJN?;PRTNf : PRINT,'
0t
+t'1P21tr/r Q +tt;P3
--------
8 7 6 0 PRINTNI'IATRIZ D=
":PRfIVf
';D$
8170 PRINT: PR.rArf.'
8780 PRINT',
t';D$
8797 PRINT"
uiP7ln*
0'
*'t1P)1tr*
g +niP3
82OO ' CALCWO DE LANDA PARA .I RESrRr CCION
8 2 0 5 F A R X % = 0 T O D ; . F O RY % = 0 T O 6 : V A L O R ( X % , y % ) = 0 : N E X T : N E X T : F O R
X % = 7 T O D : F O R Y % = 7T O 4 : T 7 ( X % , Y % ) = 6 : N E X T : N E X T
8 2 7 0 Q 0 = 0: Q 7 = 0: Q 2 = 0: Q 3 = 0: F O R X % = 7 T O D : Q 7 = e t + ( R E S T ( X %*)Z ( X X 1I
: Q2=Q2+( REST( xZ 1 * 5 ( XZI 1 : Q3=Qj+ ( REST( X%) * R ( x%) ) : NEXT: e7=et- ( CO
tA * DTN) - ( 2 * c ( 2 ) * ytyls* VBKP) : e2=e2 - ( COlvRgS* 2 * c ( Z * DTN - ( p rtt *
AIR.ES
)
)
V3KP) : Q3=Qj' ( CONRES*DTN
)
8275 Q0=-(A*DTN*WKP)
nQ)i"g^3
8 2 2 0 PRrNr.' PRI/V?; PRI NT,,
+"lQfln*
g'tttlQ2ltt*
+ " i Q 3: P R I N T " L A N D A
( Q) =
ttiPIltt*
0'*',
1P21tt*
O
": PRfAr?
g +,t;P3
83OO 'CALCWO DE SOLUCION PARA] RESTRTCCION
g 3 j A F O R X % = t T O D : T I ( X % ,t ) = p I * V C p ( x X 1+ ( R E S T ( X % *) e 0 ) : T I ( X % ,2
)
-P 7 * VC y7 +P2 * VCP( X% +RES?( X% *
1 )
)
) Ql : TI ( X%, 3 ) =P 2 * VC( x%) +p 3 * VCp ( X
%) +RESr ( X%)*Q2 : T7 ( X%,4 ) =p3 *VC( X%)+REST( X%)*Q3 : NEXT
8i20
F o R x % = 7 T o D ; F O R Y % = L T o D : V A L O R ( x % , 7) = v A L o R ( x % , r ) + u t ( x
% , Y % ) * T 7 ( X % , 1 f: W E X f - : N E X T : F OXR% = 7 T O D : F O R y % = J -T O D : V A L O R ( X %
, 2 ) =VALOR( x%, 2 ) +I4I ( x%, y%) * f L ( y%| 2 ) +NI ( x%, y%),tTl ( y%, I ) : NEXT: NE
XT
8 3 2 7 F o R x % = 7 T o D ; F O R Y % = 7T o D : v A L o R ( x % t 3 ) = v A L o R ( x % r 3 ) + I ' f f ( x
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Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
'
%, Y%1'*T7( Y%,3 ) +Nr ( X%,y%) *Tl, ( y%, 2 ) +FI ( X%,y%) *T7 ( y%, I ) : NEXT: NEX
T
8 3 2 2 F O R X % = 1 .T O D ; F O R Y % = 1 T O D : V A L O R ( X % , 4 ) = V A - L O R ( X % , 4 ) + t i l ( X
%, y%) *T7 ( y%, 4 ) +Nr ( x%, y%) *T7 ( y%, 3 ) +Fr ( x%, y%) *T7 ( y%, 2 ) : NEXT: NEX
T
8 3 2 3 P O R X % = 7 T O D : F O R Y % = 7T O D : V A L O R ( X % , 5 ) = V A L O R ( X % , 5 ) + N I ( X
?6,Y%)*T7 ( y%, 4 ) +FI ( X%,y%) *T7 ( y26,3 ) : NEXT: NEXT: F'ORX%=7 TO D:FOR
Y%=7 TO D : VALOR(X%,6 ) =VALOR(X%,6 ) +TI ( X%,Y%1*'71 (Y%,4 ) : NEXT: NE
XT
8 3 5 0 P R f N f : P R J N f ; P R f / V f f A B ( 3 6 ) ' " 7 t ' . ' P R J N ?" X 5 7 ( e 1 = -
("iP7;'*
e'+u1P21rt*
0 +'t;P3i")
* (',|A*DTN.,'* e'*,'i2*G(2)*DT
N 1 I I * E + ' ' ; D T N ; " ) ' ' : P R I N T : P R I N T T A 8( 2 0 ) ; I ' P O RL A I ' I A T R I Z N
8351 PRINT
8 3 5 2 F O R X % = 7 T O D : P R I N T " E L E I 4 E N T O , ' , \ X o={ ; ' , , , ; V A L O R ( i ?r t ) i , , * e
^
^
5 +";vALoR(x%,2); n* o
4 + " ; v A L o R ( x % ,3 ) i " * 0 ^ 3 + " ; v A L o R
( x % , 4 ) ; " * g n 2 + t ' ; v A L o R ( x % ,5 ) ; n * g . + , ,i v A L o R ( x % , 6 ' ): N E X T
8360
'CALCWO DE DIVISION POLINOItICA
8370 FOR Y%=7 TO D
