Contraste en la ejecución de auscultaciones geodésicas por

UNIVERSIDAD DE CANTABRIA
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA GEOGRÁFICA
Y TÉCNICAS DE EXPRESIÓN GRÁFICA
TESIS DOCTORAL
Contraste en la ejecución de
auscultaciones geodésicas por
métodos clásicos y con láser escáner.
Autor:
JULIO MANUEL DE LUIS RUIZ
Director:
BENJAMÍN PIÑA PATÓN
Santander, Diciembre de 2009
Capítulo II.- Marco referencial y estado del conocimiento actual en las auscultaciones geodésicas clásicas.
CAPÍTULO II
MARCO REFERENCIAL Y ESTADO DEL CONOCIMIENTO
ACTUAL EN LAS AUSCULTACIONES GEODÉSICAS
CLÁSICAS.
Contraste en la ejecución de auscultaciones geodésicas por métodos clásicos y con láser escáner.
Julio Manuel de Luis Ruiz
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Capítulo II.- Marco referencial y estado del conocimiento actual en las auscultaciones geodésicas clásicas.
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Capítulo II.- Marco referencial y estado del conocimiento actual en las auscultaciones geodésicas clásicas.
1.- INTRODUCCIÓN.
1.1.- ENCUADRE REFERENCIAL.
Existen tres aspectos muy bien diferenciados que canalizan la actividad profesional en el marco de la
ingeniería civil: proyectar, construir y explotar. Históricamente se ha vinculado la Ingeniería
Cartográfica, Geodesia y Fotogrametría como una disciplina vinculada a los dos primeros aspectos,
representando esta asociación un error, puesto que existen técnicas e instrumental que permiten dentro
de la disciplina llevar a cabo la correcta explotación de las obras ejecutadas en los diversos campo de
la ingeniería. La topografía de proyectos y obras ocupa un espacio bien visible en el panorama de la
ingeniería, pero es en la diaria explotación de una obra, en el sometimiento a una conservación que
garantice su seguridad y eficacia, donde la topografía y la geodesia pueden ocupar un lugar
privilegiado, estableciendo metodologías que permiten detectar las deformaciones inherentes a toda
estructura. Las obras más caracterizadas que permiten estos controles periódicos de deformabilidad
son las presas, muros rígidos, escolleras, taludes inestables, escombreras y suelos de todo tipo.
1.2.- CONTROL DE MOVIMIENTOS.
Una estructura convencional está caracterizada por constituir un conjunto elástico que se deforma
frente a una solicitación exterior o interior, transfiriendo al conjunto una carga tensorial que se debe
mantener bajo unos valores previamente establecidos. La tensión y la deformación están relacionadas,
y analizando las conductas deformacionales, se pueden establecer conclusiones definitivas, teniendo
bajo control la resistencia del conjunto, permitiendo tomar las medidas preventivas necesarias para
corregir las hipotéticas anomalías que se detecten en el control. Es muy usual que las solicitaciones a
considerar sean externas (presión hidráulica, empuje del terreno, etc.) e internas que son las motivadas
por acciones térmicas o por fenómenos de retracción.
1.3.- DEFINICIÓN DE ESCENARIOS.
El objetivo final de una auscultación geodésica es el establecimiento del movimiento de una serie de
puntos ubicados en una estructura, suelo, etc., en base a una serie de observaciones topográficas
realizadas con el instrumental y los métodos de observación adecuados. Dependiendo del elemento a
auscultar (presa, muro, escollera, talud, etc.), el rango de la precisión puede variar en función de las
demandas de la propiedad del elemento a auscultar. En el caso de la auscultación objeto de análisis en
la presente tesis doctoral, y por tratarse de una presa, se busca el mayor rango de precisión posible.
Entendiendo la precisión absoluta del instrumento topográfico, como la desviación entre la medida que
el propio instrumento es capaz de observar y otra tomada como patrón, los instrumentos utilizados en
este tipo de trabajos convencionalmente generan un rango de precisión que oscila entre los 3 y 4
milímetros, dependiendo de la geometría de la observación. Una vez entendida la precisión absoluta,
surge el concepto de precisión relativa, en base a la cual y gracias a la repetitividad con la que se
efectúan las observaciones, en cuanto a geometría, instrumentación, metodología, etc., permiten
establecer diferencias en posiciones consecutivas del orden de 1 a 2 milímetros, todo ello en base a la
eliminación de las causas de error comunes en campañas consecutivas.
Es necesario seleccionar adecuadamente la instrumentación, los métodos de observación y las técnicas
que permiten asegurar la calidad de las observaciones, con el objeto de lograr las precisiones
establecidas y conseguir así, que el milímetro sea el rango de precisión con el que se establece una
observación, dando lugar a realizar posteriores cálculos de hipotéticos desplazamientos, considerando
los valores inferiores como incertidumbre en la observación.
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2.- ELEMENTOS PARTICIPANTES.
Como posteriormente se demostrará, la captura de datos no sólo condiciona el método de resolución
de las auscultaciones, sino también los elementos participantes en la propia auscultación.
A continuación se describen todos los elementos participantes en una auscultación, indistintamente del
tipo de observable y método de resolución empleado, de forma que cuando llegue el momento de
desarrollar los métodos de observación y cálculo de la auscultación y, por tanto, se definan los
elementos participantes en esas metodologías, no exista la menor duda de cuál es cada uno de ellos.
2.1.- PILARES DE AUSCULTACIÓN.
Los pilares de auscultación son el soporte físico donde ubicar el instrumento topográfico, debiendo
garantizar que el punto-estación siempre sea el mismo, por lo que tienen que disponer de una
construcción robusta y sólida que soporte el peso del instrumento y que además, perduren a lo largo
del desarrollo de las campañas de observación.
Los materiales empleados para la ejecución de este tipo de soporte son:
-
Hormigón generalmente de baja resistencia.
-
Barras de hierro corrugado para armar la estructura.
Las dimensiones de los pilares tienen una cierta variabilidad, siempre y cuando garanticen las
exigencias de robustez y solidez marcadas anteriormente, motivo por el que las dimensiones utilizadas
habitualmente son las clásicas de los vértices geodésicos. En este caso, los pilares son especialmente
bajos para que el observador pueda estar sentado mientras observa, ya que los tiempos de observación
son relativamente largos.
En la siguiente figura se pueden apreciar las dimensiones de los pilares existentes en la presa objeto
del trabajo, y cuya construcción se caracteriza por ser anterior a la redacción del presente trabajo,
motivo por el cual el autor simplemente aprovechó la disposición de éstos, sin intervenir en su diseño
o geometría de construcción.
Figura Número II.1.- Dimensiones de los pilares de auscultación.
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Los pilares deben permitir mediante algún mecanismo el estacionamiento del instrumento topográfico
de forma repetitiva y precisa en el mismo punto, pudiendo así eliminar errores clásicos como el de
dirección y estacionamiento, que pueden llegar a perturbar seriamente las precisiones buscadas para
las observaciones. Estos mecanismos son los que habitualmente se denominan como sistemas de
centrado forzoso, existiendo varios tipos como puede ser el empleo de basadas, pernos roscados, etc.
En los pilares de la presa objeto, este mecanismo está formado por una basada donde se encaja, por un
lado, el instrumento topográfico con su rosca de paso 3/8 de pulgada, lo que garantiza la sujeción del
instrumento a la basada, y por otro lado tiene tres patas formando un triángulo asimétrico, que durante
el estacionamiento se apoyan sobre una placa embebida sobre el hormigón del pilar, que contiene otras
tres muescas asimétricas idénticas, que hacen que la colocación de la basada sobre el pilar sea única.
En la fotografía puede apreciarse el detalle del mecanismo anteriormente descrito, empleado en los
pilares de la presa objeto para realizar el centrado forzoso, garantizando así que el error de dirección
en las observaciones sea despreciable.
Figura Número II.2.- Mecanismo de centrado forzoso.
Es habitual colocar los pilares de auscultación a 100-200 metros del elemento a observar, con el objeto
de asegurar la precisión buscada. Además, y en la medida de lo posible, conviene que los pilares se
encuentren fuera del área de influencia de los hipotéticos desplazamientos; no en vano, antes de
formalizar la auscultación propiamente dicha sobre los diferentes puntos de la estructura, se somete a
los pilares a un control de estabilidad que permite garantizar si las coordenadas de los pilares se
pueden considerar fijas en el tiempo o no.
Como posteriormente se demostrará, el proceso matemático requiere, al menos, tener cada punto observado
desde dos pilares diferentes para que el sistema de ecuaciones matemáticas se pueda resolver, disponiéndose
habitualmente en la zona de actuación cuatro pilares en vez de dos ya que reporta dos ventajas
fundamentales:
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-
Si se tiene redundancia de observaciones se pueden realizar comprobaciones e incluso establecer
valores estadísticos tan vitales en compensaciones posteriores como el valor más probable, las
matrices de varianza-covarianza, elipses de error, etc., que reflejan la tolerancia con la que se ha
realizado la observación.
-
Es usual por la geometría tan restrictiva de las cerradas en las que se diseñan las presas, que las
visuales a realizar desde los pilares a los puntos objeto sean muy difíciles de realizar, pudiendo, si
se tienen más de dos pilares, dejar alguno sin observar, permitiendo aún así calcular sus
desplazamientos desde el resto de pilares.
Históricamente en esta presa existen cuatro pilares de observación y, aunque desde todos los pilares no
se pueden visar todos los puntos objeto, esto no supone ningún problema ya que existe la suficiente
redundancia de pilares. Con el objeto de mejorar la calidad y la redundancia de los observables en las
dianas más elevadas de la estructura, en la última campaña se incorporaron dos nuevos pilares que
garantizan el objetivo marcado.
En la siguiente fotografía de la zona se puede apreciar tanto la situación de cada uno de los pilares,
como la dificultad de los accesos a los mismos, lo que dificulta los movimientos del observador
durante la campaña de observación.
Figura Número II.3.- Perspectiva de la zona de observación.
2.2.- DIANAS DE PUNTERÍA.
Son los elementos sobre los que se realiza la medición y, por lo tanto, se disponen de forma
homogénea por el elemento a auscultar, de modo que se pueda extrapolar el movimiento de estos
puntos al de toda la estructura, fijándose a la estructura o al suelo por diversos métodos.
En el caso de las dianas de puntería para auscultaciones geodésicas angulares, suelen ser clavos metálicos
embebidos en el paramento aguas abajo de la presa y, por lo tanto, totalmente solidarios con la propia presa,
que definen el lugar geométrico donde realizar la observación. Debido a las precisiones exigidas y con el
objetivo de definir estrictamente el lugar geométrico donde se realiza la puntería, el clavo debe tener la
cabeza de forma circular con 1 centímetro de diámetro y en su centro, una marca de 1 milímetro donde
realizar exactamente la puntería. También es habitual impregnar la zona más próxima a la diana de puntería
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con pintura de un color que destaque del resto de los materiales de la presa, y que permita al observador
localizar fácilmente las dianas en el momento de realizar la campaña de toma de datos.
En la siguiente fotografía se puede apreciar el tipo de señalización más recomendada para dianas de puntería
en auscultaciones de presas por métodos angulares, en las cuales el lugar geométrico a utilizar para realizar
la puntería angular queda perfectamente definido. Este tipo de señalización es el empleado en la Presa de la
Cohilla.
Figura Número II.4.- Diana de puntería recomendada en auscultaciones geodésicas angulares.
El hecho de que la muesca de la diana tenga una dimensión milimétrica genera el problema que cada
observador puede hacer la puntería en un lugar determinado de la diana, tangente superior, tangente inferior,
tangente lateral derecha, tangente lateral izquierda, centro, etc., no siendo positivo para los resultados de la
auscultación que algo tan importante quede a criterio del operador, ya que si por motivos ajenos a los
meramente topográficos es necesario cambiar el observador, este aspecto invalida las campañas anteriores.
Conviene en estos casos que el observador deje constancia escrita de cómo hace las observaciones con un
pequeño croquis, facilitando así que un hipotético nuevo observador sea capaz de realizar las observaciones
con los mismos criterios que el anterior.
En el caso de las dianas de puntería para auscultaciones geodésicas distanciométricas, se hace necesario que
la superficie del punto sea reflexiva, es decir, que devuelva la señal de la onda portadora emitida por el
distanciómetro, en base a la cual se ejecuta la medición de distancia. Con este objetivo se utilizan miniprismas convencionales, fabricados generalmente por el propio fabricante de instrumentos y que permiten
realizar medida de distancias hasta 800-900 metros. Para hacer solidario el elemento a auscultar y el prisma
reflector en el caso de presas, se suele encastrar el prisma en el muro de la presa mediante un taladro y las
resinas oportunas.
Figura Número II.5.- Diana de puntería recomendada en auscultaciones geodésicas distanciométricas.
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En el caso de las dianas de puntería para auscultaciones geodésicas a resolver con láser escáner, es habitual
emplear superficies reflectoras acondicionadas especialmente para este tipo de trabajos, en las cuales se
realiza un fuerte contraste de colores que el láser escáner es capaz de identificar unilateralmente, fijando
como punto de la observación el vértice en el que se produce ese cambio de contraste. Suelen ser placas
metálicas cuadradas de 15 centímetros de lado que se fijan a la estructura mediante dos tornillos, lo que las
hace totalmente solidarias a la estructura, construyéndose normalmente en acero inoxidable para que
perduren en el tiempo y no se deterioren por las extremas condiciones ambientales existentes en la zona.
Figura Número II.6.- Diana de puntería recomendada en auscultaciones geodésicas con láser escáner.
Independientemente del modelo a utilizar, que indudablemente es función del tipo de observación a
realizar, se distribuyen por el paramento de forma simétrica en función de la geometría de la propia
