Junio 2014 A2

Matemáticas II
Junio 2014
 x = −1 − 2 λ
x
−
1
y

PROBLEMA A.2. Se dan el punto A = (– 1, 0, 2) y las rectas r :
= = z − 2 y s :  y = 1 + 3λ
2
3
z = 1 + λ

Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a) La ecuación del plano π que pasa por el punto A y contiene a la recta r. (3 puntos)
b) La ecuación del plano σ que pasa por el punto A y es perpendicular a la recta s. (3 puntos)
c) Un vector dirección de la recta l intersección de los planos π y σ (2 puntos) y la
distancia entre las rectas s y l. (2 puntos)
Solución:
a) Hay que obtener el plano π / A ∈ π y r ⊂ π .
Para obtener la ecuación del plano π necesitamos un punto y dos vectores directores del plano.
 punto Pr = (1, 0 , 2)
De la recta r conocemos: 
→
vector vr = (2 , 3 , 1)
2 0 0
Ahora obtenemos el vector A Pr = (2,0,0 ) . Como A Pr no es paralelo a vr ,  ≠ ≠ , A Pr es otro vector
2 3 1
director del plano π.
 Punto A (−1,0,2)

→
Elementos del plano pedido: 
, la ecuación general del plano π la
vr = (2,3,1)
vectores
directores


 A Pr = (2,0,0)

obtenemos mediante el siguiente cálculo:
x − (−1) y − 0 z − 2
x+1 y z −2
2
3
1 =0 →
2
3
1 =0
2
0
0
2
0
0
Desarrollando el determinante por la tercera fila:
y z−2
2
= 0 → 2 ( y − 3( z − 2 ) ) = 0 → ( y − 3( z − 2 ) ) = 0 →
3
1
Por lo tanto, la ecuación general del plano π es:
b) Hay que obtener el plano σ / A ∈ σ
y − 3z + 6 = 0
y –3z+6=0
y s ⊥σ .
→
Como s ⊥ σ , el vector director del la recta s es perpendicular al plano σ . vs = (−2 , 3 , 1) , por lo tanto la
ecuación del plano σ será: – 2 x + 3 y + z + D = 0
Como A ∈ σ → – 2 (– 1) + 3 . 0 + 2 + D = 0; 2 + 2 + D = 0; 4 + D = 0; D = – 4
Por lo tanto, la ecuación general del plano σ es: – 2 x + 3 y + z – 4 = 0
c) Obtener un vector director de la recta l.
 y − 3z + 6 = 0
Como la recta l es la intersección de los planos π y σ entonces l : 
por lo tanto
− 2 x + 3 y + z − 4 = 0
un vector director de l lo obtenemos mediante el siguiente cálculo,
→
→
→
i
j
k
→1
→
→
→
−3 → 0 −3 → 0 1
vl = 0 1 − 3 = i
− j
+k
= 10 i − 6 j + 2 k = (10,6 ,2) ≅ (5,3,1)
3 1
−2 1
−2 3
−2 3 1
→
→
Por lo tanto vl = (5 , 3 , 1 )
Obtener la distancia entre las rectas s y l.
→
→
Veamos si las rectas son paralelas, vl = (5,3,1)
y vs = (−2,3,1),
5
3 1
≠ = , luego las rectas no son
−2 3 1
paralelas.
Podemos calcular d ( s , l ) mediante la fórmula correspondiente: d ( s, l ) =
→ →

vs , vl , Ps Pl 
→
→
vs × vl
Calculemos cada uno de los términos de la fórmula anterior.
 y − 3z + 6 = 0
Obtengamos Pl, punto de la recta l : 
que era la intersección de los planos π y
− 2 x + 3 y + z − 4 = 0
σ y por definición de estos dos planos el punto A está en los dos, luego Pl = A = ( – 1 , 0 , 2 ).
Ps Pl = ( − 1,0 , 2 ) − ( −1,1,1) = (0 , − 1,1)
−2
→ →

 v s , vl , Ps Pl  = 5
0
→
i
→
→
v s × vl = − 2
5
→
3 1
3 1 = − 6 − 5 − 2 − 15 = −28
−1 1
→
→
j
3
3
k
→ 3
1 → −2
1 = i
− j
3 1
5
1
1 → −2
+k
1
5
→
v s × vl = (0 ,7 , −21) = 0 2 + 7 2 + ( −21) 2 =
Y
→
→
3
= 7 j − 21 k = (0 ,7 , −21)
3
d ( s, l ) =
→ →

 v s , vl , Ps Pl 
→
→
v s × vl
=
− 28
7 10
=
490 = 7 10
28
=
7 10
4
=
10
4 10
4 10 2 10
=
=
≈ 1´2649 u .l .
10
5
10 10
Otra forma de obtener esta distancia, si no nos acordásemos de la fórmula anterior, sería obtener un
plano τ que contiene a la recta s y es paralelo a la recta l. De esta forma d ( s , l ) = d ( Pl , τ )
→
Calculemos la ecuación del plano τ : s ⊂ τ
y l // τ
→
→ nτ = vs × vl , que hemos calculado
anteriormente, nτ = (0,7 ,−21) ≈ (0,1,−3)
Luego τ : y – 3 z + D = 0. Como la recta s está en el plano τ , Ps ( – 1 , 1 , 1 ) es de τ por lo que:
1 – 3 . 1 + D = 0; 1 – 3 + D = 0; – 2 + D = 0; D = 2. Luego τ : y – 3 z + 2 = 0.
0 − 3 .2 + 2
−4
 P = (− 1,0,2 ) 
4
d ( s , l ) = d ( Pl , τ ) =  l
=
=
≈ 1´2649 u.l.
=
10
10
0 2 + 12 + (−3) 2
τ : y − 3 z + 2 = 0 
Por lo tanto, d ( s , l ) =
2 10
u.l. ≈ 1´2649 u.l.
5