Hoja 4 PROBLEMA 7 : Las ecuaciones de Lotka

Hoja 4
PROBLEMA 7 : Las ecuaciones de Lotka-Volterra:
dx
= ax - axy
dt
dy
= -cy + b xy
dt
Con a > 0 , c > 0 , a > 0 y b > 0 Pretenden describir la evolución de la población x de
una especie (presas) que es cazada por otra especie (predadores) cuya población es y.
a) Discute la adecuación del sistema anterior a la descripción del sistema predadorpresa e interpreta el significado de los coeficientes a, c, a , b .
-
La constante -a- nos indica el crecimiento natural de la población de presas.
La constante -c- nos indica el crecimiento natural de la población de
depredadores.
La cosatante a nos indica la variación de la población de presas debida a la
interacción de ambas especies.
La constante b nos indica la variación de la población de depredadores debido a
la interacción entre las dos especies.
Atendiendo al sistema podemos apreciar que sin la interacción entre las dos especies la
población de presas aumenta con el tiempo y la población de depredadores disminuye.
La interacción hace disminuir la población de presas y aumentar la de depredadores.
b) Halla los puntos críticos del sistema y, mediante el análisis del sistema
linealizado, discute su tipo y estabilidad. Haz un esquema de las trayectorias del
sistema linealizado en las vecindades de los puntos críticos.
x=0
ì ax - axy = 0 ü
í
ý è
y=0
î- cy + b xy = 0þ
ì x ( a - a y ) = 0ü
í
ýè
î y ( b x - c ) = 0þ
c
b
a
y=
a
x=
P(0,0)
æc aö
P çç , ÷÷
èb a ø
Analizamos los puntos:
Sistema linealizado:
ì x& = ax ü
í
ý
î y& = -cy þ
Siendo f(x,y) = - axy ; g(x,y)= b xy
P(0,0)
Vemos si cumple las condiciones.
i)
a 0
= - ac ¹ 0
0 -c
Por tanto cumple la condición.
ii) Las primeras derivadas parciales de f(x,y) y g(x,y) son continuas para todo (x,y). Por
tanto cumple la segunda condición.
lim
lim f (r , s )
lim - a .r. cos s .r .sens
f ( x, y )
=
=
=0 è
2
2
( x, y ) ® (0,0) x + y
r®0 r
r®0
r
lo cumple
iii)
lim
lim g (r , s )
lim - b .r. cos s .r.sens
g ( x, y )
=
=
= 0 è lo cumple
( x, y ) ® (0,0) x 2 + y 2 r ® 0 r
r®0
r
Cumple las tres condiciones, por tanto es un punto crítico simple.
Aplicamos el método de Euller
æ xö
æ Aö
çç ÷÷ = e mt çç ÷÷ è
è yø
è Bø
mAe mt = ae mt A
mBe mt = -ce mt B
è
a-m
0
= (a - m)(-c - m) = -ac - am + mc + m 2 = m 2 + (c - a)m - ac = 0
0
-c-m
(a - c ) ± (c - a ) 2 + 4ac ì m1 = a ü
m=
=í
ýè
2
îm2 = - c þ
Punto de silla
A continuación se muestra la representación. Se les ha dado un valor a los coeficientes,
a=1 ; c=1
Ahora realicemos el mismo proceso para el otro punto crítico.
æc aö
P çç , ÷÷
èb a ø
Antes de analizar si es un punto simple tenemos que cnsiderar el desplazamiento
respecto al punto critico anterior.
c
b
a
y = v + yo = v +
a
x = u + xo = u +
è
ac
c
a
- a (u + )(v + )
b
b
a
ca
c
a
v& = -cv + b (u + )(v + )
a
b
a
u& = au +
Operamos:
ac
aua acv a ca
acv
- auv =- auv
b
a
b
ab
b
u& = au +
v& = - cv -
ca
b ua b cv b ca b a
+ b uv +
+
+
=
u + b uv
a
a
b
ba
a
El sistema linealizado quedará:
ac
v
b
ba
v& =
u
a
u& = -
siendo :
f (u , v) = -auv
g (u , v) = b uv
Analizamos si es un punto crítico simple:
0
i)
-
ba
a
ac
b = ac ¹ 0
Lo cumple
ii) Las primeras derivadas parciales de f(u,v) y g(u,v) son continuas. Por lo tanto cumple
esta condición
iii)
lim
f (u , v)
(u , v) ® (0,0) u 2 + v 2
lim
g (u , v)
(u , v) ® (0,0) u 2 + v 2
=
=
lim - a .r 2 sens cos s
f (r ,s )
=
=0
r ®s r
r®0
r
lim
lim g (r , s )
lim b .r 2 sens cos s
=
=0
r ®s r
r ®0
r
Lo cumple.
Por tanto podemos asegurar que se trata de un punto crítico simple.
Aplicamos el método de Euller
æuö
æ Aö
çç ÷÷ = e mt çç ÷÷
èvø
è Bø
ac mt
e B
b
b a mt
=
e A
a
mAe mt = -
è
mBe
mt
ac
B
b
è
ba
mB =
A
a
mA = -
è
m
ba
a
ac
b = - m 2 - ac = 0
-m
è
m = ±i ac è
CENTRO
Al analizarlo para el sistema lineal y ver que es un centro nos cabe la duda de si es un
centro o un punto de espiral, para ello vamos a visualizar la representación del sistema.
Representamos el punto, para ello tomaremos los mismos valores de a y c que para el
otro punto crítico ( a=1 y c=1) y los valores de b = 2; a = 2
c) Demuestra que la ecuación general de las trayectorias del sistema no lineal es
c ln x - b x + a ln y - ay = const . Dibuja estas trayectorias en el espacio de fases
para las distintas condiciones iniciales.
Para ello no tenemos mas que calcular la variación población de y respecto a la de x (
dy/dx):
dy - cy + b xy
=
dx
ax - axy
dy (ax - axy) = dx (-cy + b xy )
Hacemos separación de variables e integramos:
dy
a - ay
- c + bx
= dx
y
x
ò dy
a - ay
- c + bx
= ò dx
y
x
a ln y - ay = b y - c ln c + cte
à
aò
è
dy
dx
- a ò dy = b ò dx - c ò
y
x
a ln y - a y - b y + c ln x = cte
Pasamos a la representación de las trayectorias, para ello debemos calcular los valores
de las variables x, y de forma numérica.