CIRCULO EX-INSCRITO A UN TRIANGULO Es el circulo a un lado

CIRCULO EX-INSCRITO A UN TRIANGULO
Es el circulo a un lado de un triangulo y a las prolongaciones de los otros dos lados.
⨀ 𝑶𝒂 , 𝑹𝒂 𝑬𝒙 − 𝒊𝒏𝒔𝒄𝒓𝒊𝒕𝒐 𝒂𝒍 △ 𝑨𝑩𝑪
𝑶𝒂 𝑬𝒙 − 𝒄𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐 𝒅𝒆𝒍 △ 𝑨𝑩𝑪
𝒓𝒂 𝑹𝒂𝒅𝒊𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒄𝒊𝒓𝒄𝒖𝒍𝒐 𝒕𝒂𝒏𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒂𝒍 𝒍𝒂𝒅𝒐 𝒂
TEOREMA 1
La longitud de la tangente trazada desde un vertice de un triangulo al circulo ex-inscrito, es
igual al semiperimetro.
𝑻) 𝐴𝑄 = 𝑝
𝑫) 2𝑝 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝐸 + 𝐸𝐶 + 𝐴𝐶
2𝑃 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝑇 + 𝐶𝑄 + 𝐴𝐶
2𝑝 = 𝐴𝑇 + 𝐴𝑄 = 2𝐴𝑄
∴ 𝒑 = 𝑨𝑸
TEOREMA 2
El radio del circulo ex-inscrito es al radio del circulo inscrito de un mismo triangulo, como el
semiperimetro es al semiperimetro menos la longitud del lado al que el circulo ex-inscrito es
tangente.
𝑻)
𝑟
𝑝
=
𝑟 𝑝𝑎
𝑫) △ 𝐴𝑂𝑎𝑄 ∼△ 𝐴𝐼𝐷 (𝐴. 𝐴. 𝐴. )
∴
𝒓
𝒑
=
𝒓 𝒑𝒂
TEOREMA 3
El area de un triangulo es igual al radio del circulo ex-inscrito por el semiperimetro menos el
lado del triangulo al que es tangente el circulo.
𝑻) 𝐴 △ 𝐴𝐵𝐶 = 𝑟𝑎 (𝑝 − 𝑎)
𝑫) 𝐴 △ 𝐴𝐵𝐶 = 𝐴 △ 𝐴𝐶𝑂𝑎 + 𝐴 △ 𝐴𝐵𝑂𝑎 − 𝐴 △ 𝐵𝐶𝑂𝑎
𝐴 △ 𝐴𝐵𝐶 =
1
𝑏 ∗ 𝑟𝑎 + 𝑐 ∗ 𝑟𝑎 − 𝑎 ∗ 𝑟𝑎
2
1
𝐴 △ 𝐴𝐵𝐶 = 𝑟𝑎 𝑏 + 𝑐 − 𝑎
2
∴ 𝑨 △ 𝑨𝑩𝑪 = 𝒓𝒂(𝒑 − 𝒂)
∴ 𝑨 △ 𝑨𝑩𝑪 = 𝒓𝒃 𝒑 − 𝒃
∴ 𝑨 △ 𝑨𝑩𝑪 = 𝒓𝒄 𝒑 − 𝒄