8i80 FORX%=7 TO 5
8 3 9 0 I F X % = 7 T H E NP O L ( Y % , X % ) = y L t r g R ( Y % , X % ) / R O L : G O
T 7O0
84
84 00 PAL ( Y%,iZ1 = ( VALOR( y%, X%) - ( pOL ( y%, X%-2 ) * RO3) - ( pOL ( y%, X%-L
)*RO2))/aOt
IV ( 7 ) =0 : RESD
8 4 70 NEXT: RESD
IV ( 2 ) =0 : RESDIV ( 7 ) =y17AR( y%, 5 ) - POL( Y
% , 3 ) * R O 3 -( P O L ( Y % , 4 )* R O 2 )
8 4 2 0 R E S D I V( 2 ) = V A L O ? ( v % ,6 ) ' ( P O L( Y % ,4 ) * R O 3)
84iO
'fOR -X%=7"TO 4;PRJNf POL(Y%,X%) : NEXT:PRfN?: PRINT
;
"S|IPIJE
STOS RES?OS='t ; RESDIV( I ), RESDIV( )
- 346
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
8440 NEXT Y%
8450 PRfIVf :PRJNf .'QOSUB25
8460 CLS:PRINT"
57(6)=
7":PRINT"X
a
( ";P7; u* e'
N. PRINT"
+ t '1 P 2 I t t * 0 + ' , ; P 3 ; , , ) t , . . P R ; M . . P R J
NT TAB( 20) ; "POR LA ILATRIZ"
8467 PRrNr
8 4 6 2 F O R X % = 1 ,T O D ; . F O RY % = 7 T O 4 : P O L( X % , Y % ) = p 6 (t rX % , Y % *) ( - I ) : N
EXT :NEXT
8 4 7 0 F O R X % = 7 f O D ; p R f N f ' , E t r E I , I E N T O ' , ; X %=1 ' , , , ; p O L ( X % , 1 )i , , *
3 +";POL(X%r2);"*
0
^
O
2 +t,;POL(X%,3);,'* e +n;POL(XZra)tNEXT
8480cosuB 25
8485 INPUT "1EXTREI{OINFERIOR DE K',iB
.
8 . 4 8 6 - I N P U f " 1 E X T R E I I OS U P E R J O RD E K , , i C
8 4 9 0 P R r I v f " I N T R O D U Z C AC O N S T A N PDEE L A R E S T R I C C I O N ' t ; : I N P U TC O
NRESS:fF CONRES$="FfN" OR CONRES$="fin" I]IIEN RErURN
( CONRES
8 500 CONRES=VAL
S)
'
8570 FOR X%=7 TO D
AO E F I C I i l V T E S
8 5 2 0 P R I N P I I N T R O D U Z CC
" i X % i: I N P U T C O E F ( X Z 1, N E X T
gS25 INpUf
t,Bk *tt;VBKp
8 5 3 0 C l =O:C 2 =0:C 3 =0:C 4 =0:FOR X%=7TO D :C2=C2+COEF
( X%)*pOL( X % ,
2)
(x%)*PoL( x%,3 )
8540 c,3=c3+coEF
( X%)*pOL( X%,4 ) :CL=C7+COEF
( XZ1*pO" ( X%,I ) : NEXT
8550 CA=C4+COEF
8 5 6 0 C 2 = C 2 (+- p l * c o u a g S ) + ( - w x p * p 7 ) : c 2 = c 2 * ( _ 7 )
) (-lrf.KP*P3 :Cj=Cj*
8 5 7 0 C 3 = C 3 + ( - P 2 , I C O N R E S+
)
8 5 7 5 c 7 = c t + ( - w x p * p L ) : c 7 = c 7 *( - 1 )
8 5 8 0 C 4 = C 4 +( * P 3 * C O N R E S ): C 4 = C 4 * ( - I )
34-7 Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
(-7 )
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
8590 PRfNf C7;"*
e.^3 +t'yQ)1"* 0' +"1C31n* Q +";C4i"
> 0"
7034A ENfRADA=.1.
7 0 3 8 0 D A T O A N T = C L( B
* ^ 3 ) + C 2 * ( B ^ 2 ) + C 3* B + C 4: T E S T S I G N O % = O
I O J 7 O F O R X = B T O ( C + E N T R A D A )S T E P E N T R A D A
7 0 4 0 0 D A T O N T J E = 3(1X*^ 3 ) + C 2 * ( X ^ 2 ) + C 3 * X + C 4
10470 IF
(DATOANT) THEN TESTSI?NO%=TESTSI?NO
SGN(DATONUE)<>SGIV
%+7:GOSUB
77000
70420 DATOANT=DATONUE
70430 NEXT
70440 IF
TESTSIGNO%=0IHEN PRIN? ,,NOEAY CAILBIODE SIGNO":pRr
N T D A T A N U E : G ) T O1 0 4 6 0
10450 FOR X%=(TESTSIGNO%+7)fO 3;PRfN? "NA HAy I'IAS CAMBIOSn:N
EXT
70450 '
7 0 4 8 0 P R J N f: P R f l f ? : G O T O 8 4 9 0
77000,
interva-Ios a entrada/70
7 7 0 0 5 T N F E R I O R(=X - E N T M D A ): D A T O A N T 2 = C 7( *t N F E R T O R3^) + C 2 * ( r N F E R
.