presa y de los puntos que se deseen analizar, estructurando la malla en filas y columnas, de modo que
se pueda extrapolar el movimiento de estos puntos al de toda la estructura, y que, por supuesto, sean
visibles desde los pilares.
Figura Número II.7.- Tipos de señalización empleados en la Presa de la Cohilla para las dianas de puntería.
Tanto el número de dianas de puntería como la distribución de éstas a lo largo del paramento de la
presa se pueden ver de forma mucho más gráfica en la siguiente figura, en la cual se ha marcado la
ubicación de todas las dianas y el nombre correspondiente.
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Figura Número II.8.- Distribución de las dianas de puntería en la Presa de la Cohilla.
2.3.- PUNTOS DE SEGURIDAD.
El objetivo final de estos puntos es que se pueda determinar mediante métodos también topográficos la
estabilidad de los pilares de auscultación en el periodo transcurrido entre campañas de observación,
ya que éste va a ser un dato de partida para la resolución de la auscultación.
Figura Número II.9.- Detalle constructivo de los puntos de seguridad.
Cuando se analice la metodología con la que se determina la estabilidad de los pilares de auscultación,
se verá que para el caso de observaciones angulares el método empleado es la intersección inversa,
para lo que son necesarios, al menos, tres puntos para cada pilar, pudiéndose compartir puntos para
diferentes pilares, motivo que hace muy difícil establecer un número aproximado de puntos de
seguridad ya que depende básicamente de la morfología del terreno, siendo el único condicionante
para obtener la solución estricta de cada pilar de auscultación ver al menos tres puntos de seguridad
diferentes.
En el caso objeto de análisis y dada la complicada morfología del terreno, los pilares de auscultación
están dispuestos de forma que permiten divisar perfectamente el paramento de la presa, pero esto hace
que conseguir tres puntos de seguridad visibles y con buena geometría para cada pilar de auscultación
sea muy difícil, por lo que en su día se recurrió a implantar ocho puntos de seguridad que permitían
garantizar intersecciones inversas múltiples cuyas soluciones determinan la estabilidad de los pilares
o, en su defecto, proporcionan el desplazamiento sufrido por éstos.
Con estos condicionantes, la presa tiene un total de ocho puntos de seguridad alejados entre 100 y 300
metros de los pilares de auscultación, que a su vez están alejados entre 100 y 200 metros de la presa,
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con lo cual se garantiza que los puntos de seguridad se encuentran totalmente alejados de la zona de
influencia de la presa, motivo que hace presuponer la total estabilidad de los puntos de seguridad y,
por tanto, su perfecta ubicación para el control de estabilidad de los pilares.
2.4.- POLARES.
Generalmente es un punto totalmente alejado del área de influencia de la presa, utilizado en las
auscultaciones geodésicas angulares con el objetivo de inicializar el ángulo horizontal y poder así
obtener posteriormente las diferencias angulares entre campañas. Si además se comienza con la misma
lectura, genera la ventaja de trabajar con valores angulares parecidos entre campañas, lo que a su vez
reporta la ventaja de poder localizar puntos de difícil ubicación en campo y eliminar errores en los
limbos del instrumento, debido a que siempre se observa en la misma zona de los limbos.
En el caso de la Presa de la Cohilla se emplean dos polares diferentes, las cuales permiten en base a las
lecturas promedio realizadas a ambas polares, obtener el mismo origen de ángulos horizontales en
diferentes campañas y conseguir los incrementos o variaciones angulares entre campañas.
2.5.- INSTRUMENTAL TOPOGRÁFICO.
Como se ha comentado anteriormente, la observación de la auscultación de la presa requiere
observaciones angulares para la lectura de las polares, puntos de seguridad y dianas de puntería desde
los pilares de auscultación. El instrumental a emplear debe ser lo más preciso posible,
recomendándose que las mediciones angulares se realicen con teodolitos de alta precisión (TAP) o por
lo menos de precisión (TP) cuya apreciación angular no debiera ser mayor de un segundo sexagesimal.
La presa a lo largo del tiempo ha sido auscultada con tres instrumentos diferentes:
-
Inicialmente el instrumento empleado era un teodolito marca Wild, modelo T3,
caracterizado por tener 0,1” de apreciación angular y 40 aumentos en el anteojo. Este
instrumento utilizado en la ejecución de las primeras 42 campañas fue, sin duda, el más
preciso de los tres instrumentos empleados, pero generaba el inconveniente, por ser un
teodolito óptico, de tener que anotar todas las observaciones de forma manual sobre un
papel para posteriormente procesar los datos de campo de forma también manual.
Figura Número II.10.- Teodolito marca Wild, modelo T3.
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-
Posteriormente paso a emplearse la estación topográfica marca Leica, modelo TC2000,
caracterizada por tener 1” de apreciación angular y 40 aumentos en el anteojo. Dicho
instrumento reportaba la ventaja de emplear una libreta electrónica que permitía la captura
y el posterior volcado de los datos de campo de forma automática en un ordenador.
Empezó a utilizarse en la campaña 42 y se dejó de emplear en la campaña 62, debido a la
aparición en escena de un aparato más moderno y con más prestaciones.
-
Finalmente y, por tanto, desde la campaña 62 hasta la actualidad, el instrumento empleado
es la estación topográfica marca Leica, modelo TC2003, que se caracteriza por tener una
apreciación en los limbos de 0,5’’ y 35 aumentos en el anteojo. Este instrumento
eminentemente preciso y que, combinado con una tarjeta electrónica, permite almacenar y
posteriormente volcar toda la información captada de forma totalmente automática, al
margen de la mejora de rendimiento que produce, permite reducir notablemente el número
de errores groseros que se cometen al hacer el mismo proceso de forma manual.
Figura Número II.11.- Estación topográfica modelo TC2003.
Es obvio que todo el instrumental empleado en una auscultación geodésica, por ser una
metodología tremendamente exigente con respecto a la precisión, debe estar en buen estado.
Además, el instrumento debe pasar las oportunas revisiones de limpieza y calibraciones
realizadas por el personal técnico de la empresa suministradora, garantizando así en todo
momento su buen estado y el cumplimento de las especificaciones técnicas marcadas en la
definición técnica del propio aparato.
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3.- LA OBSERVACIÓN ANGULAR.
3.1.- CARACTERIZACIÓN DE LOS MOVIMIENTOS.
Los elementos vistos anteriormente participan en cada una de las diferentes campañas, permitiendo la
determinación del movimiento individualizado de todos y cada uno de los puntos que, a priori, se han
elegido sobre la estructura, a lo largo de las diferentes campañas de observación.
El esquema definitivo de la situación de todos los elementos participantes resulta:
Figura Número II.12.- Esquema general de los elementos participantes.
Existe una situación inicial que, en principio, puede ser cualquiera, incluso el comienzo de una nueva
etapa o simplemente un instante dado. Es la situación habitualmente denominada campaña cero, a
partir de la cual como único resultado se puede obtener una posición general de los diferentes
elementos que conforman la auscultación, debido a que si sólo se tiene una campaña no existe la
posibilidad de contrastarla con otras y poder así determinar el desplazamiento entre campañas.
En el caso de auscultación geodésica de presas está justificado trabajar en proyección, dado que el
movimiento de la diana tiene una marcada componente planimétrica.
Figura Número II.13.- Ejemplos caracterizados de lugares donde aplicar estas técnicas.
Tal y como se puede apreciar en la figura anterior, en los dos primeros casos es evidente que el
movimiento tiene una componente prácticamente planimétrica, hecho que no ocurre en el tercer caso,
en el que la componente del movimiento es tanto planimétrica como altimétrica. Esta componente
altimétrica se puede deducir de forma somera mediante la determinación planimétrica y la geometría
inicial del propio talud o mediante auscultaciones geodésicas altimétricas. En las auscultaciones
geodésicas altimétricas se determinan movimientos altimétricos apoyándose en el uso exclusivo del
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nivel y nivelación geométrica. En el caso de la presa objeto, además de la auscultación planimétrica,
también se realiza una auscultación altimétrica, aunque no será objeto de análisis en la presente
investigación, por no encontrarse dentro del objeto de la misma.
3.2.- EL OBSERVABLE ANGULAR.
3.2.1.- IMPORTANCIA DEL DISEÑO DE LAS DIFERENTES REDES.
Existen tres redes directamente implicadas cuyo diseño es de extrema importancia en el panorama de
una auscultación: la red de pilares, la red de dianas y la red de puntos de seguridad. Es en el diseño de
estas redes donde el proyectista ha de plasmar sus conocimientos, dando valor a todo aquello que con
posterioridad tendrá influencia en las observaciones: número de pilares, proximidad a las dianas,
ángulo de intersección entre visuales, inclinación de las mismas, etc. Esta fase tiene tanta importancia
que, como posteriormente se demostrará, el diseño de las redes permite definir la incertidumbre
esperada a priori.
En muchas ocasiones no es sencillo diseñar la red óptima pues, aunque exista en la teoría, no se puede
construir en la práctica por simples consideraciones topográficas. No obstante, en el presente caso no
se han podido establecer criterios propios de diseño, ya que las redes eran un factor de partida debido a
la preexistencia de dichas redes en el entorno de la presa objeto de análisis.
En este caso, lo que sí es factible es determinar la incertidumbre esperada en función del error
cometido al realizar la observación angular, con lo que al menos, se pueden elegir las prestaciones que
debe tener el teodolito con el que se pretenden realizar las mencionadas observaciones. Más adelante,
una vez demostrada la expresión que permite determinar el desplazamiento, se desarrollarán todos
estos aspectos tan vitales para la determinación del desplazamiento.
3.2.2.- METODOLOGIAS INTERVINIENTES.
Existen dos metodologías implicadas en el tratamiento de los datos captados:
-
Intersección inversa. La determinación de los posibles movimientos de los propios pilares
se consigue mediante la observación y posterior resolución de las diferentes intersecciones
inversas que se crean entre los puntos de seguridad y los propios pilares de auscultación.
-
Intersección directa. La determinación de los desplazamientos de las dianas de puntería se
consigue mediante la observación y posterior resolución de las diferentes intersecciones
directas que se crean entre los pilares de auscultación y las propias dianas de puntería.
Aunque no es lo habitual, si el pilar sufre algún desplazamiento, la resolución de la intersección
inversa múltiple permite determinar dicho desplazamiento, con lo que se consigue posteriormente y
mediante una excéntrica, corregir la observación realizada y poder compararla con la realizada en la
campaña anterior, pudiendo definitivamente determinar el movimiento de la diana aunque el pilar
sufra desplazamientos. Además, esta excentricidad de una observación con respecto a la anterior,
permite corregir cualquier error de dirección que se pueda cometer al estacionar el teodolito, pues
equivaldría al desplazamiento del pilar.
Este proceso que en ocasiones surge espontáneamente, otras veces no queda otro remedio que ponerlo
en marcha, especialmente cuando no se encuentra una ubicación para los pilares que garantice su
estabilidad.
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3.2.2.1.- LA INTERSECCIÓN DIRECTA ANGULAR.
En el establecimiento de la posición de puntos por medio de la medición de ángulos, para el caso de
dos pilares PI(xI,yI) y PII(xII,yII), establecidos los ángulos α y β, las coordenadas del punto V se
obtienen en el sistema referencial definido por los pilares, mediante el siguiente procedimiento.
Figura Número II.14.- Esquema genérico de la intersección directa de ángulos.
El conocimiento de las coordenadas de los pilares (xIyI) y (xIIyII) permite obtener:
DIII =
(xII − xI )2 + ( y II − y I )2
θ III = Arc tan
x II − x I
y II − y I
[II.1]
[II.2]
Medidos los ángulos α y β, la determinación de las distancias DIV y DIIV se resuelve mediante el
teorema del seno:
DIII
DV
DV
= II = I
Senγ Senα Senβ
[II.3]
Con las distancias calculadas, obtener las coordenadas de la diana de puntería en cuestión es sencillo:
X D = X P + DPD ⋅ Senθ PD
[II.4]
YD = YP + DPD ⋅ Cosθ PD
[II.5]
Este procedimiento otorga al ángulo la propiedad fundamental de conseguir determinar la posición de
la diana a lo largo de las sucesivas campañas, todo ello en base al conocimiento de las coordenadas de
los pilares y la observación en campo de los ángulos α y β en cada campaña, tal y como se describe en
la figura II.14. La dificultad se encuentra generalmente en que el procedimiento de cálculo pasa por
emplear un sistema de coordenadas absoluto de grandes dimensiones, combinado con pequeñas
variaciones angulares, lo que produce matemáticamente grandes desplazamientos. Esto requiere un
procedimiento de cálculo diferente al mostrado anteriormente, que evite esta situación y además
permita resolver el gran número de intersecciones que se produce, dado que habitualmente cada diana
se observa desde cuatro pilares.
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3.2.2.2.- LA INTERSECCIÓN INVERSA ANGULAR.
El procedimiento que permite definir la estabilidad de los pilares es la intersección inversa, que
mediante la observación, al menos, de tres puntos de seguridad permite resolver la posición del pilar.
Habitualmente se realizan intersecciones inversas múltiples en vez de intersecciones inversas simples,
es decir a cuatro o más puntos de seguridad, lo que produce un sistema más complejo, pero con
redundancia de datos, que a su vez permite obtener comprobaciones y errores. La resolución de la
intersección inversa simple consiste básicamente en resolver el siguiente proceso matemático:
Figura Número II.15.- Esquema genérico de la intersección inversa de ángulos.
Por saber las coordenadas de los puntos de seguridad se parte del conocimiento de una serie de datos
iniciales:
DAB = a =
(x A − xB )2 + ( y A − yB )2
θ AB = Arc tan
x A − xB
y A − yB
Bˆ = θ BA − θ BC
DBC = b =
(xB − xC )2 + ( yB − yC )2
θ BC = Arc tan
xB − xC
y B − yC
[II.6]
los cuales permiten posteriormente calcular los datos necesarios para poder resolver la intersección
inversa, mediante un mecanismo sencillo.
b ⋅ Sen α

