Presentación de la "esponja de Menger" / Presentation of the

PRESENTACIÓN DE LA
ESPONJA DE MENGER
Las Palmas de Gran Canaria, 30-05-2002
MUSEO “ELDER” DE LA CIENCIA Y LA TECNOLOGÍA
José-Miguel Pacheco Castelao
Departamento de Matemáticas
Universidad de Las Palmas de Gran Canaria
Es costumbre bautizar con el nombre de algún descubridor (sobre si es el verdadero o
no, suele haber polémica) aquellos fenómenos, objetos, propiedades, etc., que alcanzan
cierta notoriedad.
Así, los médicos citan terribles bacilos, como el de Koch, o el de Hansen, y peligrosas
enfermedades, como la de Alzheimer, por los nombres de los primeros en describirlos o
tratarlas.
Los naturalistas son aficionados a poner su apellido, y además en latín, a las nuevas
especies que encuentran, y no es raro ver en la nomenclatura científica, especies con un
humilde Gonzálezii. El gran Linneo fue algo más allá, pues –claro que él podía hacerlose atrevió a usar su apellido para describir un género completo: la Linnea borealis es
una especie de símbolo nacional sueco.
Entre los exploradores de tiempos pasados, una vez terminados los homenajes a las
casas reinantes y al santoral, no era raro dedicarse a sí mismos islas, ríos, montes y hasta
mares enteros. Abrimos cualquier atlas y allí están el estrecho de Torres, el monte
Everest, el mar de Weddell y tantos otros.
Hasta los poetas, que tienen fama de llevarse muy mal entre ellos, emplean nombres
propios en su preceptiva, como el composición de 10 versos llamada espinela en honor
de su creador Vicente Espinel.
Sin embargo, la afición a los epónimos parece crecerse en el dominio de las ciencias
más abstractas, como la Física y las Matemáticas, y además desde tiempo inmemorial.
¿Quién no ha leído u oído alguna vez “el Principio de Arquímedes”, “el Teorema de
Pitágoras”, “el Sistema de Tolomeo”, las “cuadraturas de Gauss”, la “Hipótesis de
Riemann”, “el ‘último’ Teorema de Fermat” (menos mal que Andrew Wiles lo
demostró hace unos años), o la “Conjetura de Goldbach”...?
Hasta aquí, todo parece normal dentro de la extraña jerga de los Matemáticos, pero...¡La
esponja de Menger! ¡Esto ya es demasiado! ¿Qué hace una esponja, precisamente una
esponja, exilada del mundo de los fregaderos y las bañeras, en este reino del
razonamiento puro?
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Karl Menger, 1902-1985
Bien, aceptemos de todas maneras que “la esponja” es sólo un apodo humorístico para
denotar a uno de los objetos más intrigantes de las Matemáticas. Preguntarán Uds: ¿por
qué es tan intrigante este artefacto que ven aquí?
La respuesta es rápida, directa y contundente: Esto que ven aquí ¡NO es la esponja de
Menger! Ni siquiera el propio Menger (Karl Menger, 1902-1985, austriaco-americano)
la vió jamás: Sólo pudo imaginarla, tal como podremos nosotros si nos figuramos que el
proceso cuyos pasos iniciales vemos aquí puede continuar una y otra vez, dejando cada
vez más hueco, pero sin vaciarlo nunca, el cubo inicial.
Las cuatro primeras etapas de la “Esponja de Menger”
Menger sí vió que en el límite (otra vez las dichosas Matemáticas) quedaría el cubo
horadado una y otra vez por una red de tubos prismáticos de sección cuadrada cada vez
más finos, al estilo de nuestros capilares de venas y arterias, pero infinitamente más
compleja.
Notarán Uds, tras una reflexión no muy larga, que el resultado final será un puro
esqueleto de segmentos rectos en las tres direcciones del espacio (por ejemplo, las
aristas iniciales no desaparecen nunca), que además, tiene área nula y volumen también
nulo. Un matemático les resumirá lo dicho en un par de frases esotéricas:
a) La esponja de Menger es un fractal.
b) La esponja de Menger es un conjunto universal para los conjuntos compactos
unidimensionales. Casi nada ¿verdad?
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Pero todos tenemos un duende matemático –algo así como un Ángel de la Guarda para
asuntos numéricos- y nos preguntará aviesamente: ... “Oye, y cómo cuánto es lo que
queda, porque algo queda ¿no?, ... a lo mejor sirve para la cocina...”
A los duendes matemáticos les gustan los números tanto como a los niños las
chocolatinas, así que hemos de contestarle, sin dejarle tiempo para respirar: ¡¡ La
dimensión fractal de la esponja de Menger es log20/log3 !!
Y ahora, tranquilo el duende y saciada su hambre numérica, admiremos de nuevo esta
construcción inacabada y pensemos que en verdad Herr Menger se ganó a pulso el
honor de figurar como padre ... de una esponja.
Muchas gracias.
NOTAS
1. Un fractal, en el sentido que nos ocupa aquí, es un conjunto que presenta el mismo
aspecto si nos restringimos a estudiar sólo una parte de él.
2. Para ver que es de volumen 0, por ejemplo, basta ver que no hay ninguna esfera maciza
que forme parte del conjunto final: Al cabo de un número lo bastante elevado de pasadas
del proceso iterativo, acaba desapareciendo parte de ella.
3. Decir que la esponja de Menger es un conjunto universal para objetos unidimensionales
compactos es la forma técnica de expresar que cualquier arco de curva es representable
mediante un fragmento de la esponja.
4. Menger describió la esponja en 1926 en el artículo “Allgemeine Räume und
characteristische Räume, II: Über umfassendste n-dimensionale Menge” Proc. Acad., 29
(1125-1128).
5. Karl Menger (1902-1985) fue además, autor de un famoso libro titulado “Kurventheorie”,
publicado por Springer Verlag 1932.
6. La dimensión fractal de un conjunto autosemejante, como la esponja, se obtiene contando
el número de figuras semejantes a la primera que se obtienen en el primer paso (en este
caso 20 cubos) y viendo la razón de semejanza de los tamaños (aquí, 1/3). La fórmula
general es DimFrac= -log(nº figuras)/log(razón) y se puede encontrar en cualquier texto
elemental. Para la esponja sale, desde luego, DimFrac(esponja de Menger) = log20/log3
= 2,7268...
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