IOR^2)+C3*INFERIAR+C4
77070 FAR I,IINII$OSALTO=INFERIOR
TO X STEP (EWTRAPA/IO1
77020 DATONUE2=CI*(IIINII{OSALTO^3)+C2*(I4INII,,IOSALTO^2)+C3*I4INII,I
OSALTO+c4
77030 rI' sGN(peronunz)<>scN(DAT)ANT2)
; D A T O A N T Z", 0
THEN pRrNr "h (g)
drTt=tt
a n t = " ; ( I | I N I I , I O S A L T O( -E N T R A D A ' / 1 0 ):JP R f N f . - P R f N ? , , 1 h
( 0) post= " ;DATON|JE2, "0 post= t';I(INII'IOSALPO;
PRfNf :
7703 5 DATOANT2=DATONUE2
77040 NEXT
77050 RETURN
- 348
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
7 ,
FASE3.AAS
2,
I4AYO-88
3 ,
Por SaLva, Sergio
& Lola
4t
5 C O L O R7 5 r 7 , 7 : K E Y O F F : C L S
6 K E y O F F: C L S: D E C r M = 2: D E F F N D E C I T T (AXL) = ( I N T ( ( x + . 0 0 5 ) * ( t 0 ^ D E C I
I I ) ) ) / ( 7 0 ^ D E C I I 4 :)D I I t D M D E N D O ( 7 ) , D M S O R ( 7 ) , C O C I E N T E ( 7 ) , R E S T O
(7):GoTo 5OO0
7 DrI[ D$(D,D),D(D,D),
M(D,D),F(D,D),T(D,D),W(D,70),A(D),VEC(
D , 7 0 ) , V ( 7 0 ) , G ( 1 0 ) , C ( D ) , H ( D , 3 ) , T r T A r T ( D ) , T r T A r 2 ( D) , T r r A r T 2 ( D ) ,
TrTAr0(D),VA(D),VC(D),VCp(D),VE(D),.COEF(D),rN7(D),rN2(D),rNi(
D ) , I 4 A T I 4 ( D , D,)I 4 A T B P ( D , D,)| 4 A T X ( D , D ,) I L A T V ( D , D t) N A T V T ( D , D ), I ' I A W I ( D
,D)
( j , O1 , t r I ( D , 4 ) , V A L O RD( , 7 ) , p O
8 D r I { I 4 r ( D , D ) , N r ( D , D) , F I ( D , D) , R E S T
L ( D , 7 ) , Q ( 3 , 3 ) , L ( 3 , 7) , E L E I { (3 , 3 , 5 )
T8 RE?URN
2 5 L I N = C S R t r f N :C O L = P O(S0 ) : L O C A T E 2 5 , 5 0 : P R I N T t ' P u l s e u n a t e c I a , , :
WHILE
450
f NI(EY$='r x .'tfEND: L OCATE L I N, COtr; REf URN
'CALCWO DIVISION POLINOI,TICACON SU RESTO
457 ERASE DMDENDO;8RASE DMSOR;ERASE COCIENTE;ERASERESTO:
NTER]T%=D
I VI D - DI VI S +7 : DII4 DI VIDENDO( ]. O+DI VID + I ), DI VI S OR( 7 O+DI V
( 7 ? + D I V I D +7 ) : R E r U R N :.
I D + l ) , C O C I E N ? (E7 0 + D M D + 7 ) , R E S T O
460 FOR K%=7 TO NTERM?6
4 6 7 I F K % = I T H E N j O C I E N T E ( x Z 1 = p T v t o E N D O ( 7/)D I V I S O R ( 1 ) : G O T O 4 6
3
4 6 2 cocIENrE ( x%) = ( DIVIDEND) ( K%) - ( C)?IENTE ( K%-2 ) *DIVI SaR( 3 ) ) - (
cocrENTE (K%-I ) *DTVTSOR(2 ) ) ) /DTVTSOR(I )
463 NEXT
-349-
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
"
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
4 7 0 F L A G D I V % = 0 : F O RK % = 7 T O D M D + ] ; f N ? E R = O : F O R
'ER=IilTER-COCIENTE (L%) *DMSOR
L%=7 TO K%;.Il/?
( K%-L%+7 ) : NEXT L% : RESTO(K%) =FNDE
C I I ' I A L( D M D E N D O ( K % ) + I N T E R ) : N E X ? K %
480
FOR K%=NTERI4%+7TO DIVID+I:IF
RESTO(K%)<>O THEN FLAGDIW=
7:BEEP:BEEP:
487 PRIN?
"RESTO";K%;
tt="
lREST?(K%):NEXT K%
485 PRTN?
486
RETURN
490 fOR K%=I TO 5:POL(X%,K%)=7(X%,K%):NEXT
499 RETURN
j220
tos
i230
R E I ' Ir e c u p e r a d i s c o
(obtenidos
R E I {I [ a t r i z
con fiTename=labeJ-$ Los siguientes
con 7a opcion
Inicial-
da
7 de7 menu principal)
entera,
ILatriz
inversa,
de B, /B+691,g7,g2rgjrg4rg5,g6,PrQ,ve.cto.ces
determinante
compJetos
3240 CLS:LOCATE 10,7.0;PRJIV? "CARGANDO
DATOS ELABORADOST'
3 2 5 0 O P E f i I" t r a b a j o . t e s "
F O R I N P I T A S /1
i 2 5 5 L I N E ' I N P U T # 7 , L A B E L:$L I N E I N P U T # 1 , K $: L I N E I N P U T # 7 , D $
3 2 6 0 I N P U T # I , D : G O S | B7
3 2 7 0 R E r r f- l e e
7a matriz
originaT
(Bi
3 2 8 0 F O R X % = 7 T O D : f O R Y % = 7 T O D : I N P U T # I , D ( X % , Y % :) N E X T Y , A , X %
3290 RE'14
lee
7os coef icientes
de tita
i 3 0 0 . ' f O R X % = 7 T O D : F O R Y % = L T O D : I N P U T # 7 , H ( X % , Y % ) : N E X TY % , X %
i370 RElt ahora ]a
3i20
inversa
(B-1)
F O R X % = 7 T O D : F O R Y % = L T O D : I N P U T # I , F ( X % , Y % ): N E X T y % t X %
3330 REI{ahora la
traspuesta
3 3 4 0 F O R X % = 7 f O D : F O R Y % = 7 f O D : I N P U T # 7 , T ( X % , Y %:)N E X T Y % , X %
3 i 5 0 I N P U T # 7 , D T N : R E I {d e t e r m i n a n t e
de B
, O 2 I: N P U T # 7 , R O 3 . ' R E //i B
3 3 6 0 I N P U f# 7 , R O L :I N P T J T # I R
{ +&B' /
3s0 Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
go
3370 REI,Iahora -Zos vectores
3 3 8 0 F O RX % = 7 T O 1 0 : I N P U T # I , c ( X % ) : N E X T X %
3 3 9 0 I N P U T # 7 , P : I N P U T# 7 , A : I N P U T # I , Q : R E I " P
I ,A
SAOTO
REI4 ahora las
restri
ecuaciones
A Q
componentes de 7a sofucion
sin
cciones
3 4 7 0 F O R Y % = 7 T A D : I N P U T # 7 ,Z ( Y % ): I N P T J T # 7S, ( y % ) : I N P U T # 7 ,R ( Y % ) :
NEXT Y%
3 4 1 7 F O R Y % = 7 T O D : I N P U T # 7 , V A ( Y % ) , V E ( Y % ) , V C ( Y % ) , V C P ( Y: %
) X T:
NE
INPUT#7, CONS:fNPU?#l , VARSEN%
i420 1LOSE#7
3 4 3 0 C L S: L O C A T E 7 , 2 5 : P R I N T " T n a B a l O = t ' ; L A B E L S ; R E f U R N
SOOO 'T,TENU
PRTNCIPAL
5 0 2 0 GOSUB 3 2 2 0.' CIs : LOCATE l, | 3 0 : PRI NT t'TRABAJO=',; LABEL g : GOSUB
8000.'Cr.S.'PR-INf "Vuefvo aL meni principal.