J
I = 1 + M ⋅ Cos N 

Aˆ = Arc tan
a ⋅ Sen β
⇒
⇒

I

J = M ⋅ Sen N 
)

N = 400 − ( B + α + β )
Cˆ = N − Aˆ
M=
[II.7]
Con los ángulos calculados, obtener las coordenadas del pilar es inmediato:
X P = X A + DAP ⋅ Senθ AP
YP = YA + DAP ⋅ Cos θ AP
[II.8]
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Al igual que en el caso de las intersecciones directas, las intersecciones inversas requieren de un
procedimiento que permita resolver el sistema, lo mecanice y a poder ser, consiga tener un tratamiento
estadístico adosado. Nuevamente en este caso, en el que existen más ecuaciones que incógnitas, existe
redundancia de datos y a partir de la matriz residuos, se puede conseguir interesante información que
refleja la bondad del resultado obtenido.
3.3.- LA OBSERVACIÓN DE ÁNGULOS EN CAMPO.
3.3.1.- MÉTODO DE OBSERVACIÓN.
De todos los métodos topográficos existentes para observar redes por medio de ángulos, el más
utilizado se denomina vuelta de horizonte y básicamente consiste en:
-
Establecer para cada pilar una referencia bien determinada y visible, a una distancia que
obviamente dependerá del tamaño de la red, pero que ante todo garantice una puntería
adecuada. Estas referencias generalmente se denominan “polares” y cada pilar puede tener
una propia o una para el total de los pilares, dependiendo de la topografía del entorno. En
esta referencia externa o polar se inicializan los ángulos horizontales cuando se estaciona el
teodolito en cada pilar de auscultación.
-
Desde cada pilar, y después de haber inicializado los ángulos horizontales en la referencia,
se pasa a observar los ángulos horizontales en círculo directo de todos los puntos que
conforman la red, haciéndose el orden de lectura de los vértices en el sentido de las agujas
del reloj.
-
Después de haber observado todos los vértices de la red, se vuelve a cerrar en la referencia
inicial, de forma que el error de cierre debe estar por debajo de una precisión marcada
previamente por el operador, en función generalmente del instrumento y las condiciones
ambientales en las que se realiza la observación.
-
Una vez cerrada la lectura de ángulos en la referencia y comprobado que el error de cierre
está por debajo de la tolerancia, se procede de forma idéntica, pero leyendo los ángulos en
círculo inverso y orden decreciente de los ángulos, obteniendo así todas las lecturas en
círculo directo e inverso de todos los vértices de la red, constituyendo los promedios de
cada par de observaciones, lo que se denomina una serie de medición.
-
En esta metodología de observación no se recomienda pasar de cuatro series de medición,
recomendándose emplear un teodolito más preciso, si se hace necesario realizar más series
para obtener mayor precisión. En esta tesis doctoral se realizan tres series de medición
desde cada pilar a todos los puntos objeto, como más adelante se detallará.
La gran ventaja de este método es, sin duda alguna, la gran rapidez con la que se realizan las
observaciones angulares, pero como contrapartida, tiene el gran inconveniente de que este método no
elimina los errores de torsión que se pueden generar en los pilares a lo largo de la observación,
debidos fundamentalmente a cambios de temperatura, etc.
Existen otros métodos que, calculando los ángulos como la semisuma de dos observaciones
consecutivas realizadas en un espacio de tiempo pequeño y parecido, permiten eliminar este error,
pero conlleva que las metodologías se ralenticen mucho debido al gran número de observaciones que
requieren, como pueden ser los métodos denominados pares a la referencia y Schreiber, no habiéndose
llevado a cabo en esta tesis por considerar dichos errores despreciables.
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Julio Manuel de Luis Ruiz
52
Capítulo II.- Marco referencial y estado del conocimiento actual en las auscultaciones geodésicas clásicas.
3.3.2.- CONTROL DE LAS OBSERVACIONES ANGULARES.
Como se ha comentado anteriormente, antes de iniciar las observaciones se debe comprobar que el
instrumento topográfico se encuentra en buen estado, por lo que es ideal que el instrumento esté recién
calibrado por el fabricante. Además, existen una serie de controles que permiten establecer si el
instrumento tiene algún defecto grosero, y que se caracterizan por tener una capacidad de detección de
errores muy básica, es decir, cuando detectan un error en el instrumento es porque éste es muy grave,
siendo los más habituales:
-
Comprobación del error de nivel de línea.
-
Comprobación del error de coincidencia entre el eje de colimación y el eje óptico del
anteojo.
-
Perpendicularidad entre el eje de colimación y el eje secundario.
-
Perpendicularidad entre el eje principal y el eje secundario.
Durante la observación, la única precaución y control que debe tener el observador con respecto a las
observaciones angulares realizadas, pasa por comprobar en todo momento que los cierres que va
cometiendo están por debajo de las tolerancias establecidas, de forma que cuando llegue al gabinete
para procesar los datos, no se encuentre con que la información que ha tomado no es válida.
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Julio Manuel de Luis Ruiz
53
Capítulo II.- Marco referencial y estado del conocimiento actual en las auscultaciones geodésicas clásicas.
4.- RESOLUCIÓN DE LA AUSCULTACIÓN MEDIANTE LA OBSERVACIÓN
DE ÁNGULOS.
4.1.- INTRODUCCIÓN.
Para el procesado de los datos de campo con observaciones angulares, al margen de la obtención de
los valores promedios de las diferentes series realizadas, que como se ha descrito en el epígrafe
anterior suelen ser tres o cuatro, existen dos metodologías implicadas en el cálculo de cualquier
auscultación:
-
Intersecciones Inversas. Permiten obtener posibles desplazamientos de los pilares mediante
las observaciones realizadas a los puntos de seguridad. Si se obtiene un desplazamiento en
alguno de los pilares, mediante la resolución de una excéntrica angular se consigue poder
comparar diferentes observaciones con distintas posiciones del pilar, objetivo final del
trabajo.
-
Intersecciones Directas. Permiten obtener los desplazamientos que sufren las dianas de
puntería, resolviendo las diferentes intersecciones directas que se forman desde los pilares
de auscultación.
Por tanto, después de establecer las coordenadas de todos los elementos que participan en la
auscultación, el primer paso a dar para resolver la propia auscultación es comprobar la estabilidad de
los pilares, para lo cual es necesario resolver el conjunto de intersecciones inversas múltiples que se
generan con las visuales realizadas entre los pilares y puntos de seguridad.
Como se demuestra más adelante, este proceso de cálculo es muy laborioso, motivo por el que se ha
convertido en una práctica muy habitual en trabajos de este tipo, sustituir el procesado de los datos
referidos a la determinación de la estabilidad de los pilares por una simple comparación de los ángulos
obtenidos a lo largo de las sucesivas campañas.
Si todo funciona correctamente, tanto los pilares de auscultación como los puntos de seguridad no
deben sufrir movimientos por dos motivos generalmente: tipo de construcción y ubicación externa al
área de influencia. Si no sufren movimientos, los ángulos observados a lo largo de las diferentes
campañas tienen que ser iguales. Esta condición es muy sencilla de comprobar y si se cumple, hecho
habitual, se evita tener que poner en marcha el procedimiento que permite resolver el conjunto de
intersecciones inversas, proceso lento y laborioso.
Una vez comprobada la estabilidad de los pilares de auscultación, se procede a resolver el conjunto de
intersecciones directas que permite detectar los hipotéticos desplazamientos de las dianas de puntería.
Para resolver este problema existen básicamente tres métodos claramente diferenciados y con
connotaciones totalmente diferentes:
-
Método numérico.
-
Método gráfico.
-
Método de variación de coordenadas.
A continuación se desarrollan los fundamentos teóricos en los que se apoyan dichos métodos y que, en
esencia, son los que permiten resolver el problema de la auscultación geodésica, desarrollando
también el procedimiento matemático que permite determinar la estabilidad de los pilares que, aunque
no sea muy común, es necesario conocer.
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54
Capítulo II.- Marco referencial y estado del conocimiento actual en las auscultaciones geodésicas clásicas.
4.2.- MÉTODO NUMÉRICO.
El procedimiento se basa en el cálculo de todas las intersecciones directas que se pueden obtener con
las observaciones realizadas en cada campaña desde los pilares de auscultación a las dianas de
puntería, existiendo, si se hacen todas las visuales posibles desde cada uno de los cuatro pilares, seis
hipotéticas intersecciones directas a cada diana de puntería. A partir de ellas se obtienen seis juegos de
coordenadas parecidas, pero no idénticas, para cada diana, consistiendo el método en establecer una
media ponderada de los seis juegos de coordenadas para obtener así unas coordenadas definitivas para
cada diana en cada campaña, consiguiendo finalmente el desplazamiento por diferencia de
coordenadas entre campañas.
En la siguiente figura se puede apreciar el conjunto de las seis intersecciones directas que se generan
en el caso de una diana desde los cuatro posibles pilares:
Figura Número II.16.- Intersecciones directas de una de las dianas de puntería.
En este procedimiento de cálculo tiene gran influencia la geometría de los triángulos con los que se
resuelven las intersecciones directas, es decir las coordenadas del conjunto de pilares y las
coordenadas aproximadas de la diana. Esto genera que al establecer la media ponderada se asignen
pesos a cada intersección en función de la geometría de ésta, que en definitiva no representa más que
la precisión de la propia intersección, siendo la de cada intersección directa la que se desarrolla a
continuación.
Considerando que al realizar las dos observaciones angulares necesarias en toda intersección directa se
comete un error angular εH, se crea una zona de incertidumbre en la que es previsible que se encuentre
realmente la posición del punto objeto de determinación, tal y como se puede apreciar en la siguiente
figura.
Figura Número II.17.- Afección del error angular en las intersecciones directas.
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Capítulo II.- Marco referencial y estado del conocimiento actual en las auscultaciones geodésicas clásicas.
Teniendo en cuenta que en el entorno de la intersección de visuales, las desviaciones angulares se
pueden considerar paralelas, y como la probabilidad de que se produzcan las máximas desviaciones en
ambas visuales es mínima, se encaja en el interior del polígono una elipse cuyo semieje mayor se
considera la tolerancia en las intersecciones directas angulares.
Figura Número II.18.- Elipse de error en las intersecciones directas angulares.
Para el establecimiento del semieje mayor de la elipse de error es necesario apoyarse en la teoría de los
diámetros conjugados de una elipse formulada por Apolonio:
Figura Número II.19.- Valor del diámetro conjugado de la elipse.
En la figura anterior se puede apreciar que en el triángulo VNN’, VN’ es el diámetro conjugado, cuyo
valor es de fácil obtención partiendo de que al valor VN se le puede aproximar al arco, resultando las
siguientes expresiones:
VN = L · ε H · 2
sen γ =
VN
VN
⇒ VN ' =
VN '
sen γ
VN '=
L · εH · 2
sen γ
[II.9]
[II.10]
[II.11]
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Capítulo II.- Marco referencial y estado del conocimiento actual en las auscultaciones geodésicas clásicas.
Aplicando la teoría de los diámetros conjugados se conoce el semieje mayor de la elipse de error
mediante las siguientes expresiones:
a 2 + b 2 = 2 ⋅ VN '2
[II.12]
2 ⋅ a ⋅ b = 2 ⋅ VN '2 ·sen γ
[II.13]
Sumando las dos expresiones anteriores II.12 y II.13, se obtiene:
a 2 + b 2 + 2 ⋅ a ⋅ b = 2 ⋅ VN '2 ⋅(1 + sen γ )
(a + b )2 = 2 ⋅ VN '2 ⋅(1 + senγ )
(a + b ) =
2 ⋅VN '⋅ 1 + sen γ
[II.14]
Restando esas mismas expresiones II.12 y II.13, resulta:
a 2 + b 2 − 2 ⋅ a ⋅ b = 2 ⋅ VN '2 ⋅(1 − sen γ )
(a − b )2 = 2 ⋅ VN '2 ⋅(1 − senγ )
(a − b ) =
2 ⋅ VN '⋅ 1 − sen γ
[II.15]
Sumando ahora las dos expresiones deducidas anteriormente II.14 y II.15, se obtiene:
2 ⋅ a = 2 ⋅ VN ' 1 + sen γ + 1 − sen γ
[
]
2 ⋅ VN '
1 + sen γ + 1 − sen γ
2
]
a=
[
[II.16]
Dada la siguiente igualdad trigonométrica:
1
γ
⋅ 1 + sen γ + 1 − sen γ = cos
2
2
[
]
se puede sustituir, obteniendo una expresión mucho mas reducida del semieje mayor de la elipse:
a = 2 ⋅ VN '⋅ cos
γ
[II.17]
2
Sustituyendo el valor de VN’ ya determinando y la igualdad trigonométrica se obtiene:
VN ' =
L · εH · 2
sen γ
;
γ
γ
sen γ = 2 ⋅ sen ⋅ cos
2
2
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Capítulo II.- Marco referencial y estado del conocimiento actual en las auscultaciones geodésicas clásicas.
a=
2 · L · ε H · 2 · cos
γ
γ
γ
2
[II.18]
2 ⋅ sen ⋅ cos
2
2
Conformando definitivamente dicho semieje de la elipse de error la tolerancia o error esperado al
realizar una intersección directa angular.
a=
L ·εH
sen
[II.19]
γ
2
Suponiendo que la observación se realiza con el mismo instrumento topográfico, el peso de cada
intersección se obtiene aplicando la siguiente expresión:
Peso =
Sen 2
L2
γ
2
[II.20]
siendo:
L.- distancia media entre los dos pilares y la diana.
ε TH .− error angular acimutal del teodolito.
γ.− ángulo intersección.
Establecidas las coordenadas de cada diana en cada campaña, el vector desplazamiento de cada una de
las dianas se obtiene por medio de la comparación de coordenadas entre las dos campañas para cada
diana de puntería.
4.3.- MÉTODO GRÁFICO.
Para efectuar la resolución gráfica del conjunto de observaciones realizadas también es necesario
conocer las coordenadas de los pilares y las coordenadas aproximadas de las dianas; tal es así, que
usualmente se dota de coordenadas al conjunto de elementos participantes en la primera campaña de
observaciones y esas coordenadas son la que posteriormente se emplean como aproximadas para todas
las campañas posteriores.
Conocidas las posiciones iniciales de estos puntos, se obtienen las distancias aproximadas entre los
pilares y cada una de las dianas, valores que se pueden suponer constantes de una observación a otra,
ya que las variaciones por ser muy pequeñas no van a influir en el resultado final del vector
desplazamiento, como en las expresiones finales de éste se puede comprobar.
Dis tan cia =
(∆X
) + (∆Y
DIANA 2
PILAR
)
DIANA 2
PILAR
[II.21]
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Capítulo II.- Marco referencial y estado del conocimiento actual en las auscultaciones geodésicas clásicas.
La base sobre la que se fundamenta el cálculo gráfico consiste en evaluar el valor del desplazamiento
para un incremento angular entre dos observaciones consecutivas. El cálculo del incremento angular
entre campañas se puede realizar operando con lecturas del ángulo horizontal o con acimutes:
-
En el caso de tener convertidas las lecturas a acimutes mediante el cálculo de la
desorientación y el posterior cálculo de acimutes, el incremento angular se obtiene restando
los acimutes de cada campaña.
DIANA
DIANA
∆α PD = θ PILAR
(n) − θ PILAR
(n + 1)
-
En el caso de operar con lecturas, si en ambas campañas las lecturas se realizan con el
origen de ángulos horizontales en la misma dirección, el incremento de ángulos se consigue
mediante la resta de lecturas.
DIANA
∆α PD = LDIANA
PILAR ( n ) − LPILAR ( n + 1)
-
[II.22]
[II.23]
En el caso de operar con lecturas tomadas con diferentes orientaciones a la referencia
externa o polar, el cálculo de la variación angular requiere tener en cuenta la diferencia de
orientaciones.
DIANA
POLAR
DIANA
∆α PD = LPOLAR
PILAR ( n) − LPILAR ( n ) − LPILAR ( n + 1) + LPILAR ( n + 1)
[II.24]
Como el incremento angular para este tipo de observaciones es muy pequeño, el arco se sustituye por
la tangente, el radio por la distancia aproximada entre el pilar y la diana y por tanto, se pueden aplicar
las relaciones definidas para dos infinitésimos que resultan:
Desplazamiento =
∆α PD ⋅ D
r"
[II.25]
tal y como se puede apreciar en la siguiente figura:
Figura Número II.20.- Sustitución del arco por la tangente.
Sobre un plano a gran escala (5/1 ó 10/1) se sitúa la posición inicial, y a partir de ella se marcan todas
las direcciones con su desplazamiento. En un caso ideal, las direcciones con sus correspondientes
desplazamientos, uno por pilar, definen la nueva posición de la diana, lugar geométrico donde se
cortan todas las direcciones, situación que habitualmente no sucede, debido a que por los errores que
se cometen al observar, las visuales en vez de cortarse en un punto único, se cortan dos a dos,
definiendo un polígono con tantos lados como visuales realizadas desde pilares auscultación tenga la
diana.
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Capítulo II.- Marco referencial y estado del conocimiento actual en las auscultaciones geodésicas clásicas.
El resultado final hay que establecerlo a estima y dentro de ese polígono que se obtiene gráficamente,
poniéndose generalmente en el centro del mismo, salvo que se desee dar más peso a alguna de las
visuales realizadas, hecho no frecuente. En la siguiente figura se muestra un gráfico habitual de la
resolución de una diana de puntería por este método.
Figura Número II.21.- Resolución del desplazamiento de una diana por el método gráfico.
Las dimensiones del polígono son importantes, dado que representan el error cometido en el conjunto
de observaciones realizadas para la determinación del vector desplazamiento, y como el gráfico se
hace a escala, éstas son cuantificables.
4.4.- MÉTODO DE VARIACIÓN
INTERSECCIONES DIRECTAS.
DE
COORDENADAS
EN
LAS
El fundamento en el que se apoya el método de variación de coordenadas es relativamente sencillo de
entender ya que se sabe que al variar un ángulo evaluado desde un punto fijo, cambian de una forma
concreta las coordenadas del punto extremo de la siguiente forma:
Figura Número II.22.- Variación de coordenadas cuando una diana sufre un desplazamiento angular.
j = Diana
tgθ i j =
Xi − X j
Yi − Y j
i = Pilar
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Capítulo II.- Marco referencial y estado del conocimiento actual en las auscultaciones geodésicas clásicas.
Yi − Y j
Xi − X j
1
dθ i j =
dx −
dy
2
2
j
Cos θ i
(Yi − Y j )
(Yi − Y j )2
(Y − Y )
(D )
2
j
2
Cos θ i =
i
i
(D )
(Y
i
i
j 2
− Yj )
dθ i j =
2
dθ i j =
1
(D )
i
Yi − Y j
(Y
[∆ Y
j 2
j
j 2
−Yj )
2
i
Xi − X
(Y
j
2
− Yj )
i
dy
]
j
i
dx −
⋅ dx − ∆ X i j ⋅ dy + r
[II.26]
A partir de esta ecuación particularizada para cada uno de los cuatro pilares se obtiene un sistema de
cuatro ecuaciones con dos incógnitas que habitualmente se resuelve por medio de un sencillo sistema
de matrices, como a continuación puede verse:
1
∆θ I =
i
(D )
i
1
∆θ II =
∆θ III =
1
(D )
i
j 2
1
(D )
i
j 2
⋅ dx − ∆X i j ⋅ dy
j
⋅ dx − ∆X i j ⋅ dy
]
j
⋅ dx − ∆X i j ⋅ dy
]
i
j 2
[∆Y
i
[∆Y
i
]
j
[∆Y
(D )
i
∆θ IV =
[∆Y
j 2
j
⋅ dx − ∆X i j ⋅ dy
]
[II.27]
donde:
∆θ.- incremento angular entre campañas.
Di j .- distancia aproximada entre cada pilar y diana.
∆X.- incremento de abscisas aproximadas entre pilar y diana.
∆Y.- incremento de ordenadas aproximadas entre pilar y diana.
pudiéndose resolver de la forma:
[∆θ ] = [A]⋅ [X ]
∆θ = A⋅ X
[II.28]
At ⋅ ∆θ = At ⋅ A ⋅ X
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Capítulo II.- Marco referencial y estado del conocimiento actual en las auscultaciones geodésicas clásicas.
At ⋅ ∆θ = P 
−1
 P = N ⋅X ⇒ X = N ⋅P
t
A ⋅ A = N 
[II.29]
Debido a que habitualmente se observa a más de dos puntos de seguridad, existe una redundancia de
datos que permite establecer las desviaciones de una forma sencilla:
∆θ = A ⋅ X + R
R = ∆θ − A ⋅ X
[II.30]
Por lo que se puede decir que la varianza se obtiene como:
S2 =
Rt R
m−n
[II.31]
siendo:
m.- número de ecuaciones = número de visuales desde pilares.
n.- número de incógnitas = dx , dy.
Y la covarianza de las incógnitas:
2
C=S N
−1
 σ X 2 σ YX 

