R. Decibilidad y Semidecibilidad File

Sección III.10: Decidibilidad y semidecidibilidad
CLASE 0 Y CLASE 1
 Conjunto DECIDIBLE (o recursivo):
P es decidible (P0) si su función característica CP es
computable
true x  P
CP( x ) = 
false x  P
A = {(x,y)N2: x mod 2=0  primo(x-y)}
B = L(a*b*a*)  {abxxRab: x*}
, *, A, B  0
K, TOT  0
 Conjunto o predicado SEMIDECIDIBLE (o
recursivamente enumerable):
P es semidecidible (P1) si su función
semicaracterística P es computable
P ( x ) =
true x  P

x P

, *, K, VAC  1
K , TOT  1
A. Sánchez, A. Irastorza, J. Ibáñez
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Sección III.10: Decidibilidad y semidecidibilidad
PROPIEDADES DE LAS CLASES 0 Y 1
 Todo conjunto finito es decidible, y su complementario
también
A es finito

A, A 
0
 Todo conjunto decidible es semidecidible
0  1
 La unión o intersección de conjuntos (semi)decidibles
es (semi)decidible
A, B 
0

A  B, A  B 
0
A, B 
1

A  B, A  B 
1
 El complementario preserva la decidibilidad, pero no
necesariamente la semidecidibilidad
A
K
0
1

A 
pero
0
K 
1
 Un conjunto es decididible si y sólo si, él y su
complementario son semidecidibles
A  0

A, A  1
A. Sánchez, A. Irastorza, J. Ibáñez
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Sección III.10: Decidibilidad y semidecidibilidad
CARACTERIZACIONES DE LOS CONJUNTOS
SEMIDECIDIBLES
 Todo conjunto A1
 Se puede expresar como la cuantificación existencial de un
predicado decidible (binario)
A = { x : y P( x , y)  P decidible}
 Se puede expresar como el dominio de una función
computable
e (A = We)
 Se puede expresar como el rango de una función
computable (si A es unidimensional)
e (A = Re)
 Si no es el conjunto vacío, incluso se puede expresar como
el rango de una función computable y total (si A es
unidimensional)
A=

 eTOT (A = Re)
 Además, todo conjunto que cumpla una de las cuatro
anteriores condiciones es semidecidible
A. Sánchez, A. Irastorza, J. Ibáñez
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