. . . ,,:CHAIN ,ttqAINI4ENtl
8 0 0 0 ' C A L C U L OD E I N V E R S AD E ( B + g B , )
S O O SF O RX % = 7 f O D : F O R Y % = 7 T O D : I , I A T W ( X % r Y % ) = Q : I , I A T V 7 ( X % , Y % ) = O
: I{ATV( X%r Y%) =9 : NEXT: NEXT
9070 FoR X%=7 TO D:FOR y%=t TO D:t4ATr{(X%,y%)=(VE(XZ1*yU(VX1*6
( 1 ) ) + ( V A (x % ) * V A ( y % ) * c ( 3 ) ) : N E X T: N E r T
8020 FORX
. % = 7 T O D : F O R Y % = l T O D : I , I A T B P ( - X % , y % ) = ( V A ( X Z 1 * y U ( )Y % )
+ (VE ( xX1 *Yu ( vX) ) : NEXT: NEXr
8030 FOR X%=7 TO D;FOR y%=7 TO D:|4ATX(X%ry%)=c(2)*I4ATB?(X%,y%
(X%, Y%): NEXT: NEXT
) -I4ATI4
8040 FORX%=7 fO D:fOR Y%=7TO D:FOR Z%=7 fO D:I'IATV7(X%.y%)=U
ATVT( X%,Y%)+F ( X%,Z%)*yAvtP ( Z%,Y%): NEXT: NEXT: NEXT
8050 FORX%=7 TO D;FOR Y%=I TO D:FOR Z%=1 TA D:I,LATV(X%rY%)=I4A
TV ( x%, y%)+ILATV7( x%, z%) *F ( z%, y%) : NEXT: NEXT: NExr'
8 0 5 5 F O RX % = l - T O D : F O R Y % = 7 T O D : \ ' I A T V 7 ( X % , Y % ) = ' 0 : N E X T : N E X T
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Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
. 8 0 6 0 F O R X % = 7 T O . . D : F O RY % = 7 T O D : F O R Z % = 7 T O D : I L A T V L ( X % , Y % ) = U
ATVT( X%,Y%)+F ( X%,Z%)*ytrrf ( Z%,Y%): NEXT: NEXT: NEXT
8070 FOR X%=7 TO D:FOR Y%=7 TO DrFOR Z%=7 TO D:\'IATW(X%,Y%.)=I'IA
TW( X%,Y%)+I,IATVI( x%, Z%),tF( Z%,Y%): NEXT: NEXT: NEXT
8 O 8 OP R I N T " ( B + 0 B ' ) ^
(-1)
=
*G(2)*DTN.n* g +',IDTN1,, pOR LA
1 /
t'rINT(A,IDTN);tt*e'
*";2
I4ATRIZr
8081 FOR X%=7 TO D:FOR Y%=7 TO D:PRINT"ELEI"IENTO"iX%
" ,; " ; Y % ; "
,,;
8 09 0 r4I ( X%, Y%) =7 1199C
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gCI I'IAL( ( 2 * G( 2 ) * F ( x%, Y%) - ILATV( x%, y%) ) * DTN) : F I ( x%, Y%) =p 17
Y%) =p 11p
DECTI'IAL( F ( X%, Y%) * p',Pr'
8 0 9 7 P R f i l ? L I I ( X % , Y % ) ; " * 0 ' + " 1 N I ( X % r Y % ,1" *
0 +"iFI(X%,Y%)
8100 NEXT:NEXT
8 7 7 0 G O S U B2 5 :
8720 ''CALCULODE D (CASO DE 2 RESTRICCIONES)
8727 FOR X%=7 fO 2:PR-IrV? ,'INTRODUZCACOdSfANfE DE LA"iX%i,'RES
T R I C C I O N " ; : I N P U T C O N R E S S : I FC O N R E S $ = " F I N "O R C O N R E S $ = ,i'nf , ' T H
EN RETURN
( xX 1 =Y1" ( 3ONRES
87 2 2 CONRES
S)
8734 FOR Y%=7 TO D:PRfNf"f NTRADUZCALA,,iY%;,te COI{PONENTE
DE L
A " ; X % ; " R E S T R I C C I O N;" : I N P U T R E S f ( X % , Y % )
8737 ArEX?:NEXT
8 7 3 9 p 7 = 0 : p 2 = 0 : p 3 = O: T l _ = 0: T 2 = 0: T 3 = 0 . . 5 f = 0: s 2 = 0 : s j = o
8 7 4 0 F O RX % = L T O D ; . F o R y % = 7 T O D ; p - l = p L + R E S T ( 7 , x % ) * ( R E S r ( I , y % )
p2=P2+RE5r( I , X%)* ( AEST( I , y%) *NI ( X%,y%)) :p3=pJ+RES
:MI ( X%,Y%)) t
T ( 7, x%) * (RESf ( 7 | Y%)*FI ( x%, Y%)) :NEX?.'NEXT
9 1 4 7 " - F O RX % = 7 T O D ; F O R y % = 7 T O . D : T 7 - = T . I r R E S(T2 , X % 1* ( R E S T( 1 , y % )