=
σ σ 2 
 XY Y 
[II.32]
Aplicando la teoría de autovalores y autovectores:
σ2 =
σ
1 2
σ X + σ Y 2 ± (σ X 2 − σ Y 2 ) 2 + 4σ XY 2  ⇒ σ  máx


2
σ mín
tg 2θ =
2σ XY
2
2
σY − σ X
Figura Número II.23.- Establecimiento de la elipse de error en variación de coordenadas.
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Capítulo II.- Marco referencial y estado del conocimiento actual en las auscultaciones geodésicas clásicas.
4.5.- MÉTODO DE VARIACIÓN
INTERSECCIONES INVERSAS.
DE
COORDENADAS
EN
LAS
Para determinar la estabilidad de los pilares se efectúan intersecciones inversas desde el propio pilar a
los puntos de seguridad, caracterizados porque sus coordenadas se consideran fijas a lo largo del
tiempo ya que su posición se encuentra totalmente alejada y, por tanto, fuera del área de influencia del
elemento a auscultar.
Para establecer las coordenadas del pilar a partir de las coordenadas de los puntos de seguridad se
observan los ángulos existentes entre estos y el pilar.
Figura Número II.24.- Establecimiento de los ángulos de la intersección inversa múltiple.
Para resolver el método de variación de coordenadas para intersecciones inversas es necesario
establecer: los ángulos existentes entre el pilar y cada punto de seguridad, y las coordenadas iniciales
de la red de vértices ajustadas por mínimos cuadrados.
Para cada campaña posterior al cálculo inicial de la red hay que presuponer las coordenadas de la red
como aproximadas, y a partir de esta suposición se construye el método de variación de coordenadas
para el cálculo de la hipotética nueva situación del pilar.
Con las hipótesis anteriores se puede aplicar el método general de variación de coordenadas, de forma
totalmente análoga al caso de las intersecciones directas:
Figura Número II.25.- Variación de coordenadas aplicada a las intersecciones inversas.
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63
Capítulo II.- Marco referencial y estado del conocimiento actual en las auscultaciones geodésicas clásicas.
estableciéndose la siguiente relación, para cada punto de seguridad observado desde el pilar objeto de
análisis:
∆θ =
1
(D )
i
j 2
[∆Y
i
j
⋅ dx − ∆X i j ⋅ dy
]
[II.33]
donde, nuevamente:
∆θ.- incremento angular entre campañas.
Di j .- distancia aproximada entre cada pilar y diana.
∆X.- incremento de abscisas aproximadas entre pilar y diana.
∆Y.- incremento de ordenadas aproximadas entre pilar y diana.
pudiéndose resolver de la forma:
[∆θ ] = [A]⋅ [X ]
∆θ = A⋅ X
[II.34]
At ⋅ ∆θ = At ⋅ A ⋅ X
At ⋅ ∆θ = P 
−1
 P = N ⋅X ⇒ X = N ⋅P
t
A ⋅ A = N 
[II.35]
Al igual que en el caso de las intersecciones directas, se puede establecer la desviación cometida
debido a la captura de datos redundantes, obteniéndose con expresiones totalmente análogas a las
anteriores.
Se puede decir que la varianza se obtiene como:
∆θ = A ⋅ X + R
R = ∆θ − A ⋅ X
[II.36]
Rt R
S =
m−n
[II.37]
siendo:
2
m.- número de puntos de seguridad observados.
n.- número de incógnitas = dx , dy.
Y la covarianza de las incógnitas:
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64
Capítulo II.- Marco referencial y estado del conocimiento actual en las auscultaciones geodésicas clásicas.
2
C=S N
−1
 σ X 2 σ YX 

=
σ σ 2 
 XY Y 
[II.38]
Aplicando la teoría de autovalores y autovectores:
σ
1
σ 2 = σ X 2 + σ Y 2 ± (σ X 2 − σ Y 2 ) 2 + 4σ XY 2  ⇒ σ  máx

