Clase # 5

Método Gráfico
Dr. Mauricio Cabrera
Problema Introductorio
La Wyndor Glass Co. Produce artículos de
vidrio de alta calidad, incluidas ventanas y
puertas de vidrio que incluyen trabajo
manual y la mejor hechura. Aunque los
productos son costosos, llenan un nicho de
mercado al ofrecer la mejor calidad
disponible en la industria para los clientes
más exigentes.
Problema Introductorio
La compañía cuenta con tres plantas:
La planta 1 fabrica marcos de aluminio
y herrería.
La planta 2 fabrica marcos de madera.
La planta 3 fabrica el vidrio y ensambla
ventanas y puertas.
Problema Introductorio
Debido a las ventas decrecientes de ciertos
productos, la alta dirección decidió
reorganizar la línea de productos de la
compañía. Se están descontinuando las
líneas de productos no rentables,
disponiendo capacidad de producción para
lanzar dos nuevos productos: Una puerta de
cristal de 8 pies con marco de aluminio y
una ventana colgante con doble marco de
madera de 4x6 pies
Problema Introductorio
La puerta de 8 pies precisa alguna
capacidad de producción en las plantas 1 y
3, mas no en la planta 2.
La ventana de marco doble de 4x6 pies sólo
requiere las plantas 2 y 3.
Problema Introductorio
Las instalaciones de producción de la planta 1
necesarias para el nuevo tipo de puertas
estarán disponibles 4 horas por semana.
Las instalaciones de producción de la planta 2
estarán disponibles para el nuevo tipo de
ventanas alrededor de 12 horas por semana.
Las instalaciones requeridas por ambos tipos
de productos en la planta 3 estarán
disponibles aproximadamente 18 horas por
semana.
Problema Introductorio
La capacidad productiva de cada planta
usada de hecho por cada producto depende
de su tasa de producción. Se estima que
cada puerta requerirá 1 hora de tiempo de
producción en la planta 1 y 3 horas en la
planta 3. Para cada ventana, se requerirán
alrededor de dos horas en la planta 2 y 2
horas en la planta 3.
Problema Introductorio
Analizando los datos de costo y la decisión
de precios, el departamento de contabilidad
estima las ganancias de los dos productos.
Las proyección es que la ganancia unitaria
será de $300 para las puertas y $500 para
las ventanas.
Problema Introductorio
La administración quiere conocer ¿cuál
debe ser la cantidad de unidades de
puertas y de ventanas a producir por
semana de manera tal que se maximice la
ganancia?
Variables de decisión
• x: Cantidad de puertas a producir en una
semana.
• y: Cantidad de ventanas a producir en una
semana.
Función Objetivo
• Ganancia: monto total obtenido por la
venta de las puertas y ventanas
producidas en una semana.
• Ganancia = 300x + 500y
• Se desea Maximizar.
Restricciones
Disponibilidad de horas para la producción
en cada planta:
• Planta 1: 1*x ≤ 4
• Planta 2: 2*y ≤ 12
• Planta 3: 3*x + 2*y ≤ 18
No negatividad
0≤x
0≤y
Modelo matemático completo
Maximizar 300x + 500y
Sujeta a
x≤4
y≤6
3x + 2y ≤ 18
0≤ x, 0≤ y
Interpretación Gráfica del modelo
• Las variables de decisión forman el
sistema de ejes coordenados.
• Las restricciones “enmarcan” la Región
Factible.
• La Función objetivo igual una constante
es una isocuanta y se obtiene igualando la
expresión a una constante.
Solución Gráfica del modelo
• Representar todas las restricciones y hallar la
región donde todas se interceptan, esta será la
región factible.
• Trazar isocuantas de la función objetivo,
comenzando por valores cercanos a c y seguir
hasta que se obtenga una isocuanta mas allá de
la cual no exista ninguna otra que se intercepte
con la región factible.
• La solución del problema estará en el punto o
los puntos de intercepción de esa isocuanta con
la región factible.
Ejemplo:
Considere ahora que por la introducción de
nuevos equipos y la calificación de los
obreros que ensamblan las ventanas es
posible reducir el tiempo de producción en
la planta 2 de dos horas a una.
A continuación se representa el modelo
matemático para esta nueva situación y se
resuelve gráficamente.
Modelo matemático completo
Maximizar 300x + 500y
Sujeta a
x≤4
y ≤ 12
3x + 2y ≤ 18
0≤ x, 0≤ y
Note que la única restricción que cambia es la segunda o sea
La que se impone sobre la capacidad de producción de la segunda planta
Interpretación gráfica del modelo
x>0
Interpretación gráfica del modelo
y>0
Interpretación gráfica del modelo
x=4
Interpretación gráfica del modelo
x=4
x<4
Interpretación gráfica del modelo
y = 12
Interpretación gráfica del modelo
y = 12
y < 12
Interpretación gráfica del modelo
3x+2y = 18
Interpretación gráfica del modelo
3x+2y = 18
3x+2y < 18
Interpretación gráfica del modelo
x=4
x<4
y=12
y<12
Interpretación gráfica del modelo
x=4
x>0
x<4
y=12
y<12
3x+2y=18
3x+2y<18
Interpretación gráfica del modelo
x=4
y=12
3x+2y=18
Región Factible
Solución gráfica del modelo
300x+500y=1000
Solución gráfica del modelo
300x+500y=2000
Solución gráfica del modelo
300x+500y=3000
Solución gráfica del modelo
300x+500y=5000
Solución gráfica del modelo
300x+500y=4500
(0,9)
Solución del problema
Se recomienda producir 0 puertas y 9
ventanas a la semana para obtener una
ganancia máxima de $4500
Compare la ganancia obtenida contra la de la solución del problema
Original, y note que con esta disminución de una hora se ha logrado
incrementar la ganancia en casi $1000 semanales, pero que la solución
ha cambiado drásticamente pues ahora se plantea dedicar por
completo la producción a las ventanas