*I4I ( X%,Y%) )'i T2iT2+ REST( 2, X%) * ( RES?( 7, Y%) * NI ( X%,Y%) ) : T3-T3 + RES
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Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
T( 2, X%) * ( REST( 7, v%) *FI (X%,Y%)) ; NEXT: NEXT
'TO
D ; S - ] = S -+ZR E S T( 2 , X % 1 *( R E S T( 2 , y % )
8742 FORX%=t TO D:FOR y%=L
*MI ( Y%,X%)) : S 2=5 2+REST( 2, X%) * ( REST( 2, y%) * NI ( y%,X%) ) ; 53=53+RE5
T ( 2, X%) * ( REST( 2 , Y%)*FI ( Y%,X%)) :.NEXT:NEXT
8 7 4 9 PRf N; PRJNf : Pl =FNDECII4AL( P7) : P 2=FNDECIILAL( P 2 ) : P3 =F NDECII4
( 12 ) : T3=FNDECII,IAL
( ri ) : 57=
AL ( P3) : T7=FNDECII4AL( T7 ) : T2=FNDECIILAL
( 52 ) : S3=FNDECII'IAL
( Si )
f NDECII'IAL( SI ) : S2=FNDECII'IAL
8 7 5 0 C L S: L O C A T E7 , 7 5 : P R I N T n 7 "
' t : L O C A T E3 , 4 :
8 7 6 0 L O C A T E2 , 1 : P R I N T " D =
PRINT D$
8 7 6 7 P R - f N f ; P R f N f . ' P R . r N ?" E L E I I E N T O7 , 7 = " i
PIltt*
e'+"1pt1"*
e
+t';P3
7r2 =ttllf ltt* 0" +"1T21tt* O +u;73
8162 PRfNf "ELEI{ENTO
8 7 6 3 P R I N f " E I E I I E N P O2 r I - " i T 7 ; n *
0'+"1721't*
0 +nif3
8 . 7 6 4 P R I N T I E L E I f E N T2
Or 2 = ' i S I ;
"
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+";52;,"*
0 +n;Sj
gJ75 fOR X%=L rO 5 :Et(x%)=0:NEXf:HI(t1=(pl'tst/-
(TI^2 ) :HI( 2)=(
p 2 * S t ) + ( p 7 * 5 2 ) - ( 2 * T j - * y l ) : H t ( 3 ) = ( p t , t S 3) + ( p 2 * 5 2 ) + ( p j * S t ) - ( T 2 ^ 2 )
- ( 2 , t T 7 * T 3) : H i ( 4 ) = ( P 2 * 5 3) + ( P 3 *S 2) - ( 2 * 1 2 * 7 3 ) : H 7 ( 5 ) = ( p 3 * 5 3 ) - ( T 3 ^
(Hl (x%) ) :NEXT
2) :FOR X%=7 TO 5 :HI (X%)=FNDECIMAL
8780 PRINT,,
";D$
8 7 9 0 P R I N T " I ' I A T R I ZD ( - I )
,';H7(l)i',*
87gI PRfNil,
7( j);"*
0'
+";H7(4);"*
,,
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g^4 +,,1H7(2);,,* O^3 +',;H
0 +";H7(5)
8 7 9 2 P R f N f . . P R f N f : P R I N T r E L E I f E N T7O, I
-";57;n*
0'+,'1521,,*
e +,1
r53
O, 2 = , ' 1 T 7 * ( - f ) ; r t * e '
8 7 9 3 P R f N f ' , E L E I { E N TL
iz* (-t)
+ i l1 T 2 / r( - 7 ) i t , * 0 + , , ;
'
2,7 =t,177*( 1);u*
8794 Cn-rrf ',ELEIIENT7
353
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
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Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
T3*(-r)
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p R J N f n E L E I , I E N T2O, 2 = , t , p 7 ; , , * g , * ' , 1 p 2 1 t t * Q + , , ; p 3
82OO ' CALCWO DE LANDA PARA 2 RESTRICCTONES
g2l1 FOR X%=l TO 2:1RINT ,,Bk * (,,iX%i,,),,;:It:lefJf WKp(X%):NEXf
B 2 2 O F O RX % = 0 T O 3 : F O R y % = 7 T O 2 : Q ( Y % , X % ) = g : N E X T: N E X T
9 2 3 0 F O RX % = t T O D ; F O R y % = t T O 2 : e ( y % , I ) = e ( y % , I ) + ( R E S T ( y % , x % )