2
σ mín
tg 2θ =
2σ XY
σY 2 −σ X 2
en la que todos los valores obtenidos que permiten reflejar la geometría de la elipse de error, tienen el
mismo componente gráfico que en el caso de las intersecciones directas, motivo por el cual se hace
referencia a la figura número II.23 de éste mismo capítulo, donde se describe cada uno de ellos.
4.6.- INTERSECCIONES INVERSAS GRÁFICAS O NUMÉRICAS A TRAVÉS DE
LAS PROPIEDADES DEL ARCO CAPAZ.
Aunque en la mayoría de las auscultaciones los pilares de observación no se mueven, en los casos que
exista la posibilidad de movimientos, o porque el sistema de centrado forzoso tenga alguna
deficiencia, es especialmente útil y cómodo el presente método. La observación a una serie de
referencias fijas desde el pilar (puntos de seguridad), permite evaluar el ángulo (γ) que forman cada
dos visuales como diferencia de lecturas y, por tanto, exento de errores sistemáticos. Estos ángulos
darán lugar a unos arcos capaces y, en el caso de que no exista movimiento por parte del pilar, el
ángulo (γ) será el mismo en cada observación, salvo la incertidumbre implícita en la instrumentación.
Figura Número II.26.- Determinación del arco capaz entre dos puntos.
Al estar el punto P determinado por la intersección de los arcos capaces generados por las diferentes
visuales, resulta evidente que cualquier variación que se produzca en los ángulos observados a lo largo
de diferentes campañas determina a su vez el desplazamiento en la posición del pilar entre campañas.
La variación angular entre campañas se obtiene en base a la diferencia de ángulos observados entre
dichas campañas, que para dos puntos de seguridad observados resulta:
e = (γ
n+1)-(γ n)
[II.39]
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Capítulo II.- Marco referencial y estado del conocimiento actual en las auscultaciones geodésicas clásicas.
Sea TT’ la recta “r” tangente a P en el arco capaz S del ángulo γ. Si se supone que al medir γ se
produce una variación llamada “e”, para obtener la nueva posición del punto P en el arco capaz S’ de
ángulo γ-e bastará con construir en A y hacia el exterior del triángulo ABP, un ángulo “e”, obteniendo
la posición de un punto “b” en el que la recta Ab corta a la prolongación de BP, ya que evidentemente
el ángulo en “b” vale γ-e. Procediendo de modo análogo en el vértice B se obtiene otro punto “a”,
también del mismo arco capaz S’, luego la recta “ba” es una cuerda del arco capaz S’, del ángulo γ-e.
Dadas las dimensiones de los arcos capaces y las escasas variaciones angulares, se puede considerar
sin cometer error que la cuerda se confunde con la recta r’ tangente al arco capaz S’ en “m” definida
por las direcciones T1T1’, tal y como se puede apreciar en la siguiente figura.
Figura Número II.27.- Determinación del nuevo arco capaz cuando existe variación angular.
De la figura se deduce que los ángulos:
Pba = 1 = BAP
ya que ambos proceden de la igualdad:
BPT ' = 1 = BAP
Resultando, por tanto, que las rectas tangentes r y r’ definidas respectivamente por las direcciones TT’
y T1T1’ son paralelas, es decir, que la tangente se desplaza paralelamente a si misma como
consecuencia de la variación angular. Evidentemente, si la variación es por defecto, como en el caso
considerado, el desplazamiento del pilar se produce alejándose de la base AB, y acercándose la
variación se produce por exceso.
Para determinar la magnitud del desplazamiento, la cual queda definida por la perpendicular trazada
desde P hasta la recta r’ denominada Pm, es necesario trazar desde “b” una perpendicular a la recta Pa,
gracias a lo cual se generan dos triángulos rectángulos semejantes abn y aPm, en los cuales tienen el
ángulo a común, tal y como se puede apreciar en la siguiente figura:
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Capítulo II.- Marco referencial y estado del conocimiento actual en las auscultaciones geodésicas clásicas.
Figura Número II.28.- Desplazamiento del pilar debido a la variación angular.
Luego:
Pm Pa
Pa
=
⇒ Pm = bn ⋅
bn ba
ba
[II.40]
A su vez el triángulo Pba es semejante al PAB, ya que tienen sus ángulos iguales, por tanto:
Pa PB
=
ba AB
[II.41]
valor que sustituido en la ecuación anterior resulta:
Pm = bn ⋅
PB
AB
[II.42]
El valor de bn se puede aproximar al arco correspondiente al ángulo “e” y radio PA, expresando en
radianes resulta:
bn = PA ⋅ e
[II.43]
Sustituyendo bn en la expresión anterior permite determinar el valor del desplazamiento para las
visuales realizadas a dos puntos de seguridad:
Pm =
PA ⋅ PB
⋅e
AB
[II.44]
donde habitualmente se suele denominar “Df = distancia ficticia” a la parte constante de la ecuación
matemática, dependiente de la geometría de los puntos de seguridad y del propio pilar, que permite
facilitar el cálculo del desplazamiento en el momento que se tiene la variación angular:
Df =
PA ⋅ PB
AB
[II.45]
La nueva posición de punto P, habitualmente denominada P’, se encontrará en un entorno muy
próximo, pero siempre en la recta r’, tangente al nuevo arco capaz S’. La ecuación de dicha recta
resulta:
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67
Capítulo II.- Marco referencial y estado del conocimiento actual en las auscultaciones geodésicas clásicas.
r' ⇒
y = m⋅ x + n
[II.46]
donde:
m = tg (360 − K )
n=
PP'
Cos (360 − K )
[II.47]
[II.48]
El valor de K depende de si la variación angular es por exceso o por defecto:
e > 0 ⇒ K = θ PP ' = θ AP + 90 − B
[II.49]
e < 0 ⇒ K = θ PP ' + 180 = θ AP + 270 − B
[II.50]
Observados todos los datos en cada campaña, bastará comparar las observaciones de una campaña con
la anterior, y calcular para cada segmento: AB, BC, AC, etc., y sus correspondientes eAB, eBC, eAC, etc.
Con las distancias ficticias conocidas a priori se calcula: PP’AB, PP’BC, PP’AC, etc., los acimutes y, por
tanto, los coeficientes mAB, mBC, mAC, etc. y nAB, nBC, nAC, etc., determinándose así las rectas rAB, rBC,
rAC, etc. Como en cada caso el origen es el punto P, su representación es inmediata, tanto manual como
automáticamente. Debido a los errores instrumentales y accidentales, las rectas normalmente no se
cortan en un único punto y se suele generar un polígono de error, en el que posteriormente se debe
situar el punto final en el centro del mismo.
Elegido el punto final dentro del polígono, el vector desplazamiento final del pilar, en el que se
encuentran reflejadas todas las observaciones realizadas a los diferentes puntos de seguridad, se
determina gráficamente, tal y como se puede apreciar en la siguiente figura, en la que se determina el
vector desplazamiento tanto por su módulo como por su dirección.
Figura Número II.29.- Desplazamiento con cuatro visuales.
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Capítulo II.- Marco referencial y estado del conocimiento actual en las auscultaciones geodésicas clásicas.
El método habitualmente es muy preciso puesto que existen muchas observaciones y, por lo tanto, se
genera redundancia de datos, lo que permite modelar un comportamiento cuando se hacen sucesivas
campañas. En el caso de que el pilar haya sufrido algún desplazamiento, se deben corregir todas las
lecturas realizadas desde el pilar al conjunto de dianas observadas, para lo que se recurre al clásico
mecanismo de excentricidad, tal y como se puede apreciar en la siguiente figura.
Figura Número II.30.- Variación del ángulo ante la posibilidad de movimiento del pilar.
4.7.- DISEÑO DE LAS REDES IMPLICADAS.
Como se ha comentado en el epígrafe 3.2.1 de este capítulo, la importancia del diseño de las diferentes
redes que intervienen en la auscultación es vital para determinar el error esperado a priori en la
resolución de la propia auscultación. En este sentido cabe reseñar que las redes que intervienen en la
auscultación angular son tres: la red de puntos de seguridad, la red de pilares de auscultación y la red
de dianas. Las dos primeras resuelven mediante intersecciones inversas el posible desplazamiento que
pueden sufrir los pilares entre campañas, las dos últimas resuelven mediante intersecciones directas el
posible desplazamiento que pueden sufrir las dianas entre campañas.
Tal y como se ha demostrado en los epígrafes 4.4 y 4.5 de este capítulo, el error esperado en la
resolución de las intersecciones directas o inversas se resuelve mediante las mismas expresiones
analíticas, particularizadas para cada caso concreto. Dichas expresiones ya han sido justificadas
previamente, obteniéndose las siguientes ecuaciones:
1
σ 2 = σ X 2 + σ Y 2 ± (σ X 2 − σ Y 2 ) 2 + 4 ⋅ σ XY 2 

2
[II.51]
donde σx, σy, σxy se obtienen de la matriz de covarianzas:
2
C = S ⋅N
−1
 σ X 2 σ YX 

=
σ σ 2 
 XY Y 
[II.52]
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Capítulo II.- Marco referencial y estado del conocimiento actual en las auscultaciones geodésicas clásicas.
siendo:
Rt R
S =
⇒
m−n
2
N
−1
R = ∆θ − A ⋅ X
∆Yi j
− ∆X i j
Di j
∆Yi k
2
Di j
− ∆X ik
Dk
⇒ N = A ⋅A ⇒ A= i l
∆Yi
2
2
Dik
− ∆X il
Dil
∆Yi m
Dil
− ∆X im
2
Dim
t
Dim
2
2
[II.53]
2
2
De la expresión anterior se deduce que el error esperado es función de las siguientes variables:
-
La precisión en la medida de los ángulos, dado que esta precisión condiciona la matriz de
variaciones angulares [∆θ].
-
La geometría o disposición relativa del conjunto de puntos que forman la red, cuya
relevancia se define en la matriz de configuración de la red [A].
-
El número de visuales que intervienen en la observación condicionando el cálculo de la
varianza “S2”, concretamente en el denominador de ésta [m-n].
El análisis de estas variables justifica la existencia de dos grados de libertad a la hora de diseñar las
diferentes redes implicadas con relación a los parámetros dependientes, el instrumento a emplear y el
error esperado:
-
Considerando el teodolito disponible como fijo, por la causa que sea, no hay otro, es el más
preciso, etc. Se diseña la red jugando con la posición relativa de los puntos que la
conforman y la intervisibilidad entre los diversos puntos que intervienen, garantizando que
el posicionamiento de éstos hace que la matriz [A] y el valor de [m-n] tengan el mejor
rango para obtener un σ mínimo. Llegado este caso se recomienda programar el
procedimiento de cálculo anterior, de forma que ensayando con diferentes geometrías y
visuales, se pueda escoger aquélla que hace mínima σ.
-
Considerando la red de puntos fijos, hecho muy habitual salvo en aquellos casos en los que
es la primera vez que se realiza este tipo de observaciones, y por tanto, hay que diseñar
íntegramente la auscultación, se puede calcular para diversos instrumentos (teodolitos)
caracterizados por su tolerancia, el instrumento que hace mínima σ. Para ello tan sólo es
necesario coger el procedimiento matemático anterior y dejando fija la matriz [A] y el valor
de [m-n] ir ensayando con los diferentes valores de [∆θ] hasta conseguir el que menor σ
genere. Este caso es más sencillo que el anterior, ya que la tolerancia del teodolito es
directamente proporcional al error esperado a priori, con lo que a mejor teodolito mejor
error esperado, siendo sólo necesario calcular el error esperado a priori con el teodolito
disponible.
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Capítulo II.- Marco referencial y estado del conocimiento actual en las auscultaciones geodésicas clásicas.
5.- LA OBSERVACIÓN DISTANCIOMÉTRICA.
5.1.- INTRODUCCIÓN.
Siguiendo un desarrollo paralelo a los métodos angulares, las posibles operaciones o procedimientos
sustitutivos de las intersecciones directas, intersecciones inversas y triangulación serían la intersección
directa de distancias, intersección inversa de distancias y trilateración, aunque en el caso anterior sería
muy sencillo pasar, en cálculos, de distancia a ángulo y seguir la metodología habitual de la forma
siguiente.
El conocimiento de (xI,yI) y (xII,yII) permite conocer:
DIII =
(xII − xI )2 + ( y II − y I )2
[II.54]
Medidas DIV y DIIV, se calcula α ó β según:
(D ) = (D ) + (D )
V 2
II
II 2
I
V 2
i
− 2 ⋅ DIII ⋅ DIV ⋅ cos α
( ) ( ) ( )
 DV 2 − D II − DV
I
I
α = Arc cos II
II
V

