El concepto de medida tiene una larga historia de más de 5000

El concepto de medida tiene una larga historia de más de 5000 años, que
surge del manejo de longitudes, áreas y volúmenes fundamentalmente y de la
necesidad de su cálculo. Estos tres ejemplos particulares de medidas son los
que han servido como gu´ıa para sacar a la luz el concepto que detrás de ellos
se escondía.
Las primeras demostraciones satisfactorias de teoremas relativos a áreas y
volúmenes aparecen en el libro de Euclides (300 a.c.?) “Los Elementos”(ver
Van Dalen {Monna, p. 78 y Boyer, p. 129). Sin embargo en este libro no hay
definición de longitud, área o volumen; Euclides las considera características
que puede medir respectivamente en las figuras que si define:
Línea es una longitud sin anchura. (Libro I, Def.2).
Superficie es lo que sólo tiene longitud y anchura (Libro I, Def.5).
Sólido es lo que tiene longitud, anchura y profundidad (Libro XI, Def.1).
Tampoco define que es medir, es una palabra que utiliza no sólo en estas tres
“magnitudes”, sino también en los números; por ejemplo en el libro VII, las
definiciones 3 y 4 dicen:
3.- Un n´umero es parte de un n´umero, el menor del mayor, cuando mide al
mayor.
4.- Pero partes cuando no lo mide. por ejemplo 3 es “parte”de 15 y 6 es
“partes”de 15.
Las longitudes las daba en comparación con un segmento unidad, las áreas
con un cuadrado unidad y los volúmenes con un cubo unidad, de este modo dio
los valores correspondientes a figuras simples como polígonos y poliedros y
demostró teoremas como el de Pitágoras. Otros autores griegos más que dar la
medida de una figura daban resultados del tipo: A y B tienen igual área o
volumen. Por ejemplo Arquímedes (287–212 a.c.) atribuye a Eudoxo (408–355
a.c.) la demostración de que el volumen de un cono es un tercio del volumen
del cilindro de la misma base y altura. Esto sin conocer este volumen, para el
que hace falta conocer el área del círculo, que descubrió casi 100 años
después el propio Arquímedes demostrando que es el de un triángulo
rectángulo con un cateto el radio y el otro la longitud de la circunferencia; suyo
también es que el volumen de la esfera es 2=3 el volumen del cilindro o que el
área de la esfera es la del cilindro circunscrito (ver Boyer, p.177). Para esta
última, que demuestra en Sobre la esfera y el cilindro utiliza los axiomas de
Euclides junto con cinco principios de los que destacan:
4.- Dos superficies que tienen los mismos límites en un plano son desiguales
cuando ambas son cóncavas en la misma dirección y una de ellas está
completamente limitada por la otra y por el plano que tiene los mismos límites
que esta otra, o cuando una de ellas sólo está parcialmente limitada por la otra
y el resto es común. La superficie limitada es la menor.
5.- Dadas dos líneas, dos superficies o dos sólidos desiguales, si el exceso de
una de estas figuras sobre la otra se añade a sí mismo un cierto número de
veces, se puede superar una u otra de las figuras que se comparan entre sí.
Así se mantuvieron mas o menos las cosas durante 2000 años, hasta que en
1883 G. Cantor (1845–1918) dio la primera definición de medida m(A) de un
conjunto arbitrario (acotado) A  R n . Otros autores como Stolz en 1884 y
Harnack en 1885 dan definiciones equivalentes en R.
Para ellas la propiedad aditiva de la medida m[A υ B] = m[A] + m[B], para
conjuntos disjuntos A
y B,
se
satisfacía
si los
conjuntos estaban
“completamente separados”, pero no en general, pues con sus definiciones un
conjunto y su adherencia median lo mismo y por tanto los racionales y los
irracionales de [0, 1] median 1, lo mismo que todo [0, 1].
El primero en considerar qué conjuntos A son medibles y dar una definición de
su medida fue en 1887 G. Peano (1858–1932), el cual consideró la medida
m[A] de sus predecesores (que en el caso del plano definía mediante
aproximaciones externas de A con polígonos) y a la que llamó medida exterior
y consideró, para A  R n ., con R un rectángulo, la medida interior de A como
m[R] - m[R
A]; definió conjunto medible como aquel cuya medida interna
coincide con la externa y demostró que la medida era aditiva. Además explicó
la relación existente entre medida e integración, demostrando (ver Pesin, p.38)
que una función acotada f : [a; b] ! [0;1), era Riemann integrable si y sólo si el
conjunto E de R2 limitado por la gráfica de f y las rectas x = a, x = b e y = 0 era
medible, en cuyo caso
En 1892 C. Jordan (1838–1922) di´o una definición más simple utilizando una
malla de cuadrados de igual lado, en lugar de polígonos, para aproximar el
conjunto. Sin embargo estas definiciones eran pobres, pues por ejemplo con
ellas los racionales ya no eran medibles.
E.Borel (1871–1956) dio, en su doctorado de 1894, el siguiente paso
importante considerando la numerable aditividad para sus medidas. Además
dio una definición razonable de conjuntos de medida nula, de hecho mientras
que para sus antecesores los racionales de [0; 1] medían 1, Borel concluyó que
medían menos que
cada
—y por tanto cero— considerando para
un segmento de longitud
con
arbitrariamente pequeño.
Se sabía desde Cantor que todo abierto A  R era unión,
, a lo
sumo numerable de intervalos abiertos In disjuntos. Borel define su medida
como la serie
y describe la clase de los conjuntos
(ahora llamados “borelianos”) que pueden obtenerse a partir de los abiertos,
mediante iteraciones en las que se hacen uniones o diferencias
numerables de conjuntos de la clase, e indica que para estos conjuntos puede
definirse una medida que es “numerablemente aditiva”(i.e. la medida de una
unión numerable y disjunta de conjuntos medibles es la suma de sus medidas).
La numerable aditividad de Borel frente a la finita aditividad de Peano {Jordan
fue una propiedad básica que permitió obtener los resultados fundamentales en
la teoría de integración abstracta, teoría que desarrolló fundamentalmente H.
Lebesgue (1875–1941) a partir de su tesis de 1902. La numerable aditividad y
la integración están muy relacionadas, de hecho la originalidad de Lebesgue no
reside tanto en haber extendido la integral de Riemann, como en su
descubrimiento —obtenido independientemente por W.H.Young para funciones
semicontinuas— del teorema fundamental sobre el paso al límite de la integral,
que obtiene como consecuencia de ser la medida numerablemente aditiva.
En su Tesis de 1902 Lebesgue observa que por esta razón, diferenciación e
integración no podían considerarse operaciones inversas en el contexto,
relativamente amplio, de las funciones Riemann integrables. Este fue el motivo
fundamental que le llevó a tratar de encontrar una noción de integración nueva,
bajo la que derivación e integración sí fuesen operaciones inversas para una
clase de funciones más amplia que las Riemann integrables. La idea principal
de la integral de Lebesgue consiste en que, a diferencia de lo que ocurre en la
integral de Riemann, los puntos se agrupen de acuerdo a la proximidad de los
valores de la función a integrar y no de acuerdo a su proximidad en el conjunto
de definición de la función, como hacía Riemann. Esto permite la posibilidad de
extender, de forma inmediata, el concepto de integral a una clase muy amplia
de funciones.