*z ( x%) ) : Q( Y%,2 ) =Q( y%, 2 ) + ( REST( Y%,x%) * S ( x%) ) : Q( Y%,3 ) =Q ( Y%,j ) + (
R E S T ( Y % , x %* )R ( X % )) : N E X T : N E X T
8 2 4 0 F O R Y % = 7 T O 2 : Q ( Y % ,7 ) = Q ( Y % , 7 ) +( - C O N R E S ( Y % ) , I A * D T N( -) 2+* G (
( Y%) * 2 *G ( 2 ) *DTN) + ( :D
2 ) *p'Y1*ysKP ( Y%) ) : Q ( Y%,2 ) =Q( y%, 2 ) + ( -CONRES
T N * W K P( v % ) ) : Q ( Y % ,3 ) = Q ( v % ,3 ) + ( - - C O N R E(SY % )* D T N) : Q ( Y % ,0 ) = - W K P (
Y % )* A * D T N :N E X T
8247 '
8248 '
8249
8 2 5 0 L ( 7 , 0 ) = 5 7 * Q( 7 , 0 ) + ( - T I * Q ( 2 ' 0 ) )
8 2 5 7 L ( 7 , 7 ) = 5 7 * Q ( 7 , 7 ) + ( 5 2 * Q( 7 , 0) ) + ( - r t * 9 ( 2 , 7 ) ) + ( - r Z * Q ( 2 , 0 ) )
8 2 5 2 L ( 7 , 2 ) = 5 7 * Q( 7 , 2 ) + 5 2 * Q( 7 , 7 ) + ( s l * Q( 7 , 0 ) + ( - T 7 * Q ( 2 , 2 ) ) + ( - r
2*Q(2,7) )+ (-ri*9(2,0)
))
8 2 5 3 L ( 7 , 3 ) = 5 7 * Q( l , 3 ) + S i * Q( 7 , 7 ) + 5 2 * Q( 7 , 2 ) + ( * 7 1 * Q ( 2 , 3 ) ) + ( - r Z * 9
(2,2) )+(-rj*Q(2,7)
)
8 2 5 4 L ( 7 , 4 ) = S Z * Q( 7 , 3 ) + 5 3 * Q (1 , 2 ) + ( - T 2 * Q ( 2 , i ) ) + ( - r j * 9 (
2,2 ) )
8 2 5 5 L ( 7 , 5) = 5 3 * Q ( 7 , 3 ) + ( * r 3 * Q ( 2 , 3) )
8257 '
8258
8259 '
8 2 6 0 L ( 2 ; O ) = P 7 * Q( 2 ' 0 ) + ( - T 7 * Q ( 7 , 0 ) )
8 2 6 7 L ( 2 , 7 ) = P 7 * Q( 2 , I ) + ( P 2 * Q( 2 , 0 ) ) + ( - r l * 9 ( 7 , f ) ) + ( - T 2 * Q ( 7 , 0 ) )
- 354
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
8 2 6 2 L ( 2 , 2 ) = P L * Q( 2 , 2 ) + e 2 * Q( 2 , 1 ) + ( p S * Q (2 , 0 ) ) + ( - r l * 9 ( 7 , 2 ) ) + ( - r 2
* Q( 7 , I ) ) + ( - r S * 9 ( 1 , 0 ) )
8 2 5 3 L ( 2 , j ) ' = P 7 * Q( 2 , 3 ) + P 2* Q ( 2 , 2 ) + P 3* Q ( 2 , I ) + ( - T 7 * Q ( 7 , 3 ) ) + ( - T 2 * Q
(7,2) )+(-T3*Q(1,1) )
8 2 6 4 L ( 2 , 4 ) = P 2 * Q ( 2 , 3 ) + p i * Q . (2 , 2 ) + ( - r Z * Q ( 7 , 3 ) ) + ( - r S * g ( 1 , 2 ) )
8 2 6 5 L ( 2 , 5 ) = P 3 * Q (2 , 3 ) + ( - T 3 * Q ( 7 , i ) )
8266 '
8267 '
'
8268 '
8 2 8 0 F O R X % = 0 T O S ; . F O RY % = 7 T O 2 : L ( Y % , X % ) = y 7 , 1 p g C I I 4 A L ( L ( y % , X)% )
: N E X T :N E X T
8 2 9 0 C L S: L O C A T E7 , 1 5 : P R J N T n 7 ": L O C A T E2 , 7 : P R I N f " L A N D A ( O ) =
- - t ' : L O C A T E3 , 7 2 ; P R I N T H 7 ( 7 ) ' t ' *
1(2)-rr*
g^4 +";H
g^J +'t1H7(3);,,* O^2 +,,1H7(4);,,* 0 +,,;H7(5)
8300 PR-rNf.'PR-IIVIT
8370 PRfNf "
POR LA I{ATRIZ";PRfNf ;PRfNf
8 3 2 0 P R L N T . L A N D 7A
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g^2 *,,iL(I,4);,,*
8 3 3 0 P R . r N f: P R I N T r L A N D A2
"iL(2,2);"*
8337 PRIM
0^3 i"rL(2,j);"*
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, 0 ) . u * e ^ 5 + , , . ; L ( 7 , L )i , , * , , ^ n * , , ; L ( 7 , 2
g +,,iL(1,5)
=,,;L ( 2,01 ; "* 0^5 +,'iL (2,71 ; ,,* g^4 +
0^2 *"iL(2r41;"*
o +"iL(2,5)
"IK$:PRINTUVAIIOS A CALCULARSI EL LANDA ES PO
srTrvon.
