1. ELEMENTOS DE UN DIAGRAMA DE BLOQUES Un

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ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
243005 – SISTEMAS DINÁMICOS
DIAGRAMAS DE BLOQUES
1. ELEMENTOS DE UN DIAGRAMA DE BLOQUES
Un diagrama de bloques de un sistema es una representación gráfica de las
funciones realizadas por cada componente y del flujo de las señales. Los
elementos de un diagrama de bloques son el bloque, el punto de suma, el punto
de bifurcación y las flechas que indican la dirección del flujo de señales.
Punto de suma
Bloque
a

Punto de bifurcación
(Takeoff)
ab

b
Figura 1 Elementos de un diagrama de bloques
Las ventajas de la representación mediante diagramas de bloques de un sistema
radican en que es fácil formar el diagrama de bloques general de todo el sistema
con sólo conectar los bloques de los componentes de acuerdo con el flujo de
señales y en que es posible evaluar la contribución de cada componente al
desempeño general del sistema.
El procedimiento para trazar un diagrama de bloques de un sistema es el
siguiente:




Se escriben las ecuaciones que describen el comportamiento dinámico de
cada componente.
Se aplica la transformada de Laplace a cada ecuación, suponiendo
condiciones iniciales iguales a cero.
Se representa individualmente cada ecuación en forma de bloques.
Se integran todos los bloques en un solo diagrama de bloques.
Ejemplo 1 Hacer una representación en diagrama de bloques del sistema
eléctrico de la siguiente figura:
Figura 1 Circuito RC
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Donde ei (t ) (voltaje de entrada) es la señal de entrada, eo (t ) (voltaje de salida) es
la señal de salida e i (t ) es la corriente.
Solución:
El procedimiento es el siguiente:

Se escriben las ecuaciones dinámicas del sistema:
ei (t )  eo (t )
R
1
eo (t )   i (t )dt
C
i (t ) 

(a)
(b)
Se aplica la transformada de Laplace a cada ecuación:
Ei ( s)  Eo ( s)
(a)
R
1
(b)
Eo ( s) 
I ( s)
Cs
I ( s) 

Se representa cada ecuación en forma de bloques:
(a)

(b)
Se integran todos los bloques en un solo diagrama
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2. REDUCCIÓN DE DIAGRAMAS DE BLOQUES
Un diagrama de bloques complicado que contenga muchos lazos de
realimentación, se puede simplificar mediante la aplicación de las reglas del
álgebra de bloques, lo que permite un reordenamiento paso a paso que culmina la
reducción del sistema a un solo bloque.
Algunas de las reglas más importantes del álgebra de bloque se muestran en la
tabla 1.
Tabla 1 Reglas del álgebra de bloques
Ejemplo 2 Reducir el diagrama de bloques que se presenta a continuación y
obtener la función de transferencia.
Figura 2 Diagrama de bloques para el ejemplo 2
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Solución:
En primer lugar, lleva el bloque F después del punto de suma, obteniendo:
Ahora, se combinan los bloques en serie F y G , y los bloques del lazo 1 F y J ,
de manera que se obtiene lo siguiente:
Después, se intercambian los puntos de suma 2 y 3:
Luego, se simplifica el subsistema realimentado que involucra los bloques I y
FG , obteniendo un bloque A equivalente a:
A
FG
1  FGI
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Nuevamente se simplifican los bloques en serie, en este caso A y H :
Posteriormente, se simplifica el subsistema realimentado que involucra los bloques
HA y J F , obteniendo un bloque B equivalente a:
B
FGH
1  FGI  GHJ
Finalmente, se reduce el sistema realimentado obteniendo la función de
transferencia:
C (s)
FGH

R( s) 1  FGI  GHJ  FGH
Otra manera, de realizar la reducción del diagrama de la figura 2 se presenta a
continuación:
Primero se traslada el bloque H antes del bloque de bifurcación y se redistribuye
la ubicación de los puntos de suma de la entrada:
Ahora, se simplifica el subsistema realimentado conformado por los bloques G, H
y J , de esta forma se obtiene el bloque D ; al mismo tiempo que se reducen los
lazos que llegan al punto de suma de la parte inferior, obteniendo el bloque E :
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Después, se reducen los bloques en serie F y D :
Finalmente, se simplifica el sistema realimentado obteniendo la función de
transferencia del sistema. Se recomienda al estudiante realizar esta última
verificación.
3. REGLA DE MASON
El ejemplo 2 pone en manifiesto que para la obtención de la función de
transferencia de un sistema a partir de su diagrama de bloques es necesario
desarrollar habilidad en la manipulación de los mismos. Sin embargo, existe un
procedimiento general para la obtención de la función de transferencia conocido
como la regla de Mason.
La regla de Mason emplea las definiciones que se presentan a continuación y que
se ilustran en el ejemplo 3.