2
⋅
D
⋅
D
I
I

2




[II.55]
[II.56]
5.1.1.- INTERSECCIÓN DE DISTANCIAS.
En el establecimiento de la posición de puntos por medio de la medición de distancias, para el caso de
dos pilares PI(xI,yI) y PII(xII,yII), establecidas las distancias, las coordenadas del punto V se obtienen en
el sistema referencial definido por los pilares mediante las expresiones:
(xV − xI )2 + ( yV − yI ) 2 = (DIV )2 
2
2
( xV − xII ) 2 + ( yV − y II ) = (DIIV ) 
[II.57]
Figura Número II.31.- Esquema genérico de la trilateración.
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Capítulo II.- Marco referencial y estado del conocimiento actual en las auscultaciones geodésicas clásicas.
El sistema se caracteriza porque tiene dos ecuaciones con dos incógnitas, por lo que se puede resolver
de forma sencilla y estricta. Este procedimiento de resolución otorga a la distancia dos propiedades
características que la diferencian del observable angular, la primera es la total independencia del
observador, y la segunda, y no por ello menos importante, la pérdida de protagonismo de la posición
del instrumento topográfico en los vértices de coordenadas conocidas, quedando el concepto de
intersección directa e inversa restringido a la determinación de la ubicación del instrumento dentro de
los vértices del triángulo.
Al igual que en las observaciones angulares es necesario continuar con los sistemas en los que se
observa la distancia de forma múltiple, obteniendo un sistema más complejo, pero con redundancia de
datos, que permite obtener comprobaciones y errores, generando así las llamadas intersecciones
múltiples de distancia.
Figura Número II.32.- La distancia en la intersección inversa múltiple.
( xPI − xD ) 2 + ( y PI − y D ) 2 = ( DPID ) 2
D 2
( xPII − xD ) 2 + ( y PII − y D ) 2 = ( DPII
)
D
( xPIII − xD ) 2 + ( y PIII − y D ) 2 = ( DPIII
)2
[II.58]
.....................................................
( xP − xD ) 2 + ( y P − y D ) 2 = ( DPD ) 2
El tradicional sistema indeterminado, pero con más ecuaciones que incógnitas, requiere de un
procedimiento que lo sustituya, lo mecanice y consiga tener un tratamiento estadístico adosado. En
este caso, en el que existen más ecuaciones que incógnitas, existe redundancia de datos y partiendo de
la matriz de residuos, se puede obtener interesante información que refleje la bondad del resultado
obtenido.
5.1.2.- LA PROBLEMÁTICA DE LA OBSERVACIÓN.
La toma de datos en campo con observación angular sigue siendo la estrategia habitual en la mayor
parte de los trabajos de campo, pero la clásica observación angular está siendo sustituida por la de
distancias. Debido fundamentalmente a la extraordinaria precisión que la distanciometría electrónica
ha otorgado a la observable distancia.
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72
Capítulo II.- Marco referencial y estado del conocimiento actual en las auscultaciones geodésicas clásicas.
Esta circunstancia, añadida a la indeterminación en las punterías cuando se utilizan paneles de prismas
para realizar las orientaciones externas, debido a la falta de perpendicularidad del plano del prisma con
el eje de colimación, crea una mini-desorientación tanto en planta como en alzado que altera los
ángulos acimutal y cenital, circunstancia despreciable para la observable distancia.
Figura Número II.33.- Problemática de las observaciones en campo.
5.2.- INSTRUMENTAL TOPOGRÁFICO.
El instrumental topográfico empleado en la observación distanciométrica es la estación topográfica
total marca Leica, modelo TC-2003, y cuyo distanciómetro fundamentalmente se caracteriza por tener
una precisión de 1mm+1ppm.
Además, como complemento indispensable, se emplearon prismas reflectores para la observación de
distancias, así como las basadas que permiten montar el equipo con su base nivelante en un
mecanismo de centrado forzoso.
Asimismo, para establecer los parámetros atmosféricos necesarios y poder obtener la corrección
meteorológica con una precisión de 1 ppm., se empleó una estación meteorológica que marca
directamente en pantalla de cristal líquido los datos de presión, temperatura y humedad relativa en el
momento de realizar la observación, como puede apreciarse en la siguiente figura.
Figura Número II.34.- Estación meteorológica.
Para determinar los parámetros atmosféricos se recomienda utilizar simultáneamente dos estaciones
meteorológicas, una ubicada en el pilar y manipulada por el observador, y otra en el lugar donde se
ubica el prisma reflector y manejada por el auxiliar, de forma que se pueda establecer una corrección
atmosférica promedio, mucho más aproximada a la trayectoria real que recorre la onda
electromagnética en el momento de realizar la medición.
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5.3.- MÉTODO DE OBSERVACIÓN.
Así como en la medida de ángulos los métodos de observación están perfectamente acotados en
función de la precisión que se pretenda obtener, en la medida de distancias no existen unos métodos
preconcebidos, motivo por el cual la observación de distancias se recomienda que sea realizada con la
misma metodología que los ángulos, es decir, mediante vueltas de horizonte realizadas en círculo
directo, de forma que se obtengan tres series de mediciones en cada pilar.
5.3.1.- CONTROL DE LAS OBSERVACIONES DISTANCIOMÉTRICAS.
La influencia del observador en el resultado final de las distancias observadas es mínima, ya que ésta
depende exclusivamente de factores meramente instrumentales, pero para cumplir esta premisa es
fundamental que el observador tenga en cuenta los siguientes factores de vital importancia.
5.3.1.1.- LA CORRECCIÓN ATMOSFÉRICA.
El principio de medición de distancias mediante instrumentos electrónicos es el siguiente: se coloca el
instrumento en uno de los extremos del tramo a medir y un prisma en el otro; el instrumento emite un
tren de ondas que se propaga a través del medio hasta el prisma, se refleja en éste y regresa al propio
instrumento. La medición del tiempo de viaje de la onda (o de la diferencia de fase entre la onda
emitida y recibida) permite el cálculo de la distancia entre el aparato y el prisma. En dicho cálculo, y
debido a efectos secundarios, es necesario tener en cuenta varios efectos correctores.
Figura Número II.35.- Efecto de la refracción en la medida electrónica de distancias.
El efecto corrector más importante se denomina “Variación en la velocidad de propagación” y su
fundamento a grandes rasgos se caracteriza porque la onda atraviesa diferentes capas de la atmósfera,
cada una de ellas con un índice de refracción distinto, por lo que la velocidad con la que se propaga
por el medio será distinta a la velocidad teórica de la radiación electromagnética en el vacío. Para
corregir este fenómeno, a la distancia se le debe aplicar la denominada “corrección por velocidad de
propagación”, más conocida como “refracción atmosférica”. El conocimiento de la velocidad de
propagación del tren de ondas por el medio es de gran importancia para el cálculo de la distancia,
pudiéndose expresar de la forma:
v=
co
n
[II.59]
donde:
co.- velocidad de la radiación electromagnética en el vacío.
n.- índice de refracción del medio en el que se propagan las ondas.
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Capítulo II.- Marco referencial y estado del conocimiento actual en las auscultaciones geodésicas clásicas.
Por lo tanto, el conocimiento del índice de refracción es básico para la aplicación de la corrección por
velocidad. Normalmente, el aparato proporciona una distancia para una atmósfera hipotética que viene
definida por el índice de refracción estándar, esto es:
do =
Co ⋅ t
ns
[II.60]
donde:
t.- mitad del tiempo invertido por el tren de ondas en el trayecto desde la estación.
Co.- velocidad de la radiación electromagnética en el vacío.
ns.- índice de refracción para una atmósfera estándar.
Cuando un fabricante establece las normas de comportamiento del distanciómetro, dada la variabilidad
atmosférica existente, fija unas condiciones estándar dependiendo esencialmente de los dos parámetros
básicos: presión y temperatura.
Es usual en instrumentación asiática emplear como principales parámetros:
[presión: 1013 mb, temperatura: 15oC]
Y en instrumental centroeuropeo:
[presión: 1013 mb, temperatura: 12,5oC]
Así se obtiene, para ambos casos, la verdadera distancia si la atmósfera real del instante de la
observación coincide con dichos valores. Lo usual será lo contrario y se puede afirmar que habrá que
realizar una corrección adecuada por variación de la velocidad de propagación.
A.- Cálculo del coeficiente instantáneo de variación.
Cuando el instrumento de medida evalúa de manera directa la distancia ha calculado de una forma
simple el siguiente valor:
D=
Co ⋅ t
nS
[II.61]
Siendo:
t.- mitad del tiempo invertido por el tren de ondas en el trayecto desde la estación.
Co.- velocidad de la radiación electromagnética en el vacío.
nS.- índice de refracción estándar.
En el momento de la medición, el índice de refracción de la atmósfera será, con gran probabilidad,
mayor o menor que el estándar y, por lo tanto, la medida obtenida resultará errónea, motivo por el que
se hará necesario hacer la corrección:
DR = Distancia real =
Co ⋅ t
nR
[II.62]
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Capítulo II.- Marco referencial y estado del conocimiento actual en las auscultaciones geodésicas clásicas.
Dm = Distancia medida =
Corrección = DR − Dm =
Co ⋅ t
nS

n

Co ⋅ t Co ⋅ t Co ⋅ t  nS
 − 1 = Dm  S − 1
−
=
nR
ns
ns  n R 
 nR 
[II.63]
[II.64]
B.- Resolución habitual del coeficiente instantáneo de variación.
Los fabricantes de instrumentos topográficos resuelven el problema de manera simple, empleando una
fórmula práctica, que permite obtener la corrección atmosférica de una forma rápida y lo
suficientemente precisa para la mayor parte de los casos:
Corrección = 282,2 −
0,2908
⋅P
1 + 0,00366 ⋅ T
[II.65]
en la que cada término es:
C.- corrección en partes por millón (ppm).
T.- temperatura (ºC).
P.- presión (mb).
También, y con el objetivo de simplificar aún más el problema, construyen unos ábacos que permiten
establecer la mencionada corrección en función de la presión y la temperatura, tal y como se puede
apreciar en la siguiente figura:
Figura Número II.36.- Ábaco de corrección atmosférica.
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Capítulo II.- Marco referencial y estado del conocimiento actual en las auscultaciones geodésicas clásicas.
C.- Estudio riguroso del coeficiente instantáneo de variación.
Para una atmósfera estándar definida como el aire con un contenido del 0,03% de CO2, a una
temperatura de 0oC, una presión de 760 mmHg y ausencia de humedad, Barrell y Sears definieron el
índice de refracción estándar para una onda monocromática como:
16,288 0,136  −7

nONDA = 1 + 2.876,04 +
+ 4  ⋅10
λ2
λ 

[II.66]
λ.- longitud de onda en micras (µm).
Si se trata de instrumentos de infrarrojos, la luz se emite mediante trenes de ondas, por lo que el índice
de refracción será el del grupo, que para una atmósfera estándar (0oC, 760 mmHg, 0,03% CO2) y
también sin humedad, viene dado por:
16,288
0,136 

nGRUPO = 1 + 2.876,04 + 3 ⋅
+ 5 ⋅ 4  ⋅ 10− 7
2
λ
λ 

[II.67]
Esta relación se experimentó para longitudes de onda entre 0,436 y 0,644 micras y en la actualidad
está demostrado que tiene validez hasta el infrarrojo cercano.
Cuando el grupo de ondas se encuentra en un medio diferente al estándar, según Barrel y Sears el
índice del grupo de ondas resulta:
(n
6
6
pte − 1)⋅ 10 = (nGRUPO − 1) ⋅ 10
[
]
P ⋅ 1 + P(1,049 − 0,0157 ⋅ T ) ⋅10 −6 
0,00204 
e
−  0,0624 −
⋅
2
760,606 ⋅ (1 + α ⋅ T )
λ

 (1 + α ⋅ T )
[II.68]
Simplificando la expresión resulta:
ntpe = 1 +
nGRUPO − 1 P
5.5 ⋅ e ⋅ 10 −8
−
1 + α ⋅ T 760
1+ α ⋅T
[II.69]
El rango de validez de esta relación es el siguiente:
10ºC < T < 30oC
720 mmHg < P < 800 mmHg
e ∼ 20 mmHg
estableciendo la corrección definitivamente como:
n