8332 PRINT:PRJNf;
83i5
I N P U T " 2 E X T R E I , I OI N F E R I O RD E K " ; B
8336 INPUT '|iEXTREI{O SUPERIORDE K"iC
DE LA COIIPONENTE
8350 FOR CO%=7 TO 2: ' CO%=NUI4ERO
8 3 60 ENTRADA=
; I': DATOANT=O
: DATONUE=O
* - - - , , 8 3 7 0 D A T O A N T =(LC A % 0
, ) * ( B ^ 5 ) + L ( C O %7, ) * ( B ^ 4 ) + L ( C O %2, ) * ( B ^ 3 ) + L ( C
i55
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1988
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
o % , 3 ) * ( 8 . 2 ) + L ( C O % , 4 ) * ( B ^ 7 ) + L ( C O % , 5 ): T E S T S T G N O % = 0
8380 FOR X=B T.O (C+ENTRADA)STEP EN?RADA
L O % , 0 )* ( X ^ 5 ) + L ( C O % , 1 )* ( X ^ 4 ) + L ( C O % , 2) ' t ( X ^ 3 ) + L ( C
8 3 9 0 "D A T O N I J E =( C
O%,i ) * ( X^ 2 ) +L (CO%,4 ) * ( x^ 7 ) +.r,(CO%,5 )
8400 rr
THEN TESTSIGNO%=TESTSI?NO%
SGN(DATONUEI<>SGw(DATOANT)
+ 7 : G O S U B8 4 7 0
8470 DATOANT=DATONUE
8420 NEXT
8430 IF
TESTSIGNO%=O
AND ScN(DATONUE)<>-7 THEN PRINT "LANDA E
S POSITIVO EN EL INTERVALO";B; "<-:-)"
;Ci n
PAPA.LA COI{PONENT
E " ; C O % : G A T O9 5 5 0
8437 IF
TESTSIGNO%=0AND SGN(DATONUE)=*7 THEN PR.rrVf "LANDA ES
NEGATM
EN EL INTERVALO"iBi"<--->"iCi
x
PARA LA COIIPONENTE
" ; C O % : G O T O8 5 5 0
8440 FOR X%=(TESTSIGNO%+I)rO 3;PRrNf
nNO.HAy r4ASCATLBIOSDE
SIGNO":NEX?
8450 '
8 4 6 0 G O T O8 5 5 0
8470 '
intervaTos
a entrada/70
.
2=L ( CO%,0 ) * ( INFERIOR^5 ) +L ( CO
8 4 8 0 I NFERIOR=( X- ENTRADA
) : DATOANT
4 ) +L ( CO%,2 ) * ( INFERIOR^3 ) +L ( CO%,3 ),t ( INFERIOR^2 )
%, 7 ) * ( INFERTOR^
+L ( CO%,4 ) * ( INEERTOR^1.
)+L ( CO%,5 )
8490 FOR IIINII{OSALIO=INf'ARTOR rO x STEP (ENTRADA/70)
g 5 00 DATONUE2=L( CO%,0 ) * ( r4INIT{OSALTO^
5 ) +L ( CO%,7 ) * ( lrIN IT{OSALTO^
2 ) +L ( CO%,4 )
3 ) +L ( CO%,3 ) * ( I4IN II,IOSALTO^
4 ) +Z ( CO%,2 ) * ( IIIN IIfiOSALTO^
* ( I'IINil{OSALTO^7 ) +L ( CO%,5 )
( D A T O N U E 2 ) < > S G N ( D A T O A N TT2H) E NP R J N r " l a n d a
8510 r.F ^sGN
(e) an
2, t'7 anda aht= n ; ( I4I NI I{OSALTO- ( ENTLADA/ I 0 ) ) ; PRIN?.' PR
2= " ; DATOANT
- 356
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Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
I N T t ' L a n d ' a '( 0 ) p o s t = " ; D A T O N U E 2 , " 7 a n d a p o s t = " ; F I I N I I { O S A L T O : P R . r
.
ilr..
8 5 20 DATOANT2=DATONUE2
8530 NEXT
8540 RETURN
8 5 5 0 N E X TC O %
8590'DTVISION
POLINOI{TOS
8 6 0 0 P R I N ? ; P R I N ? ; P R f N f r P R I N I " L A N D A( e ) = i l
8670 POSID=O
8 6 2 0 I F H 7 ( P O S I D ) = 0 T H E NP O S I D = P O S I D + 7 : G O T 8
O6 2 0
8630 DIVIS=5-POSID
8640 FOR X%=7 TO 2
8650 POSIX=O
8 6 6 0 I F L ( X % , P O S I X ) = 0 f f i E N P O 5 . I X = P O S T X + l : G O T8O6 6 0
8670 DIVID=S-POSIX:'DIVID
=S-DIVID
8680 GOSUB 451:FOR Y%=POSIX+LTO 6:DIVIDENDO(Y%-POSIXI=7,(X%,Y
%-1) : NEXT Y%:FOR Y%=POSID+I TO 6 :DIVISOR(Y%-POSID)=H7(yX-l)
:W
E x T Y % : G O S U B4 6 0 :
8 6 9 0 P R I N T ' 7 L A N D;AX,%
, 1t , = , , ,
8 7 0 0 I F ? L A G D I V % = 7T H E NC t r S ; P R I T V T " L A
DMSION
DEL PALINOI{IOT';
X % i t ' N OE S E X A C T A . S U S R E ^ S f O S O N : t t : F O RK % = 7 T O D M D + ] : P R f N ?