Trayectoria directa: Conjunto de bloques que van de la entrada a la salida, sin
repetirse.
Ganancia de la trayectoria directa: Producto de las ganancias de los bloques
que forman la trayectoria directa.
Lazo cerrado: Conjunto de bloques que parten de un punto de suma o
bifurcación y llegan al mismo punto, sin repetir ningún bloque.
Ganancia de lazo cerrado: Producto de las ganancias de los bloques que
forman un lazo.
Lazos adyacentes: Lazos que comparten al menos un punto de suma o
bifurcación.
Lazos no adyacentes: Lazos que no comparten ningún punto de suma o
bifurcación.
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Ejemplo 3 Reducir el diagrama de bloques que se presenta a continuación
usando la regla de Mason y obtener la función de transferencia.
Figura 4 Diagrama de bloques para el ejemplo 3
Solución:
La única trayectoria directa entre la entrada R y la salida C , está conformada por
los bloques F , G y H . Por lo tanto, la ganancia de la trayectoria directa es:
M 1  FGH
Además existen tres lazos cerrados, cuyas ganancias son:
L1   FGH
L2  GHJ
L3  FGI
Los signos de las ganancias dependen de la realimentación existente. Estos tres
lazos son adyacentes, ya que comparten puntos de suma y de bifurcación. En este
ejemplo no existen lazos no adyacentes.
El cálculo de la función de transferencia M , aplicando la fórmula de Mason, está
dado por:
C ( s) N M k  k
M

(1)
R(s) k 1 
En donde,
N : Número total de trayectorias directas
M k : Ganancia de la k-ésima trayectoria directa
 : 1 – (suma de las ganancias de todos los lazos) + (suma de los productos de las
ganancias de todas las combinaciones de dos lazos que no se tocan) – (suma de
los productos de las ganancias de todas las combinaciones de tres lazos que no
se tocan) + …
 k : La  para aquella parte del diagrama que no toca la k-ésima trayectoria
directa
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Aplicando esta fórmula se obtiene que existe solamente una trayectoria directa:
M 1  FGH
Además existen tres lazos cerrados, los cuales son adyacentes entre si:
L1   FGH
L2  GHJ
L3  FGI
Por lo que,
  1  FGI  FGH  GHJ
Y 1  1 , ya que todos los lazos tocan la trayectoria directa
Reemplazando todos estos valores en la fórmula de Mason se obtiene que la
función de transferencia del sistema está dada por:
C (s)
FGH

R( s) 1  FGI  GHJ  FGH
Lo cual equivale a la solución obtenida en el ejemplo 2, cuando se usó el álgebra
de bloques.
4. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
A continuación se presenta el listado de las referencias bibliográficas requeridas:




Dorf, R & Bishop, R. (2011). Mathematical models of systems. En: Modern control
systems. (12a. ed.). (pp. 49-160). Estados Unidos: Prentice Hall.
Golnaraghi, F. & Kuo, B. (2010). Block diagrams and signal flow graphs. En:
Automatic control systems (9a.ed.). (pp. 104-146). Estados Unidos: John Wiley &
Sons.
Ogata, K. (2010). Modelado matemático de sistemas de control. En: Ingeniería de
control moderna (5a. ed.). (pp. 13-62). Madrid, España: Pearson Education.
Nise, N. (2011). Reduction of multiple subsystems. En: Control Systems
Engineering (6a ed.). (pp. 235-300). Estados Unidos: John Wiley & Sons.
A continuación se presenta el listado de las referencias bibliográficas complementarias:

Álgebra de bloques. Recuperado en
https://www.youtube.com/watch?v=nBCUPWFXb2g
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Bloques en el dominio s. Recuperado en
https://www.youtube.com/watch?v=H4GPPG_ef7Y
Curso virtual de análisis de sistemas dinámicos. Recuperado en
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/index.html
Design and analyze control systems. Recuperado en
http://www.mathworks.com/help/control/index.html
Dibujar el diagrama de bloques dada la función de transferencia 1. Recuperado en
https://www.youtube.com/watch?v=nSDLwJK2pUk
Dibujar el diagrama de bloques dadas las ecuaciones de las señales. Recuperado en
https://www.youtube.com/watch?v=465cyxq9Ku4
Problemas resueltos de sistemas automáticos. Recuperado en
http://www.inevid.com/p/sistemas-automaticos.html
Simplificar el diagrama de bloques función de transferencia 1. Recuperado en
https://www.youtube.com/watch?v=GsFcrkdzMXk
Simplificar el diagrama de bloques función de transferencia 2. Recuperado en
https://www.youtube.com/watch?v=MJk_Ntjuk2A
Simplificar el diagrama de bloques función de transferencia 3. Recuperado en
https://www.youtube.com/watch?v=NEunRyIboEo
Simplificar el diagrama de bloques función de transferencia 4. Recuperado en
https://www.youtube.com/watch?v=AnyR4FHyJ-I
Simulación de Circuito RL en Simulink. Recuperado en
https://www.youtube.com/watch?v=cBWMCQwaQJ8
Teoría de control básica. Recuperado en http://controltheory.org/index_spa.html
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