Corrección = Dm  S − 1
 nR 
[II.70]
Expresión en la que únicamente hay que sustituir los valores de las condiciones estándar y los
particulares del medio para establecer el valor de la corrección.
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77
Capítulo II.- Marco referencial y estado del conocimiento actual en las auscultaciones geodésicas clásicas.
Si se considera una atmósfera real (presión p y temperatura t) en presencia de humedad, resulta una
relación más compleja. La influencia de la humedad en el aire queda cuantificada por el parámetro e,
tensión (o presión) de vapor.
La atmósfera tiene vapor de agua que ejerce una presión determinada, presión de vapor (mmHg). Para cada
temperatura de la atmósfera (temperatura seca) existe un valor característico.
Temperatura
ºC
Presión de
Vapor Agua
(mmHg)
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
4,58
6,54
9,21
12,79
17,54
23,76
31,82
42,18
55,32
71,88
92,51
Tabla Número II.1.- Temperaturas y presiones del vapor de agua.
Para establecer la presión del vapor de agua existen dos mecanismos: el primero se apoya en el empleo
de un psicómetro y el segundo en el empleo de un higrómetro, haciéndolo los dos con parecida
precisión, pero es el higrómetro el instrumento más empleado actualmente.
Un psicómetro está formado por dos termómetros, uno normal y otro con depósito de mercurio
recubierto con gasa mojada en agua destilada. El termómetro normal marca la temperatura seca del
aire (ts) y el húmedo, al enfriarse su depósito y evaporarse el agua, indicará una temperatura inferior
(th). En función de las temperaturas obtenidas, seca y húmeda, se calcula el valor de la tensión de
vapor, mediante:
e = E − 0,00066 ⋅ (1 + 0.0115 th ) ⋅ p ⋅ (t − th )
[II.71]
donde:
th.- temperatura húmeda en grados centígrados.
E.- tensión máxima de vapor de agua en milímetros de mercurio, la cual se puede obtener de la
tabla anterior o con más precisión mediante la siguiente expresión:
log E = 26,1262 −
3.049,50
− 5,86970 ⋅ log(273,2 + th )
273,2 + th
[II.72]
Utilizando un higrómetro que marca directamente la humedad relativa H%, la tensión de vapor e se
obtiene de la forma:
e=
H%
E
100
[II.73]
siendo E la presión de saturación, incluida en el cuadro anterior y dependiente de la temperatura seca o
la obtenida en la expresión anterior para mayor precisión.
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78
Capítulo II.- Marco referencial y estado del conocimiento actual en las auscultaciones geodésicas clásicas.
Tradicionalmente, la humedad ha sido un parámetro que se ha despreciado en el cálculo de la
corrección atmosférica por su escasa influencia, pero en la situación actual de la instrumentación
topográfica no se debe obviar porque su valor puede ser mayor que la tolerancia del propio
distanciómetro (1 mm +1 ppm.).
5.3.1.2.- CORRECCIÓN POR CURVATURA DE LA TRAYECTORIA.
El haz de ondas que realiza la medición recorre una trayectoria no rectilínea en el espacio. En una
primera y simplista aproximación, se puede considerar que sigue un recorrido circular. La corrección
geométrica se aborda mediante la reducción a la cuerda de la distancia tomada en campo y, por tanto,
se puede considerar sobre la circunferencia.
La expresión resultante se demuestra de forma sencilla, para lo que hay que relacionar
matemáticamente la expresión que liga la circunferencia de refracción y la cuerda, resultando:
Corrección = −
K 2 ⋅ D3
K 4 ⋅ D5
+
24 ⋅ R 2 1.920 ⋅ R 4
[II.74]
Si se sustituyen los diferentes valores a emplear en la expresión:
K.- coeficiente de refracción.
D.- distancia observada en campo.
R.- radio de la esfera local.
se demuestra que el valor de esta corrección empieza a tener valores significativos para distancias muy
grandes (del orden de 10.000 metros), tremendamente grandes si se comparan con las que se observan
en este tipo de redes manejadas en auscultaciones geodésicas o, por ejemplo, en el presente trabajo de
investigación, donde no se sobrepasa los 200 metros, motivo por el cual esta corrección se desprecia
directamente.
5.3.1.3.- LA CONSTANTE DE EQUIPO.
Los distanciómetros emiten una onda desde su centro eléctrico, la cual se traslada hasta ser reflejada
en el otro extremo a medir. La no coincidencia entre el eje mecánico del instrumento con su centro
eléctrico y, del mismo modo, la no coincidencia entre el eje mecánico del sistema receptor y su centro
óptico, se conoce como constante de equipo.
Figura Número II.37.- Concepto geométrico de la constante de equipo.
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Capítulo II.- Marco referencial y estado del conocimiento actual en las auscultaciones geodésicas clásicas.
El valor de la constante de equipo habitualmente viene determinada por el fabricante; sin embargo, la
posibilidad de poder variar y añadir al equipo componentes, hace necesario conocer un método que
permita determinar el valor de dicha constante. Para determinar este valor se utiliza el método del
segmento partido, para lo cual sería necesario un mínimo de tres puntos alineados inmóviles sobre una
pendiente nula.
Una vez conocidas las distancias geométricas, como media de las recíprocas de cada segmento, se
determina la constante de equipo como la diferencia entre un tramo y la suma de los segmentos que lo
forman, obteniendo de este modo una constante. Habitualmente se realizan todas las combinaciones
posibles de tramos en la base y se obtienen cinco constantes. La constante de equipo será la media de
las obtenidas. Es importante darse cuenta que no es necesario conocer las distancias reales ya que este
método es autosuficiente.
En el caso del presente trabajo se utilizó la constante de equipo facilitada por el fabricante ya que el
instrumento topográfico empleado acababa de pasar una revisión, estaba calibrado y además no tenía
ningún componente que perturbase dicho valor. Es importante reseñar que si su valor se mantiene
constante en dos campañas sucesivas, su influencia se anula como tal.
5.3.2.- ERRORES EN LA MEDIDA DE DISTANCIAS.
A continuación se revisan las principales causas y fuentes de error que se comenten cuando se
observan distancias por métodos electromagnéticos, aunque antes de dicha revisión se hace necesario
comentar que en los métodos empleados para resolver auscultaciones, al realizar una comparación de
los resultados de distancia obtenidos en diferentes campañas (métodos diferenciales), si éstas se
observan con el mismo instrumental, los errores se anulan, teniendo por tanto una incidencia mínima.
5.3.2.1.- EL ERROR DE DESFASE.
El error de desfase está formado por el error cíclico, que como su nombre indica, se repite en cada
ciclo de medida y, en este caso, en cada longitud de onda. Por ello, el valor M, error que se comete en
una distancia ficticia X, es el mismo más una longitud de onda completa, y un error accidental debido
a que la diferencia de fase solamente se puede medir con la precisión de una milésima de longitud de
onda, es decir, determinando el centímetro, con lo que el milímetro se establece a estima.
Para cuantificar el error cíclico de una medida es necesario conocer la distancia patrón para
compararla con la lectura obtenida en campo. Con la diferencia entre ambas se diseña una gráfica, en
la que se colocarán en el eje de ordenadas los valores de los errores cíclicos y en el de abscisas la
unidad de metro correspondiente. Posteriormente se pueden interpolar los valores del error cíclico de
las unidades de metro no determinadas.
5.3.2.2.- EL ERROR DE ESCALA.
Este error es debido al desajuste en la generación de la onda. Si la frecuencia de modulación aumenta,
las longitudes de onda disminuirán y cabrán más ondas en una distancia, lo que hará que las lecturas
sean mayores que las reales y sea necesario aplicar un factor de escala.
K=
DP
DC
[II.75]
siendo:
Contraste en la ejecución de auscultaciones geodésicas por métodos clásicos y con láser escáner.
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80
Capítulo II.- Marco referencial y estado del conocimiento actual en las auscultaciones geodésicas clásicas.
K.- factor de escala.
Dp.- distancia patrón.
Dc.- distancia corregida de constante de equipo y correcciones atmosféricas.
Al igual que el error anterior, ninguno de los dos tiene incidencia debido al empleo de métodos
diferenciales, en los que cuando la distancia ha sido observada con el mismo distanciómetro, ambos
errores son iguales en la determinación de esa distancia, con lo que ambos se anulan en la
comparación de distancias.
5.3.3.- FUNDAMENTO DE LA CAPTACIÓN DE DISTANCIAS.
En general, la distancia entre pilar y diana en proyección viene dada por la expresión:
Figura Número II.38.- Situación relativa pilar-diana.
La expresión fundamental resulta:
[
Di j = ( X j − X i ) 2 + (Y j − Yi ) 2
]
1/ 2
[II.76]
Diferenciando se obtiene:
dDi j =
1
⋅ ( X j − X i ) 2 + (Y j − Yi ) 2
2
[
dDi j =
1
2
] ⋅ [2 ⋅ ( X
−
j
− X i ) ⋅ dx + 2 ⋅ (Y j − Yi ) ⋅ dy
]
( X j − X i ) ⋅ dx + (Y j − Yi ) ⋅ dy
[( X
2
j
− X i ) + (Y j − Yi )
1
2 2
]
[II.77]
[II.78]
Aplicando resulta:
dDi j =
X j − Xi
Di j
dx +
Y j − Yi
Di j
dy
[II.79]
Siendo “m” el número de ecuaciones de observación y “n” el número de incógnitas, se obtiene:
∆X
∆Y
dx +
dy
D
D
∆X
∆Y
m > 2 → dD =
dx +
dy + R
D
D
m = 2 → dD =
[II.80]
Contraste en la ejecución de auscultaciones geodésicas por métodos clásicos y con láser escáner.
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81
Capítulo II.- Marco referencial y estado del conocimiento actual en las auscultaciones geodésicas clásicas.
6.- RESOLUCIÓN DE LA AUSCULTACIÓN MEDIANTE LA OBSERVACIÓN
DE DISTANCIAS.
6.1.- INTRODUCCIÓN.
Para la resolución de auscultaciones geodésicas mediante la observación de distancias, vuelven a
existir tres grandes procedimientos o métodos de resolución, también denominados método numérico,
método gráfico y método de variación de coordenadas. A continuación se desarrolla cada uno de ellos
con el objeto de explicar sus aspectos más característicos.
6.2.- MÉTODO NUMÉRICO.
El procedimiento se basa en el cálculo de todas las intersecciones directas que se pueden generar con
las observaciones realizadas en cada campaña desde los pilares de auscultación a las dianas de
puntería, existiendo, si se hacen todas las visuales posibles desde cada uno de los cuatro pilares, seis
hipotéticas intersecciones a cada diana de puntería. A partir de ellas se obtienen seis juegos de
coordenadas parecidas, pero no idénticas, para cada diana, consistiendo el método en establecer una
media ponderada de los seis juegos de coordenadas para obtener así unas coordenadas definitivas para
cada diana en cada campaña, consiguiendo finalmente el desplazamiento por diferencia de
coordenadas entre campañas.
En la siguiente figura se puede apreciar el conjunto de las seis intersecciones directas que se generan
en el caso de una diana desde los cuatro posibles pilares:
Figura Número II.39.- Intersecciones directas de una de las dianas de puntería.
En este procedimiento de cálculo tiene gran influencia la geometría de los triángulos con los que se
resuelven las intersecciones, es decir, las coordenadas del conjunto de pilares y las coordenadas
aproximadas de la diana. Esto motiva que al establecer la media ponderada se asignen pesos a cada
intersección en función de la geometría de éstas, que en definitiva no representa más que la precisión
de la propia intersección, siendo ésta la que se detalla a continuación.
Considerando que al realizar las dos observaciones distanciométricas necesarias en toda intersección
directa se comete un error en la medida de la distancia εD, se genera una zona de incertidumbre en la
que es previsible que se encuentre realmente la posición del punto objeto de determinación, tal y como
se puede apreciar en la siguiente figura:
Contraste en la ejecución de auscultaciones geodésicas por métodos clásicos y con láser escáner.
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Capítulo II.- Marco referencial y estado del conocimiento actual en las auscultaciones geodésicas clásicas.
Figura Número II.40.- Afección del error distanciométrico en las intersecciones directas.
Considerando que en el entorno de la intersección de visuales, las desviaciones distanciométricas se
pueden considerar perpendiculares, y que la probabilidad de que se produzcan las máximas
desviaciones en ambas visuales es mínima, se encaja en el interior del polígono una elipse cuyo
semieje mayor se considera la tolerancia de las intersecciones directas distanciométricas.
Figura Número II.41.- Elipse de error en las intersecciones directas distanciométricas.
Para el establecimiento del semieje mayor de la elipse de error es necesario apoyarse en la teoría de los
diámetros conjugados de una elipse formulada por Apolonio:
Figura Número II.42.- Valor del diámetro conjugado de la elipse.
Contraste en la ejecución de auscultaciones geodésicas por métodos clásicos y con láser escáner.
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Capítulo II.- Marco referencial y estado del conocimiento actual en las auscultaciones geodésicas clásicas.
En la figura anterior se puede apreciar que en el triángulo VNN’, VN’ es el diámetro conjugado, cuyo
valor es de fácil obtención partiendo de que al valor VN coincide con el valor del error absoluto en la
medición de las distancias, resultando las siguientes expresiones:
sen γ =
VN = ε D
[II.81]
VN
VN
⇒ VN ' =
VN '
senγ
[II.82]
VN ' =
εD
[II.83]
sen γ
Aplicando la teoría de los diámetros conjugados se puede obtener el semieje mayor de la elipse de
error mediante las siguientes expresiones:
a 2 + b 2 = 2 ⋅ VN '2
[II.84]
2 ⋅ a ⋅ b = 2 ⋅ VN '2 ·sen γ
[II.85]
Sumando las dos expresiones anteriores II.84 y II.85 resulta:
a 2 + b 2 + 2 ⋅ a ⋅ b = 2 ⋅VN '2 ⋅(1 + sen γ )
(a + b )2 = 2 ⋅ VN '2 ⋅(1 + senγ )
(a + b ) =
2 ⋅VN '⋅ 1 + sen γ
[II.86]
Restando esas mismas expresiones II.84 y II.85:
a 2 + b 2 − 2 ⋅ a ⋅ b = 2 ⋅ VN '2 ⋅(1 − sen γ )
(a − b )2 = 2 ⋅ VN '2 ⋅(1 − senγ )
(a − b ) =
2 ⋅ VN '⋅ 1 − sen γ
[II.87]
Sumando ahora las dos expresiones deducidas anteriormente II.86 y II.87, se obtiene:
2 ⋅ a = 2 ⋅ VN ' 1 + sen γ + 1 − sen γ
[
]
2 ⋅ VN '
1 + sen γ + 1 − sen γ
2
]
a=
[
[II.88]
Dada la siguiente igualdad trigonométrica:
1
γ
⋅ 1 + sen γ + 1 − sen γ = cos
2
2
[
]
Contraste en la ejecución de auscultaciones geodésicas por métodos clásicos y con láser escáner.
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84
Capítulo II.- Marco referencial y estado del conocimiento actual en las auscultaciones geodésicas clásicas.
Se puede sustituir, obteniendo una expresión mucho mas reducida del semieje mayor de la elipse:
a = 2 ⋅ VN '⋅ cos
γ
[II.89]
2
Sustituyendo el valor de VN’ ya determinando y la igualdad trigonométrica:
VN ' =
εD
sen γ
γ
a=
γ
sen γ = 2 ⋅ sen ⋅ cos
2
2
;
2 · ε D · cos
γ
γ
2
γ
[II.90]
2 ⋅ sen ⋅ cos
2
2
Conformando definitivamente dicho semieje de la elipse de error la tolerancia o error esperado al
realizar una intersección directa angular.
a=
εD
2 ⋅ sen
γ
[II.91]
2
siendo:
L.- distancia media entre los dos pilares y la diana.
εD.- error absoluto en la medida de la distancias.
γ.- ángulo intersección.
Establecidas las coordenadas de cada diana en cada campaña, el vector desplazamiento de cada una de
las dianas se obtiene por medio de la comparación de coordenadas entre las dos campañas para cada
diana de puntería.
6.3.- MÉTODO GRÁFICO.
Para efectuar la resolución gráfica del conjunto general de observaciones realizadas también es
necesario conocer las coordenadas de los pilares y las coordenadas aproximadas de las dianas; tal es
así, que usualmente se dota de coordenadas al conjunto de elementos participantes en la primera
campaña de observaciones y esas coordenadas son la que posteriormente se emplean como
aproximadas para todas las campañas posteriores.
Conocidas las posiciones iniciales de estos puntos, se obtienen los acimutes aproximados entre los
pilares y cada una de las dianas, valores que se pueden suponer constantes de una observación a otra,
ya que las variaciones por ser muy pequeñas no van a influir en el resultado final del vector
desplazamiento, como en las expresiones finales de éste se puede comprobar.
tgθ i j =
Xi − X j
Yi − Y j
[II.92]
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85
Capítulo II.- Marco referencial y estado del conocimiento actual en las auscultaciones geodésicas clásicas.
La base sobre la que se fundamenta el cálculo gráfico consiste en evaluar el valor del desplazamiento
para un incremento distanciométrico entre dos observaciones consecutivas:
DIANA
DIANA
∆D = DPILAR
( n ) = DPILAR ( n +1)
[II.93]
En el momento en el que se conoce la dirección aproximada y la variación de distancia que ha sufrido
la diana correspondiente, se puede establecer mediante una representación sencilla la dirección en la
que se encuentra la nueva posición de la diana, tal y como se puede apreciar en la siguiente figura.
Figura Número II.43.- Establecimiento de la nueva dirección que define la posición de la diana.
Sobre un plano a gran escala (5/1 ó 10/1) se sitúa la posición inicial, y a partir de ella se marcan todas
las direcciones con su desplazamiento de distancia ocurrido entre ambas campañas. En un caso ideal,
las direcciones con sus correspondientes desplazamientos, uno por pilar, definen la nueva posición de
la diana, lugar geométrico donde se cruzan todas las direcciones, situación que habitualmente no
sucede, debido a que por los errores que se cometen al observar, las visuales en vez de cortarse en un
punto único, se cortan a lo largo de un polígono con tantos lados como visuales realizadas desde
pilares de auscultación tenga la diana.
El resultado final hay que establecerlo a estima y dentro de ese polígono que se obtiene gráficamente,
generalmente se suele poner en el centro del polígono, salvo que se desee dar más peso a alguna de las
visuales realizadas, hecho no frecuente. En la figura adjunta se muestra un gráfico habitual de la
resolución de una diana de puntería por este método.
Figura Número II.44.- Resolución del desplazamiento de una diana por el método gráfico.
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Capítulo II.- Marco referencial y estado del conocimiento actual en las auscultaciones geodésicas clásicas.
Las dimensiones del polígono son importantes, dado que representan el error cometido en el conjunto
de observaciones realizadas para la determinación del vector desplazamiento, y como el gráfico se
hace a escala, éstas son cuantificables.
6.4.- APLICACIÓN DEL MÉTODO DE VARIACIÓN DE COORDENADAS A
INTERSECCIONES DIRECTAS.
Una vez estacionado el instrumento topográfico en el pilar se observan todos los prismas posibles,
realizando al menos tres o cuatro series de mediciones, de las que se pasará a un valor promedio final
de distancia, entre pilar y diana, para cada campaña. Establecidas dos distancias a lo largo del tiempo,
la forma de operar pasa por obtener la variación de distancia que existe entre dos campañas
consecutivas como una simple diferencia de valores:
DIANA
DIANA
∆D = DPILAR
( n ) = DPILAR ( n +1)
[II.94]
Aplicando la expresión general del método de variación de coordenadas, deducida en el epígrafe 5.3.3.
de este capítulo:
∆D =
∆X
∆Y
dx +
dy
D
D
[II.95]
y que en función del tipo de auscultación, se puede particularizar como:
-
Primer caso: auscultación estructural.
∆D =
∆X
∆Y
dx +
dy
D
D
[II.96]
∆X, ∆Y.- geometría primitiva.
D.- distancia primitiva.
dx, dy.- desplazamiento de la diana.
-
Segundo caso: auscultación en suelos.
∆D =
∆X
∆Y
dx +
dy
D
D
[II.97]
∆X, ∆Y.- obtenidos en la campaña anterior.
D.- distancia obtenida en la observación anterior.
dx, dy.- desplazamiento de la diana.
Cuya aplicación resulta:
∆DPI =
∆DPIII =
1
[∆X ⋅ dx + ∆Y ⋅ dy ]
DPID
1
[∆X ⋅ dx + ∆Y ⋅ dy ]
D
DPIII
∆DPII =
1
[∆X ⋅ dx + ∆Y ⋅ dy ]
D
DPII
∆DPIV =
1
[∆X ⋅ dx + ∆Y ⋅ dy ]
D
DPIV
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Capítulo II.- Marco referencial y estado del conocimiento actual en las auscultaciones geodésicas clásicas.
 ∆X PID
 DD
 PID
 ∆DPI   ∆X PII
 ∆D   D
 PII  =  DPII
D
∆DPIII   ∆X PIII