IRESTO"iK%) t'=" ;RESTO(K%):NnXr K%: TNPUT
"eES LA DIVISION EXACT
A ? " i E X A C T A $ : I F E X A C f A $ = ' , N "O R E X A C T A $ = " p t tT H E N G O S U B4 9 0 : G O 7 O
8 72 0
(X%,6-Y%)=gggTENTE(NTER]4%-Y%+7
8770 EOR Y%=7 TO NTEN,I%:POL
) : NE
xT y%
8 7 2 0 F O R Y % = 7 T O 4 ; P R f N 1 ?P O L ( x % , ' y %;), , *
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0 ^ ' t - 5 - y % ; t t . r iIl : N E X T y % :
Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
8730 'CALCWO DE SOLUCTONPARA 2'RESTRICCTONES
8 7 4 0 F O RX % = 7 T o D : F O R Y % = 7 T O 2 : L A ( X % ) = L A ( X % ) + R E s(?Y % , x % )* P O
L ( Y%,7 ) : LE ( XZ1 =7,8( X%) + REST( Y%,X%1 * p1t ( Y%,2 ) : L r ( X%) =L I ( X%) +RES
T ( v%, x%1*pg" ( Y%,3 ) :LO ( x%)=LO( X%)+RESr( Y%,X%)*POL( Y%,4 )
87 50 LU ( x%) =LU ( X%) + REST( Y%,x%) *POL( y%, 5 ) : NEXT: LO ( xZ 1 =19 ( x%) +V
cp ( x%) :LU ( x%) =LU ( x%) +vc ( x%) : NEXT
9 7 6 0 ' F O R X % = I T O D ; p R - I N ?L A ( x % ) ; L E ( x % ) ; L r ( x % ) ; L O ( x % ) ; L U ( x % ) :
NEXT
8 7 7 0 F O R X % = 7 T O D : F O R Y % = 7 T O D : V A L O R ( X % , 7 ) = V A L O R ( X % , 7 ) +(Ix4 I
% , Y % )* L A ( X % ) ; N E X f: N E X T : F O RX % = 7 T O D ; F O R Y % = L T O D : V A L O R ( X % , 2
) = v A L O n ( X % , 2 ) + I 4 (r X % , Y % *) 1 9 ( Y % )+ N r ( X % , Y %*) L A ( Y % ): N E X T : N E X T
8 7 8 0 F O R X % = 7 T O D : . F O R Y % = 7 f O D : V A L O R ( X %j,) = V A L O R ( X % , 3 ) + I , I I ( X
%, y%) *LI ( y%)+NI ( X%,Y%)*19 (Y%)+FI ( X%,v%) *LA (Y%) : NEXT: NEXT
8 7 9 0 F O R X % = 7 T O - D : F O Ry % = 7 T A D : V A L O R ( X % , 4 ) = V e i O . A ( X % , 4 ) + I 4 r ( X
%, v%) *LO ( Y%) +NI ( X%,Y%)*17 ( Y%) +FI ( X%,Y%)*z e ( Y%) : NEXT: NEXT: FOR
X % = l T O D : F O R y % = 7 T O D ; V A - L O R( X % , 5 ) = V A L O * ( X % , 5 ) + I { I ( X % , y % ) * L U
( Y % )+ u t ( x % , v % ) * L O ( Y % )+ F I ( X % ,Y % )* L I ( Y % ): N E X T: N E X T
8 8 0 0 F O R X % = I T O D : F O R Y % = 7T O D : V A L O R ( X % , 6 ) = . V A L O R ( N % , 6 ) + N I ( X
% , Y % )* L U ( Y % ) . + f I( X % , Y % *) 1 9 ( Y t e ): N E X T : N E X :TF O R X % = 7 T O D : F O R Y % =
i
r o D : v A L o R (x % , 7) = v A L o R (x % , T) + F r ( x % , y % 1* 1 g ( y % ) : N E X T: N E X T
8870 FOR X%=7 TO DTFORY%=7 TO 7:VALOR(X%,y%)=FNDECII,IAL(VALOR
( X % , Y %)) : N E X T : N E X ?
l. ,r.-PRIN?,'X572 (
8820 PRINT''
RINTN
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TAB ( 201 , '|POR LA I{ATRIZU
8830 PRTTVT
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";VALOR(X%,7)i,,* e
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8840 FOR X%=7 fO D:PRINT"ELEIIENTO"iX%i"
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Teoria de la cartera: Un método general para la parametrización de funciones cuadraticas y su repercusión... Mª Dolores Díez García.
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,4)i"*
0
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+',.;VALOR(X%,5);u* g^2 +il;VALOR(X%,6);t,*
e +";VALa
R(X%,7):NEX!
8850 GASUB 25 :' CLEAR;RUAI.''CALCULO DE DIVISION
8860
POLINOI'IICA
'CONTADOR=J,;'CALCWO CON RES?RICCIONES PROPTAS
8 8 7 0 P R . r N f " I N T R O D U Z C A C O N S T A N T ED E L A R E S f R T C C I O N ' t ; : I N P U T C O
rVRES.t:IF CONRESS=nffN" OR CONRES$="fin"
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8 8 8O CONRES=VAL( CONRES$ )
8890 FOR X%=7 TO D
8900 PRIN?,,INTRODUZCA COEFICIENTE.S" iX%, :INPU?
8905 INPUT "Bk
COEY( X%) :NEXT
*'tIWKP
8910 SALTO=.07:tOR X%=l fO D:FOR Y%=1 TO 7:POL(X%,Y%)=0:NEXT:
NEXT
-8920 FAR X%=7 TO D;fOR Y%=7 TO 7:POL(X%,Y%)=POL(X%,Y%)+VALOR(
x%' Y%)* ( -COEF( X%)).'NsXr.' NExT
8 9 2 5 E O RX % - 7 T O D : P O L( X % ,4 ) = P O Z( X % ,4 ) + ( - V A X P * A * D T N ): P A L ( X % ,5
) + ( - 2 *G ( 2 ) *DrN *WKP ) : PAL ( X%,6 ) =POL(
) =POL( X%,5 ) + ( -CONRES*A*DTN
X%,6 ) + ( -CONRES*
2 *G ( 2 ) *DTN) + ( -DTN* VBKP) : POL( X%, 7 ) =PAf,( XZ, I ) + ( CONRES*DTN
) : NEXT
8930 FOR X=B TO C STEP SALTO
8940 NSCATIVIDAD=0:FORX%=7 TO D:FOR Y%=7 fO 6
( X%,Y%)* Y^ ( 7-Y%)
89 50 NEGATIVIDAD=NEGATIVIDAD+POL
( X%, 7) :NEXT X%:PRINT
8960 NEXT Y%:NEGATTVIDAD=NEGATIVIDAD+POL
X T N E G A T M D A D *( - 7 ) i " > 0 " : N E X T X
8970 ?OTO 8870
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