  D
 ∆DIV   DPIII
D
 ∆XDPIV
 DPIV
∆YPID 
DPID 
D
∆YPII

D 
dx 
DPII
D ⋅
∆YPIII  dy 
D

DPIII
D 
∆YPIV 
D
DPIV

[II.98]
Su resolución se plantea por un sistema matricial del tipo:
[∆D ] = [A]⋅ [X ]
∆D = A ⋅ X
[II.99]
At ⋅ ∆D = At ⋅ A ⋅ X
At ⋅ ∆D = P 
−1
 P = N ⋅X ⇒X = N ⋅P
t
A ⋅ A = N 
[II.100]
Es habitual que en trabajos de estas características, al menos, existan cuatro pilares de observación de
forma que haya más ecuaciones que incógnitas, teniendo así una redundancia en los datos que permite
establecer la desviación:
Residuos = R = ∆D − AX
[II.101]
a partir de la cual se obtienen la varianza y desviación típica, para el caso de igualdad de pesos:
Varianza = S 2 =
Rt ⋅ R
⇔ Desviación típica = S 2 = S
m−n
[II.102]
siendo:
m.- número de ecuaciones.
n.- número de incógnitas.
Una vez conocida la varianza se puede obtener la covarianza como:
2
C = S ⋅N
−1
 σ X 2 σ YX 

=
2 
σ
 XY σ Y 
[II.103]
Aplicando la teoría de autovalores y autovectores, resulta:
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88
Capítulo II.- Marco referencial y estado del conocimiento actual en las auscultaciones geodésicas clásicas.
σ2 =
[
1 2
2
σ X + σ Y2 ± (σ X2 − σ Y2 ) 2 + 4 ⋅ σ XY
2
]
[II.104]
obteniéndose las máximas y mínimas desviaciones, σmáx. y σmín. Estos valores quedan reflejados en la
siguiente figura, donde también se determina la inclinación (acimut) del eje principal de la elipse.
tg 2θ =
2 ⋅ σ XY
σ Y2 − σ X2
[II.105]
Figura Número II.45.- Elipse de error.
6.5.- APLICACIÓN DEL MÉTODO DE VARIACIÓN DE COORDENADAS A
INTERSECCIONES INVERSAS.
Para establecer las coordenadas del pilar a partir de las coordenadas de los puntos de seguridad se
miden las distancias existentes entre los puntos de seguridad y el pilar.
Figura Número II.46.- Intersección inversa de distancias.
Establecidas las distancias existentes entre el pilar y cada punto de seguridad se calculan unas
coordenadas aproximadas P(x’,y’) que permitan establecer el método de variación de coordenadas en
el cálculo de las coordenadas definitivas del pilar. Para el cálculo de estas coordenadas aproximadas se
puede emplear cualquiera de las bases topográficas que forman la red de puntos de seguridad.
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Capítulo II.- Marco referencial y estado del conocimiento actual en las auscultaciones geodésicas clásicas.
Figura Número II.47.- Situación para un determinado triángulo.
Cálculo de los ángulos interiores:
cos
cos
α
2
γ
2
=
=
P( P − DVP 2 )
DVV12 DVP 1
cos
P( P − DVV12 )
DPV 1 DVP 2
P=
β
2
=
P( P − DVP 1 )
DVV12 DVP 2
DVV12 + DVP 1 + DVP 2
2
[II.106]
resultando la siguiente configuración geométrica:
Figura Número II.48.- Cálculo de coordenadas aproximadas.
de la que se pueden deducir las clásicas expresiones de cálculo.
θVV12 = Arc tan
P
V1
V2
V1
θ =θ
∆X
∆Y
 x' = X V 1 + DVP1 ⋅ SenθVP1
+ α ⇒ P
 y ' = YV 1 + DVP1 ⋅ CosθVP1
[II.107]
[II.108]
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90
Capítulo II.- Marco referencial y estado del conocimiento actual en las auscultaciones geodésicas clásicas.
Una vez establecidas las coordenadas aproximadas para el pilar desde una determinada base, puede
aplicarse el método general de variación de coordenadas, estableciéndose la siguiente relación:
Figura Número II.49.- Aplicación general del método de variación de coordenadas.
Se obtiene la expresión:
∆D1 =
1
[∆X ⋅ dx + ∆Y ⋅ dy ]
DPV 1
[II.109]
Si se aplica dicha relación a cada uno de los puntos de seguridad, resulta:
∆D1 =
1
[∆X ⋅ dx + ∆Y ⋅ dy ]
DPV 1
∆D2 =
1
[∆X ⋅ dx + ∆Y ⋅ dy ]
DPV 2
∆D3 =
1
[∆X ⋅ dx + ∆Y ⋅ dy ]
DPV 3
∆Dn =
1
[∆X ⋅ dx + ∆Y ⋅ dy ]
DPVn
[II.110]
donde:
∆D = DCOORDENADAS APROXIMADA S − DMEDIDA
∆X = X V − X PILAR APROXIMADO
∆Y = YV − YPILAR APROXIMADO
[II.111]
[II.112]
[II.113]
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Capítulo II.- Marco referencial y estado del conocimiento actual en las auscultaciones geodésicas clásicas.
pudiéndose resolver de la forma:
∆D = A ⋅ X ⇒ At ⋅ ∆D = At ⋅ A ⋅ X
[II.114]
At ⋅ ∆D = P 
−1
P = N ⋅ X ⇒ X = P ⋅ N
t
A ⋅ A = N 
Es habitual en trabajos de esta naturaleza que al menos existan cuatro pilares de observación de forma
que existen más ecuaciones que incógnitas, teniendo así una redundancia en los datos que permite
establecer la desviación:
Residuos = R = ∆D − AX
[II.115]
A partir de la cual se obtiene la varianza y desviación típica, para el caso de igualdad de pesos:
Varianza = S 2 =
Rt ⋅ R
⇔ Desviación típica = S 2 = S
m−n
[II.116]
siendo:
m.- número de ecuaciones.
n.- número de incógnitas.
Una vez obtenida la varianza se puede obtener la covarianza como:
2
C = S ⋅N
−1
 σ X 2 σ YX 

=
2 
σ
σ
 XY
Y 
[II.117]
Aplicando la teoría de autovalores y autovectores, resulta:
σ2 =
[
1 2
2
σ X + σ Y2 ± (σ X2 − σ Y2 ) 2 + 4 ⋅ σ XY
2
]
[II.118]
obteniéndose las máximas y mínimas desviaciones, σmáx. y σmín. Teniendo cada uno de estos valores la
misma significación física que en elipses de error definidas anteriormente para el caso de las
intersecciones directas de ángulos y distancias.
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